Паранепротиворечивость и релевантность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат философских наук Кварталова, Наталия Леонидовна

• Кварталова, Наталия Леонидовна
• кандидат философских наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат философских наук Кварталова, Наталия Леонидовна

Введение

Глава 1. Паранепротиворечивые логики 0. Предисловие: закон непротиворечия

1.1 Предыстория

1.2 Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы

1.2.1. Н.А. Колмогоров и И. Йохансон 1.2.1.1. Семантика

1.2.2. Логика Яськовского В

1.2.3. Не истинностно-функциональные логики Н. да Косты С„

1.2.4. Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса Р

1.2.5. Бивалентная (Ыуа1епсе) семантика

1.3. Трехзначные паранепротиворечивые системы

1.3.1. Система Асеньо и Тамбурино

1.3.2. Система Розоноэра РСо^

1.3.3. Максимальная логика Сетте Р

1.3.4. Логика Арруды VI

1.3.4.1. Интерпретация VI в духе В.А. Смирнова

1.3.5. Логика Приста ЬР без тос1и$ ропепв

1.3.6. Логика Д'Оттавиано Jз

1.4. Соотношения паранепротиворечивых систем

1.4.1. Jз, Ьз и классическая логика С

1.4.2. Р1 и VI

1.4.3. РСоп1, Си и Р

1.4.4. Р1Ь, инверсная логика Попова и VI

1.5. Некоторые выводы и проблемы

Глава 2. Паранепротиворечивость и релевантность. Проблема дуальности.

2.1. Современные определения паранепротиворечивых систем

2.2.1. Отрицание в паранепротиворечивых логиках

2.2.2. Свойства отрицания

2.3. Семантические истоки паранепротиворечивости

2.4. Релевантные логики как паранепротиворечивые

2.4.1. Сильные релевантные системы

2.4.2. Слабые релевантные системы

2.4.3. О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»

2.5. Проблема дуальности Заключение Приложение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Паранепротиворечивость и релевантность»

Актуальность темы. На современном этапе развития научного знания логика оказалась востребованной в новой сфере научного знания - исследований в области компьютерных наук. Основанием актуальности работы в неклассических логиках является факт достаточно успешного практического применения неклассических логик в рамках различных проектов ведущих компьютерных компаний мира. Неклассические логики, а, в частности паранепротиворечивые и релевантные системы, представляют в этой связи особый интерес, поскольку применение их в компьютерных техноло-^ гиях открывает новые возможности в создании искусственного интеллекта.

Связано это, прежде всего с тем, что, в отличие от классической логики, которая взята за основу при создании современных языков программирования, исследуемые неклассические системы дают возможность работать с противоречивыми данными, что позволит в дальнейшем использовать программы, действующие по тому же принципу, что и человеческий мозг. Первым шагом к этому является всестороннее изучение существующих па-ранепротиворечивых систем и, по возможности, их оптимизация.

Помимо столь далеко идущих перспектив стоит отметить и популярную в мире тенденцию систематизации логик, попытки создания иерархии ♦ логических систем и установления отношений между различными классами логик. Существует несколько различных методов систематизации логических систем, однако ни г один из них не является универсальным. Мы пользуемся самым простым способом, не претендуя на' всеохватность, -исходим из аксиом классической логики и путем некоторых модификаций получаем различные системы. Это дает большую наглядность и возможность установить взаимоотношения между системами. Такая парадигма до сих пор полностью не реализована и, таким образом, имеет научную ценность.

Паранепротиворечивые логики и их подкласс, релевантные системы, как формальные исчисления тщательно изучены на Западе. Но в русле традиций отечественной логической, науки, предполагающей не просто формальный результат, но ш философский анализ данного результата, представляется интересным дать содержательную характеристику понятий, па-ранепротиворечивости и релевантности.

Такой комплексный подход является, во-первых, достаточно обоснованным и, во-вторых, многообещающим, учитывая и теоретические моменты, и практические возможности применения паранепротиворечивых логик. В этой связи предпринятое в данной1 диссертационной работе направление исследований приобретает дополнительную значимость.

Степень разработанности проблемы. И о релевантных, и о паранепротиворечивых логиках в мире существует огромное количество литературы. Классическими трудами по релевантным логикам являются моно

1 2 графии А. Андерсона и Н. Белнапа , их же совместный труд с М. Данном , а на русском языке книги Е.К. Войшвилло3 и Е.А. Сидоренко4. По паране-противоречивым логикам существует множество статей, в основном принадлежащих создателям и разработчикам той или иной системы. В обзорном виде паранепротиворечивые логики довольно полно представлены в англоязычном сборнике под редакцией Г. Приста, Р.Раутли и Дж. Нормана5. На русском языке имеется несколько статей6, частично это переводы зарубежных авторов, но нет ни одной работы, где бы систематически описывались паранепротиворечивые системы.

По ключевой для нас теме соотношения, релевантных и паранепротиворечивых систем имеются работы А. Аврона, где разработан семантиче

1 A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevatice and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

2 A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 2. Princeton, 1992.

3 E. К. Войшвилло. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

4 Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М., 2000.

5 G. Priest, R. Routley and J. Norman (eds.). Paraconsistent logic. Essays on the inconsistent. Munchen, 1989. ский критерий для сравнения паранепротиворечивых и релевантных систем и где основной акцент сделан на дизъюнктивный силлогизм. Также попытки сравнить различные системы предпринимались Ж.-И. Безъю, Р. Бреди, Г. Ресталом, но все они носили частный характер.

Научная новизна исследования. Как было отмечено, компаративистика неклассических логических систем является мало разработанной областью. Недостаток внимания, уделяемого паранепротиворечивым логикам, обусловлен некоторым скептицизмом, порожденным несовершенством большинства паранепротиворечивых систем, проявляющимся, прежде всего, в отсутствии необходимого свойства отрицания — контрапозиции. В связи с этим представляется заманчивая возможность реабилитировать па-ранепротиворечивые логики либо найдя среди них системы, отвечающие требованиям, предъявляемым к логическим системам, либо построить новую паранепротиворечивую логику. Не желая; упускать из виду ни одну возможность, мы сначала рассматриваем те системы, которые изначально строились как паранепротиворечивые, затем подкласс паранепротиворечивых систем - релевантные логики, и, наконец, используем метод конструирования систем, который пока мало применяется — построение дуала некоторой системе. В нашем случае паранепротиворечивая логика получается как дуал суперинтуиционистской. И, как оказалось, такая система обладает некоторыми весьма интересными свойствами.

Цель и; задачи исследования. Основной целью диссертационного исследования является выявление критерия паранепротиворечивости, выработка принципов построения паранепротиворечивых систем, наиболее оптимальных для дальнейшего использования в логике и смежных областях.

6 А. Т. Ишмуратов, Л. С. Карпенко и В. М. Попов. О паранепротиворечивой логике, Синтаксические и семантические исследования неэкстенсионачъных логик. М., 1989. С. 261-284.

Исходя из сказанного выше, одна из задач состоит в выявлении связей между релевантными и паранепротиворечивыми логиками. Кроме того, мы ставим перед собой задачу дать характеристику самим понятиям «пара-непротиворечивость» и «релевантность», а также установить отношения между ними.

Для реализации этого нам потребовалось решить следующие задачи: провести систематический анализ паранепротиворечивых логик; выявить наиболее общий критерий паранепротиворечивости; продемонстрировать паранепротиворечивость релевантных логик; дать философскую интерпретацию паранепротиворечивости и релевантности.

Методологической основой исследования является аппарат современной формальной логики и логической семантики, а также подходы, разрабатываемые в современной философии логики применительно к трактовке логического знания. Автор опирается на современные данные, относящиеся к паранепротиворечивым и релевантным логикам.

Основные положения, выносимые на защиту:

Дан структурно-аналитический обзор основных систем паранепро-тиворечивой логики.

В рамках этого подхода удалось выявить некоторые особенности соотношения паранепротиворечивых систем:. показано, что логика Сетте является подсистемой логики VI А. Арруды; логика Д'Оттавиано, на самом деле, есть не что иное, как расширение классической логики, содержащее достаточно унарных операторов, чтобы в ней можно было выразить все паранепротиворечивые системы; и, наконец, было выяснено, что логика Д. Батенса Р1 является подсистемой Сп Н. да Косты.

- Был предложен новый вариант интерпретации логики А. Арруды в духе комбинированной логики событий и высказываний В:А. Смирнова.

При сравнении логик выделены некоторые специфические характеристические черты паранепротиворечивых логик, а именно: выявлены основные свойства отрицания, характеризующие паране-противоречивые логики; показаны возможности построения паранепротиворечивых логик с минимальным отрицанием и отрицанием де Моргана (которые оказались не чем иным, как релевантными логиками); проанализировано соотношение понятий «релевантность» и «пара-непротиворечивость»

Сформулирована: паранепротиворечивая система, являющаяся дуалом трехзначной логики Гейтинга. Последний результат представляет особый интерес в силу необычности свойств полученной системы.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по паранепротиворечивым логикам, они могут быть использованы также в научно-исследовательской? работе при построении классификации логик. Большое значение имеют полученные результаты и в педагогической практике при чтении курсов по неклассической, и, в частности, паранепротиво-речивой логике.

Апробация работы.

Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования были опубликованы автором в 3 научных работах (список всех работ прилагается), в том числе в журнале «Философские исследования», а также были представлены диссертантом в виде выступлений и докладов на следующих Всероссийских и Международных научных конференциях и научно-исследовательских семинарах: на II и IV Международных конференциях

Смирновские чтения» (Москва, 1999 и 2003); на VI и VII Международных конференциях «Современная логика» (Санкт-Петербург, 2000 и 2002); на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000). Тезисы докладов и сообщений опубликованы. Текст диссертации обсуждался на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 24 июня 2003 года и по результатам обсуждения был рекомендован к защите.

Заключение диссертации по теме «Логика», Кварталова, Наталия Леонидовна

Заключение.

В последнем параграфе мы обрисовали возможные направления дальнейших исследований. Что касается полученных результатов, перечень которых приведен во Введении, с их учетом открываются новые перспективы в исследовании субструктурных логик и построении субструктурных паранепротиворечивых релевантных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Кварталова, Наталия Леонидовна, 2004 год

1. Арруда, 1989. А. Арруда. Воображаемая логика Васильева. В кн.: Васильев, 1989]. С. 187-208.

2. Белнап, 1981. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру. В кн.: Белнап Н., Стал Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981. С. 208-239.

3. Белнап, 1981а. Белнап Н. Об одной полезной четырехзначной логике. В кн.: Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981. С. 239-261.

4. Васильев, 1989. Н. А. Васильев. Воображаемая логика. Избранные труды, Наука, М., 1989.

5. Васюков, 1993. В Л. Васюков. Категорная семантика для паранепротиво-речивых логик. Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 285-298.

6. Войшвилло, 1988. Е. К. Войшвилло. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

7. Войшвилло, 1998. Е. К. Войшвилло. О паранепротиворечивой логике Pi Сетте. Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1998.

8. Войшвилло, 1989. Е. К. Войшвилло. Символическая логика: классическая и релевантная. М., 1989.фон Вригт, 1986. Г. X. фон Вригт. логико-философские исследования. Прогресс, М., 1986.

9. Генцен, 1967. Исследования логических выводов. М., 1967.

10. Зайцев, 1997. Д.В. Зайцев. Релевантная логика как многозначная.// Материалы 1-й международной конференции «Смирновские чтения». М.,1997.

11. Зайцев, 2001. Д.В! Зайцев. Новая философская энциклопедия. Т. 3. Москва. "Мысль", 2001. С. 180.

12. Ишмуратов, Карпенко и Попов, 1989. А. Т. Ишмуратов, А. С. Карпенко и В. М. Попов. О паранепротиворечивой логике, Синтаксические и cellмантические исследования неэкстенсиональных логик. Наука, М., 1989. С. 261-284.

13. Карпенко, 1997. A.C. Карпенко. Многозначные логики. В серии "Логика и компьютер". М., 1997.

14. Карри, 1969. X. Карри. Основания математической логики. М., 1969.

15. Клини, 1957. С. К. Введение в метаматематику. Иностранная литературам., 1957.

16. Колмогоров, 1925. А. Н. Колмогоров. О принципе tertium поп datur. Математический сборник, 32, № 4: 668-677, 1925. (Переиздано: А. Н. Колмогоров. Избранные труды. Математика и механика. М., 1985).

17. Попов, 2002. В.М. Попов. Об одной параполной логике. Логические исследования, № 9. М., 2002.

18. Попов, 2003. В.М. Попов. Об одной паранормальной логике. // 3-я Международная конференция "Смирновские чтения" М., 2003.

19. Розоноэр, 1983. Л.И. Розоноэр. О выявлении противоречий в формальных теориях. I, Автоматика и телемеханика, 6:113-124, 1983.

20. Розоноэр, 1983а. Л.И. Розоноэр. О выявлении противоречий в формальных теориях. II, Автоматика и телемеханика, 7: 97-104, 1983.

21. Розоноэр, 1993. Л.И. Розоноэр. О семантике противоречивых формальных теорий, Семиотика и информатика, 33: 71-100, 1993.

22. Сидоренко, 2000. Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М:, 2000.

23. Смирнов, 1962. В. А. Смирнов. Логические взгляды Н.А.Васильева, Очерки по истории логики в России. Наука, М., 1962. С. 242-257.

24. Смирнов, 1984. В. А. Смирнов. Об одной системе паранепротиворечивой логики. Многозначные, релевантные и паранепротиворечивые логики. Труды научно-исследовательского семинара по логике ИФ АН СССР. М., 1984.

25. Смирнов, 1987. В. А. Смирнов. Логические методы анализа научного знания. М., Наука, 1987.

26. Смирнов (ред), 1989а. Н.А.Васильев. Воображаемая логика. Избранные труды, Наука, М., 1989.

27. Смирнов, 1989b. В. А. Смирнов. Утверждение и предикация. Комбинирование исчисления высказываний и событий, Синтаксический и семантический анализ неэкстенсиональных логик, Наука, М., 1989. С. 27-35.

28. Шрамко, 1997. Я.В. Шрамко. Логическое следование и интуиционизм. Киев, 1997.

29. Anderson & Belnap, 1975. A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

30. Anderson, Belnap and Dunn, 1992. A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 2. Princeton, 1992.

31. Arruda, 1977. A. I. Arruda. On the imaginery logic of N.A.Vasil'ev, in: Non-Classical Logics, Model Theory and Computability, North-Holland, Amsterdam, 1977, pp.3-24.

32. Arruda, 1980. A.I. Arruda A survey of paraconsistent logic, in: Mathematical logic in Latin America, Dordrecht, 1980. pp. 1-41;

33. Арруда, 1984. A. I. Arruda. N. A. Vasil'ev: A forerunner of paraconsistent logic, Philosophia Naturalis, 21: 472-491.

34. Asenjo, 1966. F. Asenjo. A calculus of antinomies, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.7 (1966), pp. 103-105.

35. Asenjo, Tamburino, 1975. F. Asenjo, J. Tamburino. Logic of Antinomies, in: Notre Dame J. of Formal Logic. Vol. 16. N. 1.

36. Awron, 1986. A. Awron. On an implication connective of RM, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.27 (1986), pp. 201-209.

37. Awron, 1986a. A. Awron. On purely relevant logics, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.27 (1986), pp. 161-175.

38. Awron, 1987. A. Awron. A constructive analisis of RM, The Journal of Symbolic Logic, 1987, №52, 939-951.

39. Awron, 1990. A. Awron. Relevance and paraconsistensy: A new approach, The Journal of Symbolic Logic, 1990, №2, 707-732.

40. Awron, 2000. A. Awron. Combining paraconsistensy and relevance. On: http://www.math.tau.ac.il/aa/

41. Batens, 1980. D. Batens. Paraconsistent extensional prepositional logics, Logique et Analyse, 90-91: 195-234, 1980.

42. Batens, 2000. D. Batens. Inconsistency-Adaptive Logics. Universitet Gents, (preprints)

43. Belnap, 1977. N.D. Belnap. A useful four-valued logic, Modern uses of multiple-valued logic, Dordrecht, 1977.

44. Belnap & Dunn,.1981. N.D. Belnap, J.M. Dunn. Entailment and disjunctive sil-Iogism, Philosopty of Language/Philosophical Logic, eds. by G. Flistad, G. von Wright. 1981, 337-366.

45. Beziau, 1994. J.-Y. Beziau. Universal logic, Logica-94 — Proceedings of the 8th International Simposium. Prague, 1994, 73-93.

46. Beziau, 1997. J.-Y. Beziau. What is many-valued logic, Proceedings of the 27th International Symposium on Multiple-Valued Logic, Los Alamitos, 1997.

47. Beziau, 1997. J.-Y. Beziau. What is paraconsistent logic, Relatorios de Pesquisa e Desenvolvimento, Dezembro (Preprint 50/97).

48. Beziau, 1999. J.-Y. Beziau. The future of paraconsistent logic, Logical studies,2, 1999. htpp://www.logic.ru/LogStud/02/LS2.html

49. Beziau, 2000. J.-Y. Beziau. Are paraconsistent negations negations? Second

50. World congress on Paraconsistency, Juquehu, Brazil, May 2000.

51. Blaszczyk, 1984. J. Blaszczyk. Some paraconsistent sentential calculi, Studia Logica, 43:5161, 1984.

52. Brady, 1984. R.T. Brady. Depth relevance of some paraconsistent logics, in Studia Logica, 43: 5161, 1984.

53. Bull and Segerberg, 1984. R. A. Bull and K. Segerberg. In D. Gabbay and F. Guenthner, editors. Handbook of Philosophical Logic. Vol. II: Extensions of classical logic, pages 1-88. D. Reidel, Dordrecht, 1984.

54. Curry, 1942. H. Curry. The inconsistency of certain formal logics, The Journal of Symbolic Logic, 7: 115-117, 1942.

55. D'Ottaviano and da Costa, 1970. I. M. L. D'Ottaviano and N. C. A. da Costa. Sur un problème de Jaskowski, Comptes Rendus Acad. Sci, 270A: 13491343, 1970.

56. D'Ottaviano, 1985. L M. L. D'Ottaviano. The completeness and compactness of a three-valued first-order logic, Revista Colombiana de Mathematicas, XIX, 1-2: 31-42, 1985.

57. D'Ottaviano, 1987. I. M. L. D'Ottaviano. Definability and quantifier elimination for Jî-theories, Studia Logica, 46: 37-54, 1987.

58. Dunn, 1966. J.M. Dunn. The Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation. University of Pittsburgh. Ann Arbor, 1966 (University Microflms).

59. Dunn, 1971. J.M. Dunn. An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract)//Journal of Symbolic Logic. Vol. 36, 1971. P. 362-363.

60. Dunn, 1976. J.M; Dunn. Intuitive semantics for first-degree entailment and coupled trees // Philosophical Studies. Vol. 29, 1976. P. 149-168.

61. Dunn, 1986. J.M. Dunn. Relevance Logic and Entaiment, in: D. Gabbay and F. Guenter (Eds.), Handbook of Philosophical Logic, Vol. 3. Holland, 1986.

62. Dunn, 1999. J.M. Dunn. A Comparative study of various model-theoretic treatments of negation: a histoiy of formal negation // D.M. Gabbay and H; Wansing (eds.) What is Negation? Applied Logic Series, 13. Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 23-51.

63. Epstein, 1990. R. L. Epstein. The semantic foundations of logic. Vol. 1: Pro-positional logic. Kluwer, Dordrecht. (2nd éd., 1995).

64. Epstein, 1993. R. L. Epstein. Multiple-valued logic design: an introduction. Bristol, 1993.

65. Fidel, 1977. M. Fidel; The decidablityof the calculi Cn, Reports on Mathematical Logic, 8:31-40, 1977.

66. Hunter, 1997. A. Hunter. Paraconsistent Logics, in: D. Gabbay and Ph. Smets (Eds.), Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainly Management Sistems, Vol. 2, Kluwer Academic Publishers, 1998.

67. Johansson, 1936. I. Johansson. Der Minimalkalkalkul, ein reduzierter intuition-istischer Formalismus, Compositio Mathematicae, 4: 119-136, 1936.

68. Karpenko, 1997. Л. S. Karpenko. Two three-valued isomorphs of classical pro-positional logic and their combinations, in: First World Congress on Para-consistency, 30 July 2 August 1997, Ghent, pp. 92-94.

69. Karpenko, 1999. A. S. Karpenko. Atomic and Molecular Paraconsistent Logics,1.gical studies, 2, 1999. htpp://www.logic.ru/LogStud/02/LS2.html

70. Meyer, 1971. R.K. Meyer. R-mingle and relevant disjunction, inJornal ofSim-bolic Logic, 1971. Vol. 17, pp. 279-297.

71. Meyer 1978. R.K. Meyer. Why I Am Not a Relevantist. Research paper. No. 2. Australian National University, Logic Group, Research School of the Social Sciences. Canberra, 1978.

72. Meyer, Routley and Dunn, 1978. R. Meyer, R. Routley and J.M. Dunn. Curry's paradox, Analisis, Vol. 39 (1978), pp. 124-128.

73. Mortensen, 1980. C. Mortensen. Every quotient algebra for Cr is trivial, Notre Dame Journal of Formal Logic, xxi: 694-700, 1980.

74. Mortensen, 1989. C. Mortensen. Paraconsistency and Ci, in: Paraconsistentlogic: Essays on the inconsistent (eds. G. Priest, R. Routley, J.Norman). Philosophia Verlag. München, pp. 289-305.

75. Odintsov, 1998. S. P. Odintsov. Maximal paraconsistent extension of Johansson logic, Logique et Analyse, 161-161-163: 107-120, 1998.

76. Parks, 1972. R.Z. Parks, A note on R-mingle and Sobocinnsk's three-valued logic, in: Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 13,1972.

77. Popov, 1998. V. M. Popov. Invers negation and classical implicative logic, Logique et Analyse, 161-161-163: 145-154, 1998.

78. Priest, 1979. G. Priest. Logic of paradox, Journal of Philosophical Logic, 8: 219-224, 1979.

79. Priest, Routley, 1984. G. Priest, R. Routley. Introduction: Paraconsistent logics, Studia logica, 43, pp. 3-16.

80. Priest, Routley and Norman (eds.), 1989. G. Priest, R. Routley, J.Norman. Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, Philosophia Verlag. München, 1989.

81. Priest, Sylvan, 1992. G. Priest, R. Silvan. Simplified semantics for basic relevant logics, Journal of Philosophical Logic, 21: 217-232, 1992.

82. Priest. G. Priest. Paraconsistent logic, in: Handbook of philosophical logic (second edition), forthcoming;

83. Puga and da Costa, 1988. L.Z. Puga and N.C.A. da.Costa. On the imaginery logic of N.A.Vasiliev, Zeitschrift fur mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik, 34: 205-211, 1988.

84. Restall, 1993. G. Restall. Simplified semantics for relevant logics (and some of their rivals), Journal of Philosophical Logic. 1993. Vol. 22. pp. 481-511.

85. Restall, 1994. G. Restall. Four-valued semantics for relevant logics (and some of their rivals), Technical Report TR-APR-9-94.

86. Routley, Meyer, 1982. Relevant logics and their rivals, Vol: 1, Ridgeview, California, 1982.

87. Segerberg, 1968. K. Segerberg. Propositional logic related to heyting's and Johansson's, Theoria, 34: 26-61.

88. Sette, 1973. A.M. Sette. On propositional calculus PI, Mathematica Japonica, 16: 173-180,1973.

89. Sette, & Alves, 1996. A.M. Sette and E. H. Alves, On the equivalence between some systems of non-classical logic, Bulletin of the Section of Logic, 25: 68-72, 1996.

90. Slater, 1995. B.H. Slater, Paraconsistent logics? inJornal of Philosophical Logic, 24,451-454.

91. Slupecki, Bryl and Prucnal, 1967. J. Slupecki, J. Bryl and T. Prucnal. Some remarks on the three-valued logic of J. Lukasiewicz, Studia Logica, 21: 4570, 1967.

92. Tuziak, 1997. R. Tuziak. Finitely many-valued paraconsistent systems, Logic and Logical Philosophy, 5: 121-127, 1997.

93. Urbas, 1990. I.Urbas. Paraconsistency, Studies in Soviet Thought, 39: 343-354, 1990.

94. Urbas, 1996. I.Urbas. Dual- intuicionistic logic, in: Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 37. № 3.

95. Voishvillo 1996. Voishvillo E.K. A theory of logical relevance, Logique et Analyse. Vol. 155-156, 1996. P. 207-228.

96. Wittgenstein, 1964. L. Wittgenstein. Philosophical Remarks. L., 1964.