Подмодели динамики политропного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич

• Головин, Сергей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич

Введение.

Глава 1. Подмодели политропного газа

§1. Оптимальная система подалгебр.

§2. Пример инвариантного решения.

2.1. Случай а2 + /З2 ф 0.

2.2. Случай а2 + j32 =

2.3. Групповая классификация инвариантной подмодели

2.4. Автомодельное решение.

§3. Теорема о редукции.

Глава 2. Динамика двумерных движений газа, обладающих специальной симметрией

§4. Предварительные сведения

§5. Оптимальная система подалгебр

§6. Инвариантные подмодели ранга два.

6.1. Подмодели 11(1.1) и П(1.2).

6.2. Подмодель П(1.3)

§7. Инвариантные подмодели ранга один.

7.1. Подмодель П(2.1)

7.2. Подмодели П(2.2) и П(2.3).

7.3. Подмодель П(2.5)

7.4. Подмодель П(2.6).

7.5. Подмодель П(2.8)

7.6. Подмодель П(2.9)

§8. Простые решения.

8.1. Характеристики на простых решениях.

§9. Регулярные частично инвариантные решения.

9.1. Подмодель П(3.4)

9.2. Подмодель 11(3.10).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подмодели динамики политропного газа»

Свойства симметрии математической модели отражают факт независимости законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины и выражаются в инвариантности модели относительно некоторых преобразований пространства значений этих величин. Такие преобразования образуют группу. Следуя С. Ли говорят, что математическая модель допускает данную группу преобразований.'

Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [1] содержит концепцию систематического использования свойств симметрии в механике сплошных сред. Эта программа дает общий теоретико-групповой подход к математическим моделям с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) математической модели. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Точные решения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. В настоящее время в газовой динамика накоплен достаточно большой опыт получения и использования точных решений. Классическими примерами могут служить простые волны Рима-на в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. На основе автомодельного решения Л.И. Седовым [2] получено решение задачи о точечном взрыве в газе. Различные обобщения этого решения содержатся монографии [3]. Большой набор точных решений можно найти в монографиях [4, 5]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [6] на основе метода дифференциальных связей. Отметим, что большинство полученных в этих работах решений имеют групповую природу [7].

В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп допускаемых уравнениями расширений группы Галилея. Очевидно, что каждая подгруппа допускаемой группы также допускается исходной моделью. В то же время она имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы выделяет из множества решений модели определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие некоторой системе уравнений, более простой по сравнению с исходной. Эта система уравнений называется подмоделью исходной модели. Большинство известных точных подмоделей в виде систем уравнений пониженной размерности, таких как одномерные, двумерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные, дают примеры инвариантных решений. Ясно, что этот перечень можно пополнить.

Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для первых все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений подмодели является определенной. Напротив, в частично инвариантных подмоделях только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений. Поэтому уравнения ЧИП содержат переопределенную подсистему для лишних функций. Приведение этой подсистемы в инволюцию зачастую является очень непростой задачей, что и определяет относительную сложность получения и исследования ЧИП. Иногда в процессе приведения переопределенной подсистемы в инволюцию лишние функции получают инвариантное представление. Это означает, что данная подмодель совпадает с ИП, построенной на подгруппе меньшей размерности. В этом случае говорят, что ЧИП редуцировалась к ИП. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненужной работы. Важно иметь по возможности простые признаки редукции ЧИП.

Каждая подгруппа допускаемой группы служит потенциальным источником некоторой точной подмодели. При этом, подмодели, построенные относительно разных подгрупп допускаемой группы могут совпадать (с точностью до замены переменных). Такое происходит всякий раз, когда выбранные подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов допускаемой группы. В этой связи актуален вопрос построения ее оптимальной системы подгрупп — максимального набора несопряженных подгрупп допускаемой группы. Массив решений, получаемых при реализации программы ПОДМОДЕЛИ определяется именно оптимальной системой подгрупп. О его широте в случае уравнений газовой динамики можно судить по следующим цифрам: для общего уравнения состояния газа оптимальная система подгрупп допускаемой группы содержит 221 представитель [8], а для одноатомного газа уже 1817 представителей [9].

Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает также выполнение предварительного анализа качественного поведения решений получаемых подмоделей. Такое «одевание» подмодели может включать описание типа системы, изучение структур множества траекторий, характеристик и т.д.

Настоящая диссертация основана на материале, полученном автором при участии в реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Этим и объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.

Диссертация объемом 116 страниц состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, 5 таблиц, 12 иллюстраций и списка литературы из 60 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Головин, Сергей Валерьевич

Заключение

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

• Построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями динамики политроп-ного газа. Каждый из 1342 представителей этой оптимальной системы служит потенциальным источником точных решений уравнений газовой динамики.

• В явном виде получено точное решение уравнений газовой динамики, описывающее пространственное барохронное движение газа с коллапсом плотности в конечный момент времени. Дано описание траекторий частиц на этом движении. Для частного случая движения построен характеристический коноид. Исследовано поведение характеристического коноида при времени близком к времени коллапса.

• Показана редукция частично инвариантной подмодели, порождаемой комбинациями переносов и галилеевых переносов по осям координат, а также вращениями. Для соответствующей инвариантной подмодели с двумя независимыми переменными проведена групповая классификация относительно уравнения состояния. Приведены примеры ее точных решений.

• Дан простой признак редуцируемости к инвариантным большого класса регулярных частично инвариантных решений дефекта 1. Конструктивное доказательство редуцируемости позволяет точно установить подалгебру, относительно которой соответствующая подмодель является инвариантной. Этот признак позволяет сократить число подмоделей, нуждающихся в исследовании более, чем на 200.

• На основе программы ПОДМОДЕЛИ проведено исследование подмоделей, порождаемых проективным преобразованием в уравнениях двумерной газовой динамики со специальным показателем адиабаты.

Построены канонические формы всех инвариантных подмоделей с двумя независимыми переменными. Все они имеют смешанный эллип-тико-гиперболический тип. Найдены области гиперболичности. Допускаемая этими подмоделями группа непрерывных преобразований совпадает с группой, наследуемой из уравнений газовой динамики. Найдены первые интегралы (Бернулли, завихренности, энтропийный) полученных подмоделей.

Проведено исследование всех инвариантных подмоделей, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы. Некоторые подмодели проинтегрированы полностью. Для них дано описание траекторий частиц.

Построено точное решение, обладающее дискретной симметрией — инвариантностью относительно поворота вокруг начала координат на конечный угол.

В явном виде найдено непрерывное решение, описывающее движение газа с областями вакуума. Газ занимает два симметричных сектора, в смежных секторах — область вакуума.

В явном виде найдено решение, описывающее растекание с одновременным вращением полосы газа в вакуум. Решение содержит произвольную функцию — распределение давления в начальном сечении полосы.

Построены все «простые» (аналоги постоянного) решения. На них проинтегрированы уравнения звуковых и контактных характеристик.

Исследованы регулярные частично инвариантные подмодели с одной лишней функцией. Найдено решение с функциональным произволом. Интегрирование сведено к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения первого или второго порядка.

• Предложен способ «наследования» первых интегралов из подмоделей с двумя независимыми переменными в подмоделях с одной независимой переменной. Приведены нетривиальные примеры полученных таким путем интегралов различных подмоделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич, 2000 год

1. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992. 11 с.

2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1965. 388 с.

3. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. М.: Наука. 1985. 400 с.

4. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.-.Наука. 1975.

5. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. 1980. 319 с.

6. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.

7. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

8. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 30-55.

9. Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f(S)p5/3. Новосибирск. 1996 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; JV®4 96).

10. Джекобсон Н. Алгебры Ли //М.:Мир, 1964.

11. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа. // Новосибирск, 1996. Препринт/Ин-т гидродинамики. Сиб. отделение РАН. № 5-96.

12. Golovin S.V. On Reduction of Some Class of Regular Partially Invariant Solutions of Gas Dynamics Equations for Polytropic Gas. //Proc. of the Int. Conf. MGA VII, Nordfjordeid, Norway, 30.6-05.7 1997, P. 115-121.

13. Головин C.B. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики. //ПМТФ. 1997. Т. 38. №1. С. 3-10.

14. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. //ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 3. С. 362-372.

15. Хабиров C.B. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Уфа. 1998. (Препр. / УНЦ РАН. Ин-т механики)

16. Мелешко C.B. Групповая классификация уравнений движения газа в постоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. №1. С. 42 47.

17. Мелешко C.B. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 56 62.

18. Овсянников Л.В. Изобарические движения газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1792 1799.

19. Хабиров C.B. Подмодель винтовых движений в газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 53 65.

20. Хабиров C.B. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 1. С. 133 141.

21. Хабиров C.B. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 263 271.

22. Мелешко C.B. О неизэнтропических стационарных пространственных и плоских нестационарных двойных волнах // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 255 260.

23. Мелешко C.B. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1825 1827.

24. Овсянников JI.B. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36. К0-3. С. 45 -52.

25. Овсянников JI.B., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 990 999.

26. Овсянников JI.B. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1996. Т. 37. №. С. 3 13.

27. Чупахин А.П. Не барохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики. Новосибирск, 1998 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №5 98).

28. Чупахин А.П. О барохронных движениях газа. // Докл РАН. 1997. Т. 352. №5. С. 624 626.

29. Чупахин А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1). Новосибирск, 1998 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №4 98).

30. Чупахин А.П. О регулярных подмоделях типа (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики. //ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. С. 40-49.

31. Овсянников JI.B. О «простых» решениях уравнений динамики по-литропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40. №.

32. Овсянников JI.B. Плоские течения газа с замкнутыми линиями тока. //Докл. РАН 1998. Т. 361. №1. С. 51-53.

33. Черный Г. Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости. //Изв. РАН. МЖГ. 1997. №4. С. 3953.

34. Мамонтов E.B. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2.

35. Овсянников JI.B. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333. № 6. С. 702-704.

36. Овсянников JI.B. О свойстве ж-автономии // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗО. №5. С. 559 561.

37. Овсянников JI.B. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения. //Докл. РАН. 1995. Т. 343. №2. С. 156-159.

38. Хабиров C.B. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. РАН. 1995. Т.341. № 6. С. 764 766.

39. Овсянников JI.B. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики. Новосибирск, 1997 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №3 97).

40. Черевко A.A. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики.// Выч. технологии. 1998. Т. 3. №6. С. 92-96.

41. Овсянников JI.B. Инвариантные интегральные законы сохранения // Докл. РАН. 1996. Т. 351. №5. С. 599 602.

42. Овсянников JI.B. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений.//Докл. РАН. 1998. Т. 361. №6. С. 740742.

43. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. № 12 P. 2259-2288.

44. Ибрагимов H.X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //ПМТФ. 1966. т. С. 19-22.

45. Лапко Б. В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. // ДСС. 1973. Вып. 14. С. 112-119.

46. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups. // Cañad. J. of Phys. 1989. V. 67. №.

47. Фущич В.И., Баранник И.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук, думка. 1991. 304 с.

48. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

49. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука. 1978.

50. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. //ДАН СССР. 1958. Т. 118. №3. С. 439-442.

51. Никольский A.A. Инвариантное преобразование уравнений движения идеального одноатомного газа и новые классы их точных решений. //ПММ. Т. 27. №3. С. 496-508.

52. Никольский A.A. Инвариантные преобразования уравнений движения идеального газа для специальных случаев. //Инженерный журнал. 1963. Т. 3. №. С. 140-142.

53. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983. 280 с.

54. Speciale М.Р., Oliveri F. Exact Solutions to Gas Dynamics Equations and Substitution Principles. //Proc. of the Int. Conf. MGA VII, Nordfjordeid, Norway, 30.6-05.7 1997, P. 293-300.

55. Munk M., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1947. V. 33. P. 137-141.

56. Хабиров С. В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой во-ды.//ДСС. 1969. В. 3. С. 82-90.

57. Хабиров С. В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума. //ПММ. 1988. Т.52. В. 6. С. 967-975.

58. Grundland A.M., Lalague L. Invariant and partially-invariant solutions of the equations describing a non-stationary and isentropic flow for an ideal and compressible fluid in (3 + 1) dimensions. // J. Phys. A: Gen. 29 (1996) 1723-1739.

59. Grundland A.M., Lalague L. Lie subgroups of symmetry groups of the fluid dynamics and the magnetohydrodynamics equations II. // Univ. de Montreal. 1993. CRM-1889.

60. Simonsen V. 0. Self-similar solutions in gasdynamics with exponential time dependence. //Max-Planck-Inst. fur Quantenoptik. 1996. MPQ 214.