Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Панов, Александр Васильевич

• Панов, Александр Васильевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Панов, Александр Васильевич

Содержание

Введение

1 Методы группового анализа дифференциальных уравнений

2 Симметрийный анализ одномерного течения

двухфазной среды

2.1 Ядро основных алгебр системы уравнений динамики двухфазной среды

2.2 Оптимальные системы подалгебр

2.3 Инвариантные и частично инвариантные решения

3 Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды в трехмерном случае

3.1 Ядро основных алгебр Ли

3.2 Инвариантные подмодели ранга 3

3.3 Простые решения

3.4 Частично инвариантные решения

4 Приложения

4.1 Область гиперболичности системы уравнений

4.2 Мгновенные источники газа и частиц

5 Заключение 89 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды»

Введение

Актуальность темы исследования. В естественных и технических науках значительную роль играют процессы, в которых участвуют несколько различных фаз и компонент вещества. Компоненты могут быть в различных агрегатных состояниях, смешиваться как на молекулярном уровне, так и на макроуровне: когда размеры включении одной компоненты в другую значительно больше их молекулярных масштабов. Гетерогенными или многофазными называют среды, в которых смешивание компонент происходит на макроуровне, в случае же переметывания на молекулярном уровне смесь называют гомогенной.

Различные компоненты среды могут отличаться скоростями звука, теп-лоёмкостями, вязкостями и другими физическими характеристиками, в результате чего среда при внешних воздействиях приходит в неравновесное состояние, характеризующееся различием температур, скоростей и плотностей фаз. Данные различия основных характеристик порождают новые эффекты в динамике среды, не встречающиеся в однокомпонентной газовой динамике: фазовые переходы, процессы релаксации различных характеристик, смена типа системы и другое. Учет всех этих особенностей резко усложняет анализ математических моделей многокомпонентных сред.

Существуют различные виды гетерогенных смесей. Наибольший интерес исследователей вызывали и вызывают дисперсные смеси — это смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых называется дисперсной фазой, в ее роли выступают капли, пузырьки, твердые частицы, а вторая, окружающая, несущая среда, называется дисперсионной фазой. Распространенными примерами дисперсных сред служат суспензии, эмульсии, газовзвеси, пузырьковые смеси.

Модели гетерогенных сред описывают различные явления гидро- и газодинамики, теории фильтрации, ракетостроения, угле- и нефтедобычи, ядер-

ной и неядерной теплоэнергетики, металлургической и строительной промы-шелнности, астрофизики. К примеру, в установках переработки нефти и других типов сырья основную роль играют закономерности гетерогенных течений: использование неподвижного пористого слоя катализатора, через который протекает реагирующая газовая смесь. В теплоэнергетике одной из главных проблем является отвод большого количества тепла с теплоотдающих поверхностей. Самыми распространенными теплоносителями в этой области являются парожидкостные смеси. Разработка и улучшение различных типов двигателей требует исследования гетерогенного горения распыленного жидкого и твердого горючего, детонации и других явлений в двухфазных средах. С этими процессами связаны также проблемы неконтролируемой детонации газовзвесей в промышленности.

История использования математических моделей для описания различных неоднофазных систем восходит к работам Л.Д. Ландау и Е.М. Лиф-шица, И. Пригожина и П. Мазура (работы по гидродинамике жидкого гелия), Л.С. Лейбепзона (работы по механике жидкости в пористых средах), Я.И. Френкеля (работы, связанные с сейсмическими явлениями в грунтах), H.A. Слезкина (движение пульпы), Г.И. Баренблатта (движение взвешенных частиц в турбулизованном потоке), Ф.И. Фрапкля и С.Г. Телетова (получение гидродинамических уравнений двухфазной среды методами осреднения), С.С. Кутателадзе и М.А. Стыриковича (гидравлика газожидкостпых потоков). Среди зарубежных авторов, развиваших теорию многокомпонентных сред, можно назвать S. Chapman, Т. Cowling, S. Truesdell, R. Toupin(1956), G. Carrier (1958), P. Cayley, G. Cliegel, A. Green, P. Naglidi (1961), G. Batchelor, G. Muller (1966), L. Wijngaarden (1971).

Существует определенное количество моделей гетерогенных сред. Одной из первых феноменологических моделей взаимопроникающих движений сред стала система уравнений Х.А. Рахматулина [75]. При этом температура среды считалась неизменной. Данная математическая модель механики

гетерогенной среды была развита в работах Я.З. Клеймана [30], А.Н. Край-ко [39], Дж. Клигеля и Г. Никерсона [31], H.H. Яненко, Р.И. Солоухина, А.Н. Папырина, В.М. Фомина [7G], Р.И. Нигматулииа с соавторами [68], A.B. Федорова [84,89], В.Ф. Куропатенко [41] и других ученых. В данной модели рассматривается взаимопроникающее движение нескольких идеальных сжимаемых сред в условиях скоростной неравновеспости фаз.

Ранее предлагались более простые модели многокомпонентных сред, в которых скорости, температуры и давления компонент совпадают: Н. Darcy (1856), S. Buckley и М. Leverett (1942). Современные модели односкорост-ных гетерогенных сред можно найти в работах [110,128], а также в работах B.C. Сурова [78,79]. Модели многоскоростных гетерогенных сред представлены в работах зарубежных авторов [119,132,135]. В работах В.Ф. Куропатенко вводятся новые модели гетерогенных сред, учитывающие кластерное взаимодействие компонент среды [42-44]. В работах С.Ф. Урманчеева с соавторами исследуется роль межфазного взаимодействия в детонационных волнах [2,3,13]. Различные математические модели, а также их экспериментальное, численное и качественное исследование можно найти в книге A.B. Федорова с соавторами [89]. В работе А.Н. Крайко [38] представлены модели разного уровня, континуальная и континуально-дискретная, для описания нестационарной фильтрации жидкости и газа в пористых средах рассмотрена модель мгновенного насыщения.

Следует отметить существенный вклад Р.И. Нигматулина [55] и его многочисленных учеников и последователей (A.A. Губайдуллин, Д.А. Губай-дуллин, С.Ф. Урмаичеев и др.) в развитие теории и практики механики гетерогенных сред.

Разнообразие процессов, в которых участвуют многокомпонентные среды, математических моделей, описывающих данные явления, и большое количество авторов, занимавшихся и занимающихся исследованием данных моделей, свидетельствует об актуальности тематики диссертационной работы.

Степень разработанности темы. Система уравнений Х.А. Рахма-тулина [75] взаимопроникающего движения сжимаемых сред включает уравнения массы и импульса каждой из фаз. Давление полагается общим для всех компонент и описывается баротроиным уравнением состояния. Также в работе [75] предложена схема силового взаимодействия фаз и рассмотрены одномерные нестационарные течения с плоскими волнами. Я.З. Клейман [30] провел исследование и классификацию сильных разрывов данной модели. Дж. Клигель и Г. Никерсон вывели уравнения характеристик стационарного осесимметричного течения, рассмотрев модель, не учитывающую объем, занимаемый частицами.

А.Н. Крайко и Л.Е. Стернин [40] обобщили систему уравнений Х.А. Рах-матулипа, добавив уравнения энергии смеси и частиц для случая нереагиру-ющей смеси газа с несжимаемыми частицами и не используя предположение о баротропности среды. Авторы рассмотрели также одномерные нестационарные и двумерные стационарные течения. В работах [34,35] А.Н. Крайко осуществлен анализ допускаемых моделью Х.А. Рахматулина поверхностей разрыва, рассмотрен начальный этап распада произвольного разрыва. В работе [36] автором исследуется корректность задачи Коши системы уравнений течения смеси газа и частиц: анализ проводится для моделей, как учитывающих объем, занимаемый частицами, так и не учитывающих объем частиц, предлагаются функциональные пространства, в которых задача является корректной.

Р.И. Нигматулиным в [53] предложена система уравнений гидромеханики двухфазной дисперсной смеси, в которой могут происходить фазовые переходы. В работе [54] данная система обобщена на случай полидисперсной смеси. В работе Б.И. Нигматулина [52] модель обобщается на случай дисперсно-кольцевого режима течения газожидкостной смеси. В работе [68] исследуется корректность задачи Коши для системы уравнений, описывающей течение смеси баротропного газа с несжимаемыми частицами, отме-

чается неустойчивость малых возмущений решений, а также причины возникновения неустойчивости. В этой же работе изучено влияние внутренного давления включений на устойчивость течения.

В книге С.П. Баутина [5] исследуются характеристики модели многокомпонентной среды в случае однородного равновесного покоя.

В монографии [76] описаны общие принципы математического моделирования потоков газовзвеси. Рассмотрены модели Х.А. Рахматулина и В.В. Струминского. Выведены условия, при которых обе математические модели сближаются. Проведен анализ систем, показаны трудности в постановке и решении краевых задач, исследованы типы ударных волн, изучено качественное поведение решений уравнений, описывающих двухфазные течения в сверхзвуковых соплах, рассмотрены некоторые аспекты численного моделирования систем. В книге приведены также результаты экспериментальных исследований, на основе которых рассмотрены вопросы, касающиеся эффектов скоростного отставания дискретных частиц и влияния концентрации дисперсной фазы на параметры потока, сопротивления частиц для различных значений чисел Рейнольдса и Маха, динамики перехода двухфазного потока через ударную волну. Сравнение экспериментальных данных с результатами численного моделирования позволило авторам проанализировать особенности математических моделей и оцепить границы их применимости.

Теоретическое исследование распространения и подавления детонационной волны в газах с химически инертными частицами на основе физико-математической модели детонации реагирующего газа и инертных частиц в двухскоростной двухтемпературной смеси при условии мгновенного тепловыделения за фронтом детонационной волны были проведены в [6].

Влияние диаметра и концентрации частиц на скорость, структуру и устойчивость волны детонации и другие параметры смеси было численно проанализировано в работе [131] на примере одномерного и двумерного нестационарного течения в смеси реагирующих газов и твердых частиц.

Структура изотермической ударной волны описана в работе [24]. В работах [25-27] решена задача о структуре детонационной волны в рамках механики двухскоростной двухтемпературной гетерогенной среды, когда газовая смесь реагирует в соответствии с аррениусовской кинетикой, а частицы являются инертными. Результаты численного моделирования взаимодействия ударных волн и волн гетерогенной детонации приведены в работе [85]. Большое количество различных исследований процесса детонации в газовзвесях можно найти в работах [84,86-89].

Как видно, проблемы механики гетерогенных сред вызывают значительный интерес исследователей. В тоже время проблеме построения точных решений даже для уравнений механики изотермической гетерогенной среды уделяется недостаточное внимание. В данной работе в некоторой мере восполнено это упущение.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является:

• исследование групповых свойств системы уравнений X. А. Рахматулли-на, описывающей динамику взаимопроникающего движения сжимаемых идеальных сред;

• поиск и классификация точных решений данной системы уравнений;

• качественный анализ системы уравнений и её решений, опирающийся на использование симметрийных свойств исследуемых объектов.

Для достижения цели решены следующие задачи:

• найдено ядро основных алгебр Ли рассматриваемой системы уравнений газовзвеси в случае одной пространственной переменной;

• в одномерном случае вычислена оптимальная система подалгебр ядра основных алгебр Ли системы;

• получены инвариантные и частично инвариантные решения, а также выписаны все инвариантные подмодели системы уравнений динамики двухфазной среды в одномерном случае;

• найдено ядро основных алгебр Ли системы уравнений динамики газовзвеси в случае трех пространственных переменных;

• выписаны инвариантные подмодели ранга три, перечислены все инвариантные решения ранга нуль, найдены инвариантные и частично инвариантные ранга 1, дефекта 1 решения системы уравнений в трехмерном случае;

• исследованы качественные особенности движения газа и частиц: некоторые из найденных решений описывают мгновенный источник или коллапс газа и частиц;

• изучена структура области гиперболичности системы уравнений на семействе решений.

Научная новизна. В работе исследуются симметрийные свойства системы уравнений в частных производных, описывающей динамику изотермического движения двух сжимаемых сред с общим давлением.

Понятие симметрии является одним из фундаментальных понятий современной науки. Широко известна важная роль симметрийного анализа в исследованиях по квантовой физике, кристаллографии, специальной теории относительности, механике сплошной среды, в других областях науки. В ньютоновской механике симметричность уравнений относительно сдвигов по времени соответствует закону сохранения энергии, относительно сдвигов в пространстве — закону сохранения импульса, относительно вращений — закону сохранения момента импульса. Согласно теореме Э. Нетер каждая непрерывная симметрия дает некоторый закон сохранения. В квантовой механике представления группы 5£/(3) сыграли важную роль в открытии кварков.

Уравнения Дирака выводятся из свойств симметричности относительно группы Лоренца. Уравнения Янга-Мпллса можно получить, опираясь на неабеле-вы калибровочные симметрии. Существует мнение, что как раз высокая степень симметричности основных уравнений математической физики выделяет их из других дифференциальных уравнений: природа любит симметрию.

Хорошо изучены групповые свойства различных уравнений газовой и гидродинамики [56,07], уравнений теории упругости и пластичности [1], уравнений квантовой механики [21,90] и т. д. Успешно развиваются методы сим-метрийного анализа интегро-дифференциальных, стохастических уравнений [134], уравнений с дробными производными [7,8]. При всем разнообразии приложений методов группового анализа и несмотря на ценность знания симметрии природных явлений исследования групповых свойств систем уравнений динамики двухфазной среды не проводились, по крайней мере сколь либо систематично. Выполненная работа имеет целыо начать заполнение пробела в данной области знаний.

Отсутствие исследований свойств симметрии уравнений динамики двухфазной среды вызвано как сложностью самих процессов, протекающих в многокомпонентных смесях, о чем сказано выше, так и техническими трудностями, вызванными существенным увеличением числа неизвестных функций и уравнений по сравнению с системами уравнений газовой динамики. Рост числа неизвестных функций усложняет в разы даже такую рутинную работу, как поиск ядра основных алгебр Ли системы, так как размерность основного пространства, выражения для операторов полного дифференцирования и число независимых переменных в коэффициентах оператора симметрии значительно увеличиваются.

Важно заметить, что несмотря на большое количество работ, касающихся системы уравнений Х.А. Рахматулина, точных решений данной системы, по-видимому, не приводилось. Исследования проводились либо численными методами, либо с использованием приближенных моделей, частных

случаев. Точные решения описывают наиболее простые закономерности, заложенные в системе уравнений, которые не всегда удается обнаружить численным моделированием. Знание решений системы необходимо и для апробации численных методов, и для построения новых приближенных моделей, и для качественного анализа фундаментальных принципов, заложенных в данной модели.

В статье [33] проверяется на инвариантность относительно галилеевых преобразований система уравнений динамики «замороженной» газовзвеси. Однако данная работа направлена скорее на корректировку уравнений, чем па исследование их свойств симметрии, поэтому рассмотрена инвариантность системы только относительно галилеевых сдвигов. К тому же система уравнений динамики «замороженной» газовзвеси имеет упрощения: несжимаемость и покой дисперсной фазы.

Результаты данной диссертационной работы, таким образом, дают новые знания о симметриях системы уравнений Х.А. Рахматулина, что позволяет построить классификацию инвариантных и частично инвариантных решений, подмоделей, дающих естественные упрощения системы. С помощью найденных операторов симметрии найдены новые точные решения системы, исследованы явления ими описываемые.

Теоретическая и практическая значимость работы. Роль симметрии при исследовании различных уравнений математической физики, о важности которой сказано выше, свидетельствует о теоретической значимости работы. Само знание симметрий системы зачастую приводит к лучшему пониманию процессов природы, описываемых данными уравнениями.

В диссертационной работе найдено ядро основных алгебр Ли системы, построена оптимальная система подалгебр данного ядра в случае одномерного течения газовзвеси. Каждую подалгебру алгебры Ли симметрий можно использовать для редукции системы к подмодели, которая описывает частные типы движений среды: осесимметричные, плоскопараллельные,

установившиеся, сдвиговые и др. [67]. Эти подмодели могут быть в дальнейшем рассмотрены как самостоятельные системы, причем их исследование значительно упрощается. Так на различных подалгебрах получаются инвариантные, частично инвариантные и дифференциально инвариантные подмодели [50,58].

Необходимо подчеркнуть, что данные упрощения являются точными, т. е. полученные подмодели описывают течения исходной системы, их решения являются точными решениями исходной системы. Анализ данных подмоделей есть, таким образом, анализ некоторой части исходной системы. С теоретической точки зрения гораздо проще исследовать части, чем целое, эта идея и реализуется с помощью подалгебр основной алгебры Ли. На этом пути возникает проблема: разные подалгебры могут давать одинаковые подмодели. Решение заключается в построении оптимальной системы подалгебр, данная система состоит из представителей классов эквивалентных подалгебр, на которые разбивается множество всех подалгебр данной алгебры Ли по отношению эквивалентности, заданному присоединенным действием группы Ли на своей алгебре [57,66]. Знание оптимальной системы подалгебр дает все неподобные друг другу подмодели, т. е. все возможные неподобные упрощения, основанные на свойствах симметрии системы.

Теоретическая ценность работы заключается еще и в том, что найденные группы симметрий и точные решения могут быть использованы для вывода и обоснования корректности приближенных моделей уравнений динамики двухфазной среды, как это осуществлялось в газовой динамике [14,67].

Точные решения уравнений в частных производных представляют большую ценность и для понимания качественных особенностей протекающих физических процессов, описываемых системой, и для апробации численных методов, и для постановки эксперимента. Знание точных решений играет ключевую роль при формулировке и решении задачи Коши, задачи о распаде разрыва, при поиске характеристик системы, определении скорости звука,

определении типа системы [5,67].

Важным классом точных решений являются инвариантные относительно группы решения. К примеру, много точных решений различных уравнений было найдено на основе теории размерностей [77], такие решения являются инвариантными решениями относительно групп растяжений. Также инвариантные решения эффективно используются при описании асимптотического поведения более широких классов решений уравнений в частных производных [4].

Различные известные решения уравнений математической физики получены как инвариантные относительно некоторой группы решения: «одно-солитонные» решения уравнения Кортевега-де Фриза, решение типа бегущей волны, автомодельные решения, фундаментальные решения уравнений Лапласа и теплопроводности. Многие точные решения уравнений Эйнштейна найдены из предположения инвариантности данных решений относительно некоторой группы [21,22,69,70].

Инвариантные относительно различных групп симметрий решения уравнений газовой динамики, описание различных явлений в газе и решение задач динамики сплошной среды с использованием найденных решений представлены в работах школы Л.В. Овсянникова [10,60,63,65,92-94,98,106]. Обобщениями инвариантного решения, введенными в рассмотрение Л.В. Овсянниковым, являются частично инвариантные и дифференциально инвариантные решения. Известные решения типа бегущей волны [109] являются частным случаем частично инвариантных решений. Примеры частично инвариантных решений и их приложений можно найти в работах [48,50,61,72,107].

В данной диссертационной работе найдены различные точные решения, среди которых есть инвариантные и частично инвариантные решения. Получить данные решения удалось, опираясь на свойства симметрий системы, образующих ее ядро основных алгебр Ли, впервые найденное в данной работе. Ядро основных алгебр Ли оказалось алгеброй Ли группы Галилея. В

трехмерном случае оптимальная система подалгебр для данной алгебры была найдена в работах [95,130], результаты которых, таким образом, послужили основой для дальнейшего исследования системы Х.А. Рахматулипа групповыми методами: вывод подмоделей, поиск инвариантных и частично инвариантных решений. В одномерном случае оптимальная система подалгебр найдена в диссертационной работе, все частично инвариантные решения редуцировались к инвариантным. В работе впервые описано с помощью полученных решений явление коллапса или источника для смеси двух фаз, изучавшееся в однофазной газовой динамике различными авторами [37,46,65,77,97,107].

Найденные точные решения были использованы при апробации численных методов расчета задачи Копш двухфазного течения. Одной из особенностей системы уравнений двухфазных течений Х.А. Рахматулипа является ее негиперболичность, точнее смена типа системы с гиперболического на составной, и возникающая в связи с этим неустойчивость течений [68,89]. Область гиперболичности нелинейной системы зависит, как известно, от решения. При исследовании корректности задачи Копш оказывается существенным знание размеров области гиперболичности, так как при переходе из области гиперболичности в область составного типа необходимо ставить новую краевую задачу [36]. С помощью найденных решений и программы численного счета решений системы уравнений двухфазных течений A.B. Федорова и Д.А. Тро-пииа исследована зависимость размеров области гиперболичности па семействе решений системы от начального проскальзывания фаз на примере смеси песка и воз/iyxa. Установлена возможность корректировки размера области за счет симметрии системы уравнений относительно трансляций по времени.

Методология и методы исследования. Исследования были проведены с использованием методов группового анализа дифференциальных уравнений, разработанных С. Ли, Л.В. Овсянниковым и его учениками. На протяжении последних двадцати лет школой академика Л.В. Овсянникова осуществлялась программа «Подмодели» для уравнений газовой динами-

ки [58,66]. Предложенная программа имела своей основной целью как можно более полное использование свойств симметрии системы для ее качественного анализа. Основными задачами данной программы являются: групповая классификация, поиск основной алгебры Ли симметрий, нахождение оптимальной системы подалгебр алгебры Ли, построение подмоделей, поиск инвариантных и частично инвариантных решений, их качественный анализ. Реализация поставленной программы имеет как глубокие классификационные результаты [9,47,49,58,62,64,96,99,102], так и результаты, касающиеся понимания качественных особенностей различных движений газа [10,48,59,60,91,105,106].

Применением и развитием методов теории групп Ли в уравнениях математической физики посвящено большое количество работ различных авторов. В области динамики сплошной среды: дифференциально инвариантные подмодели, законы сохранения, построение и анализ точных решений рассматривались в работах C.B. Хабирова и Ю.А. Чиркунова [100,105], A.A. Че-ревко и А.П. Чупахина [103], A.A. Талышева [80,81], C.B. Головина [11,12], A.A. Чеснокова [104]. Исследование различных уравнений математической физики, теория групп Ли-Беклунда, построение законов сохранения и многие другие вопросы исследования дифференциальных уравнений методами группового анализа рассмотрены в работах Н.Х. Ибрагимова [21-23]. Использование двойственного подхода — поиска симметрий уравнений через дифференциальные формы — можно найти в работах H.H. Яиенко, A.A. Талышева, C.B. Мелешко [74,82,127]. Групповой анализ интегро-дифференциальиых, стохастических уравнений, уравнений с запаздыванием развивается в работах Ю.Н. Григорьева, Н.Х. Ибрагимова, В.Ф. Ковалева, C.B. Мелешко и соавторов [51, 121, 134]. Симметрии уравнений с дробными производными исследуются в работах Р.К. Газизова, A.A. Касаткина, С.Ю. Лукащу-ка [7,8]. Групповому анализу конечно-разностных уравнений посвящены работы В.А. Дородницына [122]. Решение краевых задач с использованием ре-нормгрупповых симметрий осуществлялось в работах В.Ф. Ковалева [32,124].

В работах A.B. Жибсра, И.Т. Хабибуллина и соавторов исследуются вопросы интегрируемости нелинейных уравнений методом характеристических колец Ли [15-17,101]. Применение дискретных и нелокальных симметрий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти в работах В.Ф. Зайцева [18,19]. Необходимо отметить также развитие методов теории групп Ли и глубокие результаты в гамильтоновой механике, дифференциальной геометрии и общей теории нелинейных уравнений в частных производных, полученные школами В.И. Арнольда, С.П. Новикова, А.Т. Фоменко, A.AI. Виноградова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панов, Александр Васильевич, 2015 год

Список литературы

[1] Аннин, Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И. Сенатов. — Новосибирск: Наука, 1985. — 143 с.

[2] Балапанов, Д.М. Роль межфазных взаимодействий при газовой детонации в инертной пористой среде / Д.М. Балапанов, С.Ф. Урманчеев // Письма в Журн. тех. физики. — 2010. — Т. 36, Вып. 13. — С. 71-80.

[3] Балапанов, Д.М. Структурные и энергетические свойства детонационных волн в газонасыщенной пористой среде / Д.М. Балапанов, С.Ф. Урманчеев // Проблемы и достижения прикладной математики и механики: к 70-летию академика В.М. Фомина: сб. науч. тр. — Новосибирск: Параллель, 2010. - С. 17-24.

[4] Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточные асимптотики / Г.И. Баренбалтт. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. — 257 с.

[5] Баутин, С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике / С.П. Баутин. — Новосибирск: Наука, 2009. — 368 с.

[6] Влияние твердых инертных частиц на детонацию горючей газовой смеси / A.A. Борисов, Б.Е. Гельфанд, С.А. Губин, С.М. Когарко // Физика горения и взрыва. — 1975. — № 6. — С. 909-914.

[7] Газизов, Р.К. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка / Р.К. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук // Вестник УГАТУ. - 2007. - Т. 9. - С. 125-135.

[8] Газизов, Р.К. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии / Р.К. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук // Уфимский мат. журн. - 2012. - Т. 4, № 4. - С. 54-68.

[9] Головин, C.B. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае иолитропно-го газа / C.B. Головин. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН,

1996.

[10] Головин, C.B. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики / C.B. Головин // Прикл. механика и техническая физика. —

1997. - Т. 38, № 1. - С. 3-10.

[11] Головин, C.B. Плоский вихрь Овсянникова: свойства описываемого движения и точные решения / C.B. Головин // Прикл. механика и техническая физика. - 2008. - Т. 49, № 6 (292). - С. 934-945.

[12] Головин, C.B. Естественная система координат и точные решения для уравнений идеальной магнитной гидродинамики / C.B. Головин // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 3-4. — С. 722-724.

[13] Губайдуллин, A.A. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном / A.A. Губайдуллин, Д.Н. Дудко, С.Ф. Ур-манчеев // Физика горения и взрыва. — 2000. — Т. 36, № 4. — С. 87-96.

[14] Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерелей. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 419 с.

[15] Желтухина, H.A. Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки / H.A. Желтухина, А.У. Сакиева, И.Т. Ха-бибуллин // Уфимский мат. журн. — 2010. — Т. 2, № 4. — С. 39-51.

[16] Жибер, A.B. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений / A.B. Жибер, О.С. Костригина // Журн. Сиб. федер. ун-та. Серия: Математика и физика. — 2010. — Т. 3, № 2. — С. 173-184.

[17] Жибер, A.B. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка / A.B. Жибер, О.С. Костригина // Уфимский мат. журн. — 2011. — Т. 3, № 3. — С. 6779.

[18] Зайцев, В.Ф. Фундаментальные нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев, A.C. Ложкин // Вестник Санкт-Петербургского ун-та. Серия 10: Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 1. — С. 63-67.

[19] Зайцев, В.Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев, A.B. Флегон-тов. — Ленинград: Ленинградский ин-т информатики и автоматизации, 1991. - 240 с.

[20] Золотарев, П.П. Термодинамический анализ нестационарных процессов в насыщенных жидкостью и газом деформируемых пористых средах / П.П. Золотарев, В.Н. Николаевский. — Теория и практика добычи нефти. - М.: Недра, 1966. - С. 49-61.

[21] Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

[22] Ибрагимов, Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования / Н.Х. Ибрагимов. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2007. — 421 с.

[23] Ибрагимов, Н.Х. Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и построение решений уравнений в частных производных с помощью законов сохранения / Н.Х. Ибрагимов, Е.Д. Авдонина // Успехи мат. наук. - 2013. - Т. 68, вып. 5. - С. 111-146.

[24] Казаков, Ю.В. Стуктура изотермических ударных волн в газовзвесях / Ю.В. Казаков, A.B. Федоров, В.М. Фомин. — Проблемы теории фильтрации и механика повышения нефтеотдачи. —М.: Наука, 1987. — С. 108-115.

[25] Казаков, Ю.В. Детонационная динамика газовзвесей /Ю.В. Казаков, A.B. Федоров, В.М. Фомин. - Новосибирск: НТПМ СО АН СССР, 1987. - 47 с.

[26] Казаков, Ю.В. Режимы нормальной детонации в релаксирующих средах / Ю.В. Казаков, A.B. Федоров, В.М. Фомин // Физика горения и взрыва. — 1989. — № 1. — С. 119-127.

[27] Казаков, Ю.В. Расчет детонации газовой смеси при наличии инертных твердых частиц / Ю.В. Казаков, Ю.В. Миронов, A.B. Федоров // Моделирование в механике. — 1991. — Т. 5, № 3. — С. 152-162.

[28] Картан, Э. Интегральные инварианты / Э. Картан. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1940. - 216 с.

[29] Картан, Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера / Э. Картан. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. — 364 с.

[30] Клейман, Я.З. О распространении сильных разрывов в многокомпонентной среде / Я.З. Клейман // Прикл. математика и механика. — 1958. - Т. 22, № 2. - С. 197-205.

[31] Клигель, Дж. Течение смеси газа и твердых частиц в осесимметричном сопле / Дж. Клигель, Г. Никерсон. — Детонация и двухфазное течение. - М.: Мир, 1966,- С. 183-201.

[32] Ковалев, В.Ф. Ренормгрупповые симметрии для решений нелинейных краевых задач / В.Ф. Ковалев, Д.В. Ширков // Успехи физ. паук. — 2008. - Т. 178, № 8. - С. 849-865.

[33] Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразований Галилея некоторых математических моделей многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник Южно-Уральск. гос. унта. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — 2012. — N5 27. — С. 69-73.

[34] Крайко, А.Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной «собственного» давления / А.Н. Крайко // Прикл. математика и механика. — 1979. - Т. 43, № 3. - С. 500-510.

[35] Крайко, А.Н. К двухжидкостной модели течений газа и диспергированных в нем частиц / А.Н. Крайко // Прикл. математика и механика. — 1982. - Т. 46, № 1. - С. 96-106.

[36] Крайко, А.Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течния смеси газа с частицами / А.Н. Крайко // Прикл. математика и механика. — 1982. — Т. 46, № 3. — С. 420-428.

[37] Крайко, А.Н. О неограниченной кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа / А.Н. Крайко // Прикл. математика и механика. - 1996. - Т. 60, № 6. - С. 1000-1007.

[38] Крайко, А.Н. Математические модели для описания течений газа и инородных частиц и нестационарной фильтрации жидкости и газа в пористых средах / А.Н. Крайко // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — 2014. — Т. 7, № 1. — С. 3448.

[39] Крайко, А.H. Газовая динамика. Избранное. Т. 2 / А.Н. Крайко, А.Б. Ва-тажин, А.Н. Секундов. — М.: Физматлит, 2005. — 752 с.

[40] Крайко, А.Н. К теории течений двускоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами / А.Н. Крайко, JI.E. Стернин // Прикл. математика и механика. — 1965. — Т. 29, № 3. — С. 418-429.

[41] Куропатенко, В.Ф. Неустановившиеся течения многокомпонентных сред / В.Ф. Куропатенко // Мат. моделирование. — 1989. — Т. 1, № 2. — С. 118-136.

[42] Куропатенко, В.Ф. Модель многокомпонентной среды / В.Ф. Куропатенко // Докл. Акад. наук. - 2005. - Т. 403, № 6. - С. 761-763.

[43] Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно-физический журн. — 2011. — Т. 84, № 1. — С. 74-92.

[44] Куропатенко, В.Ф. Модель многокомпонентной среды с кластерным взаимодействием / В.Ф. Куропатенко // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 3-4. - С. 910-911.

[45] Лагно, В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В.И. Лагно, C.B. Сничак, В.И. Стогний. — М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004. — 392 с.

[46] Макаревич, Е.В. Коллапс или мгновенный источник газа на прямой / Е.В. Макаревич // Уфимский мат. журн. — 2012. — Т. 4, № 4. — С. 119— 129.

[47] Мелешко, C.B. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа / C.B. Мелешко // Прикл. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. - С. 56-62.

[48] Мелешко, C.B. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа / C.B. Мелешко // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 10. - С. 1825-1827.

[49] Мелешко, C.B. Групповая классификация уравнений движений газа в постоянном поле сил / C.B. Мелешко // Прикл. механика и тех. физика. - 1996. - Т. 37, № 1. - С. 42-47.

[50] Мелешко, C.B. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса /C.B. Мелешко, В.В. Пухначев // Прикл. механика и тех. физика. - 1999. - Т. 40, № 2. - С. 24-33.

[51] Мелешко, C.B. Применение методов группового анализа при исследовании стохастических уравнений гидрогазодинамики / C.B. Мелешко, О. Самрум, Э. Шульц // Прикл. механика и тех. физика. — 2013. — Т. 54, № 1. - С. 25-39.

[52] Нигматулин, Б.И. К гидродинамике двухфазного потока в дисперсно-кольцевом режиме течения / Б.И. Нигматулин // Прикл. механика и тех. физика. - 1971. - Т. 12, № 6. - С. 141-153.

[53] Нигматулин, Р.И. Уравнение гидродинамики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений / Р.И. Нигматулин // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1967. — № 5. — С. 33.

[54] Нигматулин, Р.И. О некоторых проблемах гидродинамики двухфазных полидисперсных систем / Р.И. Нигматулин // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1968. — № 3.

[55] Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1, 2 / Р.И. Нигматулин. — М.: Наука, 1987. — 2 т.

[56] Овсянников, JI.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. - М.: Наука, 1978. — 399 с.

[57] Овсянников, Л.В. Об оптимальных системах подалгебр / Л.В. Овсянников // Докл. Акад. наук. - 1993. - Т. 333, № 6. - С. 702-704.

[58] Овсянников, Л.В. Программа «Подмодели». Газовая динамика / Л.В. Овсянников // Прикл. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 29-55.

[59] Овсянников, Л.В. Изобарические движения газа / Л.В. Овсянников // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30, № 10. - С. 1792-1799.

[60] Овсянников, Л.В. Особый вихрь / Л.В. Овсянников // Прикл. механика и тех. физика. - 1995. - Т. 36, № 3. - С. 45-52.

[61] Овсянников, Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения / Л.В. Овсянников // Докл. Акад. наук. — 1995. — Т. 343, № 2. - С. 156-159.

[62] Овсянников, Л.В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики / Л.В. Овсянников. — Препринт № 3-97. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1997. — 41 с.

[63] Овсянников, Л.В. Плоские течения газа с замкнутыми линиями тока / Л.В. Овсянников // Докл. Акад. наук. - 1998. - Т. 361, № 1. - С. 51-53.

[64] Овсянников, Л.В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников // Докл. Акад. наук. — 1998. — Т. 361, № 6. - С. 740-742.

[65] Овсянников, Л.В. О «простых» решениях уравнений динамики полит-ропного газа / Л.В. Овсянников // Прикл. механика и тех. физика. — 1999. - Т. 40, № 2. - С. 5-12.

[66] Овсянников, JT.В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики / Л.В. Овсянников // Прикл. математика и механика. — 1999. — Т. 63, № 3. — С. 362-372.

[67] Овсянников, Л.В. Лекции по основам газовой динамики / Л.В. Овсянников. — М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

[68] О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоростного движения двухфазных сред / Л.А. Клебанов, А.Е. Крошилин, Б.И. Нигматулин, Р.И. Нигматулин // Прикл. математика и механика. — 1982. — Т. 46, № 1. — С. 83-95.

[69] Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. - М.: Мир, 1989. - 639 с.

[70] Петров, А.З. Новые методы в общей теории относительности / А.З. Петров. - М.: Наука, 1966. — 496 с.

[71] Поммаре, Ж.-Ф. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли / Ж.-Ф. Поммаре. — М.: Мир, 1983. — 398 с.

[72] Пухначев, В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантными решениями уравнений Навье — Стокса / В.В. Пухначев // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. — № 10. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1972. - С. 125-137.

[73] Разлет вещества, нагретого ультракоротким лазерным импульсом / H.A. Иногамов, A.M. Опарин, Ю.В. Петров, Н.В. Шапошников, С.И. Анисимов, Д. фон дер Линде, Ю. Майер-тер-Фен // Письма в Журн. эксперимент, и тех. физики. — 1999. — Т. 69, № 4. — С. 284-289.

[74] Распопов, В.Е. Применение метода дифференциальных связей к одному уравнению газовой динамики / В.Е. Распопов, В.П. Шапеев, H.H. Янен-ко // Изв. вузов. Математика. — 1974. — № И. — С. 69-74.

[75] Рахматулин, Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред / Х.А. Рахматулин // Прикл. математика и механика. - 1956. - Т. 20, № 2. - С. 184-195.

[76] Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц / H.H. Яненко, Р.И. Солоухин, А.Н. Папырин, В.М. Фомин. — Новосибирск: Наука, 1980. — 159 с.

[77] Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. — М.: Наука, 1977. - 440 с.

[78] Суров, B.C. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром / B.C. Суров // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2008. - Т. 48, № 6. - С. 1111-1125.

[79] Суров, B.C. Новые гиперболические модели многокомпонентных гетерогенных сред / B.C. Суров, И.В. Березанский // Вестник ЮжноУральского гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 1. — С. 72-84.

[80] Талышев, A.A. Расширения групп и частично инвариантные решения / A.A. Талышев // Уфимский мат. журн. - 2009. — Т. 1, № 3. - С. 119 124.

[81] Талышев, A.A. О симметриях изобарических движений газа / A.A. Талышев // Уфимский мат. журн. — 2010. - Т. 2, № 3. - С. 108-112.

[82] Талышев, A.A. Об интегрировании автоморфных систем конечномерных групп Ли / A.A. Талышев // Уфимский мат. журн. — 2014. — Т. 6, № 1. - С. 108-114.

[83] Файзуллаев, Д.Ф. Ламинарное движение многофазных сред в трубопроводах / Д.Ф. Файзуллаев. — Ташкент: Фан, 1966. — 220 с.

[84] Федоров, A.B. Структура и распространение ударных и детонационных волн в реагирующих и иереагирующих газовзвесях: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / A.B. Федоров. — Новосибирск. — 1992. — 446 с.

[85] Федоров, A.B. Дифракция волновых процессов газовзвесей / A.B. Федоров // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 85-97.

[86] Федоров, A.B. Гетерогенная детонация / A.B. Федоров, В.М. Фомин, Т.А. Хмель // Законы горения. — М.: УНПЦ «Эпергомаш», 2006. — С. 276-302.

[87] Федоров, A.B. Теоретическое и численное исследование процессов детонации в газовзвесях частиц алюминия / A.B. Федоров, В.М. Фомин, Т.А. Хмель // Физика горения и взрыва. - 2006. — № 6. - С. 126-136.

[88] Федоров, A.B. Гетерогенная детонация газовзвесей / A.B. Федоров, В.М. Фомин, Т.А. Хмель. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. - 264 с.

[89] Физико-математическое моделирование подавления детонации облаками мелких частиц / A.B. Федоров, П.А. Фомин, В.М. Фомин, Д.А. Тро-пин, Дж.-Р. Чен. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2011. - 156 с.

[90] Фущич, В.И. Симметрия уравнений квантовой механики / В.И. Фущич, А.Г. Никитин. — М.: Наука, 1990. — 404 с.

[91] Хабиров, C.B. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени / C.B. Хабиров // Мат. заметки. - 1996. - Т. 59, № 1. - С. 133-141.

[92] Хабиров, C.B. Подмодель винтовых движений в газовой динамике / C.B. Хабиров // Прикл. математика и механика. — 1996. — Т. 60, № 2. — С. 53-65.

[93] Хабиров, C.B. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил / C.B. Хабиров // Прикл. математика и механика. — 1998. — Т. 62, № 2. - С. 263-271.

[94] Хабиров, C.B. Течения газа со спиральными поверхностями уровня / C.B. Хабиров // Прикл. механика и тех. физика. — 1999. — Т. 40, № 2. — С. 34-39.

[95] Хабиров, C.B. Симметрийный анализ модели несжимаемой жидкости с вязкостью и теплопроводностью, зависящими от температуры / C.B. Хабиров. — Уфа: Гилем, 2004. — 37 с.

[96] Хабиров, C.B. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей / C.B. Хабиров // Сиб. мат. журн. — 2004. — Т. 45, № 3. — С. 682-701.

[97] Хабиров, C.B. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа / C.B. Хабиров // Мат. заметки. — 2006. - Т. 79, № 4. - С. 601-606.

[98] Хабиров, C.B. Автомодельное схождение ударной волны но теплопроводному газу / C.B. Хабиров // Прикл. математика и механика. — 2009. - Т. 73, № 5. - С. 731-740.

[99] Хабиров, C.B. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газовой динамики / C.B. Хабиров // Уфимский мат. журн. — 2011. — Т. 3, № 2. - С. 87-90.

[100] Хабиров, C.B. Лекции аналитические методы в газовой динамике / C.B. Хабиров. — Уфа: Башкир, гос. ун-т, 2013. — 224 с.

[101] Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения / A.B. Жибер, Р.Д. Муртазина, И.Т. Хабибуллин, A.B. Шабат. — М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2012. — 376 с.

[102] Черевко, A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f{S)pi / A.A. Черевко. — Препринт № 4-96. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1996. — 31 с.

[103] Черевко, A.A. Об автомодельном вихре Овсянникова / A.A. Черевко, А.П. Чупахин // Дифференциальные уравнения и динамические системы: сб. статей. - Тр. МИАН. - 2012. - Т. 278. - С. 267-278.

[104] Чесноков, A.A. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке / A.A. Чесноков // Прикл. механика и тех. физика. — 2008. — Т. 49, № 5. — С. 41-54.

[105] Чиркунов, Ю.А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю.А. Чиркунов, C.B. Хаби-ров. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.

[106] Чупахин, А.П. О барохронных движениях газа / А.П. Чупахин // Докл. Акад. наук. - 1997. - Т. 352, № 5. - С. 624-626.

[107] Чупахин, А.П. О регулярных подмоделях типа (1,2) и (1,1) урвнепий газовой динамики / А.П. Чупахин // Прикл. механика и тех. физика. — 1999. - Т. 40, № 2. - С. 40-49.

[108] Шевалле, К. Теория групп Ли. Т. 1-3 / К. Шевалле. — М.: Изд-во иностр. лит., 1958. — 3 т.

[109] Яненко, H.H. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений / H.H. Яненко // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 109, № 1. - С. 44-47.

[110] Allaire, G. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids / G. Allaire, S. Clerc, S. Kokh //J. Comput. Phys. — 2002. - Vol. 181. - P. 577-616.

[111] Ames, W.F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering / W.F. Ames. — New York: Academic Press, 1972. — 319 p.

[112] Anderson, R.L. Lie-Bäcklund Transformations in Applications / R.L. Anderson, N.H. Ibragimov. — Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1979. — 124 p.

[113] Appell, P. Sur l'équation —> et la théorie de la chaleur / P. Appell // J. de Math. Pures et Appl. — 1892. - Vol. 8, № 4. - P. 187-216.

[114] Bäcklund, A.V. Ueber Flächen transforinationen / A.V. Bäcklund // Math. Ann. - 1876. - Vol. 9. - P. 297-320.

[115] Birkhoff, G. Hydrodynamics — A Study in Logic, Fact, and Similitude / G. Birkhoff. — Princeton: Princeton University Press, 1950. — 186 p.

[116] Bluman, G.W. The general similarity solution of the heat equation / G.W. Bluman, J.D. Cole //J. Math. Mech. - 1969. - Vol. 18. - P. 10251042.

[117] Bluman, G.W. Similarity Methods for Differential Equations / G.W. Bluman, J.D. Cole. — New York: Appl. Math. Sei., № 13, SpringerVerlag, 1974. - 332 p.

[118] Carmichael, R.D. Transformations leaving invariant certain partial differential equations of physics / R.D. Carmichael // Amer. J. Math. — 1927. - Vol. 49. - P. 97-116.

[119] Chung, M.-S. Numerical solution of hyperbolic two-fluid two-phase flow model with non-reflecting boundary conditions / M.-S. Chung, K.-S. Chang, S.-J. Lee // Int. J. of Engineering Science. - 2002. - Vol. 40. - P. 789-803.

[120] Cunningham, E. The principle of relativity in electrodynamics and an extension thereof / E. Cunningham // Proc. London Math. Soc. — 1909. — Vol. 8. - P. 77-98.

[121] Delay differential equations / Y.N. Grigoriev, N.H. Ibragimov, V.F. Kovalev, S.V. Meleshko // Lecture Notes in Physics. - 2010. - Vol. 806. - P. 251292.

[122] Dorodnitsyn, V. Lie group classification of second-order ordinary difference equations / V. Dorodnitsyn, R. Kozlov, P. Winternitz //J. Math. Phys. — 2000. - Vol. 41, № 1. — P. 480-504.

[123] Harrison, B.K. Geometric approach to invariance groups and solution of partial differential equations / B.K. Harrison, F.B. Estabrook // J. Math. Phys. - 1971. - Vol. 12. - P. 653 666.

[124] Kovalev, V.F. Approximate transformation groups and renormgroup symmetries / V.F. Kovalev // Nonlinear Dynamics. — 2000. — Vol. 22, № 1. - P. 73-83.

[125] Lie, S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung / S. Lie // Arch, for Math. — 1881. — Vol. 6. - P. 328-368.

[126] Lie, S. Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen beliobeger Ordnung / S. Lie // Leipz. Berich. - 1895. - Vol. 1. - P. 53-128.

[127] Meleshko, S.V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analitical techniques with applications to engineering / S.V. Meleshko. —New York: Springer, 2005. — 365 p.

[128] Multi-phase simulation of ammonium nitrate emulsion detonantions / S. Schoch, N. Nikiforakis, B.J. Lee, R. Saurel // Combustion and Flame. — 2013. - Vol. 160. - P. 1883-1899.

[129] Noether, E. Invariante Variations Problerne / E. Noether // Nachr. Konig. Gesell. Wissen. - Gottingen, Math.-Phys. Kl. - 1918. - P. 235-257.

[130] Ovsyannikov, L.V. On the optimal systems of subalgebras / L.V. Ovsyannikov // Lie Groups and Their Appl. — 1994. — Vol. 1, № 2. - P. 18-26.

[131] Papalexandris, M.V. Numerical simulation of detonations in mixtures of gases and solid particles / M.V. Papalexandris // Journal of Fluid Mechanics. - 2004. - Vol. 507. - P. 95-142.

[132] Saurel, R. A multiphase Godunov method for compressible multifluid and multiphase flows / R. Saurel, R. Abgrall //J. Comput. Phys. — 1999. — P. 425-467.

[133] Steinberg, S. Symmetries of differential equations / S. Steinberg. — New Mexico: Univ. of New Mexico, 1983.

[134] Symmetries of Integro-Differential Equations: with Applications in Mechanics and Plasma Physics / Y.N. Grigoriev, N.H. Ibragimov, V.F. Kovalev, S.V. Meleshko. - Dordrecht: Springer, 2010. - 305 p.

[135] Yeom, G.-S. A modified HLLC-type Riemann solver for the compressible six-equation two-fluid model / G.-S. Yeom, K.-S. Chang // Computers & Fluids. - 2013. - Vol. 76. - P. 86-104.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

[136] Федоров, В.Е. Инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / В.Е. Федоров, A.B. Панов // Вестник Челяб. гос. ун-та. Физика. — 2011. — № 38 (253), вып. И. - С. 65-69.

[137] Панов, A.B. Групповая классификация одного класса полулинейных псевдопараболичских уравнений / A.B. Панов // Уфимский мат. жури. - 2013. - Т. 5, № 4. - С. 105-115.

[138] Панов, A.B. Инвариантные подмодели системы уравнений динамики газовзвеси в случае трех пространственных переменных / A.B. Панов // Научные ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. - 2014,- № 12 (183), вып. 35. - С. 188-199.

Другие публикации автора

[139] Панов, A.B. Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды / A.B. Панов // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. — 2011. — Выи. 13. — С.38-48.

[140] Федоров, В.Е. Симметрии одного класса квазилинейных уравнений псевдопараболического типа. Инвариантные решения / В.Е. Федоров, A.B. Панов, A.C. Карабаева // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. — 2012. Вып. 15. — С.90-111.

[141] Федоров, В.Е. Групповой анализ псевдопараболического уравнения с квадратом второй производной / В.Е. Федоров, A.B. Панов // Вестник МаГУ. Математика. - 2012. - Вып. 14. - С. 146-156.

[142] Панов, A.B. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики газовзвеси / A.B. Панов // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»: сб. тр. Междунар. шк.-конф. для студентов, ас-

пирантов и молодых ученых. Т. 1. Математика. — Уфа: БашГУ, 2012. — С. 136-142.

[143] Панов, A.B. Алгебра Ли системы уравнений механики двухфазных сред / A.B. Панов // Тез. докл. Воронежск. зимн. мат. шк. С.Г. Крей-па. - Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 101.

[144] Панов, A.B. Симметрийный анализ системы уравнений механики двухфазной среды / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко. — Новосибирск: Академгородок, 2011. — С.123.

[145] Панов, A.B. Оптимальные системы подалгебр алгебры Ли системы уравнений механики двухфазной среды / A.B. Панов // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф. — Самара: Универс групп, 2011. — С.84.

[146] Панов, A.B. Инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Физика и технические приложения волновых процессов: тез. докл. IX Межд. науч.-техн. конф. — Челябинск: ЧелГУ, 2011. - С. 203-204.

[147] Панов, A.B. Частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Межд. конф., посвященной памяти В.К. Иванова. — Екатеринбург: УрФУ, 2011. — С. 259-260.

[148] Панов, A.B. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики двухфазной среды в трехмерном случае / A.B. Панов // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2012. — С. 413.

[149] Панов, A.B. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики газовзвеси / A.B. Панов // Фундаментальная математика и её приложения в естествознании: тез. докл. Междунар. шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. — С. 263.

[150] Панов, A.B. Инвариантные решения одного квазилинейного псевдопараболического уравнения / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Физико-математические науки и образование: сб. тр. Всеросс. науч.-практич. копф. - Магнитогорск: МаГУ, 2012. — С. 93-96.

[151] Panov, A.V. Symmetry groups for a class of quasilinear pseucloparabolie equations / A.V. Panov // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. междунар. конф. — Уфа: Ин-т математики с ВЦ УНЦ РАН, 2013. - С. 45-46.

[152] Панов, A.B. Групповой анализ одного класса квазилинейных псевдопараболических уравнений / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Тез. докл. Четвертой Меж/^нар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. — М.: РУДН, 2013. - С. 216-217.

[153] Панов, A.B. Основные алгебры Ли одного класса полулинейных псевдопараболических уравнений / A.B. Панов // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Междунар. науч. конф.— Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2013. - С. 143-144.

[154] Панов, A.B. Групповая классификация одного класса псевдопараболических уравнений / A.B. Панов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева. — Новосибирск: Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2013. — С. 209.

[155] Панов, A.B. Подмодели и некоторые точные решения системы уравнений динамики газовзвеси / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Современный групповой анализ: тез. докл. Междунар. конф. MOGRAN-16. — Уфа: УГАТУ, 2013. - С. 19.

[156] Панов, A.B. Оптимальная система подалгебр одного псевдопараболического уравнения / A.B. Панов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: материалы междунар. конф. — Воронеж: Издат,-полиграф. центр «Научная книга», 2014. — С. 242-243.

[157] Panov, A.V. Invariant solutions and optimal system of subalgebras some pseudoparabolic equation / A.V. Panov // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. междунар. конф. памяти акад. A.M. Ильина. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2014. - С. 39-40.

[158] Панов, A.B. Групповой анализ и подмодели динамики газовзвеси / A.B. Панов, В.Е. Федоров // Тез. докл. Всероссийской конференции Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение, приуроченной к 95-летию академика Л.В. Овсянникова. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2014. — С. 110.

[159] Панов, A.B. Точные решения системы уравнений газовзвеси / A.B. Панов, В.Е. Федоров // XII Забабахинские научные чтения: сб. материалов 12-ой Междунар. конф. — Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2014. — С. 315.