Параметрические возмущения и проблема управления хаотическими динамическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Рыбалко, Сергей Дмитриевич

• Рыбалко, Сергей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыбалко, Сергей Дмитриевич

Содержание

1 Введение

2 Элементы теории хаотических динамических систем

2.1 Развитие хаоса в сосредоточенных системах

2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода

2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость

2.1.3 Переход к хаосу через разрушение инвариантного тора

2.1.4 Основные характеристики хаотического поведения

2.2 Методы стабилизации хаотической динамики

2.3 Элементы теории распределенных динамических систем

3 Динамика 7£-мерных отображений с мультипликативным и аддитив-

ным возмущением

14,231

40

3.1 Общая теория

3.2 Семейство квадратичных отображений

3.3 Семейство кусочно-линейных отображений

3.4 Двумерные отображения

3.4.1 Отображение Белых

3.4.2 Диффузионно связанные отображения 231]

4 Динамика распределённых систем в приближении дискретизации по

пространству [233] 74 4.1 Поведение сцепленных кусочно-линейных отображений при различных

видах неоднородностей

4.1.1 Однородная цепочка

4.1.2 Пространственно неоднородные цепочки

4.2 Глобальная синхронизация в цепочке параметрически связанных квадратичных отображений

5 Стабилизация неустойчивого поведения динамических систем и проблема обработки информации ¡123,232]

5.1 Методы записи, распознавания и передачи информации посредством динамических систем

5.1.1 Кодирование посредством нехаотических динамических систем

5.1.2 Кодирование посредством динамических систем с хаотическим поведением

5.1.3 Кодирование на основе синхронизации хаотических систем

5.2 Кодирование и передача информации при помощи стабилизированных

циклов возмущенных отображений

5.2.1 Численные исследования метода кодирования

Заключение

6 Литература

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрические возмущения и проблема управления хаотическими динамическими системами»

Введение

На данном этапе развития науки стало очевидно, что нелинейные явления и связанные с ними понятия хаотического поведения — скорее правило, чем исключение. После решения многих проблем при помощи теории возмущений, в начале XX века появилось огромное количество нелинейных задач, решение которых наталкивалось на непреодолимые трудности. Если прежде эти задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (задача трёх тел, описание волн на поверхности жидкости и т.п.), то в 10-30-е годы нелинейные задачи превратились в первоочередные в таких областях как акустика, физика твёрдого тела, статистическая физика и др. Принципиально нелинейные задачи возникли в зарождающейся радиотехнике (детектирование и генерация колебаний), а также в других прикладных отраслях.

Исследования последних лет показали (отчасти благодаря исследованиям нелинейных систем с применением компьютеров), что чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение; напротив, это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. п. С точки зрения систематики почти во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экологических моделях) можно обнаружить хаос. Следовательно, на достаточно больших временах их поведение непредсказуемо. Другими словами, обнаружилось, что явление хаотичности в той или иной системе не связано с действием каких-либо априори случайных сил, а кроется в свойстве приобретать при определённых значениях параметров экспоненциально сильную не-у стойчивость траек торий.

Открытие всё большего числа нелинейных систем со сложным непредсказуемым поведением стимулировало развитие новых разделов математики. К ним относится качественная теория дифференциальных уравнений, эргодическая теория, раздел топологии, посвященный размерности самоподобных множеств или фракталов и др. Ещё в конце прошлого века А. Пуанкаре показал, что в некоторых механических гамильтоновых системах, в окрестности неустойчивых неподвижных точек может появляться хаотическое движение. Впоследствии Д. Биркгоф обнаружил, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. В классических работах А. Н. Колмогорова и Я. Г.

Синая

17 - 19

был разработан статистический подход к исследованию динамических систем с сильной зависимостью от начальных условий. Ими была введена энтропия динамической системы (впоследствии названная КС-энтропией) как мера её стохастичнос.ти. Наряду с этим развивалась теория отображений,т.е. дискретных динамических систем с малым числом степеней свободы 142 . Было показано, что одномерное отображение интервала числовой оси может обладать хаотическим поведением [101 —103 . Многие процессы в физике, химии, биологии и социальных науках обладают существенно неустранимой дискретностью. Поэтому данные явления достаточно хорошо описываются одномерными или двумерными отображениями. Это привело к созданию глубокой математической теории таких отображений.

Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показали, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять салхые разнообразные нелинейные системы. Наряду с этим остро встала проблема предсказуемости поведения таких систем. Предсказание поведения сложных нелинейных процессов, как нетрудно понять, тесно связана с проблемой управления их динамикой. Исследования в этом направлении показали, что многие хаотические системы поддаются управлению под действием малых внешних возмущений. Управление хаотической системой понимается как возможность вывода её на такой режим поведения, когда динамика является предсказуемой, т. е. регулярной. Позже стало ясно, что посредством слабых возмущений можно найти неожиданные подходы к решению давно известных проблем, таких

как инженерия динамических систем, дефибрилляция , обработка информации и т. п. (см. Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию дви-

жения систем с внешними воздействиями (см. , например, 50 — 79] и цитированную литературу в |б1—02 ). Однако построить общую теорию регулирования хаотических систем пока не удаётся. Тем не менее, для достаточно общих семейств динамических систем эта задача вполне разрешима (см. 50,65 — 66, 68, 72 — 73, 75, 78 — 79,224 ).

В настоящее время существуют два качественно различных подхода к управлению поведением динамических систем. Первый основан на учете текущего положения системы, т. е. на использовании обратной связи. Введение обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к требуемому результату: выбранная заранее неустойчивая траектория, будь то неподвижная точка или предельный цикл, стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Однако этот метод эффективен, если система находится вблизи выбранной траектории; в противном случае либо система выйдет на другой режим движения, либо требуемое возмущение будет существенно большим, что крайне нежелательно для большинства реальных систем.

Второй подход к управлению поведением динамических систем (которому, в частности, посвящена данная работа) не требует знания текущего положения хаотической системы. Стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. Поэтому данный метод без обратной связи менее подвержен влиянию шумов, что существенно упрощает его использование в приложениях [83]. Для данного метода существенным является разработка такого параметрического воздействия на исходную систему, чтобы оно приводило к стабилизации нужного предельного цикла. Эта проблема частично решена в диссертационной работе для семейств одномерных и двумерных отображений (см. Гл. 3).

Как уже говорилось, способность нелинейных систем проявлять сложное хаотическое поведение является всеобщей. Наряду с нелинейными системами с малым числом степеней свободы подобное поведение было обнаружено для многих распределенных систем в физике, химии, биологии, медицине и др. науках. Распределенные нелинейные системы, динамика которых описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, проявляют гораздо большее разнообразие в поведении. При ашшизо этих систем были обнаружены такие явления, как син-

хронизация, образование сложных пространственных структур, рождение солитонов, пространственно-временной хаос и др. Рассмотрение пространственно распределенных систем со строгой точки зрения зачастую не представляется возможным. Поэтому приходится прибегать к упрощающим методам. Одним из эффективных методов исследования подобных систем является дискретизация по пространству и времени. В этом случае говорят об анализе "сеточной" или "решеточной" модели. Отметим, что к таким моделям непосредственно приводят ряд задач турбулентности, теории синхронизации радиосистем, биологии, медицины, а также изучение поведения клеточных автоматов и нейронных сетей — б|. Более того, всякий численный эксперимент в данной области подразумевает подобную дискретизацию как по пространству, так и по времени. Для многих практически важных х>аспределенных систем актуальной является проблема синхронизации или регулярной динамики. Явление синхронизации чрезвычайно распространено в природе и технике. Обычно под синхронизацией понимают приобретение объектами различной природы единого ритма работы. По-видимому, стремление к достижению упорядоченности и согласованности в поведении систем, характерное для синхронизации, в той или иной степени отражает существующую в природе общую тенденцию к самоорганизгщии |б]. В ГЛАВЕ 4 данной работы будет рассмотрена эта проблема для цепочки (т. е. одномерной "сети") параметрически и диффузионно сцепленных одномерных отображений, а также построены области регулярности и хаотического поведения в пространстве параметров этих систем. Отметим, что новым в этом исследовании является то, что цепочка диффузионно сцепленных отображений неоднородна, причем рассмотрены различные типы неоднородности. Данная постановка задачи физически оправдана, т. к. однородность по пространству является идеализацией. Более того, проблема устойчивости систем синхронизации к появлению различных пространственных дефектов сама но себе актуальна.

ГЛАВА 5 диссертационной работы посвященна приложениям теории подавления хаоса, развитой в ГЛАВЕ 3, к теории информации. В этой главе предложен новый способ кодирования, скрытой передачи и расшифровки информации посредством стабилизации неустойчивых циклов одномерных отображений.

Целями диссертационной работы являются:

1. Развитие методов управления динамическими системами, проявляющими хаотическое поведение;, при помощи слабых внешних возмущений;

2. Доказательство возможности вывода семейств /..-мерных отображений с хаотической динамикой на регулярный режим поведения при помощи периодических параметрических возмущений;

3. Разработка методов качественного анализа неоднородных распределенных динамических систем, моделируемых решетками связанных отображеений;

4. Построение оригинального метода кодирования, скрытой передачи и расшифровки информации при помощи стабилизации неустойчивых орбит отображений.

Разработанная теория анализа возмущенных динамических систем, описываемых отображениями с малым числом степеней свободы, позволяет эфективпо управлять поведением таких систем. Более того, на основе методов, развитых в данной работе, можно конструировать параметрические возмущения отображений приводящие к заданному режиму регулярного поведения (устойчивому циклу).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Рыбалко, Сергей Дмитриевич

Результаты работы кодирующей программы представлены на рис. 5.5 и рис. 5.0. На рис. 5.5 изображены четыре различных варианта кодирующих последовательностей параметров для слова "СНАОБ". На рис. 5.0 графически представлена последовательность параметров, кодирующая строку из десяти одинаковых символов "сесссссссс".

Таким образом, предложенный метод может быть успешно реализован на компьютере посредством простого набора текста с клавиатуры.

Данный метод отчасти напоминает давно известный способ шифровки информа

2,82,62,4 2,2 *п 2,0 1,8 1,6 1,4

2,6

2.4

2,2 а 2,о-| п

20

40 60 П

80 100

1,8 1,6 1,4

20 40 60 80 100

2,6

2,4

2,2 а 2,о п

1.8

1,6 1,4

20 40 60 П

80 100

2,8-, 2,62,42,22,0 1,8-| 1,6 1,4

0 20 40 60 80 100 п

Рис. 5.5: Варианты представления одного и того же слова "СНАОБ" в виде числовой последовательности при кодировании возмущениями квадратичного отображения. ции, когда ключом является заранее заданный текст. Передавая номер страницы, строки и символа, можно побуквенно производить кодирование. Однако, в отличие от него, использование отображений с сильными хаотическими свойствами делает процесс зашифровки много более надежным. Это обусловлено тем фактом, что в случае единственной неточности в определении переданного сигнала сообщение не может быть расшифровано. Кроме того, шифрование при помощи заранее заданного текста всегда будет ограничено его объемом, что в конечном счете позволит раскодировать информацию. В то же время, применение хаотических отображений теоретически дает возможность неограниченного выбора параметров.

Используя для конкретной реализации описанного метода какое-либо семейство унимодальных отображений, можно разработать эффективный сценарий поиска возмущений, приводящих к стабилизации цикла, проходящего через заданные точки.

2,6 2,4 2,2 п

1,8 1,6 1,4 О

50

100

150

200 п

Рис. 5.G: Результат кодирования посредством квадратичного отображения последовательности из десяти символов " сссссссссс".

В этом случае легко автоматизировать процесс кодирования, передачи и раскодирования информации, что является существенным преимуществом данного метода. В данной работе этот процесс реализован на компьютере типа IBM PC на примере семейства квадратичных отображений.

Основные достоинства предлагаемого способа передачи полезной информации состоят в следующем.

1) Для его реализации возможно использовать достаточно широкий класс отображений (в том числе и многомерных).

2) В процессе трансляции сама информационная последовательность не передается, посылается лишь сигнал, необходимый для дальнейшей обработки информации.

3) Передаваемый сигнал носит чисто случайный характер, чем достигается высокая степень секретности.

4) Раскодирование происходит без предварительной синхронизации приемника и передатчика.

5) Метод устойчив к наличию внешних шумов.

6) Входной информации не ставится в соответствие единственная передаваемая последовательность; теоретически вариантов кодирования бесконечно много. Таким образом, пункты 2, 3 и 4 обеспечивают высокую степень секретности передаваемого сообщения, а пункты 1, 5 и G - широкие возможности применения данного метода. Более того, поскольку каждому символу в передаваемой информационной последовательности ставится в соответствие целая область в пространстве параметров, появляется возможность использования этого метода в построении систем обработки информации, защищенных от помех. Однако развитие данного приложения требует тщательного изучения формы этих областей.

Заключение

Данная диссертационная работа была посвящена исследованию динамических систем с малым числом степеней свободы при периодическом параметрическом возмущении, а также однородным и неоднородным решеткам сцепленных одномерных отображений. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Развита оригинальная техника, позволяющая в принципе найти аналитический подход к проблеме подавления хаоса и управлению поведением сложных динамических систем при помощи внешних возмущений. Показано, что хаос в семействах квадратичных и кусочно-линейных отображений, двумерных отображений типа отображения Белых, а также двумерных квадратичных отображений может быть подавлен путем мультипликативных периодических возмущений. Более того, доказано, что для семейств унимодальных отображений при определенных свойствах (см. раздел 3.1) можно стабилизировать наперед заданный цикл.

2. Проведено качественное исследование динамики пространственных неоднородных цепочек диффузионно сцепленных одномерных отображений. На основе локализации собственных значений дифференциала отображений аналитически, построена нижняя оценка области в пространстве параметров, в которой пространственно неоднородный ансамбль проявляет регулярную динамику. Для цепочек в периодической пространственной неоднородностью на основе точного вычисления спектра показателей Ляпунова в прстранстве параметров построены области регулярной и хаотической динамики.

3. На строгом уровне показано, что цепочка, составленная из параметрических взаимодействующих одномерных квадратичных отображений, способных проявлять как регулярную, так и хаотическую динамику, самопроизвольно синхронизуется.

4. Разработан новый эффективный способ скрытой передачи полезной информации посредством стабилизации предписанных циклов одномерных отображений.

Основными достоинствами данного способа являются: возможность использования широкого класса отображений; случайный характер передаваемого сигнала, в котором никаким образом не содержится сама информационная последовательность; устойчивость метода к наличию внешних шумов; неоднозначное соответствие между входной информацией и передаваемой последовательностью.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построена качественная и количественная теория периодических параметрических возмущений хаотических отображений с малым числом степеней свободы.

2. Найден метод вывода системы на стационарный режим при помощи параметрических возмущений семейств одномерных и двумерных отображений с хаотическим поведением.

3. Качественно исследована динамика цепочек связанных отображений с различными типами неоднородностей при помомщи анализа спектра характеристических показателей Ляпунова.

4. Построена схема кодирования информационных последовательностей посредством стабилизации заданных циклов семейств хаотических отображений.

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям А.Ю. Лос-кутову и Ю.М.Лоскутову за формулировку темы диссертационной работы, постановку задач и живое участие в обсуждении результатов исследования. Я глубоко признателен Д.Н.Удину, К.А.Васильеву и Ю.В.Мищенко за тесное научное сотрудничество при решении ряда конкретных задач. Особую признательность хочется выразить А.Н.Прохорову за техническую поддержку при проведении ряда численных экспериментов. Мне также хочется поблагодарить Е.В.Налимову за неоценимую помощь в подготовке текста данной работы и его верстке в ситеме ГА-Т^Х.

Глава 6

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыбалко, Сергей Дмитриевич, 1998 год

Литература

1.А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры,- D кн. "Физика XX века: развитие и перспективы." М.:11аука, 1984. с. 219-280.

2.Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. Под ред. А.В.Гапонова-Грехова, М.И.Рабиновича.- М.: Наука, 1987.

.3. У.С.Линдссй, Ф.Гхазвинян, В.К.Хагман, Х.Дссхуки. Синхронизация сотой.- ТИИЭР, 1985. Т.73, NolO. c.G-31.

4. В.В.Шагильдян, А.А.Ляховкин. Системы фазовой автоподстройкм частоты.- М.: Связь, 1972.

5. В.Линдссй. Системы синхронизации в связи и управлении. Пор. с англ. под ред. Ю.Н.Бакаева, М.В.Капранова.- М.: Сов. радио, 1978.

С. И.И.Блехман. Синхронизация в природе и техникеМ.: Наука, 1981.

7. R.H.Holleman. Nonlinear dinamics- N.Y.: Am. N. Y. Acad. Sci., 1980, v.357

8. S.M.Ulam, J. von Neumann. On combination of stochastic and deterministic processes.-Dull. Amer. Math. Soc., 1947, v.53, p.1120.

9. Л.А.Бунимович. Об одном преобразовании окружности.- Матем. заметки, 1970, т.8, с.205-210.

10. D.Ruelle. Applications conservant une mesure absolutement continue par rapport a dx sur [0,1]-Comm. Math. Phys. 1977, v.55, p.47-51.

11. J.Guckenheimer. One-dimensional Mappings and Strange Attractors. ~ Contemp. Math.

1987, v.58, part III, p. 143-100.

12. M.Rychlik. A proof of Jakobson's theorem.- Eryodic Theory and Dynamical Systems.

1988, v.8, p.93-109.

13. А.Блох, М.Любич. Эргодическис свойства отображений интервала.- Функцион. анализ и его прил. 1989, т.23, вып.1, с.59-00.

14. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-diincnsional maps - Preprint ICTP 1С/9J,/347, Trieste, Italy, 1994.

15. A.N.Derjugin, A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Inducing stable periodic dynamics by parametric perturbations.- Fractals, Solitons, and Chaos, 199G, v.7, NolO, p.1-13.

10. L.Glass and M.C. Mackey. From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life. (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988).

17. А.Н.Колмогоров. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега.- ДАН СССР, 1958, т.119, No5, C.861-8G4.

18. А.Н.Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов.- ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.754-755.

19. Я.Г.Синай. О понятии энтропии динамической системы,- ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.708-771.

20. М.Якобсон. Эргодическая теория одномерных отображений.- В сб. Динамические системы. Т.2.- М., ВИНИТИ, 1985.

21. Я.Б.Песин. Общая теория гладких гиперболических динамических систем.-В сб. Динамические системы. Т.2- М., ВИНИТИ, 1985.

22. K.Kaneko. Pattern dynamics in spatio-temporal chaos.- Physica D, 1989, v.34, p. 1-41.

23. K.Kaneko. Spatioteinporal clios in one- and two-dimensional coupled map lattices.~ Physica D, 1989, v.37, p.60-82.

24. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Ctatistical Mechanics of coupled map lattices.- In: Theory and Applications of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko.- Wiley, 1993, p.lG9-189.

25. A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.-Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

2G. A.S.Mikhailov, A.Yu.Loskutov. Chaos and Noise.- Springer, Berlin, 1996.

27. M.Biir, M.Eiswirth. Turbulence due to spiral break-up in continuous excitable medium.-Phys. Rev. E, 1993, v.48, P.1G35-1G37.

28. Zhilin Qu, J.N.Weiss, A.Garfinkel. Spatiotemporal chaos in simulated ring of cardiac cells.- Phys. Rev. Lett., 1997, v.58, p.1378-1390.

29. S.Morita. Lyapunov analisis of collective behaviour in a network of chaotic elements.-Phys. Lett. A, 1997, v.22G, p.172-178

30. K.Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements.- Physica D, 1990, v.41, p.137-172.

31. Динамические системы. Том 2. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления."- ВИНИТИ, 1985.

32. Theory and Applications of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko.- Wiley, 1993.

33. Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices.- Chaos, 1992, v.2, No3.

34. Proc. of the SPIE 1993 Annual Meeting "Chaos in Communications".- San Diego, California, 11-16 July, 1993, v.2038.

35. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Extraction of the prototypes encoded in a chaotic attractor. In: Artificial Neural Networks, eds. I.Alexander and J. Taylor.- Elsevier, North-Holland, 1992, p.449-452.

36. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Processing information encoded in chaotic sets of dynamical systems.- SPIE, 1993, v.2038, p.263-272.

37. S.Hayes, C.Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos.- Phys. Rev. Lett., 1993, v.70, No20, p.3031-3034.

38. S.Hayes, C.Grebogi, E.Ott, A.Mark. Experimental control of chaos for communication.-Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, Nol3, p.1781-1784.

39. H.D.I.Abarbanel, P.S.Linsay. Secure communications and unstable periodic orbits of strange attractors- IEEE Trans. Circuits Systs., 1993, v.40, NolO, p.643-645.

40. Physica D, 1995, v.84, Nol-2.

41. A.Yu.Loskutov, G.E.Thomas. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimensional network of coupled quadratic maps - SPIE, 1993, v.2037, p.238-249.

42. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata. Int.. J. Neural Systems, 1995, v.6, p. 175-1 82.

43. L.Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps - A classical problem.-- Qiaos, 1991, v.l, Nol, p.13-19.

44. A.Garfinkel, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling cardiac chaos.- Science, 1992, v.257, p.1230-1235.

45. A.10.Лоскутов, С.Д.Рыбалко. О динамике отображения окружности при параметрическом воздействии.- Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No4, с.19-27.

4G. АЛО.Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия.- Прикладная нелинейная Оинамика, 1994, т.2, No3-4, с.14-25.

47. L.Bresler, G.Metcalfe, J.M.Ottiuo, T.Shinbrot. Isolated mixing regions: origin, robustness and control.- Chem. Eng. Set., 199G, v.58, p.1671-1679.

48. T.Shinbrot, J.M.Ottiuo. A geometric method to create coherent structures in chaotic flows.- Phys. Rev. Lett., 1993, v.71, p.843-847.

49. A.10.Лоскутов, Г.Э.Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной решетке сцепленных отображений.- Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No5, с.3-11.

50. R.Lima, M.Pettini. Suppression of chaos by resonant puiametric perturbations.- Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726-733.

51. J.Singer, Y-Z.Wang, II.H.Bau. Controlling a chaotic system.- Phys. Rev. Lett., 1991, v.GG, p.1123-1125.

52. L.Fronzoni, M.Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. A, 1991, v.43, p.6483-6487.

53. Y.Braiman, I.Goldhirsh. Taming chaotic dynamics with weak periodic perturbations.~ Phys. Rev. Lett., 1991, v.GG, p.2545-2548.

54. S.Rajasekar, M.Lakslunanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator.- Physica D, 1993, v.G7, Nol-3, p.282-300.

55. S.Biehiwski, D.Derozier, P.Glorieux. Controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedback - Phys. Rev. E, 1994, v.49, No2, p.971-974.

56. Ph. V.Bayly, L.N.Virgin. Practical considerations in the control of chaos.- Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.604-607.

57. D.Vassiliadis. Parametric adaptive control and parameter identification of low-dimensional chaotic systems .-Physica D, 1994, v.71, Nol-2, p.319-341.

58. B.Hiibiiigcr, R.Doemer, W.Martienssen. Controlling chaos experimentally in systems exhibiting large effective Lyapunov exponents.- Phys. Rev. E, 1994, v.50, No2, p.932-948.

59. R.Mettini, T.Kurz. Optimized periodic control of chaotic systems.- Phys. Lett. A, 1995, v.206, No5-G, p.331-339.

GO. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761-764.

Gl. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable?- Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p.1-8.

62. T.Shinbrot, C.Grebogi, E.Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to control chaos.-Nature, 1993, v.363, p.411-417.

G3. В.В.Алексеев, A.IO.Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия.- Вестник Моек. ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40-44.

G4. В.В.Алексеев, АЛО.Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия.- ДАН СССР, 1987, т.293, оып.6, C.134G-1348.

05. Л.К).Лоскутов, А.И.Шишмарев. Об одном свойство семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии.- Успехи матем. наук, 1993 т.48, вып.1, с.169-170.

66. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach.- Chaos, 1994, v.4, No2, p.351-355.

67. M.Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R.Lima, L.Streit, R.Vilela Mendes.- Springer, Berlin, 1990, p.242-250.

68. Yu.S.Kivsliar, B.Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations. Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319-324.

69. A.B.Corbet. Suppression of chaos in ID maps.- Phys. Lett. A, 1988, v. 130, No4-5, p.267-270.

70. A. Hiibler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Liislier. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps.- Helv. Phys. Acta, 1988, v.61, p.897-900.

71. A. Hiibler. Adaptive control of chaotic systems.- Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.343-346.

72. E. Lusher, A. Hiibler. Resonant stimulations of complex systems.- Helv. Phys. Acta,

1989, v.62, p.544-551.

73. E. A. Jackson, A. Hiibler. Periodic entrainment of chaotic logistic map dynamics.-Physica D, 1990, v.44, p.407-420.

74. B.A.IIubcriuaii, E.Lumer. Dynamics of adaptive systems.- IEEE Trans, dir.. Syst.,

1990, v.37, p.547-550.

75. K.Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by self-controlling feedback - Z. Naturforsch A, 1993, v.48, p.629-632.

76. G.I.Dykman, P.S.Landa, Yu.I.Neimark. Synchronization the chaotic oscillations by external force.- Chaos, Solitons & Fractals, v.l, No4, p.339-353.

77. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда. Стохастические и хаотические колебания.- М., Наука,

1987.

78. E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos - Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p.1196-1199.

79. F.J.Romeiras, E.Ott, C.Grebogi, W.P.Dayawansa. Controlling chaotic dynamical systems.- Physica D, 1992, v.58, p.165-192.

80. A.P.Munuzuri, V.Perez-Muiiuzuri, M.Gomez-Gesteira, L.O.Chua, V.Perez-Villar. Spatio-temporal structures in discretely-coupled arrays of nonlinear circuits: a review.- Int. J. DiJ. and Chaos, 1995, v.5, p. 17-50

81. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices.- Nonlinearity,

1988, v.l, p.491-504.

82. L.A.Bunimovich. Coupled map lattices: one step forward and two steps back.- Physica D, 1995, v.86, p.248-255.

83. R.Meucci, W.Gadomski, M.Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations.- Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528-2531.

84. K.Kaneko. Globally coupled circle maps.- Physica D, 1991, v.54, p.5-19.

85. W.Just. Bifurcations in globally coupled map lattices.- J. Stat. Phys., 1995, v.79, p.429-449.

86. J.Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields - Springer, Berlin, 1990 (Third printing).

87. В.И.Арнольд, В.С.Афраймович, Ю.С.Ильяшенко, Л.П.Шильников. Теория бифуркаций.- В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том. b. М., ВИНИТИ, 1980, с.5-218.

88. Н.Н.Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.- М., Наука, 1990.

89. Дж.Марсдсн, М.Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения.- М., Мир, 1980.

90. Б.Хэссард, Н.Казаринов, И.Вэн. Теория и приложения бифуркации рождения цикла - М., Мир, 1985.

91. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М., Наука, 1978.

92. А.Ю.Лоскутов, А.С.Михайлов. Введение в синергетику - М., Наука, 1990.

93. G.Perez, S.Sinha, H.Cerdeira. Nonsimulfcaneity effects in globally coupled maps.- Phys. Rev. E, 1996, v.54, p.G936-6939.

94. Афраймович B.C., Нскоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович - Изд-во ИПФ АН, Горький, 1989.

95. D.G.Aronson, H.F.Weinberger. Nonlinear diffusion in population genetics, combustion and nerve pulse propagation.- Lect. Notes in Math., 1975, v.44G, p.5-49.

9G. В.А.Васильев, Ю.М.Романовский. В.Г.Яхно. Автоволновые процессы. Ред. Д. С. Чернавский.- М., Наука, 1987.

97. Автооолновыс процессы в истемах с диффузией. Сб. научн. трудов.- ИПФ АН СССР, 1981.

98. В.С.Афраймович. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов.- В кн. "Нелинейные волны. Структуры и бифуркации". Ред. А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович.-М., Наука, 1987, с.189-213.

99. M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. .7. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25-52.

100. А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры. В сб. "Физика XX века: развитие и перспективы. М., Наука, 1984.

101. Я.Г.Синай. Современные проблемы эргодической теории - М., Наука, 1995.

102. Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм.- Успехи матам, наук, 1984, т.39, вып.З (237), с.3-37.

103. P.Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems.-Birkliauser, Boston, 1980.

104. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ.- М., Мир, 1989.

105. A.S.Mikhailov. Distributed Active Systems - Enlarged Second Ed., Springer, Berlin, 1994.

10G. T.Kohouen. Self-Organization and Associative. Memory - Springer, Berlin, 1988.

107. H.Hakcn. Information and Self-Organization - Springer, Berlin, 1988.

108. Chaos II, ed. Hao Bai-Lin - Worls Sci., 1990.

109. P.Manneville. Dissipative Structures and Weak Turbulence - Academic Press, London, 1990.

110. Т.Кохонен. Ассоциативные запоминающие устройства .- М., Мир, 1982.

111. J.J.Hopfield. Neural networks and physical systems with emergent collective computation abilities - In: Proc. National Acad.Sci. USA, 1982, v.79, p.2554-2558.

112. Г.Шустер. Детерминированный хаос. Введение,- М., Мир, 1988.

113. А.Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика - М., Мир, 1984.

114. J.J.Hopfield, D.J.Feinstein, R.G.Palmer. "Unlearning" has a stabilizing effect in collective memories.- Nature, v.304, 1983, p.158-159.

115. Synergetics of the Brain. Eds. E.Basar, H.Flohr, H.Haken, A.J.Mandell.- Springer, Berlin, 1983.

116. В.И.Крюков, Г.Н.Борисюк, Р.М.Борисюк, А.Б.Кириллов, Е.И.Коваленко. Мета-стабильные и устойчивые состояния о мозге.- Научный центр биологических исследований АН СССР, Пущино, 1986.

117. Chaos in Brain Functions. Ed. E.Basar.- Springer, Berlin, 1990.

118. Y.Pomeau, P.Manncville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems - Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197.

119. P.Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems.- Physicu D, 1980, v.l, No2, p.219-226.

120. П.Берже, И.Помо, К.Видаль. Порядок а хаосе.- М., Мир, 1991.

121. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел,- Докл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с.1281-1285.

122. Е.М.Ижикевич, Г.Г.Малинецкий. Модель нейронной сети с хаотическим поведением.- Препринт Nol7 ИПМ им.М.В.Келдыша, 1993.

123. А.Ю.Лоскутов, Ю.В.Мищенко, С.Д.Рыбалко. Обработка и передача полезной информации посредством стабилизации заданных циклов одномерных отображений,- Будет опубликовано.

124. В.Ни. Functional renormalization-group equations appioach to the transition to chaos.-In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72-82.

125. B.Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbauni renormalization-group equation for intermittency.- Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645-1648.

12G. А.С.Дмитриев. Запись и распознавание информацил в одномерных динамических системах. - Радиотехника и электроника, 1991, т.5, с.101-108.

127. A.Torcini, A.Polity. Linear and non-linear mechanisms of information propagation.-Europhxjs. Lett., 1994, v.28, No2, p.545-550.

128. E.Kostelich. Symphony in chaos communication.- New Science, 1995, v.140, Nol972, p.36-39.

129. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. Инвариантные дв} иерные торы, их разрушение и стохастичность.- В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, с.3-26.

130. K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems.- World Sci., Singapore, 1986.

131. D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics.- Philadelphia, SIAM, 1980, p.339-3G0.

132. J.Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on R2 . In: Lecture Notes in Mathematics.- Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48-06.

133. В.С.Анищенко. Сложные колебания в простых системах.- М., Наука, 1990.

134. J.Belair, L.Glass. Universality and self-similarity in the bifurcations of circle maps.-Physica D, 1985, v.lG, p.143-154.

135. S.Newhouse, J.Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffcomor-pliisms - Publ. Math. IHES, 1983, No57, p.5-72.

136. K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered orbits of a circle map.- Pro;jr. Theor. Phys., 1984, v.73, NoG, p.1089-1103.

137. P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals.- Commun. Math. Phys., 1986, v.IOC, p.353-381.

138. D.Jiauhua, Y.IIuawei, W.Lingan. The use of cliaos in information enciphering.- Chin. Sci. Dull., 1990, v.41, No5, p.375-379.

139. J.S.Nicolis. Chaos and Information Processing.- World Sci., Singapore, 1991.

140. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-diinensional maps by a cyclic parametric transformation.- Int. J. Bif. and Chaos, 1990, v.G, No4, p.725-735.

141. L.Pecora, T.Caroll. Synchronization of chaotic systems. Phys. Rev. Lett., 1990, v.G4, p.821-823.

142. А.Н.Шарковский, Ю.Л.Майстренко, Е.Ю.Романенко. Разностные уравнения и их приложения - Киев, Наукова думка, 1986.

143. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits.- Ann. of Math., 1987, v.125, p.337-374.

144. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations- Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.

145. L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors.- Acta Math., v.171, p.1-71.

146. L.Pecora, T.Caroll. Driving systems with chaotic signals - Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.2374-2383.

147. K.Sean Halle, C.-W. Wu, M.Itoh, L.O.Chua. Spread spectrum communication through modulation of Chuas's circuit.- World Sci. Series on Nonlin. Sci., 1993, ser.B, v.l, p.379-394.

148. S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and ChaosSpringer, Berlin, 1990.

149. P.J.Holmes, F.C.Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics.- Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032.

150. В.К.Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях.- Тр. Моск. матем. об-ва, 19СЗ, т.12, с.3-52.

151. D.R.Frey. Chaotic digital encoding: an approach to securc communication.- IEEE Trans. Circ. Syst. 1993, v.40, p.GG0-G66.

152. M.Viana. Chaotic dynamical behaviour.- Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994).- Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154.

153. O.A.Druzhinin, A.S.Mikhailov. Regular and chaotic patterns in a coupled map lattice.-Phys. Lett. A, 1990, v.148, No8-9, p.429-433.

154. M.Viana. Strange attractors in higher dimensions.- Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p.13-62.

155. N.Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions.- Thesis IMPA, 1992.

15G. J.Palis, M.Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors - Ann. of Math., 1994, v. 140, p.207-250.

157. Л.П.Шильников. Об одном случае существования счетного множества периодических движений - Докл. АН СССР, 19G5, т.160, No3, с.558-561.

158. Cellular Automata and Modelling of Complex Physicul Systems. Ed. P.Manneville, N.Boccara, G.Y.Viclmiac, R.Bidaux.- Springer Proc. in Phys., 1989, v.4G.

159. O.A.Druzhinin, A.S.Mikhailov. Spatio-temporal chaos and synchronization in probabilistic cellular automata.- Preprint Nol626, Институт космических исследований, Москва, 1989.

ICO. A.Yu.Loskutov. A new approach to the self-organization problem in nonautonomo-us systems.- Abstracts of the International Conference "Criteria of Self-Organization in Physical, Chemical, and Biological Systems. Moscow-Suzdal, June 12-18, 1995, p. 144.

1G5. И.П.Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория.- М., Наука, 1980.

1G6. V.S.L'vov, A.A.Predtechensky, A.I.Chernykh. Bifurcations and chaos in the system of Taylor vortices - laboratory and numerical experiment.- In: Nonlinear Dynamics and Turlndencc. eds. G.I.Barenblatt et al., Plenum 1983, p.238-280.

1G7. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich, I.M.Starobinets. Arising of Multidimensional Chaos in the Active Lattices - Sovet. Phys. Dokl, vol.292, 1984, p.64-G7.

1G8. K.Kaneko. Overview of coupled map lattices.- In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.279-282.

169. A.V.Holden, J.V.Tucker, H.Zhang, M.J.Poole. Coupled map lattices as computational systems.- In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2,1992, p.3G7-376.

170. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical mechanics of coupled map lattices.- In: Theory and Application of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Wiley, 1993, p.lG9-189.

172. В.И.Оселедец. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических системТруды Моск. матем. об-ва, 19G8, т.19, с.179-210.

173. В.М.Миллионщиков. Критерий устойчивости вероятностного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти периодическими коэффициентами.- Матем. сб., 19G9, т.78, No2, с.179-201.

174. Я.Б.Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория.- Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.4, с.55-111.

175. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices.- Nonlinearity, vol.1, 1988, p.491-504.

17G. Ya.B.Pesin, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in chains of weakly-coupled hyperbolic maps.-In: Advances in Soviet Mathematics, vol.3, Harwood Academic, Switzeland, 1991.

177. H.Keller, M.Kiinzle. Transfer operators for coupled map lattices.- Ergod. Theory Dynam. Syst., vol.12, 1992, p.297-318.

178. M.L.Blank. Small Prturbations of Chaotic Dynamical Systems.- Runs. Math. Surv., vol.44, 1989, p.3-28.

179. V.S.Afrainiovich, S.-N.Chow. Existence of Evolution Operators Group for Infinite Lattice of Coupled Ordinary Differential Equatios.- Dynam. Syst. Appl., vol.3, 1994, p.155-174.

180. V.M.Gudlach, D.H.Rand. Spatio-temporal chaos: 1-3.- Nonlinearity, vol.6,1993, p.165-230.

181. L.A.Bunimovich, V.S.Afrainiovich. Simplest structures in coupled map lattices and their stability.- Rand. Comput. Dynam., vol.1, 1993, p.423-444.

182. L.A.Bunimovich, E.A.Carlen. To the problem of stability in lattice dynamical systems.-,/. Diff. Eqns., to be published.

183. D.L.Volevich. Kinetics of coupled map lattices.- Nonlinearity, vol.3, 1991, p.37-45.

184. C.Giberty, C.Vernia. On the presence of normally attracting manifolds containing periodic orbits in coupled map lattices.- Int. J. Difurc. Chaos, vol.3, 1993, p.1503-1514.

185. C.Giberty, C.Vernia. Periodic behavior in ID and 2D coupled map lattices of small size.- Chaos, to be published.

18С. J.Miller, D.A.Huse. Macroscopic equilibrium from microscopic irreversibility in a chaotic coupled map lattice.-P/iys. Rev. E, vol48, 1993, p.2528-2535.

187. C.Boldrighini, L.A.Bunimovich, G. Cisini, A.Frigio, A.Pellegriotti. Ising-type Phase Transition in Coupled Map Lattices.-,/. Stat, phys., to be published.

188. P.Coulet, P.Huerre, eds.- New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena. The Geometry of Nonequilibrium. Plenum, New York, 1990.

189. J.-P.Eckmann, I.Procaccia. Spatio-temporal chaos.- in; Chaos, Order and Patterns, eds. R.Artuso, P.Cvitanovic, G.Casati. Plenum, London, 1991, p.135-172.

190. M.I.Rabinovich, A.L.Fabricant, L.Sh.Tsimring.Fim'ie Dimensional Spatial Disorder. Preprint, 1992.

191. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Criteria of Spatial Chaos in Lattice Dynamical Systems.-Japan J. Ind. Appl. Math., to be published

192. Е.А.Сатаев. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями.- Успехи матем. наук, 1992, т.47, вып.1, с. 147-202.

193. V.S.Afraimovich, L.A.Bunimovich. Density of defects and spatial entropy in extended systems - Pliysica D, vol.80, 1995, p.277-288.

194. V.Petrov, M.J.Crowley, K.Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction - Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955-2958.

195. V.In, W.L.Ditto, M.L.Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelas-tic ribbon.- Phys. Rev. E, 1995, v.51, N04, p.2689-2G92.

19G. B.Blazcjczyk, T.Kapitaniak, J.Woewoda, J.Brindley. Controlling chaos in mechanical systems - Appl. Mech. Rev., 1993, v.4C, No7, p.385-391.

197. N.L.Komarova, A.Yu.Loskutov. Stabilization of chaotic oscillations in dynamical systems: rigorous results - SPIE, 1993, v.2037, p.71-81.

198. Н.Л.Комарова, А.Ю.Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции.- Матем. моделирование, 1995, т.7, Nolü, с.133-143.

199. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishrnarev. Parametric destochastization: rigorous results.-Preprint 236 of the Max-Planck-Institut für Extraterrestrishe Physik, 1992.- 10pp.

200. Z.Galias. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems.-Int. J. Dif. and Chaos, 1995, v.5, Nol, p.281-295.

201. В.П.Белых. Модели дискретных систем фазовой синхронизации.- В сб. Системы фазовой синхронизации. Ред. В.В.Шахгильдян, Л.Н.Белюстина.- М., Радио и связь, 1982, с.161-176.

202. Л.А.Бунимович. Системы гиперболического типа с особенностями.- В сб. Динамические системы. Т.Н.- М., ВИНИТИ, 1985, с.173-204.

203. G.Reiser, А.Hübler, E.Lüscher. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators.- Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803-807.

204. E.A.Jwkson. Control of dynamics flows with attractoi.?.- Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.4839-4853.

205. J.D.Farmer, J.J.Sidorovich. Optimal shadowing and noi&e reduction.- Preprint of the Los Alamos National Lah., No LA-UR-90-G53.- 30pp.

206. T.Shinbrot, E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map.- Phys. Rev. A, 1992, v.45, No6, p.41G5-41G8.

207. I.M.SUrobincts, A.S.Pikovsky. Multistcp controlling chaos- Phys. Lett. A, v.181, p.149-152.

208. B.Hübinger, R.Doerner, W.Martienssen. Local control of chaotic motion.- Zietschrift für Phys. B, 1993, v.90, р.Ш-106.

209. S.J.Scliiff, K.Jcrgcr, D.H.Duong, T.Chang, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain.- Nature, 1994, v.370, p.615-620.

210. Y.Liu, N.Kikuchi, J.Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback - Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697-2700.

211. А.И.Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений отрезка в себя.-Матпсм. заметки, 1981, т.30, No5, с.723-736.

212. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval.- Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51.

213. A.Kittel, K.Pyragas, R.Richter. Prerecorded history of a system as an experimental tool to control chaos - Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.262-268.

214. M.A.Matias, J.Guemez. Stabilization of chaos by proportional pulses in the system variables - Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol, p.1455-1458.

215. M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of 1 — ax2 on (—1,1).- Annals of Math., 1985, v.122, p.1-25.

216. M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps.- Commun. Math. Phys., 1981, v.81, Nol, p.39-88.

217. J.E.S.Socolar, D.W.Sukow, D.J.Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems - Phys. Rev E, 1994, v.50, No4, p.3245-3248.

218. Ю.И.Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы.- М., Наука, 1978.

219. М.Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости - М., Наука. 1971.

220. Е.Н.Дудник, Ю.И.Кузнецов, И.И.Минакова, Ю.М.Романовский. Синхронизация в системах со странным аттрактором.- Всстн. МГУ, сер. Физ.-Астр., 1983, т.38, No4, с.84-87.

221. Ю.И.Кузнецов, В.В.Милюлин, И.И.Минакова, Б.А.Сильнов. Синхронизация хаотических автоколебаний.- Докл. АН СССР, 1984, т.275, No4-6, с.1388-1391.

222. Ю.И.Кузнецов, П.С.Ланда, А.Ф.Ольховой, С.М.Перминов. Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах. Докл. АН СССР, 1985, т.281, No2, с.291-294.

223. M.Ding, E.Ott, C.Grebogi. Controlling chaos in a temporally irregular environment.-Physica D, 1994, v.74, Nol-2, p.386-394.

224. A.Yu.Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic approach.-In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J.Awreicewicz.-Springer, Berlin, 1995, p.125-150.

225. J.F.Linder, W.L.Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design.-Appl. Mech. Rev., 1995, v.48, Nol2, p.795-807.

226. E.Ott, M.L.Spano. Controlling chaos.- Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34-40.

227. P.So, E.Ott. Controlling chaos using time delay coordinates via stabilization of periodic orbits - Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2955-2962.

228. G.A.Johnson, M.Locher, E.R.Hunt. Stabilized spatiotemporal waves in a convectively unstable open flow system: coupled diode resonators.- Phys. Rev. E, 1995, v.51, p.1625-1628.

229. R.V.Sole, L.Menendez de la Prida. Controlling chaos in discrete neural networks.-Phys. Lett. A, 1995, v. 199, Nol-2, p.65-69.

230. D.Auerbach. Controlling extended systems of chaotic elements.- Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, No8, p.1184-1187.

231. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko, U.Fuedel, J.Kurths. Suppression of chaos by cyclic parametric excitation in two-dimensional maps.- J. Phys. A: Math. Gen., v.29, 19996, p.5759-5771.

232. АЛО.Лоскутов, Ю.В.Мищенко, С.Д.Рыбалко. Стабилизация неустойчивого поведения динамических систем и проблема обработка информации.- Физическая Мысль России. 2/3, 1997, с.53-50.

233. АЛО.Лоскутов, С.Д.Рыбалко, Д.Н.Удин, К.А.Васильев. Хаос и порядок в одномерной неоднородной сети диффузионно связанных кусочно-линейных отображений.-Регулярная и Хаотическая Динамика. 1998, т.З, ИоЗ.