Параметрическая идентификация распределённых моделей водородопроницаемости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Витальевич

• Попов, Владимир Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Витальевич

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Экспериментальные методы.

1.1.1 Метод проницаемости.

1.1.2 Метод концентрационных импульсов (МКИ).

1.2 Основные обозначения.

1.3 Модели водородопроницаемости

1.3.1 Физико-химические процессы внутри мембраны

1.3.2 Начальные условия.

1.3.3 Нелинейные граничные условия

1.3.4 Условия сопряжения для двухслойных мембран

1.3.5 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

1.3.6 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

2 Численное моделирование водородопроницаемости

2.1 Разностные схемы.

2.1.1 Физико-химические процессы внутри мембран

2.1.2 Нелинейные граничные условия

2.1.3 Условия сопряжения для двухслойных мембран

2.1.4 Замечания.

2.2 Вариант метода прогонки.

2.2.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

2.2.2 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

3 Численные методы параметрической идентификации

3.1 Анализ стационарной проницаемости.

3.2 Метод рядов Фурье.

3.2.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

3.2.2 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

3.3 Метод сопряжённых уравнений.

3.3.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

3.3.2 Повышение точности алгоритмов идентификации 4 Вычислительные эксперименты

4.1 Моделирование водородонроницаемости.

4.1.1 Перенос водорода в однослойных мембранах.

4.1.2 Перенос водорода в двухслойных мембранах.

4.1.3 Экспериментальные десорбционные потоки.

4.2 Результаты параметрической идентификации.

4.2.1 Идентификация параметров алгоритмами на основе рядов Фурье для МКИ.

4.2.2 Идентификация параметров алгоритмами на основе

- сопряжённых уравнений.

4.2.3 Идентификация параметров аморфного и рекристал-лизованпого железа

4.2.4 Адекватность моделей экспериментальным данным

4.3 Программный комплекс моделирования и параметрической идентификации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическая идентификация распределённых моделей водородопроницаемости»

Актуальность темы

Проблемы энергетики являются одним из фундаментальных научных направлений исследований. В качестве перспективного энергоносителя рассматривается водород. Другие важные области применения — проектирование химических реакторов, ракетостроение, вакуумная техника и технология. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопов водорода — дейтерия и трития. Поэтому ведётся интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки, а также защиты конструкционных материалов от водородной коррозии (водородного охрупчива-ния металлов). Экспериментальные исследования в этой области требуют разработки моделей и вычислительных методов, позволяющих моделировать взаимодействие водорода с твёрдым телом (конструкционными материалами) с учетом современных физико-химических представлений [4,6,7, 12, 13, 15,16,25,27,51,56]. Актуальной проблемой является создание эффективных методов параметрической идентификации моделей водородоироницаемости. Сложность таких задач в том, что они являются нелинейными обратными задачами математической физики.

Имеется широкий спектр физико-химических представлений и соответствующих математических моделей для различных стадий взаимодействия водорода с твёрдым телом [10,56]. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные экспериментальным данным модели. Оценка параметров моделей даёт возможность уточнить механизм взаимодействия водорода с твёрдым телом, выделить лимитирующие процессы. Применение математических методов и программного обеспечения приводит к сокращению расходов на дорогостоящие и трудоёмкие эксперименты.

В работе рассматриваются модели переноса водорода применительно к экспериментальным методам проницаемости и концентрационных импульсов [4,9,10,12,13]. Учитываются ад(аб)сорбциошю-десорбциониые процессы на поверхности, диффузия с обратимым захватом водорода в ловушки (дефекты физико-химической структуры), диффузия в канале ловушек и ограничение ёмкости ловушек. Модели водородонропи-цаемости содержат нелинейные граничные условия III рода и динамические — дифференциальные уравнения для поверхностных концентраций. В этом заключается основная специфика рассматриваемых моделей. В литературе подробно изучены линейные краевые задачи I-11I рода. [2,26,29,30,34-36,40,47,49,52,55,57]. Численному решению подобных краевых задач посвящены книги [3,18,19,37,41-45]. Нелинейные краевые задачи и уравнения изучены d меньшей степени [5,14,24,28,30,31,48,49,55]. Модели переноса водорода в двухслойных материалах (проблема защитных покрытий) дополнительно содержат условия сопряжения слоев.

Параметрическая идентификация моделей является нелинейной обратной задачей. Разработанные градиентные методы минимизации невязки экспериментальных и модельных данных для решения подобных задач требуют выполнения численного интегрирования уравнений в частных производных на каждом шаге [1]. Большой объём вычислений и недостаточная эффективность общих методов заставляют искать более специализированные алгоритмы оценивания параметров с учётом специфики экспериментальных методов. Применительно к части рассматриваемых моделей такие алгоритмы предложены в публикациях Ю.В.Заики [22,23], которые послужили основой для разработки более точных алгоритмов для широкого класса моделей, в том числе для моделей ранее не рассматривавшихся.

Задача численного моделирования потребовала разработки разностных схем для рассматриваемых моделей, эффективных в классе жёстких задач [39]. Определённой сложностью при конструировании разностных схем и разработке методов решения систем разностных уравнений являлось наличие нелинейных динамических граничных условий, условий сопряжения на стыке слоёв двухслойных материалов, учёт физико-химических особенностей материалов (диффузия в канале ловушек, ограничение ёмкости ловушек).

Цели диссертационной работы

1. Разработка численных методов для решения краевых задач водоро-донроницаемости с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов.

2. Построение эффективных помехоустойчивых алгоритмов параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.

3. Разработка современного программного комплекса моделирования и идентификации.

4. Численное исследование математических моделей и алгоритмов параметрической идентификации в широком физически оправданном диапазоне параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Выбор адекватных моделей и оценка параметров переноса водорода в конкретных конструкционных материалах (аморфное и рекри-сталлизованное железо).

Методы исследований

В работе применена теория разностных схем для разработки численных методов моделирования водородопроницаемости. Используется техника рядов Фурье, аппарат сопряжённых уравнений математической физики и методы нелинейной оптимизации. Для создания программного комплекса использована среда программирования Delphi и математический пакет MATLAB (Scilab).

Численное исследование математических моделей, алгоритмов параметрической идентификации, оценка параметров аморфного и рекри-сталлизованпого железа были проведены с помощью разработанного программного комплекса.

Научная новизна

1. Разработаны разностные схемы для краевых задач водородопропи-цаемости одно- и двухслойных материалов с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов. Предложен вариант метода прогонки для решения полученных систем разностных уравнений.

2. Разработаны помехоустойчивые алгоритмы параметрической идентификации на базе техники рядов Фурье и сопряжённых уравнений математической физики.

3. Предложен метод повышения точности алгоритмов параметрической идентификации, построенных с использованием сопряженных уравнений, для моделей с нелинейными динамическими граничными условиями.

4. Численно исследованы модели переноса водорода и алгоритмы параметрической идентификации в широком диапазоне изменения параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Проведена оценка параметров переноса водорода в аморфном и ре-кристаллизованном железе (сплав Fc-!7^Nii{Si7jB\2(,Cci.2lyo(m) и получены характерные зависимости стационарных значений плотностой дссорбционпого потока от температуры, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным.

Практическая ценность работы

1. Численные методы моделирования и параметрической идентификации моделей водородопропицаемости позволяют сократить расходы на экспериментальные исследования, оценивать параметры материалов и выявлять лимитирующие факторы, уточнять физические представления о различных стадиях переноса водорода в конструкционных материалах.

2. Программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне решать проблемы математического сопровождения экспериментальных исследований.

3. Оценены параметры водородопропицаемости аморфного и рекри-сталлизованного железа.

Реализация результатов работы

Создан программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, с помощью которого были проведены численные исследования моделей и алгоритмов, оценены параметры аморфного и рекристал-лизованного железа.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях: Third Inter-Karelian Conference "Teaching malhematics and physics in secondary and higher education" (KSPU, Petrozavodsk, 1998); второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения" (СПбГТУ, 1998); на первой и второй всероссийской научной школе "Математические методы в экологии" (ИПМИ КарНЦ РАН,

Петрозаводск, 2001, 2003); на второй и четвёртой международной конференции "Tools for Mathematical Modelling" (СПбГТУ, 1999, 2003).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, из них 6 статей и 6 тезисов докладов на международных, всероссийских и региональных конференциях (стр. 113).

Результаты, выносимые на защиту

1. Численные методы математического моделирования водородопроницаемости конструкционных материалов (разностные схемы и вариант метода прогонки).

2. Алгоритмы параметрической идентификации моделей водородопроницаемости однослойных и двухслойных материалов.

3. Программный комплекс, реализующий разработанные численные методы и алгоритмы.

4. Результаты численных исследований моделей и алгоритмов (адекватность моделей, чувствительность к вариациям параметров), оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристалли-зованпом железе (сплав А; 7 7. з Л7 ?' i л S ? 7.7 # м б Со. 2 Лм ш) для метода концентрационных импульсов (МКИ).

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием математических методов. Полученные результаты моделирования и параметрической идентификации согласуются с физическими представлениями и экспериментальными данными.

Поддержка исследований

Работа выполнена и рамках следующих проектов и программ.

1. Проект Б0027 ФЦП "Интеграция" "Совместные фундаментальные и поисковые исследования но актуальным направлениям современной физики", нодпроект № 6 "Ингибирование водородопропицаемо-сти твердотельными пленками" (совместно с НИИ Физики им. В.А.Фока, СПбГУ).

2. Программа фундаментальных исследований ОМН РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач", проект "Численные методы решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей" (государственный контракт с ИПМ им. М.В.Келдыша № 10002-251/ОМН-03/026-030/ 240603-810).

Получен грант ФЦП "Интеграция" для участия в международном симпозиуме по металло-водородным системам МН2004 в 2004 г. (Краков, Польша).

Личный вклад автора

Все основные результаты работы, изложенные в диссертации, получены автором. Методы и алгоритмы параметрической идентификации разработаны иод руководством Ю.В.Заики. Данные по аморфному и рекри-сталлизованному железу предоставлены Н.И.Сидоровым (Институт металлургии УрО РАН, Екатеринбург) и Е.А.Евардом (НИИ Физики им. В.А.Фока СПбГУ, Саикт-Петербург).

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и приложения. Во введении обосновывается актуальность темы, изложены цели, методы иссле

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Попов, Владимир Витальевич

Все выводы, сделанные в этом пункте, справедливы для алгоритмов на основе рядов Фурье для других моделей.

Идентификация параметров модели диффузии с ПД

При исследовании выбора гармоник и условий проведения экспериментов для алгоритма идентификации этой модели получены результаты, аналогичные изложенным (см. 4.2.1). Поэтому приведём отличия.

В этом алгоритме после определения грубых значений параметров при решении (3.28) (стр. 42) следует уточнить их значения, решая (3.29). Численные исследования показали, что минимум функции G(ni,n2,D,g) из (3.29) для всех гармоник находится на дне пологого оврага (значение функции в минимуме незначительно отличается от значений функции в соседних точках оврага). Такое поведение функции затрудняет поиск минимума даже методом оврагов [3] (разновидность метода градиентного спуска, учитывающая информацию о предыдущих шагах). Поскольку направление оврага (рис. 33—35) зависит от чётности выбранных гармоник (п;), то использование суммы функций для различных по чётности гармоник позволяет получить более выраженный минимум (рис. 36), который стабильно находится методами градиентного спуска. На рис. 33— t

35 приводятся типичные функции G(ni,n2,D,g) из (3.29) для различных по чётности гармоник, полученные для эксперимента 2 из таблицы 11 (волнистость и многочисленные минимумы на дне оврагов обусловлены дискретностью изменения переменных D, д при построении графиков). В алгоритме идентификации и для построения графика на рис. 36 использована целевая функция С(2,4, D,g) + G(3,5, D,g).

Заключение

В диссертациониой работе получены следующие результаты.

1. Неявные разностные схемы типа предиктор-корректор второго порядка аппроксимации по т, h для широкого класса моделей переноса водорода в одно- и двухслойных материалах с нелииейиыми граничными условиями (III рода и динамическими) применительно к экспериментальным методам проницаемости и концентрационных импульсов.

2. Вариант метода прогонки для решения полученных систем разностных уравнений.

3. Помехоустойчивые алгоритмы параметрической идентификации ряда моделей (в том числе для ранее не рассматривавшихся) водородопроницаемости одно- и двухслойных материалов на базе техники рядов Фурье и сопряжённых уравнений математической физики.

4. Метод повышения точности алгоритмов параметрической иденти-В фикации, построенных с использованием сопряжённых уравнений, для моделей с нелинейными динамическими граничными условиями, учитывающий переходные процессы на входной поверхности.

5. Численные исследования моделей и алгоритмов параметрической идентификации в физически оправданном диапазоне изменения параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы). Для алгоритмов на основе рядов Фурье определены оптимальные (в смысле минимальной относительной погрешпо-сти идентификации параметров) гармоники, целевые функции. В случае алгоритмов, построенных с использованием сопряжённых уравнений, исследован вопрос выбора уравнений для различных вариантов функции rp(t,:г), удовлетворяющей сопряжённому уравнению. Для метода концентрационных импульсов определены условия проведения экспериментов (длительность периода, интенсивность работы диссоциатора) для наилучшей идентификации параметров с использованием предложенным алгоритмов.

6. Оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристалли-зованном железе (сплав Fe77.3Ni1.iSi7.7B1x6Co.2Po.009)- Получены характерные зависимости стационарных значений плотностей десорб-ционного потока от температуры, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным.

Рассмотренные в работе методы и алгоритмы моделирования и параметрической идентификации моделей переноса водорода могут быть использованы для исследований взаимодействия водорода с твёрдым телом, адаптированы для сходных задач и моделей. Полученные в работе результаты численных исследований согласуются с физическими представлениями.

Дальнейшие исследования в данной области направлены на разработку алгоритмов параметрической идентификации для более сложных моделей, учитывающих дополнительные, «второстепенные» физико-химические процессы. Также требуется рассмотрение некоторых сугубо математических вопросов, касающихся устойчивости построенных разностных схем, применимости рядов Фурье к подобным нелинейным граничным задачам и др. Актуальным является оценка параметров широкого набора конструкционных материалов и защитных покрытий, выбор адекватных моделей переноса водорода (структурная идентификация).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Витальевич, 2004 год

1. Алифаиов О.В., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Паука, 1988. 288 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968. 749 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

4. Бекман И.Н., Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А., Лясни-ков В.Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники // Обзоры по электронной технике, сер. 7. Вып. 1(1084). М., 1985. 66 с.

5. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. Киев: АН СССР, 1974. Т. 1. 452 е.; Т. 2. 292 с.

6. Взаимодействие водорода с металлами / Ред. Захаров А.П. М.: Наука, 1987. 296 с.

7. Водород в металлах / Ред. Г. Алефельд и В. Фёлькль. М.: Мир, 1981. Т. 1. 506 е.; Т. 2. 430 с.

8. Евард Е.А., Сидоров Н.И., Габис И.Е. Водородопроницаемость аморфного и рекристаллизованного сплавов на основе железа //ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 3. С. 90-92.

9. Габис И.Е. Метод концентрационных импульсов для исследования транспорта водорода в твердых телах //ЖТФ. 1999. Т. 69, №1. С. 99-103.

10. Габис И.Е. Перенос водорода в металлах 16 группы и тонкопленочных системах полупроводник-металл: Автореф. дис. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук. СПб: СПбГУ, 1995.

11. Габис И.Е. Перенос водорода в пленках графита, аморфного кремния и оксида никеля // Физика и техника полупроводников. 1997. Т. 31, №2. С. 145-151.

12. Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы // Взаимодействие водорода с металлами. / Ред. Захаров А.П. М.: Наука, 1987. С. 177-206.

13. Габис И.Е., Курдюмов А.А., Тихонов Н.А. Установка для проведения комплексных исследований по взаимодействию газов с металлами // Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 4. Вып. 2. 1993. С. 77-79.

14. Гасвский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

15. Гельд П.В., Мохрачева Л.П. Водород и физические свойства металлов и сплавов. М.: Наука, 1985. 231 с.

16. Гельд П.В., Рябов Р.А., Кодес Е.С. Водород и несовершенства структуры металла. М.: Металлургия, 1979. 221 с.

17. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир, 1977. 290 с.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. 340 с.

19. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

20. Заика Ю.В. Интегральные операторы наблюдения и идентификации динамических систем: Дис. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук. СПб, 1998.

21. Заика Ю.В. Разрешимость уравнений модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36, №12. С. 108-120.

22. Заика Ю.В. Управление и алгоритмы наблюдения и идентификации / Уч. пособие. Петрозаводск: ПетрГУ, 2001. 164 с.

23. Заика Ю.В. Идентификация модели водородопроницаемости металлов. //ЖТФ. 1998. Т. 68, №11. С. 38-42.

24. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. 228 с.

25. Колачев Б.А. Водородная хрупкость металлов. М.: Металлургия, 1985. 217 с.

26. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1962. 767 с.

27. Кунин Л.Л., Головин А.И., Суровой Ю.И., Хохрин В.М. Проблемы дегазации металлов. М.: Наука, 1972. 324 с.

28. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

29. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

30. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 560 с.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

32. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

33. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 336 с.

34. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

35. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

36. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

37. Никитенко Н.И. Исследование нестационарных процессов тепло- и массопереноса методом сеток. Киев: Наукова думка, 1971. 226 с.

38. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: ФАН, 1988. 183 с.

39. Ракитский Ю .В., Устинов С .М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

40. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589 с.

41. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 315 с.

42. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

43. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999. 319 с.

44. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

45. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 2002. 350 с.

46. Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

47. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 702 с.

48. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. Киев: Наукова думка, 1969. 259 с.

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

50. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

51. Шаповалов В.И. Влияние водорода на структуру и свойства железоуглеродистых сплавов. М.: Металлургия, 1982. 232 с.

52. Bleecker D„ Csordas G. Basic Partial Differential Equations, International Press, Cambridge, Mass., USA, 1996. 735 p.

53. Evard E.A., Kurdumov A.A., Berseneva F.N., Gabis I.E. Permeation of hydrogen through amorphous ferrum membrane // International Journal of Hydrogen Energy №26, 2001. P. 457-460.

54. Gabis I.E., Evard E.A., Sidorov N.I. Transport of hydrogen through amorphous alloy // Hydrogen Recycling at Plasma Facing Materials, 2000. P. 125-131.

55. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19, AMS, Providence, Rhode Island, 1998. 662 p.

56. Hydrogen Materials Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials. Сборник тезисов VIII международной конференции / Ред. Щур Д.В., Загинайченко С.Ю., Везироглу Т.Н.

57. Levin Н. Partial Differential Equations. AMS, International Press, Studies in Advanced Mathematics. Vol. 6, 1997. 706 p.

58. Публикации автора по теме диссертации1. Статьи

59. Заика Ю.В., Попов B.B. Моделирование водородопроницаемости мембран и алгоритм параметрической идентификации // Труды Института прикладных математических исследований КарПЦ РАН. Вып. 1. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 1999. С. 153-168.

60. Попов В.В. Повышение точности идентификации параметров модели водородопроницаемости // Труды Петрозаводского государственного университета, прикладная математика и информатика. Вып. 10. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2001. С. 97-109.

61. Попов В.В. Численное моделирование переноса водорода в конструкционных материалах // Труды Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН. Вып. 3. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2002. С. 248-274.

62. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водородопроницаемости // Труды IV международной конференции "Tools for mathematical modeling"(Mathtools'03). СПб: Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 2003. С. 132-138.

63. Заика Ю.В., Попов В.В. Алгоритмы определения параметров модели переноса водорода методом концентрационных импульсов // Труды Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН. Вып. 4. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2003. С. 20-35.1. Тезисы

64. Zaika Yu.V., Popov V.V. The definition of parameters of hydrogen permeable metals // Third Inter-Karelian Conference "Teaching mathematics and physics in secondary and higher education", book of abstracts, Petrozavodsk, 1998.

65. Заика Ю.В., Попов В.В. Идентификация модели водородопроницаемости двухслойных мембран // 2-я международная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения", тез. докл., СПб: Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1998.

66. Попов В.В. Программный комплекс моделирования газопроницаемости материалов // Всероссийская научная школа "Математические методы в экологии", тез. докл., Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2001. С. 275-277.

67. Popov V.V. Algorithms for definition hydrogen transfer parameters // The fourth international conference "Tools for mathematical modelling" (Mathtools'03), book of abstracts, Saint-Petersburg, 2003. P. 114.

68. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водородопроницаемости // "Обозрение Прикладной и Промышленной Математики", Т. 10, вып. 1. Москва, 2003. С. 206.