Параметрическое возбуждение автоколебаний в вибрационных машинах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат технических наук Обухов, Анатолий Николаевич

• Обухов, Анатолий Николаевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Обухов, Анатолий Николаевич

Введение. Состояние вопроса.

Глава 1. Синтез квази оптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний в машинах при наличии произвольной симметричной нелинейности.

1.1. Синтез квазиоптимальных законов возбуждения на основе метода эквивалентной линеаризации.

2.1. Синтез квазиоптимальных законов возбуждения на основе первого приближения асимптотического метода.

3.1. Анализ устойчивости периодических режимов. Стабилизация неустойчивых режимов и обеспечение единственности расчетных квазиоптимальных режимов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическое возбуждение автоколебаний в вибрационных машинах»

К настоящему времени весьма детально разработаны методы динамического анализа вибрационных машин [1], [2], [3], [4], [5] в том числе авторезонансного типа. Машины такого типа используются в самых различных отраслях техники: при ультразвуковой обработке разнообразных материалов, в строительной промышленности, в процессах сепарации, виброгрохочения, измельчения сыпучих материалов, при вибрационных испытаниях и во многих других отраслях техники. Как правило, схема такого рода машин, включая источник возбуждения автоколебаний, или иными словами, система управления, выбирается априорно, исходя из тех или иных инженерных предпосылок, а затем осуществляется динамический анализ режимов функционирования: определяются амплитуда и частота автоколебательного режима, его устойчивость, возможность наличия нескольких автоколебательных режимов, исследуются процессы установления автоколебаний.

При этом выбранная таким образом схема возбуждения автоколебаний не всегда обеспечивает наиболее эффективный режим функционирования машины. Это относится как к основному (расчетному) режиму, который должен осуществляться с наибольшей интенсивностью, так и к возможности возникновения других режимов (с меньшей интенсивностью и частотами, отличными от расчетных). Первое из упомянутых обстоятельств не позволяет в полной мере использовать ресурс данного типа авторезонансной машины. Второе обстоятельство затрудняет настройки машины в процессе его выхода на заданный рабочий режим.

Для устранения первого из недостатков необходимо использование методов теории оптимального управления динамическими системами. В разработку этих методов весьма существенный, если не решающий вклад внесли отечественные ученые. Приоритетной в этом направлении явилась разработка принципа максимума [6]. Существенным для развития теории оптимального управления явилось также развитие метода моментов [7], [8]. Другим важным направлением стало применение принципа оптимальности динамического программирования [9]. При этом необходимо, во-первых, отметить, что традиционно методы теории оптимального управления в подавляющем большинстве относились к задачам, связанным с переходными процессами, а задачи, относящиеся к вибрационным процессам, связаны с оптимизацией периодических режимов. Во-вторых, начиная с середины 60-х годов начали развиваться методы, основанные на сочетании теории оптимального управления и приближенных методов нелинейной механики. Одной из первых работ в этом направлении, в которой использовался принцип максимума [6] в сочетании с асимптотическими методами [10], была статья [11]. В дальнейшем такое сочетание получило интенсивное развитие [12], [13], [14]. Достаточно эффективным оказалось также сочетание методов теории оптимального управления с методом усреднения [15], развитое в ряде работ [16], [17], [18].

Однако указанные работы, за исключением монографии [12], касаются задач управления переходными процессами динамических систем. Результаты исследований по оптимальному управлению периодическими режимами различных типов систем нашли отражение, помимо упомянутой выше монографии [12], в работах ряда отечественных ученых [19], [20], [21], [22], так и зарубежных ученых [78], [79], [80], [81], [82], [83], [84], [85], [86]. При этом характерным является то обстоятельство, что многие работы относятся к задачам активного виброгашения, когда на систему действует внешнее периодическое возмущение [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]. В большинстве этих работ рассматриваются линейные стационарные модели.

В то же время авторезонансные системы относятся к классу автоколебательных систем, а при возбуждении автоколебаний неизбежно должна присутствовать нелинейность. Следует отметить, что публикации, посвященные синтезу автоколебательных систем (с позиции теории оптимального управления) существенно малочисленнее, чем работы в указанных выше направлениях. Имеется, насколько известно, только одна отечественная монография, посвященная именно этому вопросу [30]. В этой монографии рассматривается специфический класс объектов, неидентичный резонансным вибрационным машинам, и решение задач осуществляется на основе принципа максимума и построения фазовых траекторий. Статейные публикации также весьма малочисленны. Здесь следует упомянуть работу [31], в которой также рассматривается механизм весьма специфического класса, а также работы [32], [33].

Существенный интерес и значимость представляет работа [34], в которой синтез и анализ релейных систем осуществляется на основе общих методов современной теории управления (с использованием фазового годографа), однако решения получены без применения процедур, характерных для теории оптимального управления.

Первая из отечественных работ, непосредственно относящаяся к синтезу авторезонансных машин была опубликована в 1973 году [35]. В этой работе на основе метода эквивалентной линеаризации [36] определена оптимальная (в гармоническом приближении) структура релейного возбуждающего воздействия, обеспечивающая максимум интенсивности установившихся колебаний на одной из собственных частот системы. Эта работа получила дальнейшее развитие по ряду направлений, в частности при возбуждении и стабилизации резонансных ультразвуковых колебаний стержневых систем [37]. В 1981 году была опубликована работа [38], в которой для одномассовой механической системы на основе первого приближения асимптотического метода (эквивалентного методу Ван-дер-Поля) [10] и вариационных методов теории оптимального управления [7], [8] решена задача синтеза силового возбуждающего воздействия с обратной связью, обеспечивающего максимум амплитуды установившихся автоколебаний с заданной частотой, близкой или равной собственной частоте системы.

В дальнейшем опубликован ряд работ по синтезу резонансных автоколебательных систем с применением процедур, основанных на сочетании метода эквивалентной линеаризации и методов теории оптимального управления, обобщающих подход предложенный в работе [35]. К числу таких публикаций относятся работы [39-45].

Следует отметить, что наиболее широко распространенными и типичными являются схемы резонансных машин, в которых возбуждение осуществляется по силовому принципу (рис. В.1) [5]. рис. В.1

В этом случае источник возбуждения (ИВ) создает на основе информации о текущих значениях координаты и скорости усилие Р(х, i), воздействующее на упруго закрепленный рабочий орган массы ш. Уравнение колебаний рабочего органа записывается в виде тх + Кх + сх ~ Р(х,х) (В.1) где К - коэффициент вязкого демпфирования системы крепления рабочего органа, с - жесткость крепления, Р(х, i) - силовое воздействие, создаваемое источником возбуждения. Уравнение (В.1) удобнее записать в нормированной форме х + 2кх + со\х - и(х,х) (В.2)

К 2 С Р где 2/е = — о)0 = — и = — . т mm

Наряду с силовой схемой возбуждения автоколебаний, используется нередко также кинематическая схема возбуждения (рис. В.2) рис.В.2

В соответствии со схемой рис. В.2 возбуждающее воздействие, формируемое на основе координаты и скорости рабочего органа массы ш подается на вход источника возбуждения, который через кинематический привод перемещает основание. Уравнение движения вибрационной машины в этом случае имеет вид тх + Кх + сх + К{(х - х0) + с{(х - х0) = О (В.З)

Уравнение (В.З) также приводится к виду (В.2), где при этом

К + К, 2 С-he, Клхп+слхп

2k =-1 а>1 =-L и = —^-— т т т

Ввиду этого, если пренебречь демпфированием К{ кинематического привода, задачи синтеза закона силового и кинематического возбуждения оказываются с математической точки зрения идентичными. В обоих случаях искомое управляющее воздействие и{х,х) является аддитивно входящей в уравнение движения функцией. Следует отметить, что пассивные части механических систем (В.1), (В.З) и соответственно уравнение (В.2) не содержит нелинейностей (кроме функции, описывающей автоколебательный источник возбуждения и(х,х)). В действительности, однако, в особенности при больших амплитудах автоколебаний, проявляют себя нелинейные упругие либо диссипативные силы. Поэтому в уравнение (В.2) может оказаться необходимым включение упругой f{x) либо диссипативной f(x) нелинейности, а в более общем случае нелинейности f(x,x). Задачи синтеза квазиоптимальных законов возбуждения и (х, х) для таких систем подробно исследованы в работах [38-42].

Помимо указанных выше и наиболее широко распространенных схем силового и кинематического возбуждения возможны и другие схемы, основанные на принципе параметрического возбуждения. В этом случае источником возбуждения является переменная составляющая одного из параметров системы.

Необходимо отметить, что такой принцип возбуждения уже давно используется в радиотехнике [46]. В области вибрационной механики системы с параметрическим воздействием также находят все более широкое применение, однако, в первую очередь, для гашения вынужденных колебаний [47-53].

В последние годы появились публикации по применению параметрических воздействий также и для гашения автоколебаний, в частности фрикционных [54].

Исследования по параметрическому возбуждению автоколебаний механических систем до настоящего времени малочисленны. Здесь в первую очередь следует отметить работу [55], в которой рассматривается одномассовая система с нелинейной составляющей упругой силы, и путем применения простейшего закона возбуждения переменной составляющей жесткости возбуждаются автоколебания, исследуется их устойчивость и процессы установления. В дальнейшем в работах [56], [57] была решена задача синтеза приближенно-оптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний для систем с учетом нелинейностей.

Механические системы с активными параметрическими воздействиями имеют ряд преимуществ по сравнению с широко применяемыми в настоящее время системами с силовыми и кинематическими воздействиями. К числу таких преимуществ относятся:

- в ряде случаев большая доступность конструктивной реализации параметрических воздействий;

- меньшее время установления периодического режима;

- возможность создания систем с определенными полезными свойствами, в частности, адаптивности и инвариантности по отношению к пассивной нелинейности определенных классов при достаточно простой структуре возбуждающего воздействия [58];

- возможность генерации режимов высокой интенсивности, которая широко известна в случае временных параметрических воздействий [10], [46], [59], но достижима и при введении активных параметрических воздействий с обратной связью [60].

В упомянутых выше работах в качестве активного параметрического воздействия, как наиболее доступный конструктивному исполнению вариант, используется переменная составляющая жесткости. Соответствующая схема резонансной вибрационной машины представлена на рис. В.З.

На рабочий орган массой т действуют, помимо линейных упругой и диссипативной сил, также нелинейная сила F(x,x), которая может быть обусловлена нелинейной составляющей упругой либо диссипативной силы, рис. В.З или включать в себя обе составляющих. Источник возбуждения (ИВ) формирует в функции координаты х и скорости х; возбуждающее воздействие, представляющее собой переменную составляющую линейной упругости с : с - с0 (1 + Ас), где с0 - постоянная составляющая, Ас возбуждающая автоколебания переменная составляющая. Уравнение динамики системы записывается в виде: тх + Кх + с0 (1 + Ас)х + F(x, х) = О (В.4)

В нормированном виде уравнение (В.З) записывается следующим образом: x + 2kx + col(l + v)x + f(x,x) = О (В.5) 7 К 2 сп Ас F(x,x) где = 5 а)0 = — 5 v = — f(x,x) =т т т т

Целью настоящей диссертационной работы является определение приближенно-оптимальных законов параметрического возбуждения v*(x,x), обеспечивающих в системе (В.5) режим автоколебаний максимальной амплитуды и заданной частоты со. Частота со предполагается близкой или равной собственной частоте системы.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи.

1. Разработка общих процедур синтеза параметрического закона возбуждения v*(x,x) при симметричном автоколебательном режиме в случае произвольной нелинейности f(x,x) и различных ограничений на интенсивность возбуждения.

2. Анализ устойчивости расчетных приближенно-оптимальных режимов, их стабилизация в случае неустойчивости и наличия других режимов.

3. Синтез законов параметрического возбуждения в случае линейной пассивной части системы, то есть при f(x, х) = О , что существенно с точки зрения оценок предельных возможностей генерации автоколебаний.

4. Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности упругого типа.

5. Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности диссипативного типа.

6. Синтез законов параметрического возбуждения при наличии в системе силового источника возбуждения заданной структуры.

7. Синтез законов параметрического возбуждения с учетов действия внешней нагрузки и анализ ее влияния на режим автоколебаний.

8. Синтез параметрических возбуждающих воздействий для конкретных структур упругой и диссипативной нелинейности и анализ режимов автоколебаний в системах с такими характеристиками.

Научная новизна и практическая значимость работы заключается в следующем

1. Разработана общая процедура синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждающих воздействий с обратной связью при различных видах ограничений на их интенсивность для характерных моделей вибрационных машин авторезонансного типа.

2. Определены структуры параметрических возбуждающих воздействий, обеспечивающих генерацию устойчивых автоколебательных режимов при отсутствии нелинейностей в пассивной части системы.

3. Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений для систем с пассивными нелинейностями упругого и диссипативного типа.

4. Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений при наличии в системе заданного силового возбудителя автоколебаний повышенной интенсивности в системах с двумя возбуждениями - силовым и параметрическим.

Практическая ценность полученных результатов обусловлена инженерной направленностью выполненных исследований: полученные законы параметрического возбуждения для типичных моделей авторезонансных вибрационных машин в подавляющем большинстве случаев определены в замкнутой аналитической форме, что делает весьма доступной конструктивную реализацию таких машин с параметрическим возбуждением. Применение полученных результатов даст возможность спроектировать новые авторезонансные машины более высокого качества, либо модернизировать существующие машины, видоизменив их схемы возбуждения путем замены силовой (или кинематической) схемы на параметрическую; возможно также введение дополнительной параметрической обратной связи с целью интенсификации режима при сохранении уже имеющегося источника возбуждения.

Материал диссертации изложен в ее главах в следующем порядке: В Главе 1 «Синтез квазиоптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний в машинах с учетом произвольной симметричной нелинейности» рассматривается общие задачи синтеза законов параметрического возбуждения симметричных автоколебаний. На интенсивность возбуждающего воздействия налагается ограничение '2*/® j]v| dt < Vp где v - искомое возбуждающее воздействие, о ) со - задаваемая частота, Vp - заданная константа, характеризующая ресурс источника возбуждения, р > 1, как частные случаи такого общего ограничения при р = 2 определяется ограничение на среднеинтегральное квадратичное значение, при р-1 - на импульс, при —» оо - на амплитудное значение. Решения получены на основе процедуры, включающей применение метода эквивалентной линеаризации и метода моментов (раздел 1.1), и процедуры, включающей применение асимптотического метода и метода моментов (раздел 2.1). В разделе 3.1 излагается общая процедура анализа режимов в системе с синтезированным возбуждением: устойчивости расчетного режима, наличия других режимов, а также излагаются способы стабилизации расчетного режима в случае его неустойчивости.

В Главе 2 «Возбуждение автоколебаний в машинах с линейной пассивной частью» решаются задачи параметрического возбуждения и стабилизации автоколебаний для модели, не содержащей заданной нелинейности. При интегральном квадратичном ограничении и при ограничении на амплитуду возбуждения на основе результатов Главы 1 получены простые аналитические выражения для законов возбуждения, а также определена структура воздействий, стабилизирующих автоколебательные режимы.

Приведенные результаты компьютерного моделирования подтверждают достоверность приближенных аналитических решений.

В Главе 3 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной упругой характеристики» рассматривается общий случай симметричной характеристики такого типа. В качестве примера приводится характерный случай нелинейности кубического типа.

В Главе 4 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной диссипативной связи» излагается решение задачи синтеза возбуждения для произвольной симметричной диссипативной нелинейности. В качестве конкретных примеров получены замкнутые аналитические решения для турбулентной характеристики трения (при наличии линейной диссипации) и кубической характеристики трения.

В Главе 5 «Параметрическое возбуждение в случае двух возбуждающих воздействий» в разделе 1.5 рассматривается задача синтеза параметрического возбуждения при наличии произвольного аддитивного (силового или кинематического) источника возбуждения. В качестве примера (раздел 2.5) рассматривается такой источник возбуждения простейшей структуры - типа отрицательного сухого трения. Приведены результаты компьютерного моделирования такой системы при простом релейном законе параметрического возбуждения.

В Главе 6 «Параметрическое возбуждение в случаях несимметричных режимов» рассматриваются задачи параметрического возбуждения автоколебаний при учете нагрузки на рабочий орган, что порождает несимметричность автоколебаний. В разделе 1.6 излагается общая процедура решения задачи при произвольной нелинейности. В разделе 2.6 в качестве конкретного примера рассматривается задача с упругой нелинейностью кубического типа. В разделе 3.6 анализируется система без пассивных нелинейностей с простейшим непрерывным параметрическим законом возбуждения при действии на нее статической нагрузки и определяется

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Обухов, Анатолий Николаевич

Выводы

1. Решены задачи синтеза квазиоптимальных параметрических возбуждающих воздействий при различных ограничениях на их интенсивность для одномассовых моделей авторезонансных вибрационных машин с учетом наличия нелинейных звеньев, обеспечивающих генерацию устойчивых режимов автоколебаний.

2. Для линейной модели определены структуры возбуждающих параметрических воздействий и дополнительных силовых стабилизирующих воздействий, обеспечивающих единственность и устойчивость режимов автоколебаний высокой интенсивности и малое время установления рабочих режимов

3. Решены задачи синтеза параметрических воздействий при наличии в системе силового источника автоколебаний заданной структуры. Показано, что такие схемы возбуждения автоколебаний в авторезонансных вибрационных машинах обеспечивают высокую эффективность рабочих процессов.

4. Решены задачи синтеза параметрических возбуждающих воздействий при учете постоянной (либо медленно меняющейся) нагрузки, действующей на рабочий орган.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Обухов, Анатолий Николаевич, 2007 год

1. Динамика машин и управление машинами. Справочник. Под редакцией Г.В.Крейнина. М. Машиностроение. 1988. 239с.

2. Вейц B.JI., Коловский М.З., Кочура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М. Наука. 1984. 354с.

3. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. М. Высшая школа. 1998. 496с.

4. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л. Машиностроение. 1968.264с.

5. Справочник «Вибрации в технике», т.4 Вибрационные процессы и машины. Под ред. Э.Э.Лавендела. М. Машиностроение. 1981. с.294 296.

6. Понтрягин Л.С., БолтянскийВ.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Физматгиз. 1963. 287с.

7. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М. Наука. 1968. 484с.

8. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М. Физматгиз. 1965. 474с.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М. Иностранная литература. 1960. 283с.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский А.Ю. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. Наука. 1974. 504с.

11. Колосов Н.Е., Стратонович Р.Л. Об оптимальном управлении квазигармоническими системами// Автоматика и телемеханика. 1965. № 4. с. 58-63.

12. Плотников В.А. Асимптотические методы в теории оптимального управления. Одесса. ОГУ. 1976. 102с.

13. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.М. Управление колебаниями. М. Наука. 1980. 253с.

14. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы в теории оптимального управления. М. Наука. 1987. 365с.

15. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. МГУ. 1971. 507с.

16. Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. М. Наука. 1981. 420с.

17. Акилов А.У., Филатов А.И. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов// ДАН Уз ССР. 1966. № 7. с. 37 42.

18. Акилов А.У. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов// ДАН Уз ССР. 1968. № 9. с. 21 25.

19. Тонков Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы// Математическая физика. Вып. 21. Киев. 1977. с. 45 49.

20. Тонков Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями// Математическая физика. Вып. 22. Киев. 1977. с. 54 64.

21. Зевин А.А. К задаче оптимального управления периодическими процессами// Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. с. 20 25.

22. Ковалева А.С. Управление колебательными и виброударными системами. М. Наука. 1990. 253с.

23. Коловский М.З. Об оптимизации активных виброзащитных систем// Машиноведение. 1977. № 5. с. 42 44.

24. Бабицкий В.И., Израилович М.Я. Об оптимальных движениях вибрационных систем// Машиноведение. 1967. № 6. с. 42 49.

25. Сарапчук Ю.Г. Одна вибрационная задача в игровой постановке// Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1974. № 1 с. 176 178.

26. Максимович Ю.П. О достижимом качестве виброзащиты от периодического воздействия//Машиноведение. 1970. № 4. с. 13 15.

27. Болотник Н.Н. Оптимизация амортизационных систем. М. Наука. 1982. 256с.

28. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии//ДАН. 1993. т.233. № 2. с. 170 172.

29. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию// Автоматика и телемеханика. 1998. №12. с. 109-119.

30. Репников А.В. Колебания в оптимальных системах автоматического регулирования. М. Машиностроение. 1968. 236с.

31. Красовский А.А. Синтез автоколебательной системы с приложениями к ветроэнергетической установке нового класса// Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 6. с. 5 15.

32. Подчуфаров Ю.Б. Приложение теории колебаний к проектированию управляемых комплексов. 5-ая Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 1999. с.181.

33. Подчуфаров Ю.Б. Принцип проектирования САУ с использованием частных и общих моделей// Машиноведение. 1989. № 2. с. 11 15.

34. Фалдин Н.В. Анализ и синтез релейных автоколебательных систем управления. 7-ая Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с. 22 24.

35. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Герц М.Е. К синтезу авторезонансных систем// Вибротехника. 1973. вып. 3 (20). С. 28 36.

36. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М. Наука. 1983. 583с.

37. Асташев В.К., Герц М.Е. Возбуждение и стабилизация резонансных колебаний ультразвуковых стержневых систем// Акустический журнал. 1976. № 6. с. 15-21.

38. Израилович М.Я., Морозова Н.И. Оптимальное управление периодическими движениями нелинейных механических систем с одной степенью свободы// Машиноведение. 1981. № 2. с. 39 46.

39. Израилович М.Я. Оптимальное управление периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1993. № 6. с. 76-83.

40. Израилович М.Я. Управление автоколебаниями резонансных систем// Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. с. 55 65.

41. Израилович М.Я. Аналитическое конструирование регуляторов для возбуждения автоколебаний в нелинейных механических системах. Тезисы докладов 11-го симпозиума по динамике виброударных систем. М. ИМАШ. 1995. с. 43.

42. Израилович М.Я. Управление несимметричными периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1999. № 1. с. 67 74.

43. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с непрерывным источником возбуждения// ДАН. 1999. т.367. № 5. с. 606 607.

44. Израилович М.Я. Управление периодическими режимами механических систем с учетом динамики двигателя// Пробл. машиностр. и надежности машин. 2000. № 5. с. 94 101.

45. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение резонансных автоколебаний в одномерных распределенных системах// Акустический журнал. 2004, т. 50. № 2, с. 204 209.

46. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. M.-JI. Гостехтеориздат. М.-Л. 1951.223с.

47. Фролов К.В. Уменьшение амплитуды колебаний резонансной системы путем управляемого изменения ее параметров// Машиноведение. 1965. №3. с. 38 -42.

48. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М. Машиностроение. 1980. 276с.

49. Акуленко Л.Д. Гашение колебаний системы, содержащей несбалансированный ротор// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. №3. с. 28-35.

50. Прокопов Е.Е. Влияние сил вязкого трения на колебания виброзащитных систем с управляемой жесткостью. 7-ая Всерос. научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с. 361 362.

51. Чернышов В.И. Основы теории виброзащитных систем с непрямым импульсным управлением. Материалы международного научного симпозиума «Механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия». ОрелГГУ. Орел. 2000. с. 163 167.

52. Израилович М.Я. Параметрическое управление вынужденными периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1994. № 4. с. 15 22.

53. Израилович М.Я., Аракчеев А.В. Активное параметрическое гашение фрикционных автоколебаний. Труды 7-ой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с.85.

54. Герц М.Е. Возбуждение колебаний механической системы с управляемым параметром//Машиноведение. 1982. № 5. с. 10 19.

55. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим возбуждением// Пробл. машиностр. и над. машин. 1996. №4. с. 20-28.

56. Израилович М.Я. Параметрическое возбуждение автоколебаний// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. № 3. с. 54 63.

57. Израилович М.Я. Синтез систем управления периодическими режимами, обеспечивающих адаптивные и инвариантные свойства// ДАН. 2000. т. 376. №6. с. 751 -753.

58. Фролов К.В. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов машин. Сб. «Колебания и устойчивость приборов, машин и элементов систем управления». М. Наука. 1968. с. 28 36.

59. Израилович М.Я. Параметрическое возбуждение устойчивых автоколебаний высокой интенсивности// ДАН. 2007. т. 412. № 4. с. 485 -489.

60. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М. Наука. 1968. 349с.

61. Израилович М.Я. Устранение неоднозначности и стабилизация периодических режимов механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 2001. №4. с. 3 11.

62. Израилович М.Я. Параметрически управляемые квазигармонические режимы автоколебаний и вынужденных колебаний. Устранение неоднозначности// Пробл. машиностр. и над. машин. 2003. № 2. с. 87 94.

63. Шмидт Г. Параметрические колебания. М. Мир. 1973. 336с.

64. Крагельский И.В., Гиттис Н.В. Фрикционные автоколебания. М. Наука. 1987. 182с.

65. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим и силовым источниками возбуждения// ДАН. 1999. т. 369. №2. с. 180-181.

66. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение автоколебаний с параметрическим и силовым источниками// Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. с. 163- 169.

67. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение резонансных колебаний нелинейных систем с использованием силового и параметрического источников// Пробл. маш. и над. машин. 2002. № 3. с. 49 58.

68. Израилович М.Я. Синтез систем генерации автоколебаний высокой интенсивности. Сб. научных докладов 4-го Международного совещания по проблемам энергоаккумулирования и экологии в машиностроении, энергетике и на транспорте. ИМАШ РАН. М. 2004. с. 345 356.

69. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М. Наука. 1971.

70. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Синтез систем параметрического возбуждения автоколебаний механических систем, Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации", 2005 N3, с.51-55.

71. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Управляемое возбуждение параметрических колебаний, Труды Седьмой Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", 2005, Н.Новгород ННГУ, с.86-88.

72. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Параметрическое возбуждение автоколебаний в механических системах с нелинейной упругой связью, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2006 N3, с.10-16.

73. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Параметрическое возбуждение автоколебаний в случае несимметричных режимов, сборник Трудов Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с. 129-131.

74. Обухов А.Н., Управляемое параметрическое возбуждение автоколебаний при наличии источника автоколебаний заданнойструктуры, сборник Трудов Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с.208-210.

75. Обухов А.Н., Возбуждение резонансных автоколебаний с использованием параметрического и силового воздействий, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2007 N5.

76. Maffezzoni С. Hamilton-Jacobi theory for periodic control problems// J Optimiz. Theory Appl. 1974. V. 14. № 1. P. 21 - 30.

77. Roxin E., Stern L.E. Periodicity in optimal control and differential games// Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 1982. V. 38. P. 234 240.

78. Wolfersdorf L. On the maximum principle for optimal control processes described by Hammerstein integral equations with weakly singular kernels. V. 1. Warsava: Banach Center Publ. 1976. P. 163 166.

79. Karita Y. On mode of selfoscillation excitation// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1997. № 605.

80. Guardabassi G., Locatelli A., Rinaldi S. Status of periodic optimization of dynamical systems// J. Optimiz. Th. Appl. 1984. V. 14. № 1. P. 1 20.

81. Halaway A. Optimal control of periodic solutions// Revue Roumaine de mat. pure et appl. 1974. V. 19. № 1.

82. Matsubara M., Nishimura Y., WatanabeN., Onogi K. Periodic control theory and applications// J. Soc. Instr. Contr. Eng. (Jap.) 1981. V. 20. № 6.

83. Nistri P. Periodic control problems for a class of nonlinear differential systems// Nonlinear Anal. Theory, Meth. And Appl. 1983. V. 7. № 1.

84. Roxin E., Stern L.E. Periodicity in optimal control and differential games// Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 1982. V. 38. P. 234 240.

85. Wolfersdorf L. On the maximum principle for optimal control processes described by Hammerstein integral equations with weakly singular kernels. V. 1. Warsava: Banach Center Publ. 1976. P. 163 166.