Периодические движения и движения в их окрестности в ограниченной круговой задаче двух центров и в задаче тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Фрунза, Рената Валентиновна

• Фрунза, Рената Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фрунза, Рената Валентиновна

ГЛАВА L УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ДВУХ ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ6

1.1. Уравнения движения в плоской ограниченной круговой задаче трех тел.6

1.2. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в случае А=В.8

1.3. Области возможных движений и доступные области систем.12

1.4. Об исследовании движений динамических систем методом точечных отображений.21

1.5. Стационарные движения.22

ГЛАВА П. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ И ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.--------------------------------25

2.1.0 поиске и классификации симметричных периодических движений.25

2.2. Классы просто периодических орбит в задаче двух неподвижных центров.27

2.2.1. Класс (а).27

2.2.2. Класс (в).29

2.3. Классы просто периодических траекторий тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.30

2.3.1. Класс (а).31

2.3.2. Класс (в).33

2.3.3. Класс (с).34

2.3.4. Класс (d).36

2.3.5. Класс (е).38

2.3.6. Класс (f).40

2.3.7. Класс (о).42

2.3.8. Класс (i).44

2.3.9. Класс (j).46

2.3.10. Класс (н).48

2.3.11. Класс (к).50

2.3.12. Класс (м).52

2.3.13. Класс (ы).54

2.3.14. Класс (р).56

2.3.15. Класс (r).58

2.3.16. Класс (s).60

2.3.17. Класс (т).61

ГЛАВА Ш. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ДВИЖЕНИЯ В ИХ ОКРЕСТНОСТИ. 63

3.1. Анализ устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела.63

Класс (ф.70

Класс (к).71

Классы (г) и (s).71

3.2. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения.75

3.3. Движения тяжелого твердого тела в окрестности периодических траекторий.78

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические движения и движения в их окрестности в ограниченной круговой задаче двух центров и в задаче тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой»

Как известно, задача трех тел и задача о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой являются фундаментальными задачами классической динамики.

Вследствие этого эти две задачи служат объектами приложения новых различных математических методов аналитического, качественного или численного характера, которые затем могут успешно применяться в других областях. Поскольку каждый метод при исследовании динамических задач обладает своими достоинствами и ограничениями, то разумное их сочетание позволяет прояснить многие детали в поведения объекта изучения.

Задача трех тел занимает центральное место в аналитической динамике, небесной механике и космодинамике. Современные исследования задач небесной механики берут свое начало в трудах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (1772). Первый существенный вклад в изучении задачи трех тел сделал Л. Эйлер своей теорией движения Луны, главным достижением которой явилось введение синодической системы координат. Ее использование позволило определить один первый интеграл уравнений движения, известный в настоящее время как интеграл Якоби. В дальнейшем задача трех тел была исследована в работах Якоби (1836), Г. Хилла (1878), А. Пуанкаре (1899), Т. Леви-Чивита (1905)и др. Развитие Пуанкаре аналитических методов решения задачи трех тел явилось одним из важнейших достижений в области теории небесной механики и классической динамики. Пуанкаре нашел последователя в лице Дж. Биркгофа (1915), который существенно развил качественные методы динамики. В двадцатые годы прошлого столетия свои результаты опубликовала школа Ф. Мультона, в тридцатые годы были опубликованы работы по качественным методам Моисеева и Биркгофа, а также Э. Стремгрена и Копенгагенской школы.

Особое практическое значение приобрела ограниченная задача трех тел во второй половине прошлого столетия в связи с необходимостью изучения движения искусственных спутников Земли и других планет [5], [13].

Несмотря на множество трудов, посвященных исследованию задачи трех тел, общее ее решение до настоящего времени не найдено. Тем не менее, ограниченная задача трех тел была и остается источником множества замечательных работ, в которых рассматриваются различные приемы ее интегрирования и изучаются общие свойства движений и траекторий.

История классической задачи о вращении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой берет свое начало в одной из работ Ж. Даламбера в 1749 году. Л. Эйлеру принадлежит основная заслуга формирования понятий теории движения тела с неподвижной точкой и построения динамических уравнений движения. Эта задача являет собой не только исключительно важную отрасль классической динамики, но и служит фундаментом прикладной теории гироскопов.

В динамике твердого тела особенно много усилий было потрачено на поиски интегрируемых случаев. Задача о движении тяжелого тела с одной неподвижной точкой получила решение в трех частных случаях, указанных последовательно Л. Эйлером, Ж. Лагранжем и С. В. Ковалевской. Частным ее решениям посвящены работы таких ученых, как С.

А. Чаплыгин, А. М. Ляпунов, Н. Е. Жуковский, В. А Стеклов. В настоящее время в данной области исследования выделяются достижения В. В. Козлова и его учеников.

Одно из современных направлений в динамике связано с широким использованием в качестве экспериментального инструмента быстродействующих ЭВМ. Существует много аспектов изучения динамических задач, где применение численных методов является пока чуть ли не единственным способом их разрешения. Разработка новых мощных математических методов и широкое использование компьютеров дали возможность по-новому подойти ко многим классическим задачам. В частности, особый интерес к исследованию детерминированного хаоса появился в связи с компьютерным прогрессом, поскольку численные методы позволяют более подробно изучать поведение динамических систем, а также сделать заключение о возможности обобщения различных классических интегрируемых случаев на другие задачи.

Помимо этого, численные методы обладают тем важным свойством, что сразу дают 'Э ответы на вопросы, которые ставит практика.

Сказанное определило выбор предмета и методов исследования предлагаемой работы, которая посвящена численному анализу периодических траекторий динамических систем и исследованию характера движений в их окрестностях.

В работе рассматриваются две частные задачи: ограниченная задача двух неподвижных центров и задача о движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае А=В=0.5С.

Исследования указанных задач основаны на применении метода точечных отображений, предложенного А. Пуанкаре. Метод, по-видимому, впервые был апробирован численно в работах М. Энона (Непоп) по исследованию плоской круговой ограниченной задачи трех тел.

Подчеркнем, что применение этого метода является особенно эффективным при изучении динамических систем с двумя степенями свободы.

Наличие классических первых интегралов в задаче движения тяжелого твердого тела около точки закрепления позволяет понизить порядок уравнений движения тела до четвертого. Полученные уравнения, описывающие движения приведенной механической системы с двумя степенями свободы, которые, как и уравнения движения плоской ограниченной задачи трех тел, допускают интеграл Якоби. В этом направлении большие заслуги принадлежат В.Г. Демину, который ввел с этой целью изотермические координаты, и совместно со своими учениками посвятил ряд работ переходу к приведенной динамической системе и изучению ее поведения.

Проводимый в работе анализ областей возможных движений и доступных областей, позволяет сделать некоторые выводы о характере движений изучаемых динамических систем и о распределении траекторий материальной точки.

Исследование уравнений движения было бы неполным без рассмотрения особых точек потенциала каждой из задач и соответствующих им стационарных или либрационных точек. В случае твердого тела с неподвижной точкой они определяют на диаграмме параметров приведенной системы бифуркационные кривые.

В работе рассматриваются критерии, на основе которых можно судить об устойчивости периодических траекторий, а также результаты вычислений величин, характеризующих эти критерии.

Анализ движений динамической системы в окрестности периодических траекторий выявляет одно из основных преимуществ метода точечных отображений. Рассмотрение последующих на секущей плоскости взамен траектории изображающей точки в фазовом пространстве в значительной степени улучшает "обозримость" задачи и позволяет остановиться на изучении инвариантных множеств, например, таких, как инвариантные кривые, расположенные в окрестности инвариантных точек. Последние в известной степени связаны с устойчивостью периодических траекторий и позволяют подтвердить сделанные до этого выводы об устойчивости.

Во введении приводится краткий обзор достижений, относящихся к изучаемой теме, а также описывается содержание работы и излагаются основные результаты, проведенных исследований.

В первой главе приводятся уравнения движения изучаемых систем и анализируются области возможных и доступных движений.

В п. 1.1 описывается плоская ограниченная круговая задача двух неподвижных центров и анализируются уравнения движений системы.

В п. 1.2 приводятся дифференциальные уравнения Эйлера-Пуассона движений тяжелого твердого тела около закрепленной точки и их первые интегралы. Методом Рауса исключается циклическая координата у/ и для случая, когда моменты инерции тела связаны соотношением А=В, производится переход к уравнениям движения приведенной динамической системе, в изотермических координатах х и у, соответствующих углам Эйлера ср ив.

В п. 1.3 рассматриваются уравнения, определяющие кривые нулевой скорости, которые ограничивают области возможных движений. При анализе областей возможных движений, прослеживается эволюция их конфигураций в зависимости от значений параметров каждой из задач.

В п. 1.4 описывается применение метода точечных отображений при исследовании динамических систем с двумя степенями свободы, которое сводится к анализу последующих на поверхности сечений взамен всей фазовой траектории. Это позволяет представить фазовые портреты систем на поверхности сечений, анализ которых дает возможность сделать выводы о поведении фазового потока задачи.

В п. 1.5 анализируются стационарные движения исследуемых динамических систем.

Во второй главе описаны результаты численного поиска и производится классификация симметричных просто периодических траекторий исследуемых динамических систем.

Вопросам классификации симметричных просто периодических траекторий посвящен п.

2.1.

Классификация обнаруженных периодических орбит в задаче двух неподвижных центров была проведена в соответствии с принципами, примененными Э. Стремгреном при исследовании Копенгагенского варианта плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Они основаны на анализе расположения орбит по отношению к конечным массам mi и шг и точкам либрации. По аналогии были классифицированы периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

В п. 2.2 описаны классы просто периодических орбит в плоской ограниченной круговой задаче двух неподвижных центров при значениях параметра ц=0.1 и ц.=0.5.

В п. 2.3 описаны классы просто периодических траекторий приведенной системы в случае тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, в виде зависимостей 0(ф), соответствую-щих движениям фиктивной материальной точки на сфере Пуассона.

Для каждого класса приводится его характеристика в пространстве (h, f, фо), а также прослеживается эволюция траекторий этих классов в зависимости от изменения параметров h и f приведенной системы.

Третья глава посвящена вопросам устойчивости периодических движений и анализу движений в их окрестности.

В п. 3.1 формулируются общие предложения относительно устойчивости неподвижных точек отображения Пуанкаре и приводятся критерии устойчивости для 2ят-периодических и просто периодических траекторий.

Для численного исследования устойчивости неподвижных точек отображения Пуанкаре была составлена программа, при помощи которой вычислялся след матрицы линеаризованного отображения. Если его модуль меньше двух, инвариантная точка устойчива. В противном случае - она неустойчива. Результаты соответствующих вычислений для каждой обнаруженной периодической траектории приводятся в таблицах приложения.

В п. 3.2 приводятся сведения об инвариантных кривых отображения Пуанкаре, расположенных в окрестности инвариантных точек, описываются их типы и связанное с ними поведение системы.

В п. 3.3 анализируются движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в окрестности просто периодических траекторий. Приводятся фазовые портреты систем, в 40 окрестности периодических движений при различных значениях параметров задачи f и h. В окрестностях устойчивых периодических движений, обнаружены семейства инвариантных кривых, которые представляют собой пересечения инвариантных торов с плоскостью сечений.

Прослеживается явление разрушения инвариантных кривых отображения Пуанкаре, которое препятствует интегрируемости уравнений движения в динамике. Зонам фазового пространства с локальной неустойчивостью соответствуют последующие, полностью заполняющие отдельные области плоскости сечений.

В заключении приводится обзор этапов проделанной работы по численному исследованию изучаемых динамических систем посредством метода точечных отображений.

В приложении приводятся численные значения величин характеризующих движения по просто периодическим орбитам в плоской ограниченной круговой задаче двух неподвижных центров и периодические движения приведенной системы в задаче о движениях тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

Для каждой обнаруженной просто периодической орбиты приводятся значение параметра С, начальное значение х0 и значение xj, соответствующее второму пересечению оси ^t Ох периодической орбитой, а также значение полупериода Т/2 периодического движения.

Для каждой просто периодической траектории приведенной системы в случае тела с одной неподвижной точкой приводятся значения параметров h и f, значения фо и cpi — точек пересечения экватора сферы Пуассона симметричной просто периодической траекторией. В таблицах приводятся также значения полупериода Т/2 движения приведенной системы по траекториям и значения коэффициента устойчивости а. Значения (pi являются начальными для классов просто периодических движений по тем же самым траекториям при f < 0.

В заключение следует отметить, что большинство задач классической динамики и небесной механики не являются интегрируемыми в общем случае, и для их интегрируемости необходимы дополнительные ограничения на параметры задачи, а, в частных случаях, и на начальные условия. Исследуемые в данной работе задачи являются системами с двумя степенями свободы и для таких динамических систем возможна визуализация движения при помощи двумерного плоского отображения Пуанкаре. При анализе различных зон фазового пространства обнаруживается сосуществование регулярных и хаотических движений в фазовом пространстве, которое является типичным для консервативных динамических систем.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Фрунза, Рената Валентиновна

Резюмируя выполненную работу, отметим следующие основные результаты:

1. Для последующего применения метода точечных отображений к исследованию движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой понижен порядок системы дифференциальных уравнений его движений.2. Проведен анализ областей возможных движений в конфигурационном пространстве и доступных областей на плоскости сечений. Прослеживается зависимость конфигураций указанных областей от значений параметров задач, определяющих начальные условия движений.3. Построены бифуркационные кривые пространства параметров приведенной системы тяжелого твердого тела с неподвижной точкой на основе анализа особых точек приведенного потенциала.4. Предложены и реализованы алгоритмы численного поиска симметричных периодических траекторий исследуемых динамических систем.5. Проведенный численный поиск позволил обнаружить в задаче о движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой более 4000 симметричных просто периодических траекторий, которые на основе предложенных в работе критериев классификации были отнесены к семнадцати классам. Прослеживается эволюция траекторий этих классов в зависимости от параметров исходной задачи - постоянной интеграла энергии h и постоянной интеграла площадей f.Описываются типичные поведения движений динамических систем по траекториям обнаруженных классов периодических движений.6. В задаче двух неподвижных центров было обнаружено около 500 симметричных просто периодических орбит, сгруппированных в два класса. Прослеживается зависимость поведения траекторий от постоянной интеграла энергии

7. Реализованы алгоритмы численного исследования устойчивости инвариантных точек отображения плоскости сечений, соответствующих симметричным периодическим движениям.На их основе исследуется устойчивость просто периодических траекторий приведенной системы в задаче о движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фрунза, Рената Валентиновна, 2005 год

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М„ "Наука", 1978. 304 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., "Наука", 1974.431с.

3. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нсйштадг А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. ВИНИТИ. Совр. проблемы математики. Фундаментальные напр. Т. 3, 1985.

4. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М., "Наука", 1977. 328 с.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс, Искусственные спутники Земли. М., Изд-во АН СССР, 1958. N. I.e. 25-43.

6. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. M.-JI., Гостехиздат, 1941. 320 с.

7. Борисов А.В., Емельянов К.В. Неинтегрируемость и стохаотичность в динамике твердого тела. Ижевск. УдГУ, 1995.56 с,

8. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 384 с,

9. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М Наука, 1990.

10. Вагнер Э.А., Демин В.Г. Об одном классе периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Прикладная математика и механика, 1975. 39, вып. 5, с. 927-929.

11. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М., Гостехиздат, 1953. 287 с.

12. Гродман Д.Л., Тхай В.Н. Численное исследование периодических движений спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления. Задачи исследования и стабилизации движения. М., ВЦ РАН, 1998. с. 107-116.

13. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М., "Наука", 1968. 352 с.

14. Демин В.Г., Конкина Л.И. Новые методы в динамике твердого тела. г. Фрунзе, ИЛИМ, 1989.

15. Депри А. Изучение свободного вращения твердого тела около неподвижной точки с помощью фазовой плоскости. Сб. пер. "Механика", 1968. вып. 2, с. 3-9.

16. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М., "Наука", 1979.319 с.

17. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М., "Наука", 1980. 544 с.

18. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М., Наука, 1984.271 с.

19. Зигель К. Лекции по небесной механике. М., Изд-во иностр. лит., 1959. 300 с.

20. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 256 с.

21. Лихтснбсрг А., Либерман Л. Регулярная и хаотическая динамика. М., Мир, 1984. 528 с.

22. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М., "Наука", 1978.312 с.

23. Маршал К. Задача трех тел. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. 540 с.

24. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., "Мир", 1973.167 с.

25. Мозер Ю. О кривых инвариантных при отображениях кольца, сохраняющихплощадь. Сб. пер. "Математика", 1962. 6, вып.5, с. 51-67.

26. Мультои Ф.Р. Введение в небесную механику. M.-J1., Гостехиздат, 1936.480 с.

27. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М„ "Наука", 1972. 471 с.

28. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JI., Гостехиздат, 1947. 448 с.

29. Парс Л. Аналитическая динамика М., "Наука", 1971. 636 с.

30. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: Пуанкаре А. Избр.труды, т. I. М., "Наука", 1971, с.8-326, т.2. М., "Наука", 1972. с. 7-356.

31. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. В кн.: Пуанкаре А. Избр.труды, т. 2. М„ "Наука", 1972. с. 357-422.

32. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. М., "Наука", 1982. 446-548.

33. Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности,- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 304 с.

34. Странные аттракторы. Сб.статей, М., "Мир", 1981. 253 с.

35. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1974. N 6, с. 99-105.

36. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты в ограниченной задаче трех тел. Космические исследования, 1997. т. 35 ,N 2, с. 164-171.

37. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Резонантность и парад планет. ПММ, 1995. Т. 59. Вып. 3. с.355.

38. Фрунза Р.В. Исследование движений тяжелого твердого тела в окрестности периодических траекторий. М, изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2005. N 14,32 с.

39. Фрунза Р.В. Исследование периодических движений твердого тела с неподвижной точкой в случае А=В=С/2. 3-ий Международный симпозиум по классической и небесной механике, Тезисы докладов, Великие Луки, 1998. с. 6972.

40. Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией. -Механика твердого тела, 1976. вып. 8, с 7 4-18.

41. Харламов П.В. Гиростат с неголомной связью. Механика твердого тела, 1971. вып. 3, с. 120-130.

42. Шарлье К. Небесная механика. М., "Наука", 1966.628 с.

43. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988. 237 с.

44. Яхья Х.М. О понижении порядка дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестн. Моск. ун-та. Сер.матем., мех., 1976. №6, с. 76-79.

45. Avros R. On two classes of simply periodic trajectories in the problem of solid motion near fixed point in case A=B=0,5C. Scientific annals faculty of mathematics and informatics Moldova State University, 2001. vol. 3, nr. 1, pp. 36-40.

46. Bartlet J.H. The restricted problem of three bodies. Mat. fus. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1964.2,7, pp. 1-48

47. Bartlet J.H., Wagner C.A. The restricted problem of three bodies. Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1965. 3, 1, pp. 1-53.

48. Birkhoff G.D. Dynamical systems with two degrees of freedom. Trans. Amer. math. Soc., 1917. 18,2, pp. 199-300.

49. Birkhoff G.D. Surfase transformations and their dynamical application. Acta Math., 1920.43, pp. 1-119.

50. Burrau C. Recherches numeriques concemant des solutions periodiques d'un casspecial du probleme des trois corps. Astron Nasr., 1894. 135.

51. Danby J.M.A. Wild dynamical systems, and tHe role of two or more small divisors. -In book: Periodic orbits, stability and resonance, (ed. G.E.O. Giacaglia), Dordrecht-Holland, Reidel Pub. Co., 1970. pp. 272-285.

52. Darwin G.H. Periodic orbits. In book: Darwin G.H. Scientific papers. London, New York, Cambridge Univ. Press, v. IV, 1911. pp. 1-181.

53. Deprit A., Henrard J. Natural families of periodic orbits.Astron. J., 1967. 72,2, pp. 158-172.

54. Frunza R About some classes of periodic orbits in a problem of two fixed centers. Computer science journal of Moldova, 1999. vol. 7, nr.2, p. 170-179.

55. Henon M. Exploration numerique du probleme restraint. Ann. Astrophys., 1965.28, pp. 499-511, pp. 992-1007.

56. Henon M. Exploration numerique du probleme restraint. Bull. Astronom., 1966. 1, (3), fasc. 1, pp. 57-79, fasc. 2, pp. 49-66.

57. Henon M. Numerical study of quadratic area-preserving mappings. Quart, appl. math., 1969.27,3, pp. 291-312.

58. Henon M., Guyot M. Stability of periodic orbits in the restricted problem. In book: Periodoc orbits, stability and resonances, (ed. G.E.O. Giacaglia), Dordrecht- Holland, Reidel Pub. Co., 1970. pp. 349-374.

59. Moulton F.R. Periodic orbits. Carnegie Inst, of Washington, D.C., 1920.

60. Poincare H. Figures d'equilibre d'un masse fluide. Paris, Gauthier-Villards, 1902.

61. Stromgren E. Coneissance actuelle des orbites dans Ie probleme de trois corps. -Copenhagen Obs. Publ., 1935. No 100.

62. Stromgren E. Forms of periodic motion in the restricted problem and in the general problem of three bodies, according to researches executed at the observatory of Copenhagen. Copenhagen Obs. Publ., 1922. No 39.

63. Thiele T.N. Recherches numeriques concernant des solutions periodiques d'un cas special du probleme des trois corps. Astron. Nachr., 1895, 138.

64. Transformation punctuelles et leur application. Colloque international, Toulouse 1973. Paris, 1976.