Первопринципное моделирование решёточных и магнитных свойств низкоразмерных оксидов переходных металлов. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Комлева Евгения Викторовна

• Комлева Евгения Викторовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Комлева Евгения Викторовна

Введение

1 Методы и приближения расчетов электронной структуры

1.1 Теория функционала плотности

1.1.1 Постановка задачи: от многоэлектронной волновой функции к электронной плотности

1.1.2 Функционал плотности. Формулировка Хоэнберга-Кона

1.1.3 Самосогласованные уравнения Кона-Шэма

1.2 Приближения для функционала обменно-корреляционной энергии

1.3 Методы первопринципных расчётов фононных спектров

1.3.1 Молекулярная динамика

1.3.2 ЭРТ-методы: метод линейного отклика и метод «замороженных» фононов

2 Моделирование динамики решётки и магнитных возбуждений

в слоистых рутенатах SrRu2O6 и AgRuOз

2.1 Кристаллическая структура и физические свойства 8гКи2О6 и

л§Кпаз

2.2 Первопринципный расчёт фононного спектра и его сравнение с экспериментальными данными

2.2.1 БгЯ^Об

2.2.2 Л§КиОз

2.2.3 Промежуточные выводы

2.3 Расчёт магнонной плотности состояний и интерпретация высокочастотного возбуждения в 8гКи2О6

2.4 Расчёт электронной структуры и магнитных свойств Л§КиО3

2.5 Моделирование возможных мюонных возбуждений в Л§КиО3

2.6 Выводы

52

3 Первопринципное моделирование динамики решётки димеризо-ванной фазы Li2RuOз

3.1 Кристаллическая структура и экспериментальные свойства Ы2Ки03

3.2 Расчёт частот колебаний атомов в центре зоны Бриллюэна для низкотемпературной фазы и сравнение с экспериментальными данными

3.3 Сравнение с экспериментами по комбинационному рассеянию света и интерпретация результатов

3.4 Выводы

4 Описание ^-электронов в кластерных моттовских диэлектриках на примере серии Ba4NbTM3Ol2, TM=Mn, Rh, Ь

4.1 Кристаллическая структура и физические свойства Ба4КЬТМ3012. ТМ=Мп, ЯЬ, 1г

4.2 Немагнитный расчёт электронной структуры в приближении СОЛ

4.2.1 Моделирование зонной структуры

4.2.2 Оценка модельных параметров системы

4.2.3 Анализ орбитальных заселённостей (метод С0НР)

4.2.4 Промежуточные выводы

4.3 Расчёт зонной структуры с учётом корреляционных эффектов и спин-орбитального взаимодействия

4.3.1 Модельный расчёт влияния спин-орбитального взаимодействия на электронные свойства

4.3.2 Анализ орбитальных заселённостей (метод С0НР)

4.3.3 Моделирование зонной структуры

4.4 Выводы

5 Вычисление параметров обменного взаимодействия и анализ

магнитных свойств PdCrO2

5.1 Кристаллическая структура и экспериментальные свойства Р^гО2

5.2 Расчёт параметров изотропного обменного взаимодействия в модели Гайзенберга и нахождение основного магнитного состояния системы

5.3 Спин-волновой спектр и оценка температуры магнитного упорядочения в рамках спин-волновой теории

5.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Изучение электронных, магнитных и структурных свойств оксидов переходных металлов является одним из основных направлений физики конденсированного состояния. Это обусловлено разнообразием физических свойств данных соединений. Во многих из них наблюдаются структурные и магнитные фазовые переходы, а также переходы металл-диэлектрик, орбитально-селективное поведение, кластерный магнетизм, различные аномалии транспортных и магнитных свойств.

Первый класс веществ, рассматриваемых в работе, - рутенаты, являющиеся объектами интенсивных исследований как у нас в стране, так и за рубежом. В рамках диссертации было рассмотрено три оксидных соединения рутения, имеющих решётку типа пчелиные соты. Во всех этих материалах помимо низ-кочастотых возбуждений имеют место и высокочастотные, природа которых до настоящего времени была не выяснена.

Другой исследуемый в работе класс веществ - недавно синтезированные кластерные мотт-хаббардовские диэлектрики Ба4КЬТМ3012, где ТМ = Мп, ЯЬ, 1г, - представляют собой соединения с широким спектром интересных физических свойств. Несмотря на сходство кристаллической структуры магнитные свойства систем сильно отличаются: в зависимости от иона переходного металла в них возникает дальний магнитный порядок (Ба4КЬМп3012) или возможна реализация спин-жидкостного основного состояния (Ба4КЬ1г3012).

Последнее рассматриваемое соединение со слоями треугольной решётки магнитных атомов - Р^г02 - обладает уникально высокой электрической проводимостью (сопоставимой с проводимостью чистого Л§), что делает его интересным не только для фундаментальной науки, но и для последующего практического применения.

Понять природу процессов, происходящих в выше названных соединениях, и объяснить наблюдаемые физические свойства помогает анализ результатов

первопринципных расчётов, основанных на теории функционала плотности. В число особенностей, которые можно описать с помощью этого подхода с привлечением элементов других теорий (спин-волновая теория, теория возмущений функционала плотности), входят электронные, структурные и магнитные свойства материалов.

Цели и задачи диссертационной работы.

Цель работы состояла в том, чтобы с помощью первопринципных расчётов исследовать решёточные и магнитные свойства некоторых низкоразмерных оксидов переходных металлов, а именно рутенатов с решёткой типа «пчелиные соты» 8гКи2О6, Л§КиО3 и Ы2КиО3, системы со структурными тримерами переходных металлов Ва4КЬТМ3О12 (ТМ=Мп, ЯЬ, 1г) и слоистого соединения с большим параметром фрустрации Р^гО2.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Провести первопринципные расчёты динамики решётки, электронных и магнитных возбуждений в 8гКи2О6 и Л§ЯиО3 и объяснить механизм возникновения и особенности поведения пиков, наблюдаемых в спектрах комбинационного рассеяния света и мюонной спиновой спектроскопии.

2. Провести моделирование динамики решётки соединения Ы2ЯиО3 и определить фононные моды, отвечающие за эффективное перемещение диме-ров по решётке.

3. С помощью первопринципных расчётов описать поведение ё, электронов в серии кластерных моттовских диэлектриков Ва4КЬТМ3О12 (ТМ=Мп, ЯЬ, 1г) и определить возможность применения модели молекулярных орбита-лей в зависимости от номера периода, к которому принадлежит переходный металл в таблице Д.И. Менделеева.

4. Из первых принципов оценить параметры обменного взаимодействия в соединении Р^гО2 и в рамках самосогласованной спин-волновой теории

проанализировать применимость модели Гайзенберга для описания магнитных свойств системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Первопринципное моделирование решёточных и магнитных свойств низкоразмерных оксидов переходных металлов.»

Актуальность темы исследования.

В соединениях переходных металлов важную роль играет электрон-электронное взаимодействие, которое определяет физические свойства этих материалов. В определённых ситуациях это взаимодействие приводит к локализации электронов на узлах и, как следствие, диэлектрическим свойствам, которые невозможно получить для данных материалов в рамках классической зонной теории. Такие соединения переходных металлов носят название диэлектриков Мотта. Этот класс материалов интересен тем, что в них возможен фазовый переход в металлическую фазу под воздействием внешних факторов (температура, давление, легирование).

В последнее время большую популярность обретают кластерные моттов-ские диэлектрики. Их характерной особенностью является локализация электронов не на отдельном ионе переходного металла, а на их группе - кластере. На языке квантовой механики это означает, что волновая функция такого электрона является суперпозицией атомных состояний изолированного иона. Происходит формирование молекулярных орбиталей.

В состав таких кластеров может входить два (димер), три (тример) и большее число ионов. В данной работе рассматриваются слоистая система Ы2Яи03 с динамическим распределением димеров атомов Яи в высокотемпературной фазе и серия недавно синтезированных изоструктурных соединений Ба4КЬТМ3012 (ТМ = Мп, ЯЬ, 1г), в составе которых имеются линейные тримеры переходных металлов, принадлежащих различным периодам таблицы Д.И. Менделеева. Существование таких кластеров влечёт появление в них дополнительных «внутри-кластерных» степеней свободы, которые могут приводить к новым необычным физическим свойствам.

Молекулярные орбитали могут формироваться не только в структурно

обособленных группах атомов, но и быть обусловлены особенностью геометрии решётки соединения. Например, молекулярные орбитали могут образовываться на практически не искажённой решётке типа «пчелиные соты», как это показано для рассматриваемых в данной работе рутенатов 8гКи2О6 и Л§ЯиО3. На микроскопическом языке это означает, что орбитали определённой направленности сильно перекрываются, а перескоки электронов между орбиталями другой симметрии практически подавлены.

Очевидно, что локализация электронов на структурных кластерах и молекулярных орбиталях может приводить к появлению интересных магнитных свойств. В последнее время, наряду с кластерными магнетиками, большое внимание уделяется изучению соединений, имеющих треугольную решётку магнитных атомов. Подобная геометрия решётки зачастую приводит к фрустрирован-ному основному состоянию и, в итоге, к необычным магнитным и электронным свойствам системы, как, например, в рассматриваемом в работе слоистом соединении Р^гО2.

Научная новизна.

Впервые установлена природа всех наблюдаемых в спектрах комбинационного рассеяния света возбуждений в рутенатах 8гКи2О6, Л§ЯиО3 и Ь12ЯиО3. Предложено объяснение наблюдаемого пика в спектрах мюонной спиновой спектроскопии в Л§ЯиО3. Впервые выявлены колебательные моды, отвечающие особенностям структурных свойств Ы2ЯиО3. Впервые установлено, что в серии соединений Ва4КЬТМ3О12, где ТМ = Мп, ЯЬ, 1г, с увеличением номера периода, к которому принадлежит ТМ в таблице Д.И. Менделеева, происходит изменение от локализации электронов на одном узле к локализации на кластере из трёх ионов и формированию молекулярных орбиталей. Показано, что для описания магнитных свойств соединения Р^гО2 необходим выход за пределы модели Гайзенберга.

Степень разработанности темы исследования.

Все перечисленные выше классы материалов имеют сложное основное со-

стояние. Это касается также и возбуждённых состояний, которые могут быть исследованы с помощью метода комбинационного рассеяния света. Он чувствителен к возбуждениям различной природы, поэтому необходим инструмент, который может однозначно определить механизм возникновения пиков в экспериментально наблюдаемых спектрах. Первопринципное исследование динамики решётки (фононов) и других элементарных возбуждений (магнонных или электронных) позволяет установить природу наблюдаемых явлений и интерпретировать получаемые спектры.

В слоистых рутенатах 8гЯи20б, Л§Яи03 и Ы2Яи03, исследуемых в работе, имелись сведения о наблюдаемых в спектрах комбинационного рассеяния света пиках с энергией до ~ 2500 см-1 300 мэВ), однако не было их интерпретации.

Для серии недавно синтезированных кластерных магнетиков Ба4КЬТМ3012, где ТМ = Мп, ЯЬ, 1г, отсутствовало понимание причины столь различных электронных и магнитных свойств в изоструктурных соединениях, отличающихся лишь ионом переходного металла, образующего тример.

В слоистом соединении с треугольной решёткой магнитных атомов Р^г02 была экспериментально установлена неожиданно низкая температура магнитного перехода ~ 37 К и большая по величине отрицательная температура Кюри-Вейсса ~ -500 К, однако не были рассмотрены факторы, способные привести к столь значительному различию этих параметров.

Результаты исследований, представленные автором в работе, позволили устранить этот ряд существовавших до сегодняшнего дня пробелов в понимании физических свойств названных материалов.

Положения, выносимые на защиту.

1. В спектре комбинационного рассеяния света 8гЯи20б имеются три типа возбуждений: (1) однофононные процессы, которым соответствуют пики в диапазоне от 0 до ~ 650 см-1 (80 мэВ), (2) двухфононные процессы,

которым соответствует пик на ~ 1200 см-1 (150 мэВ), и (3) электронный переход через запрещенную зону, которому соответствует энергия выше 2000 см-1 (250 мэВ).

2. Однофононные процессы в Л§ЯиО3 полностью описывают спектр комбинационного рассеяния света до 700 см-1 (90 мэВ). Особенности поведения пиков в данных мюонной спиновой спектроскопии Л§ЯиО3 интерпретированы как результат переходов под действием температуры между ближайшими геометрически эквивалентными ловушками, обусловленными минимумами электростатического потенциала системы.

3. Колебания атомов Яи, соответствующие фононным модам симметрии Ад с частотой 198 см-1 и Вд с частотой 192 см-1 (обе ~ 24 мэВ), связаны с эффективным движением димеров Яи по кристаллической решётке в высокотемпературной фазе Ы2ЯиО3 .

4. В серии кластерных магнетиков Ва4КЬТМ3О12 (ТМ=Мп, ЯЬ, 1г) существует тенденция к формированию молекулярных орбиталей с увеличением номера периода, в котором находится переходный металл в таблице Д.И. Менделеева. В случае тримеров Мп электроны локализуются на атомопо-добных орбиталях, в системе на основе 1г на кластере формируются молекулярные орбитали. В тримерах ЯЬ (4^) реализуется промежуточная картина.

5. Для описания магнитных свойств слоистой системы Р^гО2 с треугольной решёткой атомов Сг необходим выход за пределы модели Гайзенберга.

Теоретическая и практическая значимость.

Анализ полученных фононных спектров, а также оценки энергии возможных электронных и магнитных возбуждений позволили идентифицировать пики в спектрах комбинационного рассеяния света в рутенатах с решёткой типа «пчелиные соты» БгЯи2О6, Л§ЯиО3 и Ы2ЯиО3.

Установлена применимость модели молекулярных орбиталей для серии изоструктурных соединений Ba4NbTM3O12 в зависимости от номера периода, к которому принадлежит переходный металл в таблице Д.И. Менделеева. Показано, что широко используемое в химической литературе правило сравнения длин связи TM-TM в соединении и в чистом металле TM для определения формирования молекулярных орбиталей справедливо не всегда.

С помощью расчётов температуры магнитного перехода в PdCrO2 в рамках теории среднего поля и самосогласованной спин-волновой теории продемонстрировано, что для корректного описания магнитных свойств этого соединения необходим выход за пределы модели Гайзенберга.

Методология и методы исследования. Для описания электронной структуры и магнитных свойств твёрдых тел использованы методы теории функционала плотности DFT (Density Functional Theory), а также приближения, позволяющие учесть сильные кулоновские корреляции в рамках статического среднего поля GGA+^ (GGA — Generalized Gradient Approximation). Для проведения расчётов зонной структуры использованы следующие пакеты программ: VASP, wien2k, LOBSTER, WANNIER90.

Для моделирования динамики кристаллической решётки рассматриваемых соединений применялся метод «замороженных» фононов (программы PHONOPY и VASP).

Для расчётов основного магнитного состояния системы использовался метод Латтинжера-Тиссы, для моделирования магнонного спектра и оценки температуры магнитного упорядочения - самосогласованная спин-волновая теория [1,2].

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается обоснованным выбором физических приближений, использованием широко апробированных методов и подходов для расчета электронных, магнитных и решёточных свойств соединений на основе переходных металлов, а также согласием с экспе-

риментальными данными.

Основные положения диссертации докладывались автором на семинарах лаборатории теории низкоразмерных спиновых систем и лаборатории оптики металлов ИФМ УрО РАН, а также на следующих конференциях: 16-ой школе молодых учёных европейского общества теоретической спектроскопии YTSF, г. Доностия, Испания, июнь 2019 г.; 7-ом Евразийском симпозиуме «Тренды в магнетизме» EASTMAG, г. Екатеринбург, сентябрь 2019 г.; XX Школе-конференции молодых ученых «Проблемы физики твердого тела и высоких давлений», г. Сочи, сентябрь 2021 г.; Международной конференции «Функциональные материалы» ICFM 2021, г. Алушта, Крым, октябрь 2021 г.; XXXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка», г. Екатеринбург, апрель 2022 г.

Личный вклад автора. Результаты, изложенные в работе, получены автором под руководством д.ф.-м.н., члена-корреспондента РАН Стрельцова Сергея Владимировича. Автор совместно с научным руководителем участвовал в постановке задач, выборе методов их решения, а также в анализе и интерпретации полученных результатов. Обсуждение результатов проводилось автором совместно с научным руководителем и при необходимости с другими соавторами.

В рамках подхода теории функционала плотности лично автором проведены расчёты электронной структуры и моделирование динамики решётки исследованных соединений. Дополнительно для отдельных соединений автором смоделирована плотность магнонных состояний (SrRu2O6), построен электростатический потенциал (AgRuO3), выполнен COHP анализ (COHP — Crystal Orbital Hamiltonian Population - метод построения орбитальной заселённости гамильтониана в кристалле) (Ba4NbTM3O12), получены константы обменного взаимодействия, определено основное магнитное состояние и оценена температура магнитного перехода (PdCrO2).

Соответствие диссертации паспорту специальности. Содержание

диссертации соответствует пункту 1 «Теоретическое и экспериментальное изучение физической природы свойств металлов и их сплавов, неорганических и органических соединений, диэлектриков и, в том числе, материалов световодов как в твердом (кристаллы, поликристаллы), так и в аморфном состоянии в зависимости от их химического, изотопного состава, температуры и давления» паспорта специальности 1.3.8. Физика конденсированного состояния.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. В первой главе приведен обзор основных методов расчёта электронных и структурных свойств изучаемых материалов. Вторая глава посвящена моделированию динамики решётки и магнитных возбуждений в слоистых рутенатах 8гЯи20б и Л§Яи03. В третьей главе представлены результаты исследования динамики решётки Ы2Яи03. В четвёртой главе обсуждается возможность формирования молекулярных орбиталей в кластерных моттовских системах с увеличением номера периода, в котором находится переходный металл в таблице Д.И. Менделеева, на примере серии изоструктур-ных соединений Ба4КЬТМ3012, где ТМ=Мп, ЯЬ, 1г. Пятая глава посвящена исследованию магнитных свойств слоистой системы с треугольной решёткой магнитных атомов Р^г02 и анализу применимости модели Гайзенберга к их описанию. В Заключении обсуждаются новизна, научная и практическая значимость работы, а также приведены основные результаты и выводы.

Текст диссертации, включая 30 рисунков и 6 таблиц, занимает 110 страниц. Список литературы содержит 85 наименований.

1 Методы и приближения расчетов электронной

структуры

1.1 Теория функционала плотности

Теория функционала плотности занимает важное место во многих областях современной физики, в том числе и в физике конденсированного состояния.

В рамках данного подхода энергия основного состояния взаимодействующих частиц во внешнем поле и термодинамический потенциал системы являются однозначными функционалами плотности числа частиц - зарядовой (электронной) плотности п(г), а минимизация такого функционала даёт истинное распределение зарядовой плотности в системе.

Преимуществом метода является зависимость зарядовой плотности лишь от трёх координат в реальном пространстве, в отличие от многоэлектронных волновых функций с большим числом переменных. Основная проблема, возникающая в построении теории, заключается в том, что точный вид функционала не известен [3].

1.1.1 Постановка задачи: от многоэлектронной волновой функции к электронной плотности.

Отличительной особенностью твёрдых тел является периодичность их кристаллической структуры. Это приводит к тому, что при моделировании электронных свойств кристаллов решается задача о взаимодействующих электронах в периодическом потенциале, создаваемом атомными ядрами в узлах решётки. Так как масса электронов и ядер отличается на несколько порядков, то последние обладают значительно большей инерцией и их можно условно считать неподвижными. Ядра покоятся в узлах кристаллической решётки, то есть кине-

тической энергией ядер пренебрегают. В общем случае (если пренебрегать кинетической энергией ядра нет необходимости) ядерные и электронные волновые функции согласно этому подходу можно просто разделить. Такое приближение называется адиабатическим приближением Борна-Оппенгеймера [4].

Такой подход даёт возможность записать нерелятивистское уравнение Шрёдингера для многочастичной электронной волновой функции Ф в форме:

Нф — + ^nucleus + —е_ + —nucleus + ^Nucleus—nucleu^j Ф — Е(1.1)

где Те- и Tnucieus - операторы кинетической энергии электронов и ядер, Ve- — е-, Ve- —nucleus и Vnucieus—nucleus - операторы электрон-электронного, электрон-ядерного и межъядерного взаимодействий.

Для решения электронной задачи слагаемым, отвечающим за межъядерное взаимодействие, можно пренебречь, так как оно не зависит в явном виде от электронной части и даёт лишь некоторый сдвиг по энергии.

С учётом вышеназванных приближений (пренебрегая кинетической энергией ядер Tnucieus и их электростатическим взаимодействием VnUcieus—nucleus) уравнение (1.1) имеет вид:

(—&▽+2ç И—Е irSi)* —Вф, (-)

где е - модуль заряда электрона, r - радиус-вектор ¿-ого электрона, R/ - радиус-вектор 1-ого ядра, Zi - зарядовое число 1-ого ядра.

Точно решить уравнение (1.2) для системы электронов даже в случае неподвижных ядер невозможно. Приближённое решение находится в рамках расчётов из первых принципов (ab initio) [5,6].

Первый шаг на пути упрощения задачи - переход от многочастичных волновых функций к одночастичным, осуществлённый Хартри [7]. Он предложил модель самосогласованного поля и представил многочастичную волновую функцию в виде произведения одночастичных, являющихся решением одночастично-го уравнения Шрёдингера для электрона в кулоновском поле других электронов

и заданном внешнем потенциале:

/ П2 \

[- ^^ V2 +УгСои1отЪ + Уех<)фг(п) = егфг(п), (1.3)

а кулоновский потенциал, в свою очередь, находится с помощью уравнения Пуассона, в которые входят эти волновые функции:

N

V2 уСоиЬтЪ = 4^е2 ^ |^|2. (1.4)

3=1,г=3

В дальнейшем этот подход был улучшен в работе Фока, взявшего в качестве многочастичной волновой функции детерминант Слэтера для её антисимметричного относительно перестановок вида [8]. Несмотря на переход от многочастичной волновой функции к набору одночастичных, данный подход оказался неприменим для систем с большим числом электронов из-за громоздкости расчётов.

Следующей попыткой приближенного решения уравнения (1.2) была теория Томаса-Ферми [9, 10], причём в отличие от появившейся позднее теории функционала плотности, она не была строгой и математически обоснованной и давала узко ограниченный объём полезных результатов. Это приближённая теория, в которой энергия системы электронов рассматривалась уже в терминах распределения электронной плотности п(г) в основном состоянии системы. Она позволяла рассчитать энергетические спектры некоторых атомов и молекул и некоторые качественные характеристики, но была неприменима в вопросах химии и материаловедения. Первоначально эта теория не учитывала обменное взаимодействие, которое было позднее добавлено Дираком в качестве отдельного слагаемого, также зависящего от электронной плотности [11].

Вальтер Кон, один из основоположников теории функционала плотности, в Нобелевской лекции признался, что именно эта теория обратила его внимание на вопрос о возможности полного и точного описания электронной структуры основного состояния системы в терминах п(г) [12].

1.1.2 Функционал плотности. Формулировка Хоэнберга-Кона.

Ответ на поставленный Коном вопрос о возможности плотности п(г) полностью охарактеризовать систему был положительным.

Теория функционала плотности строится на теореме, сформулированной и доказанной Хоэнбергом и Коном, согласно которой плотность п(г) основного состояния связанной системы взаимодействующих электронов в некотором внешнем потенциале однозначно определяет этот потенциал [5].

Второй основополагающей теоремой в теории функционала плотности является Принцип минимума, который гласит, что энергия электронной подсистемы, записанная как функционал электронной плотности, имеет абсолютный минимум, равный энергии основного состояния системы.

Енк [п] = Т [п] + Еш[п] + ; £гУехЛ(г)п(г) (1.5)

= Рик [п] + ; в3гУехЛ(г)п(г). (1.6)

Здесь Рнк[п] - функционал, включающий в себя все «внутренние» энергии электронной системы - кинетическую Т[п] и потенциальную ¿^¿[п].

1.1.3 Самосогласованные уравнения Кона-Шэма.

Опираясь на квантовую механику и теоремы Хоэнберга-Кона решим задачу о взаимодействующих электронах в заданном внешнем потенциале.

В дальнейшем для удобства будем писать уравнения в атомной системе единиц, в которой заряд электрона и его масса принимаются равными единице. Невзаимодействующие электроны.

Рассмотрим сначала систему невзаимодействующих электронов с распределением плотности п(г) в некотором заданном внешнем потенциале у(г). Тогда энергию и плотность основного состояния можно найти, вычислив собственные функции (р^ (г) и собственные значения е^ следующих одночастичных уравнений

без взаимодействия:

(- 2 V2 (г) - е3) щ (г) = 0. (1.7)

Тогда:

N

Е = £ е,, (1.8)

3=1

N

п(г) = £ ^(г)|2. (1.9)

3=1

Взаимодействующие электроны.

Сведём имеющуюся задачу о взаимодействующих электронах в заданном внешнем потенциале у(г) (1.5) к форме, совпадающей с (1.7).

Для этого запишем функционал для определения полной энергии системы

в виде:

Е, [п( г)] =

^(г)п(г)^г + Т [п(г)] + -

2

й(г)й(£+ыт- (1.10)

|г — г'|

Здесь Т[п(г)] - функционал кинетической энергии невзаимодействующих электронов, ДеС[п(г)] - функционал обменно-корреляционной энергии, п(г) - некоторая электронная плотность (не обязательно основного состояния).

Определим эффективный потенциал уец(г) так, чтобы по виду перейти к форме задачи о невзаимодействующих электронах:

п(г')

(г) = У(г) +

+ ^хс(г) , (1.11)

|г — г'|

то есть эффективный потенциал, в котором находятся "невзаимодействующие" электроны, представляется как сумма внешнего потенциала у(г) (первое слагаемое), потенциала поля электронов (второе слагаемое) и локального обменно-корреляционного потенциала ухс(г), функционально зависящего от полного распределения плотности п(г):

Ухс(г)= Ехс[й(г)

. (1.12)

п(г)=п(г)

Тогда задача о взаимодействующих электронах в заданном внешнем потенциале у(г) переходит по форме в задачу о невзаимодействующих электронах в некотором эффективном потенциале уец(г), включающем в себя заданный внешний потенциал, кулоновское поле электронов и локальный обменно-корре-ляционный потенциал. Тогда по аналогии с (1.7) минимизирующая электронная плотность п(г) определяется путём решения одночастичного уравнения:

(- 1 V2 (г) - е>) щ (г) = 0 (1.13)

с учётом соотношений

N

п(г) = £ ^(г)|2, (1.14)

3=1

п(г')

(г) = У(г) +

'-йг' + ^с(г). (1.15)

| г — г' 1

Эти самосогласованные уравнения носят название уравнений Кона-Шэма. Введённый эффективный потенциал уец (г) и есть в данном случае внешний потенциал УехЛ, введённый в первой теореме Хоэнберга-Кона и однозначно определяемый электронной плотностью п(г).

Энергия основного состояния определяется по следующей формуле: N

Е = ^2 ез + Ехс[п(г)\

3=1

Ухс(г)п(г)(1г — 2

п(г)п(г') <}*'. (1.16)

|г — г'|

1.2 Приближения для функционала обменно-корреляционной энергии.

Обменно-корреляционый член Ехс[п(г)\, появившийся в уравнениях Кона-Шэма (1.13), описывает уменьшение кулоновского отталкивания между электронами в одном спиновом состоянии вследствие принципа Паули (обменное взаимодействие) и чисто корреляционные эффекты, обусловленные не независимым движением электронов.

Для того, чтобы численно решить уравнения Кона-Шэма (1.13), необходимо знать явный вид функционала обменно-корреляционной энергии Exc[n(r)].

Универсальное выражение для функционала обменно-корреляционной энергии не известно, однако существует ряд приближений, обеспечивающих корректные результаты. Эти приближения отражают физику электронной структуры, имеют квазилокальный вид и формулируются вне рамок теории функционала плотности.

Простейшим, но чрезвычайно полезным является приближение локальной плотности (Local Density Approximation, LDA), в котором обменно-корреляци-онная энергия представляется в виде интеграла по пространственным переменным r, причём подынтегральное выражение зависит только от локального значения электронной плотности n(r):

Дхс[п(г)] =

n(r)cxC(n(r))dr, (1.17)

где exc - вклад обменной и корреляционной энергий одного электрона в полную энергию однородного взаимодействующего электронного газа плотности n(r) [6]. Для спин-поляризованных систем используют приближение локальной спиновой плотности (Local Spin Density Approximation, LSDA) - обобщение приближения локальной плотности для спин-поляризованных систем.

Более сложное приближение - обобщенное градиентное приближение (Generalized Gradient Approximation, GGA) - учитывает нелокальные поправки путём включения в выражение для обменно-корреляционной энергии производной (градиента) локальной электронной плотности [13]:

Exc[n(r)}= n(r)e~xc(n(r), | V n(r)|)rfr. (1.18)

Эти приближения дают адекватные результаты для расчётов s— и р—электронов, которые могут рассматриваться как делокализованные. Полную энергию системы, получаемую в рамках таких приближений, обозначим ЕLDA.

Сложнее обстоят дела с d— и f—электронами, которые локализованы и для которых эффекты электрон-электронного взаимодействия достаточно сильные.

Для корректного описания основного состояния таких систем (их называют системами с сильными электронными корреляциями) используются и ООЛ+^ приближения. Основным преимуществом данных приближений является их относительно простая реализация в рамках уже существующей теории.

Суть «+и» методов заключается во введении в выражение для функционала полной энергии дополнительного члена с параметром и, описывающего сильное одноузельное куловонское взаимодействие электронов. Таким образом, сильно коррелированные электронные состояния описываются этим дополнительным слагаемым, представимым в виде гамильтониана модели Хаббарда ^НиЪЪагд,. Остальные валентные электроны (в— и р—) описываются в рамках обычного БЕТ (ЬЭЛ или ООЛ) подхода.

В рамках такого подхода получается, что й- или /- состояния учитываются дважды - один раз в рамках стандартного БЕТ, ЕЬПА, а другой - в хаббардовском члене ЕНиЪЪаг<*, описывающем корреляции. Для предотвращения двукратного учёта этих состояний ^оиЬ1е-соип1;т§, необходимо вычесть поправку, учитывающую этот факт, Е3,с, - кулоновскую и обменную энергию (1—электронных состояний в БЕТ.

В этом случае функционал полной энергии, например, в приближении ЬЭЛ+и запишется в виде:

где N - полное число локализованных электронов системы, - заселённость ¿—ой орбитали.

^ЬБА+и _ ^ЬВА + ^[^(г)] _ ^ЬВА + ^НиЬЬаг<1 _ ^¿с

_ ЕьпА + | Е = ПгЩ — \N(М + 1),

(1.19)

(1.20)

1.3 Методы первопринципных расчётов фононных спектров

Многие важные свойства кристаллов (теплоёмкость, теплопроводность и др.) определяются особенностями колебательных спектров кристаллов. В этом плане представляет интерес исследование динамики решётки кристаллов.

Фононы - это квазичастицы, представляющие собой квантованные колебания кристаллической решётки. Введение такой квазичистицы позволяет в значительной мере упростить описание динамики решётки твёрдого тела. Иными словами, фононы - это коллективные колебания ионов в кристаллах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Комлева Евгения Викторовна, 2022 год

Список литературы

1. Irkhin, V. Y. Self-consistent spin-wave theory of layered Heisenberg magnets / V. Y. Irkhin, A. A. Katanin, M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B.— 1999.— Vol. 60. — P. 1082-1099.

2. Schmidt, B. Stabilization of neel order in frustrated magnets with increasing magnetic field / B. Schmidt, M. Siahatgar, P. Thalmeier // EPJ Web of Conferences. — 2013. — Vol. 40. — P. 04001.

3. Прудников, В. Квантово-статистическая теория твёрдых тел / В. Прудников, П. В. Прудников, М. Мамонова. — СПб: Издательство «Лань», 2016.

4. Born, M. Zur quantentheorie der molekeln / M. Born, R. Oppenheimer // An-nalen der Physik. — 1927. — Vol. 389. — P. 457-484.

5. Hohenberg, P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Phys. Rev. — 1964. — Vol. 136. — P. B864-B871.

6. Kohn, W. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L. J. Sham // Phys. Rev. — 1965. — Vol. 140. — P. A1133-A1138.

7. Hartree, D. The wave mechanisms of an atom with a non-coulomb central field. Part I. Theory and methods / D. Hartree // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1928. —Vol. 24. —P. 89-110.

8. Фок, В. Приближенный способ решения квантовой задачи многих тел / В. Фок // УФН. — 1967. — Т. 93. — С. 342-361.

9. Thomas, L. H. The calculation of atomic fields / L. H. Thomas // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1927. — Vol. 23, № 5. — P. 542-548.

10. Fermi, E. Eine statistische methode zur bestimmung einiger eigenschaften des atoms und ihre anwendung auf die theorie des periodischen systems der elemente / E. Fermi // Zeitschrift fuer Physik. — 1928. — Vol. 48. — P. 73-79.

11. Dirac, P. A. M. Note on exchange phenomena in the Thomas atom / P. A. M. Dirac // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. —

1930. — Vol. 26, № 3. — P. 376-385.

12. Кон, В. Электронная структура вещества - волновые функции и функционалы плотности / В. Кон // УФН. — 2002. — Т. 172, № 3.

13. Perdew, J. P. Generalized gradient approximation made simple / J. P. Perdew, K. Burke, M. Ernzerhof // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Vol. 77. — P. 3865-3868.

14. Kohn, W. Density functional theory of electronic structure / W. Kohn, A. D. Becke, R. G. Parr // J. Phys. Chem. — 1996.— Vol. 100, № 31.— P. 12974-12980.

15. Phonons and related crystal properties from density-functional perturbation theory / S. Baroni, S. de Gironcoli, A. Dal Corso, P. Giannozzi // Rev. Mod. Phys. — 2001. — Vol. 73. — P. 515-562.

16. Kunc, K. Ab initio force constants of gaas: A new approach to calculation of phonons and dielectric properties / K. Kunc, R. M. Martin // Phys. Rev. Lett. — 1982. — Vol. 48. — P. 406-409.

17. Martin, R. M. Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods / R. M. Martin. — Cambridge University Press, 2004.

18. Togo, A. First principles phonon calculations in materials science / A. Togo, I. Tanaka // Scripta Materialia. — 2015. — Vol. 108. — P. 1-5.

19. Stucky, G. D. Structural aspects of one-dimensional conductors / G. D. Stucky, A. J. Schultz, J. M. Williams // Ann. Rev. Mater. Sci. — 1977.— Vol. 7.— P. 301.

20. Bulaevskii, L. N. Peierls structure transition in quasi-one-dimentional crystals / L. N. Bulaevskii // UFN. — 1975. — Vol. 115. — P. 263-300.

21. Streltsov, S. V. Covalent bonds against magnetism in transition metal compounds / S. V. Streltsov, D. I. Khomskii // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2016. — Vol. 113, № 38. — P. 10491-10496.

22. Khomskii, D. I. Transition Metal Compounds / D. I. Khomskii. — Cambridge University Press, 2014.

23. Streltsov, S. V. Orbital physics in transition metal compounds: new trends /

S. V. Streltsov, D. I. Khomskii // Physics-Uspekhi. - 2017. - Vol. 60, № 11.-P. 1121-1146.

24. Ruthenium (V) oxides from low-temperature hydrothermal synthesis / C. I. Hiley, M. R. Lees, J. M. fisher, D. Thompsett, S. Agrestini, R. Smith // Angew. Chem. Int. Ed. Engl. - 2014. - Vol. 53. - P. 4423.

25. AgRuO3, a srongly exchange-coupled honeycomb compound lacking long-range magnetic order / B. E. Prasad, S. Kanugo, M. Jansen, A. C. Komarek, B. Yan, P. Manuel, C. Felser // Chem. Eur. J. - 2017. - Vol. 23.- P. 4680.

26. Streltsov, S. Localized itinerant electrons and unique magnetic properties of SrRu2Oo / S. Streltsov, I. I. Mazin, K. Foyevtsova // Phys. Rev. B. - 2015. -Vol. 92. - P. 134408.

27. High antiferromagnetic transition temperature of the honeycomb compound SrRu2Oo / W. Tian, C. Svoboda, M. Ochi, M. Matsuda, H. B. Cao, J.-G. Cheng, B. C. Sales, D. G. Mandrus, R. Arita, N. Trivedi, J.-Q. Yan // Phys. Rev. B.-2015.-Vol. 92.-P. 100404.

28. Magnetic and electronic ordering phenomena in the ru206-layer honeycomb lattice compound agruo3 / W. Schnelle, B. E. Prasad, C. Felser, M. Jansen, E. V. Komleva, S. V. Streltsov, I. I. Mazin, D. Khalyavin, P. Manuel, S. Pal, D. V. S. Muthu, A. K. Sood, E. S. Klyushina, B. Lake et al. // Phys. Rev. B.- 2021. -Vol. 103.- P. 214413.

29. Singh, D. J. Electronic structure and the origin of the high ordering temperature in SrRu2Oo / D. J. Singh // Phys. Rev. B. - 2015. - Vol. 91. - P. 214420.

30. Localized-itinerant dichotomy and unconventional magnetism in SrRu2O6 / S. Okamoto, M. Ochi, R. Arita, J. Yan, N. Trivedi // Scientific Reports.-2017.-Vol. 7, № 1. - P. 11742.

31. DFT + DMFT study on soft moment magnetism and covalent bonding in SrRu2Oö / A. Hariki, A. Hausoel, G. Sangiovanni, J. Kunes // Phys. Rev. B. - 2017. - Vol. 96. - P. 155135.

32. Raman spectroscopy of the low-dimensional antiferromagnet SrRu2O6 with large

Neel temperature / Y. S. Ponosov, E. V. Komleva, D. A. Zamyatin, R. I. Walton, S. V. Streltsov // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 99. — P. 085103.

33. Kresse, G. Ab initio molecular dynamics for liquid metals / G. Kresse, J. Hafner // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 47. — P. 558-561.

34. Keffer, F. Ferromagnetism Spin Waves / F. Keffer. — Springer-Verlag, Berlin, 1966.

35. Kittel, C. Quantum Theory of Solids / C. Kittel. — Wiley, New York, 1987.

36. Pchelkina, Z. V. Spectroscopic signatures of molecular orbitals in transition metal oxides with a honeycomb lattice / Z. V. Pchelkina, S. V. Streltsov, I. I. Mazin // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 94. — P. 205148.

37. Kunes, J. Temperature-dependent correlations in covalent insulators: Dynamical mean-field approximation / J. Kunes, V. I. Anisimov // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78. — P. 033109.

38. Wang, D. ^-orbital model on a honeycomb lattice: Application to the antifer-romagnet SrRu2O6 / D. Wang, W.-S. Wang, Q.-H. Wang // Phys. Rev. B.— 2015. —Vol. 92. —P. 075112.

39. Moriya, T. Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism / T. Moriya. Solid-State Sciences Series. — Springer-Verlag, 1985. https://books.google. ru/books?id=t8HvAAAAMAAJ.

40. New-type phase transition of Li2RuO3 with honeycomb structure / Y. Miu-ra, Y. Yasui, M. Sato, N. Igawa, K. Kakurai //J. Phys. Soc. Jpn. — 2007.— Vol. 76. — P. 033705.

41. Structural transition of Li2RuO3 induced by molecular-orbit formation / Y. Miu-ra, M. Sato, Y. Yamakawa, T. Habaguchi, Y. Ono //J. Phys. Soc. Jpn.— 2009. — Vol. 78. — P. 094706.

42. Jackeli, G. Classical dimers and dimerized superstructure in an orbitally degenerate honeycomb antiferromagnet / G. Jackeli, D. I. Khomskii // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 100. — P. 147203.

43. Electronic structure of Li2RuO3 studied by LDA and LDA + DMFT calcula-

tions and soft X-ray spectroscopy / Z. V. Pchelkina, A. L. Pitman, A. Moewes, E. Z. Kurmaev, T.-Y. Tan, D. C. Peets, J.-G. Park, S. V. Streltsov // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 91. — P. 115138.

44. Valence bond liquid phase in the honeycomb lattice material Li2RuO3 / S. A. J. Kimber, I. I. Mazin, J. Shen, H. O. Jeschke, S. V. Streltsov, D. N. Argyriou, R. Valentl, D. I. Khomskii // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89. — P. 081408.

45. Magnetic properties of Li2RuO3 as studied by NMR and LDA + DMFT calculations / I. Y. Arapova, A. L. Buzlukov, A. Y. Germov, K. N. Mikhalev, T.-Y. Tan, J.-G. Park, S. V. Streltsov // JETP Letters. — 2017. — Vol. 105. — P. 375.

46. Effect of disorder on the dimer transition of the honeycomb-lattice compound Li2RuO3 / M.-P. Jimenez-Segura, A. Ikeda, S. Yonezawa, Y. Maeno // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 93. — P. 075133.

47. Structural, magnetic, and electrical properties of Li2Ir1-xRurO3 / H. Lei, W.-G. Yin, Z. Zhong, H. Hosono // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89. — P. 020409.

48. Ruthenium oxide as a thermoelectric material: unconventional thermoelectric properties of Li2RuO3 / I. Terasaki, S. Abe, Y. Yasui, R. Okazaki, H. Taniguchi // J. Mater. Chem. C. — 2015. — Vol. 3. — P. 10430-10435.

49. Mehlawat, K. First-order magnetostructural transition in single crystals of the honeycomb lattice ruthenate Li2RuO3 / K. Mehlawat, Y. Singh // Phys. Rev. B. — 2017. — Vol. 95. — P. 075105.

50. Ponosov, Y. S. Phonon anomalies near the magnetostructural transition in Li2RuO3: Raman spectroscopy and density functional theory studies / Y. S. Ponosov, E. V. Komleva, S. V. Streltsov // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 100. — P. 134310.

51. Imada, M. Metal-insulator transitions / M. Imada, A. Fujimori, Y. Tokura // Rev. Mod. Phys. — 1998. — Vol. 70. — P. 1039-1263.

52. Geometrically frustrated trimer-based mott insulator / L. T. Nguyen, T. Hallo-ran, W. Xie, T. Kong, C. L. Broholm, R. J. Cava // Phys. Rev. Materials. — 2018. —Vol. 2. — P. 054414.

53. Nguyen, L. T. Trimers of MnO6 octahedra and ferrimagnetism of Ba4NbMn3Oi2 / L. T. Nguyen, T. Kong, R. J. Cava // Materials Research Express. — 2019. — Vol. 6, № 5. — P. 056108.

54. Nguyen, L. T. Trimer-based spin liquid candidate Ba4NbIr3O12 / L. T. Nguyen, R. J. Cava // Phys. Rev. Materials. — 2019. — Vol. 3. — P. 014412.

55. WIEN2k: an APW + LO program for calculating the properties of solids / P. Blaha, K. Schwarz, F. Tran, R. Laskowski, G. K. H. Madsen, L. D. Marks // J. Chem. Phys. — 2020. — Vol. 152. — P. 074101.

56. Streltsov, S. V. Unconventional magnetism as a consequence of the charge disproportionate and the molecular orbital formation in Ba4Ru3O1o / S. V. Streltsov, D. I. Khomskii // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 86. — P. 064429.

57. An updated version of Wannier90: A tool for obtaining maximally-localised wannier functions / A. A. Mostofi, J. R. Yates, G. Pizzi, Y.-S. Lee, I. Souza, D. Vanderbilt, N. Marzari // Computer Physics Communications. — 2014.— Vol. 185, № 8. — P. 2309-2310.

58. Steinberg, S. The crystal orbital hamilton population (COHP) method as a tool to visualize and analyze chemical bonding in intermetallic compounds / S. Steinberg, R. Dronskowski // Crystals. — 2018. — Vol. 8, № 5.

59. Dronskowski, R. Crystal orbital hamilton populations (COHP): energy-resolved visualization of chemical bonding in solids based on density-functional calculations / R. Dronskowski, P. E. Bloechl // J. Phys. Chem. — 1993. — Vol. 97.— P. 8617.

60. Maintz, S. Efficient rotation of local basis functions using real spherical harmonics / S. Maintz, M. Esser, R. Dronskowski // Acta Phys. Pol. B. — 2016.— Vol. 47. — P. 1165.

61. Çasioglu, E. Effective coulomb interaction in transition metals from constrained random-phase approximation / E. Çasioglu, C. Friedrich, S. Bliigel // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 83. — P. 121101.

62. Insulating state and the importance of the spin-orbit coupling in Ca3CoRhO6 /

H. Wu, Z. Hu, D. I. Khomskii, L. H. Tjeng // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75. — P. 245118.

63. Streltsov, S. V. Cluster magnetism of Ba4NbMn3O12: Localized electrons or molecular orbitals? / S. V. Streltsov, D. I. Khomskii // JETP Letters. — 2018. — Vol. 108. — P. 686.

64. Streltsov, S. V. Jahn-Teller distortion and charge, orbital, and magnetic order in NaMn7O12 / S. V. Streltsov, D. I. Khomskii // Phys. Rev. B. — 2014.— Vol. 89. — P. 201115.

65. Абрагам, А. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том

1 / А. Абрагам, Б. Блини. — М.:Мир, 1972.

66. Абрагам, А. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том

2 / А. Абрагам, Б. Блини. — М.:Мир, 1973.

67. Critical behavior of the metallic triangular-lattice heisenberg antiferromagnet PdCrO2 / H. Takatsu, H. Yoshizawa, S. Yonezawa, Y. Maeno // Phys. Rev.

B. — 2009. — Vol. 79. — P. 104424.

68. Magnetic structure of the conductive triangular-lattice antiferromagnet PdCrO2 / H. Takatsu, G. Nenert, H. Kadowaki, H. Yoshizawa, M. Enderle, S. Yonezawa, Y. Maeno, J. Kim, N. Tsuji, M. Takata, Y. Zhao, M. Green,

C. Broholm // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89. — P. 104408.

69. Magnetic interactions in PdCrO2 and their effects on its magnetic structure / M. D. Le, S. Jeon, A. I. Kolesnikov, D. J. Voneshen, A. S. Gibbs, J. S. Kim, J. Jeong, H.-J. Noh, C. Park, J. Yu, T. G. Perring, J.-G. Park // Phys. Rev. B. — 2018. — Vol. 98. — P. 024429.

70. Magnetic structure of antiferromagnetic PdCrO2 possible degenerate helices on a rhombohedral lattice / M. Mekata, T. Sugino, A. Oohara, Y. Oohara, H. Yoshizawa // Physica B Condensed Matter. — 1995. — Vol. 213, № 1-4. — P. 221-223.

71. Anomalous magnetothermopower in a metallic frustrated antiferromagnet / S. Arsenijevic, J. M. Ok, P. Robinson, S. Ghannadzadeh, M. I. Katsnelson, J. S. Kim, N. E. Hussey // Phys. Rev. Lett. — 2016. — Vol. 116. — P. 087202.

72. Simultaneous loss of interlayer coherence and long-range magnetism in quasi-two-dimensional PdCrO2 / S. Ghannadzadeh, S. Licciardello, S. ArsenijeviC, P. Robinson, H. Takatsu, M. I. Katsnelson, N. E. Hussey // Nature Communications. — 2017. — Vol. 8. — P. 15001.

73. Вонсовский, С. Магнетизм / С. Вонсовский.— М.: Наука, гл. ред. физ.-матем. лит., 1971.

74. Yosida, K. Theory of magnetism / K. Yosida. — Springer Berlin Heidelberg, 1996.

75. Probing spin correlations using angle-resolved photoemission in a coupled metallic/Mott insulator system / V. Sunko, F. Mazzola, S. Kitamura, S. Khim, P. Kushwaha, O. J. Clark, M. D. Watson, I. Markovic, D. Biswas, L. Pourovskii, T. K. Kim, T.-L. Lee, P. K. Thakur, H. Rosner et al. // Science Advances.— 2020. — Vol. 6, № 6. — P. eaaz0611.

76. Lechermann, F. Hidden mott insulator in metallic PdCrO2 / F. Lechermann // Phys. Rev. Materials. — 2018. — Vol. 2. — P. 085004.

77. Anderson, P. W. The Theory of Superconductivity in the High-Tc Cuprates / P. W. Anderson. — Princeton University Press, Princeton, 1997.

78. Lee, P. A. Doping a mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity / P. A. Lee, N. Nagaosa, X.-G. Wen // Rev. Mod. Phys. — 2006. — Vol. 78. — P. 17-85.

79. Wen, X.-G. Quantum field theory of Many-Body Systems / X.-G. Wen. — Oxford University Press, Oxford, 2004.

80. Vojta, M. Frustration and quantum chirality / M. Vojta // Rep. Prog. Phys.— 2018. —Vol. 81. —P. 064501.

81. Ong, K. P. Three-dimensional magnetism and coupling to the conduction electrons in PdCrO2 / K. P. Ong, D. J. Singh // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85. — P. 134403.

82. Magnetism of layered chromium sulfides MCrS2 (M = Li, Na, K, Ag, and Au): A first-principles study / A. V. Ushakov, D. A. Kukusta, A. N. Yaresko, D. I.

Khomskii // Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 87. — P. 014418.

83. Irkhin, V. Y. Critical behavior and the Neel temperature of quantum quasi-two-dimensional Heisenberg antiferromagnets / V. Y. Irkhin, A. A. Katanin // Phys. Rev. B. — 1997. — Vol. 55. — P. 12318-12330.

84. Katanin, A. A. Magnetic order and spin fluctuations in low-dimensional insulating systems / A. A. Katanin, V. Y. Irkhin // Physics-Uspekhi. — 2007. — Vol. 50. — P. 613-635.

85. Irkhin, V. Y. On the self-consistent spin-wave theory of frustrated Heisenberg antiferromagnets / V. Y. Irkhin, A. A. Katanin, M. I. Katsnelson // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1992. — Vol. 4, № 22. — P. 5227.