Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Суров, Максим Олегович

• Суров, Максим Олегович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Суров, Максим Олегович

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор методов управления неполноприводными механическими системами

Глава 2. Планирование траекторий неполноприврдных робото-технических систем

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Метод виртуальных голономных связей

2.4. Заключение

Глава 3. Стабилизация траекторий неполноприврдных механических систем

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи орбитальной стабилизации

3.3. Разработка стабилизирующего регулятора

3.4. Заключение

Глава 4. Управление движением шестиногого шагающего робота с неизвестным тензором инерции

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи

4.3. Анализ существующих решений

4.4. Синтез закона управления

4.5. Результаты компьютерного моделирования

4.6. Заключение

Глава 5. Задача управления роботом "Бабочка"

5.1. Введение

5.2. Постановка задачи

5.3. Планирование траекторий робота с использованием линейной виртуальной связи

5.4. Планирование траекторий робота с использованием кусочно-гладкой виртуальной связи

5.5. Исследование уравнений движения робота

5.6. Исследование виртуальных связей

5.7. Синтез стабилизирующего регулятора

5.8. Результаты компьютерного моделирования

5.9. Результаты экспериментальных исследований

5.10. Заключение

Заключение

Слова благодарности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем»

Введение

Задача управления различными механическими системами в условиях параметрической неопределённости, непролноприводности, при наличии односторонних механических связей, ограничений на скорости движения является весьма актуальной и изучается многими авторами [59, 62, 65, 68]. Особый интерес так же представляет задача динамического манипулирования объектами, подробный обзор различных подходов к решению этой задачи представлен в работе [60]. При формализации подобные задачи зачастую очень схожи и сводятся к поиску траекторий динамических систем, обладающих определёнными свойствами и поиску закона управления, обеспечивающего устойчивость найденных траекторий. Такие динамические системы как правило могут быть описаны системой дифференциальных уравнений Лагранжа [55]. Специфические свойства Лагранжевых систем позволяют выработать общие подходы к управлению подобными системами.

Данная диссертационная работа посвящена изучению объектов управления, поведение которых может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа. Особое внимание уделено изучению неполноприводных механических систем [59], методам планирования траекторий и методом орбитальной стабилизации траекторий [42].

Неполноприводные механические системы согласно [59] - это такие системы, у которых количество управляющих сигналов меньше количества степеней свободы. Пассивные (неуправляемые) степени свободы могут возникать в результате различных факторов. В экспериментальных установках для академических исследований наличие пассивных степеней свободы является преднамеренным. Задача управления неполноприводными системами так же возникает при проектировании систем управления мобильными роботами, например, когда манипулятор закреплён на мобильную платформу, на

корпус космического летательного аппарата, или на подводного робота [56].

Полученные теоретические результаты были аппробированы в задаче управления робототехнической системой "Бабочка" [62]. Робот "Бабочка" был разработан с целью изучения задачи динамической манипуляции и для тестирования различных алгоритмов управления неполноприводными механическими системами. Задача интересна наличием односторонней голономной связи [57], которая приводит к существенным ограничениям на скорости движения объекта управления, что вносит дополнительные сложности в задачу планирования траекторий движения. Задача динамической манипуляции зачастую возникает в ситуациях, когда жёсткая фиксация объекта манипулирования невозможна (например, в силу его хрупкости). Как следствие, появляются дополнительные неуправляемые степени свободы, увеличивается порядок дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта управления. В этом случае стандартные подходы к управлению, такие как линеаризация обратной связью, как правило, не работают.

Близкие по сложности задачи возникают даже в классических (кинематических) подходах управления промышленными роботами-манипуляторами, если, например, потребовать оптимизации времени выполнения их рабочих циклов. Это влечет увеличение скорости движения звеньев робота, при которых их жесткость может быть недостаточна, чтобы игнорировать появление новых пассивных степеней свободы в динамике робота. Такие эффекты имеют место даже при незначительном увеличении скоростей звеньев. При этом, как известно, за исключением редких случаев, такая динамика уже не может быть приведена к эквивалентной линейной системе управления за счет обратной связи и замены координат, и как следствие задача планирования (суб-) оптимальных движений манипулятора и их робастная стабилизация становится чрезвычайно сложной и нерешенной проблемой. Естественно, что подобные сложности возникают при намеренном уменьшении жесткости зве-

ньев робота и уменьшении их масс для обеспечения безопасности работы робота в присутствии человека.

Кроме того, похожие теоретические проблемы возникают при решении задачи управления силой, что весьма актуально в современном промышленном производстве. Например, в задаче программного управления шлифовальным станком при обработке материала необходимо стабилизировать как определённую траекторию движения, так и силу взаимодействия рабочей поверхности с обрабатываемой деталью, что приводит к увеличению размерности объекта управления.

Таким образом, многие задачи управления промышленными роботами в конечном счёте сводятся к задаче траекторного управления неполнопривод-ными механическими системами и могут быть решены при помощи методов, предложенных в данной диссертационной работе.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка новых методов планирования траекторий и управления механическими системами при наличии параметрргческой неопределённости, неполноприводности. А так же проведение экспериментальных исследований полученных алгоритмов применительно к робототехнической системе "Бабочка".

В процессе достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Разработан метод планирования траекторий неполноприводных робото-технических систем с одной пассивной степенью свободы, основанный на методе виртуальных голономных связей. Разработанный метод предлагает процедуру для поиска виртуальных связей, обеспечивающих существование траекторий, удовлетворяющих наперёд заданным ограничениям на скорости и координаты.

2. Предложен алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполно-приводных механических систем. Предложенный алгоритм не сопряжён с большими вычислительными сложностями, подходит для стабилизации систем с одной пассивной степенью свободы.

3. Решена задача управления робототехнической системой "Бабочка". Исследована задача планирования траекторий для различных граничных условий и ограничений на скорости движения. Изучены различные методы задания виртуальных связей. Построены стабилизирующие регуляторы, обеспечивающие орбитальную устойчивость для найденных траекторий движения. Проведено численное моделирование и эксперименты на реальной лабораторной установке.

4. Исследована задача стабилизации управления шестиногим шагающим роботом при наличии параметрической неопределённости. Простроен стабилизирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Проведено численное моделирование поведения объекта управления для полученного закона управления.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались метод функций Ляпунова, метод виртуальных голономных связей для планирования траекторий неполноприводных систем, метод построения стабилизирующих регуляторов для линейных нестационарных систем, различные методы классической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, линейной алгебры, численных методов.

Экспериментальные результаты были получены с использованием современного программного обеспечения - пакетов МаШЬ и БтиНпк; техническо-

го оснащения - системы моделирования в реальном времени dSpace и робо-тотехнической установки "Бабочка", предоставленной университетом г. Умео (Швеция). В состав технических средств так же входила система технического зрения: видеокамера для быстрой съёмки Point Grey Flea 3; программное обеспечение, разработанное с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio 2012.

Научная новизна. В рамках данной работы впервые, на сколько известно автору диссертационной работы, была решена задача управления ро-бототехнической системой "Бабочка", являвшейся нерешённой с 1998 года. На основании проведённых исследований с роботом "Бабочка" были разработаны универсальные алгоритмы поиска виртуальных связей для неполнопри-водных систем, позволяющие находить траектории движений, удовлетворяющие заданным критериям. Разработан класс стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих орбитальную устойчивость траектории неполноприводной механической системы. Разработанный регулятор в отличии от ранее изученных [65] не требует численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокой размерности.

Предложен стабилизирующий регулятор управления ориентацией и скоростью движения шестиногого шагающего робота, гарантирующий асимптотическую устойчивость заданной скорости и ориентации объекта управления при неизвестном тензоре инерции.

Практическая значимость. Практическая значимость полученных методов управления механическими системами обусловлена развитием промышленных робототехнических систем. Полученные методы могут быть полезны при проектировании алгоритмов управления станками с числовым программным управлением, шагающими роботами, летательными аппаратами и другими робототехническими устройствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло-

жения:

1. Метод поиска виртуальных связей для планирования траекторий непол-ноприводных робототехнических систем с одной пассивной степенью свободы.

2. Алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполноприводных механических систем.

3. Экспериментальные исследования полученных результатов в задаче управления робототехнической системой "Бабочка".

4. Стабилизирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость заданной ориентации и скорости движения шестиногого шагающего робота с неизвестным тензором инерции.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

- The 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control, Dubrovnik, Croatia

- IFAC Conference of Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

В 2011, 2012 и 2013 годах автор проходил стажировку в Университете Умео (Швеция) у профессора Антона Станославовича Ширяева и Леонида Борисовича Фрейдовича, известных своими работами в области управления робототехническими системами, занимаясь теоретическими и экспери-

ментальными исследованиями по управлению робототехнической системой "Бабочка".

Полученные в ходе научно-исследовательской работы алгоритмы управления были исследованы на робототехнической системе "Бабочка", изготовленной Университетом Умео (Швеция).

На разработанное программное обеспечение для системы управления роботом "Бабочка" был получен патент под номером 2013611597 от 07.03.2013.

Публикации. Автор диссертационной работы имеет 10 публикаций и свидетельство о регистрации патента на разработанную систему управления роботом "Бабочка".

1. Bobtsov A., Kolyubin S., Pyrkin A., Shavetov V., Chepinskiy S., Kapitanyuk Y., Kapitonov A., Bardov V., Titov A., Surov M., Using of LEGO Mindstorms NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory // 18th IFAC World Congress. Milan. Italy. 2011.

2. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Attitude Control of the Spacecraft with Unknown Inertia Tensor // IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Dubrovnik. Croatia. 2012.

3. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Motion control of the six-legged walking robot with unknown inertia matrix // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

4. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Vedyakov A., Vlasov S., Feskov A., Krasnov A., Borisov O., Gromov V., Dynamic Positioning System for Nonlinear MIMO Plants and Surface Robotic Vessel // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

5. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Shavetov S., Borisov O., Gromov V., Simple Output Stabilization Approach for Robotic Systems // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

6. Пыркин А.А., Мальцева T.A., Лабадин Д.В., Суров М.О., Бобцов А.А., Синтез системы управления квадрокоптером с использованием упрощенной математической модели // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2013. № 4. С. 47-51.

7. Бобцов А.А., Пыркин А.А., Суров М.О., Управление ориентацией летательного аппарата с неизвестным тензором инерции // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2013. № 3. С. 65-70.

8. М.В. Фаронов, А.А. Пыркин, И.Б. Фуртат, С.А. Колюбин, М.О. Суров, А.А. Ведяков Робастное управление мобильными роботами с использованием технического зрения // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2012. № 12. С. 63-65.

9. Суров М.О., Пыркин А.А., Бобцов А.А. «Программа для управления роботом-бабочкой «Butterfly controller»», Компьютерная программа для ЭВМ. Заявка № 2013611597 от 07.03.2013.

10. Суров М.О. "Управление неполноприводными системами на примере робототехнической системы "Бабочка" Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

Личный вклад автора Автором диссертационной работы были проведены теоретические и экспериментальные исследования в задачах планирования и стабилизации траекторний неполноприводных механических систем.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы.

Глава 1

Обзор методов управления неполноприводными механическими системами

В данной главе диссертационной работы приведён краткий обзор методов управления неполнопиводными механическими системами. Рассмотрены основные недостатки этих методов.

Задача управления робототехническими системами исследуется многими авторами [1-23]. В том числе большое внимание уделено задаче управления шагающими роботами [8, 16, 25, 27, 71], задаче траекторного управления [2, 4-7, 17], предложены различные методы задания траектории движения и её стабилизации.

В задаче стабилизации траекторий движения неполноприводных систем наиболее популярен метод управления энергией системы [23, 61, 63, 68]. Пусть объект управления описывается системой дифференциальных уравнений порядка 2 п

<7 = /(<7,<7,т), (1.1)

где д - вектор обобщённых координат. Суть метода управления энергий заключается в следующем. Рассматривается множество траекторий, для которых полная механическая энергия рассматриваемой системы

Е(х) = Е0

(х е Ш2п - вектор состояния, составленный, например, из обобщённых координат и скоростей хт = (дт, с[Т) механической системы) является постоянной величиной. На этом множестве выбирается единственная, удовлетворяющая

критерию

ф{х) = О, ф : К2п Ж211'1

траектория. В этом случае задача управления неполноприводной системой сводится к поиску такого управляющего входного воздействия г(х), для которого замкнутая система (1) обладает следующими свойствами:

Е -»■ Е0, ф^ О

(см. подробнее [63]). Если в координатах Е и ф система (1) является глобально асимптотически устойчивой, то любая траектория рассматриваемой динамической системы в конечном счёте сойдётся к желаемой траектории.

Существуют различные методы построения регулятора для системы в координатах Е и ф. Известны работы, в которых синтез регулятора производился при помощи метода функций Ляпунова [63]; методом скоростного градиента [23]; методом Х&Х [68]. Суть методаХ&сХ заключается в том, что в фазовом пространстве ТАЛ задаётся некоторое инвариантное многообразие V, на котором поведение исходной системы (1) может быть описана системой дифференциальных уравнений меньшего порядка (редуцированная динамика). На этом многообразии траектория 7(2) системы (1) ищется как траектория системы меньшего порядка. Причём, в некоторых случаях многообразие V можно выбрать таким образом, чтобы на нём система (1) была полноприводной. Если многообразие V является аттрактивным, и траектория 7(2) на Р является орбитально асимптотически устойчивой, то траектория 7(£) будет орбитально асимптотически устойчивой и на ТМ. Проблема заключается в поиске такого многообразия V и преобразования 7г : V ТАЛ, которые бы удовлетворяли всем условиям. Зачастую эта задача сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных относительно неизвестной функции 7г. Задача осложняется тем, что дифференциальное уравнение в частных производных может быть неразрешимо.

Недостатком метода управления энергией является то, что искомая траектория целиком должна лежать на поверхности постоянной энергии, что существенно ограничивает область применимости данного метода. Как правило, искомая траектория является положением равновесия системы (1) (например [68]) или гетероклинической орбитой (например [63]).

Одним из способов решения данной проблемы является введение нового виртуального закона управления V = у(т,х) такого, что новая система

Ч = я, я)) (1.2)

будет являться натуральной Лагранжевой системой [55]. Для системы записывается полная энергия Е'{х). В этом случае искомая траектория 7 системы будет лежать на поверхности постоянной энергии Е'{х) = Е'0, но энергия системы вдоль 7 может и не являться константой. Данный подход был рассмотрен в работе [24]. Тем не менее, подобное преобразование не всегда допустимо и требует дальнейшего изучения.

Другим методом планирования траекторий является метод виртуальных голономных связей [65]. Метод заключается в поиске соотношения между обобщёнными координатами

М = о,

/ : Мп —>• Мте (п — т - количество пассивных степеней свободы)

такого, что существует траектория системы (1), удовлетворяющая условиям задачи планирования и полностью лежащая на инвариантном многообразии /С:

/(?) = о, *М = 0

ей

Функция /(д) назвается виртуальной голономной связью или сервосвязью. В этом случае задача планирования траектории сводится к анализу динамики на К. В случае одной пассивной степени свободы задача сводится к поиску частного решения дифференциального уравнения второго порядка.

Одной из проблем метода виртуальных голономных связей является отсутствие универсального алгоритма поиска подходящей функции/(д). В некоторых практических задачах функция / может быть выбрана в виде линейного соотношения между обобщёнными координатами [64]. В других - в виде нелинейной функции на основании кинематических свойств рассматриваемой механической системы [65], исходя из анализа фазового портрета [67], или как решение некоторой оптимизационной задачи. Как правило, в каждом конкретном случае необходимо исследовать различные типы виртуальных связей, что существенно усложняет алгоритм решения задачи планирования траекторий.

Настоящая диссертационная работа основана на методе виртуальных голономных связей. Проводимые исследования направлены на разработку алгоритма поиска виртуальной связи, разработку методов орбитальной стабилизации найденной траектории и экспериментальные исследования полученных результатов.

Глава 2

Планирование траекторий неполноприврдных робототехнических систем

2.1. Введение

В данной главе представлены теоретические исследования в области планирования траекторий неполноприводных робототехнических систем. Подобные задачи являются весьма актуальными, так как часто возникают при построении систем управления шагающими человекоподобными роботами, роботами манипуляторами, подводными роботами, летающими роботами, станками с числовым программным управлением (более подробно [59]). Задача управления подобными системами рассматривается ведущими экспертами в области робототехники, систем управления и биомеханики. В данной главе рассмотрены существующие методы планирования траекторий. Изучен метод виртуальных голономных связей [65]. Предложен метод поиска виртуальных связей, позволяющий планировать траектории для неполноприврдных механических систем с одной пассивной степенью свободы с наперёд заданными ограничениями.

2.2. Постановка задачи

Рассмотрим простой пример, демонстрирующий целесообразность задачи планирования траекторий робототехнических систем. Например, робот манипулятор при упаковке предметов должен взять предмет с конвейерной

ленты (точка рл Е §Е(3)) и переместить его в упаковочную коробку (точка рв Е §Е(3)). При этом, манипулятор должен двигаться таким образом, чтобы не задеть расположенные вблизи предметы и не испортить перемещаемый предмет. Эти условия влекут за собой ограничения на пространственные координаты робота р Е §Е(3) и на скорости движения.

Допустим, кинематика робота может быть описан вектором обобщённых

т

координат (<?!, д2; Яп) ■ Предположим так же, что движение робота может быть описано системой дифференциальных уравнений порядка 2п\

= / (с/, (/, и), (2.1)

где и - входное управляющее воздействие. Здесь и далее все функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми нужное количество раз, если не оговорено иное.

Каждая конфигурация робота соответствует точке в конфигурационном многообразии Л4. Начальным и конечным пространственным координатам робота рл,Рв соответствуют точки д^, дд в конфигурационного многообразия (здесь и далее предполагается, что обратная задача кинематики разрешима). В результате, ограничения на пространственные координаты робота (р) < О могут быть представлены как ограничения на обобщённые координаты

тг(д)<0 (2.2)

(см. рис. 2.1). Как было сказано выше, в задачах подобного типа могут встречаться ограничения на скорости, которые, как правило, могут быть представлены в виде ограничения на обобщённые координаты и обобщённые скорости

А(д,й<0. (2.3)

В результате, задача планирования траекторий может быть сформулирована на математическом языке следующим образом:

Рис. 2.1. Траектория на конфигурационном многообразии

Задача 2.1. необходимо найти такое допустимое управляющее воздействие и^), чтобы система дифференциальных уравнений (2.1) имела частное решение (/*(£)> 9* (0 > удовлетворяющее граничным условиям

д*(о) = дА, д*(Т) = дв

(2.4)

и ограничениям на координаты (2.2) и скорости (2.3).

Стоит отметить, что задача (2.1) может являться неразрешимой.

Поставленная задача в общем виде к настоящему времени не имеет решений. Рассмотрим задачу планирования траекторий для объектов управления специального вида. Пусть объект управления задан системой дифференциальных уравнений Лагранжа:

с1дЬ дЬ

- = ВУ.СПТ

& дд дд или, вводя обозначения, получим:

(2.5)

М(д)д + С(д,д)д + С(д) = В(д)т, 19

(2.6)

где т Е Мта - вектор обобщённых сил; L (g, q) = qTM (g) q — U (g) - функция Лагранжа, для натуральных лагранжевых систем представляет собой разность кинетической и потенциальной энергии; М (д) > 0 - матрица инерции. В индексной форме уравнение (2.6) может быть записано как

п п п I

Яг + Л № + Gk ^ = Е Вкг № Тг> k = 1..П.

г=1 i=l j=l ъ=1

Нетрудно убедиться, что если матрица В является квадратной и всюду на Л4 имеет ранг п, то исходная система (2.6) может быть линеаризована обратной связью:

q = u,

где введено виртуальное управление

и = М (д)-1 (В (д) г - G (д) - С (д, д) д).

Нетрудно видеть, что любая функция q*(t) Е С2 будет удовлетворять системе уравнений (2.6). При достаточных больших ограничениях на управление, решением поставленной задачи планирования траектории будет являться кривая класса С2, удовлетворяющую условиям (2.4), (2.3), (2.3). Объекты управления с

rank В < п

называют неполноприводными механическими системами. Ранг матрицы В так же называют количеством пассивных степеней свободы

m = rank В.

Для неполноприводных систем не любая функция С2 будет удовлетворять уравнениям движения (2.6). Данная глава диссертационной работы посвящена изучению методов решения поставленной задачи планирования траекторий для неполноприводных механических систем.

2.3. Метод виртуальных голономных связей

Одним из методов решения задачи планирования траекторий 2.1 для неполноприводных систем является метод виртуальных голономных связей [65]. Суть которого заключается в предположении, что искомая траектория движения

где функция /(<?) = 0 называется виртуальной голономной связью. В силу этого предположения, задача поиска допустимой траектории сводится к задаче поиска частного решения системы дифференциальных уравнений (2.6) на многообразии N. Если функция /(д) = 0 может быть представлена в параметрическом виде д = О (</?), то траекторией механической системы будет являться функция

Рассмотрим случай одной пассивной степени свободы т = п — 1. Предположим, что матрица В имеет следующий вид:

полностью лежит на некотором инвариантном многообразии

м = {х е ТМ\/ (д* (*)) = 0,\/£ Е М} , / : Мп М1

п—т

при д*(г) = ©(¥>•(*)) И <г(*) =

(2.7)

г с Ш>' хтхт ^ ^

гпхт

единичная матрица размерности т х т

тхт

01хт 6 М1хт - нулевая матрица размерности 1 х га.

В большинстве случаев этого можно добиться, введя новое виртуальное управление.

Пусть виртуальная голономная связь задана следующим образом

Я = © Ы , (2.8)

Ч> — Яп-

Тогда, как показано в работе [65], динамика системы (2.6) на многообразии А/" может быть описана дифференциальным уравнением второго порядка

а (©М, е'М) Ф + Р (Щч>), вы в"М) Ф2 + 7 (©М) = 0, (2.9) где коэффициенты уравнения определяются следующим образом:

а(©Ы,е'И) = [м(вЫ)е'Ык ¡з (©м, е'М, е"М) = [с (е м, ©' м) е' м + м (е м) е" м]п

7 (ем) = сп(ем). (2.Ю)

Проблема заключается в нахождении виртуальной голономной связи 0 (</?), при которой уравнение (2.9) имело бы такое ограниченное периодическое частное решение <£>*(£), что функция <?*(£) = © (ср*удовлетворяла бы условиям задачи (2.1). Метода нахождения виртуальных связей для уравнения общего вида (2.6), на сколько известно автору диссертационной работы, к настоящему времени не существует. В данной главе диссертационной работы будет разработан метод поиска виртуальных связей при определённых ограничениях на матрицы М, С, С системы дифференциальных уравнений (2.6).

Для поиска периодических траекторий системы (2.6) необходимо исследовать свойства решений уравнения (2.9). Для этого найдём честное решение уравнения (2.9).

Используя подстановку

У = V ,

У =

понизим порядок уравнения (2.9): 1

(¿(/7

(©ы, ©'(</?)) 2/' + /? (ВЫ, ©'(</?), 0"М) у + 7 (вМ) = 0. (2.11)

Частное решение линейного неоднородного уравнения (2.11) при начальных условиях (/?(0) = 0, (р(0) = сро может быть представлено следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Суров, Максим Олегович, 2013 год

Литература

1. Юревич Е.И. "Основы робототехники". - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 416с.: ил.

2. Latombe J.С. "Robot Motion Planning" Kluwer Academic, Dordredt, 1991.

3. Li Z. and J.F. "Canny Nonholonomic Motion Planning" Kluwer Academic, Dordredt, 1992.

4. Mettin U., P. La Hera, L.B. Freidovich, A.S. Shiriaev "Parallel elastic actuators as control tool for preplanned trajectories of underactuated mechanical systems", International J. of Robotics Research, 29(9): 1186-1198, 2010.

5. L. B. Freidovich, P. La Hera, U. Mettin, A. Robertsson, A. S. Shiriaev, R. Johansson, "Shaping stable periodic motions of inertia wheel pendulum: theory and experiment", Asian Journal of Control, Vol. 11, No. 5, 2009, pp.548-556.

6. Shiriaev, A., Robertsson, A., Perram, J., Sandberg,A., "Periodic motion planning for virtually constrained mechanical system." Systems and Control Letters 55 (11), 900-907, 2006.

7. Torfs D.E., Vueriwkx R.. Swevers J., Sehoukens I., "Comparison of two feedforvard design methods aiming at accurate trajectory tracking of the end point of a flexible robot arm", IEEE Trans, on Cont. Sys. Tech., 6(1), pp. 1-14, 2008.

8. Freidovich L.B., U. Mettin, A.S. Shiriaev, M.W. Spong "A Passive 2-dof walker: hunting for gaits using virtual holonomic constraints" IEEE Transactions on Robotics, 25(5): 1202—1208, 2009.

9. Kapoor N., Teel A.R., Daoutidis P. "An Anti-Windup Design for Linear Systems with Input Saturation". Automatica, 34(5), 1998, pp. 559-574.

10. Sofrony J. "Anti-windup Compensation of Input Constrained Systems: Synthesis using Riccati Equations". VDM Verlag, 2009.

11. R. Goebel, R. Sanfelice, and A. Teel, "hybrid dynamical systems," IEEE Control Syst. Mag., vol. 4, pp. 28-93, 2009.

12. D. Liberzon, "Switching in Systems and Control". Cambridge, MA: Birkhaiiser, 2009.

13. E. Westervelt, J. Grizzle, C. Chevallereau, J. Choi, and B. Morris, "Feed-both Control of Dynamic Bipedal Robot Locomotion". Orlando, FL: CRC Press, 2009.

14. D. Bainov and P. Simeonov, "Systems With Impulse Effects: Stability, Theorem and Applications", ser. Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications. Chichester, U.K.: Ellis Horwood, 1989.

15. S. Nersesov, V. Chellaboina, and W. Haddad, "A generalization of Poincare's Theorem to hybrid and impulsive dynamical systems," Int. J. hybrid Syst., vol. 2, no. 1, pp. 39-55, 2009.

16. L. Freidovich, A. Shiriaev, and I. Manchester, "Stability analysis and control design for an underactuated walking robot via computation of a transverse linearization" in From 17 th 1FAC World Congress, Seoul, Korea, 2008,pp. 10166-10171.

17. A. Shiriaev, L. Freidovich, and I. Manchester, "Can we make a robot ballerina perform a pirouette? Orbital stabilization of periodic motions of underactuated mechanical system" Annu. Rev. Control, vol. 32, no.2, pp. 200-211, 2009.

18. J. Perram, A. Shiriaev, C. Canudas-de-Wit, and F. Grognard, "Explicit formula for a general integral of motion for a class of mechanical systems subject to holonomic constraint," in From 2nd 1FAC Workshop Control Methods Lagrangian Hamiltonian Syst., Seville, Spain, 2003, pp. 99-104.

19. G. Leonov, "Generalization of the Andronov-Vitt Theorem Regular and Chaotic Dynamics" vol. 11, no. 2, pp. 281-289, 2009.

20. M. Urabe, "Nonlinear Autonomous Oscillations". New York: Academic Press, 1967.

21. J. Hauser and C. Chung, "Converse Lyapunov functions for exponentially stable periodic orbits," Syst. Control Lett., vol. 23, no. 1, pp. 27-34, 1994.

22. C. Nielsen and M. Maggiore, "On local transverse feedback linearization," S1AM J. Control Optim., vol. 7, no. 5, pp. 2227-2250, 2009.

23. И.В.Мирошник, В.О.Никифоров, А.Л.Фрадков. "Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами". СПб.: Наука, 2000, 549с.

24. М.В. Дерябин. "О возможности приведения систем с сервосвязями к Лагранжеву виду". МГУ 2005.

25. Devjanin Е. A., Budanov V. М. "Motion control for the six-legged walking machine" Proc. Euromech 375 Biology and Technology of Walking, Munich, Germany, 1998: 101-107.

26. A. Dando "Robust Adaptive Control of Spacecraft Attitude Maneuvers", Faculty of Built Environment and Engineering Queensland University of Technology, July 2008.

27. Gurfinkel V. S. "Walking robot with supervisory control" Mechanism and Machine Theory, 1981.-Vol. 16.-P. 31-36.

28. R. K. Mittal, I. J. Nagrath. "Robotics And Control" Tata McGraw-Hill Education, 2003.

29. M.R. Akella, A. Valdivia, G.R. Kotamraju "Velocity-free attitude controllers subject to actuator magnitude and rate saturations". The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(4): 659-666.

30. N.I. Amelkin. "Rigid body dynamics", MIPT, 2008.

31. H. Bang, J. Lee, Y. Eun. "Nonlinear Attitude Control for a Rigid Spacecraft by Feedback Linearization". KSME International Journal, VoL 18 No.2, pp. 203-210, 2004.

32. A. Bobtsov. "A note to output feedback adaptive control for uncertain system with static nonlinearity". Automatica, vol. 41, N.12, pp. 1277-1280, 2005.

33. A.A. Bobtsov. "A Robust Control Algorithm for Tracking the Command Signal with Compensation for the Parasitic Effect of External Unbounded Disturbances". Automation and Remote Control, vol. 66, N. 8, pp. 1287-1295, 2005.

34. A. Bobtsov and N. Nikolaev. "Fradkov theorem-based design of the control of nonlinear systems with functional and parametric uncertainties". Automation and Remote Control, vol. 66, N. 1, pp. 108-118, 2005.

35. A. Bobtsov, N. Nikolaev, O. Slita. "Adaptive control of libration angle of a satellite" Mechatronics, Volume 17, Issues 4-5, 2007, pp. 271-276.

36. J.D. Boskovic, S-M. Li, R.K. Mehra. "Robust tracking control design for spacecraft under control input saturation". The Journal of Guidance, Control,

and Dynamics, 2004, 27(4): 627-633.

37. J.L. Crassidis, S.R. Vadali, F.L. Markley. "Optimal variable-structure control tracjing of spacecraft maneuvers". The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2000, 23(3): 564-566.

38. R. Cristi, J. Burl, N. Ruso. Adaptive quaternion feedback regulation for eigenaxis rotations. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1994, 17(6): 1287-1291.

39. A. Dando. Robust Adaptive Control of Spacecraft Attitude Maneuvers. Faculty of Built Environment and Engineering Queensland University of Technology, July 2008.

40. P.A. Iannou, J. Sun. Stable and robust adaptive control USA: Prentice-Hall, Inc. 1995.

41. J.L. Junkins, M.R. Akella, R.D. Robinett Nonlinear adaptive control of spacecraft maneuvers The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1997, 20(6): 1104-1110.

42. H.K. Khalil. Nonlinear Systems, Prentice Hall.

43. H.K. Khalil. Comparison of different techniques for nonlinear output feedback adaptive control. Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, 1999, vol.5, pp.4778-4783.

44. M. Krstic, I. Kanellakopoulos, P.V. Kokotovic. Nonlinear and adptive control design. USA: Wiley-Iterscience. 1995.

45. Y.D. Landau. Adaptive control: the model reference approach. USA: Marcel Dekker. 1979.

46. R.E. Mortensen. A globally stable linear attitude regulator. International Journal of Control, 1968, 8(3): 297-302.

47. K.S. Narendra, A.M. Anaswamy. Stable adaptive systems. USA: Prentice Hall, Inc. 1989.

48. D.C. Redding, N.J. Adams. Optimized rotation-axis attitude maneuver controller for the space shuttle orbiter. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, 10(1): 4-13.

49. R.D. Robinett et al. Lyapunov optimal saturated control for nonlinear systems. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1997, 20(6): 1083-1088.

50. N. Rouche, P. Habets, M. Laloy. Stability Theory by Lyapunov Direct Method, Springer, New York, 1977.

51. P. Tsiotras. Stabilization and optimality results for the attitude control problem. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1996, 19(4): 772-779.

52. R.J. Wallsgrove, M.R. Akella. Globally stabilizing saturated attitude control in the presence of bounded unknown disturbances. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(5): 957-963.

53. B. Wie, P.M. Barba. Quaternion feedback for spacecraft large-angle maneuvers. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1985, 8(3): 360-365.

54. B. Wie, J. Lu. Feedback control logic for spacecraft eigenaxis rotations under clew rate and control constraints. The Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1995, 18(6): 1372-1379.

55. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 1988.

56. К. Y. Wichlund, О. J. Sordalen, and O. Egeland. Control of vehicles with second-order nonholonomic constraints: Underactuated vehicles. In Proceedings of the European Control Conference, pages 3086-3091, Rome, Italy,1995.

57. Козлов В.В. Трещев Д.В., Биллиарды. Издательство МГУ 1991.

58. Ахмеров P.P. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

59. M.W. Spong, "Underactuated mechanical systems,"in В. Siciliano & К. Valavanis (Eds.), Control Problems in Robotics and Automation. Vol. 230 of Lecture Notes in Control and Inf. Sci., London, UK: Springer-Verlag.

60. A. Bicchi, V. Kumar, "Robotic Grasping and Contact: A Review Robotics and Automation, 2000. Proceedings. ICRA '00. IEEE International Conference.

61. M.W. Spong, "Energy based control of a class of underactuated mechanical systems"

62. M. Lynch, N. Shiroma, H. Arai, K. Tanie, "The roles of shape and motion on dynamic manipulation: the butterfly example," in Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1998.

63. M. Cefalo, L. Lanari, G. Oriolo, "Energy-based control of the butterfly robot," in Proceedings of 8th International IFAC Symposium on Robot Control, 2006.

64. Leonid B. Freidovich, Anton S. Shiriaev, Ian R. Manchester, "Experimental implementation of stable oscillations of the Furuta pendulum around the upward equilibrium IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems San Diego, CA, USA, Oct 29 - Nov 2, 2007.

65. A. S. Shiriaev, J. W. Perram, C. Canudas-de-Wit, "Constructive Tool for Orbital Stabilization of Underactuated Nonlinear Systems: Virtual Constraints Approach,"IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 50, no. 8, pp. 1164-1176, 2005.

66. A. S. Shiriaev, L. B. Freidovich, "Transverse Linearization for Controlled Mechanical Systems With Several Passive Degrees of Freedom", IEEE Transaction on Automatic Control, vol. 55, no. 4, pp. 893-906, 2010.

67. L. B. Freidovich, A.Robertson, A. S. Shiriaev, R. Johansson, "Periodic motions of the Pendubot via virtual holonomic constraints: Theory and experiments", Automatica, no. 44 pp. 785 - 791, 2008.

68. A. Astolfi, D. Karagiannis, R. Ortega, "Nonlinear and Adaptive Control with Applications", Springer

69. Bobtsov A., Kolyubin S., Pyrkin A., Shavetov V., Chepinskiy S., Kapitanyuk Y., Kapitonov A., Bardov V., Titov A., Surov M., "Using of LEGO Mindstorms NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory" // 18th IFAC World Congress. Milan. Italy. 2011.

70. Maksim O. Surov, Anton A. Pyrkin, Alexey A. Bobtsov, "Attitude Control of the Spacecraft with Unknown Inertia Tensor" // IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Dubrovnik. Croatia. 2012.

71. Maxim Surov, Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov, "Motion control of the six-legged walking robot with unknown inertia matrix" // IFAC Conference of Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

72. Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov, Sergey Kolyubin, Maksim Surov, Alexey Vedyakov, Serge Vlasov, Aleksandr Krasnov, Oleg Borisov, Vladislav Gromov, "Dynamic Positioning System for Nonlinear MIMO Plants and Surface Robotic

Vessel" // Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

73. Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov, Sergey Kolyubin, Maksim Surov, Sergei Shavetov, Oleg Borisov, Vladislav Gromov, "Simple Output Stabilization Approach for Robotic Systems" // Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

74. Бобцов А.А., Пыркин А.А., Суров M.О., "Управление ориентацией летательного аппарата с неизвестным тензором инерции" // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2013. № 3. С. 65-70.