Параллелизация задач установившейся ползучести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Давыдов, Андрей Николаевич

• Давыдов, Андрей Николаевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Давыдов, Андрей Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение

1. Расчетные методы исследования установившейся ползучести элементов конструкций. Состояние вопроса

2. Разработка основных положений метода параллелизации решений

при установившейся ползучести

2.1 Определяющее уравнение

2.2 Поверхности равной диссипации в пространствах сил и перемещений. Обобщенная модель подконструкции

2.3 Аппроксимирующая обобщенная модель подконструкции

2.4 Алгоритм вычислительной процедуры метода аппроксимирующих обобщенных моделей

2.5 Алгоритм вычислительной процедуры при

многоуровневой декомпозиции

3. Анализ и оптимизация численных процедур реализации метода аппроксимирующих обобщенных моделей на

параллельных ЭВМ

3.1 Сходимость и точность алгоритма одноуровневой декомпозиции

3.2 Анализ временных затрат и эффективность параллельной реализации МАОМ при одноуровневой декомпозиции конструкции

3.3 Сходимость и точность алгоритма многоуровневой декомпозиции

3.4 Анализ временных затрат и эффективность параллельной реализации МАОМ при использовании схемы бинарного

дерева

3.5 Решение практической задачи установившейся ползучести дефлектора газотурбинной установки методом

аппроксимирующих обобщенных моделей на

параллельной ЭВМ

3.5.1 Выбор схемы реализации метода аппроксимирующих обобщенных моделей для расчета дефлектора

3.5.2 Определение рациональных геометрических размеров дефлектора для условий установившейся ползучести

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллелизация задач установившейся ползучести»

ВВЕДЕНИЕ

Основные направления технического прогресса в энергетике, машиностроении, авиационной и космической технике, добыче, транспортировке и переработки нефти и газа, в технологии связаны с постоянным повышением уровня рабочих нагрузок и температур. Несущая способность оборудования и качество изделий в этих условиях все в большей степени определяются процессами, связанными с ползучестью.

Большой вклад в становление теории ползучести и развитие методов решения прикладных задач внесли работы российских ученых Н.Х. Арутю-няна, Н.М. Беляева, И.А. Биргера, Д.А. Гохфельда, A.A. Ильюшина, JIM. Ка-чанова, H.H. Малинина, Б.Е. Победри, Ю.А. Работнова, А.Р. Ржаницына, В.И. Розенблюма, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Б.Ф. Шора и других. Главные усилия ученых сосредоточены на создании теорий ползучести и длительной прочности материалов, а также на разработке различных методов расчета напряженного и деформированного состояния реономных конструкций.

Сложность задач ползучести конструкций является главной причиной того, что в настоящее время основное внимание уделяется развитию численных методов и использованию вычислительной техники. Появление в последние годы доступных параллельных ЭВМ вызвало повышение интереса к распараллеливанию решений краевых задач, но высокая эффективность па-раллелизации была в основном достигнута только при решении линейных краевых задач.

Аналитический метод обобщенных моделей, оперируя лишь с незначительным числом степеней свободы, открыл возможность получения физически ясных закономерностей нелинейного деформирования. Вместе с тем, этот метод в последние годы был потеснен из расчетной практики методами, всецело опирающимися на дискретизацию краевой задачи и, прежде всего

методом конечного элемента. Каких-либо попыток объединения обобщенных моделей с МКЭ до сих пор не предпринималось.

Актуальность создания нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе объединения обобщенных моделей и численных методов обуславливается рядом научных и прикладных аспектов проблемы.

Метод обобщенных моделей создает все необходимые предпосылки для установления непосредственных связей между внешними воздействиями и характеристиками ползучести конструкций, делает осуществимым рациональное сочетание аналитических преобразований и численного счета, позволяет решать задачи, не нашедшие своего решения альтернативными методами. Кроме того, благодаря работам Д. Бойла, Д.А. Гохфельда, Ю.А. Еремина, Я.М. Клебанова, О.С. Садакова, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Дж. Спенса, И.В. Стасенко и других метод обобщенных моделей хорошо развит для задач неустановившейся ползучести при многофакторном нагружении, что является важным фактором дальнейшего развития предлагаемого нового метода параллелизации решений.

Предлагаемый в данной работе подход, понижая размерность задачи за счет использования обобщенных моделей и метода подконструкций, позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения не только при использовании параллельной ЭВМ, но и при решении на одном процессоре. Это создает предпосылки для оперативного анализа влияния сложных, многофакторных воздействий на ползучесть конструкций, поиска оптимальных конструктивных форм и рациональных геометрических параметров сложных конструкций, решения стохастических, обратных и других задач, требующих значительных затрат машинного времени. Возможность решения названных задач в повседневной инженерной практике до последнего времени отсутствовала несмотря на их большую научную и практическую значимость.

Перечисленные научные и прикладные аспекты параллелизации решений задач установившейся ползучести отражены в содержании данной диссертационной работы. Ее тема соответствует п. 1.1, 1.6, 5.1 и 6.9 Перечня критических технологий федерального уровня, утвержденного постановлением № 2728п-П8 Правительственной комиссии по научно-технической политике от 21.07.96.

Диссертация выполнена в соответствии с тематическими планами НИР Самарского государственного технического университета на 1991-1995 и 1996-2000 годы, государственной научно-технической программой "Конверсия и высокие технологии 1997-2000" (проект № 613.97), государственной инновационной научно-технической программой "Надежность конструкций" (проект № 2.3.12), грантом Госкомвуза в области авиационной и ракетно-космической техники (проект № 96-17-7.1-4) и региональной научно-технической программой "Наукоемкие технологии и конверсия потенциала Самарской области".

Цель работы - создание нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе метода декомпозиции конструкции и численных обобщенных моделей нелинейного деформирования, эффективно использующего постоянно возрастающие возможности современных ЭВМ с параллельной архитектурой.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработан новый подход к построению нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести при неограниченном числе степеней свободы.

2. Получены результаты, уточняющие закономерности трансформации поверхностей равной диссипации в зависимости от степени нелинейности, и разработан метод их аппроксимации.

3. Построены итерационные процедуры параллельной реализации задач установившейся ползучести конструкций, опирающиеся на методы обобщенных моделей и декомпозиции.

4. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости соответствующих итерационных процедур и об оценках погрешностей, возникающих при их численной реализации.

5. Разработаны подходы к оптимизации итерационных процедур при одноуровневой и многоуровневой декомпозиции конструкции.

6. Показано, что применение разработанного метода позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения прикладных задач установившейся ползучести.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической постановки при построении нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести, разработанной системой оценки погрешностей численной реализации, количественным сопоставлением между собой решений, полученных на основе разработанного метода и альтернативных расчетных методов, использованием сертифицированного программного обеспечения.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Разработанные алгоритмы являются универсальными, пригодными для конструкций любой формы, с различными свойствами материала (степень нелинейности, неоднородность, анизотропия) и при различных краевых условиях деформирования.

2. Предложенный метод аппроксимирующих обобщенных моделей (МАОМ) может быть реализован с использованием метода конечных элементов, метода граничных элементов, метода сеток или других хорошо разработанных методов конечномерной аппроксимации.

3. Созданные программные средства могут работать в среде различных операционных систем, в том числе, и на компьютерах с параллельной архитектурой.

4. Даже при использовании единственного процессора время решения задачи предложенным методом может быть уменьшено по сравнению с известными методами решения, не использующими разделение на подконструк-ции.

5. Использование МАОМ особенно предпочтительно в случаях, когда необходимо провести серию расчетов с целью оптимизации конструкции, решения стохастических и обратных задач и др. На примере задачи установившейся ползучести дефлектора конвертированной газотурбинной установки показано как предложенный метод может быть использован при решении практических задач. Серия расчетов для определения рациональных геометрических параметров дефлектора была выполнена менее чем за два рабочих дня, в то время как на проведение этих расчетов традиционными методами потребовалось бы около одного месяца.

Публикации и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях, а также в тезисах и в научно-технических отчетах.

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на VIII международной конференции - выставке "Simulating Real Life: Software with No Boundaries" (Питсбург, США, 1998), XXIII Всероссийской молодежной научной конференции "Гагаринские чтения" (Москва, 1997), международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (Набережные Челны, 1996), VII научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997), конференции "Надежность механических систем" (Самара, 1995).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (195 наименований) и приложения. Объем диссертации - 172 страницы, в ней содержится 79 рисунков и 21 таблица.

1. РАСЧЕТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

Для надежной оценки работоспособности конструкций в энергетике, авиации и металлургии, строительных конструкций и других необходим учет поведения материалов при повышенных напряжениях и температурах, когда может развиваться такое явление, как ползучесть - медленное накопление деформаций с течением времени, наблюдаемое даже при постоянных напряжениях.

Одной из первой работ, в которой исчерпывающим образом излагались цели и методы анализа напряжений и проектирования при ползучести, была работа Бейли [71], опубликованная в Англии в 1935 году. Цели, которые ставил Бейли, и методы, которые он использовал, весьма схожи с используемыми до настоящего времени. Бурный рост исследований по ползучести относится к концу 50-х годов. Исчерпывающий обзор работ этого периода можно найти в книге Финни и Хеллера [101] - первой книге, в которой излагаются современные методы анализа напряжений при ползучести. После этого на протяжении 60-х годов было опубликовано немало книг, из которых отметим монографии Л.М. Качанова [26], Одквиста и Халта [152]. В книге Ю.Н. Работнова [44] подытожен весомый вклад в исследование ползучести, который внесли советские учёные. С тех пор появился целый ряд новых направлений в теории ползучести, которые нашли отражение в монографиях Н.Х. Арутютяна [2], Д. Бойла и Дж. Спенса [79], Д.А. Гохфельда и О.С. Са-дакова [12], A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри [21,40], H.H. Малинина [30,31], Ю.Н. Работнова [45], А.Р. Ржаницына [47], Ю.П. Самарина и Я.М. Клебанова [55], О.В. Сорокина и Ю.П. Самарина [56], И.В. Стасенко [58] и сотнях журнальных статей и обзорах.

При исследовании напряженно-деформированного состояния конструкций при ползучести возникает необходимость решения сложных нелинейных краевых задач. Только упрощенная постановка задач для ряда конст-

рукций простой формы позволяет получить решение в аналитическом виде. В работах Н.Н.Малинина [30,31] рассмотрено решение задач чистого и поперечного изгиба бруса, кручения бруса, вращающихся дисков. В статьях И.В. Стасенко [57,59] даны решения задач установившейся ползучести тонкостенной и толстостенной труб, нагруженных внутренним давлением, осевой силой, изгибающим и крутящим моментами. Ряд интересных контактных задач ползучести решен в работах Н.Х. Арутюняна [1,3].

Для осесимметричных задач плоского напряженного состояния возможно упрощение решений путем использования критерия Треска - Сен-Венана. Этот вопрос исследован в статье В.И. Розенблюма [49]. Решение задач установившейся ползучести дисков на основе этого критерия подробно изложено в работах [26,178], изгиб кольца и пластин - в работе [31]. Ю.В.Немировским [37] для решения осесимметричных задач применен критерий максимального приведенного напряжения.

Если напряжения в конструкции не превосходят предел текучести, то полные деформации состоят из упругих деформаций и деформаций ползучести. В случае, когда последние превалируют, упругими деформациями можно пренебречь. Такое состояние называется состоянием установившейся ползучести. Если уравнения совместности деформаций продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача установившейся ползучести представляет собой задачу нелинейной теории упругости, в которой деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и скорости перемещений. Поскольку решения задач установившейся ползучести совпадают с решениями задач по теории малых упруго-пластических деформаций, то для решения этих задач могут использоваться одни и те же методы, в том числе энергетические или вариационные.

Хорошо известные теоремы теории упругости о минимуме потенциальной энергии и дополнительной энергии имеют аналоги в теории установившейся ползучести. Это теорема о минимуме энергии диссипации и теорема о минимуме дополнительной энергии диссипации. Применяя эти тео-

ремы, можно построить минимизирующую последовательность, члены которой используются в качестве приближенных решений задачи об установившейся ползучести [8,30,31]. Обычно при построении приближенного решения применяют метод Ритца. Некоторые численные результаты решения задачи установившейся ползучести такими методами приведены в работах [44,45].

Л.М. Качанов [26] предложил для приближенного решения краевых задач установившейся ползучести рассматривать распределение напряжений

в теле в виде комбинации

= + к • ~ ; ^ = 7'2'5 (1Л)

где: а/ - напряжения в пределах упругости; а^ - напряжения, удовлетворяющие идеально ползучему телу; к - параметр, определяемый из условия минимума дополнительной энергии диссипации. В работах [25,31] показано, что решение задачи установившейся ползучести нагретого стержня при чистом изгибе с использованием соотношения (1.1) приводит к результатам, очень близким к точному решению.

В некоторых случаях приближенные решения задач установившейся ползучести равномерно нагретых тел можно получить с помощью теоремы Калладина-Друккера [22,23]. Примеры реализации такого подхода содержаться в работах [31,57,79].

Можно отметить и некоторые другие приближенные методы, позволяющие быстро рассчитывать простейшие элементы конструкций [9,72]. Возможность их применения к расчету реальных конструкций не рассматривалась.

Наиболее совершенными следует, по-видимому, считать математические модели, позволяющие непосредственно связывать основные характеристики поведения конструкции с внешними воздействиями на неё. В качестве характеристик, имеющих универсальное значение, могут выступать обобщенные меры деформаций и напряжений. Под обобщенными мерами де-

формаций и напряжений понимают прежде всего интегральные характеристики жесткости конструкций: обобщенные перемещения и обобщенные силы. Такие обобщенные математические модели широко применяются в упругости, а также в пластичности, при решении задач строительной механики для тонкостенных и рамных конструкций, трубопроводных систем и других, где они позволяют исключить сложный и дорогостоящий трехмерный анализ. Обобщенную модель образуют также зависимости между обобщенной силой и локальными деформациями, рассмотренные Д.П. Вильямсом и Т.Х. Топером [183] для случая циклического упруго-пластического деформирования конструктивных элементов.

Существование функциональной связи между обобщенными силами и перемещениями при ползучести показано Л.М. Качановым [26]. Соответствующие зависимости получены им с использованием принципа минимума дополнительной мощности рассеивания. В этой же работе предложена приближенная модель балки при изгибе в виде суммы упругой и неупругой кривизны. Скорость последней отвечает решению задачи установившейся ползучести в виде

где М- изгибающий момент; Зп - геометрическая характеристика сечения; V-константа, показатель степени в определяющем уравнении; и} - функция времени.

Дж. Бойл и Дж. Спенс [81] такое уравнение записали для произвольной системы сил

где йс3- скорость обобщенного перемещения, определяемая из решения задачи установившейся ползучести; Н -дополнительная мощность рассеивания при установившейся ползучести; О^ц -обобщенная сила.

дН

; 8 = 1,2,...

(1.2)

Зависимость (1.2) конкретизирована В.И. Розенблюмом для тонких оболочек в работе [50], а для стержневых элементов при растяжении и изгибе в [81] рассмотрено несколько вариантов зависимости дополнительной мощности рассеивания от осевой силы и изгибающего момента.

Для определения неупругой части скоростей обобщенных перемещений Л.М. Качановым предлагались формулы типа закона течения [26]

. с / ч дН и,. = ии)--

5 к} дй,

Ю.Н. Работнов рассматривал обобщенный закон упрочнения [43] в виде

где иас -эквивалентное неупругое обобщенное перемещение; Qa - эквивалентная обобщенная сила.

Для решения однопараметрических задач предназначена обобщенная модель, разработанная Д.А. Гохфельдом и О.С. Садаковым [12]. Она опирается на кинематическую гипотезу пропорционального изменения компонент тензора деформаций и структурную модель материала.

В работах Ю.П. Самарина, Ю.А. Еремина и В.П. Радченко [15,16,17, 51,53,54] для описания ползучести материала используется теория частичной обратимости реономных деформаций Ю.П. Самарина [53] и вводится предположение, что структура уравнений обобщенной модели конструкции аналогична структуре зависимостей между деформациями и напряжениями. Возможность такой аналогии обосновывается с общих позиций представления и материала и конструкции как управляемых объектов в теории управления. Построенные в этих работах модели показали свою эффективность при решении ряда однопараметрических задач ползучести [35]. Вопросы создания моделей двухпараметрического нагружения и их использования при реализации метода многоуровневой схематизации в ползучести рассмотрены Ю.А. Ереминым [15].

Применение обобщенных моделей в линейной теории упругости, где можно получить "точные" обобщенные определяющие уравнения, является обычным и не требует особых обоснований. Из-за нелинейности определяющих уравнений установившейся ползучести точные обобщенные определяющие соотношения здесь можно получить лишь в единичных случаях, поэтому в основном используется их аппроксимация. В связи с этим одним из наиболее важных результатов в изучении установившейся ползучести конструкций под воздействием системы внешних усилий является теорема Калла-дина-Друкера о вложенных поверхностях диссипации [22,23]. Она сделала возможным создание обобщенных моделей простых конструктивных элементов для наиболее распространенного закона установившейся ползучести - степенной связи между напряжениями и скоростями деформаций. Соответствующие обобщенные модели основаны на использовании теоремы о простом нагружении, знании упругой и идеально-пластической поверхностей постоянной нормированной работы диссипации, а также на аналитических решениях для отдельных силовых факторов [26,31,79,80]. Важность изучения поверхностей постоянной диссипации с целью создания обобщенных моделей для условий установившейся ползучести обусловлена необходимостью рассмотрения системы большого числа сил. Существенно также, что эти поверхности гомотетичны поверхностям нагружения (в пространстве сил) или скоростей перемещений (в пространстве скоростей перемещений), а для обобщенных моделей выполняются соответствующие законы градиен-тальности.

Начиная с работ [22,23] поверхности диссипации традиционно рассматривались в пространстве сил, а теорема о вложенных поверхностях диссипации была доказана только для однородного изотропного материала. В работе Ю.П. Самарина и Я.М. Клебанова [28] рассмотрены поверхности равной нормированной мощности диссипации неоднородных и анизотропных тел как в пространстве сил, так и в пространстве обобщенных перемещений. Показано, что в пространстве перемещений поверхности постоянной норми-

рованной мощности диссипации вкладываются друг в друга с ростом // = 1/ v и снаружи ограничены гиперповерхностью при /и = О, а внутри - гиперэллипсоидом при ju = 1. Полученные результаты позволили сделать вывод, что показатель степени нелинейности материала ц размер и форма поверхности диссипации полностью определяют зависимость между эквивалентной обобщенной силой и эквивалентным обобщенным перемещением. Вместе с тем, геометрическая форма поверхностей равной диссипации и её трансформация в зависимости от степени нелинейности в настоящее время достаточно не изучены, что затрудняет построение аппроксимирующих нелинейных обобщенных моделей при установившейся ползучести.

Сложность задач ползучести конструкций является главной причиной того, что в настоящее время основное внимание уделяется развитию численных методов и использованию вычислительной техники. Упрощение задачи при этом достигается посредством ее полной дискретизации. Видную роль в создании теоретических основ численных методов в ползучести играют работы И.А. Биргера [7,8], О. Зенкевича [18,19], Ю.А. Еремина и Ю.П. Самарина [17,54], A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри [21,40], Ю.И. Лихачева [29], С.С. Мэнсона [36], Ю.Н. Работнова [45], Ю.П. Самарина и Я.М. Клебанова [55], О.В. Сорокина и Ю.П. Самарина [56] и др.

Наиболее распространенными методами решения практических задач установившейся ползучести являются методы, в которых решение задачи сводится к последовательности упругих задач в результате применения процесса последовательных приближений. Эти методы называются методами упругих решений или последовательных приближений [18,20,30,79]. Впервые один из вариантов такого метода был предложен A.A. Ильюшиным [20].

При численном решении задач установившейся ползучести или задач теории малых упруго-пластических деформаций, например, методом конечного элемента, можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы (параметры упругости, начальные напряжения, начальные дефор-

мации) выбираются так, чтобы удовлетворялись определяющие уравнения. Если при итерациях подбираются параметры упругости, то приходим к известному методу переменных параметров упругости И.А. Биргера [6,7,8]. Если же подбираются начальные деформации или начальные напряжения, то имеем так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений [18,20,192].

В основе метода переменных параметров упругости лежит представление зависимостей деформаций от напряжений по теории упруго-пластических деформаций в форме обобщенного закона Гука, в котором параметры упругости зависят от напряженного состояния в точке и поэтому различны для различных точек тела. Таким образом, нелинейная задача сводится к решению ряда линейных задач для упругого анизотропного тела с переменными параметрами упругости. Показано, что скорость сходимости процесса значительна и приемлемая точность иногда достигается уже для второго приближения [30,143,167]. Анализ эффективности и сходимости этого метода можно найти в работе Ю.М. Темиса [60]. Одним из существенных недостатков метода переменных параметров упругости является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицы жесткости и решать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становиться очень неэкономичным и более приемлемыми оказываются методы начальных деформаций или начальных напряжений.

В методе начальных напряжений полученные на первой итерации напряжения корректируются до истинных значений введением некоторого начального напряжения, тогда как в методе начальных деформаций значения деформаций корректируются поправочным членом. Ясно, что когда с ростом напряжений деформации быстро увеличиваются, предпочтительней использовать первый метод, а когда справедливо обратное утверждение - второй. В этих методах на каждом шаге итерационного процесса используется одна и та же матрица жесткости. Если она поблочно обратима, то время, необходи-

мое для каждой итерации, составляет лишь небольшую часть времени, затрачиваемого на получение первого приближения [69,70,174,191].

Методами начальных напряжений и начальных деформаций можно получить окончательное решение, если правильно подобрать значения а0 или £о- Однако итерационные процессы подбора не всегда обладают быстрой сходимостью. Исследуя сходимость в процессе вычислений и вводя на каждом этапе дополнительные поправки, её можно ускорить. Такие процедуры описаны в работах Б.Айронса и О.Зенкевича [104,121,190].

Во многих случаях не удается установить соотношения для полных деформаций и напряжений, но можно вывести их для приращений этих величин. В этих случаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки.

Если отбросить физическую природу задачи и пересмотреть проблему с математических позиций, то все три рассмотренных метода опираются на широко известный в математике метод Ньютона для решения нелинейных уравнений [32,151]. Для нелинейных уравнений со многими переменными известны две разновидности этого метода - метод Ньютона-Рафсона [73,104] и модифицированный метод Ньютона-Канторовича [24]. Метод Ньютона-Рафсона отличается от метода переменных параметров упругости тем, что здесь применяется не секущая, а касательная жесткость. Этот метод удобнее на практике когда физические законы формулируются с использованием касательной жесткости. Если вместо касательной жесткости использовать постоянную жесткость, то метод Ньютона-Рафсона становиться тождественным ранее описанным методам начальных напряжений и начальных деформаций. В этом случае он носит название модифицированного метода Ньютона-Канторовича. При использовании последнего метода требуется большее число итераций, хотя в целом, как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку не требуется изменять матрицу жесткости на каждой итерации.

Методы переменных параметров упругости, начальных деформаций и начальных напряжений положены в основу большинства составленных программ для ЭВМ как у нас в стране, так и за рубежом [87]. С целью создания универсальных расчетных алгоритмов и программ решение краевой задачи строится на основе известных численных методов, таких как метод конечных разностей, метод граничных элементов и метод конечных элементов. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов, хотя в последнее время для решения краевых задач используют и метод граничных элементов. Сравнение этих двух методов для некоторых задач ползучести свидетельствует о несколько большей эффективности последнего, но его применение связано с усложнением алгоритма [86,137,147,172].

Метод конечного элемента (МКЭ) является хорошо отработанным инструментом решения различных инженерных и физических задач. Однако нелинейный конечно-элементный анализ больших конструкций остается дорогостоящим и требующим больших временных затрат даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ.

Как известно, самыми трудоемкими этапами при решении задачи методом конечного элемента является этап построения матрицы жесткости конструкции и этап решения системы уравнений. Предпринимаются многочисленные попытки с помощью различных методов уменьшить требуемое время вычислений на этих этапах. Некоторые из предложенных методов включают усовершенствования численных алгоритмов и базовой системы программного обеспечения.

Численные методы для решения систем линейных уравнений делятся на два больших класса: прямые и итерационные [39,62]. Наиболее распространенными прямыми методами решения системы уравнения типа

[4М = М (1-з)

где [А] -положительно определенная матрица размера являются Гаусово исключение, разложение Холесского и методы ортогонального приведения Гивенса и Хаусхолдера.

В методе исключения Гаусса строится разложение

И = (1-4)

где |Х] - нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали; [Ц] -верхнетреугольная матрица. Затем решаются треугольные системы

Процесс их решения называется прямой и обратной подстановками. Число арифметических операций на этапе разложения (1.4) составляет

и является наиболее трудоемким этапом решения системы уравнений [39].

Если [А] - симметричная положительно определенная матрица, то часто используемой альтернативой Гауссову исключению является разложение Холесского [13]

И=М-МТ (1-5)

где: [Ь] -нижнетреугольная матрица. Чтобы завершить решение линейной системы нужно выполнить прямую и обратную подстановки

М-М = № МГ-« = М

В этом случае число арифметических операций при разложении (1.5) благо-

л

даря симметрии матрицы [А] снижается до N /6.

Другой альтернативой является ортогональное приведение

М=[е]-И (1.6)

где [£>] -ортогональная, а [К] -верхнетреугольная матрицы. Существует два распространенных подхода к вычислению разложения (1.6): преобразование Хаусхолдера и преобразование Гивенса [77]. Для последовательных компьютеров требуется 4'Ы /3 операций, чтобы найти разложение (1.6) с помощью

о

преобразований Хаусхолдера и 2И - при использовании преобразований Гивенса. Таким образом, эти методы значительно медленнее разложения Холесского и поэтому редко используются для решения невырожденных систем уравнений.

Так как обычно добиваются, чтобы матрица [А] была ленточной (все ненулевые элементы расположены рядом с главной диагональю), то наибо-

лее эффективные алгоритмы разложения Холесского позволяют снизить число арифметических операций до Nb /2, где b - полуширина ленты матрицы [А]. Поскольку число операций пропорционально квадрату полуширины ленты, то большое значение приобретает минимизация величины Ь. Предложено много различных алгоритмов, большинство которых опирается на метод Катхилла-Макки, опубликованный авторами еще в 1969 году [88,138]. В работах [67,134,160,163] рассмотрены алгоритмы автоматической перенумерации узлов конечно-элементной модели, так как именно последовательность нумерации узлов определяет полуширину ленты матрицы жесткости.

В книге А.Джорджа [13] рассматриваются различные способы реализации разложения Холесского: строчно и столбцово ориентированные ленточные алгоритмы, а также профильные методы. Показано, что эффективность того или иного подхода зависит от вида матрицы [А] и используемой ЭВМ. Так, например, профильные методы (в частности, метод волнового фронта [118,189]) значительно эффективнее ленточных методов, если имеется достаточный объем оперативной памяти. Если же приходиться прибегать к внешней памяти, то более привлекательными становятся ленточные методы. В работе Вилсона [185] описана ленточная схема, обходящаяся очень малым объемом оперативной памяти; программа может работать даже тогда, когда памяти хватает лишь на хранение двух столбцов из ленты матрицы [А].

В последнее время кроме методов исключения Гауса, разложения Холесского и методов ортогонального приведения широкое распространение получил блочный метод. В этом случае матрица [А] записывается в блочной форме и с помощью математических приемов выполняется переход к редуцированной системе уравнений. Решение этой системы может быть выполнено любым из известных методов, после чего определяют остальные неизвестные. Как показано в работах [39,62], этот метод эффективен для ленточных систем с небольшой шириной ленты.

Альтернативу рассмотренным выше прямым методам решения систем линейных уравнений составляют итерационные методы [128,177]. Типичный

итерационный метод состоит из выбора начального приближения х(1) к х и построения последовательности х(2), xß), ..., такой, что lim xiiJ= х. Если для вычисления ха+,) нужно только предыдущее приближение x(i), то приходим к известному методу Якоби. Если используется предыдущее приближение x(i) и уже найденные элементы текущего решения x(i)j, то получается метод Гаусса-Зейделя или его разновидность - метод последовательной верхней релаксации.

Наиболее распространенным итерационным методом решения систем уравнений метода конечных элементов в настоящее время является метод сопряженных градиентов (МСГ). Хестенсом и Штифель, разработавшие этот метод, доказали [116], что метод сопряженных градиентов сходиться к точному решению за п шагов (п - число неизвестных системы уравнений). Он может рассматриваться как прямой метод, представляющий собой альтернативу, например, разложению Холесского. Однако Рид [157] показал, что для больших разряженных задач методы сопряженных градиентов имеют достаточно хорошую сходимость, причем число итераций оказывается гораздо меньше п. Это вызвало возрождение интереса к МСГ, особенно в случае использования предобусловливания [111]. Существуют несколько разновидностей МСГ в зависимости от вида предобусловливания. При использовании ш-шагового метода сопряженных градиентов Якоби в качестве начального приближения берутся диагональные элементы матрицы жесткости конструкции [144]. В предобус лов ленном методе сопряженных градиентов и методе неполного разложения Холесского используются более сложные подходы к выбору начального приближения [64,74].

В работах, связанных с использованием методов сопряженных градиентов [64,74,144], показано, что все эти методы быстрее, чем прямые методы (метод исключения Гаусса, разложения Холесского, фронтальный метод и т.д.) и требуют меньше дисковой памяти для задач с большой полушириной ленты матрицы жесткости или с большой шириной волнового фронта. Бат в работе [74] показал, что использование итерационных методов позволяет

значительно повысить эффективность решения задачи даже на последовательной ЭВМ. Итерационный метод неполного разложения Холесского по сравнению с методом исключения Гаусса в зависимости от решаемой задачи снижает время загрузки процессора от 1 до 6 раз, объём используемого дискового пространства от 11.6 до 27.3 раз. В результате чего, общее время решения задачи снижается в 3-10 раз. Эти данные получены при использовании рабочих станций IBM RISC 6000/550 и DEC Alpha АХР 3000.

Другой подход к повышению эффективности решения задач МКЭ основывается на разбиении большой конструкции, или занимаемой ею области, на части. Этот метод носит название метода декомпозиции [39,92,132,171]. Идея этого метода состоит в том, чтобы разбить большую задачу на меньшие части, которые можно обрабатывать порознь, а затем из решения этих подзадач восстановить решение задачи в целом.

В соответствии с методом декомпозиции вся область делится на несколько неперекрывающихся подобластей, которые имеют общие границы. После конечно-элементной дискретизации все степени свободы можно подразделить на внешние (принадлежащие границам) и внутренние. Тогда система уравнений (1.3) записывается в блочном виде

Здесь индекс т означает внешнюю степень свободы, а индекс я - внутреннюю. Разрешая систему уравнений относительно внешних степеней свободы хт и вводя новые обозначения получаем систему уравнений

Система уравнений (1.7) называется редуцированной системой, а мат-

(1.7)

где:

'[Дш]

{b} = {bm}-[Ams}.[Assy] -{bs}

(1.8)

рица \а\ называется преобразованием Гауса или дополнением Шура под-

матрицы [Д.5]. Как только система (1.7) решена относительно внешних степеней свободы хт, остальные неизвестные х^ определяются из соотношения

M • & \Asm\- {хт}

В инженерной практике этот метод больше известен под названием метода подконструкций [148,165,166] или метода суперэлементов [41]. Основные преимущества такого подхода состоят в следующем:

- время, затрачиваемое на моделирование, может быть заметно сокращено, если подконструкции разрабатываются независимо;

- при моделировании конструкции с повторяющейся геометрией, достаточно разработать одну такую подконструкцию;

- получаемая система уравнений имеет гораздо меньший размер, что сокращает время решения задачи, снижает ошибки округления и повышает точность [184].

В работе Ягавы, Сонеда и др. [188] с помощью метода декомпозиции решены задачи исследования напряженного состояния изотропной и анизотропной пластин при наличии трещин. На рис. 1.1 а показана зависимость размера требуемой памяти от числа подконструкций (при неизменном общем размере задачи). Здесь же изображены данные, полученные при решении той же задачи методом исключения Гауса и итерационным МСГ. Как видно из рисунка, метод декомпозиции требует значительно меньше памяти, чем метод исключения Гауса, при увеличении числа подконструкций размер требуемой памяти приближается к итерационному методу. На рис. 1.1 б показана зависимость времени работы процессора от числа подконструкций при решении задачи методом декомпозиции и итерационным методом сопряженных градиентов. Из рисунка следует, что существует оптимальное число подконструкций, при котором время работы процессора является минимальным. Это объясняется тем, что при увеличении числа подконструкций увеличивается число узлов на границах, а значит и размер редуцированной системы уравнений (1.7). В результате этого с некоторого момента общее время вычислений начинает расти.

ю

s

н «

1

К «

о S о

ю

О

(D

tQ Ю

О

2,00

1,50 -

1,00 -

0,50 -

0,00

метод исключения Гауса

итерационный метод

0 20 40 60 80 100 Число подконструкций

120

140

и

D

О «

S И и

а

<D

а w S и Он

m

4000

3000

2000

1000

итерационный метод

20

метод декомпозиции

40

60

80

100

120

140

Число подконструкций

б

Рис. 1.1. Влияние числа подконструкций на объем требуемой памяти (а)

и время решения задачи (б) [188].

Эту проблему можно решить, выделяя в подзадачах их собственные подкон-струкции и приходя тем самым к многоуровневому методу декомпозиции. Эта идея была высказана Джорджем в начале 1970-х годов [13,110] под названием стратегии вложенных сечений. В статье Джонсона [126] приводятся результаты решения ряда задач многоуровневым методом подконструкций. На рис. 1.2 приведена зависимость времени работы процессора от числа подконструкций. Здесь же приведены результаты решения задачи методом разложения Холесского. Результаты демонстрируют высокую эффективность многоуровневого метода подконструкций.

Многоуровневый метод, как прием понижения размерности исходной задачи, получил дальнейшее развитие в последние годы [4,33]. Он предполагает выделение в подконструкциях своих собственных подконструкций. Для каждой из них может быть принята своя расчетная схема на основе конечно-элементной модели. Если размерность понижается с помощью математических приемов исключения внутренних степеней свободы на границах между подконструкциями, то получается многоуровневый метод суперэлементов [10,34]. В случае, когда понижение размерности осуществляется за счет введения дополнительных физических гипотез, получается метод многоуровневой схематизации [15,38,52]. В монографии Ю.П. Самарина [52], работах Ю.А. Еремина [14,15], Ю.П. Самарина и Ю.А. Еремина [54] рассмотрены вопросы декомпозиции конструкций при ползучести с использованием известной в теории управления идеологии черного ящика. Каждая подкон-струкция представляется как управляемый объект (суперобъект). Внутри суперобъектов обратные связи действуют в "полном объеме". Взаимодействие суперобъектов осуществляется через сокращенные обратные связи. Закономерности связей входа и выхода отыскиваются на основании тестовых воздействий и наблюдений за соответствующими откликами. С этой целью используются аналитические и численные расчетные методы, данные экспериментальных замеров. В работах [14,52] приводятся примеры реализации та-

300 250

8 200 «

к

8 150

0) &

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Давыдов, Андрей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработан новый подход к параллелизации решений нелинейных краевых задач механики конструкций, послуживший основой создания высокоэффективного метода решения задач установившейся ползучести на параллельной ЭВМ. Этот метод, названный методом аппроксимирующих обобщенных моделей (МАОМ), представляет собой существенный шаг в развитии метода декомпозиции конструкций для решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. МАОМ, основанный на методах декомпозиции и численных обобщенных моделей нелинейного деформирования, позволяет существенно повысить эффективность решения задач для наиболее распространенного закона установившейся ползучести - степенной связи между напряжениями и скоростями деформаций.

Материал, изложенный в диссертации, послужил основой проведения исследований, выполняемых в соответствии с научно-технической программой "Конверсия и высокие технологии 1997-2000", инновационной научно-технической программой "Надежность конструкций", грантом Госкомвуза в области авиационной и ракетно-космической техники, региональной научно-технической программой "Наукоемкие технологии и конверсия потенциала Самарской области", планами Самарского государственного технического университета на 1991 - 2000 годы и связан с решением ряда актуальных практических задач.

Вместе с тем, наряду с существенной прикладной стороной проведенных исследований, в настоящей работе предложен новый подход к построению нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести конструкций при неограниченном числе степеней свободы, а также разработан метод аппроксимации поверхностей равной диссипации для конструкций с неоднородными и неизотропными свойствами.

На основании проведенных в настоящей диссертационной работе исследований могут быть сформулированы следующие основные результаты и выводы:

1. Предложен метод решения задач установившейся ползучести на параллельной ЭВМ. Основным вопросом, решенным в связи с созданием метода, является моделирование поведения подконструкций путем построения нелинейных аппроксимирующих обобщенных моделей.

2. Проведен анализ погрешностей, связанных с введенной аппроксимацией, и получены зависимости, позволяющие оценить величины этих погрешностей. Предложено в качестве интегральных характеристик для оценки погрешностей использовать относительную погрешность величины работы внешних сил в подконструкциях и относительное изменение полной энергии для конструкции в целом.

3. Разработаны итерационные процедуры параллельной реализации МАОМ для одноуровневой и многоуровневой декомпозиции и доказаны теоремы об их сходимости.

4. Показано, что разработанные процедуры являются универсальными, пригодными для конструкций любой формы и с неограниченным числом степеней свободы. В процессе моделирования подконструкций возможно использование любых численных методов.

5. Создана вычислительная программа для реализации МАОМ, использующая МКЭ. Программа может работать в среде различных операционных систем, в том числе и на компьютерах с параллельной архитектурой.

6. Детально проанализированы особенности численной реализации разработанного метода путем решения ряда задач для конструкций разнообразного вида, с различными свойствами материала и при различных краевых условиях. Во всех решенных задачах была получена высокая точность результатов, причем для достижения такой точности потребовалось значительно меньшее число итераций, чем при традиционных методах. Выявлено влияние степени нелинейности определяющих уравнений на скорость сходимости итерационной процедуры и точность получаемых результатов.

7. Установлено, что существенное влияние на время решения задачи при использовании МАОМ оказывают параметры декомпозиции конструкции (число уровней декомпозиции, число подконструкций, число внешних степеней свободы в подконструкциях и т.д.). Получены зависимости, позволяющие еще до проведения расчетов выбрать оптимальные параметры декомпозиции с целью достижения более высокой эффективности параллелизации решения на ЭВМ.

8. Показано, что эффективность параллельной реализации МАОМ может достигать 90% и выше по сравнению с решением традиционными методами, а при использовании единственного процессора метод позволяет уменьшить время решения задачи в несколько раз.

9. На основе разработанного метода была решена актуальная практическая задача установившейся ползучести дефлектора конвертированной газотурбинной установки. Использование МАОМ позволило существенно снизить время решения задачи определения рациональных геометрических параметров дефлектора. Ускорение по отношению к решению традиционным методом составило 12,92 раза. По результатам проведенных исследований сделаны обобщающие выводы и получены соответствующие практические рекомендации.

В настоящее время автор располагает результатами исследований, не включенных в диссертацию, связанных с распространением основных теоретических положений разработанного подхода, на случай произвольной зависимости между напряжениями и скоростями деформаций. Проведен ряд тестовых расчетов, результаты которых свидетельствуют, что и в этом случае достигается сходимость итерационной процедуры, высокая эффективность параллелизации и высокая точность результатов численного счета при существенном снижении потребных ресурсов ЭВМ и времени решения задачи. После детальной проработки и законченной программной реализации МАОМ будет использован и для решения нелинейных задач при произвольной зависимости между эквивалентными напряжениями и деформациями или их скоростями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Давыдов, Андрей Николаевич, 1998 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории ползучести // Прикладная математика и механика, -1967. -Т.31, вып.5, -С.897-906.

2. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. -М.: Наука, 1983. -336с.

3. Арутюнян Н.Х., Манукян М.М. О вдавливании жесткого клина в полуплоскость в условиях установившейся ползучести // Прикладная математика и механика, -1962. -Т.26, вып.1, -С. 165-169.

4. Бартемли Дж., Райли М.Ф. Модифицированный метод многоуровневой оптимизации проектирования сложных конструкций // Аэрокосмическая техника. -М.: Мир, -1989. -№ 2. -С. 107-177.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -385с.

6. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика, 1951. -Т. 15, вып. 6, -С.765-770.

7. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач упругости, пластичности и ползучести // Успехи механики деформируемых сред. -М.: Наука, -1975.-С.51-73.

8. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Механика. -1965. -№2, -С. 113-119.

9. Биргер И.А., Пановко Я.Г., Болотин В.В. и др. Прочность. Устойчивость. Колебания. -М.: Машиностроение, 1968. -Т. 1-3.

10. Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский C.B. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций. -JL: Судостроение, 1990. -220с.

11. Высокоскоростные вычисления. Архитектура, производительность, прикладные алгоритмы и программы суперЭВМ: Пер. с англ./ Под ред. Я. Ковалика. -М.: Радио и связь, 1988. -432 с.

12. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичности и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. -М.: Машиностроение, 1984. -256 с.

13. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир, 1984. -333 с.

14. Еремин Ю.А. Дискретное и континуальное агрегирование в конструкциях при ползучести // Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. -Куйбышев: КПтИ, -1984. -С.41-56.

15. Еремин Ю.А. Применение многоуровневой схематизации к расчету ползучести ёлочных замков лопаток турбин // Ползучесть и длительная прочность: Сб. науч. тр. -Куйбышев: Изд-во КПтИ, -1986. -С.99-108.

16. Еремин Ю.А., Радченко В.П., Самарин Ю.П. Расчет индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести // Машиноведение. -1984. - №1. - С.67-72.

17. Еремин Ю.А., Самарин Ю.П. Новый теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести конструкций // Восьмой конгресс по испытаниям материалов: Материалы докл. Будапешт, 28 сент.-10 окт. 1982. Будапешт, -1982. -Т.1. -С. 153-156.

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -541с.

19. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. -425с.

20. Ильюшин A.A. Пластичность. -М.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. -376 с.

21. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. -М.: Наука, 1970. -280с.

22. Калладин К., Друкер Д. Вложенные поверхности постоянной скорости диссипации энергии при ползучести // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей, -1963. -№ 1, -С. 113-120.

23. Калладин К., Друкер Д. Метод границ для исследования ползучести конструкций: прямое использование упругих и пластических решений

// Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. -1963.-№ 1, -С.121-141.

24. Канторович J1.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физматгиз, 1962. -275с.

25. Кац Ш.Н. О теориях ползучести. -В кн.: Основы теории ползучести. -М.: Физматгиз, 1960. -430с.

26. Качанов JI.M. Теория ползучести. -М.: Физматгиз, 1960. -455с.

27. Клебанов Я.М. Расчет роторов при неустановившейся ползучести //Проблемы прочности. -1988. -№ 3, -С.48-51.

28. Клебанов Я.М., Самарин Ю.П. Вложенные поверхности мощности диссипации в пространстве сил и скоростей перемещений при установившейся ползучести неоднородных и анизотропных тел // Механика твердого тела, -1997. -№ 6, -С.121-125.

29. Лихачев Ю.И., Пупко В.Я., Попов В.В. Методы расчета на прочность тепловыделяющих элементов ядерных реакторов. -М.: Энергоиздат, 1982. -88с.

30. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1975. -400 с.

31. Малинин H.H. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. -М.: Машиностроение, 1989. -221 с.

32. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. -536 с.

33. Мейснер К. Алгоритм многократного объединения при расчете конструкций методом жесткостей: Пер. с англ. // Ракетная техника и космонавтика. -М.: Мир, -1968. -№11. -С. 176-177.

34. Многоуровневые методы в динамике роторов авиационных двигателей / A.C. Вольмир и др. // Прикладная механика. 1984. -Т.20, -№12. -С.58-63.

35. Муратова Л.А. Оценка работоспособности турбинных дисков в условиях ползучести с помощью теоретико-экспериментального метода при

нестационарном нагружении // Ползучесть и длительная прочность конструкций. - Куйбышев: Изд-во Куйб. политехи, ин-та, 1986. - С. 108-113.

36. Мэнсон С.С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. -М.: Машиностроение, 1974. -344с.

37. Немировский В.И. Использование критерия максимального приведенного напряжения в теории ползучести // Инженерный журнал. Механика твердого тела, -1968, -№> 6, -С. 119-125.

38. Образцов Н.Ф. Современные проблемы в создании сложных инженерных конструкций // Научные основы прогрессивной технологии. -М.: Машиностроение, -1982. -С.52-96.

39. Ортега Д. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. -367с.

40. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1981. -344 с.

41. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под общ. ред. В.А. Постнова. -М.: Судостроение, 1979. -288 с.

42. Программирование на параллельных вычислительных системах: Пер. с англ. / Р. Бэбб, Дж. Мак-Гроу, Т. Акселрод и др.; под ред. Р. Бебб. -М.: Мир, 1991.-376 с.

43. Работнов Ю.Н. Неустановившаяся ползучесть при степенном законе упрочнения // Инж. ж. Мех. тверд, тела. -1966. - № 3, -С.66-71.

44. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Наука, 1966. -452с.

45. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977. -384с.

46. Работнов Ю.Н., Милейко С.Т. Кратковременная ползучесть. -М.: Наука, 1970. -222с.

47. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1968. -416с.

48. Розенблюм В.И. О полной системе уравнений пластического равновесия тонкостенных оболочек // Инж. ж. механ. тверд, тела. -1966. -№ 3, -С.127-132.

49. Розенблюм В.И. О приближенных уравнениях ползучести // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение, -1959. -№5, -С.157-160.

50. Розенблюм В.И. Приближенный анализ неустановившейся ползучести пластин и оболочек // Исследования по упругости и пластичности. -Л.: -1964. Вып.З, -С.88-95.

51. Самарин Ю.П. О применении теории управления к исследованию ползучести конструкций // Механика деформируемых сред: Сб. научн. тр. / Куйбышевский госуниверситет. - 1976. - С. 123-129.

52. Самарин Ю.П. Ползучесть материалов и конструкций: Куйбышев. Политехи. ин-т. -Куйбышев, 1980. -Деп. в ВИНИТИ 17.05.90, №2696 -В90.

53. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. - Куйбышев: Изд-во Куйб. ун-та, 1979. - 84 с.

54. Самарин Ю.П., Еремин Ю.А. Метод исследования ползучести конструкций//Пробл. прочности. -1985. -№4. -С.40-45.

55. Самарин Ю.П., Клебанов Я.М. Обобщенные модели в теории ползучести конструкций. -Самара: Поволж. отд. Инженерной академии РФ, Са-мар. гос. техн. ун-т, 1994. -197с.

56. Сорокин О.В., Самарин Ю.П. Ползучесть деталей машин и сооружений. -Куйбышев: Кн. изд-во, 1978. -144 с.

57. Стасенко И.В. Поверхность постоянной мощности диссипации для тонкостенной трубы // Известия высших учебных заведений. Машиностроение, -1975. -№ 5, -С.20-24.

58. Стасенко И.В. Расчет трубопроводов на ползучесть. -М.: Машиностроение, 1986. -256с.

59. Стасенко И.В. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы в общем случае действия сил. В кн: Расчеты на прочность. Вып. 18. -М.: Машиностроение, -1977. -С.267-273.

60. Темис Ю.М. Сходимость метода переменных параметров упругости при численном решении задач пластичности методом конечных элементов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. -1982. -С.21-34.

61. Транспьютеры: Архитектура и программное обеспечение / Харп Г., Мэй Д., Уэйман Р. и др.; Под ред. Харпа Г.; Пер. с англ. Агароняна Н.А.; Под ред. Семика В.П. -М.: Радио и связь, 1993. -303с.

62. Форсайт Дж.Е., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. -М.: Мир, 1969. -167с.

63. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ. Архитектура, программирование и алгоритмы: Пер с англ. -М.: Радио и связь, 1986. -392 с.

64. Adams L. An M-step Preconditioned Conjugate Gradient Method for Parallel Computation // Proceedings of the 1983 International Conference on Parallel Processing, -1983, -P.36-43.

65. Adams L., Voigt G. A Methodology for Exploiting Parallelism in the finite Element Process // ICASE Report, -1983, -№ 83-33, -29p.

66. Adams, Loyce Iterative Algorithms for Large Sparse Linear Systems on Parallel Computers // NASA Contractor Report № 166027.

67. Akyuz F., Utku S. An Automatic Node-Relabeling Scheme for Bandwidth Minimization of Stiffness Matrices // AIAA Journal, -1967. -V.6, -P.728-730.

68. Al-Nasra M. and Nguyen D.T. An algorithm for domain decomposition in finite element analysis // Computer and Structures, -1991. -V.39, -P.277-289.

69. Argyris J.H. Elasto-Plastic Matrix Displacement Analysis of Three-Dimensional Continua // J. Roy. Aero.Soc., -1965. -V.69, -P.633-635.

70. Argyris J.H., Scharpf D.W. Methods of Elastic-Plastic Analysis of Perforated Thin Strips of Stain-Hardening Material // J. Mech. Phys. Sol., 1964. -V.12 -P.377-390.

71. Bailey R.W. The utilization of creep test data in engineering design // The Institution of Mechanical Engineers. Proceedings, -1935, -V. 131, -P. 131-269.

72. Barsoum R.S. Simlified methods in inelastic analysis // Proc.5th. Int. conf. Structural mechanics in reactor technology, Berlin, 1979. -Amsterdam, -1979. -V.L. -10.2/1 -L10.2/7.

73. Bathe K.J. Finite Element Proceedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1982.

74. Bathe K.J., Walczak J. and Zhang H. Some recent advances for practical finite element analysis // Computer and Structures, -1993. -V.47, -P.511-521.

75. Bathe, K.J. Nonlinear Finite Element Analysis and ADINA // Computer and Structures, -1997. -V. 64, -P. v.

76. Beguelin A., Dongarra J., Geist G., Manchek R., Sunderam V. A User's Guide to PVM Parallel Virtual Machine, Technical Report ORNL/TM-11826, Oak Ridge National Laboratiry, 1991.

77. Bischop C., Van Loan C. The WY Representation for Product of Householder Matrices // SIAM J. Sci. Stat. Comput., -1987. -V.8, -P.92-913.

78. Bokhari S. On the Mapping Problem // IEEE Trans. Comput. -1981. -V.30, -P.207-214.

79. Boyle J.T. Spence J. Stress analysis for creep. -London: Butterworths, 1983. -284 p.

80. Boyle J.T. The theorem of nesting surfaces in steady creep and its application to generalised models and lemit reference stresses // Res. Mechanica. -1982. -№ 4, -P.275-294.

81. Boyle J.T., Spence J. Generalized structural madels in creep mechanics // Creep in structures: Proc. 3rd Symp., Leicester, Sept. 1980, London,1981. -P.233-246.

82. Bubak, M., Chrobak, R., Kitowski, J., Moscinski, J. and Pietrzyk, M. Parallel finite element calculation of plastic deformations on Exemplar SPP1000 and on networked workstations // Journal of Materials Processing Technology, -1996. -V.60, -P. 409-413.

83. Carter W.T., Sham T.L. and Law K.H. A parallel finite element method and its prototype implementation on a hypercube // Computer and Structures, -1989. -V.31, -P.921-934.

84. Chiang K.N., Fulton R.E. Concepts and Implementation of parallel finite element analysis // Computer and Structures, -1990. -V.36, -P.1039-1046.

85. Cleary A., Harrar D., Ortega J. Gaussian Elimination and Choleski Factorization on the FLEX/32 // Applied Mathematics Report RM-86-13, University of Virginia, 1986.

86. Comparison of algorithms and validation of behavior laws in elasto-visco-plasticity and plasticity / M. Chaudonneret, M. Cristescu, G. Loubiquac, B. Maine //Numer. Meth. Non-Linear Probl.: Proc. Int. conf., Swansea, -1980. -V.l. -P.37-50.

87. Craus H. Creep analysis. -New-York: Wiley, 1980. -250p.

88. Cuthill E., McKee J. Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices // Proc. 24th Nat. Conf. Assoc. Comput. Mach., ACMPubl., 1969. -P.157-172.

89. D., Z. and T. Y. P., C. Parallel cholesky method on MIMD with shared memory. // Computer and Structures, -1995. -V.56, -P.25-38.

90. Dodds H., Lopez Jr. and L. A. Substructuring in linear and nonlinear analysis // Int. J. Num. Math. Engng, -1980. -V.15, -P.583-597.

91. Dunigar T. Hypercube Performance. // In Heath, 1987. -P. 178-192.

92. El Hami, A. and Radi, B. Some decomposition methods in the analysis of repetitive structures // Computer and Structures, -1996. -V. 58, -P. 973-980.

93. El-Sayed M., Hsing C. Parallel finite element computation with separate substructures // Computer and Structures, -1991. -V.36, -P.261-265.

94. Evan D.J. Parallel Numerical Algorithms for Linear Systems // In Parallel Processing System. Ed. D.J. Evans, Cambridge University Press, -1982. -P.357-384.

95. Farhat C. And Crivelli L. A general approach to nonlinear FE computations on shared-memory multiprocessors // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., -1989. -V.72, -P.153-171.

96. Farhat C. and Lesoine M. Automatic partitioning of unstructured mesh for the parallel solution of problems in computational mechanics // Int. J. Num. Meth. Engng., -1993. -V.36, -P.745-764.

97. Farhat C. and Wilson E. A new finite element concurent computer program architecture // Int. J. Numer. Meth. Engng. -1987. -V.24, -P. 1771-1792.

98. Farhat C. and Wilson E., A parallel active column equation solver // Computer and Structures, -1988.-V.28, -P.289-304.

99. Feriani, A., Franchi, A. and Genna, F. An incremental elastic-plastic Finite Element solver in a workstation cluster environment Part I. Formulations and parallel processing // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, -1996. -V. 130, -P. 289-298.

100. Feriani, A. and Genna, F. An incremental elastic-plastic Finite Element solver in a workstation cluster environment Part II. Performance of a first implementation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, -1996. -V. 130, -P. 299-318.

101. Finnie I. And Heller W.R. Creep of engineering materials. New York, Toronto, London; McGraw-Hill Book Company, Inc. 1959. -341 p.

102. Flynn M.J. Some computer organizations and their effectiveness // IEEE Trans. Comput., -1972. C-21 948-60.

103. Flynn M.J. Very High-Speed Computing Systems // Proceedings IEEE, -1966. -V.54, -P.1901-1909.

104. Forde W.R.B., Stiemer S.F. Improved Arc Length Orthogonality Methods for Nonlinear Finite Element Analysis // Computer and Structures, -1987. -V.27, -P.625-630.

105. Fox G., Furmanski W. Communication Algorithms for Regular Convolutions and Matrix Problem on the Hypercube // In Heath, -1987. -P.223-238.

106. Fox G., Kowala A., Williams R. The Implementation of a Dynamic Load Balancer//In Heath, -1987. -P.l 14-121.

107. Gallimard, L., Ladeveze, P. and Pelle, J.P. Error estimation and time-space parameters optimization for FEM non-linear computation // Computer and Structures, -1997. -V. 64, -P. 145-156.

108. Gannon D., Van osendale J. On the Impact of Communication Complexity in the Design of Parallel Numerical Algorithms // IEEE Trans. Comput. -1984. -V.33,-P.l 180-1194.

109. Gentleman W. Some Complexity Results for Matrix Computations on Parallel Processors // J. ACM, -1978. -V.25, -P. 112-115.

110. George A. Numerical Experiments Using Dissection Methods to Solve n by n Grid Problems // SIAM J. Numer. Anal., -1977. -V.14, -P. 161-179.

111. Golub G., O'Leary D. Some History of the Conjugate Gradient and Lanczos Algorithms: 1948-1976 // Department of Computer Science Report TR-87-20, University of Maryland, 1987.

112. Gummadi, L.N.B. and Palazotto, A.N. Nonlinear finite element analysis of beams and arches using parallel processors // Computer and Structures, -1997. -V. 63, -P. 413-428.

113. Hack J. Peak vs. Sustained Performance in Highly Concurrent Vector Machines // Computer, -1986. -V.19(9), -P.l 1-19.

114. Heath M., Ng E., Peyton B. Parallel algorithms for sparse linear systems // SIAM Review, -1991. -V.33, -№ 3, -P.420-480.

115. Heller D. A Survey of Parallel Algorithms in Numerical Linear Algebra // SIAM Rev. -1978. -V.20, -P.740-777.

116. Hestenes M., Stiefel E. Methods of Conjugate Gradient for Solving Linear Systems // J. Res. Nate. Bur. Stand. Sect., -1952. -V.49, -P.409-436.

117. Hsien S.H., Paulino G.H. and Abel J.F. Recursive spectral algorithms for automatic domain partioning in parallel finite element analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng, -1995. -V.121, -№ 1.4, -P.137-162.

118. Irons B.M. A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis // Int. Journ. For Numerical Mthods in Engng., -1970. -V.2, -№ 1, January, -P.5-23.

119. Irons B.M. The patch test for engineers // Proc. Finite Elements Sump., Atlas Computer Lab. Chilton, Didcot, England, 26-28 March, -1974. -P. 171-192.

120. Irons B.M. The superpatch theorem and ofher propositions relating to the patch test // Proc. Canad. Congress Appl. Mech., 5th. Universuty of New Brunswick, 26-30 May, -1975. -P.651-652.

121. Irons B.M., Tuck R.C. A Version of the Aitken Accelerator for Computer Iteration // Int. J. Num. Meth. Engng., -1969. -V.l, -P.275-278.

122. Jaques, M.W.S., Ross, C.T.F. and Strickland, P. Exploiting inherent parallelism in non-linear finite element analysis // Computer and Structures, -1996. -V.58, -P. 801-807.

123. Johnson L. and Mathur K.K. Data structures and algorithms for the finite element methods on a data parallel computer // Int. J. Numer. Meth. Engng., -1990. -V.29, -P.881-908.

124. Johnson L. Communication Efficient Basic Linear Algebra Computations on Hypercube Architectures // J. Par. Dist. Comp. -V.4, -P. 133-172.

125. Johnson L. Data Permutations and Basic Linear Algebra Computations on Ensemble Architectures. Department of Computer Science Report RR-367, Yale University, 1985.

126. Jonsson J., Krenk S., Damkilde L. Recursive substructuring of finite elements // Computer and Structures, -1995. -V.54, -P.395-404.

127. Jordan, Harry A Special Purpose Archtecture for Finite Element Analysis // Proceeding of the 1978 International Conference on Parallel Processing, IEEE Catalog № 78CH1321-9C, -P.263-266.

128. Joung D. Iterative Solution of Large Linear Systems. Academic Press, New York.

129. Kachanov L.M. Theory of Creep. National Lending Library for Science and Technology, Boston Spa, 1967.

130. Keunings R. Parallel finite element algorithms applied to computational rheology // Computer and Chemical Engineering, -1995. -V.l9, -№ 6/7, -P.647-669.

131. Keyes D., Gropp W. A Comparison of Domain Decomposition Techniques for Elliptic Partial Differential Equations and Their Parallel Implementation // SIAM J. Sci. Stat. Comput., -1987. -V.8, -P.9166-9202.

132. Keyss D.E., Chan T.F., Meurant G., Scroggsand J.S., Voigt R.G.(eds), Domain Decomposition Methods for Partial Differential equations // SIAM, Philadelphia, 1992.

133. Khan, A.I. and Topping, B.H.V. Parallel finite element analysis using Jacobi-conditioned conjugate gradient algorithm // Advances in Engineering Software, -1996. -V. 25, -P. 309-319.

134. King I.P. An automatic reordering scheme for simultaneous equations derived from network problems // Int. J. Numer. Meth. Engng., -1970. -V.2, -P.523-533.

135. King R.B. and Sonnad V. Implementation of an element-by-element solution algorithm for the finite element method on a coarse-grained parallel computer // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., -1987. -Y.65, -P.47-59.

136. Klebanov J.M. Uniqueness of solutions of non-homogeneous and anisotropic problems of non-linear viscoelasticity // Int. J. Non-Linear Mechanics, -1996. -V.31, -№4, -P.419-423.

137. Kumar V., Mukherjee S. A bondary-integral equation formulation for time-depend inelastic deformation of metal // Int.J. Mech. Sci. -1977. -V.19, -№12. -P.713-724.

138. Liu G., Sherman H. Comparative analysis of the Cythill-McKee and the reverse Cuthill-McKee ordering algorithms for sparse matrices // SIAM J. Numer. Anal., -1975. -V.13, -P.198-213 .

139. Lord R.E., Kowalik J.S., Kumar S.P. Solving Linear Algebraic Equations on MIMD Computer//JACM, -1983. -V.32, -P. 103-117.

140. Low K.H. A prallel finite element solution method // Computer and Structures, -1986. -V.23, -P.845-858.

141. Mackerle J. Technical Note Some Remarks on Progress with finite elements // Computer and Structures, -1995. -V.55, -P.l 101-1106.

142. Malone J.G. Automated mesh decomposition and concurent finite element analysis for hypercube multiprocessor computers // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng, -1988. -V.70, -P.27-58.

143.Marcal P.V, King I.P. Elastic Plastic Analysis of Two Dimension Stress System by the Finite Element Method // Int. J. Mech. Sci., -1997. -V.9, -P.143-155.

144. Mathinthakumar G., Hoole S.R.H. A parallelized Element by Element Jacobi Conjugate Gradients Algotithm for Field Problems and Comparison with Other Schemes // Applied Electromagnetics in Materials, -1990. -V.l, -P.15-28.

145. Melosh R.J., Utku S. and Salama M. Direct finite element equation solving algorithms // Computer and Structures, -1985. -V.20, -P.99-105.

146. Miranker W.L. A survey of parallelism in numerical analysis // SIAM, -1971. Rev. 13 524-47.

147. Mukherjee S. Applications of the boundary element method in time-dependent inelastic deformation // Innovative Numer. Anal. Eng. Sci.: Proc. 2nd Int. Symp., Montreal, 1980. -Monteral, -1980. -P.361-372.

148. Noor A., Kamel H., Fulton R. Substructuring Techniques - Status and Projections // Computer and Structures, -1978. -V.8, -P.621-632.

149. Noor, A.K. New computing systems and future high-performance computing environment and their impact on structural analysis and design // Computer and Structures, -1997. -V. 64, -P. 1-30.

150. Nour-Omid B. And Park K.C. Solving structural mechanics problems on the CalTech Hypercube Machine // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., -1987. -V.61, -P.161-176.

151. Oden J.T. Numerical Formulation of Non Linear Elasticity Problems // Proc. Am. Soc. Civ. Engng, -1967. -V.ST3, -P.235-255.

152. Odqvist F.K.G, Hult J. Kriechfestigkeit metallischer Werkstoffe. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1962. -303p.

153. Owen D.R.J, and Goncalves F. Substructure technique in material non-linear analysis // Computer and Structures, -1982. -V.15, -P.205-218.

154. Papadrakakis, M. and Bitzarakis, S. Domain decomposition PCG methods for serial and parallel processing // Advances in Engineering Software, -1996. -V. 25,-P. 291-307.

155. Parkinson D. Organisation Aspects of Using Parallel Computers // Parallel Comput. -V.5, -P.75-84.

156. Poole W.G. Jr. And Voight R.C. Numerical algorithms for parallel and vector computers: an annotated bibliography Comput. Rev. 15 379-88, 1974.

157. Reid J. On the Methods of Conjugate Gradients for the Solution of Large Sparse Systems of Linear Equations // Proc. Conf. Large Sparse Sets of Linear Equations, Academic Press, New York, 1971.

158. Row G., Powell G. H. A substructure technique for nonlinear static and dynamic analysis, Rep. UCB/EER/C - 78/15, University California, Bercley, 1978.

159. Ryu Y.S. and Arora J.S. Review of Nonlinear FE Methods with Substructures //Journal of Engineering Mechanics, ASCE, -1985. -V.lll, -P.1361-1379.

160. Sadeghi, Sh. and Mashadi, M.M. A new semi-automatic method for node numbering in a finite element mesh // Computer and Structures, -1996. -V.58, -P. 183-187.

161. Seager M. Parallelizing Conjugate Gradient for the CRAY X-MP // Parallel Comput., -1986. -V.3, -P.35-48.

162. Simon H.D. Partioning of unstructured problems for parallel processing // Comput. Systems Engng., -1991. -V.2, -P.135-148.

163. Souza C., Keunings R., Wolsey L., Zone O. A New Approach to Minimising the Frontwidth in Finite Element Calculations // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. -1994. -V.lll , -P.323-334.

164. Storaasli O., Bergan P. Nonlinear substructuring method for concurrent processing computers // AIAA Journal, -1987. -V.25, -P.871-876.

165. Sun C.T. and Mao K.M. A global-local finite element method suitable for parallel computations // Computer and Structures, -1988. -V.29, -P.309-315.

166. Sunar, M. and Rao, S.S. A substructures method for the active control design of large periodic structures // Computer and Structures, -1997. -V. 65, -P.695-701.

167. Swedlow J.L. Elastic Plastic Cracked Plates in Plane Strain // Int. J. Fracture Mech, -1969. -V.5, -P.33-44.

168. Synn, S.Y. and Fulton, R.E. Practical strategy for concurrent substructure analysis // Computer and Structures, -1995. -V.54, -P.939-944.

169. Szewczyk, Z.P. and Noor, A.K. A hybrid neurocomputing/numerical strategy for nonlinear structural analysis // Computer and Structures, -1996. -V. 58, -P. 661-677.

170. Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics // Comput. Mechs Advances, -1994. -V.l, -№ 2, -P. 121-220.

171. Tallec P.Le, De Roeck Y.H. and Vidrscu M. Domain decomposition methods for large linearly elliptic three dimensional problems // J. Computat. Appl. Math,-1991. -V.34, -P.93-117.

172. Tanaka M. New boundary element methods for viscoelastic problems // BETECH'85: Proc. Boundary Elem. Technicl. Conf. / Edd. C.A. Brebbia, B.J. Noye. -Adelaide, -1985. -P.129-142.

173. Topping, B.H.V. and Khan, A.I. Subdomain generation for non-convex parallel finite element domains // Advances in Engineering Software, -1996. -V. 25,-P. 253-266.

174. Treharre G. Applications of the Finite Element Methods to the Stress Analysis of Materials Subject to Creep // Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1971.

175. Vanderstraeten D, Farhat C, Chen P, Keunings R, Zone O. A retrofit based methodology for the fast generation and optimization of large-scale mesh partitions: beyond the minimum interface size criterion // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. -1996. -V.133 , -P.25-45.

176. Vanderstraeten D., Keunings R. Optimized partitioning of unstructured finite element meshes // Int. J. Num.Meth. Engng. -1995. -V.38, -P.433-450.

177. Varga R. Matrix Iterative Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 1962.

178. Wahl A.M. Analysis of creep in rotating disks based on the Tresca criterion and associated flow rule // Journal of applied mechanics, -1956. -V.23, -№ 2, -P.231-238.

179. Ware W. The Ultimate Computer // IEEE Spect, -1973. -V.10 (3), -P.89-91.

180. Watson, B.C. and Noor, A.K. Nonlinear structural analysis on distributed-memory computers // Computer and Structures, -1996. -V. 58, -P. 233-247.

181. Weinert, M. and Eschenauer, H.A. A parallel decomposition algorithm in application to structural design // Advances in Engineering Software, -1996. -V. 26, -P. 1-12.

182. Williams D. Performance of dynamic load balancing algorithms for unstructured mesh calculatios // Concurency: Practice and Experience, -1991. -V.3, -P.457-481.

183. Williams D.P., Topper T.H. A generalized model of structural reversed plasticity//Exp. Mech. -1981. -№ 4, -P. 145-154.

184. Williams, F.W., Xiaojian, L. and Wanxie, Z. Investigation of the accuracy of the solution of the constrained substructuring method // Computer and Structures, -1996. -V. 58, -P. 917-923.

185. Wilson E.L., Bathe K.L., Doherty W.P. Direct solution of large systems of linear equations // Computer and Structures, -1974. -V.4, -P.372-382.

186. Yagawa G. Parallel techniques for computational mechanics // Theoretical and Applied Mechanics, -1990. -V.39, -P.3-9.

187. Yagawa G., Yoshioke A. And Soneda S. A parallel finite element method with a supercomputer network // Computer and Structures, -1993. -V.47, -P.407-418.

188. YagawaG, Soneda N. and Yoshimura S. A large scale finite element analysis using domain decomposition method on parallel computer // Computer and Structures, -1991. -V.38, -P.615-625.

189. Zhang W.P. and Lui E.M. A parallel frontal solver on the ALLIANT FX/80 // Computer and Structures, -1991. -V.38, -P.203-215.

190. Zienkiewicz O.C, Irons B.M. Matrix Iteration and Acceleration Process in Finite Element Problem of Structural Mechanics // In: Numerical Methods for Non-Linear Algebraic Equations, Rabinowitz P, ed, Gordon and Breach, -1970. -Ch.9.

191. Zienkiewicz O.C, Valliappan S, King I.P. Elasto-Plastic Solutions of Engineering Problems. Initial Stress. Finite Element Approach // Int. J. Num. Meth. In Engng, -1969. -V.l, -P.75-100.

192. Zienkiewicz O.C, Valliappan S, King LP. Stress Analysis of Rock as a No-Tension Material // Geotechnique, -1968. -V.18, -P.56-66.

193. Zois D. Parallel processing techniques for FE analysis: stiffness, loads and stress evaluation // Computer and Structures, -1988. -V.28, -P.247-260.

194. Zois D. Parallel processing techniques for FE analysis: system solution // Computer and Structures, -1988. -V.28, -P.261-274.

195. Zone O, Vanderstraeten D. and Keunings R. A parallel direct solver for im-plict finite element problems based on automatic domain decomposition. In: Passively Parellel Processing. Applications and Development (Eds Dekker et al), Elsevier, Amsterdam, -1994. -P.809-816.