Параллельные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Васильева, Мария Васильевна

• Васильева, Мария Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильева, Мария Васильевна

Содержание

Введение

Глава 1. Задачи многофазной фильтрации

1.1. Закон сохранения массы

1.2. Закон Дарси

1.3. Свойства флюидов

1.4. Свойства пористых сред

1.5. Начальные и граничные условия

1.6. Фильтрация сжимаемой жидкости в упру го-деформируемой пористой среде

1.7. Двухфазная фильтрация с учетом капиллярных и гравитационных сил

Глава 2. Итерационные методы решения задачи для давления

2.1. Задача для давления

2.2. Сеточная задача

2.3. Свойства операторов задачи

2.4. Тестовая задача

2.5. Методы решения

2.6. Итерационное решение задачи

2.7. Параллельные реализации

Глава 3. Явно-неявные схемы для задач фильтрации

3.1. Введение

3.2. Дифференциальные задачи

3.3. Свойства дифференциальных операторов

3.4. Априорные оценки

3.5. Дифференциально-разностная задача

3.6. Двухслойные разностные схемы

3.7. Явно-неявные схемы

3.8. Численное сравнение

Глава 4. Вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации

4.1. Введение

4.2. Схемы основанные на явном вычислении насыщенности

4.3. Вычислительный алгоритм с использованием неявной схемы

для насыщенности

4.4. Аппроксимация по пространству

4.5. Сравнение вычислительных алгоритмов

4.6. Параллельные реализации

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации»

Введение

Математическое моделирование процессов фильтрации является важным для понимания течений жидкости в пористых средах; для выбора оптимального плана разработки месторождения; для построения новых проектов бурения скважин в разрабатываемых месторождениях; и принятия более эффективных вторичных технологий добычи углеводородного сырья. Построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса.

Математические модели процессов разработки месторождений углеводородного сырья базируются на фундаментальных законах механики многофазных сред, и следовательно, включают дифференциальные уравнения, которые в той или иной форме выражают законы сохранения массы и количества движения [1, 2]. Прежде всего, используются уравнения неразрывности, которые соответствуют закону сохранения массы для каждой отдельной фазы. В теории фильтрации уравнения движения записываются в виде закона Дарси, который связывает скорость с давлением.

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых являются существенно нелинейными и трудными для исследования [3, 4]. Вторая особенность математических моделей течений многофазных жидкостей, которая характерна и для линейных задач, проявляется в замыкании системы уравнений на основе постоянства суммы всех насыщенностей. Такие алгебраические составляющие модели необходимо учитывать при построении вычислительных алгоритмов решения задач фильтрации многофазной жидкости [5, 6].

Существуют несколько методов решения нестационарных краевых задач для связанных систем уравнений с частными производными для существую-

щих моделей. Эти подходы включают в себя как полностью неявный метод (Р1М), метод явный по насыщенности и неявный по давлению (ШРЕБ), метод последовательного решения (БЕС^)) и другие [5, 7? -10]. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки.

Полностью неявный метод [11] основан на применении тех или иных неявных разностных схем для исходной системы уравнений. В этом случае мы имеем безусловную устойчивость и более точное решение, однако, получаем большие вычислительные сложности, что негативно сказывается на времени счета. Второй класс методов ориентирован на уменьшение вычислительной работы за счет использования схем расщепления и решения более простых задач на новом временном слое — расщепление по физическим процессам [12, 13]. На основе ШРЕБ строятся наиболее эффективные алгоритмы решения задачи на каждом временном слое. В этом подходе формулируется задача для давления, которое решается с использованием неявных аппроксимаций по времени. После получения давления все другие искомые величины находятся на основе явных аппроксимаций. Для 1МРЕ8 типичной является проблема с устойчивостью заключающаяся в ограничении шага по времени. Поэтому различные модификации 1МРЕ8 направлены на повышения запаса устойчивости при сохранении его вычислительной эффективности. Например, после расчета давления можно использовать [14] неявные аппроксимации для расчета насыщенностей (БЕС^)). При построении подобных схем желательно использовать согласованные аппроксимации, чтобы в том или ином виде сеточное уравнение для давления являлось алгебраическим следствием сеточных аналогов уравнения для насыщенностей и связи посредством суммы насыщенностей.

При прикладном математическом моделировании фильтрации на основе определяющих уравнений с частными производными особое внимание уделя-

ется вопросам построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения базовых задач математической физики.

В работе рассмотрены основные особенности задачи фильтрации многофазной жидкости, которые необходимо учитывать при построении вычислительных алгоритмов [15-21].

Многие особенности задачи фильтрации передают уравнения конвекции-диффузии [22-24]. Принципиальным, в частности, является несамосопряженность оператора задачи, а также преобладание конвективного переноса перед диффузионным в прикладных задачах. На таких базовых задачах отрабатываются основные вопросы теоретического обоснования и практического использования численных методов, которые связаны с аппроксимацией дифференциальной задачи, наследованием основных свойств дискретной задачи: устойчивость, консервативность, монотонность (выполнение принципа максимума) .

В вычислительной практике при численном решении нестационарных задач для уравнений конвекции-диффузии чаще всего применяются двух-и трехслойные разностные схемы. Для таких разностных схем исследование устойчивости базируется на общих результатах теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем A.A. Самарского [25-27]. Необходимо иметь в виду, что прямое применение общих критериев устойчивости для подобных задач может быть затруднительным из-за несамосопряженности операторов [24].

Различная природа конвективного, диффузионного переносов и процессов реакции проявляется, в частности, в существенно различных характерных скоростях протекающих процессов. Такая гетерогенность может быть учтена при выборе аппроксимаций по времени. Наиболее ярко неоднородность аппроксимаций по времени выражена при использовании явно-неяв-

ных схем. В этом случае при приближенном решении нестационарной задачи часть слагаемых оператора задачи аппроксимируется явными соотношениями, а часть — неявными.

Явно-неявные схемы широко используются при численном решении задач конвекции-диффузии. Различные неоднородные аппроксимации по времени приведены в работе [28]. Используются те или иные явные аппроксимации оператора конвективного переноса, а для оператора диффузионного переноса применяются неявные аппроксимации. Таким образом, снимаются наиболее жесткие ограничения на шаг по времени, обусловленные диффузией. С учетом подчиненности оператора конвективного переноса диффузионному, можно показать [24] безусловную устойчивость явно-неявных схем для нестационарных задач конвекции-диффузии.

В задачах конвекции-диффузии-реакции оператор задачи может быть незнакоопределенным. Это соответствует тому, что система может быть недис-сипативной, т.е. норма решения однородной задачи не убывает со временем. В задаче допускается экспоненциальный рост решения и такое поведение решения необходимо передать на дискретном уровне. В работе строятся безусловно устойчивые схемы для таких задач [29, 30], которые основаны на расщеплении оператора задачи на два слагаемых и использовании для одного из них явных аппроксимаций по времени, а для другого — неявных. Неявные аппроксимации соответствуют части оператора задачи, которая обуславливает диссипативные свойства задачи. В случае кососимметричного оператора конвективного переноса предложенное расщепление применяется для оператора реакции.

После аппроксимации по пространству и построения безусловно устойчивых разностных схем для решения задачи фильтрации многофазной жидкости получаем эллиптическую задачу для каждого временного слоя, которая

характеризуется несамосопряженностью оператора. В силу которого необходимо строить итерационные алгоритмы, которые учитывают специфику задачи [31, 32]. При этом возникающие системы имеют очень большую размерность (миллионы неизвестных элементов), а наличие неоднородностей среды, большого числа источников и стоков (нагнетательные и добывающие скважины соответственно), гравитационных и капиллярных сил еще сильнее усложняет структуру получающихся матриц и ухудшает их алгебраические свойства. Кроме того быстрое развитие технологий разработки месторождений требует от гидросимуляторов обработки все больших и более сложных моделей. Гидродинамические симуляторы теперь должны считать на очень мелких сетках с сотнями миллионов неизвестных и должны давать возможность рассчитывать большие и сложные месторождения. В то же время, численное моделирование должно быть эффективным по отношению к требуемому времени счета т.е. уметь рассчитывать месторождение в течении короткого времени. Повышенные требования к вычислительным ресурсам обусловлены также и нестационарностью, трехмерностью рассматриваемых процессов, неоднородностью физических характеристик пласта и др. Все эти требования указывают на необходимость применения вычислительных кластеров [33-38].

Для решения разреженных линейных систем большой размерности на параллельных вычислительных кластерах создано множество различных библиотек программ. Как правило, библиотеки программ используют итерационные методы подпространств Крылова с предобуславливанием и отличаются форматами представления матриц, типами предобусловливателей, способами обмена сообщениями между процессорами.

Адаптации вычислительных алгоритмов математической физики на параллельные компьютеры возможна с применением методов декомпозиции области. Методы декомпозиции области на подобласти используются для по-

строения эффективных вычислительных алгоритмов для параллельных компьютеров с распределенной памятью, Расчетная область разбивается на множество подобластей, что приводит к одновременному решению задачи на различных процессорах одновременно. Для организации обмена между процессорами применяется, хорошо зарекомендовавшая себя, библиотека межпроцессорной коммуникации MPI (Messing Passage Interface).

В настоящее время существуют множество вычислительных библиотек для решения больших систем уравнений на параллельных архитектурах, в которых уже реализованы параллельные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений [15, 39-47]. При реализации задач численного моделирования с использованием параллельных численных пакетов приходится писать достаточно много сложного кода. Большое количество оперируемых данных увеличивает сложность программы и соответственно увеличивает количество ошибок, возникающих при реализации математических моделей [48-65]. Организация сложной логики, которая описывает математическую модель, невозможна без объектно-ориентированного подхода [66-76]. Использование данного подхода структурирует основные сущности предметной области т. е. вместо использования одной подпрограммы, несущей в себе всю логику, которая соответствует численному решению некоторой математической модели, предметная область представляется в виде множества объектов, наделенных только функциями, отвечающими их природе. Задание математической модели происходит с использованием операторного представления, упрощающего конструирование дискретной задачи с соблюдением основных ее свойств. Также в значительной степени упрощается реализация различных методов решения возникающих нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции и реализация различных конечно-разностных аппроксимации по пространственным переменным для представленных опера-

торов [16, 21, 39].

В первой главе проводится рассмотрение основных законов описывающих фильтрацию многофазной сжимаемой жидкости. Рассматриваются основные свойства флюидов и пористой среды. Сформулирована базовая система уравнений динамики многокомпонентной жидкости в пористых средах.

Во второй главе обсуждаются основные особенности сеточной задачи для давления. Для более ясного изложения материала используются простейшие равномерные сетки для задачи в прямоугольнике. Основное внимание в главе уделяется итерационным методам расчета давления на новом временном слое. Описана тестовая двумерная задача и рассмотрены возможности применения стандартных итерационных методов с предобуславливателями. Представлены результаты итерационного решения модельных задач для давления на параллельных компьютерах.

В третьей главе строятся безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии-реакции, которые основаны на расщеплении оператора задачи на два слагаемых и использовании для одного из них явных аппроксимаций по времени, а для другого — неявных. Неявные аппроксимации соответствуют части оператора задачи, которая обуславливает диссипативные свойства задачи. В случае кососимметричного оператора конвективного переноса предложенное расщепление применяется для оператора реакции. На модельной двумерной начально-краевой задаче для уравнения конвекции-диффузии-реакции проводиться рассмотрение явно-неявных двухслойных схем первого порядка аппроксимации по времени.

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых средах являются существенно нелинейными и трудными для исследования. Другой особенностью математических моделей течений многофазных жидкостей, которая характерна и для линейных задач, проявляется в замы-

кании системы уравнений на основе постоянства суммы всех насыщенностей. Такие алгебраические составляющие модели рассматриваются в четвертой главе, с учетом которых строятся вычислительные алгоритмы решения задач фильтрации многофазной жидкости. Приводиться численное сравнение предложенных алгоритмов. Приводятся результаты численного моделирования двухфазной фильтрации на параллельных вычислительных системах.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору П. Н. Вабищевичу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильева, Мария Васильевна

Заключение

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных методов и вычислительных алгоритмов, применяемых для моделирования многофазных течений в пористых средах на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

В работе проведен анализ алгоритмов расчета задач фильтрации на компьютерах параллельной архитектуры, что позволило выявить особенности связанные с несамосопряженностью оператора задачи для давления и показать зависимость сходимости метода от физических параметров задачи. Показана эффективность параллельной реализации при использовании различных предобуславливателей.

Построены новые безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии-реакции учитывающие особенности задачи течения многофазного течения в пористой среде связанных с незнакоопределенностью оператора задачи. Проведено численное сравнение предложенной схемы со стандарной чисто неявной разностной схемой.

Разработана программная реализация предложенных методов с использованием объектно-ориентированного подхода и паттернов проектирования, учитывающая особенности предлагаемых методов и архитектуру современных многопроцессорных вычислительных систем. Проведено численное сравнение вычислительных алгоритмов на задачах двухфазной фильтрации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильева, Мария Васильевна, 2012 год

Литература

1. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. Dover Publications, 1988. P. 784.

2. Dagan G. Flow and Transport in Porous Formations. New York: Springer-Verlag, 1989. P. 465.

3. Trangenstein J. A., Bell J. B. Mathematical structure of the black-oil model for petroleum reservoir simulation // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1989. Vol. 49, no. 3. Pp. 749-783.

4. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, 2006. P. 624.

5. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. Society for Industrial Mathematics.

6. Fanchi J. R. Principles of applied reservoir simulation. Gulf Professional Publishing, 2006. P. 511.

7. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. Applied Science Publishers, 1979. P. 476.

8. Peaceman D. W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Developments in Petroleum Science. Elsevier Scientific Pub. Co., 1977. P. 176.

9. Каневская P. Д. Математическое моделирование гидродинамических про цессов разработки месторождений углеводородов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 212.

10. Chen Z. Formulations and numerical methods of the black oil model in porous media // SIAM J. NUMER. ANAL. 2000. Vol. 38, no. 2. Pp. 489-514.

11. Yeoh G.H., Tu J. Computational techniques for multiphase flows. Elsevier, 2010. P. 643.

12. Marchuk G. I. Splitting and alternating direction methods // Handbook of Numerical Analysis / Ed. by P. G. Ciarlet, J.-L. Lions. Amsterdam: North-Holland, 1990. Vol. 1. Pp. 197-462.

13. Самарский А. А., Вабищевич П. H. Аддитивные схемы для задач математической физики. Москва: Наука, 2001. Р. 320.

14. Watts J. W. A compositional formulation of the pressure and saturation equations // SPE Reservoir Engineering. 1986. Vol. 1, no. 3. Pp. 243-252.

15. Афанасьева H. M., Васильева M. В., Колесов A. E. Математическе моделирование фильтрации. Издательско-полиграфический комплекс СВ-ФУ, 2011. С. 86.

16. Борисов В. С., Васильева М. В., Захаров П. Е., Казаков В. А. Разработка пакета SCore для численного моделирования на вычислительных кластерах // Вестник ЦКР РОСНЕДРА: науч.-техн. журнал. 2012. № 2. С. 36-39.

17. Васильев В. И., Васильева М. В., Попов В. В. Специализированные симу-ляторы гидродинамического моделирования месторождений // Вестник ЦКР РОСНЕДРА: науч.-техн. журнал. 2008. № 4. С. 59-63.

18. Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Математическое моделирование разработки нефтяных месторождений // Математические заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 159-172.

19. Васильева М. В. Численное моделирование фильтрации на многопро-

цессорных системах // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 105-112.

20. Васильева М. В., Павлова Н. В. Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 113-123.

21. Васильева М. В., Захаров П. Е. Библиотека SCore для численного моделирования на высокопроизводительных вычислительных системах / / Труды международной конференции по математическому моделированию. 2011. С. 295-308.

22. Morton К. W., Kellogg R. В. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chapman & Hall London, 1996. P. 375.

23. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent ad-vection-diffusion-reaction equations. Springer Verlag, 2003.

24. Самарский А. А., Вабищевич П. H. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Москва: URSS, 1999. С. 248.

25. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich Р. N. Difference schemes with operator factors. Kluwer Academic Pub, 2002. P. 384.

26. Самарский А. А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1989. С. 1989.

27. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. Москва: Наука, 1973. С. 415.

28. Ascher U. М., Ruuth S. J., Wetton В. Т. R. Implicit-explicit methods for time-dependent partial differential equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1995. Vol. 32, no. 3. Pp. 797-823.

29. Афанасьева H. M., Вабищевич П. H., Васильева M. В. Безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии // Известия вузов. Математика (в печати). 2012.

30. Вабищевич П. Н., Васильева М. В. Явно-неявные схемы для задач конвекции-диффузии-реакции // Сибирский журнал по вычислительной математике (в печати). 2012.

31. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Society for Industrial Mathematics, 2003. P. 528.

32. Самарский А. А., Николаев E. С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. С. 592.

33. Воеводин В. В., Воеводин В л. В. Параллельные вычисления. СПб: БХВ-Петербург, 2002. С. 608.

34. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. M.: Изд-во МГУ, 2004. С. 71.

35. Антонов А. С. Введение в параллельные вычисления. Изд-во Физфака МГУ, 2002. С. 70.

36. Эндрюс Г. Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования. М.: Издательский дом Вильяме, 2003. С. 512.

37. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений. М.: ИН-ТУИТ.РУ, 2007. С. 424.

38. Богачев К. Ю. Основы параллельного программирования. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. С. 344.

39. Захаров П. Е., Григорьев А. В., Васильева М. В. Параллельное программирование на основе библиотек. Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2011. С. 94.

40. Balay S., Gropp W. D., Mclnnes L. Curfman, Smith B. F. Efficient Management of Parallelism in Object Oriented Numerical Software Libraries. 1997. Pp. 163-202.

41. Balay S., Brown J., et al. PETSc Users Manual: Tech. Rep. ANL-95/11 -Revision 3.2: Argonne National Laboratory, 2011.

42. Balay S., Brown J., Buschelman K. et al. PETSc Web page. 2011. http://www.mcs.anl.gov/petsc.

43. Heroux M. A., Willenbring J. M., Heaphy R. Trilinos Developers Guide: Tech. Rep. SAND2003-1898: Sandia National Laboratories, 2003.

44. Heroux M. A., Willenbring J. M., Heaphy R. Trilinos Developers Guide Part II: ASCI Software Quality Engineering Practices Version 1.0: Tech. Rep. SAND2003-1899: Sandia National Laboratories, 2003.

45. Heroux M., Bartlett R., Hoekstra R. et al. An Overview of Trilinos: Tech. Rep. SAND2003-2927: Sandia National Laboratories, 2003.

46. Sala M., Heroux M. A., Day D. M. Trilinos Tutorial: Tech. Rep. SAND2004-2189: Sandia National Laboratories, 2004.

47. Heroux M. A., Willenbring J. M. Trilinos Users Guide: Tech. Rep. SAND2003-2952: Sandia National Laboratories, 2003.

48. Васильева M. В. Численное моделирование процессов тепломассопереноса при захоронении рассолов в вечномерзлых горных

породах // V Всероссийская школа- семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ». Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2007.

49. Васильева М. В. Параллельная реализация численного моделирования захоронения промышленных отходов в многолетнемерзлых грунтах / / Материалы II Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике». Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2007. - Часть II., 2007.

50. Васильева М. В. Численное решение задачи захоронения промышленных стоков в водоносном пласте с использованием параллельных алгоритмов / / ХЪУ1 Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Секция «Вычислит, математика». Новосибирск, 2008.

51. Васильева М. В. Моделирование захоронения промышленных стоков с использованием параллельных алгоритмов //VI Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ». Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2008.

52. Васильева М. В. Параллельная численная модель нефтяного месторождения / / Сборник тезисов межд. конференции по математическому моделированию. Воронеж: изд-во ВГУ, 2008.

53. Васильева М. В. Математическое моделирование распространения промышленных стоков в водоносном горизонте / / Сборник тезисов ХУ1-ой конференции "Математика. Компьютер. Образование". ,

Секция: Вычислительные методы и математическое моделирование, г. Пущино, 2009.

54. Васильева М. В. Параллельное ЗБ моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами / / Труды научной конференции «Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования». Секция: Фундаментальные основы высокопроизводительных вычислений, г. Ижевск, 2009.

55. Васильева М. В. ЗБ моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами // Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009». 2009.

56. Васильева М. В. Трехмерное моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами // Тезисы докладов Секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009». М.: Механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова, 2009.

57. Васильева М. В. Параллельная реализация ЗБ модели черной нефти // II Всероссийская научная конференция и VII Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ. Якутск: филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2009.

58. Васильева М. В. Численное моделирование однофазной фильтрации на многопроцессорных системах / / Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ- 2010». 2010.

59. Васильева М. В. Numerical modelling flow in porous media on multiprocessor systems // International young scientists conference in mathematical modeling. Liniy, China, 2010.

60. Васильева M. В. Параллельная численная реализация задачи фильтрации с использованием пакета Petsc / / Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» МАКС Пресс, 2011. 2011.

61. Васильева М. В. Численное моделирование задачи фильтрации на многопроцессорной вычислительной системе // Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.

62. Васильева М. В. Исследование итерационных методов для решения задач многофазной фильтрации // Сборник трудов IX Всероссийской научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. 2011.

63. Васильева М. В. Итерационные методы решения задачи для давления при многофазной фильтрации //VI Международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов / Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиа- холдинг Якутия», 2011.

64. Васильева М. В. Исследование схем с весами для уравнений конвекции-диффузии с использованием библиотеки Score / / Суперкомпьютерные технологии математического моделирования. Тезисы докладов / Под редакцией В.И. Васильева ~ Якутск: ОАО «Медиа-холдинг Якутия», 2011.

65. Васильева М. В. Библиотека Score для численного моделирования на высокопроизводительных вычислительных системах / / Суперкомпьютерные технологии математического моделирования. Тезисы докладов / Под редакцией В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиа-холдинг Якутия», 2011.

66. Александреску А. Современное проектирование на С++: Обобщенное программирование и прикладные шаблоны проектирования. Вильяме, 2004. С. 336.

67. Брукс Ф. Мифический человеко-месяц или Как создаются программные системы. Символ-Плюс, 2010. С. 304.

68. Эккель Б. Философия С++. Введение в стандартный С++. Питер, 2004. С. 572.

69. Эккель Б., Эллисон Ч. Философия С++. Практическое программирование. Питер, 2004. С. 608.

70. Фаулер М. Рефакторинг. Улучшение существующего кода. Символ-Плюс, 2008. С. 432.

71. Гамма Э., Хелм Р., Джонсон Р., Влиссидес Дж. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. Питер, 2007. С. 366.

72. Макконнелл С. Совершенный код. Питер, Русская Редакция, 2007. С. 896.

73. Мэйерс С. Эффективное использование С++. 55 верных советов улучшить структуру и код ваших программ. ДМК Пресс, 2006. С. 296.

74. Хант Э., Томас Д. Программист-прагматик. Путь от подмастерья к мастеру. Лори, Питер Пресс, 2007. С. 298.

75. Страуструп Б. Дизайн и эволюция языка С++. ДМК Пресс, Питер, 2006. С. 448.

76. Страуструп Б. Язык программирования С++. Бином, Невский Диалект, 2008. С. 1104.

77. Chen Zh., Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. Dallas,Texas, 2006.

78. Коновалов A.H. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1988. 166 с.

79. Лаевский Ю. М., Попов П. Е., Калинкин А. А. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости смешанным методом конечных элементов / / Матем. моделирование. 2010. Т. И, № 3. С. 74-90.

80. Лаевский Ю. М. Задача о скважинах для стационарного уравнения диффузии // Матем. моделирование. 2010. Т. 3, № 2. С. 101-117.

81. Четверушкин Б. Н., Гасилов В. А., Поляков С. В. и др. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах // Матем. моделирование. 2005. Т. 17, № 6. С. 58-74.

82. Четверушкин Б. Н. Проблемы эффективного использования многопроцессорных вычислительных систем // Информационные технологии и вычислительные системы. 2000. № 2. С. 22-34.

83. Ciegis R., Iliev O., Lakdawala Z. On parallel numerical algorithms for simulating industrial filtration problems // Comput. Methods Appl. Math. 2007. Vol. 7, no. 2. Pp. 118-134.

84. Ciegis R., Iliev V., O. ans Starikovicius, Steiner K. Numerical algorithms for solving problems of multiphase flows in porous media // Math. Model. Anal. 2006. Vol. 11, no. 2. Pp. 133-148.

85. Iliev O., Rybak I. On numerical upscaling for flows in heterogeneous porous media // Comput. Methods Appl. Math. 8. 8. Vol. 1, no. 2008. Pp. 60-76.

86. Brooks R., Corey A. Hydraulic Properties of Poros Media // Colorado State University Hydrology Paper. 2003. Vol. 3. P. 27.

87. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall Englewood Cliffs, New Jersey, 1964. P. 347.

88. Вабищевич П. H. Явно-неявные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации // Матем. моделирование. 2010. Т. 2, № 4. С. 118-128.

89. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Москва: Наука, 1967. Р. 231.

90. Morton К. W. Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems. New York: Chapman & Hall, 1996. P. 375.

91. Vabishchevich P. N. Finite-difference approximation of mathematical physics problems on irregular grids // Computational Methods in Applied Mathematics. 2005. Vol. 5, no. 3. Pp. 294-330.

92. Hirsch С. Numerical computation of internal and external flows: fundamentals of computational fluid dynamics. Butterworth-Heinemann: Elsevier, 2007.

93. Wesseling P. Research in Numerical Fluid Mechanics. Braunschweig: Vieweg, 1987.

94. Tannehill J. C., Anderson D. A., Pletcher R. H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. Taylor & Francis, 1997. P. 792.

95. Лаевский Ю. M., Гололобов С. В. Явно-неявные методы декомпозиции области решения параболических уравнений // Сибирский математический журнал. 1995. Т. 36, № 3. С. 590-601.

96. Ruuth S. J. Implicit-explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation // Journal of Mathematical Biology. 1995. Vol. 34, no. 2. Pp. 148-176.

97. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative methods for solving the pressure problem at multiphase filtration // Arxiv preprint arXiv: 1107.5479. 2011.

98. Lu B. Iteratively Coupled Reservoir Simulation for Multiphase Flow in Porous Media, PhD dissertation: Ph. D. thesis / The University of Texas at Austin. 2008. P. 165.

99. Lu В., Wheeler M.F. Iterative coupling reservoir simulation on high performance computers // Pet.Sci. 2009. Vol. 6. Pp. 43-50.

100. Lacroix S., Vassilevski Y.V., Wheeler J.A., Wheeler M.F. Iterative solution methods for modeling multiphase flow in porous media fully implicitly // SIAM J. SCI. COMPUT. 2003. Vol. 25, no. 3. Pp. 905-926.

101. Chen Z., Huan G., Li B. An improved IMPES method for two-phase flow in porous An improved IMPES method for two-phase flow in porous An improved IMPES method for two-phase flow in porous media // Transport in Porous Meida. 2004. Vol. 54. Pp. 361-376.

102. Peaceman D. W. Presentation of a horizontal well in numerical reservoir simulation // SPE 21217, The 11th SPE Symposium on Reservoir Simulation, Ananheim, CA. 1991.