Полиномиальный метод синтеза многоканальных регуляторов с использованием матрицы Сильвестра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Бобобеков Курбонмурод Мулломиракович

• Бобобеков Курбонмурод Мулломиракович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Бобобеков Курбонмурод Мулломиракович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ МОДАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

1.1. Задача синтеза линейных системы автоматического управления модальным методом

1.2. Полиномиальный метод синтеза регуляторов

1.3. Полиномиальный метод синтеза регуляторов пониженного и повышенного порядка

1.4. Примеры многоканальных объектов

1.5. Адаптивная подстройка параметров многоканального регулятора при полиномиальном синтезе

1.6. Постановка задачи диссертационного исследования

2. СИНТЕЗ ОДНОКАНАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ: ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ

МЕТОД

2.1. Взаимно простое разложение для передаточных функций с использованием матрицы Сильвестра

2.2. Алгоритм вычисления взаимно простого разложения передаточной функции

2.3. Синтез одноканальных регуляторов

2.4. Алгоритм синтеза одноканальных регуляторов

2.5. Ограничения на задание полюсов системы

2.6. Выводы

3. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА МНОГОКАНАЛЬНЫХ

РЕГУЛЯТОРОВ

3.1. Приведение к взаимно простому виду полиномиального представления объекта

3.2. Общее и частное решения системы линейных уравнений с матрицей Сильвестра

3.3. Алгоритм синтеза многоканальных регуляторов полного и повышенного порядков

3.4. Структурные преобразования многоканальных систем в матричном полиномиальном представлении

3.5. Синтез двумерных регуляторов: астатизм и автономность многоканальных систем

3.6. Стабилизация процесса синтеза аммиака

3.7. Выводы

4. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С АКТИВНОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Построение специальных номограмм для активной идентификации

4.2. Идентификация параметров объекта второго порядка

4.3. Идентификация параметров объекта в системе автоматического управления с

одним входом и двумя выходами

4.4. Адаптивный алгоритм подстройки параметров регулятора на основе активной

идентификации параметров объекта

4.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Акты внедрения научных результатов диссертации

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Свидетельство о регистрации программ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Линейная электромеханическая трехмассовая система

колебательного движения

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Процедура перехода от левого разложения к правому

разложению для колонны синтеза аммиака (к разделу 3.6)

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Оценка параметров перевернутого маятника по углу

отклонения при подаче периодического сигнала типа меандра (к разделу 4.2) 161 ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Результаты измерений параметров выходного сигнала

перевернутого маятника для построения специальных номограмм

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. определения понятий и терминов, используемых в диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальный метод синтеза многоканальных регуляторов с использованием матрицы Сильвестра»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с постоянным развитием технических систем и их усложнением возникает необходимость применять для них регуляторы все более и более сложные и, следовательно, более дорогие по стоимости и более трудоемкие в эксплуатации. Однако в настоящее время разработанные алгоритмы управления не всегда отвечают поставленным задачам, особенно в случае многоканальных объектов, к которым относятся объекты, имеющие несколько регулируемых переменных. Примерами многоканальных объектов могут служить объекты, в которых протекают процессы, исключающие возможность автономного управления отдельными переменными. Такие процессы часто встречаются, например, в системах пилотирования и кондиционирования воздуха самолетов, в станках с числовым программным управлением, в системах навигации, в нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности. Таким образом, задача формализации синтеза многоканальных регуляторов является достаточно актуальной.

В теории автоматического управления задача синтеза линейных многоканальных регуляторов занимает особое место из-за использования матричных уравнений и матричного исчисления, из-за усложнения таких классических понятий, как нули и полюса, из-за необходимости перехода от характеристического полинома к характеристической матрице и т. д. Эти особенности вынуждают использовать многоканальные регуляторы, расчет параметров которых - довольно сложная задача [2, 6, 21, 23, 49, 53, 55, 66].

Теория синтеза многоканальных регуляторов в настоящее время интенсивно развивается, и большой вклад в этой области внесли многие отечественные ученые: А.А. Александров, В.А. Бесекерский, Л.Н. Волгин, А.А. Воевода, А.Р. Гайдук, Л.С. Гольдфарб, А.В. Дылевский, Д.П. Ким, А.В. Михайлов, М.В. Мееров, А.М. Малышенко, А.И. Рубан, Е.М. Смагина и другие, а также зарубежные ученые: П. Деруссо, Г. Найквист, У.М. Уонэм, P.J. Antsaklis, K.J. Aström, C.T. Chen, M. Dahleh, J.C Doyle, Q.G. Wang и др. В частности, задача синтеза многоканальных регуляторов для линейных многоканальных объектов рассматривалась в диссертационных работах А.В. Чехонадского, Е.В. Шобы, В.В. Вороного и др. Аппарат полиномиального матричного разложения, используемый в работах [5, 51, 67, 75, 79, 83], показал свою перспективность и описывается в данной работе.

Диссертационная работа посвящена анализу и синтезу многоканальных систем автоматического управления (САУ или МСАУ) [33, 84, 108, 114, 118, 119] с использованием полиномиальных методов. Важной задачей является формализация алгоритмов синтеза регуляторов, которые бы обеспечивали желаемые требования, предъявляемые к системе управления. Этой задаче и посвящена большая часть данного исследования, а именно разработке методов и алгоритмов синтеза многоканальных регуляторов полиномиальным методом с использованием матрицы Сильвестра. Полученные результаты являются развитием алгоритмов, приведенных в вышеназванных работах.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью исследования является разработка метода синтеза регуляторов полного и повышенного порядка на основе решения матричного полиномиального уравнения для многоканальных объектов.

Необходимо исследовать и решить следующие задачи, чтобы достичь поставленной цели:

- разработать алгоритм синтеза регуляторов повышенного порядка с целью введения так называемых свободных параметров, позволяющих обеспечивать дополнительные требования к САУ; модифицировать метод синтеза одноканальных регуляторов с использованием факторизации моделей объектов, позволяющей «сохранять» устойчивые нули (полюса) объекта в замкнутой системе;

- разработать формализованный алгоритм преобразования полиномиальных матричных моделей объектов к взаимно простому виду с использованием матрицы Сильвестра;

- предложить новое структурное преобразование уравнений многоканальных линейных объектов с использованием полиномиального разложения и унимодальных матриц, которое позволит изменять строчные (столбцовые) степени полиномиальных моделей объектов;

- разработать алгоритм адаптивной подстройки параметров регулятора с использованием методов активной идентификации.

Объектом исследований являются управляемые физические объекты и процессы (например, стабилизация температурных режимов полок в колонне синтеза аммиака, п-массовые системы, электромеханические вибрационные системы и т. п.), где требуется обеспечивать целевое управление несколькими выходными величинами.

Предметом исследований являются многоканальные системы управления, приемы решения некорректных систем линейных уравнений, метод синтеза многоканальных регуляторов на основе матричного полиномиального разложения.

Методы исследования. Для решения и достижения поставленных задач используются методы теории автоматического управления, линейной алгебры, теории матриц, левое и правое полиномиальное разложение матриц, матрицы Сильвестра и унимодальная, матричное полиномиальное уравнение, методы активной идентификации объектов, а также пакет математического моделирования МЛТЬЛБ.

Научная новизна. Следующие результаты диссертационного исследования характеризуют научную новизну работы:

- разработан новый алгоритм синтеза многоканальных регуляторов полного и повышенного порядков с использованием полиномиального матричного представления моделей объектов и регуляторов, в том числе двумерных (двухпараметрических) регуляторов, с целью обеспечения автономности отдельных каналов и астатических свойств системы; разработан новый алгоритм синтеза одноканальных регуляторов на основе полиномиального представления передаточных функций; предложена новая модификация метода синтеза одноканальных регуляторов с использованием факторизации моделей объектов, которая позволяет «сохранять» устойчивые нули (полюса) объекта в замкнутой системе;

- разработан новый формализованный алгоритм преобразования полиномиальных матричных моделей многоканальных объектов к взаимно простому виду с использованием матрицы Сильвестра, которая применяется при синтезе регуляторов как для одно-канальных, так и для многоканальных систем;

- предложено новое структурное преобразование моделей многоканальных систем автоматического управления с использованием унимодальных матриц при полиномиальном разложении матричных передаточных функций, что позволяет понизить столбцовые (строчные) степени полиномиального матричного описания объекта и, соответственно, понизить степени «числителя» и «знаменателя» МПФ регулятора;

- разработан новый алгоритм адаптивной подстройки параметров регулятора с использованием методов активной идентификации параметров объекта, отличающийся использованием вспомогательных номограмм.

На защиту выносятся следующие положения:

- алгоритм синтеза многоканальных регуляторов полного или повышенного порядка, отличающийся использованием полиномиального матричного представления моделей объектов и введением дополнительных, свободных параметров, что позволяет обеспечивать дополнительные требования к качеству замкнутой САУ; алгоритм синтеза одноканальных регуляторов, отличающийся использованием полиномиального пред-

ставления передаточных функций, и модификация метода синтеза одноканальных регуляторов с использованием факторизации МПФ объекта, позволяющей «сохранять» устойчивые нули (полюса) объекта в замкнутой системе;

- алгоритм преобразования полиномиальных матричных моделей многоканальных объектов к взаимно простому виду, отличающийся использованием матрицы Сильвестра, который позволяет аналитически синтезировать регуляторы как для одноканаль-ных, так и для многоканальных САУ;

- новое структурное преобразование МПФ многоканальных линейных систем автоматического управления при полиномиальном разложении с использованием унимодальных матриц, в отличие от известных структурных преобразований, что позволяет понизить столбцовые (строчные) степени полиномиального матричного описания объекта и, соответственно, понизить степени «числителя» и «знаменателя» МПФ регулятора;

- алгоритм адаптивной подстройки параметров регулятора с применением методов активной идентификации, состоящий в предварительном построении номограмм по результатам вспомогательных экспериментов, в отличие от известных методов идентификации, что обеспечивает работоспособность системы управления при значительных отклонениях параметров объекта управления от расчетных значений.

Практическая значимость и реализация результатов состоит в возможности использования разработанных моделей САУ, предложенных алгоритмов и программ для вычисления параметров многоканальных регуляторов. На основе предложенного метода и пакета МЛТЬЛБ разработана и зарегистрирована программа, которая позволяет автоматизировать процесс расчета одномерных и многомерных регуляторов.

С применением результатов диссертационной работы выполнена модернизация алгоритмов стабилизации температурных режимов полок в колонне синтеза аммиака, и рассчитан многомерный регулятор, обеспечивающий требуемое качество переходных процессов, который внедрен на производстве фирмы «СИНЕТИК», г. Новосибирск. Алгоритмы расчета параметров регуляторов, управляющих взаимосвязанными технологическими процессами с периодической идентификацией параметров объектов и устройств, программа для ЭВМ и результаты численного моделирования процессов управления внедрены в компании ООО «РосИнжиниринг», г. Новосибирск. Полученные результаты также используются в учебном процессе на кафедре автоматики Новосибирского государственного технического университета и на кафедре электрических станций Таджикского технического университета имени академика М.С. Осими.

Достоверность и обоснованность научных результатов диссертации подтверждается корректным применением указанных выше математических методов, совпадением данных экспериментальных исследований с теоретическими результатами, публикациями в научных журналах и обсуждением на всероссийских и международных научно-технических конференциях. Достоверность научных положений и результатов диссертации подтверждается моделированием систем в пакетах MATLAB - SIMULINK.

Личный вклад автора. Автор лично участвовал в построении математических моделей и разработке алгоритмов синтеза регуляторов полиномиальным методом, в исследовании синтезированных систем и внедрении результатов диссертационной работы. Постановка научных задач осуществлялась под научным руководством доктора технических наук, профессора А.А. Воеводы. Все результаты, приведенные в диссертации, получены автором лично.

Соответствие паспорту специальности. Данное диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)», а именно соответствует следующим областям (номера соответствуют пунктам в паспорте специальности): п. 4 -Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации; п. 5 - Разработка специального математического и программного обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации; п. 7 - Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза и идентификации сложных систем.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на: XI Международном форуме по стратегическим технологиям «International Forum on Strategie Technology, IFOST-2016», Новосибирск, НГТУ, 2016 г.; XIII и XIV международных научно-технических конференциях «Actual problems of electronic instrument engineering, APEIE-2016, APEIE-2018», Новосибирск, 2016 и 2018 гг.; IV Международной конференции «International Conference on Information Technologies in Business and Industry» (Томск, 2016 г.); 18-й Международной конференции «International Conference of young specialists on micro-/nanotechnologies and electron devices, EDM-2017», Новосибирск, НГТУ, 2017 г.; Международной научно-практической конференции «Независимость - основа развития энергетики страны», Бохтар, ИЭТ РТ, 2017 г.; XII Международной научно-технической конференции «Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics)», Омск, 13-15 ноября 2018 г.; Всероссийских научно-практических конференциях с международным участием «Интеллектуальный ана-

лиз сигналов, данных и знаний: методы и средства», Новосибирск, НГТУ, 2017 и 2018 гг.; VI Международной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике», Томск, ТПУ, 2017 г.; XI Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства» (НГАСУ (Сибстрин), г. Новосибирск, 2019 г.).

Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 31 работе, в том числе 7 статей в научных журналах и изданиях, рекомендуемых ВАК; 2 статьи в рецензируемых международных журналах Scopus; 5 статей в трудах международных конференций, индексируемых Web of Science и Scopus; 5 статей в сборниках трудов и материалах международных и всероссийских конференций; 11 статей в сборниках научных трудов. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка использованных источников (128 наименований) и семи приложений, включающих четыре акта внедрения. Общий объем диссертации составляет 168 страниц, включая 42 рисунка и 4 таблицы.

1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ МОДАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

Под синтезом будем понимать проектирование регулятора для системы автоматического управления по заданным требованиям к ее динамическим и статическим свойствам. Задача синтеза систем управления занимает очень важное место, так как ее решение позволяет создавать системы, обеспечивающие различные технические требования, возникающие в различных областях техники. Цель задачи синтеза - определение закона управления, при котором замкнутая система приобретает требуемые свойства в переходном и в установившемся режиме.

Существуют различные методы синтеза линейных регуляторов, например, модальные, частотные, полиномиальные и др. В данной работе акцент делается на модальный метод синтеза регуляторов, при котором требуемые свойства системы управления обеспечиваются выбором корней характеристического уравнения синтезируемой системы. В разделе 1.1 настоящей главы рассматриваются различные известные методы синтеза линейных систем и особо выделяется задача синтеза систем автоматического управления (САУ) модальным методом. В разделе 1.2 приводится общая информация о полиномиальном методе синтеза, в разделе 1.3 дается краткая информация о синтезе этим методом регуляторов пониженного, полного и повышенного порядка. Обзор многомассовых объектов как примеров многоканальных объектов, иллюстрирующих различные аспекты задачи модального синтеза, в кратком изложении дан в разделе 1.4. Важным аспектом при использовании многоканальных регуляторов является учет изменений параметров объектов и использование в этих случаях адаптивных регуляторов. Некоторые известные решения этих проблем рассматриваются в разделе 1.5. В разделе 1.6 ставится задача диссертационного исследования.

1.1. Задача синтеза линейных системы автоматического управления модальным методом

Реальные технические системы можно рассматривать как многоканальные системы, которые в связи со сложностью протекающих в них процессов вызывают необходимость использования многоканальных регуляторов, расчет параметров которых является довольно сложной задачей, ее решение в настоящее время интенсивно развивается. Именно эта задача синтеза линейных многоканальных регуляторов рассматривается в данной диссертационной работе с применением аппарата полиномиального матричного разложения, который показал свою перспективность. В этом разделе рассматривается модальный метод синтеза, при котором обеспечивается желаемое расположение корней характеристического уравнения синтезируемой системы. Модальные методы синтеза можно разделить на три группы в зависимости от используемого математического аппарата, а именно: синтез с использованием пространства состояний, матричных передаточных функций, полиномиального разложения. Часто используется описание объекта в виде матричной передаточной функции (МПФ), которая характеризует передачу взаимодействий в многоканальной системе управления (multivariable control system, multi-input multi-output - MIMO) и взаимосвязь между каналами [63, 66]. Этот подход удобен ввиду того, что может применяться как при измеряемом векторе состояния объекта, так и при измеряемом векторе выхода. В настоящей работе для решения задачи синтеза модальным методом отдается предпочтение матричным полиномиальным представлениям модели объекта управления, при использовании которых задача синтеза сводится к решению матричного полиномиального уравнения.

Синтез в пространстве состояний. Рассмотрим основные особенности синтеза многоканальных систем модальным методом в пространстве состояний [21, 25, 52, 64, 94], который также дает возможность задания нулей [74] и полюсов системы. Этот метод изложен в монографиях отечественных и зарубежных ученых (В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз, Н.Т. Кузовков, А.М. Малышенко, C. Bonivento, A. Isidori, T. Kailath, T.C. Chen и др.).

Математическая модель многоканального объекта управления (как правило, в диссертационной работе рассматриваются объекты, число входов и выходов которых одинаково), представленная в переменных состояния [51, 53, 70, 83], обычно имеет вид

x = Ax + Bu, y = Cx + Du, (1.1)

где х = [х1,..., хп]*- вектор переменных состояния объекта; у = [у1,..., ут]*- вектор выходных переменных; и = [и1,..., ит]* - вектор управляющих воздействий; А, В, С, В -

числовые матрицы соответствующих размерностей; т - число выходных переменных и управлений.

Модальный метод синтеза в переменных состояния предполагает формирование управляющих воздействий в виде регулятора вида и = Кх. Матрица К, содержащая коэффициенты линейных стационарных обратных связей, выбирается так, чтобы обеспечивались требуемые корни или коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы [95]. При недоступности вектора состояния прямым измерениям с помощью датчиков обычно используются наблюдатели полного или пониженного порядка. Подробный обзор модальных методов синтеза в пространстве состояний при доступном и недоступном измерению векторе состояния объекта приведен в работах [51; 83, с. 1836].

Вектор состояния доступен. В случае доступности вектора состояния х объекта измерению объект охватывают обратной связью и = -Кх + V, где V - вектор входных задающих воздействий. Тогда уравнение замкнутой системы принимает вид: х = (А - ВК)х + Bv. Характеристический полином замкнутой системы определяется выражением sI - А - ВК). Желаемое расположение полюсов замкнутой системы задается в виде собственных значений некоторой матрицы АА = А - ВК. Приравнивая в случае объекта с одним управлением характеристические полиномы 81 - А - ВК) = ^I - А ), получаем п соотношений для определения п коэффициентов матрицы К , которая в этом случае является вектором. Соответствующие выражения особенно просты, когда уравнения объекта представлены в канонической управляемой форме [83].Таким образом, в данном случае задача синтеза модального управления и = -Кх + V имеет решение для любого желаемого расположения полюсов замкнутой системы. Отметим, что в работе [83] предложена модифицированная методика, которая позволяет обеспечивать одновременно как расположение полюсов, так и автономность каналов.

Вектор состояния недоступен: наблюдатель полного порядка. Вектор состояния объекта в реальных системах не всегда полностью можно измерить, поэтому часто используют наблюдатель вектора состояния полного или пониженного порядка. Однако в этом случае задача синтеза модального управления при произвольных значениях желаемых полюсов имеет решение, если только объект управления является полным [55,

с. 14]. Управляющее воздействие в случае использования наблюдателя полного порядка формируется в виде u = -Kx + v, где x - оценка вектора состояния объекта управления. Вектор состояния x определяется из уравнения x = Axe + Bu + L(y - Cx), где L выбирается из условия требуемого быстродействия наблюдателя. При этом рассчитываются отдельно матрицы регулятора и наблюдателя ввиду того, что характеристический полином системы может быть записан в виде det(si - A + BK) • det(si - A + LC) [51, 93].

Вектор состояния недоступен: наблюдатель пониженного порядка. В этом случае оценка вектора состояния определяется из уравнений: z = Fz + G1 y + G2u, x = Hz + Gy, где dimF = (n - mj x (n - m1), dimG1 = (n - mx) x m1, dimG2 = (n - mx) x m1, dim H = n x (n - mx), dim G = n x m1, а матрица T, связывающая переменные z и x, z = Tx, имеет размеры (n - mx) x n. Здесь m1 - число доступных измерению выходных переменных объекта, тх<n. Поиск наблюдателя пониженного порядка сводится к вычислению матриц F, G, Gv G2, H и T. Использование наблюдателя пониженного порядка соответствует понижению порядка САУ.

Использование матричных передаточных функций. Рассмотрим особенности применения модального метода синтеза в случае описания объектов матричной передаточной функцией [55, 75, 119, 127], а также вопросы, связанные с обеспечением желаемых значений нулей и полюсов системы. Некоторые авторы добиваются желаемого расположения корней, оперируя с передаточными функциями, для чего используют теоремы Харитонова. Так, в работе [70] рассматривается многосвязная система, заданная уравнениями: y( s) = Wob (s) W (s) • e( s), e(s) = v(s) - y (s), где y (s) = [ yt (s)], v( s) = [v, (s)], e( s) = [e, (s)] - m-мерные векторы изображений по Лапласу управляемых координат, задающих воздействий и ошибок управления; Wob (s) = [Wob (s)], Wr (s) = [Wr (s)] - передаточные матрицы объекта и регулятора1. Тогда передаточная функция замкнутой системы (ПФЗС) может быть записана в одном из четырех вариантов:

Wcl (s) = (I + Wob (s) •Wr (s) )-1 Wob (s) •Wr (s) = ((Wob (s) •Wr (s))-1 (I + Wob (s) • Wr (s)) )-1 =

= ( (Wob ( s ) •Wr ( s ) + I) (Wob ( s) • Wr ( s ))-1 )-1 = Wob ( s) •Wr ( s ) (I + Wob (s ) •Wr (s) )-1.

:У матричных передаточных функций, например Wr (5), индекс г обозначает «регулятор», а у полиномиальных матриц, например Ыг (5), Вг (5), Ы1 (5), Д (5) , индекс г обозначает «правый», а I - «левый».

Матричное звено с п входами и п выходами описывается системой уравнений у = Ж(8)х, где х = [х1,..., хп]* и у = [у1,..., уп]* - векторы входа и выхода, а Ж(8) = [м у (8)] - матричная передаточная функция (МПФ) размером п х п . Элементы,

стоящие на главной диагонали матричной передаточной функции, это собственные передаточные функции каналов. Недиагональные элементы характеризуют перекрестные связи многоканальной САУ, иначе говоря, они характеризуют степени влияния у -го входа на / -й выход. При таком представлении для определения нулей и полюсов следует использовать форму Смита-Макмиллана

М (8)

(8)/ у г (8)];=1 о о о

где е.(8), уг(8) - нормированные взаимно простые полиномы, такие что Уг+1(8)\у,(8Х ег(8)|ег+1(8) - У^О?) делит у,(s), 8г(8) делит 8г+1(8);у^) = й(8)- нормированный наибольший общий делитель всех знаменателей элементов матрицы М (8); г - ранг матрицы Ж(8). При таком представлении все корни у1(8) являются полюсами, а все корни ег (8) - нулями звена Ж (8).

В [75] рассматриваются многоканальные объекты с монотонными переходными процессами, которые удовлетворительно могут быть описаны двойными апериодическими звеньями: Ж0 (8) = [ку /((1 + Ту8)(1 + 0у8• Далее МПФ преобразуется к виду

Ж0(8) = 0(8) + АО(8), где 0(8) = А1(8)• КА2(8) - основная часть объекта, К = [к у] =— -

матрица коэффициентов усиления объекта, А1( 8) = д1а§{1/(1 + Т5)} .=— и

А2( 8) = &а§{1/(1 + Ту8)} =— - диагональная матрица с элементами вида апериодических

звеньев с усредненными по у -м входам и /-м выходам с постоянными времени т. и Ту.

Значения т. и Ту вычисляются из соображения уменьшения АО(8) в области малых или

больших частот. В первом случае рекомендуется усреднять постоянные времени объекта по сумме т 1 + Т], во втором - по произведению т. • Ту. МПФ регулятора выбирается в

виде Жг(я) = Т(8)• А2-1(8)• К"А-1^)• В(я), где Т(8) = &а§{1/(1 + 8)}=—, - постоянные времени, В(8) = diag{kг. / р} —. Затем строятся полосы Гершгорина около инверсных годографов Найквиста многоканальной системы. На этой основе в работе [75] разработана методика синтеза многоканального ПИД-регулятора, обеспечивающего заданный показатель колебательности, а также рассчитан трехканальный ПИД-регулятор для управле-

г

п—г

ния процессом синтеза аммиака, когда МПФ объекта представляет собой нижнетреугольную матрицу, элементами которой являются двойные апериодические звенья.

В работе А.Р. Гайдука [55] рассматривается применение декомпозирующего управления. С этой целью в уравнение регулятора вводится специальная декомпозирующая матрица Пуи (5), представляющая собою отношение присоединенной матрицы

МПФ объекта к детерминанту этой же матрицы. В результате осуществляется декомпозиция многоканальной замкнутой системы на ряд автономных или связанных каналов.

Синтез с использованием полиномиального разложения. Основные соотношения модального метода синтеза в случае представления матричной передаточной функции в виде полиномиального разложения приведены в исследованиях [33, 62, 83, 99, 108, 112, 119]. Нули и полюса системы являются основными и ключевыми понятиями при модальном методе синтеза [73, 74, 99, 114, 116]. Суть метода состоит в том, чтобы любую задачу синтеза управления свести к получению конкретного полиномиального оператора, определить требования к нему и затем рассчитать регулятор на основе определенных требований [48, 59].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бобобеков Курбонмурод Мулломиракович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем [Текст]: учебник / А. Г. Александров. - Москва : Машиностроение, 1986. - 271 с.

2. Андреев, Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами [Текст]: учебное пособие / Ю. Н. Андреев. - Москва: Наука, 1976. - 424 с.

3. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МЛТЬЛБ [Текст]: учебное пособие / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрад-ков. - Санкт-Петербург: Наука, 1999. - 467 с.

4. Аполонский, В. В. Методы синтеза редуцированных регуляторов состояния линейных динамических систем [Текст] / В. В. Аполонский, С. В. Тарарыкин // Известия РАН. Теория и систем управления. - 2014. - № 6 - С. 25-33.

5. Аполонский, В. В. Методы структурно-параметрического синтеза робастных систем управления состоянием линеаризуемых динамических объектов [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.06 / Владимир Викторович Аполонский. - Иваново, 2016. - 210 с.

6. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления [Текст]: учебник / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - 4-е изд., перераб. и доп. - Санкт-Петербург: Профессия, 2003. - 752 с.

7. Бильфельд, Н. В. Использование пассивного эксперимента при идентификации объектов управления с изменяющимися свойствами [Текст] / Н. В. Бильфельд // Молодой ученый.- 2013. - № 8 (55). - С. 77-82.

8. Бобобеков, К. М. Полиномиальный метод синтеза одноканальной двухмассо-вой системы [Текст] / К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 4 (86). -С. 25-36.

9. Бобобеков, К. М. О структурных преобразованиях многоканальных линейных систем в матричном полиномиальном представлении [Текст] / К. М. Бобобеков // Науч. вестник НГТУ. - 2017. - № 2 (67). - С. 7-25.

10. Бобобеков, К. М. Полиномиальный метод синтеза многоканальных систем посредством перехода к матричному полиномиальному представлению [Текст] / К. М. Бо-бобеков // Вестник АГТУ. - 2019. - № 1. - С. 7-25.

11. Бобобеков, К. М. Формализация полиномиального метода синтеза однока-нальных систем с использованием матрицы Сильвестра [Текст]/ К. М. Бобобеков// Сб. науч. тр. НГТУ. - 2018 - № 1 (91). - С. 31-67.

12. Бобобеков, К. М.О нормировании полиномов знаменателей объекта и регулятора при полиномиальном методе синтеза [Текст] / К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 4 (86). - С. 7-24.

13. Бобобеков, К. М. Идентификация параметров линеаризованной модели перевернутого маятника: тестовый сигнал - двойной меандр [Текст] / К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 3 (85). - С. 7-17.

14. Бобобеков, К. М. Активные методы оценки параметров регулятора в системе автоматического управления [Текст] / К. М. Бобобеков // Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства : материалы Всерос. науч.-практ.конф. с ме-ждунар. участием, Новосибирск, 14-17 ноября, 2017 г. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. - С. 240-244.

15. Бобобеков, К. М. Активная идентификация параметров модели перевернутого маятника по углу при подаче на вход синусоидальных сигналов [Текст] / К. М. Бобобе-ков, А. А. Воевода// Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 2 (84). - С. 21-37.

16. Бобобеков, К. М. Расчет параметров регулятора для стабилизации перевернутого маятника по углу отклонения [Текст] / К. М. Бобобеков, А. А. Воевода // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 3 (85). - С. 18-32.

17. Бобобеков, К.М. Синтез двухканальной системы полиномиальным методом: обеспечение астатизма [Текст] / К. М. Бобобеков, А. А. Воевода // Сб. науч. тр. НГТУ. -2016. - № 1 (83). - С. 7-19.

18. Бобобеков, К. М. Вычисление взаимно простого разложения для одноканаль-ных передаточных функций с использованием матрицы Сильвестра [Текст] / К. М. Бо-бобеков, Э. Ш. Тауров // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2018. - № 1 (91). - С. 7-30.

19. Свидетельство №2018661906 от 20.09.2018 г. о гос. регистрации программы для ЭВМ. Программа для расчета параметров для линейного многоканального регулятора с использованием структурного преобразования [Текст] / правообладатели: К. М. Бобобеков, А. А. Воевода, Д. О. Романников. - 2018.

20. Бобобеков, К. М. Об особенностях реализации двухпараметрического регулятора стабилизации положения маятника в среде МаЙаЪ [Текст] / К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 3 (85). - С. 115-130.

21. Бобцов, А. А. Линейные системы автоматического управления [Текст]: учебное пособие / А. А. Бобцов, И. В. Мирошник. - Санкт-Петербург: Изд-во СПбГИТМО (ТУ), 2001. - 245 с.

22. Буков, В. Н. Вложения систем. Полиномиальные уравнения [Текст] / В. Н. Буков, В. В. Косьянчук, В. Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 7. -С. 12-23.

23. Власов, К. П. Теория автоматического управления [Текст]: учебное пособие / К. П. Власов. - Харьков: Гуманитарный центр, 2007. - 526 с.

24. Гайдук, А. Р. Алгоритмическое обеспечение адаптивных систем управления с идентификацией [Текст] / А. Р. Гайдук, В. В. Шадрина // Вестник ИГЭУ. - 2018. -Вып. 3. - С. 47-56.

25. Воевода, А. А. Матричные передаточные функции. (Основные понятия) [Текст]: конспект лекций по курсу «Проектирование систем управления» для 4-5 курсов АВТФ (спец. 2101) / А. А. Воевода. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1994. - 94 с.

26. Воевода, А. А. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный метод синтеза двухканальной системы [Текст] / А. А. Воевода // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2009. -№ 4(58). - С. 121-124.

27. Воевода, А. А. Синтез регуляторов пониженного порядка [Текст] / А. А. Воевода, А. И. Мелешкин // Науч. вестник НГТУ. - 1997. - № 3. - С. 41-58.

28. Воевода, А. А. О методике синтеза регуляторов для объектов с интервальными параметрами [Текст] / А. А. Воевода, В. В. Плохотников // Сб. науч. тр. НГТУ. -1998. - № 3. - С. 157-160.

29. Воевода, А. А. О множестве корней производных интервального полинома [Текст] / А. А. Воевода, В. В. Плохотников // Сб. науч. тр. НГТУ. -1999. - № 4(17). -С. 27-31.

30. Воевода, А. А. Об устойчивости производной устойчивого многочлена [Текст] / А. А. Воевода, К. Н. Пономарев, А. В. Чехонадских // Науч. вестник НГТУ. -1998. - № 1(4). - С. 185-186.

31. Воевода, А. А. Модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения: разделение движений при стабилизации трехмассовой системы [Текст] / А. А. Воевода, А. В. Чехонадских, Е. В. Шоба // Науч. вестник НГТУ. - 2011. -№ 2(43). - С. 39-46.

32. Воевода, А. А. О «Строгой правильности» передаточной функции разомкнутой системы [Текст] / А. А. Воевода, Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. -2010. -№ 2(60). - С. 175-180.

33. Воевода, А. А. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы [Текст] / А. А. Воевода, Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. - Ч. 1. - 2010. -

№ 2 (60). - С. 9-16; Ч. 2. - 2010. - № 3 (61). - С. 41-50; Ч. 3. - 2010. - № 4 (62). - С. 312; Ч. 4. - 2011. - № 3 (65). - С. 11-18.

34. Воевода, А. А. О модели перевернутого маятника [Текст] / А. А. Воевода, Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - № 1 (67). - С. 3-14.

35. Воевода, А. А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза [Текст] / А. А. Воевода, Е. А. Ижицкая // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2009. - № 2 (56). -С. 3-10.

36. Воевода, А. А. Автономность и астатизм в многоканальной системе с двухпа-раметрическим регулятором [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2017. - № 3 (89). - С. 7-31.

37. Воевода, А. А. Синтез линейных многоканальных регуляторов с использованием структурных преобразований [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Вестник АГТУ. - 2017. - № 4. - С. 7-20.

38. Воевода, А. А. Решение переопределенной линейной системы уравнений при полиномиальном синтезе регуляторов [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2017. - № 4 (56). - С. 8499.

39. Воевода, А. А. Система автоматического управления процессом синтеза аммиака [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Вестник РГРТУ. -2019. - №1 (67). -С. 99-108.

40. Воевода, А. А. Преобразование полиномиального представления многоканального объекта к взаимно простому виду [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. -2018. - № 2 (92). - С. 7-35.

41. Воевода, А. А. Решение линейной системы уравнений в задаче синтезе регуляторов полиномиальным методом [Текст]/ А. А. Воевода, К. М. Бобобеков// Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства: сб. статей Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, Новосибирск, 14-17 нояб., 2017 г. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. - С. 244-249.

42. Воевода, А. А. Моделирование многоканальных систем с вырожденными объектами в полиномиальном матричном представлении [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бо-бобеков // Независимость - основа развития энергетики страны : материалы междунар. науч.-практ. конф., 22-23 дек., 2017 г. - Бохтар: Изд-во ИЭТ, 2017. - С. 214-218.

43. Воевода, А. А. Автономность и астатизм в многоканальной системе с двухпа-раметрическим регулятором [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Интеллектуаль-

ный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства: сб. тр. II всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, Новосибирск, 11-13 дек., 2018 г. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. - С. 337-347.

44. Воевода, А. А. О необходимом условии существования решения при полиномиальном методе синтеза одноканальных систем [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобе-ков // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2017. - № 4(90). - С. 7-21.

45. Воевода, А. А.Оценка параметров перевернутого маятника в системе стабилизации углового положения [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Вестник РГРТУ. -2017. - № 3(61), - С. 110-118.

46. Воевода, А. А. Активная идентификация параметров ПИ-регулятора в системе автоматического управления неустойчивым объектом первого порядка [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Докл. ТУСУРа. - 2017. - Т. 1, № 4. - С. 100-104.

47. Воевода, А. А. Синтез регулятора для системы «Перевернутый маятник - тележка» [Текст]/ А. А. Воевода, В. В. Вороной, Е. В. Шоба // Науч. вестник НГТУ. -2012. - № 4(49). - С. 161-165.

48. Полиномиальный подход к синтезу и анализу систем управления электропри-водам[Текст]/ М. А. Волков, Е. А. Гурентьев, З. Ш. Ишматов, Ю. В. Плотников // Тр. V междунар. конф. по автоматизированному электроприводу. - Санкт-Петербург, 2007. -С.141-144.

49. Воронов, А. А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем [Текст]: учебное пособие / А. А. Воронов. - Москва: Энергия, 1980. - 312 с.

50. Воронов, А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость [Текст]: учебное пособие / А. А. Воронов. - Москва: Наука, 1979. - 336 с.

51. Вороной, В. В. Полиномиальный метод расчета многоканальных регуляторов пониженного порядка [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Вадим Владимирович Вороной. - Новосибирск, 2013. - 173 с.

52. Востриков, А. С. Теории автоматического регулирования [Текст]: учебник / А. С. Востриков, Г. А. Французова. - Москва: Высшая школа, 2006. - 365 с.

53. Гайдук, А. Р. Синтез автономных и связных многомерных систем управления [Текст] / А.Р. Гайдук // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2012. - № 1. - С. 1320.

54. Гайдук, А. Р. Синтез систем автоматического управления неустойчивыми многомерными объектами [Текст] / А. Р. Гайдук, К. В. Колоколова // Науч. вестник НГТУ. - 2017. - № 1(66). - С. 26-40.

55. Гайдук, А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход) [Текст] / А. Р. Гайдук; под ред. Е. И. Ворошиловой. - Москва: Физматлит, 2012. - 360 с.

56. Гайдук, А. Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB [Текст]: учебник / А. Р. Гайдук, В. Е. Беляев, Т. А. Пьявченко. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург: Лань, 2011. - 464 с.

57. Гайдук, А. Р. Условия разрешимости задачи синтеза инвариантных систем управления [Текст] / А. Р. Гайдук // Известия ЮФУ. - 2012. - № 1. - С. 116-122.

58. Дилигенская, А. Н. Идентификация объектов управления [Текст]: учебное пособие / А. Н. Дилигенская. - Самара: Изд-во СГТУ, 2009. - 136 с.

59. Дылевский, А. В. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом [Текст] / А. В. Дылевский, Г. И. Лозгачёв // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. - 2003. - № 4. - С. 17-20.

60. Дьяконов, В. П. Simulink [Текст]: самоучитель / В. П. Дьяконов. - Москва: ДМК Пресс, 2015. - 782 с.

61. Епанешникова, И. В. Структурная декомпозиция полиномиальной передаточной функции объекта на совокупность линейных звеньев автоматики [Текст] / И. В. Епанешникова // Автоматика и телемеханика. - 2016. - № 4. - С. 3-13.

62. Ким, Д. П. Синтез оптимальных по быстродействию непрерывных линейных регуляторов [Текст] / Д. П. Ким // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 3. - С. 5-14.

63. Кузнецов Л.Д. Синтез аммиака / Л.Д. Кузнецов, Л.М. Дмитриенко, П.Д. Рабина, Ю.А. Соколинский - М.: Химия, 1982. - 296 с.

64. Малышенко, А. М. Системы автоматического управления с избыточной размерностью вектора управления [Текст]: учебное пособие / А. М. Малышенко - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 302 с.

65. Малышенко, А. М. Сборник тестовых задач по теории автоматического управления [Текст] / А. М. Малышенко, О. С. Вадутов. - Санкт-Петербург: Лань, 2016. -368 с.

66. Мееров, М. В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления [Текст]: учебное пособие / М. В. Мееров. - Москва: Наука, 1986. - 233 с.

67. Мелешкин, А. И. Модальный синтез регуляторов пониженного порядка [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Андрей Иванович Мелешкин. - Новосибирск, 1999. - 166 с.

68. Мирошник, И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы [Текст]: учебное пособие / И. В. Мирошник. - Санкт-Петербург: Питер, 2005. - 336 с.

69. Нейман, Л. А. Линейные синхронные электромагнитные машины для низкочастотных ударных технологий [Текст]: дис. ... д-ра техн. наук: 05.09.01 / Людмила Андреевна Нейман. - Новосибирск, 2018. - 400 с.

70. Плохотников, В. В. Модальный синтез систем управления с интервальными параметрами [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Виталий Валерьевич Плохотников. - Новосибирск, 2002. - 182 с.

71. Рубан, А. И. Адаптивные системы управления с идентификацией [Текст]: монография / А. И. Рубан. - Красноярск: Изд-во Сиб. федер. ун-т, 2015. - 140 с.

72. Рыжиков, И. С. Эволюционные алгоритмы решения задач идентификации и управления для динамических систем [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Иван Сергеевич Рыжиков. - Красноярск, 2016. - 146 с.

73. Смагина, Е. М. Вычисление и задание нулей линейной многомерной системы [Текст] / Е. М. Смагина // Автоматика и телемеханика. - 1987. - № 12. - С. 165-173.

74. Смагина, Е. М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы [Текст]: учебное пособие / Е. М.Смагина. - Москва: Изд-во МГУ, 1990. - 160 с.

75. Степаненко, С. В. Методика синтеза многоканальных ПИД-регуляторов для объектов с монотонными переходными характеристиками [Текст]: дис. . канд. техн. наук: 05.13.01 / Сергей Викторович Степаненко. - Новосибирск, 2003. - 166 с.

76. Трошина, Г. В. Активная идентификация линейных динамических дискретных стационарных объектов во временной области [Текст]: дис. . канд. техн. наук: 05.13.01 / Галина Васильевна Трошина. - Новосибирск, 2007. - 171 с.

77. Тарарыкин, С. В. Понижение порядка полиномиальных регуляторов динамических систем [Текст] / С. В. Тарарыкин, В. В. Аполонский // Вестник науки Сибири. -2013. - № 3(9). - C. 96-100.

78. Тютиков, В. В. Редукция управляющего устройства при синтезе САУ [Текст] / В. В. Тютиков, Е. М. Шляцкая // Изв. ЮФУ. - 2017. - № 9(194). - C. 64-74.

79. Тютиков, В. В. Развитие теории модального управления для решения задач автоматизации технологических объектов [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06 / Владимир Валентинович Тютиков. - Иваново, 2006. - 32 с.

80. Уонэм, У. М. Линейные многомерные системы управления [Текст]: учебное пособие / У. М. Уонэм. - Москва: Наука, 1980. - 375 с.

81. Цзянь В. Компенсация мультисинусоидального возмущения на основе параметризации Юлы-Кучеры [Текст] / В. Цзянь, С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыркин // Автоматика и телемеханика. - 2017. - № 9. - С. 19-33.

82. Чехонадских, А. В. Алгебраический метод синтеза алгоритмов автоматического управления пониженного порядка [Текст]: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.01 / Александр Васильевич Чехонадских. - Новосибирск, 2013. - 341 с.

83. Шоба, Е. В. Модальный метод синтеза многоканальных динамических систем с использованием полиномиального разложения [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Евгений Владимирович Шоба. - Новосибирск, 2013. - 192 с.

84. Шоба, Е. В. Метод модального синтеза для многоканальных систем с использованием полиномиального разложения [Текст] / Е. В. Шоба // Науч. вестник НГТУ. -2011. - № 4(45). - C. 186-190.

85. Шоба, Е. В. Стабилизация положения кабины лифта. Расчет регулятора [Текст] / Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - № 3(69). - C. 135-142.

86. Шоба, Е. В. Расчет многоканального регулятора для поддержания заданной температуры в камере полимерной покраски [Текст] / Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - № 4 (70). - C. 11-20.

87. Anderson, B. D. O. On robust Hurwitz Polynomials [Text] / B. D. O. Anderson, E. I. Jury, M. Mansour // IEEE Trans. Aut. Control. - 1987. - AC-32, № 10. - P. 18-28.

88. Argoun, M. B. On the stability of low-order polynomials [Text] / M. B. Argoun // IEEE Trans. Aut. Control. - 1987. - AC-35, № 2. - P. 180-182.

89. Albertos P. Multivariable control systems: an engineering approach [Text] / P. Albertos, A. Sala. - London: Springer, 2004. - 340 p.

90. Astrem, K. J. Feedback systems : an introduction for scientists and engineers [Text] / K. J. Astrem, R. M. Murray. - United Kingdom: Princeton University Press, 2008. -409 p.

91. Ambrose, H. Model reference robust control for MIMO systems [Text] / H. Ambrose, Z. Qu // International Journal of Control. - 1997. - Vol. 68, № 3. - P. 599-623.

92. Antsaklis, P. J. Polynomial and rational matrix interpolation: theory and control applications [Text] / P. J. Antsaklis, G. Zhiqiang // International Journal of Control. - 1993. -Vol. 58, № 2. - P. 349-404.

93. Antsaklis, P. J. Linear systems [Text] / P. J. Antsaklis, A. N. Michel. - Switzerland: Birkhauser, 1997.- 669 p.

94. Bishop, R. H. Modern control systems analysis and design using MATLAB [Text] / R. H. Bishop. - Massachusetts; New York, 2006. - 160 p.

95. Bonivento, C. Advances in control theory and application [Text] / C. Bonivento, A. Isidori, L. Marconi, C. Rossi. - London: Springer, 2007. - 306 p.

96. Bobobekov, K. M. A polynomial method for synthesizing a two-channel regulator stabilizing a three-mass system [Text] / K. M. Bobobekov // Proc. of the XIV Intern. Conf. "Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2018)"; Novosibirsk. Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk: NSTU, 2018. - P. 184-189.

97. Bobobekov, K. M. The parameters identification of the automatic control system with the controller [Text] / K. M. Bobobekov, G. V. Troshina, A. A. Voevoda// Journal of Physics: Conference series. - 2019. - Vol. 1210. - Art. 012021, (Scopus).

98. Bonivento C. Advances in control theory and application [Text] / C. Bonivento, A. Isidori, L. Marconi, C. Rossi. - London: Springer, 2007. - 306 p.

99. Chen, C. T. Linear System Theory and Design[Text] / C. T. Chen. - 2ed. -New York :Oxford, 1999. - 334 p.

100. Costa, N. Multiple-input multiple-output channel models: theory and practice [Text] / N. Costa, S. Haykin. - New Jersey: IEEE; WILEY, 2010. - 230 p.

101. Dahleh, M. A. Lecture on dynamic systems and control [Text] / M. A. Dahleh, M. Dahleh, G. Verghese. - Cambridge: Massachuasetts Institute of Technology, 2003. - 600 p.

102. Damen, A. Modern control theory [Text] / A. Damen. - Eindhoven, 2012. -

170 p.

103. D'azzo, J. J. Linear control system analysis and design with MATLAB [Text] / J. J. D'azzo, C. H. Houpis, S. H. Sheldon. - New York: Basel, 2003. - 450 p.

104. Doyle, J. C. Feedback control theory [Text] / J. C. Doyle, B. Francis, A. Tannenbaum. - London : Macmillan Publishing, 1990. - 198 p.

105. Dorf, R. C. Modern control systems [Text] / R. C. Dorf. - Twelfth Edition Harlow: PIARSON, 2011. - 1111 p.

106. Esfandiari, R. S. Modeling and analysis of dynamic systems [Text] / R. S. Esfan-diari, L. Bei. - 2nd ed. - New York: CRC Press Taylor Francis Group, 2014. - 558 p.

107. Falb, P. L. Decoupling in the design and synthesis of multi-variable systems [Text] / P. L. Falb, W. Wolovich // IEEE Trans. Aut. Control. - 1967. - AC-12, № 4. - P. 651669.

108. Feinstein, J. The solution of the matrix polynomial equation A(s)X(s)+B(s)Y(s)=C(s) [Text] / J. Feinstein, Y. Bar-Ness // IEEE Trans. Aut. Control. -1984. - Vol. 29. - P. 754-77.

109. Franklin, G. F. Feedback Control of Dynamic Systems [Text] / G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini. - 7th ed. - Boston :PEARSON, 2014. - 887 p.

110. Golnaraghi, F. Automatic control systems [Text] / F. Golnaraghi, B.C. Kuo. -9th ed. - New York: Wiley, 2010. - 944 p.

111. Golnaraghi, F. Automatic control systems [Text] / F. Golnaraghi, B. C. Kuo. -10th ed. - New York: McGraw-Hill, 2017. - 1160 p.

112. Goodwin, G. C. Control system design [Text] / G. C. Goodwin, S. F. Graebe, M. E. Calgado. - Valparaiso, 2000. - 840 p.

113. Isidori, A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems, Advanced Textbooks in Control and Signal Processing [Text] / A. Isidori. - London: Springer, 2016. -414 p.

114. Kailath, T. Linear Systems [Text] / T. Kailath. - Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1980. - 350 p.

115. Ljung, L. System identification. Theory for the User [Text] / L.Ljung.-2 ed. -New Jersey: PTR Prentice Hall, 1999. - 315 p.

116. Macfarlane, A. G. Geometric approach to analysis and synthesis of system zeros. Pt 1. Square systems. Pt 2. Non-square systems [Text] / A. G. Macfarlane // Int. J. Control, 1976. - Vol. 23, № 2. - P. 149-181.

117. Mehra, R. K. Optimal Input for Linear System Identification [Text] / R. K. Me-hra // IEEE Trans. Autom. Control. - 1974. - Vol. 19, № 3. - P. 192-200.

118. Morse, A. S. Structural invariants of linear multivariable systems [Text] / A. S. Morse // SIAM J. Control. - 1973. - № 11. - P. 446-465.

119. Tagawa, Y. Characteristic transfer function matrix-based linear feedback control system analysis and synthesis [Text] / Y. Tagawa, R. Tagawa, D. Stoten // International Journal of Control. - 2009. - Vol. 82, № 2. - P. 585-602.

120. Troshina, G. V. The Active Identification of Parameters for the Unstable Object [Text] / G. V. Troshina, A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // The 11th International Forum on

Strategic Technology 2016. June 1 - June 3, 2016 Novosibirsk State Technical University. -Novosibirsk: NSTU, 2016. - Р. 594-596.

121. Troshina, G. V. The Parameters Determination of the Inverted Pendulum Model in the Automatic Control System [Text] / G. V. Troshina, A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // Proc. of the XIII Intern. conf. Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2016), Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk: NSTU, 2016. - P. 180-182.

122. Troshina, G. V. The periodic signals application for the estimation of the unstable object parameters [Text] / G. V. Troshina, A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // Journal of Physics: Conference series. - 2017. - Vol. 803. - Art. 012166.

123. Troshina, G. V. Unstable object parameters estimation with one input and two outputs in automatic control system [Text] / G. V. Troshina, A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // 18th International Conference of young specialists on mi-cro/nanotechnologies and electron devices, EDM 2017: proc., Altai, Erlagol, 29 June-3 July

2017. - Novosibirsk: NSTU, 2017. - P. 138-141.

124. Voevoda, A. A. Reduction of the matrix polynomial decomposition of the transfer function to a coprime form using the Sylvester matrix [Text] / A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // Proc. of the XIV Intern. Conf. "Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2018)", Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk: NSTU,

2018. - Р. 290-294.

125. Voevoda, A. A. Method of Division of Motion for Control of Multi-Channel Linear Dynamic Object [Text] / A. A. Voevoda, V. A. Zhmud, A. S. Vostrikov // Automation and Software Engineering. - 2017. - № 3 (21). - P. 104-111.

126. Voevoda, A. А. Low order controllers synthesis using the "reverse derivative" [Electronic resource] / A. A. Voevoda, V. V. Voronoj, E. V. Shoba // The 2nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics: Proceedings of RFBR and DST Sponsored, 10-13 Sept., 2011, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk. - Р. 38-41. - Access mode: http://ait.cs.nstu.ru/sites/default/files/Proceedings-CIMHAR-2011.pdf. - Screen title.

127. Wang, Q. G. Decoupling Control [Text] / Q. G. Wang // Lecture Notes in Control and information Scienes: Springer. - Berlin: Verlag, 2003. - 285 p.

128. Wolovich, W. A. Linear multivariable systems [Text] / W. A. Wolovich. - New York: Springer-Verlag, 1974. - 358 p.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Акты внедрения научных результатов диссертации

АО «СИНЕТИК», адрес центрального офиса: ОЖШлШ^ 630009, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала, 127

тел.: [phone], факс [phone] e-mail: [e-mail], http://www.sirietic.ru

УТВЕРЖДАЮ:

Генеральный директор АО «СИНЕТИК»

АКТ

о внедрении результатов кандидатской диссертационной работы Бобобекова Курбонмурода Мулломираковича

Комиссия в составе:

Председатель: главный инженер, к.т.н. - Голодных Геннадий Петрович Члены комиссии: директор по развитию, к.т.н. - Ефременко Антон Эдуардович директор инженерного центра - Калашников Александр Александрович

Составили настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы «Полиномиальный метод синтеза многоканальных регуляторов с использованием матрицы Сильвестра», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук, при модернизации алгоритмов стабилизации температурных режимов полок в колонне синтеза аммиака.

Основные преимущества рассчитанной системы управления заключаются в следующем:

с учетом погрешности оценки параметров объекта получена трехканальная математическая модель объекта второго порядка, что позволило понизить степень регулятора полного порядка со свойством астатизма, при существенном упрощении расчетов;

- вычисленный регулятор полностью обеспечивает заданное качество переходных процессов посредством необходимого расположения полюсов системы без компенсации влияния нулей системы на переходный процесс посредством использования дополнительного блока, формирующего задающие воздействия;

Юридический адрес: 630009, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала, 127, ИНН 5410118102, КПП 540501001 р/с 40702810811 ООО010233 в Филиал «Новосибирский» Акционерного общества коммерческого банка «ГЛОБЭКС» БИК 045004747, к/с 30101810150040000747. коды ОГРН 1025403908100 ОКПО 23534736

СИНЕТИК

эксперт и потаила гизацнк

АО «СИНЕТИК», адрес центрального офиса: 630009, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала, 127 тел.: [phone], факс [phone] e-mail: [e-mail], http://www.sinetic.ru

Использование указанных результатов позволяет: упростить структуру регулятора и, следовательно, алгоритм управления, что уменьшает затраты, связанные с эксплуатацией колонны синтеза аммиака; за счет увеличения уровня автоматизации и за счет упрощения эксплуатации системы; повысить качество стабилизации температуры полок колонны синтеза аммиака.

Юридический адрес: 630003, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала, 127, ИНН 5410119182, КПП 540501001 рЛ; 40702310811000010283 в Филиал «Новосибирский» Акционерного общества коммерческого банка с ГЛ ОБ ЭКС» БИК 045004747, к/с 30101810150040000747, коды ОГРН 1025403908100, ОКПО 23584736

Г.П. Голодных А,Э. Ефременко А.А. Калашников

УТВЕРЖДАЮ:

Настоящим актом подтверждается, что результаты научных исследований Бобобекова Курбонмурода Мулломираковича, аспиранта кафедры «Автоматика» Новосибирского государственного технического университета, излагаются в дисциплине «Многоканальные системы управления», читаемой для магистрантов специальностей 27.04.04 - Управление в технических системах и в дисциплине «Основы теории управления», читаемой для студентов специальностей: 09.03.01 - Информатика и вычислительная техника и 09.03.04 - Программная инженерия. Материалы диссертационной работы используются при написании бакалаврских и магистерских работ, а также в исследованиях аспирантов.

Использование результатов диссертационной работы позволяет повысить качество изучения вышеуказанных дисциплин с учетом современных научных и практических требований.

Зав. кафедрой Автоматики

д.т.н., профессор

В.А. Жмудь

Декан АВТФ, к.т.н., доцент

И.Л. Рева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

ТАДЖИКСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академик» М.С. Осмми

~3 {0-12, Душанбе, просп. икаОелтнии РиОмчм'ювых, 10. Te.i.: I+W2 3?) 221-35-11. _Факс: 3") 22!-~ ¡-35, Г-ntail mclor.ttu и Hiuil.ni. И ebriiww.iuaj_

УТВЕРЖДАЮ

АКТ

о внедрении результатов диссертационной работы Бобобекова ЬСурбонмурода Мулломираковича: «Полиномиальный метод синтеза многоканальных регуляторов е использованием матрицы Сильвестра», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук но специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Комиссия в составе: председателя д.т.н., и.о. профессора Саидзода Р.Х. и членов комиссии к.т.н., доцента Фохакова A.C., зав. каф. «Автоматизированный электропривод и электрические машины», к.т.н., Джаборова М.М., зав. каф. «Электрические станции», к.т.н,, Султонова Ш.М., и к.т.н., доцента Касобова Л.С. свидетельствует о том, что результаты чисссртационной работы аспиранта Новосибирского государственного технического университета K.M. Ьобобешва, представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук, используются в учебном процессе на энергетическом факультете Таджикского технического \ ниверситета имени академика М.С. Осими:

- в курсе лекций и лабораторных работах «Теория автоматического регулирования», читаемых для студентов и магистрантов специальностей 1-

152

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Свидетельство о регистрации программ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Линейная электромеханическая трехмассовая система колебательного движения

В качестве примера рассмотрим наиболее распространенные способы управления механической системой - линейным электромагнитным двигателем (ЛЭМД) для создания колебательных движений. Общие схемы построения подобных электромеханических систем с возвратно-поступательным движением синхронно взаимодействующих между собой инерционных масс и их расчетные динамические модели представлены на рисунке В.1 (к разделу 3.3).

В самом общем варианте электромеханическая колебательная система (ЭМКС) (рисунок В.1) содержит катушку и скрепленный с катушкой неподвижный сердечник, подвижный сердечник (боек), образующие магнитную систему ЛЭМД [69]. При протекании периодического тока по обмотке катушки боек под действием электромагнитных сил и сил упругих связей механической системы совершает колебательные движения. На рисунке В.1 обозначено: /эм -

Рисунок В.1 - Трехмассовая ЭМКС с ЛЭМД и ее расчетная схема:

вынуждающая электромагнитная сила; х1, х2 и х3 - обобщенные координаты линейного перемещения центра масс; т1 - масса бойка (подвижного сердечника); т2 - присоединенная масса; М - масса ЛЭМД без учета массы бойка; к1, к2 и к3 - коэффициенты жесткости упругих связей (пружин); Ь1, Ь2 и Ь3 - коэффициенты вязкого трения упругих

связей; /1р1, /тр2 - силы сухого трения скольжения

25

25Нейман, Л.А. Математическая модель электромеханической системы колебательного движения с упругими связями / Л.А. Нейман, В.Ю. Нейман // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. - 2015. - № 6. - С. 35-40.

Количество обобщенных независимых координат определяет число степеней свободы механической системы. Следует отметить, что расчетной схеме на рисунке В.1 при х3 = 0 или при х1 = х2 соответствует двухмассовая система [69, с. 235-236].

Взаимосвязи электромагнитного усилия от протекающего тока и ее структура. Механическая и магнитная системы связаны функциональной зависимостью электромагнитного усилия /эм = /2 (/, х) от величины протекающего тока I в катушке и координаты положения бойка х1 относительно неподвижного сердечника, а магнитная и электрическая системы - зависимостью величины потокосцепления ^ = /1(1, х). В общем случае они описываются дифференциальным уравнением электрического равновесия нелинейной цепи и(/) = щ +\|/(/, х), где и(/) - напряжение в обмотке катушки, гк -активное сопротивление катушки.

"(О

Рисунок В.2 - Блок формирования электромагнитной силы (БФЭМС): а - в развернутом виде; б - в свернутом виде

Напряжение и(/) (рисунок В.2) формируется схемой управления обмотки катушки от периодического синусоидального источника промышленной частоты 50 Гц [69]. Здесь используется оператор дифференцирования для получения С^ / С по известному ^.

Математическая модель трехмассовой ЭМКС с упругими связями. ЭМКС (см. рисунок В.1) имеет три степени свободы, и ее математическая модель с учетом упругих связей и сил трения скольжения имеет вид

Ряшенцев, Н.П. Теория, расчет и конструирование электромагнитных машин ударного действия / Н.П. Ряшенцев, Е.М. Тимошенко, А.В. Фролов. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1970. - 260 с.

т1х1 + (Ь + Ь2)-¿1 - Ь2•х2 - Ь1 х3 + (к1 + к2)х1 - к2х2 - к1 х3 + /тр!^^! = /эм ;

т2х2 - Ь2х1 + Ь2х2 - к2х1 + к2х2 + = 0; (В.!) Мх3 - Ь1 х1 + (Ь1 + Ь3)х3 - к1 х1 + (к1 + к3)х3 + 0 • 81§пх2 = -/эм,

где /эм = /2 (/, х), 81ёи( х) = 1 при X > 0; х) = 0 при X = 0; х) = -1 при X < 0.

Уравнениям (В.!) соответствует структура, представленная на рисунке В.3 [69, с. 240].

Рисунок В.3 - Детализированная структурная схема подсистемы учета механических свойств модели трехмассовой ЭМКС

Анализ свойств по приведенной структурной схеме затруднителен, поэтому предложено для моделирования использовать матричное описание трехмассовой системы.

Матричное описание трехмассовой системы. В отличие от [69, с. 240] предлагается перейти от скалярных уравнений (В.1) к матричным уравнениям (В.2):

(Б2 з2 + + А) х( 5) + ^п( X (0) = (N2 з2 + N + N) / (5) ,

(В.2)

где х(з) = (XI х2 Х3)', ) = (sign.il 81§пх2 81§пХз)' /эм = /(/, X), N2 = N1 = (0 0 0)';

N0 = (1, 0, -1)', В2 = diag{Ш1, Ш2, М}, ^ = diag{/Тр1г /^, 0},

ГЬ1 + Ь2 -Ь2 -Ь1 Л (к1 + к2 -к2 -к1 Л

а

-Ь2 Ь2 0

а

—к-,

0

-к1 0 к1 + к

3 У

—Ь1 0 Ь1 + Ьз у Уравнение (В.2) преобразуем к удобному для моделирования виду

Х( 5) = Б—1зД х( з) + зБ0 х( з) — ^п( Х(')) + N0/^)), что соответствует структурной схеме, представленной на рисунке В.3.

Рисунок В.4 - Структурная схема ЭМКС в матричном виде

Как видно, такая структура компактна, не требует много блоков и удобна для анализа свойств объекта с целью синтеза САУ.

Блок формирования электромагнитной силы. В настоящее время при моделировании стараются использовать оператор интегрирования, а не дифференцирования, поэтому предполагается вместо структурной схемы на рисунке В.2 использовать структурную схему, представленную на рисунке В.5.

По сути, для объекта (рисунок В.4) можно рассмотреть задачу синтеза регулятора. Таким образом, выбираем ПИ-регулятор с целью обеспечения астатиз-ма (рисунок В.6).

В [69] рассматривается четырех-массовый электромагнитный ударный Рисунок В.5 - Преобразованный БФЭМС узел перфоратора ТТ-312Б ООО «ЭИТТ» (г. Новосибирск), его модель и моделирование; для моделирования применен МЛТЬЛБ и БМиЫЫК [60]. Упрощенный вариант ударного узла, включающий три массы, подробно проанализирован в той же работе.

В данной работе исполь-

зовано матричное полиномиальное описание для трехмас-совой системы, которое можно применять и для устройств, включающих, например, четыре массы. Это позволяет суще-

Рисунок В.6 - Структурная схема системы

ственно упростить структуру

автоматического управления

модели, облегчить задачу анализа динамических свойств объекта, решить вопрос по выбору стабилизирующего регулятора и при необходимости выполнить линеаризацию нелинейного объекта при помощи нелинейной обратной связи. Предложено заменить блок дифференцирования (рисунок В.2,а), чувствительный к погрешностям, на блок интегрирования (рисунок В.5). Это оказалось выполнимым, если учесть, что функцию у = / (/, х) несложно заменить на

функцию / = /1 (у, х). Кроме того, для реализации функции х) используем реальный дифференциатор для получения dх / dt. Для формирования обратной связи используется вектор-строка g = (10 0), если управляем координатой х1 , а при необходимости управления другими координатами выбираем соответствующий вектор g. В качестве регулятора выбран ПИ-регулятор.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Процедура перехода от левого разложения к правому разложению для колонны синтеза аммиака (к разделу 3.6)

Для перехода от левого разложения к правому разложению приводим полиномиальную матрицу (Б1 (5), (к верхнетреугольному виду [10, 33]. В процессе этого преобразования одновременно осуществляется проверка на взаимную простоту левого разложения (Ы1 (5), Б1 (5)). Это преобразование состоит из последовательности действий над строчками:

л /

(5 )л

N (5),

(1 + 1,9 0 0 -1,5 0 0

0

(1 + 2,9 5)2 0 -1,5 -0,7 0

(1 + 1,95)2 /(1,5) 1 — Г4 (1 + 2,95)2 /(0,7) г2 — г5 (1 + 3,75)2 /(0,4)г3 — г6

¿2

'-1,5 -1,5 0 -0,7

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

(1 + 3,7 5)2 -1,4 -0,7 -0,4

Г ^ г4

Г2 ^ Г5

Г3 ^ Г6

ь

-1,5 0 0

(1 +1,9 5)2 0 0

-1,5 -0,7 0 0

(1 + 2,9 5)2 0

-1,4 -0,7 -0,4 0 0

(1 + 3,7 5)2

-1,5 -1,5 -1,4 1 -(1 + 1,9 5 )2

0 -0,7 -0,7 0, 5

0 0 -0,4 -(1 + 2,9 5)2

0 -(1 +1,95)2 -0,93(1 +1,95 )2 0, 4

0 0 -(1 + 2,9 5)2

0 0 0 Ь3

- г — г

ГЪ ^ 5

-1,4 -0,7 -0,4 0,07(1 +1,95)2 0 0

0,07(1 + 1,9 5)

0,4

0 0 0 0 0

-1,5 -1,4

-0,7 -0,7

0 -0,4

0 0

0 0

0 0

Я

-3x3

V 0x3

V 3x3 У

Первое преобразование Ь1 матрицы (Б1 (5), Ы1 (5)) состоит в перестановке 1-й и 4-й, 2-й и 5-й, 3-й и 6-й строк. Второе преобразование Ь2 - 1-ю строку, умноженную на (1 +1,95)2 /1,5, прибавляем к 4-й, 2-ю строку, умноженную на (1 + 2,9з)2 /0,7, - к п5-й и 3-ю строку, умноженную на (1 + 3,75)2 /0,4, к 6-й и т.д. Матрица Я1 (5) - унимодальная,

следовательно, матрицы Д (5) и (5) взаимно простые слева [33, 39]. Выпишем матрицы Ь1 - -4:

А =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

А =

С 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

(1 +1,9 5)2 0 0 1 0 0

1,5

0 (1 + 2,9 5)2 0 0 1 0

0,7

0 0 (1 + 3,7 5)2 0 0 1

V 0,4

С1 0 0 0 0 01

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

-3 — 0 -(1 +1,9 5)2 0,7 0 1 0 0

0 0 -(1 + 2,9 5)2 0,4 0 1 0

V 0 0 0 0 0 1,

Найдем произведение этих матриц:

и

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0,07(1 +1,9 5)2 1 0 0

0,4

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

— — -—3 —2 —1 —

С 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 2,4152 + 2,535 + 0,67 -5,1652 - 5,435 -1,43 0,63252 + 0,6655 + 0,175

0 1 0 0 1252 + 8,295 +1,43 -2152 -14,55 - 2,5

V 0 0 1 0 0 34,252 +18,55 + 2,5 ,

Откуда -

С7/ - N1

V ^ ^ J

. Тогда

N

М 0 0Л 0 -10

V 0 0 -Ъ

' 2,4152 + 2,535 + 0,67

Б (5)

0

-5,1652 - 5,435 -1,43 1252 + 8,295 +1,43

0 0

0,63252 + 0,6655 + 0,175

-2152 -14,55 -2,5 34,252 +18,55 + 2,5

Получили правое полиномиальное матричное взаимно простое (матрица Я: (5) -унимодальная) описание температурных режимов в колонне синтеза аммиака, которое используется в разделе 3.6 для вычисления параметров трехканального регулятора.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Оценка параметров перевернутого маятника по углу отклонения при подаче периодического сигнала типа меандра (к разделу 4.2)

Рассмотрим задачу активной идентификации параметров объекта (4.3) при подачи на вход системы периодического сигнала типа меандра [122]. В технических системах в некоторых случаях проще подавать сигнал типа меандра (знакопеременный сигнал, принимающий значения ±c, где с = const), который проще подать и удобно формировать из гармонического сигнала, например, используя поляризованное реле или функцию sign(sin(ra t)). Параметры регулятора в работе [15] рассчитаны полиномиальным

методом.

Псевдогодографы Найквиста при вариации параметров объекта. Пусть параметры объекта могут меняться относительно базовых значений в пределах be [4; 6] и ke [0,8; 1,4]. Далее на вход системы подаем сигнал - меандр и исследуем зависимость значения амплитуды и фазы выходного сигнала от частоты меандра. Эту зависимость назовем псевдогодографом Найквиста26. Для значения параметров объекта k = [0,7 + 1,4], b = 5 и ю = 2 + строим псевдогодографы Найквиста (рисунок Д. 1).

к=1.4 к=1.2 к=1

лШ' \ кг- =0.9 к=0,8

______ .....\ (V......... _.............i к=077

X Yk.........................................' -.^i-VX /.....

_________1..

\ \ ы=2;5

2-10 1 Re 2 4

Рисунок Д.1 - Псевдогодографы Найквиста для замкнутой системы

В рисунке Д.1 для того, чтобы линии были гладкие, а не ломаные, надо провести много измерений при малых интервалах частоты. Если изучить семейства приведенных

26Бобобеков К.М. Псевдогодограф Найквиста / К. М. Бобобеков // Сб. науч. трудов НГТУ. - 2016. - № 2(84). - С. 49-57.

на рисунке Д.1 псевдогодографов Найквиста, то можно убедиться, что на частотах в окрестности ю —2,5 рад/с линии разойдутся, а в окресности ю —10 рад/с эти линии склеиваются при вариации параметра Ь. Причем в окресностях этих частот можно получить более подробную информацию по к и Ь, поэтому выбираем частоты входного воздействия равными ю — 2,5 и ю —10 рад/с.

Построение номограмм. Для построения номограмм на вход системы подается сигнал типа меандра с единичной амплитудой и частотой ю1. На выходе системы измеряем амплитуду выходного сигнала в установившемся режиме (рисунок Д.2,а) и строим первую номограмму зависимости коэффициента усиления от амплитуды. Для построения второй номограммы на вход системы также подается сигнал типа меандра с единичной амплитудой и частотой ю2. На выходе системы измеряются значения

выходного сигнала при / — 5,85 с (рисунок Д.2,б). Используем значения этого выходного сигнала совместно с ранее определенным коэффициентом усиления и строим вторую номограмму зависимости амплитуды от коэффициента усиления и инерционности. Значения частот ю1 и ю2 и моменты измерения выбраны в результате анализа псевдогодографов Найквиста. При необходимости уменьшения ошибок измерений следует производить несколько измерений и усреднить [122].

а) б)

Рисунок Д.2 - Переходные процессы в системе при подаче периодического сигнала типа меандра: а - ю —10 рад/с; б - ю — 2,5 рад/с

По результатам измерения значений амплитуды выходного сигнала в установившемся режиме при подаче на систему сигнала типа меандра частотой 10 рад/с (рисунок Д.2,а) строится номограмма амплитуды А от коэффициента усиления к (рисунок Д.3,а). Аналогично при подаче на систему сигнала с частотой 2,5 рад/с (рисунок Д.2,б) строится номограмма зависимости значения выходного сигнала А в фикси-

рованный момент времени от коэффициента усиления к и инерционности Ь (рисунок Д.3,б) [122].

Рисунок Д.3 - Зависимость амплитуды А: а - от коэффициента усиления к при ю = 10 рад / с; б - от коэффициента усиления к и инерционности Ь при ю =2,5 рад/с

Продемонстрируем процедуру определения параметров объекта при значениях к = 0,9, Ь = 5 в предположении, что эти значения нам не известны. На вход системы подаем сигнал типа меандра с частотой ю = 10 рад/с и единичной амплитудой, а на выходе системы измеряем амплитуду выходного сигнала: в данном случае А = 0,85, что позволяет определить коэффициент усиления объекта к = 0,9 по номограмме (рисунок Д.3,а, показано стрелкой). Для определения инерционности объекта (Ь) используем номограмму на рисунке Д.3,б. На вход системы подаем сигнал типа меандр с частотой ю = 2,5 рад/с и на выходе системы при / = 5,85 с измеряем значение выходного сигнала, которое оказалось равным А = 3,36. По значениям А = 3,36 и к = 0,9 из рисунка Д.3,б определяем инерционность Ь = 5,75. Таким образом, определены параметры неустойчивого объекта, представляющего собой перевернутый маятник, снабженный системой управления.

ПРИЛОЖЕНИЕ Е.

Результаты измерений параметров выходного сигнала перевернутого маятника для построения специальных номограмм

Для построения специальных номограмм зависимости значений выходного сигнала в фиксированные моменты времени от коэффициента усиления к и инерционности Ь (в разделе 4.2) используются таблицы Е.1 и Е.2. Вычисленные значения координат точек Яв и 1т, а также амплитуды выходного сигнала А по результатам измерений для ю = 2,5 рад/с приведены в таблице Е.1, а усредненные координаты точек Яв и 1т и значения амплитуды выходного сигнала А для ю = 10 рад/с - таблице Е.2.

В разделе 4.3 в результате обработки переходных процессов в системе получено 100 наборов из шести чисел (а, Ь, к, А1, А2, А3). По результатам измерений в пространстве

(А1, А2, А3) построен деформированный «параллелепипед» (рисунок 4.15); часть результатов приведены в таблицах Е.3 и Е.4. Однако ввиду трехмерности графиков технически использовать это свойства (связь) затруднительно, и для определения параметров объекта (а, Ь, к) выполнен «разрез» образ трехмерного параллелепипеда (рисунок 4.15) на

Таблица Е.1 - Координаты точек для частоты ю = 2,5 рад/с

№ точки к Ь Яв 1т Амплитуда, А

1 0,8 2,82 -2,23 3,6

2 1 6 2,33 -0,85 2,48

3 1,2 1,97 -0,47 2,02

4 1,4 1,75 -0,31 1,78

5 0,8 2,72 -1,83 3,28

6 1 5.5 2,24 -0,74 2,36

7 1,2 1,91 -0,42 1,96

8 1,4 1,7 -0,27 1,72

9 0,8 2,7 -1,5 3,09

10 1 5 2,15 -0,64 2,24

11 1,2 1,84 -0,37 1,88

12 1,4 1,65 -0,25 1,67

13 0,8 2,59 -1,24 2,87

14 1 4.5 2,06 -0,55 2,13

15 1,2 1,78 -0,33 1,81

16 1,4 1,61 -0,23 1,63

17 0,8 2,46 -1,02 2,66

18 1 4 1,98 -0,48 2,04

19 1,2 1,72 -0,29 1,74

20 1,4 1,57 -0,21 1,58

Таблица Е.2 - Координаты точек для частоты ю = 10 рад/с

№ точки к Ь Яв 1т Амплитуда,А

1 0,8 6 -0,5 -0,21 0,545

17 0,8 4 -0,52 -0,23 0,57

Усред-й 0,8 5 -0,51 -0,22 0,56

2 1 6 -0,7 -0,36 0,79

18 1 4 -0,7 -0,36 0,79

Усред-й 1 5 -0,7 -0,36 0м79

3 1,2 6 -0,93 -0,54 1,08

19 1,2 4 -0,96 -0,58 1,12

Усред-й 1,2 5 -0,94 -0,56 1,1

4 1,4 6 -1,21 -0,92 1,52

20 1,4 4 -1,19 -0,86 1,47

Усред-й 1,4 5 -1,2 -0,89 1,5

слои по координате А3 (раздел 4.3). Точки, попавшие в один слой, относятся в одну таблицу, а в таблицах Е.3 и Е.4 приведены точки, попавшие в слои А3 = [-1; 0) и А3 е [1; 2), которые используются для построения специальных номограмм (раздел 4.3).

Таблица Е.3 - Значения А1,А2,А3 при вариации параметров объекта, А3 е [—1; 0)

к 8 9 10 11 12 А,

3 4 -0,25 -0,23 А,

0,11 0,08 А2

-0,81 -0,22 А3

4,5 -0,28 -0,265 А,

0,14 0,11 А2

-0,8 -0,17 А3