Параметрический синтез многоконтурных систем автоматического управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.05, кандидат наук Емельянова Татьяна Алексеевна

• Емельянова Татьяна Алексеевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Емельянова Татьяна Алексеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Многоконтурные системы автоматического управления и особенности синтеза их элементов

1.1 Особенности многоконтурных систем 15 автоматического управления

1.2 Особенности синтеза многоконтурных САУ

1.3 Уравнения синтеза многоконтурных систем автоматического управления

1.4 Пути решения уравнений синтеза многоконтурных систем автоматического управления

1.4.1 Настройка многоконтурных систем автоматического управления на модальный и симметричный оптимумы

1.4.2 Методы расчета многоконтурных систем численным методом с использованием эволюционных алгоритмов многоэкстремальной оптимизации

1.4.3 Методы синтеза многоконтурных систем автоматического управления на основе частных случаев преобразования Лапласа

1.5 Выбор метода решения систем нелинейных уравнений 36 Выводы к главе 1 41 ГЛАВА 2. Синтез элементов систем автоматического управления вещественным интерполяционным методом

2.1 Основы вещественного интерполяционного метода

2.2 Исследование возможностей вещественного интерполяционного метода при решении задач синтеза многоконтурных систем автоматического управления различных классов

2.3 Формирование передаточной функции желаемой системы

2.4 Получение расчетных формул синтеза САУ вещественным интерполяционным методом 49 2.4.1 Проверка робастности системы управления положением считывающей головки системы чтения информации с диска

2.4.2 Синтез регулятора пониженного порядка для управления кристаллизацией

60

2.4.3 Синтез регуляторов неминимально-фазовых систем автоматического управления

2.4.4 Синтез регуляторов системы с нулем в правой полуплоскости

2.4.5 Синтез регуляторов систем автоматического управления с распределенными параметрами

2.4.6 Синтез системы управления «буксирный трос - подводный объект»

2.4.7 Синтез регуляторов систем автоматического управления объектами, имеющих транспортное запаздывание 73 2.5 Синтез регуляторов многоконтурных систем автоматического управления

2.5.1 Система управления токарным станком

2.5.2 Система управления следящим приводом 90 Выводы к главе 2 102 ГЛАВА 3. Модификации вещественного интерполяционного метода на основе регуляризации Тихонова

3.1 Основы регуляризация Тихонова

3.2 Синтез многоконтурной системы автоматического управления на основе вещественного интерполяционного метода с применением регуляризации по Тихонову

3.2.1 Система управления токарным станком

3.2.2 Синтез системы управления следящим приводом 109 Выводы к главе 3 114 ГЛАВА 4. Разработка модификации вещественного интерполяционного метода на основе нелинейного программирования

4.1 Основные понятия нелинейного программирования

4.2 Синтез многоконтурной системы автоматического управления на основе вещественного интерполяционного метода с применением нелинейного программирования в пакете MATLAB

4.3 Синтез многоконтурной системы автоматического управления на основе вещественного интерполяционного метода с применением нелинейного программирования в пакете Excel

Выводы к главе

ГЛАВА 5. Система управления температурой водяной рубашки реактора для изготовления огнеупорного пластика

5.1 Математическая модель реактора

5.2 Синтез системы управления температурой водяной рубашки реактора

5.2.1 Синтез системы управления температурой водяной рубашки реактора на основе вещественного интерполяционного метода с применением регуляризации Тихонова

5.2.2 Синтез системы управления температурой водяной рубашки реактора на основе вещественного интерполяционного метода с применением нелинейного программирования в пакете MATLAB

5.2.3 Синтез системы управления температурой водяной рубашки реактора на основе вещественного интерполяционного метода с применением нелинейного программирования в пакете Excel 141 Выводы к главе 5 145 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 146 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 147 ПРИЛОЖЕНИЕ А Акты внедрения результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрический синтез многоконтурных систем автоматического управления»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Управление многими объектами осуществляется системами автоматического управления (САУ), которые содержат более одного контура управления. Применение таких систем, образующих класс многоконтурных САУ, возникает в связи с необходимостью достижения высоких показателей по точности и качеству работы. Задачи создания и эксплуатации многоконтурных САУ и их элементов являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Уровень требований к качеству управления постоянно увеличивается, отражая все возрастающие запросы технологий производства и их технических решений. В этом смысле задачи создания многоконтурных систем управления являются важными и актуальными, так как высокие показатели качества управления достигаются именно на таких структурах. В то же время создание систем управления этого класса оказывается значительно более сложным по сравнению с одноконтурными, так как синтез их основных элементов - регуляторов -переходит из класса линейных уравнений синтеза к нелинейным со всеми их характерными трудностями.

Для решения рассматриваемых сложных задач расчета указанных элементов систем управления используются различные способы упрощения нелинейных уравнений синтеза. В настоящее время основной из них заключается в переходе к каким-либо линейным приближениям. Наиболее распространен последовательный расчет контуров, начиная с внутреннего (Ьаск^ерр^ - англ), что позволяет заменить процедуру решения нелинейного уравнения синтеза приближенным решением последовательности линейных уравнений. Основной недостаток такой расчетной схемы связан с появлением дополнительного источника погрешности. Он возникает из-за необходимости распределения свойств эталонной, желаемой системы по каждому контуру в отдельности. Но такой переход может быть выполнен только приближенно. По этой причине в получаемом решении будут присутствовать два источника

погрешности. Первый является следствием принципиальной особенности задач синтеза - они решаются приближенно. Второй определен отмеченным этапом декомпозиции желаемых свойств систем управления. Поэтому общая погрешность синтеза САУ в конечном итоге оказывается больше, чем минимально достижимая. По этой причине поиск путей получения решений, свободных от погрешностей декомпозиции заданных свойств желаемой САУ по контурам, представляет собой актуальную и перспективную для теории и практики задачу.

Аспектам синтеза элементов и устройств многоконтурных систем управления посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, отражающие многообразие подходов, вызванное, прежде всего, сложностью задачи и попытками использования разнообразных возможностей. Значительные результаты по развитию аналитических и численных методов получили Ротач В.Я., Орурк И.А., Вишнякова Ю.Н., Попов В.И., Сабанин В.Р., Смирнов Н.И., Егупов Н.Д., Ким Д.П., Дядик В.Ф., Кулаков Г.Т., Kessler C., Broughton S.A., Bryan K., McMullen М., Vrancic D., Strmenic S., Hanus R., Vilius A.G., Rik De Doncker, Duco W.J. Pulle, Andre Veltman, Leonhard W., Barnes M. и другие.

Целью работы является разработка и исследование численного метода параметрического синтеза регуляторов стационарных линейных многоконтурных систем управления.

Задачи исследования. Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих теоретических и практических задач:

1. Постановка задачи синтеза регуляторов многоконтурных систем управления численным методом.

2. Исследование обусловленности уравнений синтеза многоконтурных систем управления в зависимости от числа неизвестных коэффициентов регуляторов и особенностей объектов управления.

3. Получение и исследование регуляризированного по методу Тихонова уравнения синтеза САУ.

4. Разработка подхода и исследование регуляризирующих свойств метода нелинейного программирования в задачах синтеза регуляторов многоконтурных систем управления.

5. Применение численного метода синтеза САУ, инструментов регуляризации и нелинейного программирования для расчета регуляторов двухконтурной системы управления температурой химического реактора в установке синтеза высокотемпературного пластика.

Объектом исследования являются регуляторы многоконтурных линеаризованных стационарных систем автоматического управления.

Предмет исследования - численный метод параметрического синтеза регуляторов многоконтурных систем управления, обусловленность уравнений синтеза САУ и поиск путей их регуляризации.

Методы исследования. Для достижения сформулированной цели и связанных с нею задач в работе использованы методы теории автоматического управления, операционного и интегрального исчисления, вещественный интерполяционный метод, методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, метод регуляризации Тихонова, методы нелинейного программирования и компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов диссертационной работы подтверждается обоснованностью выбранных методов, адекватностью используемых математических моделей, результатами компьютерного моделирования, сравнительным анализом полученных результатов, а также сопоставлением их с известными результатами.

Научная новизна работы:

1. Выполнено исследование обусловленности уравнений синтеза многоконтурных систему управления в зависимости от особенностей объектов управления САУ. Установлено, что системы управления объектами, имеющие запаздывание, распределенные параметры или неминимально-фазовые особенности, характеризуются существенным ухудшением условий синтеза регуляторов, в том числе обусловленностью.

2. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию численных решений уравнений синтеза регуляторов систем управления, результаты которых подтвердили возможность использования принятого численного метода для получения регуляторов многоконтурных систем управления без принятия специальных мер по регуляризации уравнения при вычислении до двух/трех неизвестных коэффициентов, входящих в уравнение мультипликативно.

3. Предложен способ улучшения обусловленности уравнения синтеза систем управления за счет его регуляризации, что обеспечивает увеличение примерно вдвое количество вычисляемых коэффициентов регуляторов.

4. Исследованы возможности метода нелинейного программирования с позиций регуляризации уравнения синтеза регуляторов многоконтурных систем управления, получены положительные результаты, позволяющие увеличивать число неизвестных коэффициентов, а также вводить дополнительные ограничения на искомые параметры.

Соответствие специальности определяется ее направлением на «... совершенствование и создание принципиально новых элементов и устройств вычислительной техники и систем управления, включая разработку научных основ физических и технических принципов создания указанных элементов и устройств». Диссертационные исследования соответствуют специальности 05.13.05 по следующим пунктам:

П. 1 «Разработка научных основ создания и исследования общих свойств и принципов функционирования элементов, схем и устройств вычислительной техники и систем управления. По п.1 специальности рассмотрено влияние особенностей объектов управления на свойства уравнений синтеза регуляторов многоконтурных систем управления. Установлено, что усложнение объектов управления особенностями - транспортным запаздыванием, распределенными в пространстве параметрами, неминимально-фазовыми свойствами, а также усложнение структуры самой системы управления, приводит к существенному ухудшению свойств уравнений синтеза регуляторов.

П. 2 «Теоретический анализ и экспериментальное исследование функционирования элементов и устройств вычислительной техники и систем управления в нормальных и специальных условиях с целью улучшения технико-экономических и эксплуатационных характеристик». В соответствии с п.2 специальности выполнен выбор критериев для оценивания вариантов синтезированных регуляторов.

П.3 «Разработка принципиально новых методов анализа и синтеза элементов и устройств вычислительной техники и систем управления с целью улучшения их технических характеристик». По п.3 специальности разработан метод параметрического синтеза многоконтурных системы управления, проведено исследование путей получения численных решений уравнений синтеза регуляторов, предложены способы повышения точности расчетов на основе улучшения обусловленности уравнения синтеза за счет регуляризации по Тихонову и на основе нелинейного программирования.

П.4 «Разработка научных подходов, методов, алгоритмов и программ, обеспечивающих надежность, контроль и диагностику функционирования элементов и устройств вычислительной техники и систем управления». По п. 4 предложенные в работе способы и методы получения регуляризированных решений уравнений синтеза позволяют повысить робастность системы управления и надежность ее работы.

Практическая ценность результатов работы.

Практическая ценность работы заключается в разработке метода для решения задач синтеза регуляторов многоконтурных САУ, позволяющих выполнять расчет регуляторов с определением до четырех-шести неизвестных коэффициентов регуляторов различных контуров системы управления. Разработанные методы синтеза регуляторов позволяют повысить точность расчета САУ и, следовательно, повысить точность их работы и САУ в целом, а также их качество и робастность. Еще одно важное практическое применение результатов состоит в возможности использованием разработанных инструментов совместно с существующими методами синтеза САУ в рамках

двухэтапной процедуры. На первом этапе известными методами получают решение, которое затем уточнятся предложенным способом в отношении наиболее важных коэффициентов регуляторов.

Реализация результатов работы. Решения, приведенные в диссертации, были получены в результате проведения научно-исследовательских работ, основная часть которых выполнялась на базе Кибернетического центра при Национальном исследовательском Томском политехническом университете. Результаты работы использованы на кафедре систем управления и мехатроники ТПУ в разрабатываемой совместно с компанией «Еав1ееЬ» (Республика Корея) системе настройки элементов и устройств систем управления одного класса электропривода, в учебном процессе при выполнении выпускных квалификационных работ и изучении студентами дисциплины «Компьютерное управление в мехатронике и робототехнике». Основная часть результатов передана в ООО «НПО ВЭСТ» для использования при проектировании систем теплоснабжения по моделям многоконтурных САУ.

Личный вклад автора. Все научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В работах, написанных и опубликованных в соавторстве, личный вклад состоит в следующем. В публикациях [14,71,91] автором определены способы решения задачи синтеза САУ на основе ВИМ с применением средств квадратичного программирования, выбраны методы исследования, получены и проанализированы основные результаты, а также даны рекомендации по улучшению синтеза за счет привлечения способов регуляризации. В работах [24, 90,113] автором рассмотрены особенности синтеза многоконтурных САУ на иллюстративных примерах, выполнены вычислительные эксперименты по определению влияния обусловленности задачи синтеза многоконтурных САУ на качество решения, а также даны рекомендации по улучшению синтеза за счет привлечения способов регуляризации. В публикациях [87, 114] автору принадлежит постановка задачи, проведение вычислительных экспериментов по решению задачи синтеза

многоконтурных САУ методами нелинейного программирования и анализ результатов. В работах [25, 88] автором представлены возможности методов регуляризации для синтеза многоконтурных САУ, выбраны методы регуляризации, предложены алгоритмы решения задачи синтеза на основе этих методов, исследованы области сходимости.

Кроме того, автором самостоятельно постановлена задачи расчета параметров регуляторов системы управления температурой реактора синтеза высокотемпературного пластика, выполнены расчеты, обеспечившие получение заданных параметров, проведен анализ полученных результаты [26].

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численный метод синтеза САУ на основе вещественного интерполяционного метода при его распространении на системы с распространенными параметрами, с запаздыванием, а также на системы с большим числом неизвестных параметров в регуляторах сопровождается ухудшением условий решения уравнений синтеза из-за снижения обусловленности уравнения синтеза.

2. Усложнение структуры САУ за счет увеличения числа контуров приводит резкому ухудшению обусловленности уравнений синтеза, что вынуждает понижать размерность задач, т.е. уменьшать число искомых коэффициентов регуляторов.

3. Увеличения числа рассчитываемых коэффициентов регуляторов многоконтурных систем можно достичь регуляризацией уравнений синтеза. Это позволяет улучшить обусловленность уравнений и увеличить число устойчиво вычисляемых коэффициентов с достижением робастных свойств САУ по выбранным показателям качества.

4. Разработанный метод синтеза многоконтурных САУ на основе вещественного интерполяционного метода и нелинейного программирования обладает свойствами регуляризации, позволяя существенно увеличивать число искомых коэффициентов, а также вводить дополнительные ограничения на параметры системы.

5. Результаты расчета и математического моделирования системы автоматического управления температурой химического реактора, синтезирующего высокотемпературный пластик, показавшие возможность повышения точности работы системы управления реактора.

Апробация результатов работы. Результаты, представленные в работе, обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XII Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии». Томск, 2014 г.; International Conference on Mechanical Engineering, Automation and Control Systems,16-18 October, 2014, Tomsk; IV Русско-корейский научно-технический семинар. Томск, 2015; XII Международная научно-техническая конференция «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства». Ижевск, 2015 г.; The 28th International Conference on Systems Research, Informatics & Cybernetics, August 2nd, 2016 in Baden-Baden, Germany; Международная конференция «Когнитивная робототехника». Томск, 2016; Information Technologies in Business and Industry (ITBI2016): International Conference, 21-26 September 2016, Tomsk, Russian Federation; V Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Теплотехника информатика в образовании, науке и производстве». Екатеринбург, 2016.

Публикация результатов работы. Основные результаты работы опубликованы в 11 печатных и электронных работах, из них 6 статей, 4 из которых в изданиях, входящих в международную базу цитирования Scopus, две -в издании, рекомендованном ВАК РФ, 5 публикаций в материалах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 157 страниц машинописного текста, из них 12 страниц списка литературы, 2 страницы - приложение. Основная часть диссертации иллюстрируется 27 рисунками и 1 8 таблицами.

Во введении обосновывается актуальность проблемы, ставится цель, формируются задачи диссертационной работы, приводятся краткие комментарии к содержанию диссертации и сведения об апробации, публикациях и практическом использовании результатов проведенных научных исследований.

В первой главе приводится обзор современного состояния решения проблемы синтеза многоконтурных электромеханических систем автоматического управления. Рассмотрена актуальность задачи создания метода параметрического синтеза многоконтурных САУ, позволяющего осуществлять расчет и настройку регуляторов на заданные показатели качества.

Рассмотрены особенности параметрического синтеза регуляторов многоконтурных САУ по сравнению с одноконтурными, рассмотрены возможные способы формирования уравнения синтеза многоконтурных систем, представлены и проанализированы основные пути его решения. Осуществлен выбор направления для решения проблемы диссертационного исследования.

Во второй главе проведено исследование возможностей вещественного интерполяционного метода при его обобщении на параметрический синтез САУ, в том числе и многоконтурных.

В третьей главе представлен численный метод параметрического синтеза многоконтурных САУ, в основе которого лежит вещественный интерполяционный метод и регуляризация Тихонова. Исследованы возможности применения метода на основе регуляризированного алгоритма для параметрического синтеза многоконтурных электромеханических систем, представлены результаты синтеза. Проведен анализ полученных результатов, оценена эффективность регуляризации Тихонова по числу обусловленности и количеству устойчиво определяемых коэффициентов. Приведены результаты решения задач параметрического синтеза многоконтурных электромеханических САУ.

В четвертой главе представлен численный метод параметрического синтеза многоконтурных САУ, в основе которого лежит вещественный интерполяционный метод и нелинейное программирование. Рассмотрены

возможности использования программных продуктов MATLAB и Excel при решении задачи параметрического синтеза многоконтурных электромеханических САУ вещественным интерполяционным методом с применением нелинейного программирования. Представлены положительные результаты решения задачи в каждом из представленных программных продуктов, проведен анализ полученных результатов.

В пятой главе рассмотрена задача расчета регуляторов САУ температурой водяной рубашки химического реактора, предназначенного для синтеза высокотемпературного пластика. Использован численный метод на основе ВИМ с регуляризацией получаемого уравнения синтеза по методу Тихонова и нелинейного программирования. Приведены результаты синтеза, получены положительные результаты по повышению качества управления многоконтурной системой автоматического управления.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы и выводы.

В приложении представлен акт о внедрении результатов работы.

ГЛАВА 1. Многоконтурные системы автоматического управления и

особенности синтеза их элементов

1.1 Особенности многоконтурных систем автоматического управления

САУ - система, состоящая из объекта управления и средств управления, в которой формирование команд, сбор и обработка информации осуществляется без участия человека [28]. Среди множества классификаций САУ по различным признакам выделяют системы, имеющие более одного контура управления, которые в большинстве случае называют многоконтурными, хотя употребляют и другие названия, подчеркивая особенности рассматриваемой системы: каскадные, подчиненного управления и другие [55], [62]. Основной смысл этих терминов сохраняется неизменным: одноконтурные САУ имеют один контур управления, одно регулирующее устройство, а также одно управляющее воздействие для управления единственной координатой [8]. Структура таких систем представляет собой последовательное соединение всех элементов системы, охваченных обратной связью, хотя применяют и параллельные корректирующие устройства [8].

Класс одноконтурных систем хорошо изучен, существует множество методов расчета таких систем и настройки их регуляторов при эксплуатации, позволяющих придать системе требуемые показатели качества, точности, запасы устойчивости и т.п. Простота расчета и реализации таких систем во многом является следствием их ограниченных возможностей. Именно по этой причине часто возникают ситуации, когда управление по одной координате не обеспечивает достижение желаемых свойств системы.

По функциональному назначению, а также по формальным топологическим признакам, к многоконтурным САУ относят замкнутые системы, в состав которых входят несколько контуров управления [64]. При этом местные обратные связи могут быть жесткими и гибкими, отрицательными и

положительными [43]. Другими словами, многоконтурная система помимо основного, внешнего контура управления имеет дополнительные обратные или параллельные корректирующие связи. К этому следует добавить, что в общем случае многоконтурная система может иметь одну или несколько управляемых величин.

Характерным примером многоконтурной САУ с одной управляемой величиной является следящий электромеханический привод. Управление в такой системе осуществляется по двум контурам: главный контур осуществляет регулирование выходной величины, вычисляется сигнал ошибки; местные обратные связи обеспечивают регулирование напряжения и тока [64]. Другим -более сложным примером многоконтурной САУ - является система управления авиационного двигателя. Там осуществляется регулировка нескольких величин: число оборотов двигателя, давление надува, температура смазывающей и охлаждающей жидкостей и другие [65].

Причины введения дополнительных контуров коррекции могут быть различными. Это может быть линеаризация, фильтрация шумов, преобразование сигнала в соответствии с выбранным законом управления, уменьшение инерционности, направленное на повышение быстродействия САУ и др. Местные обратные связи, охватывающие несколько параллельно соединенных элементов, также могут служить для дополнительной коррекции динамики частей системы [65].

Структура многоконтурной САУ, её характеристики и параметры отдельных звеньев определяются задачами, возлагаемыми на систему, и требованиями к качеству управления. Наиболее распространены на практике системы подчиненного управления, иначе - каскадные системы [56]. Их характерная особенность состоит в том, что каждый локальный контур является вложенным в основной контур управления. Такая структура многоконтурной системы автоматического управления является практически типовой для электромеханических САУ, так как она охватывает более 70% всех

многоконтурных систем [101]. В общем виде такая структурная схема такой системы представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Структурная схема многоконтурной САУ Представленная САУ содержит N контуров, каждый из которых в своем составе имеет два корректирующих устройства: одно находится в прямой цепи с

передаточной функцией Ж,- (р) = —- и одно корректирующее устройство

- А- (р)

С, (р)

Ж, ос (р) = —- в цепи обратной связи. Передаточная функция такой системы,

(р)

подлежащей синтезу, имеет вид:

Жзж (р) = / ^ (р), а р), А- (р), В- (р), с- (р), В- (р)1 - = 1:^. (1.1)

Из этого выражения видно, что решение задачи связано с поиском значений неизвестных коэффициентов корректирующих средств, число которых определяется числом контуров. На практике, как правило, используют не более трех контуров управления. Поэтому в дальнейшем будем ограничиться именно такими структурами, которые, во-первых, имеют не более трех контуров и, во-вторых, охватывают подавляющее большинство исполнительных систем управления [101].

1.2 Особенности синтеза многоконтурных САУ

Выделенный класс САУ является обширным, так как только из числа электромеханических систем к нему относится более 70% САУ. Это ясно подчеркивает их практическую важность и актуальность в настоящее время. Отсюда вытекает важность вопросов расчета таких систем, в первую очередь вопросы синтеза корректирующих устройств. В то же время переход от синтеза одноконтурных систем к задачам коррекции трех- или двухконтурных САУ во много раз усложняет эти задачи. Обоснованным считается, что расчет одноконтурных систем в настоящее время достаточно хорошо обеспечен методами, алгоритмами и программными средствами достижения цели [41]. Относительно создания подобных инструментов для многоконтурных систем, в том числе для распространенных двух- и трехконтурных САУ, задачи ставятся за малым исключением лишь в рамках управления конкретными объектами. Эта ситуация во многом объясняется трудностями постановки и, главное, решения таких задач [41]. Основные препятствия на этом пути: необходимость составления и решения нелинейных уравнений, отсутствие аналитических решений этих уравнений, некорректность постановок таких задач, трудности перехода от исходных уравнений синтеза к системам уравнений для привлечения численных методов их решения, а также плохая обусловленность уравнений синтеза при реализации численных методов. Несмотря на столь значительные препятствия, по сути принципиального характера, исследования в этой области ведутся, имеются интересные предложения и решения.

В целом поиск более или менее общих методов расчета многоконтурных систем ведется достаточно широко, в основном в прикладных задачах. Имеющиеся результаты, подходы и методы можно классифицировать как аналитические, графические и численные методы синтеза САУ.

Среди немногочисленных в настоящее время графических методов наиболее известны и успешно используются частотные методы [41, 61]. Более обширная группа аналитических методов: методы модального управления [41],

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Емельянова Татьяна Алексеевна, 2019 год

/ / / /

/ / / / / 1 А II

-100 -80

-60 -40 -20 О

20

40

60 80 100 отклоненне, %

Пер выЙ узел ннтерпап ирован 11 я ра ее н 6000 * Первый узел интерполирования равен 20000 Граница области сходимости

Рисунок 2.9 - Область сходимости коэффициента К

Кол-во ¡гтераинй

/ / / А 1 и о

> с

/ / / 1 \ о

/ / / / д Г {

/ / / д J

/ / / И Г- щ

/ / / ;

/ / / 1

/ / / 1 1 '

/ / / / 1 1 0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

отклонение, %

—■— Первый узел интерполирования равен 6000 • Первый узел интерполирован!¡я равен 20000 Граница области сходимости

Рисунок 2.10 - Область сходимости коэффициента К2

Из них видно, что область сходимости алгоритма снизу ограничивается для параметра К1 значением начального приближения, отличающегося от точного решения на 90%, для параметра К2 - отклонением в 80%. Эти результаты также можно считать позитивными. По крайней мере, для некоторых систем имеющиеся априорные сведения позволяют выбрать начальное приближение в таком диапазоне. Кроме того, для этих же целей можно воспользоваться вспомогательными методами синтеза, позволяющими найти приближенное решение, которое впоследствии можно использовать в качестве начального приближения. И еще один положительный результат: изменение первого узла интерполирования приводит к изменению области сходимости. Такая зависимость важна в том отношении, что она подтверждает существование механизма коррекции области сходимости, который также можно будет впоследствии задействовать в ее расширении.

Вернемся к основной задаче - рассмотрению обусловленности решаемой системы уравнений. Найдем число обусловленности системы уравнений. Так как задача является нелинейной, используем матрицу Якоби:

Я( Къ К 2) =

а ЛКК2) ~^/х(К1,К2)

йК

й Л(К1,К2) -^/2(КЪК2)

йК

йК,

где / (К1, К2) - минимизируемая функция,

Г (К1, К 2) =

Крж (81) - К (80

Кж(82) - К(82)

0,991К, • 0,688К2 - 574,123 1 1 + 0,688К

0,996К| • ■ °'358К2

2

1 + 0,358К

415,533

2

Таким образом, можно записать численное представление матрицу Якоби:

"0,574 121,0"

Я( К1, К 2) =

0,416 121,0

о

Найдено число обусловленности соиё2(А) = 1,532 • 10 . Результат подтверждает ожидания: нелинейный характер взаимосвязи искомых

коэффициентов приводит к резкому ухудшению обусловленности матрицы. Задача состояла в поиске всего лишь двух неизвестных коэффициентов. Аналогичная по размерности матрица уравнения синтеза одноконтурной САУ имеет на три порядка меньшее число. Для примера сопоставим этот результат с задачей вычисления двух коэффициентов в п. 2.4.1. Там получены числа обусловленности в разных метриках. Все их значения менее 14, что во много раз менее оценки соиё2(А) = 1,532 • 10 , полученной для рассмотренной в настоящем п. задачи. Для оценки влияния количества настраиваемых параметров на обусловленность задачи были найдены числа обусловленности для различного числа неизвестных параметров - от двух до шести. Результаты вычислений приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Количество неизвестных параметров, к 2 3 4 5 6

Число

обусловленности, 1,5-103 6,5106 1,2108 9,0108 4,2 109

еопё 2( А(к ))

Полученные данные позволяют сделать вывод, что при увеличении количества неизвестных коэффициентов обусловленность задачи резко ухудшается. Полученный результат свидетельствует о плохой обусловленности матрицы уравнения синтеза рассмотренной системы. Но такой результат может быть не только следствием нелинейной связи коэффициентов. Есть еще один фактор, который влияет на результат - это индивидуальные особенности САУ. Поэтому делать более или менее обоснованные выводы можно, рассмотрев несколько различных вариантов САУ.

В рамках этого исследования рассмотрим робастность системы по перерегулированию и по времени установления переходного процесса. Будем изменять параметры объекта управления, фиксировать изменение отклика замкнутой САУ. Результаты представлены в таблицах 2.4, 2.5.

Таблица 2.4

Изменение параметра объекта управления, % Значение параметра объекта управления Перерегулирование, о, % Время переходного процесса, гу, с

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

[phone] 0,0205

+50 6750 0 0,0205

+30 5850 0 0,0206

+20 5400 0 0,0206

+15 5175 0 0,0206

+10 4950 0 0,0206

+9 4905 0 0,0206

+8 4680 0 0,0206

Изменение параметра объекта управления, % Значение параметра объекта управления Перерегулирование, о, % Время переходного процесса, гу, с

+7 4815 0 0,0206

+6 4770 0 0,0206

+5 4725 0 0,0206

+4 4680 0 0,0206

+3 4635 0 0,0206

+2 4590 0 0,0206

+1 4545 0 0,0206

0 4500 0 0,0206

-1 4455 0 0,0206

-2 4410 0 0,0206

-3 4365 0 0,0206

-4 43200 0 0,0206

-5 4275 0 0,0206

-6 4230 0 0,0206

-7 4185 0 0,0206

-8 4140 0 0,0206

-9 4095 0 0,0206

-10 4050 0 0,0206

-15 3825 0 0,0206

-20 3600 0 0,0206

-30 3150 0 0,0206

-50 2250 0 0,0207

-60 1800 0 0,0208

-70 1350 0 0,0209

-72 1260 0 0,0209

-73 1215 0 0,0209

-74 1170 0,208 0,0209

-75 1125 0,52 0,0210

-76 1080 0,862 0,0210

-77 1056 1,06 0,0210

-78 1035 1,24 0,0210

-79 945 2,1 0,0210

-80 900 2,59 0,0211

-81 855 2,77 0,0211

-82 810 3,74 0,0211

-83 765 4,41 0,0211

-84 720 5,14 0,0212

-85 675 5,95 0,0212

-86 630 6,85 0,0212

-87 585 7,86 0,0212

-88 540 8,98 0,0213

-89 495 10,2 0,0212

-90 450 11,7 0,0211

-91 405 13,3 0,0208

-92 360 15,2 0,0203

-93 315 17,4 0,0199

-94 270 20,1 0,02

Изменение параметра объекта управления, % Значение параметра объекта управления Перерегулирование, о, % Время переходного процесса, ty, с

-95 225 23,3 0,0206

-96 180 27,4 0,022

-97 135 32,9 0,0398

-98 90 40,9 0,0502

-99 45 54,5 0,127

-100 0 - -

Таблица 2.5

Изменение параметра объекта управления, % Значение параметра объекта управления Перерегулирование, о, % Время переходного процесса, ty, с

[phone] 0,0175

+500 360 0 0,0192

+200 180 0 0,0201

+100 120 0 0,0203

+80 108 0 0,0204

+50 90 0 0,0205

+30 78 0 0,0205

+20 72 0 0,0205

+15 69 0 0,0206

+10 66 0 0,0206

+9 65,4 0 0,0206

+8 64,8 0 0,0206

+7 64,2 0 0,0206

+6 63,6 0 0,0206

+5 63 0 0,0206

+4 62,4 0 0,0206

+3 61,8 0 0,0206

+2 61,2 0 0,0206

+1 60,6 0 0,0206

0 60 0 0,0206

-1 59,4 0 0,0206

-2 58,8 0 0,0206

-3 58,2 0 0,0206

-4 57,6 0 0,0206

-5 57,0 0 0,0206

-6 56,4 0 0,0206

-7 55,8 0 0,0206

-8 55,2 0 0,0206

-9 54,6 0 0,0206

-10 54,0 0 0,0206

-15 51,0 0 0,0206

-20 48,0 0 0,0206

-30 42,0 0 0,0207

-50 30,0 0 0,0207

-60 24,0 0 0,0207

-70 18,0 0 0,0208

Изменение параметра объекта управления, % Значение параметра объекта управления Перерегулирование, о, % Время переходного процесса, гу, с

-80 12.0 0 0,0208

-90 6,0 0 0,0208

-100 0 - -

Графическое отображение робастности по перерегулированию и времени переходного процесса представлено на рисунках 2.11, 2.12.

а) при изменении параметра в б) при изменении параметра в

числителе передаточной функции знаменателе передаточной функции

объекта управления объекта управления

Рисунок 2.11 - Робастность по перерегулированию Из рисунка 2.11 видно, что при изменении значения параметра в знаменателе передаточной функции объекта управления система робастна по перерегулированию при любых значениях изменяемого параметра (рисунок 2.11, б). При изменении параметра в числителе передаточной функции объекта управления (рисунок 2.11, а) робастность системы сохраняется при изменении параметра в области (-70%;+да).

• -0Д4

ид

1

» и,ДО

1-1-1-1-1-1-в—

-0,03

-1-1-1-:-:-I-ОД321

1-1-1-1-1-0,02 1

-120

-100

-ао

-60

-40

-20

20

-100

-30

-60

-40

-20

20

а) при изменении параметра в б) при изменении параметра в

числителе передаточной функции знаменателе передаточной функции

объекта управления объекта управления

Рисунок 2.12 - Робастность по времени установления переходного процесса Из рисунка 2.12 видно, что при изменении значения параметра в знаменателе передаточной функции объекта управления система робастна по времени установления переходного процесса при любых значениях изменяемого параметра (рисунок 2.12, б). При изменении параметра в числителе передаточной функции объекта управления (рисунок 2.12, а) робастность системы сохраняется при изменении параметра в области (-90%; +го).

Таким образом, можно сделать вывод, что ВИМ позволяет синтезировать робастную многоконтурную САУ.

2.5.2 Система управления следящим приводом

Для получения более обоснованных выводов обратимся к еще одному тестовому примеру. Рассмотрим систему управления следящим приводом, описанную в [9], операторно-структурная схема которой представлена на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 - Операторно-структурная схема следящего привода На рисунке 2.13 использованы следующие обозначения:

1

K Д •

K

G(р) - передаточная функция объекта управления g(р) =-

Р ■ (тэтм Р + Тм р +1)

Кд - коэффициент усиления электропривода, Кд =3,7; Кр - коэффициент усиления редуктора, Кр =180;

Тэ - электрическая постоянная времени электродвигателя, Тэ=8,3 10-3; ТМ - магнитная постоянная времени электродвигателя, ТМ =2,2' 10-2. К1, К2 - коэффициенты усиления регуляторов; Ж1( р), Щ2( р) - передаточные функции регуляторов.

Передаточные функции регуляторов: Щ (р) = ^2Р +1; Щ2( р) = хр +1.

Т1Р +1

На основании этих данных получены желаемые передаточные функции замкнутой системы, затем разомкнутой:

1008 0,05р +1

С* (Р)

Р (0,733p +1)(5,07 • 10"3 p +1)(1,43 • 10-3 p +1)

Найдена передаточная функция разомкнутой синтезируемой системы

G( Р)

Wрc( p) = к w Р) •

(2.18)

1 + K2 • W2(p)• G(p)• Kp • p Для составления развернутой формы уравнения синтеза представим передаточные функции, входящие в соотношение (2.17), в явном виде:

G(p) = -4^, A(p) = Кд B(p) = T3TMp2 + TMp +1.

p • B( p)

K

Подставим эти выражения в соотношение (2.17) и получим:

A( p)

W,c( p)=il.Z2P±1--P-BÎP^-= k. TP±1 x

р 1 Ti P ±1 i ± K2 ■ (xP ± i)• Kp • P 1 T P ±1

„_Ap)_ 1 _K1-(T2 p ± 1). A( p)_ 1

x-■ — =-■ —.

B(p)±K2-(xp± 1).A(p)-Kp p (T1 p± 1)■ (B(p)±Kr(xp± 1).A(p)-Kp) p

Теперь можем сформировать уравнение синтеза системы рассматриваемой

САУ вида шрЖ ( p) = Wc( p):

Жж( ^_KV(T2p± 1).A(p)_ 1

р (p) (Txp ± 1). ( B( p) ± K2.(xp ± 1). A(p). Kp ) p '

Для решения численным методом этого нелинейного относительно искомых коэффициентов уравнения перейдем к вещественным функциям:

W«(5) ^-Kr(T25±1). A(5)--1 (2.18.1)

р (T15± 1).(B(5)±K2.(X5± 1).A(5).Kp) 5

Имеем пять неизвестных параметров K1, K2, Т1, Т2, х, следовательно, необходимо найти пять узлов интерполирования 51, 52, 53, 54, 55 и сформировать пять численных характеристик. Используя элементы характеристик, составим систему из пяти уравнений

Ж?(5,) =-К•(725,- + !)• Д5,-)--1, = 5, >о. (2.18.2)

р ) (715,- +1)^(5(5,-) + *2-№ +1>Д5,-)• Кр) 5,- - 4 '

Чтобы найти коэффициенты регуляторов, необходимо решить эту систему уравнений с пятью неизвестными. Для упрощения задачи параметр К1 определяем из статического режима. Еще одно упрощение обеспечим за счет сокращения интегрирующего звена, которое имеется в левой и правой частях уравнения. Для этого представим передаточную функцию желаемой системы как

Жрж (р) ^ Жрж*(р)

р

Для определения коэффициента передачи К1, который планировали найти из уравнения статики, найдем это уравнение из (2.18.1):

ЩрЖ (0):

93

К ■ (Т2 ■ 0 +1) ■ А(0)

(Т1 ■ 0 +1)■ (В(0) + К2 ■ (!■ 0 +1)■ А(0)■ КР) Решение: К1 = 1,23 ■ 106.

Теперь число неизвестных коэффициентов сократилось до четырех, что очень существенно для систем нелинейных уравнений. Поэтому в системе (2.18.2) необходимо ограничиться четырьмя уравнениями. Какое уравнение не учитывать - вопрос неоднозначный. Этот вопрос решается индивидуально, как и в данной задаче. В результате получили итоговую систему уравнений:

К1 ■ (ТА +1) ■ А(5,)

Щрж (5,):

I = 1,4, 5 >0.

(ВД- +1) ■ (В(5,) + К2 ■ (т5, +1) ■ А(5,) ■ Кр) Выбор узлов интерполирования осуществляем из условия допустимой точности вычисления. Для получения точности вычислений свыше 10-3 узлы интерполирования должны лежать правее значения 5719. В связи с этим принимаем значение первого узла интерполирования 51 = 6000.

Решаем систему нелинейных уравнений, вновь привлекая метод Ньютона. Проверим возможности этого пути, имея в виду трудности сходимости алгоритма и возникающие в связи с этим ограничения.

В [9] представлено точное решение задачи. Используем эти сведения для проверки сходимости алгоритма. С этой целью примем в качестве начального приближения величины, отличающиеся от известных коэффициентов регуляторов на сравнительно небольшие отклонения. Для стартового шага эти отклонения примем на уровне +1% от точного значения, таким образом:

Хт —

Для оценки сходимости алгоритма рассмотрим модуль наибольшего элемента матрицы невязок ешах = шах(|еТ2|,|еК2|,|еТ1|,\е%|), где еТ2 = Т() - Т( -1);

" 0,05 " " 0,0005 " " 0,0505 "

6,53 0,733 , А = 0,0653 0,00733 , Х 0 = 6,5953 0,74

5,86 ■ 10-3 5,86 ■ 10 - 5 5,919 ■ 10-3

еК2 = К() - К£-1); еТ1 = Т1(,-) - Т(-1); ет = ) - -1). Результаты экспериментов приведены в таблице 2.6.

Таблица 2.6

№ итерации, 1 Значение параметра 1 2 Значение параметра К ) К 2 Значение параметра 11 Значение параметра Т(-) Значение наибольшей погрешности emax

1 0,051 6,595 0,74 5,91910-3 0,11

2 0,053 6,485 0,768 5,9^10-3 0,051

3 0,05 6,536 0,728 5,859 10-3 1,74^0-3

4 0,05 6,537 0,73 5,859 10-3 2,58Ы0-4

Для рассматриваемой ситуации результат положительный - алгоритм сходится.

Определим область сходимости алгоритма. Для этого увеличим отклонение всех неизвестных параметров от точного значения, принимая последовательно отклонения Д=1%, 5%, 10%, 20% и 50%. Для каждого случая исследованы результаты изменения значения модуля наибольшего элемента матрицы невязок в ходе выполнения алгоритма (таблица 2.7).

Таблица 2.7

Д, % Номер итерации, 1 г(0 1 2 К ) К 2 Г(0 11 (-) г() emax

+3 1 0,052 6,726 0,755 6,036-10-3 0,698

2 0,076 6,028 1,105 6,257^10-3 0,602

3 0,034 6,547 0,503 5,817^10-3 0,16

4 0,045 6,526 0,663 5,868^10-3 0,061

5 0,05 6,537 0,724 5,859^10-3 5,701-10"3

-3 1 0,0485 6,334 0,711 5,684^10-3 0,367

2 0,074 6,048 1,078 6,231"10-3 0,543

3 0,037 6,546 0,535 5,822^10-3 0,146

4 0,047 6,529 0,681 5,864^10-3 0,045

5 0,05 6,537 0,726 5,859^10-3 3,724^10-3

6 0,05 6,537 0,73 5,859^10-3 2,581-10^

+4 1 0,052 6,791 0,762 6,094^10-3 1,239

А, % Номер итерации, / г(0 1 2 к ) к 2 Г(0 11 г(г) ешах

2 0,095 5,552 1,416 6,609^10-3 1,536

3 -6,079^10-3 6,579 -0,12 5,695^10-3 0,216

4 -0,015 6,363 -0,251 5,992^10-3 0,318

5 -0,036 6,412 -0,569 5,946^10-3 0,972

6 -0,1 6,488 -1,541 5,892^10-3 4,68

7 -0,409 6,518 -6,221 5,872^10-3 58,294

8 -4,259 6,527 -64,515 5,866 10-3 5,688 -103

9 -379,932 6,529 -5,753а03 5,865^10-3 алгоритм расходится

-4 1 0,048 6,269 7,037 5,626^10-3 14,051

2 0,578 -1,351 21,088 0,016 1,173^106

3 -3,214^04 -1,634^103 -1,173106 -22,844 алгоритм расходится

Из таблицы 2.7 видно, что при отклонении начального приближения от точного значения на 3% алгоритм сходится, но это предел.

Пока получены общие сведения о сходимости алгоритма. Исследуем область сходимости алгоритма для каждого параметра. Для этого задаем начальное приближение равным точному значению для трёх параметров, а для четвертого - отличным от точного значения. Начальное приближение выбираем аналогичным предыдущим экспериментам способом. Область сходимости параметра К1 не рассматриваем, т.к. он однозначно определяется из условия статики. Результаты исследования представлены в таблицах 2.8-2.11.

Таблица 2.8

Значение отклонения А, % Значение параметра Т (0) 1 2 51=6000 51=20000

Количество итераций, г Вывод Количество итераций, г Вывод

+200 0,10 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

Значение отклонения Д, % Значение параметра Т (0) 1 2 51=6000 51=20000

Количество итераций, - Вывод Количество итераций, - Вывод

+100 0,10 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

+50 0,075 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

+10 0,055 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

0 0,05 - Точное значение - Точное значение

-10 0,045 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

-50 0,025 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

-80 0,01 4 Алгоритм сходится 4 Алгоритм сходится

-90 0,005 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

Таблица 2.9

Значение отклонения Д, % Значение параметра К (°) К 2 51=6000 51=20000

Количество итераций, - Вывод Количество итераций, - Вывод

+10 7,183 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

+9 7,12 7 Алгоритм сходится - Алгоритм расходится

+8 7,05 6 Алгоритм сходится 8 Алгоритм сходится

+5 6,857 4 Алгоритм сходится 5 Алгоритм сходится

+3 6,66 4 Алгоритм 4 Алгоритм

Значение отклонения А, % Значение параметра К (°) к 2 51=6000 51=20000

Количество итераций, г Вывод Количество итераций, г Вывод

сходится сходится

+1 6,595 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

0 6,53 - Точное значение - Точное значение

-1 6,465 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

-3 6,334 4 Алгоритм сходится 4 Алгоритм сходится

-5 6,204 5 Алгоритм сходится 5 Алгоритм сходится

-7 6,073 6 Алгоритм сходится 7 Алгоритм сходится

-8 6,008 8 Алгоритм сходится - Алгоритм расходится

-9 5,942 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

Таблица 2.10

Значение отклонения А, % Значение параметра Т (0) 11 51=6000 51=20000

Количество итераций, г Вывод Количество итераций, г Вывод

+100 1,466 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

+90 1,3927 6 Алгоритм сходится 6 Алгоритм сходится

+50 1,0995 5 Алгоритм сходится 5 Алгоритм сходится

+10 0,8063 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

Значение отклонения Д, % Значение параметра т (0) 11 51=6000 51=20000

Количество итераций, - Вывод Количество итераций, - Вывод

0 0,733 - Точное значение - Точное значение

-10 0,6597 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

-50 0,3665 5 Алгоритм сходится 5 Алгоритм сходится

-90 0,0733 6 Алгоритм сходится 6 Алгоритм сходится

-100 0 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

Таблица 2.11

Значение отклонения Д, % Значение параметра !(0) 51=6000 51=20000

Количество итераций, - Вывод Количество итераций, - Вывод

+8 6,3288-10-3 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

+7 6,2702-10-3 8 Алгоритм сходится - Алгоритм расходится

+6 6,2116^10-3 6 Алгоритм сходится 8 Алгоритм сходится

+5 6,153 10-3 5 Алгоритм сходится 6 Алгоритм сходится

+3 6,0358^10-3 4 Алгоритм сходится 4 Алгоритм сходится

+1 5,918610-3 3 Алгоритм сходится 3 Алгоритм сходится

0 5,86^10-3 - Точное значение - Точное значение

-1 5,8014^10-3 3 Алгоритм 3 Алгоритм

Значение отклонения А, % Значение параметра т(0) 51=6000 51=20000

Количество итераций, г Вывод Количество итераций, г Вывод

сходится сходится

-3 5,6842-10-3 4 Алгоритм сходится 5 Алгоритм сходится

-5 5,567-10-3 5 Алгоритм сходится 6 Алгоритм сходится

-6 5,5084^0-3 6 Алгоритм сходится 7 Алгоритм сходится

-7 5,4498^0-3 7 Алгоритм сходится - Алгоритм расходится

-8 5,3912^10-3 - Алгоритм расходится - Алгоритм расходится

Из таблиц 2.8-2.11 видно, что наибольшее влияние на сходимость алгоритма имеют параметры т, К2. Это обусловлено их местоположением в структуре системы управления. При этом параметры регулятора в основной прямой цепи имеют меньшее влияние на сходимость алгоритма. Поэтому в дальнейшем исследовании особое внимание уделим только наиболее значимым для сходимости параметрам т, К2 .

Рассмотрим обусловленность задачи. Так как задача является нелинейной, используем матрицу Якоби:

Я(Т2,к2,Т, т) =

-^МТ2,К2,Т1, т) /1 (Т2,К2,Т1, т) /1 (Т2,К2,Тьт) _/1(Т2,К2,Т1,т)

ЙТ 2 аК2 аТ1 ат

^ /2 (Т 2, К2Т1, т) /2 (Т 2, К 2,Т1, т) -^/2(Т2, к 2,Т1, т) ^/2(Т К2, Т1, т)

ЙТ.

акг,

ЙТЛ

2 2 1 ат

-^/3(Т2, К 2,Т1, т) /3 (Т 2, К 2, Т1, т) /3 (Т 2, К 2, Ть т) -^/3^2, К2, Тъ т)

ЙТ 2 аК 2 аТ1 ат

а /4(Т2,К2Т1, т) ""~ /4(Т2,К2,Т1, т) -^/4(Т2,к2,Т1, т) Т2,К2,Тьт)

ЙТ.

йКг,

где

/ (Т 2, К 2,Т1, т)

ЙТ1

минимизируемая

ат

функция,

/ (Т 2, К 2 ,Т|, т) =

Жрж (5!) - Жрс (5!)

^ (5 2) - ^рс (5 2) ^рж (5э) - ^рс (5э)