Перенормировка кондактансов контакта между квантовыми проволоками со взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Ниязов, Рамиль Асхатович

• Ниязов, Рамиль Асхатович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ниязов, Рамиль Асхатович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1 ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА КОНДАК-

ТАНСЫ КОНТАКТОВ КВАНТОВЫХ НИТЕЙ

1.1 Представление темы в современной научной литературе

1.1.1 Краевые геликоидальные состояния топологических изоляторов

1.2 Непертурбативная фермионная ренормгруппа

1.2.1 Модель

1.2.2 Приведенные кондактансы

1.2.3 Ренормгрупповые уравнения

ГЛАВА 2 ТУННЕЛИРОВАНИЕ МЕЖДУ ГЕЛИКОИДАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

2.1 Устройство контакта

2.1.1 Токи и кондактансы

2.1.2 ¿"-матрица

2.2 Туннелирование между геликоидальными состояниями

2.2.1 Симметричный случай

2.2.2 Асимметричный случай

2.3 Выводы

ГЛАВА 3 ТУННЕЛИРОВАНИЕ В ГЕЛИКОИДАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ

3.1 Неполяризованный зонд

3.1.1 Устройство контакта

3.1.2 Учет недиагональности взаимодействия

3.1.3 Анализ РГ уравнений

3.2 Поляризованный зонд

3.2.1 Устройство контакта

3.2.2 Анализ РГ уравнения

3.3 Выводы

ГЛАВА 4 НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ В ОПРЕДЕЛЕНИИ РЕНОРМ-

ГРУППОВЫХ УРАВНЕНИЙ КОНДАКТАНСОВ

4.1 Устройство контакта

4.1.1 Токи и кондактансы

4.1.2 ¿"-матрица

4.2 Явление неопределенности РГ потока

4.3 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перенормировка кондактансов контакта между квантовыми проволоками со взаимодействием»

ВВЕДЕНИЕ

Изучение низкоразмерных систем является в настоящее время бурно развивающейся областью современной физики конденсированного состояния. Этому способствует активная миниатюризация электроники: дальнейшее уменьшение трехмерных объектов приводит к тому, что движение электронов в них по некоторым пространственным измерениям испытывает сильное размерное квантование. Если движение электронов ограничено по двум направлениям, то полученные квазиодномерные объекты называют квантовыми ниш,я,ми (quantum wires). Недавние успехи в их практической реализации мотивируют дальнейшее теоретическое исследование таких систем. Среди примеров квантовых проволок можно указать углеродные нанотрубки [1], цепочки металлических атомов [2], краевые состояния двухмерного электронного газа [3] и, в том числе, краевые состояния двухмерных топологических изоляторов [4].

В последние годы большой интерес теоретиков и экспериментаторов привлекают топологические изоляторы - новый класс веществ, которые являются диэлектриками внутри, но имеют проводящие состояния на границе [5, 6]. Из-за сильного спин-орбитального взаимодействия эти состояния геликоидальны, то есть спин электрона и направление его движения связаны - электроны с противоположными спинами движутся в противоположные стороны. Это может приводить как к асимметрии в транспорте электронов, так и к отсутствию электронов, рассеянных назад, в контакте с участием геликоидальных состояний.

Различные экспериментальные воплощения квантовых нитей могут рассматриваться как самостоятельные элементы и как элементы цепи предполагаемого электронного устройства. Например, стык нитей типа Т схематично можно воспринимать как транзистор: у него есть сток, исток и управляющий затвор. Кроме того, угловой контакт двух топологических изоляторов можно представить как крестообразный стык двух геликоидальных состояний. Поэтому важным представляется изучение прозрачности (кондактанса) различных контактов между квантовыми проволоками.

Все вышесказанное обуславливает актуальность темы диссертационной работы.

Цель работы заключается в изучении кондактанса стыков квантовых ни-

тей типа Т и X, как в геликоидальном, так и в бесспиновом случае, методом фермнонной ренормгруппы при непертурбативном учете взаимодействия. Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены задачи:

1. Исследовать туннелирование между геликоидальными состояниями в случае, когда они имеют различные величины электронного взаимодействия: получить ренормгрупповые уравнения, изучить их стационарные точки, построить фазовую диаграмму контакта и полные кривые скейлинга кондактансов.

2. Изучить туннелирование в геликоидальные состояния из неполяризован-ной нити: модифицировать "лестничное" суммирование на случай взаимодействия между нитями, провести ренормгрупповой анализ.

3. Учесть возможность поляризации нити, рассмотреть асимметрию в транспортных свойствах такого контакта.

4. Проанализировать крестообразный контакт нитей с бесспиновыми фер-мионами: изучить возможность выражения ренормгрупповых уравнений через конликгипсы, провести ренормгрупповой анализ.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими новыми результатами.

1. Впервые в подходе фермионной ренормгруппы с учетом взаимодействия в "лестничном" приближении были изучены конлик гипсы различных контактов: стык двух геликоидальных состояний, геликоидального состояния и нити, крестообразного контакта нитей с бесспиновыми фермионами. В первом случае величины взаимодействия в двух состояниях считались неравными. Получены полные кривые скейлинга кондактансов и фазовая диаграмма контакта.

2. Впервые такой фермионный подход был обобщен на случай нитей, взаимодействующих между собой, что позволило провести ренормгрупповой анализ стыка геликоидального состояния и неполяризованной нити. Получено, что определенное соотношение между кондактансами такого стыка

не перенормируется при учете взаимодействия, что является утверждением, доступным для проверки в будущих экспериментах.

3. Для стыка поляризованной нити и геликоидального состояния показано, что помимо перенормировки полного туннельного кондактанса, необходимо учитывать перенормировку асимметрии, начальное значение которой задается поляризацией спина электронов в нити.

4. Обнаружено явление неоднозначного определения ренормгрупповых потоков кондактансов. Оно было исследовано на примере крестообразного контакта бесспиновых нитей. Показано, что в общем случае эти потоки не могут быть полностью выражены в терминах кондактанса, но включают дополнительную дискретную фазу ¿-матрицы. Это явление оказывается возможным только для стыков с пересечением четырех и более нитей.

Научная и практическая значимость. В результате проведённых исследований была показана эффективность применения фермионного подхода с учетом взаимодействия в "лестничном" приближении к описанию перенормировки кондактасов контакта геликоидальных состояний и нитей с бесспиновыми ферм ионам и. Полученные результаты могут быть использованы для исследования квантовых нитей различной природы и их стыков с различной топологией. Показано соответствие этого подхода вблизи стационарных точек с известными результатами, полученными в альтернативном методе бозонизации.

Методология и методы исследования. Теоретическое исследование, проводимое в диссертации, использует как широкораспространенные методы, такие как теория возмущений, формализм состояний рассеяния и ¿-матрицы, так и специализированные подходы, применяемые для исследования одномерных фермионных систем - бозонизация и фермионная ренормализационная группа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены четырех-терминальные контакты между двумя квантовых проволоками в ситуации, характерной для геликоидальных краевых состояний топологических изоляторов. Исследована перенормировка прозрачности контакта за счет взаимодействия электронов, в модели латтиндже-ровской жидкости. Используя фермионное представление и формализм

состояний рассеяния, получены уравнения ренормгруппы, описывающие поведение кондактанса. Для случая отличающихся величин взаимодействия двух геликоидальных состояний с различными величинами электронного взаимодействия эти уравнения содержат три устойчивые стационарные точки (соответствующие эффективному разрыву контакта, идеальному контакту и идеальному контакту с переворотом спина), если величины взаимодействия одного знака, и одну устойчивую стационарную точку (соответствующую эффективному разрыву контакта), если знак их противоположен. Построены полная фазовая диаграмма такого контакта и полные кривые скейлинга кондактансов.

2. Исследовано туннелирование в геликоидальное состояние. Для случая туннелирования из неполяризованной нити ренормгрупповые уравнения кондактансов такого стыка содержат как стационарную точку, так и стационарные линии, одна из которых может быть устойчивой, в зависимости от значения электронного взаимодействия. Определенное соотношение между конликгипсами такого контакта не перенормируется. При туннелировании из поляризованной нити асимметрия тока, втекающего в геликоидальное состояние, изначально задаваемая поляризацией спинов электронов в нити, перенормируется за счет взаимодействия, совместно с туннельным кондактансом.

3. Получены ренормгрупповые уравнения кондактансов крестообразного контакта нитей с бесспиновыми фермионами. Показано, что в общем случае эти уравнения не могут быть полностью выражены в терминах кондактанса, но включают дополнительную дискретную фазу Б-матрицы. Таким образом, существуют два ренормгрупповых потока для произвольного затравочного кондактанса. Скейлинговые показатели таких потоков вблизи стационарных точек совпадают.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы многократно докладывались на семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете и Петербургском институте ядерной физики, а также на молодежных, всероссийских и международных конференциях и школах, а именно:

1. Международная конференция "In search of Fundamental Symmetries" dedicated to the 9Qth birthday of Yu.V. Novozhilov (Санкт-Петербург, 2014 г.);

2. 1-я конференции молодых учёных и специалистов «КМУС 2014», (Гатчина, 2014);

3. 49-я Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния (Зелено-горек, 2015);

4. International Workshop «Quantum transport in one dimension» (Дрезден, Германия, 2015 г.);

5. 2-я конференции молодых учёных и специалистов «КМУС 2015», (Гатчина, 2015);

6. International Workshop «Localization Interaction and Superconductivity» (Черноголовка, 2016 г.);

7. 50-я Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния (Зелено-горек, 2016);

8. Молодежный научный форум «Open Science 2016» (Гатчина, 2016 г.);

Публикации. Материалы диссертации полностью изложены в 3 научных статьях [7-9], которые опубликованы в журналах, включенных Высшей аттестационной комиссией в список изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректной постановкой задачи, использованием разработанных теоретических методов и согласием результатов, полученных с помощью разных подходов в областях, доступных для сравнения. Кроме того, публикация результатов в высокорейтинговых научных журналах и доклады на международных научных конференциях также подтверждают достоверность полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 75 страниц с 15 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 85 наименований.

ГЛАВА 1

ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА КОНДАКТАНСЫ КОНТАКТОВ КВАНТОВЫХ НИТЕЙ

1.1 Представление темы в современной научной литературе

Чтобы понять разработанность темы исследования и, соответственно, положение данной диссертации в современной науке приведем краткий обзор научной литературы.

Транспорт электронов, ограниченных в одном пространственном измерении, вблизи энергии Ферми описывается известной моделью жидкости Томонаги-Латтинджера (ЖТЛ). Существует множество обзоров по этой теме [10-18]. В основном они посвящены описанию одномерных электронов в терминах зарядовой и спиновой электронных плотностей - так называемый метод бозониза-ции [19]. Из последних обзоров можно упомянуть обзоры, посвященные изложению эволюции идей бозонизации и появлению модели ЖТЛ в том виде, в котором мы знаем его сейчас [20, 21] и обзор о применении анзаца Бете для точного решения интегрируемых фермионных моделей в одном измерении [22].

Одномерные фермионные системы имеют фундаментальные отличия от систем с большим количеством пространственных измерений, описываемых теорией Ферми жидкости Ландау [23, 24]. Так, поверхность Ферми в Ш состоит только из двух точек —кр ,кр7 поэтому возбуждения вблизи нее могут иметь энергии только вблизи точек 0 и 2кр, в отличие от больших измерений. Кроме того, в таких системах отсутствуют одночастичные возбуждения совместно с отсутствием разрыва в функции плотности распределения фермионов на поверхности Ферми.

Развитие подхода бозонизации к описанию таких эффектов начинается в 1934, когда Блох при изучении некогерентной дифракции рентгеновских лучей воспользовался тем, что фермионы в Ш имеют низкоэнергитичные возбуждения как у гармонической цепочки [25]. Эту идею Томонага использовал для изучения Ш взаимодействующих фермионов в 1950 году [26] и заметил, что оператор фермионной плотности разделяется на моды движения направо и налево, удовлетворяя бозонному гамильтониану. Затем Латтинджер в 1963 году

показал, что в основном состоянии средняя плотность распределения ферми-онов ведет себя степенным образом с аномальной размерностью зависящей от взаимодействия [27], то есть обнаружил отсутствие разрыва на поверхности Ферми при учете взаимодействия. В 1967 году в работе [28] было отмечено отсутствие одночастичного полюса в функции Грина. В фермионном подходе эти особенности были изучены в знаменитой работе Дзялошинского и Ларкина в 1974 году [29]. К 1981 году подход бозонизации полностью сформировался, появилось точное операторное равенство сопоставляющее фермионам бозонные поля [30].

Далее перешли к изучению контактов между несколькими одномерными фермионными системами. Известно, что прозрачность (кондактанс) контактов (стыков) квантовых нитей по отношению к электрическому току перенормируется из-за взаимодействия между фермионами в проволоке. В физическом случае электронного отталкивания при низких температурах и малых прикладываемых напряжениях кондактанс стремится к нулю по степенному закону, показатель которого определяется величиной взаимодействия. Имеются два подхода, разработанные для описания этой перенормировки кондактанса.

В одном подходе используется упомянутая выше техника бозонизации, в которой берется точное взаимодействие между электронами в объеме проволоки, а контакт рассматривается как граница. Система описывается в терминах киральных фермионных плотностей (токов), и на эти токи налагаются граничные условия. Определяются стационарные точки (СТ) воздействия границ, и возмущения вокруг них классифицируются по их скейлинговым показателям. Таким образом, можно судить о устойчивости различных СТ, т. е. о предельных значениях кондактанса, получаемых в процессе перенормировки.

Другой подход к перенормировке кондактанса был впервые сформулирован в пределе слабого взаимодействия в объеме. В этом подходе произвольный контакт описывается с помощью унитарной ¿"-матрицы, определенной в отсутствие взаимодействия. Для п полупроволок, соединяющихся в одном контакте, эта матрица принадлежит группе и(п). Фермионные волновые функции задаются в формализме состояний рассеяния, и затем вычисляются поправки по взаимодействию к ¿-матрице. Эти поправки являются логарифмически расходящимися, что в конце концов приводит к уравнению ренормализационной

группы (РГ) для ¿"-матрицы и кондактанса. Это так называемый ферм,ионный подход.

Какие же контакты квантовых проволок описывались ранее? Начнем с работ, использующих технику бозонизации. Первой была решена задача о квантовой нити с одной примесью [31-33], ее можно воспринимать как простейший контакт двух полунитей. Далее был рассмотрен трех-терминальный контакт (другими словами контакт типа Т или Т-образный контакт) с неразличимыми полунитями [34], затем этот случай был обобщен для неравных величин взаимодействия в разных полунитях [35].

В фермионном подходе задача о нити с примесью была решена в работах [36, 37]. Затем было получено РГ уравнение для ¿-матрицы контакта произвольного количества нитей в первом порядке по взаимодействию [38, 39]. Это уравнение было применено для рассмотрения ограниченного класса стыков типа Т и типа X (крестообразный контакт).

Далее фермионный подход был существенно улучшен в работах [40, 41] с помощью учета высших порядков взаимодействия и субглавных логарифмов в теории возмущений для кондактанса. С помощью суммирования появившегося ряда было получено непертурбативное уравнение РГ для кондактанса, решения которого прекрасно воспроизводят скейлинговые показатели, известные точно из подхода, использующего технику бозонизации. В частности, были рассмотрены перенормировка прозрачности примеси [40] и трех-терминального контакта [41-43].

Использование фермионного подхода для изучения перенормировки прозрачности крестообразного контакта уже в первом порядке по взаимодействию привело к обнаружению нового феномена - неоднозначности в определении РГ потоков конликгипсов. Этот результат изложен в Главе 4 настоящей диссертации и опубликован в статье [7]. Это явление не может быть обнаружено в подходе бозонизации, так как скейлинговые показатели вблизи СТ остаются однозначными. Кроме того, его не существует в стыках с количеством нитей N < 4. В фермионном подходе этот эффект для крестообразного контакта не был найден ранее, так как рассматривались достаточно узкие классы ¿-матриц.

1.1.1 Краевые геликоидальные состояния топологических изоляторов

Топологические изоляторы (ТИ) - новый класс материалов, привлекающий большое внимание со стороны научного сообщества [5, 6]. Будучи изолятором в объеме, ТИ с необходимостью имеют проводящее состояние на своей границе. Из-за схожести явления с целочисленным квантовым эффектом Холла его также называют квантовым спиновым эффектом Холла [44]. Сильное спин-орбитальное взаимодействие приводит к связи импульса и момента в краевых состояниях, создавая так называемые геликоидальные состояния - состояния, в которых электроны с противоположными спинами распространяются в противоположные стороны. Рассеяние назад на немагнитных примесях в таких краевых состояниях запрещено из-за инвариантности ТИ по отношению к обращению времени. Это позволяет обсуждать создание различных объектов с электронным транспортом без потерь.

В диссертационной работе нас интересуют электроны на краю двухмерных ТИ, так как они ограничены в одном пространственном измерении - их можно описывать в рамках модели ЖТЛ. Модель ЖТЛ соответствует сильнокоррелированному электронному состоянию, а геликоидальность краевых состояний ТИ добавляет новые особенности. Этим объясняется большой и экспериментальный и теоретический интерес к геликоидальной ЖТЛ, предлагаются различные пути изучения сильнокоррелированной природы таких состояний. Изучение геликоидальных краевых состояний теоретически предлагалось проводить с помощью магнитного поля в работах [45-47], с помощью определенных пространственных конструкций геликоидальных состояний в работах [48-50] и с использованием квантовых точек в работах [51, 52].

Существует другой естественный способ изучения ТИ - туннелирование из зонда в краевое состояние. Существует экспериментальное свидетельство [53] и теоретическое объяснение [54] того, что при инжектировании электрона даже в обычную ЖТЛ возникает зарядовое фракционирование ("charge fractionalization") [5 56], проявляющееся в асимметрии втекающего тока. Для геликоидальной ЖТЛ туннелирование из зонда теоретически было рассмотрено в работах [57-62] с использованием подхода бозонизации. Экспериментальное изучение ТИ было

проведено в работе [63], в которой показано, что краевые состояния ТИ являются квантовыми спиновыми состояниями Холла, их геликоидальное поведение наблюдалось в [64], эксперименты, использующие сканирующую туннельную микроскопию, описаны в [65, 66].

Использование фермионного подхода для описания такого рода систем или, другими словами, описание туннелирования из зонда в геликоидальное состояние, позволяет выйти за пределы бозонизации, то есть считать прозрачность такого контакта не малой величиной. Тогда появляется перенормировка асимметрии тока втекающего в геликоидальное состояние из поляризованной нити, изначально задаваемая поляризацией спинов электронов в нити. Асимметрия перенормируется за счет взаимодействия, совместно с туннельным ко! ни к гипсом. Это обсуждается в Главе 3 и опубликовано в работе [9].

Исследование контакта двух геликоидальных состояний также представляет интерес с точки зрения изучения ТИ. Таким контактом может описываться сужение ТИ, когда краевые состояния с противоположных сторон ТИ начинают "соприкасаться", либо угловой стык двух ТИ. Такой стык обсуждался ранее в работах [67-70] в основном в подходе бозонизации. В работе Тео и Кейна [68] проводился дополнительно фермионный РГ анализ до второго порядка по взаимодействию. Мы обобщаем результаты этой статьи на случай неравных значений величин взаимодействия в краевых состояниях и получаем РГ уравнения в непертурбативном фермионном подходе в работе [8] и приводим их в Главе 2. СТ и скейлинговые показатели вблизи этих точек находятся в точном соответствии с результатами бозонизации, там где это сравнение возможно. Проблема неоднозначности в определении РГ потоков для крестообразных контактов здесь отсутствует из-за симметрий используемой ¿-матрицы, которая принадлежит группе симплектических матриц.

От изучения контакта двух геликоидальных состояний можно вернуться к обсуждаемому выше исследованию туннелирования в геликоидальное состояние, но теперь из неполяризованной нити. Как будет показано в Главе 3 для этого достаточно изменить матрицу взаимодействий, при этом ¿-матрицу оставить неизменной. Тогда в анализе РГ потоков кондактансов появляются, помимо одной СТ, две стационарные линии, одна из которых может быть устойчивой, в зависимости от величин взаимодействий в краевом состояний и нити. Эти

Рис. 1.1: Схематическое изображение четырехпроволочного контакта квантовых проволок.

результаты опубликованы во второй части работы [8].

1.2 Непертурбативная фермионная ренормгруппа

Кратко изложим теоретический формализм непертурбативной фермиошюй ренормгруппы, используемый для описания РГ потоков кондактансов различных контактов в последующих главах диссертации.

1.2.1 Модель

Мы будем рассматривать двухканальную модель жидкости Томонаги-Лат-тинджера для взаимодействующих бесспиновых фермионов с локальной примесью произвольной силы. Эти каналы входящих в контакт фермионов и исходящих из него, что соответствует фермионным операторам и 'фj,out^ Индекс ] обозначает нить в которой находится фермион, их п штук. Используемый формализм рассеянных состояний связывает входящие и исходящие фермионы унитарной матрицей $ [71]. Это схематически изображено на Рисунке 1.1 для частного случая четырехпроволочного контакта.

Мы считаем, что взаимодействие между фермионами короткодействующее, типа рассеяния вперед, с величиной взаимодействияд^. Оно имеет место только

внутри нити, длина которой Ь. Нить адиабатически соединена с резервуаром таким образом, что дополнительного рассеяния в этом соединении не возникает.

Линеаризуя спектр вблизи энергии Ферми, мы можем записать гамильтониан модели жидкости Томонаги-Латтинджера в следующем виде

rintt

U = dx[H0 + HmtQ(l < X < L)] , Jo

H° = VF- VFФ^УФ

m n

Hmt = 2kvf ^ 9jkPj% .

out«V^out , (1.1)

Здесь Ф,;n = ... ,^n,in) обозначает векторный оператор приходящих фер-

мионов, а соответствующий векторный оператор уходящих фермионов выражается с помощью ¿-матрицы как Фout(х) = S • Ф^n(x) при х ^ 0. Член в гамильтониане, отвечающий за взаимодействие, выражается в терминах операторов плотности fij^n = Ф+pjФ = /5j, и 'pjout = Ф+pjФ = pj, где ])j = S+ • pj • ¿, а матрицы плотности задаются с помощью выражений (pj)aß = öaßö,

aj

и

(Рз)ар = Диагональные компоненты матрицы взаимодействия дзь за-

дают величины взаимодействия в отдельных нитях, недиагональные - взаимодействие между нитями. Конечная длина нити задается функцией окна 0(1 < х < Ь\ которая равна единице 0(х) = 1, тел и I < х < Ь и нулю в других случаях. Ультрафиолетовое обрезание при х = I необходимо в нашей модели точечного взаимодействия Нгп, для конечного взаимодействия масштаб I связан с длиной экранировки [9]. С этого момента мы считаем, что скорость Ферми Ур = 1В зависимости от рассматриваемого контакта, форма ¿-матрицы и матрицы взаимодействия дзь различаются.

1.2.2 Приведенные кондактансы

В режиме линейного отклика наша система характеризуется матрицей кондактансов С, элементы которой задаются равенствами

1г = СгзУз , (1.2)

где - ток, протекающий в проволоке г, и У, - напряжение, приложенное к проволоке 2 ■ Условие сохранения тока = 0 и отсутствие отклика па одинаковое изменение напряжения приводят к правилам Кирхгофа ^ С^ = ^ ■ = 0. Это наводит на мысль, что можно выбрать более удобные линейные комбинации величин /¿и У^ уменьшая число независимых компоне нт в матрице С. В пределе постоянного тока формула Кубо связывает кондактанс и ¿-матрицу следующим образом

С* = 1№,- - (1.3)

1 21

где У^ = |2 пли можно записать У^ = Тг(р^) [72]. В этой записи видно, что значение кондактансов не зависит от "изменения фазы", то есть домножения ¿-матрицы слева или справа та унитарные матрицы вида сИа^е*71,... , ег7п).

Подходящее представление для матрицы приведенных кондактансов можно построить с помощью генераторов подалгебры Картана в группе^(п), которыми являются п — 1 бесследовые диагональные матрицы, ..., цп—17 и единичная матрица, Набор таких матриц удовлетворяет условию ^т(pj) = 26jк, 2 = 1,..., п. Тогда плотности выражаются как р^ = 1/\[2 ^к Щк^к, где (п х п)-матрица И обладает свойствами И-1 = Ит и АеЪ И = 1. Исходящие амплитуды выражаются подобным образом, нужно только заменить параметры ^ на = ¿+ • ^ • ¿. Это также означает [42], что мы работаем с комбинациями токов и напряжений вида

тшж \ т) т

= 1к,

к

УГ = Е Якг Ук.

к

Матрица приведенных кондактансов в таком базисе определяется с помощью выражения О = ИС Ит и имеет блочно-диагональную структуру

_ ((п — 1) х (п — 1) 0\ , ,

О =С ' 0( 'о]. (1-5)

В присутствии взаимодействия структура последнего выражения остается прежней, но элементы становятся переменными. Основной эффект в пределе постоянного тока может быть описан с помощью перенормировки ¿-матрицы [72], которая дает перенормированную величину

У* = ±Тг(Д/>,-), (1.6)

где верхний индекс Я показывает, что мы работаем в базисе вместо а г означает, что величина полностью перенормирована взаимодействиями. Здесь и далее мы полагаем, что все величины перенормированы, и опускаем последний верхний индекс.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ниязов, Рамиль Асхатович, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Observation of Majorana quantum critical behaviour in a resonant level coupled to a dissipative environment / H. T. Mebrahtu, I. V. Borzenets, H. Zheng et al. // Nat Phys. —2013. —Nov. —Vol. 9, no. 11. —P. 732-737.

2. Atomically controlled quantum chains hosting a Tomonaga-Luttinger liquid / C. Blumenstein, J. Schafer, S. Mietke et al. // Nat Phys. — 2011. — Oct. — Vol. 7, no. 10. —P. 776-780.

3. Tomonaga-Luttinger physics in electronic quantum circuits / S. Jezouin, M. Albert, F. D. Parmentier et al. // Nat Commun. — 2013. — Apr.— Vol. 4. —P. 1802-.

4. Quantum spin Hall insulator state in HgTe quantum wells / M. Konig, S. Wiedmann, C. Brune et al. // Science. — 2007. — Nov. — Vol. 318, no. 5851. —P. 766-770.

5. Hasan M. Z., Kane C. L. Colloquium // Rev. Mod. Phys.— 2010.— Nov. — Vol. 82. —P. 3045-3067.

6. Qi X.-L., Zhang S.-C. Topological insulators and superconductors // Rev. Mod. Phys. —2011. —Oct. —Vol. 83. —P. 1057-1110.

7. Aristov D. N., Niyazov R. A. Ambiguity in renormalization of the conductance of an X-junction between quantum wires with a Luttinger-type interaction // Theoretical and Mathematical Physics. — 2015. — Oct. — Vol. 185, no. 1.— P. 1408-1416.

8. Aristov D. N., Niyazov R. A. Tunneling into and between helical edge states: Fermionic approach // Phys. Rev. B. — 2016. — Jul. — Vol. 94. — P. 035429.

9. Aristov D. N., Niyazov R. A. Spin-polarized tunneling into helical edge states: Asymmetry and conductances // EPL. — 2017. — Vol. 117, no. 2. — P. 27008.

10. Solyom J. The Fermi gas model of one-dimensional conductors // Advances in Physics. — 1979. — Mar. — Vol. 28. — P. 201-303.

11. Shankar R. Renormalization-group approach to interacting fermions // Rev. Mod. Phys. —1994. —Jan. —Vol. 66. —P. 129-192.

12. Voit J. One-dimensional Fermi liquids // Reports on Progress in Physics. — 1995. —Vol. 58, no. 9. —P. 977.

13. Fisher M. P. A., Glazman L. I. Transport in a one-dimensional Luttinger liquid. — arXiv : cond-mat.mes-Hall/cond-mat/9610037v1.

14. von Delft J., Schoeller H. Bosonization for beginners - refermionization for experts // Annalen der Physik. — 1998.— Vol. 7, no. 4. —P. 225-305.

15. Schulz H. J., Cuniberti G., Pieri P. Fermi liquids and Luttinger liquids.— arXiv : cond-mat.str-el/cond-mat/9807366v2.

16. Gogolin A. O., Nersesyan A. A., Tsvelik A. M. Bosonization and strongly correlated systems. —Cambridge university press, 2004.

17. Tsvelik A. M. Quantum field theory in condensed matter physics. — Cambridge university press, 2007.

18. Maslov D. L. Fundamental aspects of electron correlations and quantum transport in one-dimensional systems. — 2005. — Jun. — arXiv : cond-mat/0506035.

19. Giamarchi T. Quantum Physics in One Dimension. — Clarendon; Oxford University Press, 2004. — Vol. 121 of The international series of monographs on physics.

20. Schonhammer K. Physics in one dimension: theoretical concepts for quantum many-body systems // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2013. — Vol. 25, no. 1. —P. 014001.

21. Caux J.-S., Smith C. M. Celebrating Haldane's 'Luttinger liquid theory'.— arXiv : cond-mat.str-el/1702.03735v1.

22. Guan X.-W., Batchelor M. T., Lee C. Fermi gases in one dimension: From Bethe ansatz to experiments // Rev. Mod. Phys. — 2013. — Nov. — Vol. 85. —P. 1633-1691.

23. Landau L. The theory of a Fermi liquid // Soviet Physics JETP-USSR. — 1957. —Vol. 3, no. 6. —P. 920-925.

24. Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinski I. E. Methods of quantum field theory in statistical physics. — Courier Corporation, 2012.

25. Bloch Z. Inkohärente röntgenstreuung und dichteschwankungen eines entarteten fermigases // Helv. Phys. Acta. — 1934. — Vol. 7. — P. 385.

26. Tomonaga S.-i. Remarks on Bloch's method of sound waves applied to many-fermion problems // Progress of Theoretical Physics. — 1950. —Vol. 5, no. 4. — P. 544-569.

27. Luttinger J. An exactly soluble model of a many-fermion system // Journal of Mathematical Physics. — 1963.— Vol. 4, no. 9. —P. 1154-1162.

28. Theumann A. Single-particle Green's function for a one-dimensional many-fermion system // Journal of Mathematical Physics. — 1967. — Vol. 8, no. 12. —P. 2460-2467.

29. Dzyaloshinskii I., Larkin A. Correlation functions for a one-dimensional Fermi system with long-range interaction (Tomonaga model) // JETP. — 1974. — jan. —Vol. 38, no. 1. —P. 202.

30. Haldane F. 'Luttinger liquid theory' of one-dimensional quantum fluids. i. properties of the Luttinger model and their extension to the general 1d interacting spinless Fermi gas // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1981. —Vol. 14, no. 19. —P. 2585.

31. Giamarchi T., Schulz H. J. Anderson localization and interactions in one-dimensional metals // Phys. Rev. B. — 1988.—jan. — Vol. 37, no. 1.— P. 325-340.

32. Furusaki A., Nagaosa N. Single-barrier problem and Anderson localization in a one-dimensional interacting electron system // Phys. Rev. B. — 1993. — feb. —Vol. 47, no. 8. —P. 4631-4643.

33. Kane C. L., Fisher M. P. A. Transmission through barriers and resonant tunneling in an interacting one-dimensional electron gas // Phys. Rev. B.— 1992. —Dec. —Vol. 46. —P. 15233-15262.

34. Oshikawa M., Chamon C., Affleck I. Junctions of three quantum wires // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2006. — Vol. 2006, no. 02. —P. P02008.

35. Junctions of multiple quantum wires with different Luttinger parameters / Chang-Yu Hou, Armin Rahmani, Adrian E. Feiguin, Claudio Chamon // Phys. Rev. B. —2012. —Aug. —Vol. 86. —P. 075451.

36. Matveev K. A., Yue D., Glazman L. I. Tunneling in one-dimensional non-Luttinger electron liquid // Phys. Rev. Lett. — 1993. — nov. — Vol. 71, no. 20. —P. 3351-3354.

37. Yue D., Glazman L. I., Matveev K. A. Conduction of a weakly interacting one-dimensional electron gas through a single barrier // Phys. Rev. B.— 1994. —Jan. —Vol. 49. —P. 1966-1975.

38. Lal S., Rao S., Sen D. Junction of several weakly interacting quantum wires: A renormalization group study // Phys. Rev. B. — 2002. — Oct. — Vol. 66.— P. 165327.

39. Das S., Rao S., Sen D. Renormalization group study of the conductances of interacting quantum wire systems with different geometries // Phys. Rev. B. —2004. —Aug. —Vol. 70. —P. 085318.

40. Aristov D. N., Wolfle P. Conductance through a potential barrier embedded in a Luttinger liquid: Nonuniversal scaling at strong coupling // Phys. Rev. B. —2009. —Jul. —Vol. 80. —P. 045109.

41. Aristov D. N., Wölfle P. Chiral Y junction of Luttinger liquid wires at strong coupling: Fermionic representation // Phys. Rev. B. — 2013. — Aug.— Vol. 88. —P. 075131.

42. Aristov D. N. Constraints on conductances for Y-junctions of quantum wires // Phys. Rev. B. — 2011. — Mar.— Vol. 83. —P. 115446.

43. Aristov D. N., Wolfle P. Chiral Y junction of Luttinger liquid wires at weak coupling: Lines of stable fixed points // Phys. Rev. B. — 2012. — Jul.— Vol. 86. —P. 035137.

44. Dolgopolov V. T. Integer quantum Hall effect and related phenomena // Physics-Uspekhi. — 2014. — Vol. 57, no. 2. — P. 105. — Access mode: http: //stacks.iop.org/1063-7869/57/i=2/a=105.

45. Braunecker B., Bena C., Simon P. Spectral properties of Luttinger liquids: A comparative analysis of regular, helical, and spiral Luttinger liquids // Phys. Rev. B. —2012.—jan. —Vol. 85, no. 3. —P. 021017.

46. Kharitonov M. Interaction-enhanced magnetically ordered insulating state at the edge of a two-dimensional topological insulator // Phys. Rev. B.— 2012. —oct. —Vol. 86, no. 16. —P. 165121.

47. Soori A., Das S., Rao S. Magnetic-field-induced Fabry-Perot resonances in helical edge states // Phys. Rev. B.— 2012.— Sep.— Vol. 86. —P. 125312.

48. Generating and controlling spin-polarized currents induced by a quantum spin Hall antidot / G. Dolcetto, F. Cavaliere, D. Ferraro, M. Sassetti // Phys. Rev. B. —2013. —Feb. —Vol. 87. —P. 085425.

49. Time-resolved pure spin fractionalization and spin-charge separation in helical Luttinger liquid based devices / Alessio Calzona, Matteo Carrega, Gi-acomo Dolcetto, Maura Sassetti // Phys. Rev. B. — 2015. — Nov. — Vol. 92. —P. 195414.

50. Time-resolved energy dynamics after single electron injection into an interacting helical liquid / Alessio Calzona, Matteo Acciai, Matteo Carrega et al. // Phys. Rev. B. — 2016.— jul. — Vol. 94, no. 3. —P. 035404.

51. Chao S.-P., Silotri S. A., Chung C.-H. Nonequilibrium transport of helical Luttinger liquids through a quantum dot // Phys. Rev. B. — 2013. — Aug. — Vol. 88. —P. 085109.

52. Spin textures of strongly correlated spin Hall quantum dots / Giacomo Dol-cetto, Niccolo Traverso Ziani, Matteo Biggio et al. // physica status solidi

(RRL) - Rapid Research Letters. — 2013. — sep. — Vol. 7, no. 12. —P. 10591063.

53. Charge fractionalization in quantum wires / Hadar Steinberg, Gilad Barak, Amir Yacoby et al. // Nat Phys. — 2007. — dec. — Vol. 4, no. 2. — P. 116-119.

54. Hur K. L., Halperin B. I., Yacoby A. Charge fractionalization in nonchiral Luttinger systems // Annals of Physics. — 2008. — dec. — Vol. 323, no. 12. — P. 3037-3058.

55. Safi I., Schulz H. J. Transport in an inhomogeneous interacting one-dimensional system // Phys. Rev. B. — 1995. — Dec. — Vol. 52. — P. R17040-R17043.

56. Pham K.-V., Gabay M., Lederer P. Fractional excitations in the Luttinger liquid // Physical Review B. — 2000.—jun. — Vol. 61, no. 24. —P. 1639716422.

57. Electron tunneling into a quantum wire in the Fabry-Perot regime / Stefano Pugnetti, Fabrizio Dolcini, Dario Bercioux, Hermann Grabert // Phys. Rev. B. —2009.—jan. —Vol. 79, no. 3. —P. 035121.

58. Das S., Rao S. Spin-polarized scanning-tunneling probe for helical Luttinger liquids // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Jun. — Vol. 106. —P. 236403.

59. Garate I., Le Hur K. Noninvasive probes of charge fractionalization in quantum spin Hall insulators // Phys. Rev. B. — 2012. — May. — Vol. 85. — P. 195465.

60. Khanna U., Pradhan S., Rao S. Transport and STM studies of hyperbolic surface states of topological insulators // Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 87. — P. 245411.

61. Transient dynamics of spin-polarized injection in helical Luttinger liquids / A. Calzona, M. Carrega, G. Dolcetto, M. Sassetti // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. — 2015. — Vol. 74. — P. 630 - 636.

62. Santos R. A., Gutman D. B., Carr S. T. Phase diagram of two interacting helical states//Phys. Rev. B. — 2016. — jun. — Vol. 93, no. 23. —P. 235436.

63. Edge and interfacial states in a two-dimensional topological insulator: Bi(111) bilayer on Bi 2 Te 2 Se / Sung Hwan Kim, Kyung-Hwan Jin, Joonbum Park et al. // Physical Review B. — 2014. — apr. — Vol. 89, no. 15. —P. 155436.

64. Observation of a helical Luttinger liquid in InAs/GaSb quantum spin Hall edges / Tingxin Li, Pengjie Wang, Hailong Fu et al. // Phys. Rev. Lett.— 2015. —Sep. —Vol. 115. —P. 136804.

65. Subnanometre-wide electron channels protected by topology / Christian Pauly, Bertold Rasche, Klaus Koepernik et al. // Nat Phys. — 2015.— Apr. —Vol. 11, no. 4. —P. 338-343.

66. Evidence for topological edge states in a large energy gap near the step edges on the surface of ZrTe5 / R. Wu, J.-Z. Ma, S.-M. Nie et al. // Phys. Rev. X. —2016. —May. —Vol. 6, no. 2. —P. 021017.

67. Hou C.-Y., Kim E.-A., Chamon C. Corner junction as a probe of helical edge states // Phys. Rev. Lett.— 2009.— Feb.— Vol. 102. —P. 076602.

68. Teo J. C. Y., Kane C. L. Critical behavior of a point contact in a quantum spin Hall insulator // Phys. Rev. B.— 2009.— Jun.— Vol. 79. —P. 235321.

69. Strom A., Johannesson H. Tunneling between edge states in a quantum spin Hall system // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Mar.— Vol. 102. —P. 096806.

70. Transport via double constrictions in integer and fractional topological insulators / Chia-Wei Huang, Sam T. Carr, Dmitri Gutman et al. // Phys. Rev. B. —2013. —Sep. —Vol. 88. —P. 125134.

71. Lesovik G. B., Sadovskyy I. A. Scattering matrix approach to the description of quantum electron transport // Physics-Uspekhi. — 2011. — Vol. 54, no. 10. —P. 1007.

72. Aristov D. N., Wölfle P. Transport properties of a Y junction connecting Luttinger liquid wires // Phys. Rev. B. — 2011. — Oct.— Vol. 84. —P. 155426.

73. Aristov D. N., Wolfle P. Transport through asymmetric two-lead junctions of Luttinger liquid wires // Lithuanian Journal of Physics. — 2012. — Vol. 52, no. 2. —P. 89-95.

74. Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics: non-relativistic theory.— Elsevier, 2013. —Vol. 3.

75. Tunneling into a Luttinger liquid revisited / D. N. Aristov, A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi et al. // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Dec. — Vol. 105.— P. 266404.

76. Fabrizio M., Gogolin A. O. Interacting one-dimensional electron gas with open boundaries // Phys. Rev. B. — 1995. — Jun. — Vol. 51. —P. 17827-17841.

77. Kazymyrenko K., Doucot B. Regular networks of Luttinger liquids // Phys. Rev. B. —2005. —Feb. —Vol. 71. —P. 075110.

78. Saha A. Electron-electron interaction effects on transport through mesoscopic superconducting hybrid junctions // International Journal of Modern Physics B. —2013. —Vol. 27, no. 21. —P. 1330015.

79. Auberson G., Martin A., Mennessier G. On the reconstruction of a unitary matrix from its moduli // Communications in Mathematical Physics. — 1991. —Vol. 140, no. 3. —P. 523-542.

80. Dita P. On the parametrisation of unitary matrices by the moduli of their elements // Communications in Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 159, no. 3. —P. 581-591.

81. Aristov D. N., Wolfle P. Transport properties of a two-lead Luttinger-liquid junction out of equilibrium: Fermionic representation // Phys. Rev. B. — 2014. —Dec. —Vol. 90. —P. 245414.

82. Keldysh L. V. Diagram technique for nonequilibrium processes // Sov. Phys. JETP. —1965. —Vol. 20, no. 4. —P. 1018-1026.

83. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Physical Review. — 1959. — Vol. 115, no. 3. — P. 485.

84. Aharonov-Bohm conductance through a single-channel quantum ring: Persistent-current blockade and zero-mode dephasing / A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, V. Yu. Kachorovskii, D. G. Polyakov // Phys. Rev. Lett. — 2010. —Jul. —Vol. 105. —P. 036402.

85. High-temperature Aharonov-Bohm effect in transport through a singlechannel quantum ring / A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, V. Yu. Kachorovskii et al. // JETP Letters. —2015. —Vol. 100, no. 12. —P. 839-851.