Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн в атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Петухов, Михаил Юрьевич

• Петухов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петухов, Михаил Юрьевич

Введение

Глава 1. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере

1.1. Введение

1.2. Постановка задачи. Вывод приближенного нелинейного уравнения

1.3. Линейное распространение акустико-гравитационных волн

1.4. Нелинейная генерация акустико-гравитационных волн на разностной частоте

1.5. Нелинейная генерация акустико-гравитационных волн на второй гармонике

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн в атмосфере»

2.2. Постановка задачи и основные уравнения 29

2.3. Нелинейная генерация магнито-акустико-гравитационных волн на разностной частоте распространяющимися волнами 33

2.4. Нелинейная генерация магнито-акустико-гравитационных волн на второй гармонике нераспространяющимися возмущениями 43

2.5. Особенности нелинейного взаимодействия между распространяющимися и нераспространяющимися магнито-акустико-гравитационными волнами 47

2.6. Заключение 52

Глава 3. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн альвеновскими волнами в изотермической атмосфере 56

3.1. Введение 56

3.2. Постановка задачи. Вывод приближенных нелинейных уравнений 57

3.3. Нелинейная генерация акустико-гравитационных волн на разностной частоте 60

3.4. Нелинейная генерация акустико-гравитационных волн на суммарной частоте 74

3.5. Заключение 77

Глава 4. Влияние неизотермичности атмосферы на параметрическую генерацию акустико-гравитационных волн 81

4.1. Введение 81

4.2. Постановка задачи и основные уравнения 82

4.3. Особенности линейного распространения акустико-гравитационных волн в атмосфере со скачком температуры 84

4.4. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн распространяющимися акустико-гравитационными волнами 89

4.5. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн нераспространяющимися возмущениями 102

4.6. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн в результате взаимодействия распространяющихся и нераспространяющихся акустико-гравитационных волн 108

4.7. Заключение 114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 117

ЛИТЕРАТУРА 120

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Неослабевающее внимание уделяется процессам генерации, распространения и взаимной трансформации низкочастотных акустико-гравитационных волн в атмосферах планет и звезд. Актуальность этих исследований во многом обусловлена разработкой физических механизмов процессов переноса механической энергии, излучаемой при колебаниях соответствующих границ раздела, в верхние слои атмосферы.

Поскольку с ростом высоты плотность среды в атмосфере уменьшается достаточно резко (обычно по экспоненциальному закону), то, вследствие увеличения числа Маха в акустико-гравитационных волнах (в предельном случае обратно пропорционально корню квадратному из плотности среды), в определенных областях высот необходим учет влияния нелинейных эффектов на распространение акустико-гравитационных волн.

Как правило, исследования влияния нелинейных эффектов на распространение акустико-гравитационных волн в атмосфере сводятся к изучению процессов формирования ударных волн и последующей их динамики. Последнее обусловлено тем, что именно совместное проявление нелинейно-ударных и диссипативных эффектов при распространении акустико-гравитационных волн существенно ограничивает перенос механической энергии относительно высокочастотных колебаний в верхние слои атмосферы, изучение физических процессов в которых представляет значительный интерес.

Это, в свою очередь, заметно повысило интерес к изучению распространения низкочастотных акустико-гравитационных волн в атмосфере, которые в меньшей степени подвержены влиянию отмеченных эффектов диссипации и нелинейности и, поэтому, могут достигать больших высот по сравнению с относительно высокочастотными акустико-гравитационными волнами.

Однако низкочастотный диапазон распространяющихся в атмосфере акустико-гравитационных волн ограничен снизу частотой отсечки (для изотермической атмосферы - частотой Лэмба), ниже которой линейные акустико-гравитационные волны являются нераспространяющимися и, поэтому, не переносят энергию в вышележащие слои атмосферы. В значительной мере этим и объясняется тот факт, что исследованиям проявления нелинейных эффектов в акустико-гравитационных волнах в запрещенном для их линейного распространения диапазоне частот не уделялось должного внимания. Представленная диссертационная работа восполняет этот пробел.

Цель диссертационной работы: состоит в приближенном аналитическом описании процессов параметрической генерации акустико-гравитационных волн в атмосфере, протекающих при слабом нелинейном взаимодействии, во-первых, распространяющихся, нераспространяющихся, а также распространяющихся и нераспространяющихся акустико-гравитационных возмущений, во-вторых, альвеновских волн.

Научная новизна работы состоит в установлении ряда новых, неизвестных ранее, явлений и закономерностей:

• параметрической генерации распространяющихся акустико-гравитационных волн в диапазоне частот, расположенном ниже частоты Лэмба;

• параметрической генерации распространяющихся акустико-гравитационных волн ^распространяющимися акустико-гравитационными возмущениями на суммарной частоте, превышающей частоту Лэмба;

• формировании акустического потока при нулевом значении разностной частоты, ориентированного противоположно направлению распространения первичных акустико-гравитационных волн, т.е. ориентированного вдоль направления действия силы тяжести;

• параметрической генерации как на разностной, так и на суммарной частотах распространяющихся акустико-гравитационных волн в результате нелинейного взаимодействия между нераспространяющимися и распространяющимися акустико-гравитационными волнами;

• эффективной генерации распространяющихся акустико-гравитационных волн альвеновскими волнами, распространяющимися в одном, а - не в противоположных направлениях.

Научная и практическая значимость работы состоит в значительном расширении представлений о явлениях, происходящих при нелинейной генерации акустико-гравитационных волн в атмосфере. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при моделировании волновых процессов в земной, солнечной, звездных атмосферах и космической плазме. Здесь же они использовались для описания соответствующих процессов в атмосфере Солнца, где, в настоящее время, актуальность подобных исследований наиболее высока.

Основные положения, выносимые на защиту:

В диапазоне частот, расположенном ниже лэмбовской частоты отсечки и поэтому запрещенном для распространения акустико-гравитационных волн при их линейной генерации, на разностной частоте в результате нелинейного взаимодействия первичных распространяющихся акустико-гравитационных волн генерируются как ^распространяющиеся (неоднородные), так и распространяющиеся акустико-гравитационные волны.

• При нелинейном взаимодействии распространяющихся вверх акустико-гравитационных волн в атмосфере при нулевом значении разностной частоты формируется акустический поток (ветер), ориентированный противоположно направлению их распространения.

• Взаимодействие ^распространяющихся акустико-гравитационных волн приводит к генерации распространяющихся акустико-гравитационных волн на суммарной частоте большей частоты Лэмба, а взаимодействие между нераспространяющи-мися и распространяющимися акустико-гравитационными волнами приводит к генерации распространяющихся акустико-гравитационных волн как на разностной, так и на суммарной частотах во всем диапазоне частот излучения первичных волн.

• Преобладающим механизмом процесса параметрической генерации акустико-гравитационных волн альвеновскими волнами является нелинейное взаимодействие распространяющихся в одном, а - не в противоположных направлениях аль-веновских волн.

Апробация работы

Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах [1-14] и докладывались на международном симпозиуме по актуальным проблемам физики нелинейных волн (Topical Problems of Nonlinear Wave Physics, 6-12 September, 2003, Nizhny Novgorod-Moscow-Nizhny Novgorod, Russia) [14], международном симпозиуме по нелинейной акустике (The 16th International symposium of nonlinear acoustics, Moscow, August 19-23, 2002) [8], 13ой сессии Российского акустического общества (25-29 августа, Москва, 2003) [13], Нижегородской акустической сессии (16-17 мая, Нижний Новгород, 2002) [2], Нижегородских сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 2002-2003) [6, 11], Итоговых научных конференциях Радиофизического факультета ННГУ (Нижний Новгород, 2000-2003) [4, 5,7,10, 12].

Личный вклад автора. Все 14 работ по теме диссертации написаны автором, причем 5 из них выполнены без соавторов. Во всех работах, автору принадлежит выполнение аналитических и численных расчетов, а также непосредственное участие в постановке задач, обсуждении и интерпретации полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 130 страниц, в том числе 21 иллюстрацию, библиография — 99 наименований.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Петухов, Михаил Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе в рамках плоской модели атмосферы и в приближении заданного поля для вертикально распространяющихся возмущений исследованы закономерности параметрической генерации акустико-гравитационных волн. При этом были получены следующие результаты.

1. Показано, что в представляющем интерес диапазоне частот, расположенном ниже лэмбовской частоты отсечки и, поэтому, запрещенном для вертикального распространения акустико-гравитационных волн при их линейной генерации, на разностной частоте в результате нелинейного взаимодействия первичных распространяющихся волн возбуждаются как нераспространяющиеся (неоднородные), так и распространяющиеся акустико-гравитационные волны.

2. Установлено неизвестное ранее явление формирования акустического потока (ветра), возникающего при нулевом значении разностной частоты в результате нелинейного взаимодействия только распространяющихся вверх акустико-гравитационных волн и ориентированного против направления их распространения.

3. Выяснено, что при нелинейном взаимодействии исходных акустико-гравитационных возмущений из запрещенного диапазона частот, на суммарной частоте, превышающей частоту Лэмба, генерируются как нераспространяющиеся, так и распространяющиеся акустико-гравитационные волны.

4. Доказано, что при нелинейном взаимодействии между ^распространяющимися и распространяющимися акустико-гравитационными волнами, на разностной частоте, меньшей частоты Лэмба, генерируются как нераспространяющиеся, так и распространяющиеся акустико-гравитационные волны, а на суммарной частоте - лишь распространяющиеся акустико-гравитационные волны.

5. Исследовано влияние горизонтального магнитного поля, квадрат напряженности которого уменьшается с высотой пропорционально плотности среды, на параметрическую генерацию акустико-гравитационных волн. Показано, что с увеличением напряженности магнитного поля амплитуда акустико-гравитационных волн на разностной частоте уменьшается при частотах излучения первичных волн, превышающих определенную - выделенную частоту, и возрастает, причем лишь в области относительно малых высот, при частотах излучения, меньших этой выделенной частоты. Выяснено также, что само значение выделенной частоты излучения уменьшается с ростом разностной частоты.

6. Установлено, что при вертикальном распространении альвеновских волн в изотермической атмосфере в диапазоне частот излучения и области атмосферных высот, где имеет место слабое линейное взаимодействие (взаимосвязь) альвеновских волн, преобладающим механизмом процесса параметрической генерации акустико-гравитационных волн на разностной частоте является нелинейное взаимодействие распространяющихся в одинаковых, а не в противоположных направлениях альвеновских волн; при этом в генерируемом ими поле акустико-гравитационных волн на нулевой разностной частоте акустический поток не формируется.

7. Исследовано влияние температурного скачка в атмосфере на параметрическую генерацию акустико-гравитационных волн. Выяснено, что преобладающим механизмом генерации акустико-гравитационных волн на разностной частоте является процесс нелинейного взаимодействия распространяющихся в одинаковых направлениях аку-стико-гравитационных волн. Установлено, что эффективность этого процесса максимальна при частотах излучения, не только совпадающих с линейными резонансными частотами для такой модели атмосферы, но и — при частотах излучения, меньших резонансных на величину разностной частоты. Показано, что с ростом величины температурного скачка скорость акустического потока уменьшается, причем вклад в него нелинейного взаимодействия распространяющихся вниз и нелинейного взаимодействия встречных акустико-гравитационных волн отсутствует.

Здесь считаю своим долгом выразить глубочайшую признательность моему научному руководителю профессору Гурбатову Сергею Николаевичу за неоценимую помощь при подготовке и написании диссертации, а также В.П. Докучаеву

С.А. Жевакину, |Ю.В. Петухову, Н.В. Прончатову-Рубцову за конструктивную критику и многочисленные плодотворные дискуссии по затронутым здесь вопросам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петухов, Михаил Юрьевич, 2004 год

1. Петухов М.Ю. Акустический поток в изотермической атмосфере // Труды Нижегородской акустической научной сессии / Ред. С.Н. Гурбатов. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2002. С. 230-232.

2. Петухов М.Ю., Петухов Ю.В. Параметрическая генерация магнитоакустико-гравитационных волн в атмосфере Солнца II Препринт № 601. Н.Новгород: ИПФ РАН, 2002, 24 с. // Письма в Астрономический журнал. 2003. Т.29, №2. С. 137-147.

3. Петухов М.Ю. Частота отсечения для быстрых магнито-акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере II В кн.: Труды 5-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2001. С. 273-274.

4. Петухов М.Ю. Параметрическая генерация быстрых магнито-акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере II В кн.: Труды 5-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2001. С. 274-275.

5. Petukhov M.Yu., Petukhov Yu.V., The parametric generation of the magnetic-acoustic-gravity waves in an atmosphere, Proceedings of the 16th International symposium of nonlinear acoustics / Ed. Rudenko O., Moscow, August 19-23, 2002, P. 259-262.

6. Петухов М.Ю., Петухов Ю.В. Параметрическая генерация акустико-гравитационных волн альвеновскими волнами в изотермической атмосфере II В кн.: Труды 4-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2000. С.283-284.

7. Гурбатов С.Н., Петухов М.Ю. Акустический поток в неизотермической атмосфере // В кн.: Труды 7-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2003.

8. Гурбатов С.Н., Петухов М.Ю. Влияние стратификации температуры в атмосфере на параметрическую генерацию акустико-гравитационных волн II Сборник трудов XIII сессии Российского акустического общества. Т.4. М.: ГЕОС, 2003. С. 170-173.

9. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.

10. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. М.: Изд-во иностр. литер., 1963. 327 с.

11. Дикий Л.А. Теория колебаний земной атмосферы. Л.: Гидрометеорологическое изд-во, 1969. 195 с.

12. Голицын Г.С., Кляцкин В.И. Колебания в атмосфере, вызванные движениями свободной поверхности II Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1967. Т. 3. № 10. С. 1044-1052.

13. Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. М.: Мир, 1978. 532 с.

14. Григорьев Г.И. Акустико-гравитационные волны в атмосфере Земли (обзор) // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т. 42. № 1. С. 3-25.if

15. Coroniti F.V., Ulrich R.K., Wang Z. Acoustic wave propagation in the solar atmosphere. I. Rediscussion of the linearized theory including nonstationary solutions II As-trophys. J. 1995. V. 444. N 2. P. 879-915.

16. Sutmann G., Ulmschneider P. Acoustic wave propagation in the solar atmosphere. I. Linear response to adiabatic wave excitation II Astron. Astrophys. 1995. V. 294. N 1. P. 232-240.

17. Musielak Z.E., Sutmann G., Ulmschneider P. Acoustic wave propagation in the solar atmosphere. III. Analytic solutions for adiabatic wave excitation I I Astron. Astrophys. 1998. V. 340. N2. P. 556-568.

18. Дубов Э.Е. Колебания и волны в атмосфере Солнца II Итоги науки и техники. Астрономия. Т. 14. Физика Солнца. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 148-266.

19. Воронцов С.В., Жарков В.Н. Гелиосейсмология II Итоги науки и техники. Астрономия. Т. 38. Астрофизика и космическая физика. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 253-338.

20. Каплан С. А., Островский Л. А., Петрухин Н. С., Фридман В. Е. Расчет самосогласованных моделей хромосфер Солнца и звезд И Астрон. журн. 1972. Т. 49. №6. С. 1267-1274.

21. Вандакуров Ю. В. О проникающих в хромосферу акустических модах // Письма в Астрон. журн. 1994. Т. 20. №3. С. 877-880.

22. Гармаш С.В., Линьков Е.М., Петрова Л.Н., Швед Г.М. Возбуждение колебаний атмосферы сейсмогравитационными колебаниями Земли II Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т. 25. № 12. С. 1290-1299.

23. Северный А.Б. Некоторые проблемы физики Солнца. М.: Наука, 1988.221 с.

24. Костык Р. И., Щукина Н. Г. Локальные 5-минутные колебания над солнечными гранулами и межгранульным пространством // Письма в Астрон. журн. 1999. Т. 25. №10. С.781-791.

25. Nigam R., Kosovichev A. G. Source of solar acoustic modes // Astrophys. J. 1999. V. 514. P. L53-L56.

26. Murawski K, Nocera L., Pelinovsky E.N. Influence of wave noise on frequencies and amplitudes of the solarp-modes // Astron. Astrophys. 2002. V. 387. N.l. P. 335-338.

27. Rast M. P., Bogdan T. J. On the asymmetry of solar acoustic line profiles // Astrophys. J. 1998. V. 496. N.l. P. 527-237.

28. Fleck В., Schmitz F. On wave equations on cutt-off frequencies of plane atmospheres II Astron. Astrophys. 1998. V. 337. N 2. P. 487-494.

29. Романова H.H. О вертикальном распространении коротких акустических волн в реальной атмосфере II Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1970. Т. 6. № 2. С. 134-145.

30. Finaudi F. Shock formation in acoustic gravity waves // J. Geophys. Res. 1970. V. 75. N l.P. 193-200.

31. Романова H.H. О нелинейном распространении акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере II Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1971. Т. 7. № 12. С. 1251-1262.

32. Уралов A.M. Затухание слабой ударной волны в изотермической атмосфере с учетом дисперсионной поправки // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т. 18. №8. С. 797-803.

33. Косовичев А.Г., Попов Ю.П. К расчету одномерных нестационарных задач гравитационной газовой динамики И ЖВММФ. 1979. Т. 19. № 5.С. 1253-1261.

34. Fleck В., Schmitz F. On the hydrodynamic shock waves in stellar atmospheres II Astron. Astrophys. 1993. V. 273. N 2. P. 671-683.

35. Bodo G., Kalkofen W., Massaglia S., Rossi P. Propagation of acoustic waves in a stratified atmosphere II Astron. Astrophys. 1994. V. 284. N 3. P. 976-984.

36. Sutmann G., Ulmschneider P. Acoustic wave propagation in the solar atmosphere. II. Nonlinear response to adiabatic wave excitation I I Astron. Astrophys. 1995. V. 294. N l.P. 241-251.

37. Colella P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations И J. Сотр. Phys. 1984. V. 54. N 1. P. 174-201.

38. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 175 с.

39. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 287 с.

40. Петухов Ю.В., Фридман Е.В. Нелинейный механизм аномального затухания гидроакустических сигналов II Акуст. журн. 1980.Т. 26. № 6. С. 283-286.

41. Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Цытович В. Н. Физика плазмы солнечной атмосферы. М.: Наука, 1977. 255с.

42. Прист Э. Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. 589с.

43. Ulrich R. К. Observations of magnetohydrodynamic oscillations in the solar atmosphere with properties of alfven waves И Astrophys. J. 1996. V. 465. N1. P. 436-450.

44. Nye A. N., Thomas J. H. Solar magneto-atmospheric waves. I. An exact solution for a horizontal magnetic field II Astrophys. J. 1976. V. 204. N.2. P. 573-581.

45. Nye A. N., Thomas J. H. Solar magneto-atmospheric waves. II. A model for running penumbral waves И Astrophys. J. 1976. V. 204. N.2. P. 582-588.

46. Dzhalilov N. S., Zhugzhda Y. D. Magneto-acoustic-gravity waves on the Sun: I. The theory of running penumbral waves II Astron. Astrophys. 1984. V.132. N.2. P. 333-340.

47. Nye A. N., Thomas J. H. Solar magneto-atmospheric waves. I. An exact solution for a horizontal magnetic field I I Astrophys. J. 1976. V. 204. N.2. P. 573-581.

48. Nye A. N., Thomas J. H. Solar magneto-atmospheric waves. II. A model for running penumbral waves II Astrophys. J. 1976. V. 204. N.2. P. 582-588.

49. An C.-N., Moore R.L., Musielak Z.E., Suess S.T. Propagating and nonpropagatingcompression waves in an isothermal atmosphere with uniform horizontal magnetic field //Astrophys. J. 1989. V. 344. N1. P. 478-493.

50. Musielak Z.E., Stark B.A. The cutoff frequency for fast-mode magnetohydrodynamic waves in an isothermal atmosphere with a uniform horizontal magnetic field II Astrophys. J. 1993. V. 409. N1. P. 450-454.1

51. Miles A. J., Roberts B. Magnetoacoustic-gravity waves. I. Constant Alfven speed II Solar Phys. 1992. V. 141. N. 1. P.205-234.

52. Jain R., Roberts B. Effects of non-parallel propagation on p- and f-modes //Astron. As-trophys. 1994. V. 286. N.2. P.243-253.

53. Thomas J.H., Nye A.H. Convective instability in the presence of a nonuniform horizontal magnetic field II Phys. Fluids. 1975. V.18. N4. P. 490-491.

54. Космическая магнитная гидродинамика / Под ред. Приста Э., Худа А. М.: Мир, 1995.439с.

55. Ferraro V.C.A., Plumpton С. Hydromagnetic waves in a horizontally stratified atmosphere II Astrophys. J. 1958. V.127, N 2. P.459-476.

56. Nakagawa Y., Priest E.R., Wellck R.E. The trapped magnetoatmosphere waves II Astrophys. J. 1973. V.184, N 3. Pt.l. P.931-953.

57. Бренгауз В.Д. О распространении магнитозвуковых волн в неоднородной среде II Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1969. Т. 12, №10. С. 1455-1460.

58. Бренгауз В.Д. Взаимодействие магнитогравитационных волн и некоторые приложения в физике солнечной атмосферы II Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т.17, №2. С. 192-203.

59. Hollweg J.V. A new resonance in the solar atmosphere I. Theory. II Solar. Phys. 1979. V.62, N 2. P.227-240.

60. Hollweg J.V. Alfven waves in the solar atmosphere. II: Open and closed magnetic flux tubes II Solar Phys. 1981. V.70, N 1. P.25-66.

61. Christensen-Dalsgaard J., Hasan S.S. The influence of a vertical magnetic field on oscillations in an isothermal stratified atmosphere II Astrophys. J. 1992. V.396, N 1. P.311-332.

62. Banaijee D., Christensen Dalsgaard J., Hasan S.S. The influence of a vertical magnetic field on oscillations in an isothermal stratified atmosphere II. II Astrophys. J. 1995. V.451, N 2. Pt.l. P.825-842.

63. Pontieu B. D., Martens P. С. H., Hudson H. S. Chromospheric damping of Alfven waves И Astrophys. J. 2001. V. 558. N.2. P. 859-871.

64. Litwin C., Rosner R. Coronal scale-height enhancement by magnetohydrodynamic waves /I Astrophys. J. 1998. V. 506. P. L143-L146.

65. Litwin C., Rosner R. Alfven wave transmission and heating of solar coronal loops II Astrophys. J. 1998. V. 499. N.2. P. 945-950.

66. Ofman L., Klimchuk J. A., Davila J. M. A self-consistent model for the resonant heating of coronal loops: the effects of coupling with the chromosphere II Astrophys. J. 1998. V. 493.N.1.P. 474-479.

67. Similon P. L., Zargham S. Alfven wave transmission through the solar atmosphere // Astrophys. J. 1992. V. 388. N.2. P. 644-647.

68. Sterling A. C. Aljvenic resonances on ultraviolet spicules // Astrophys. J. 1998. V. 508. N.2. P. 916-924.

69. Wu D. J., Fang C. Two-fluid motion ofplasma in alfven waves and the heating of solar coronal loops II Astrophys. J. 1999. V. 511. N.2. P. 958-964.

70. Wu D. J., Fang C. Coronal plume heating and kinetic dissipation of kinetic alfven waves И Astrophys. J. 2003. V. 596. N.2. P. 656-662.

71. Petkaki P., Malara F., Veltri P. Topological formation of small scales in magnetohydro-dynamics: a fast dissipation mechanism II Astrophys. J. 1998. V. 500. N.l. P. 483-491.

72. Uchida Y., Kabuaki O. Excess heating a corona and chromosphere above magnetic regions by non-linear Alfven waves // Solar Phys. 1974. V.35, N 2. P.451-466.

73. Wentzel D.G. Coronal heating by Alfven waves // Solar Phys. 1974. V.39, N 1. P. 129-140.

74. Chiu Y.T. Arbitrary amplitude magnetoacoustic waves under gravity: An exact solution //Phys. Fluids. 1971. V.14,N 8. P.1717-1724.

75. Cohen R.H., Kulsrud R.M. Nonlinear evolution of parallel propagating hydromag-netic waves II Phys. Fluids. 1974. V.17, N 12. P.2215-2225.

76. Low B.C. Self-similar magnetohydrodynamics. I. The у\ = 41Ъ polytrope and the coronal transient II Astrophys. J. 1982. V.254, N 2. Pt.l. P.796-805.

77. Онищенко О. Г. Нелинейные алъвеновские пакеты, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля в релятивистской электронно-позитронной плазме II Письма в Астрон. журн. 1997. Т. 23. №6. С. 475-480.

78. Nakariakov V.M., Ofman L., Arber T.D. Nonlinear dissipative spherical Alfven waves in solar coronal holes II Astron. Astrophys. 2000. V. 353. P. 741-748.

79. Бережко E. Г., Петухов С. И., Танеев С. Н. Влияние нелинейного взаимодействия альвеновских волн на регулярное ускорение частиц. Головная околоземная ударная волна II Письма в Астрон. журн. 2002. Т. 28. №9. С. 701-710.

80. Frank A., Jones T.W., Ryu D. Numerical magnetohydrodynamics in astrophysics: Algo-ritm and tests for multidimensional flow И Astrophys. J. 1995. V.452, N 2. P.785-796.

81. Galloway D., Hollweg J.V., Jackson S. Alfven waves in the solar atmosphere. Ill Nonlinear waves on open flux tubes II Solar Phys. 1982. V.75, N 1. P.35-61.

82. Hollweg J.V. Heating of the corona and solar wind by switch — on shocks II Astrophys. J. 1982. V.254, N 2. P.806-813.

83. Herbold G., Rosner R., Ulmschneider P. Propagation of nonlinear, radiatively damped longitudial waves along magnetic flux tubes in the solar atmosphere II Astron. Astrophys. 1985. V.145, N 1. P.157-169.

84. Hollweg J.V., Sterling A.C. The rebound shock model for solar spicules: Dynamics at long times // Astrophys. J. 1988. V.327, N 2. P. 950-963.

85. Kudoh Т., Shibata K. Alfven wave model of spicules and coronal heating II Astrophys. J. 1999. V.514, N.l. P.493-505.

86. Справочник по специальным функциям // Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 830с.

87. Савина О.Н., Беспалов П.А. Акустико-гравитационные волны вблизи скачка температуры солнечной атмосферы II Письма в Астрон. Журн., 1997. Т.24. №1.1. С. 58-62.