Перенормированная статистическая теория нелинейных процессов в плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сосенко, Петро Петрович

• Сосенко, Петро Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сосенко, Петро Петрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЛУКТУАЦИЙ И ФУНКЦИИ ОТКЛИКА ПЛАЗМЫ

§1. Микроскопические уравнения

§2. Спектральное распределение флуктуации микроскопической плотности частиц

§3. Спектральное распределение неэкранированных флуктуаций.

§4. Спектральная квадратичная корреляционная функция поля.

§5. Кубическое приближение

§6. Функции отклика плазмы

§7. Временная эволюция флуктуаций

§8. Нелинейный сдвиг собственных частот в плазме

ГЛАВА 2. КОНВЕКТИВНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПЛАЗМЕ

§9. Основные уравнения

§10. Стационарные спектры и флуктуационнодиссипативная теорема

§11. Кинетическое уравнение

§12. Аномальная диффузия

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДРЕЙФОВЫХ ВОЛН

В ПЛАЗМЕ

§13. Потенциальные дрейфовые колебания

§14. Магнитные дрейфовые колебания

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перенормированная статистическая теория нелинейных процессов в плазме»

Теория электромагнитных флуктуаций в плазме - один из важнейших разделов теории плазмы, изучение электромагнитных флуктуаций является необходимым для построения замкнутой статистической электродинамики плазмы. Это обусловлено тем обстоятельством, что спектральные распределения флуктуаций различных величин определяются электродинамическими свойствами среды /1-4/* Изучение флуктуаций особенно существенно для плазмы, поскольку она является классическим примером среды, в которой проявляются разнообразные коллективные эффекты. Знание электромагнитных флуктуаций дает возможность непосредственно исследовать различные электромагнитные процессы, представляющие интерес как с научной, так и с прикладной точек зрения. Флуктуации играют основную роль в неравновесных условиях, в частности, в турбулентном состоянии плазмы, отличительной особенностью которого является возникновение аномалий, проявляющихся в столкновителъных процессах и приводящих к аномальным зависимостям кинетических коэффициентов от параметров (например, от магнитного поля).

Бурное развитие физики плазмы за последние годы существенно расширило представления о природе турбулентного состояния вещества /5-18/. Турбулентное состояние плазмы -неравновесное состояние, характеризуемое чрезвычайно высоким уровнем коллективных флуктуаций, когда становится существенным нелинейное взаимодействие между модами. Учет нелинейного взаимодействия волн - важнейшая предпосылка для построения количественной теории турбулентности в плазме.

Так же, как и теория турбулентности, на рассмотрении флукту-ационных спектров должна основываться и теория столкнови-тельных процессов, поскольку при достаточно высоком уровне флуктуационных шумов столкновительные процессы изменяются, типичным примером влияния коллективных возбуждений на столкновительные процессы может быть квазилинейная релаксация /19-20/.

Спектральные распределения флуктуаций в плазме имеют широкий максимум в области малых частот и мелких масштабов, обусловленный случайным движением отдельных заряженных частиц (некогерентные флуктуации), и резкие максимумы на частотах собственных возбуждений плазмы в крупномасштабной области, обусловленные коллективными флуктуациями /V* Б термодинамически равновесном состоянии уровень коллективных флуктуаций в плазме определяется температурой и их относительный вес в общем спектре мал. Поэтому коэффициенты переноса слабонеравновесной плазмы определяются в основном некогерентными флуктуациями и слабо зависят от коллективных свойств. Однако в сильнонеравновесной плазме уровень коллективных флуктуаций сильно возрастает, особенно при приближении к границе области устойчивости. В этом случае определяющими являются нелинейные эффекты, которые необходимо учитывать при рассмотрении флуктуаций в неравновесной плазме. В частности, низкочастотная область спектра определяется коллективными возбуждениями нелинейной природы (конвективными ячейками, магнитными островами и т.д. /21-24, 1+-3+/-)* Следует отметить, что для этих возбуждений нелинейные эффекты могут быть определяющими даже в равновесном состоянии.

Общий метод построения статистической теории нелинейных процессов в турбулентной плазме развит в /4, 25-27/. В основу рассмотрения положено нелинейное уравнение для микроскопического поля в плазме. Такой подход оправдан в случае применимости разложения фазовой плотности частиц по степеням амплитуды поля, т.е. при достаточно малых амплитудах электромагнитного поля. Левая часть нелинейного уравнения для микроскопического поля представляет собой разложение электрической индукции по степеням электрического поля. Путем последовательного перемножения этого уравнения самого на себя и последующего статистического усреднения можно получить иерархию нелинейных уравнений для последовательности корреляционных функций. Обрывая эту цепочку уравнений и исключая из неё высшие корреляционные функции, можно получить замкнутое уравнение для квадратичной корреляционной функции поля с учетом как квадратичных по интенсивности слагаемых /25/, так и кубических /4+Л В стационарном случае такое уравнение непосредственно определяет спектральное распределение энергии флуктуационного поля. В общем случае это уравнение является основой для вывода кинетического уравнения для волн, которое и описывает турбулентные процессы в плазме.

В квадратичном по интенсивности взаимодействующих волн приближении кинетическое уравнение описывает трехволновое распадное взаимодействие, а также индуцированное рассеяние волн на частицах /4-13/. Указанные нелинейные эффекты обеспечивают насыщение уровня флуктуаций в слаботурбулентной плазме, величина которого находится из решения кинетического уравнения (в качестве характерного примера можно указать на случай ионно-звуковой турбулентности /28/). На основе кинетического уравнения для волн можно также исследовать процессы рассеяния и трансформации волн, обусловленные флуктуа-циями диэлектрической проницаемости и нелинейных восприимчи-востей плазмы /4/» Однако описание ленгмюровской турбулентности на основе кинетического уравнения приводит к трудностям, связанным с проблемой накопления плазмонов в длинноволновой области, т.е. образованием конденсата /9/. В случае сильной ленгмюровской турбулентности существенную роль играет четырёхволновое взаимодействие, приводящее к коллапсу и обеспечивающее насыщение уровня флуктуаций /12, 29-32/. Следует отметить, что насыщение уровня критических флуктуаций при пучковой неустойчивости и параметрическом резонансе также связано с четырёхволновым взаимодействием, приводящим к возникновению нелинейных сдвигов собственных частот /33, 34/« Нелинейный сдвиг собственных частот находится либо с помощью динамических нелинейных уравнений /35/, либо с помощью нелинейного дисперсионного уравнения /4-, 5+/*

Для описания четырёхволновых процессов необходимо учесть в уравнении для квадратичной корреляционной функции поля слагаемые, кубические по интенсивности флуктуаций. Однако непосредственный анализ этого уравнения с учетом кубических слагаемых показывает, что отдельные слагаемые, описывающие трёхволновое взаимодействие, расходятся. В /4+/ проведено выборочное суммирование наиболее расходящихся слагаемых, что формально свелось к введению нелинейной диэлектрической проницаемости или перенормированной функции линейного отклика плазмы. Однако такое частичное суммирование является недостаточным, поскольку остаются расходимости, связанные с резонансами более высокого порядка (в первую очередь, с че-тырёхволновым резонансным взаимодействием), а также с резонансным взаимодействием частиц и волн. Поэтому необходимо построить перенормированную статистическую теорию нелинейных процессов в плазме, в которой последовательно было бы проведено выборочное суммирование расходящихся рядов теории возмущения. На необходимость построения такой теории, позволяющей описывать сильнотурбулентное состояние плазмы, впервые указано в работе Б.Б.Кадомцева /5/, который предложил также возможную схему построения такой теории. В работах Т.Дюпри и Дж.Вайнстока /36-43/ был использован пропагатор частиц с учетом турбулентной диффузии в пространстве скоростей. В работах Л.И.Рудакова и В.Н.Цытовича /44-46/ развита процедура перенормировки пропагатора частиц и диэлектрической проницаемости с помощью введения оператора эффективных турбулентных столкновений. Перенормированная теория турбулентности в дальнейшем разрабатывалась в ряде работ /47-55/. Последовательный вариант перенормированной теории турбулентности плазмы предложен в работах /56-58/ на основе обобщенного метода приближения прямого взаимодействия, разработанного Р.Крейчнаном для описания турбулентного движения жидкости /59, 60/.

В случае слабой турбулентности описание плазмы возможно на основе задания только квадратичной корреляционной функции флуктуаций. Исходным в неперенормированной теории слабой турбулентности является нелинейное уравнение для квадратичной корреляционной функции поля /4/. При этом функция линейного отклика плазмы определяется в общем случае разложением по степеням корреляционных функций. В случае неслабой (или сильной) турбулентности для описания плазмы кроме квадратичной корреляционной функции необходимо задать функцию отклика плазмы на малое внешнее возмущение /5/. Эти две величины определяются в общем случае из решения системы двух нелинейных уравнения, которые являются исходными в перенормирован-, ной статистической теории. В равновесной плазме могут иметь место дополнительные соотношения, связывающие корреляционные функции флуктуаций и соответствующие функции отклика. В частности, флуктуационно-диссипативное соотношение устанавливает общую связь между диссипативными свойствами плазмы и спектральным распределением флуктуаций электрического поля в ней. В силу того, что диссипативные свойства системы определяются макроскопическими коэффициентами линейной связи между индуцированными зарядами (токами) и внешними полями, флуктуационно-диссипативное соотношение позволяет выразить спектр электромагнитных флуктуаций через такие коэффициенты (функции линейного отклика) /1,4,61-63/. Для равновесной плазмы спектральное распределение электромагнитных флуктуаций определяется заданием тензора диэлектрической проницаемости. Наоборот, зная спектр электромагнитных флуктуаций, путем обращения флуктуационно-диссипативного соотношения можно найти диэлектрическую проницаемость среды /3,64/. Флуктуационно-диссипативное соотношение справедливо как для линейных, так и для нелинейных систем /65/. При рассмотрении флуктуации б нелинейных электродинамических системах наряду с обычным флуктуационно-диссипативным соотношением можно установить ряд добавочных соотношений, связывающих равновесные корреляционные функции более высоких порядков (по сравнению с квадратичной) с нелинейными функциями отклика /66, 67/.

Статистическая теория, построенная на основе нелинейного уравнения для микроскопического поля в плазме, ограничена предположением о применимости разложения по амплитуде поля. Если отказаться от этого предположения, то для построения статистической теории необходимо непосредственно использовать нелинейное уравнение для микроскопической плотности частиц в фазовом пространстве /68/. С помощью статистического усреднения этого уравнения можно получить известную систему зацепляющихся уравнений для одновременных (двухвремен-ных) многочастичных корреляционных функций, одновременную (двухвременную) иерархию уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона. Однако для исследования коллективных свойств плазмы и последовательного рассмотрения нелинейных эффектов более удобным является статистический метод, развитый в /V* На основе этого метода можно вывести фундаментальную систему уравнений для квадратичной корреляционной функции флуктуаций функции распределения частиц и функции отклика плазмы /6+, 7+/. Такая система уравнений описывает как коллективные (турбулентные), так и одночастичные (столкновительные) процессы в плазме с учетом нелинейного взаимодействия.

В рамках нелинейной статистической теории возможно последовательное рассмотрение влияния турбулентных процессов на явления переноса в плазме, в частности, возможно количественное определение коэффициентов переноса частиц поперек магнитного поля, необходимое для практического осуществления магнитного удержания плазмы. На выяснение механизма аномального, т.е. не связанного со столкновениями, переноса были направлены многочисленные эксперименты. Установлено, что повышенный перенос частиц плазмы обусловлен, как правило, наличием в неравновесной плазме различного рода коллективных возбуждений, возникающих вследствие развития неустойчивос-тей /5,7/. В частности, аномальная диффузия частиц может быть объяснена на основе представлений о развитии дрейфовой неустойчивости плазмы /5,10,69/. Особенно актуальным является исследование нелинейного взаимодействия низкочастотных возбуждений замагниченной плазмы (конвективных ячеек, дрейфовых волн). На важность учета конвективных ячеек, (соответствующих апериодическим движениям плазмы, однородным вдоль магнитного поля /70/), для объяснения аномального характера диффузии плазмы было указано в работах /71,72/. Большой интерес представляет изучение нелинейных механизмов возбуждения и поддержания конвективной турбулентности. Достаточно универсальным является распадный механизм возбуждения конвективных движений при взаимодействии дрейфовых и альфвенов-ских волн /73-75/. Важной чертой конвективных возбуждений является то, что они могут рассматриваться как собственные нелинейные возбуждения плазмы.

Наряду с модой конвективных ячеек, существенную роль в низкочастотной области спектра могут играть дрейфовые (как потенциальные /5,21/, так и магнитные /23,24/) колебания плазмы. Особенностью дрейфовой турбулентности является то, что для неё могут осуществляться оба режима, слабой и сильной турбулентности. Это подтверждается результатами чисель-ного моделирования и экспериментальными исследованиями /7678/. Сильная дрейфовая турбулентность может приводишь к аномальному переносу плазмы.

Низкочастотные возбуждения плазмы в магнитном поле -это сильнонелинейные движения гидродинамического типа. Их последовательное рассмотрение возможно только в рамках перенормированной статистической теории. При этом во многих случаях эффективным является исследование в рамках модельных, приближенных уравнений, правильно учитывающих дисперсию и характер нелинейного взаимодействия колебаний. В частности, значительный успех достигнут при описании на основе модельных уравнений ленгмюровских колебаний /12,29-32,79-82/, электромагнитных волн /83/, дрейфовых волн /84-/1 желобковых колебаний /85/, моды магнитных островов /86/ и т.д. Теоретическое исследование этих модельных уравнений позволяет объяснить целый ряд результатов, наблюдаемых в лабораторной /87-89/ и космической плазме /78,90/.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Во введении определяется актуальность и важность исследований, проведенных в диссертации, даётся краткое изложение полученных результатов и приведены основные положения, представленные к защите.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сосенко, Петро Петрович

Основные результаты диссертационной работы можно кратко сформулировать следующим образом:

1. На основе общего статистического подхода выведена нелинейная система уравнений для спектральной квадратичной корреляционной функции флуктуаций фазовой плотности частиц и функции линейного отклика плазмы на внешнее малое возмущение с учетом как квадратичных, так и кубических по интенсивности флуктуаций членов. Сформулирован метод перенормировки статистической теории турбулентности в плазме.

2. Введены перенормированные функции источников флуктуаций, что позволяет последовательно учесть одночастичные эффекты в перенормированной теории.

3. Определены корреляционные функции и функция отклика для неэкранированных флуктуаций и проведена факторизация основных уравнений, позволяющая явно выделить коллективные эффекты. Определена перенормированная диэлектрическая проницаемость плазмы. Сформулированы основные уравнения для корреляционной функции неэкранированных флуктуаций, функции неэкранированного отклика и перенормированного оператора кулоновского взаимодействия.

4. Изложена концепция функций отклика плазмы на внешнее возмущение. Выведено детальное флуктуационно-диссипа-тивное соотношение, на основе которого сформулирована флуктуационно-диссипативная теорема перенормированной теории и установлено-ее обращение, связывающее диссипативную часть нелинейной диэлектрической проницаемости с корреляционной функцией для неэкранированных флуктуаций плотности заряда в плазме.

5. Выведена система уравнений для спектральной квадратичной корреляционной функции флуктуаций поля и нелинейной диэлектрической проницаемости плазмы в кубическом по интенсивности флуктуаций приближении. Эта система является основой при выводе кинетического уравнения для волн в плазме, которое и описывает различные турбулентные процессы в плазме.

6. Рассмотрена временная эволюция спектрального распределения флуктуаций. Выведены кинетические уравнения, описывающие трех- и четырехволновые взаимодействия в плазме, с учетом кубических по интенсивности волн членов.

7. Показано, что квазилинейная диффузия и столкновения существенно влияют на нелинейный сдвиг частот собственных колебаний плазмы.

8. На основе развитого подхода рассмотрена конвективная турбулентность в сильно замагниченной плазме. В рамках гидродинамического приближения выведено уравнение, описывающее нелинейное взаимодействие конвективных ячеек в плазме. Для описания тепловых флуктуаций в это уравнение введены ланже-веновские источники. Корреляционные функции источников рассчитаны на основе общих методов термодинамики необратимых процессов. Сформулирована основная система уравнений для корреляционной функции флуктуаций плотности заряда в конвективных ячейках и функции отклика плазмы.

9. Найден стационарный спектр тепловых конвективных возбуждений с учетом их нелинейного взаимодействия. Получен стационарный спектр конвективной турбулентности для случая нетепловых флуктуаций. Для этого случая рассчитана также перенормированная диэлектрическая проницаемость плазмы и сформулирована флуктуационно-диссипативная теорема, позволяющая ввести эффективную температуру конвективных возбуждений.

Выведено кинетическое уравнение для конвективных возбуждений плазмы и уравнение для их коэффициента нелинейного затухания. Получены стационарные автомодельные решения этой системы уравнений.

10, В рамках гидродинамического подхода исследовано нелинейное взаимодействие дрейфовых (как потенциальных, так и электромагнитных) колебаний плазмы в различных турбулентных режимах. Выведены нелинейное уравнение для флуктуаций плотности заряда в потенциальных дрейфовых колебаниях с учетом неоднородности температуры электронов и нелинейное уравнение для флуктуаций плотности тока в магнитных дрейфовых колебаниях при наличии макроскопического тока в плазме. Для описания тепловых флуктуаций в эти уравнения введены ланжевеновские источники. Рассчитаны корреляционные функции ланжевеновских источников.

11. Получены стационарные спектры тепловых дрейфовых возбуждений в неоднородной плазме с учетом их нелинейного взаимодействия. Для случая тепловых магнитных дрейфовых возбуждений рассчитана перенормированная поперечная диэлектрическая проницаемость плазмы и сформулирована флуктуационно-диссипативная теорема. Получены стационарные спектры нетепловых дрейфовых колебаний.

Получены стационарные автомодельные решения для спектра дрейфовых возбуждений и коэффициента их нелинейного затухания в режимах слабой и сильной турбулентности, для случаев слабой и сильной неоднородности температуры плазмы. Исследована как коротковолновая, так и длинноволновая дрейфовая турбулентность.

12. Установлено, что конвективная и дрейфовая турбулентность может обусловить аномальные транспортные явления в плазме. Рассчитаны коэффициенты аномального переноса плазмы для различных турбулентных режимов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сосенко, Петро Петрович, 1984 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.- М.: Наука, 1982,- 620с.

2. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы,- М.: Наука, 1974.- 720с.

3. Ситенко А.Г. Электромагнитные флуктуации в плазме.-Харьков: Изд. Харьк. ун-та, 1965.- 154с.

4. Ситенко А.Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме.- К.: Наук, думка, 1977,- 248с.

5. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы,- Вопросы теории плазмы, 1964, 4, 138-339.

6. Ахиезер А.И., Ахиезер И,А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Коллективные колебания в плазме,- М.: Атомиздат, 1964.- 163с.

7. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме,- М.: Наука, 1976,- 238с.

8. Галеев A.A., Сагдеев Р.З. Нелинейная теория плазмы.-Вопросы теории плазмы, 1973, 7, 3-145.

9. Цытович В.Н. Теория турбулентной плазмы,- М.: Атомиздат, 1971,- 424с.

10. Арцимович Л.А,, Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков.-М.: Атомиздат, 1979.- 318с.

11. Пустовалов В.В., Силин В.П. Нелинейная теория взаимодействия волн в плазме.- Тр. ФИАН, 1972, 61, 42-281.

12. Основы физики плазмы: В 2-х т. Т.2,- М.: Энергоатомиз-дат, 1984.- 632с.13« Davidson R.C. Methods in nonlinear plasma theory.-N.Y.: Academic, 1972.- 356p.14. tБыченков В.Ю., Силин В.П. Ионно-звкковая турбулентностьплазмы.- ЖЭТФ, 1982, 86, 1886-1903.

13. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность.- УФН, 1978, 125, 123-168.

14. Монин А.С. О природе турбулентности.- УФН, 1978, 125, 97-122.

15. Leslie D.C. Review of developments in turbulence theory.-Rep.Prog.Phys., 1975, ¿6, 1365-1424.

16. Kraichnan R.H. Hydrodynamic turbulence and the renormalization group.- Phys.Rev., 1982, A2^, 3281-3284.

17. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Квазилинейнаятеория колебаний плазмы.- Яд.синт.Прил., 1962, 2, 465485.

18. Drummond W.E., Pines D. Nonlinear stability of plasma oscillations.- Nucl.Fusion Suppl., 1962, 1049-105721. Weiland J. Low frequency modes associated with drift motions in inhomogeneous plasmas.- Preprint СТН-ГЕРОУРР-1982-7, Gothenburg, 1982.- 90p.

19. Dawson J.M. Particle simulation of plasmas.- Rev.Mod.Phys. 1983, 403-448.

20. Pavlenko V.P., Weiland J. Formation of nonlinear magnetic islands and diffusion in inhomogeneous plasmas.- Phys. Scr., 1982, 26, 225-231.

21. Rahman H.U., Weiland J. Nonlinear coupling of drift waves, convective cells, and magnetic drift modes in finite beta plasmas.- Phys.Rev., 1983, A28, 1673-1678.

22. Ситенко А.Г. Флуктуации в турбулентной плазме.- Физ. плазмы, 1975, I, 45-59.

23. Ситенко А.Г. Нелинейные флуктуации и турбулентность в плазме.- УФЖ, 1983, 28, I6I-I90.

24. Sitenko A.G. Nonlinear wave interaction and fluctuationsin plasmas.- Phys.Ser., I9S2, T2/I. 67-82.

25. Захаров В.Ё., Сагдеев P.Б. О спектре акустической турбулентности.- Докл.АН СССР, 1970, 192, 297-300.

26. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн.- ЖЭТФ, 1972, 62, 1745-1759.

27. Sagdeev R.Z, Critical problems in plasma astrophysics.-Rev.Mod.Phys., 1979, ¿1, ï-9, II-20.

28. Thornhill S.G., D.ter Haar Langmuir turbulence and modu-lational instability.- Phys.Rep., 1978, 42, 45-99.

29. Rudakov L.I., Tsytovich V.N. Strong lengmuir turbulence.-Ibid., 1978, ¿ЮС, 1-73.

30. Sitenko A.G. Nonlinear wave interaction and fluctuationsin plasma.- Phys.Ser., 1973, 2, 193-197.

31. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму.- М.: Наука, 1973.- 288с.

32. Ситенко А.Г., Засенко В.И. О нелинейном сдвиге частот собственных колебаний плазмы.- УФ1, 1978, 23, 1277-1288.

33. Weinstock J. Turbulent diffusion, particle orbits, and field fluctuations in a plasma in a magnrtic field.-Ibid., 1968, II, 1977-1981.

34. Weinstock J. Turbulent plasmas in a magnetic field.-A statistical theory.- Ibid., 1970, 12, 2308-2316.

35. Weinstock J., Williams R.H. Nonlinear theory of macroin-stabilities and enhanced transpott in plasmas.- Ibid., 1971, 14, 14-72—1480.

36. Eudakov L.I., Tsytovich Y.N. The theory of plasma turbulence for strong wave-particle interaction.- Plasma Phys., 1971, 12, 213-228.

37. Tsytovich V.N. The spectra and correlation functions forion sound turbulence.- Ibid., 741- 756.

38. Цытович B.H. Развитие представлений о плазменной турбулентности.- УФН, 1972, 108, 143-176.

39. Галеев А.А. Турбулентная релаксация плазмы вдали от порога устойчивости.- ЖЭТФ, 1969, 57, I36I-I375.

40. Галеев А.А., Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Необходима ли перенормировка в квазилинейной теории ленгмюровских колебаний?- ЖЭТФ, 1980, 79, 2167-2175.

41. Galeev A.A. New approach to plasma turbulence.- Phys. Fluids, 1967, I04I-I048.

42. Cook I., Sanderson D. On Dupree*s theory of strong plasma turbulence.- Plasma Phys., 1974, 16, 977-981.

43. Cook I. Effect of fluctuations on the response function of plasmas.- Ibid., 1978, 20, 73-83.

44. Mima K. Modification of weak turbulence theory due to perturbed orbit effects.- J.Phys.Soc.Jpn., 1973, 34, 1620-1632.53» Thompson J.J., Benford J. Convergence of strong turbulence theory.- Phys.Fluids, 1973, 16, 1505-1507.

45. Vaclavic J. On renormalization in the theory of weak turbulence in plasmas.- J.Plasma Phys., 1975, 14» 315325.55« Pelletier G. Renormalization method and singularities in the theory of Langmuir turbulence.- Ibid., 1977, 18T 49-76.

46. DuBois D.F., Espedal M. Direct interaction approximation and plasma turbulence theory.- Plasma Phys., 1978, 20. I209-I239.

47. Krommes J.A., Kleva E.G. Aspects of a renormalized weak plasma turbulence theory.- Phys.Fluids, 1979, 22, 21682177.

48. Rose H.A. Kinetic theory of nonequilibrium many-particle classical systems.- J.Stat.Phys., 1979, 20, 415-447.59« Kraichnan R.H. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds numbers.- J.Fluid Mech., 1959, j?, 497-543.

49. Orszag S.A., Kraichnan R.H. Model equations for strong turbulence in a Vlasov plasma.- Phys.Fluids, 1967, 10. I720-1736.

50. Callen H.B. , Wei ton Т.A. Irreversibility and. generalized noise.- Phys.Rev., 1951, §2, 34-40.

51. Kubo R.J. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. General theory and simple applications to magnetic and conduction problem.- J.Phys.Soc.Jpn., 1957, 12, 570-586.

52. Леонтович M.A., Рытов C.M. 0 дифференциальном законе для интенсивностей электрических флуктуации и о влиянии на них скин-эффекта.- ЖЭТФ, 1952, 23, 246-252.

53. Ситенко А.Г., Якименко И.П. Метод обращения флуктуацион-но-диссидативного соотношения в теории плазмы.- В кн.: Проблемы теории плазмы.- К.: Наук.думка, 1976, 22-38.

54. Левин М.Л., Рытов С.М. Теория равновесных тепловых флук-туаций в электродинамике.- М.: Наука, 1967,- 308с.

55. Ситенко А.Г. О флуктуационно-диссипативном соотношении в нелинейной электродинамике.- 1ЭТФ, 1978, 75, I04-II5.

56. Каргин А.Ю. Нелинейное обобщение формулы Каллена-Велтона. УФЖ, 1982, 27, 695-704.

57. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме.- М.: Изд.Моск.ун-та, 1964,- 282с.

58. Моисеев С.С., Сагдеев Р.З. О коэффициенте диффузии Бо— ма.- ЖЭТФ, 1963, 44» 763-765.

59. Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Устойчивость плазмы.- УФН, 1961, 73, 701-766.

60. Taylor J.В., McNamara В. Plasma diffusion in two dimensions.- Phys.Fluids, 1971, 14, 1492-1499.

61. Okuda H., Dawson J.M. Theory and numerical simulation on plasma diffusion across a magnetic field.- Ibid., 1973,16, 408-426.

62. Сагдеев P.3., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Конвективные ячейки и аномальная диффузия плазмы.- Физ.плазмы, 1978,4, 551-559.

63. Шапиро В.Д., Юсупов И.У. Нелинейный механизм возбуждения конвективных движений в плазме с широм.- Там же, 1979,5, 1326-1336.

64. Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. О возбуждении конвективных ячеек альфвеновскими волнами.- Письма в ЖЭТФ, 1978, 87, 361-366.

65. Waltz R.E. Numerical study of drift-wave turbulence with simple models for wave-wave nonlinear coupling.-Phys.Fluids, 1983, 26, 169-179.

66. Terry P.W., Horton W. Drift-wave turbulence in a low-order key space.- Ibid, 1983, 26, I06-II2.

67. Kelley M.C. Nonlinear saturation spectra of electric fields and density fluctuations in drift-wave turbulence.- Ibid., 1982, 25, 1002-1004.

68. Галеев А.А. и др. Ленгмюровская турбулентность и диссипация высокочастотной энергии.- ЖЭТФ, 1977, 73, 13521361.

69. Галеев А.А. и др. Нелинейная теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн.- Физ.плазмы, 1975, I, 10-18.

70. Хакимов Ф.Х., Цытович В.Н. Нелинейная стабилизация модуляционной неустойчивости.- ЖЭТФ, 1976, 70, 1785-1794.

71. Belkov S.A., Tsytovich V.N. Modulational nonlinear generation of the magnetic fields in a dense plasma.

72. Phys.Scr., 1982, 25, 416-422.

73. Литвак А.Г. Динамические нелинейные электромагнитные явления в плазме.- Вопросы теории плазмы, 1980, 10, 164242.

74. Hasegawa А., Mima К. Pseudo-three dimensional turbulence in magnetized nonuniform plasma.- Phys.Fluids, 1978,21, 87-92.

75. Pavlenko V.P., Weiland J. Spectral cascade processes in interchange mode turbulence.- Phys.Kev.Lett., 1980,44, I48-I5I.

76. Chu С. et,al. Magnetostatic mode and cross-field electron transport.- Ibid., 1978, M, 653-656.

77. Антипов C.B. и др. Ленгмюровские солитоны.- ЖЭТФ, 1978, 74, 965-983.

78. Антипов C.B. и др. Солитон Россби.- Письма в ЖЭТФ,1981, 33, 368-372.

79. Антипов C.B. и др. Солитон Россби в лаборатории.- ЖЭТФ,1982, 82, 145-160.

80. Альвен Г., Фельдхаммар К.Г. Космическая электродинамика." М. : Мир, 1967.- 260с.

81. Климонтович ЮЛ. Статистическая физика.- М. : Наука, 1982.- 608с.

82. Кадомцев Б.Б., Конторович В.М. Теория турбулентности в гидродинамике и плазме,- Изв.вуз.Радиофизика, 1974,17, 520-525.

83. Кац А.В. Направление перекачки энергии и числа квазичастиц по спектру в стационарных степенных решениях кинетических уравнений для волн и частиц.- 1ЭТФ, 1976, 71, 2I04-2II2.

84. Кац А.В., Конторович В.М. Свойства симметрии интеграла столкновений и неизотропные решения в теории слабой турбулентности.- Там же, 1973, 64, 153-163.

85. Кац А.В., Конторович В.М. Анизотропные турбулентные распределения для волн с нераспадным законом дисперсии. Там же, 1973, 65, 206-218.

86. Захаров В.Е., Львов B.C. О статистическом описании нелинейных волновых полей.- Изв.вуз.Радиофизика, 1975,18, 1470-1487.

87. Falk L., Kocherga O.D. The contribution to nonlinear frequency shifts from diffusion in velocity space.1. Phys.Scr., 1974, 237-240.

88. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я. К нелинейной теории колебаний электронной плазмы.- Докл.АН СССР, 1951, 80, 193-195.

89. Wilhelmsson Н. Stationary nonlinear plasma oscillations. Phys.Fluids, 1961, 4, 335-340.

90. Okuda H. et.al. Interpretation of an enhanced diffusion in a solid-state plasma.- Phys.Rev.Lett., 1972, 29. 1658-1661.

91. Dawson J.M. et.al. Numerical simulation of plasmadiffusion across a magnetic field in two dimensions.-Phys.ReV.Lett. , 1971, ZZ, 491-494.

92. Cheng C.Z., Okuda H. Theory and numerical simulation on collisionless drift instabilities in three dimensions.- Nucl.Fusion, 1978, 18, 587-607.

93. Cheng C.Z., Okuda H. Formation of convective cells, anomalous diffusion and strong plasma turbulence due to drift instabilities.- Phys.Ееv.Lett., 1977, 58. 708-711.

94. Shukla P.K. et.al. Excitation of convective cells by drift waves.- Phys.Rev., 1981, A22, 321-324.

95. Rahman H.U. et.al. Excitation of convective cells by ion-cyclotron waves.- Phys.Fluids, 24, 1802-1805.

96. Бакай А.С. К теории дрейфовой турбулентности в магнитном поле с широм.- Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, 746-750.

97. НО. Taylor J.В., Thompson W.B. Fluctuations in guiding center plasma in two dimensions.- Phys.Fluids. 1973, 16. III-II7.

98. Krommes J.A., Oberman C. Anomalous transport due to long-lived fluctuations in plasma.- J.Plasma Phys., 1976, 16, 193-227, 229-260.

99. Montgomery D. et.al. Three-dimensional plasma diffusion in a very strong magnetic field.- Phys.Fluids, 1972,15, 815- 819.

100. Montgomery D., Turner L. Two-dimensional electrostatic turbulence with variable density and pressure.- Ibid., 1980, 23, 1-7.

101. Montgomery D., Joyce G. Statistical mechanics of "negative temperature" states.- Ibid., 1974, 12, II39-II45.115« Joyce G. et.al. Guiding center plasma with gravitational or gradient drifts.- Ibid., 1980, 2¿, II0-II3.

102. Kraichnan E.H. Statistical dynamics of two-dimensional flow.- J.Fluid Mech., 1975, 62, 155-175.117. "Vahala G. Transverse diffusion and conductivity coefficients for a three-dimensional magnetized equilibrium plasma.- Phys.Rev.Lett., 1972, 93-95.

103. Cook I., Taylor J.B. Electric field fluctuations in turbulent plasmas.- J.Plasma Phys., 1973, 2., I3I-I4I.

104. Barr H.C., Boyd T.J.M. Electrostatic plasma turbulence.- Ibid., 1976, 15, 279-292.

105. Fromling G. Enhanced diffusion in strongly magnetized plasmas.- Phys.Fluids, 1983, 26, 1240-1246.

106. Navratil G.A. et.al. Transition from classical to vortex diffusion in the Wisconsin levitated octupole.-Ibid., 1977, 20, I56-I6I.

107. Drake J.R. et.al. Diffusion coefficient scaling in the Wisconsin levitated octupole.- Ibid., 148-155.

108. Navratil G.A. et.al. Observation of the effect of shear on vortex diffusion in a collisional plasma.- Phys. Fluids, 1979, 22, 241-245.

109. Ehrhardt A.B. et.al. Cross-field diffusion and fluctuation spectra in a levitated octupole in the presence of a toroidal field.- Ibid., I98I, 24, 1859-1864.

110. Sugai H. et.al. Evolution of externally excited convectivo cells in plasmas.- Ibid., 1983, 26, I388- 1390.

111. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме,- Вопросы теории плазмы, 1963, I, 183-272.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. О гидродинамических флуктуа-циях.— 1ЭТФ, 1957, 32, 618-619.

113. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика, ч.2.- М.: Наука, 1978.- 448с.

114. Okuda Н. Strong plasma turbulence and anomalous diffusion in a magnetic field.- Phys.Fluids, 1980, 23? 498-507.

115. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей Т.2.- М.: Атомиздат, 1977.- 360с.131» Dupree Т.Н. Theory of two-dimensional turbulence.-Phys.Fluids, 1974, IZ, 100-109.

116. Joyce G. et.al. Electric field correlations in the guiding-center plasma.- Ibid., 1974, ¿2, IIO-II3.

117. Krommes J.A., Similon P. Dielectric response in guiding-center plasma.- Ibid., 1980, 2^, 1553-1557.

118. Taylor J.B. Dielectric function and diffusion of a guiding-center plasma.- Phys.Rev.Lett., 1974, 32. 199-202.

119. Montgomery D. A BBGKY framework for fluid turbulence.-Phys.Fluids, 1976, 12, 802-810.

120. Seyler C.E. et.al. Two-dimensional turbulence in in-viscid fluids or guiding center plasmas.- Ibid., 1975, 18, 803-813.

121. Williamson J.H. Plasma diffusion in two dimensions.-Ibid., 1973, 16, 315-320.

122. Mond M., Knorr G. Elementary derivation of the kineticequation for the two-dimensional guiding center plasma. J.Plasma Phys., 1978, 12, I2I-I29.139* Kraichnan R.H. Inertial ranges in two-dimensional turbulence.» Phys.Fluids, 1967, 10, 1417-1423.

123. Sudan R.N., Keskinen M. Theory of strongly turbulent two-dimensional convection of low-pressure plasma.

124. Phys.Rev.Lett., 1977, ¿8, 967-970.

125. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Турбулентные процессы в тороидальных системах.- Вопросы теории плазмы, 1967, 5, 209-350.143» Weinstock J. Lagrangian-Eulerian relation and the independence approximation.- Phys.Fluids, 1976, 1%, 1702-I7II.

126. Weinstock J. Analytical approximations in the theoryof turbulent diffusion.- Ibid., 1978, 21, 887-890.

127. Петвиашвили В.И. Самофокусировка потенциальной дрейфовой волны.- Физ.плазмы, 1977, 3, 270-272.

128. Hasegawa A. et.al. Stationary spectrum of pseudo-three-dimensional electrostatic turbulence.- J.Phys.Soc.Jpn., 1978, 45, ЮО5-ЮО9.

129. Fyfe D., Montgomery D. Possible inverse cascade behaviour for drift-wave turbulence.- Phys.Fluids, 1979, 22, 246-248.

130. Hasegawa A. et.al. Nonlinear behavior and turbulence spectra of drift waves and Rossby-waves.- Ibid., 1979, 22, 2122- 2129.

131. Bekki N. et.al. Nonlinear dynamics of low beta plasma and drift-wave studies.- Phys.Scr., 1982, T2/I, 89-95.

132. Taniuti T., Hasegawa A. Nonlinear drift waves.- Ibid., 1982, T2/2. 529-533.

133. Okuda H. et.al. Fluctuations, turbulence, and transports in the presence of drift waves.- Phys.Fluids, 1980, 22, 1965-1972.

134. Cheng C. Magnetic spectra and electron transport of current-carrying plasmas.- Phys.Rev.Lett., 1982, 48. 246-249.

135. Zweben S.J. et.al. Small-scale magnetic fluctuations inside the Macrotor tokamak.- Ibid., 1979, 42, 12701274.153* Lin A.T. et.al. Thermal magnetic fluctuations and ano-lous electron diffusion.- Ibid, 1978, 41, 753-756.

136. Okuda H. et.al. Plasma diffusion due to magnetic field fluctuations.- Phys.Fluids, 1979, 22, 1899-1906.

137. Lin A.T. et.al. Cross-field electron transport due to thermal electromagnetic fluctuations.- Ibid., 1980,23, 1316-1318.

138. Shukla P.K. et.al. Magnetostatic modes in the presence of an external current.- Phys.Rev., 1981, A24, III2-III4.157. ïu M.Y. et.al. Alfven wave excitation of the magneto-static mode.- Phys.Fluids, 1981, 24, 1799-1801.

139. Shukla P.K. et.al. Enhanced magnetostatic modes in a nonuniform plasma.- Phys.Rev., 1981, A24, 2795-2798.

140. Kaw P.K., Chen L. Nonlinear excitation of magnetostatic fluctuations by kinetic drift-alfven waves.- Phys. Fluids, 1983, 26, 1382-1385.

141. Ситенко А.Г., Сосенко П.П. Кинетическое описание магни-тостатических возбуждений в турбулентной плазме.

142. Препринт ИТФ-84-44Р, Киев, 1984.- 13о. 9+. Ситенко А.Г., Сосенко П.П. Нелинейные магнитные флуктуации в плазме с током,- Препринт ИТФ-84-62Р, Киев, 1984.- 7с.