Переходные процессы в трубопроводном транспорте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат технических наук Калашникова, Екатерина Сергеевна

• Калашникова, Екатерина Сергеевна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Калашникова, Екатерина Сергеевна

Введение.1

Обзор методов решения задач неустановившегося течения нефтепродуктов.4

Глава 1. Необходимое и достаточные условия существования установившегося продолжения задач трубопроводного транспорта.7

1. Гидродинамические процессы, происходящие при заполнении трубопровода.10

2. Вопросы возможности существования установившегося продолжения при наличии попутных сосредоточенных отборов и подкачек в трубопроводе.16

3. Интерференция попутных отборов и подкачек жидкости в трубопроводе.20

4. Задачи с неизменным средним давлением.26

Глава 2. Получение расчетных формул установившегося продолжения задач нестационарного течения жидкости и газа в трубопроводах.38

1. Перепуск газа из одного участка трубопровода в другой.38

2. Задачи при известных расходах в конечных сечениях.41

3. Заполнение трубопровода.45

4. Взаимодействие попутных отборов и подкачек жидкости в трубопроводе.53

Глава 3. Метод решения задач течения жидкости в трубопроводе с учетом его установившегося продолжения.66

1. Включение насосной станции, попутных отборов и подкачек при начальном установившемся течении.71

2. Влияние попутных отборов и подкачек на перераспределение давления и расхода жидкости в трубопроводе.76

3. Заполнение трубопровода.79

4. Случаи сохранения среднего давления жидкости в трубопроводе при переходном режиме.82

Глава 4. Неустановившееся течение жидкости в трубопроводе при наличии насосных станций и попутных отборов-подкачек жидкости.90

1. Перераспределение давления и расхода жидкости в трубопроводе при включении насосной станции.91

2. Отключение насосной станции.100

3. Изменение режима работы насосной станции.103

4. Влияние попутных отборов и подкачек жидкости на перераспределение давлений и расходов в трубопроводе при наличии насосных станций.104

5. Интерференция попутных отборов и подкачек жидкости в трубопроводе при наличии насосных станций.111

Глава 5. Получение приближенных расчетных формул переходного режима течения газа, основанное на вариационном методе решения задач массообмена.119

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переходные процессы в трубопроводном транспорте»

Одна из основных проблем современности - топливная проблема. Среди всех видов топлива наибольшее значение имеют нефть и газ. Транспортировка нефти и газа от мест добычи до потребителя происходит по трубопроводным системам. Увеличение протяженности трубопроводов с одновременным усложнениемктуры трубопроводных систем, повышение мощности трубопроводного оборудования, интенсификация производственных процессов усугубляют последствия любых нарушений производственного процесса. Выход изя оборудования, разрушение труб линейных участков могут привести не только к экономическому ущербу от недопоставки продукта, но и к авариям с тяжелыми последствиями для окружающей среды. В связи с этим большое значение приобретает повышение надежности и эффективности работы магистральных трубопроводов в условиях значительной протяженности. Важное значение имеет проблема управления работой нефтепроводов при переходных режимах. Неустановившиеся процессы в магистральном нефтепроводе, вызванные изменением гидравлического режима перекачки (остановка или пуск насосных агрегатов, регулирование давления и расхода, отключение или подключение попутного сброса или подкачки) сопровождаются распространением от источника возмущения волн повышенного или пониженного давления по всей трубопроводной системе. Перераспределение давления, нарушая работу насосных станций, нередко приводит к остановке работающих в подпорном режиме станций или всего эксплуатационного участка, к динамическим перегрузкам линейной части трубопровода, которые в отдельных случаях могут превысить предел прочности труб, а также привести к перегрузке оборудования насосных станций или к кавитации в насосах. Для предупреждения последствий возмущения нефтепроводы оснащаются системами автоматической защиты, регулирования и сглаживания волн повышенного или пониженного давления. Практика эксплуатации магистральных трубопроводов в условиях современной технологии перекачки и функционирования ставит новые гидродинамические задачи по расчету систем автоматического регулирования и защиты трубопроводов. Решение этих задач служит обеспечению надежной эксплуатации систем транспорта жидкости по трубам при переменных гидравлических режимах. Получить простые расчетные формулы для сложной трубопроводной системы не всегда возможно, особенно в случаях, когда речь идет о волновом нестационарном течении. Именно эти проблемы решены в настоящей работе. Цель работы и основные задачи исследований. Цель работы - исследование переходных процессов в сложной трубопроводной системе и получение аналитических решений для класса гидродинамических задач течения жидкости в трубах, основанных на математической модели, предложенной профессором И.А. Чарным.

Задачи:

• исследование гидродинамических процессов, происходящих при заполнении трубопровода;

• исследование интерференции попутных отборов-подкачек жидкости в трубопроводе;

• получение расчетных формул неустановившегося течения жидкости в трубопроводе при наличии насосных станций и попутных отборов-подкачек жидкости;

• исследование влияния попутных отборов и подкачек жидкости на перераспределение давления и расхода жидкости в трубопроводе при наличии компрессорных станций;

• разработка метода решения задач течения жидкости в трубопроводе с учетом решения, получаемого при ? —оо (модифицированный метод Фурье разделения переменных);

• получение приближенных расчетных формул переходного режима течения жидкости, основанное на методе Галеркина решения задач массообмена.

Научная новизна результатов исследования.

• В работе использовано выделение решения для установившегося продолжения задачи (решение при / —>оо), для которого основные формулы расчета получены, минуя этап получения решения для неустановившегося режима течения, что сильно облегчает решение большого круга задач неустановившегося течения жидкости в сложной трубопроводной системе предложенными в работе методами.

• Разработан метод решения задач неустановившегося течения жидкости, основанный на использовании решений, полученных для предельного случая при t со.

• Исследован вопрос о взаимодействии попутных отборов и подкачек жидкости, выявлено влияние на процесс течения не только мощности и мест отборов и подкачек, но также порядка их расположения относительно головной насосной станции.

• Впервые исследованы случаи, когда среднее давление газа (жидкости) не изменяется в процессе переходного режима.

• Исследован вопрос о влиянии утечки (или отбора) жидкости из трубопровода на работу насосной станции.

Достоверность исследований.

Работа основана на использовании известных уравнений И.А. Чарного и М.А.

Гусейнзаде, для решения которых применяются классические математические методы. Для ряда случаев проведено сопоставление решений, полученных с помощью предложенного в 2 работе метода с решениями, полученными классическими методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Практическая значимость результатов работы.

Полученные автором результаты, касающиеся взаимодействия попутных отборов и подкачек жидкости, а также влияния утечки на работу насосной станции, и другие могут быть использованы при составлении проектов строительства и эксплуатации нефтепроводов (газопроводов). Расчетные формулы для установившихся процессов могут быть использованы при исследовании гидравлического удара. Многие из них уже вошли в книгу М.А. Гусейнзаде "Особенности волнового течения жидкости в трубах. Гидравлический удар".

Положения, выносимые на защиту.

• Применение асимптотической теоремы операционного исчисления исследовании систем на возможность существования в них установившихся процессов, являющихся конечным результатом физического взаимодействия сложных переходных процессов.

• Использование видоизмененного метода разделения переменных, а также метода Галеркина для получения расчетных формул неустановившегося течения жидкости в трубах.

• Рассмотрение вопроса одномоментного воздействия на трубопроводную систему нескольких внешних факторов.

• Получение результатов исследований по интерференции попутных отборов и подкачек, а также влияния попутных отборов (утечек) жидкости на эффект работы насосных станций.

Апробация работы. Основные научные результаты исследований по теме диссертации докладывались:

• на II конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России «Новые технологии в газовой промышленности», МИНГ, 1997 (доклад занял второе место);

• на конференции «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, 1998 (организатор МГУ);

• на 3-ей научно-технической конференции, посвященной 70-летию Российского Государственного Университета им. И.М. Губкина, 1999;

• на научном семинаре нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ НГ им. И.М. Губкина, 1999;

• на научном семинаре кафедры высшей математики РГУ НГ им. И.М. Губкина, 2000. По результатам исследований опубликовано 8 научных работ.

Публикации. Основные положения диссертации изложены в восьми научных статьях.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору кафедры высшей математики, Гусейнзаде М.А. за постоянную помощь в работе; коллективу кафедры высшей математики, а также кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики за внимание и интерес к работе.

Обзор методов решения задач неустановившегося течения нефтепродуктов.

Задачи движения жидкостей по трубам многокомпонентны. Учесть все факторы, влияющие на процесс движения, невозможно. Для решения задачи строится математическая модель, которая в той или иной мере отражает реальные процессы.

Исследования нестационарных процессов движения жидкости в трубах относятся к последней четверти девятнадцатого века. Фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес Н.Е. Жуковский [18] классической работой о гидравлическом ударе в водопроводных трубах. Н.Е. Жуковский создал теорию напорного неустановившегося движения идеальной упругой жидкости, до сих пор лежащую в основе исследований в этой области. Для анализа процессов, возникающих при изменении расхода воды, протекающей через трубу, Н.Е. Жуковским были выведены дифференциальные уравнения одномерного движения капельной слабосжимаемой жидкости с учетом упругости стенок трубы и проинтегрированы для некоторых случаев по методу Римана. Работа Н.Е. Жуковского послужила началом большого числа исследований по напорному неустановившемуся движению жидкости с использованием более сложных физических моделей, учитывающих вязкость перекачиваемого продукта, значительную деформацию стенок трубы, нелинейные зависимости упругих деформаций жидкости и материала стенок трубы от напряжений и так далее

В усовершенствование математических моделей неустановившегося течения при различных допущениях относительно гидродинамических характеристик потока и механических характеристик трубы внесли большой вклад работы И.А. Чарного [49], Д.М. Волкова, М.А. Гусейнзаде [11, 12, 13, 14], Г.Д. Розенберга [1, 41, 42], З.Т. Галиуллина [4], С.Г. Щербакова, С.А. Бобровского [53], Б.И. Ксенза [8], В.А. Юфина [17], Е.И. Яковлева [8] и другие. Проблема многомерности, порожденная структурой напорных гидравлических систем, применительно к магистральным нефтегазотранспортным системам нашла наиболее эффективное разрешение благодаря математической модели, разработанной С.А. Бобровским, С.Г. Щербаковым, М.А. Гусейнзаде, В.А. Юфиным [3, 17]. Для описания изотермических течений сжимаемой жидкости широко используется детерминированная модель И.А. Чарного и ее модификации. Преимущество метода, предложенного в [3], заключается в том, что наличие промежуточных насосных (компрессорных) станций, попутных отборов и подкачек, а также их работы учтены в динамическом уравнении и уравнении неразрывности с помощью функций Дирака и Хевисайда.

Выбор методов решения задач анализа нестационарных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, определяется структурой транспортной системы, возможностями описания ее технологических элементов, а также соображениями оперативности и точности расчетов. Наряду с классическими методами (Фурье, характеристик) решения краевых задач использованы эффективные методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, преобразования типа свертки в работах З.Т. Галлиулина, М.А. Гусейнзаде, Б.Л. Кривошеина [27,28], Г.Д. Розенберга, О.Н. Петровой [33], A.M. Стаина [44], М.Ф. Степановой [16], В.А. Юфина, Е.И. Яковлева и другие

Используя операционные методы, нетрудно получить решения в области изображения, переход же к оригиналу бывает сложен. В таких случаях авторы используют либо численные методы обратного преобразования, основанные на разложении в комплексной плоскости функций в степенные ряды по полиномам Лежандра, Лагерра, Чебышева, либо методы аппроксимации в области изображений (вариационные методы Ритца, Галеркина), либо известные асимптотические соотношения для малых и больших времен и комплексного параметра преобразования.

Операционные методы, приводящие к аналитическим результатам, применимы к линейным задачам. Ввиду ограниченности возможностей строгого аналитического решения задач по расчету движения жидкостей в напорных системах в условиях нестационарного режима из-за нелинейности члена, отражающего влияние силы трения, в динамическом уравнении исследователи упрощают математическое описание. Математическое описание по модели И.А. Чарного обычно упрощается путем получения автомодельных решений или линеаризации нелинейных уравнений движения. Автомодельные решения позволяют в основном делать выводы качественного характера и могут быть использованы для оценки точности приближенных методов решения задач динамики.

Некоторые задачи нестационарного режима течений в гидротранспортных системах решаются численными методами, которые в основном являются модификациями метода сеток и метода характеристик. Этот метод развит в работах Л.В. Полянской, М.Б. Лурье, Г.И. Мелконяна, Л.М. Муравьевой и другие. Численные методы позволяют получить искомые решения задач с любой наперед заданной степенью точности. Это сопряжено, как правило, только с увеличением затрат времени расчетов на ЭВМ.

В группе приближенных методов решения задач движения жидкости или газа важными являются вариационные. Эти методы выгодно отличаются как широтой круга задач, где они могут быть использованы, так и быстротой сходимости приближенных решений. Применение вариационных методов приводит к решениям, которые записываются в виде простых формул. Одним из распространенных вариационных методов является метод Галеркина [24, 54], который использован и в данной работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Калашникова, Екатерина Сергеевна

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования установившихся течений на участке трубопровода (как линейном, так и сложном).

2. Аргументировано широкое использование Предельной (асимптотической) теоремы для получения расчетных формул установившегося продолжения задачи.

3. Формулы, полученные для установившегося продолжения задач, использованы для облегчения решения задач методом разделения переменных и с помощью видоизмененного метода разделения переменных получены решения большого круга задач течения жидкости в сложной трубопроводной системе.

4. В работе исследовано влияние количества и месторасположения сосредоточенных отборов и подкачек, а также их мощности и времени функционирования на распределение давления и расхода вдоль трубопровода при различных условиях в конечных сечениях трубопровода.

5. Исследовано взаимное влияние существующих сосредоточенных отборов-подкачек и насосных станций (порядок взаимного расположения отборов-подкачек, а также порядок их расположения относительно насосных станций и конечных сечений участка трубопровода).

6. Исследована эффективность работы насосных станций при появлении утечки жидкости из трубопровода.

7. Исследована интерференция попутных отборов и подкачек жидкости.

8. Использованы формулы установившегося продолжения для применения метода Галеркина; с помощью метода Галеркина получены простые приближенные формулы для определения давления и расхода жидкости вдоль трубопровода с сосредоточенными отборами и подкачками при неустановившемся движении.

9. Исходя из точных и приближенных решений составлены таблицы и построены графики, иллюстрирующие хорошую сходимость приближенных решений к точным.

10. Как приближенные, так и точные решения могут быть использованы проектными институтами и другими организациями для осуществления гидравлического расчета сложных трубопроводов.

Перечисленный круг задач свидетельствует о том, что в предложенной работе исследовано основное звено сложной трубопроводной системы - трубопровод с любым количеством точек отбора и подкачки и насосными станциями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Калашникова, Екатерина Сергеевна, 2000 год

1. Астрахан И.М., Розенберг Г.Д. Специальные вопросы газовой динамики при транспорте газа. М.,МИНГ, 1984.

2. Бобровский С.А. и др. Трубопроводный транспорт газа. М., 1976.

3. Бобровский С.А., Щербаков С.Г., Гусейнзаде М.А. Движение газа в газопроводах с путевым отбором. М., Наука, 1972.

4. Галиуллин З.Т., Леонтьев Е.В. Интенсификация магистрального транспорта газа. М., Недра, 1991.

5. Голицына М.Г., Калашникова Е.С., Петрова О.Н. Перепуск газа из одного участка трубопровода в другой. М., Нефть и газ, 1997.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

7. Грачев В.В., Гусейнзаде М.А., Ксенз Б.И., Яковлев Е.И. Сложные трубопроводные системы. М., Недра, 1982.

8. Грачев В.В., Щербаков С.Г. и др. Динамика трубопроводных систем. М., Наука, 1987.

9. Гусейнзаде и др. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление с приложениями к задачам нефтепромысловой механики. М., 1976.

10. Гусейнзаде М.А и др. Математическое моделирование процессов нефтепромысловой механики. М., ГАНГ им. Губкина, 1992.

11. Гусейнзаде М.А. Особенности волнового течения жидкости в трубах. Гидравлический удар. М., Нефть и газ, 1999.

12. Гусейнзаде М.А. и др. Приближенные методы решения задач нефтепромысловой механики. М., МИНХ и ГП им. И.М. Губкина, 1976.

13. Гусейнзаде М.А., Голицына М.Г., Калашникова Е.С. Переходный режим течения газа в газопроводах. М., Нефть и газ, 1999.

14. Гусейнзаде М.А., Другина Л.И., Петрова О.Н., Соболева Т.С. Математическая модель волнового течения в сложной трубопроводной системе. М., ГАНГ им. Губкина, часть I - 1989 г., часть II - 1993 г., часть III - 1993 г.

15. Гусейнзаде М.А., Другина Л.И., Петрова О.Н., Степанова М.Ф. Гидродинамические процессы в сложных трубопроводных системах. М., Недра, 1991.

16. Гусейнзаде М.А., Юфин В.А. Методы расчета неустановившегося движения нефтепродуктов и нефтей в магистральных трубопроводах с промежуточными насосными станциями. М., Недра, 1973.

17. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. М.-Л.,ГИТТЛ, 1949.

18. Калашникова Е.С. Вариационный метод моделирования задач транспорта газа. Математика. Компьютер. Образование, сб. трудов №5. М., Прогресс-традиция, 1998.

19. Калашникова Е.С. Приближенное решение задач переходного режима течения газа в трубопроводах. М., //Газовая промышленность, №3, 1998.

20. Калашникова Е.С. Приближенный расчет нестационарных режимов течения в газопроводах методом Галеркина. М., Нефть и газ, 1997.

21. Калашникова Е.С. Применение метода Галеркина к некоторым нестационарным задачам массообмена. Сб. трудов "Математические методы решения инженерных задач". М., МО РФ, 1999.

22. Калашникова Е.С., Голицына М.Г Физический смысл предельной (асимптотической) теоремы операционного исчисления. Сб. трудов "Математические методы решения инженерных задач". М., МО РФ, 1999.

23. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., Физматгиз, 1962.

24. Когутяк O.A. Неустановившееся движение двухфазной гомогенной среды в трубах. Дис. к.т.н. М., 1988.

25. Колпаков Л.Г. Насосы нефтеперекачивающих станций. Уфа, УНИ, 1981.

26. Кривошеин Б.Л., Коротаев Ю.П. и др. Термогазодинамика промысловых систем. М., 1991.

27. Кривошеин Б.Л., Тогунов П.И. Магистральный трубопроводный транспорт (физико-технический и технико-экономический анализ). АН СССР, Институт высоких температур. М., Наука, 1995.

28. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика т. IV. М., Наука, 1986.

29. Магдалинская И.В. Экспериментальные исследования неустановившегося движения жидкости в трубах. Дис. к.т.н. М., МИНХ и ГП, 1981.

30. Мардонов Б.М., Хромов Г.А. Теория распространения волн в упругих и упруго пластичных средах. Новосибирск, Наука, 1987.

31. Мардонов Б.М., Хромов Г.А. Гидравлический удар и распространение возмущений в упругих подземных трубопроводах, заполненных жидкостью. В кн.: "Теория распространения волн в упругих и упруго пластичных средах". Новосибирск, Наука, 1987.

32. Петрова О.Н. Неустановившееся движение газа в сложных системах магистральных трубопроводов. Дис. к.т.н. М., 1971.

33. Пятакова О.Н., Соболева Т.С. Об определении места утечки газа в газопроводе и о ее компенсации. М., Нефть и газ, 1997.

34. Розенберг Г.Д. Неустановившееся движение неньютоновских жидкостей в трубах. Дис. к.т.н. М., МИНХ и ГП, 1960.

35. Розенберг Г.Д. Неустановившееся движение вязкой слабосжимаемой жидкости по трубам. Дис. д.т.н. М., МИНХ и ГП, 1974.

36. Розенберг Г.Д. Вывод уравнений неустановившегося движения жидкости по трубам. Прил.1 в кн.: Чарный И.А. "Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах". -М., Недра, 1975.

37. Розенберг Г.Д. Метод характеристик и затухания головного значения волны давления при нелинейном законе трения. Прил.2 в кн.: Чарный И.А. "Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах". М., Недра, 1975.

38. Розенберг Г.Д., Буяновский И.Н. Аналитические методы интегрирования линеаризованной системы уравнений неустановившегося движения капельной жидкости. Прил.З в кн.: Чарный И.А. "Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах". -М., Недра, 1975.

39. Розенберг Г.Д., Буяновский И.Н. О периодических решениях линеаризованной системы уравнений неустановившегося движения капельной жидкости. Прил.4 в кн.: Чарный И.А. "Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах". М., Недра, 1975.

40. Розенберг Г.Д., Буяновский И.Н. Уравнения неустановившегося движения вязкой слабосжимаемой жидкости по трубам при учете нестационарности на силу трения. Прил.5 в кн.: Чарный И.А. "Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах". -М., Недра, 1975.

41. Розенберг Г.Д., Дмитриев Н.М. Введение в нефтегазовую механику. Части 1,2. М. ГАНГ, 1990-1991.

42. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., Мир, 1980.

43. Стаин A.M. Некоторые вопросы неустановившегося движения жидкости в сложных трубопроводных системах. Дис. к.т.н. М., 1975.

44. Сощенко А.Е. Разработка методов теплогидравлического расчета режима работы трубопроводов при транспорте газонасыщенных нефтей и жидких углеводородов для обеспечения их максимальной пропускной способности. Дис. к.т.н. М., 1985.

45. Табахов В.А. Исследование гидродинамических режимов работы магистральных трубопроводов, оборудованных системами защиты от гидравлических ударов. Дис. к.т.н. -М., 1980.

46. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.

47. Фокс Д.А. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах. М., Энергоиздат, 1981.

48. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М., Недра, 1975.

49. Чимидов П.П. Переходные процессы в напорных трубопроводах. Дис. к.т.н. М., 1986.

50. Чодхри, Хуссейни Явные конечно-разностные схемы второго порядка точности дляисследования гидравлического удара //Теоретические основы инженерных расчетов. №4, -М., 1985.

51. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М., Гостоптехиздат, 1949.

52. Щербаков С.Г., Бобровский С.А., Гусейнзаде М.А. Неустановившееся движение газа в газопроводах при путевом отборе. М., ВНИИОЭНГ, 1969.

53. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969.

54. An J.К., Ng К.С., Nathan G.K. Application of the center implicit method for investigation of pressure transient in pipelines. //Int. Journal Numer. Meth. Fluids, 1987, V4, №4.

55. Cho C., Hampel J., Mc Ginnes M. Modern control systems for liquid pipelines. //Pipeline and Gas J., 1977, VII, vol. 204, №8.

56. Chunxi Tang, Wylie E.B. Two-dimensional transients in confined liquid flows. //J. Pipelines, 1987, 6, №1.

57. Funderburg R. R. Jr. Selecting and sizing surge control equipment. //Pipeline and Gas J., 1982, 209, №7.

58. Grose R. D. A rigorous transmission equation. //J. pipelines, 1985, №2.

59. Iansen I., Gourage G. System gerechte Berechung von Druckstossvorgangen in Pohrleitungengen. Pohre Pohreleitungshan Rohrleitungstransport. 1977, Bd. №2.

60. Meder G., Rick K. Dynamische Druckstobberechung von Pohrleitungen mit Antwortspektren. //3R Int., 1983, 22, №9.

61. Ormsbee Lindell. E. Wood Don J. Hydraulic design algorithms for pipe net works. HI. Hydraulic Eng., 1986, 112, №12.

62. Pearce R.L., Evans E.P. Surge protection of water supply pipelines for Jubail Industrial City. //Proc. Inst. Civ. Eng., 1984, 76, II.

63. Wallis G.B. Review theoretical models of gas-liquid flow. //Trans. ASME Journal Fluids Eng., 1982, V 104, №3.

64. Wiggert D.C., Sundquist M.J. Fixed-grid characteristics for pipeline transient. //Journal Hydr. Div., 1977, №12.

65. Калашникова E.C., Голицына М.Г. Моделирование движения газа в газопроводах переменного диаметра. Сб. трудов №6 Математика. Компьютер. Образование. М., Прогресс-традиция, 1999.