Оценки скорости сходимости и погрешности разностных методов решения некорректных задач Коши в банаховом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Кокурин Михаил Михайлович

• Кокурин Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кокурин Михаил Михайлович

2.6 Обсуждение результатов

3 Численные эксперименты

3.1 Численное исследование разностных схем решения задачи Коши для уравнений первого порядка

3.2 Численное исследование разностных схем решения задачи Коши для уравнений второго порядка

Заключение

Литература

Приложение. Тексты программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки скорости сходимости и погрешности разностных методов решения некорректных задач Коши в банаховом пространстве»

Введение

Актуальность темы диссертации и степень её разработанности. Среди вычислительных задач наибольшие трудности представляют задачи, называемые некорректными или некорректно поставленными. К этому классу относятся многие практически важные задачи, в т.ч. обратные задачи математической физики. К некорректным задачам приводят прикладные проблемы, возникающие в медицине, геологии, при компьютерной обработке сигналов и изображений и в других разделах науки и техники (см., напр., [21-23; 25; 26; 28; 31; 52; 63; 66; 80; 92; 96; 104; 108; 110; 112; 118] и др.). В то время как корректные задачи характеризуются существованием, единственностью и устойчивостью решения [8; 31], главной особенностью некорректных задач является их неустойчивость по отношению к малым возмущениям входных данных. Именно это свойство некорректных задач существенно затрудняет построение алгоритмов их численного решения и, в частности, делает неприменимыми классические численные методы, используемые для решения корректных задач. Дело в том, что на практике входные данные задачи обычно получаются в ходе различного рода наблюдений и измерений, результаты которых в типичных случаях бывают известны с погрешностью.

В середине XX века академиком А.Н.Тихоновым было показано, что неустойчивость решений некорректных задач не является принципиальным препятствием для их численного анализа, а возникающие при этом трудности могут быть преодолены путём построения специальных аппроксимационных процедур, получивших название регуляризующих алгоритмов (см. [70]). Исследования в этой области, выполненные А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым и В.К.Ивановым в 1960-е годы, привели к появлению теории некорректных задач как самостоятельного раздела вычислительной математики. Обзор основных результатов этой теории и дальнейшие ссылки можно найти в [8; 21; 29; 31; 54; 56; 70-72; 96; 111]. Настоящая работа посвящена созданию, обоснованию и анализу регуляризующих алгоритмов для численного решения некорректных задач Коши, связанных с линейными дифференциально-операторными уравнениями первого и второго порядка в банаховом пространстве. Таким образом, эти алгоритмы являются объектом исследования в данной работе.

Дадим строгое определение некорректной задачи и регуляризующего алгоритма. Под абстрактной вычислительной задачей будем понимать совокупность (G, D(G), Z,Y), где Z, Y — метрические пространства, D(G) С Z и G : D(G) ^ Y есть отображение этих двух пространств. Пространство Z называется пространством входных данных задачи, а Y — пространством решений. Если f Е D(G) есть точные входные данные, то G(f) есть решение данной задачи. Обычно вместо точного элемента f известно его приближение fs Е Z такое, что pz(fs,f) < 5. Величина 5 > 0 измеряет уровень погрешности входных данных и предполагается известной наряду с элементом fs.

Задача (G, D(G), Z, Y) называется корректной, если D(G) = Z и отображение G непрерывно во всех точках пространства Z. В противном случае говорят, что задача (G, D(G), Z, Y) некорректна. Отметим, что в обоих случаях отображение G предполагается однозначным, т.е. мы рассматриваем только такие вычислительные задачи, которые могут иметь не более одного решения.

Если задача (G, D(G), Z, Y) корректна, то хорошим приближением к искомому точному решению G(f) может служить элемент G(fs). Именно, ввиду непрерывности отображения

G справедливо предельное соотношение lim sup pY(G(fs),G(f)) = 0. Для некоррект-

s^0 fs: PZ (fs ,f )<s

ных задач это равенство не имеет места, в частности, элемент G(fs) может быть не определён. Если задача (G, D(G), Z,Y) некорректна, то регуляризующим алгоритмом для неё называется семейство отображений {Rs : Z ^ Y}s>o, такое что D(Rs) = Z для всех 5 > 0 и при любом f Е D(G) справедливо

lim sup py (Rs (fs ),G(f )) = 0.

S^0 fs: PZ (fs ,f )<s

В этом случае элемент Rs (fs) можно выбрать в качестве приближения к искомому решению G(f), адекватного уровню погрешности 5.

Из некорректных задач лучше всего изучены линейные, хотя существует много исследований и о методах решения нелинейных некорректных задач (см. [11; 12; 19; 31; 69; 72; 82; 111; 119]). Линейные некорректные задачи обычно представляются в виде операторных уравнений

Bu = f, (1)

где линейный оператор B : Y ^ Z имеет неограниченный обратный, а пространства Y, Z банаховы или гильбертовы. Будем считать, что оператор B известен без погрешностей. Входными данными такой задачи является стоящий в правой части элемент f Е Z, решением же служит удовлетворяющий уравнению (1) элемент u Е Y. Оператор G для такой задачи совпадает с неограниченным оператором B_1. Некорректность задачи (1) означает,

5

что решение u существует не для любого входного элемента f, а в случае существования решения оно неустойчиво по отношению к возмущениям f, малым в норме пространства Z. К виду (1) приводятся, в частности, широко известные уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода.

Для задач вида (1) разработаны эффективные методы решения, составляющие классы методов регуляризации линейных операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах. Эти методы обычно строятся по следующей схеме. Вначале берётся некоторое аппроксимирующее семейство {Ga : Z — Y}а>о для оператора G = B-1, позволяющее находить приближения к решению искомой задачи в случае точно заданных входных данных f. Именно, должно выполняться Gaf — B-1f при а — 0 для любого f Е D(B-1). Положительный параметр а в этой конструкции носит название параметра регуляризации. Затем на основе аппроксимирующего семейства {Ga}a>0 строят регуляризующий алгоритм вида Rs(fs) = Ga(s)(fs), где а(5) — специальным образом выбранная зависимость, удовлетворяющая условию а (5) — 0 при 5 — 0. Такой подход позволяет единообразно получить широкий класс регуляризующих алгоритмов для задачи (1). В частности, классическому методу Тихонова в применении к задаче (1) с оператором B, действующим в гильбертовых пространствах Y, Z, соответствует аппроксимирующее семейство

Ga(f) = (B *B + aEy )-1B f,

где Ey есть единичный оператор в пространстве Y. Это семейство порождает регуляризую-

щий алгоритм, если зависимость а(5) подчинить условиям

5

lim а(5) = lim —. = 0.

4 ' s^o Л/0(5)

Параметр регуляризации может выражаться также в виде а = a(5,fs). Некоторые другие методы, как, например, градиентный метод для нерегулярных линейных операторных уравнений (см. [18]), используют дискретный параметр регуляризации. Аппроксимирующее семейство для таких методов имеет вид {Gn : Z — Y}nSN, причём для всех f Е D(B-1) справедливо Gn(f) — B-1f, n — то.

Для различных методов регуляризации линейных операторных уравнений в работах [8; 11; 12; 18; 24; 106; 116] указаны подходящие способы выбора параметра регуляризации а(5). Кроме того, получены оценки скорости сходимости этих методов относительно а в случае точных входных данных, и оценки погрешности в зависимости от 5 в случае приближённых. Как известно из общей теории некорректных задач [8], построение таких оценок возможно лишь при наложении на искомое решение u подходящих априорных условий. Чаще

6

всего, таким условием выступает требование истокопредставимости вида п = Бру (в случае У = Z) или п = (В*Б)ру (в случае, когда пространства У и Z гильбертовы и различны), где норма элемента V £ У ограничена сверху константой. Получаемые оценки скорости сходимости оказываются зависящими от показателя истокопредставимости р > 0. В [8; 11; 12; 18; 49] получены близкие друг к другу необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости изучаемых методов в терминах показателя р. Тем самым, в указанных работах выполнен относительно завершённый цикл исследования методов регуляризации некорректных задач (1) при условии степенной истокопредставимости.

В настоящей работе аналогичная программа исследований реализована в отношении разностных методов решения некорректных задачах Коши для линейных дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка в банаховом пространстве. Эти задачи имеют вид

Здесь А : О (А) С X ^ X — неограниченный замкнутый оператор, действующий в банаховом пространстве X; О (А) = X. Входными данными задач (2), (3) являются соответственно элемент f и пара элементов (¡,д) пространства X. Функция х : [0,Т] ^ X, где х(0) = f, х(Ь) £ О(А),Ь £ [0,Т], называется классическим решением задачи (2), если она непрерывно дифференцируема на отрезке [0,Т] и при всех Ь £ [0,Т] удовлетворяет дифференциальному уравнению из (2). Аналогично, функция х : [0, Т] ^ X, где х(0) = f, Х(0) = д, х(Ь) £ О(А),Ь £ [0,Т], есть классическое решение задачи (3), если она дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0,Т] и при всех Ь £ [0,Т] удовлетворяет дифференциальному уравнению из (3). Вопросам корректной разрешимости задач вида (2), (3) и конструированию алгоритмов их численного решения посвящены работы [2; 3; 20; 30; 50; 55; 57-60; 68; 83; 84; 91; 93; 94; 97; 101; 103; 107; 113; 114; 117] и др. Прикладным некорректным задачам вида (2), (3) посвящены монографии и статьи [31; 53; 65; 108; 109]. Отметим также исследования [61; 62; 73; 74] однозначной и корректной разрешимости прямых и обратных задач для однородных и неоднородных линейных дифференциально-операторных уравнений, в т.ч. включающих нелокальное интегральное условие на искомое решение х(Ь).

В настоящей работе изучаются задачи (2), (3) с секториальным оператором А. Такие задачи являются в общем случае некорректными [30]. В настоящей работе используется условие секториальности из [13]; см. также [105]. Обозначим через о(А) спектр оператора А

х(Ь) = Ах(Ь), Ь £ [0,Т], х(0) = f;

(2)

х(Ь) = Ах(Ь), Ь £ [0,Т], х(0) = f, х(0) = д.

(3)

и положим

K(ф) = {С Е C\{0} I I arg С| < ф}, ф Е (0, п).

Через R(C,A) = (СЕ — A)-1, С Е C\a(A) в дальнейшем обозначается резольвента оператора A; Е — единичный оператор пространства X. Оператор A называется секториальным с углом секториальности ф0, если выполнено следующее условие.

Условие 1. Справедливо включение a(A) С K(ф0), фо Е (0,п/2) и имеет место

оценка

||R(CA)||< vc е c\k(фо),

где постоянная C0 не зависит от С ■

Здесь и всюду в настоящей работе || • || означает норму в пространстве X или операторную норму для операторов из L(X); нормы других пространств указываются явно. Отметим, что из секториальности оператора следует существование ограниченного обратного оператора A-1.

К виду (2) или (3) с оператором A, удовлетворяющим условию 1, приводятся многие некорректные задачи для параболических и эллиптических уравнений с частными производными. Разнообразные примеры операторов, удовлетворяющих условию 1, представлены в [10; 32; 67; 81; 85; 86; 98-100; 120]. Приведём некоторые из них.

Пример 1. Пусть A есть самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве

X, В (А) = X, шт{А : А Е &(А)} > 0. Тогда А удовлетворяет условию 1 с произвольным ф0.

Пример 2. Рассмотрим оператор А : В(А) С Ь2(0,1) ^ Ь2(0,1), В(А) = {и Е Н2[0,1] | и(0) = и(1) = 0}, определённый выражением

(Аи)(в) = — а^и"(в) + Ь(в)и'(в) + с(в)и(в),

где Ь Е С:[0,1], с Е С[0,1] — вещественные функции, с(в) — 1/2Ь'(в) > е > 0 Уз Е [0,1]. Данный оператор является плотно определённым и секториальным с произвольным ф0 Е (ф£,п/2), где

фп = |Ь(в)| шах! —» , —-----— 1 |.

ве[о,Д 1Л \ 2а2 2с(в) — Ь(в) ) )

см. [10; 32,с.351]. Отметим, что операторы подобного вида возникают, например, в физических моделях конвекции-диффузии [64].

Пример 3. Пусть П С Кп — ограниченная область с границей дП класса С2, дифференциальный оператор А задан формулой

п д 2^ п дх

Ах = — ^ а^(в)дз дз + Ь(в) — + с(в)х; х = х(в),в = (вь..., вп) Е П.

г,]=1 t=1

Здесь а^(в) = ац(в), Ьг(в) (1 < < п), с(в) — вещественные функции, принадлежащие С (П). Пусть также для некоторого ц0 > 0 выполняется

п п

^афШэ > ^£ Ув е П У(£ь...,£п) е мп

г,]=1 г=1

В каждом из следующих случаев справедливо Б (А) = X и существует константа ш0 такая, что для всех ш > ш0 оператор А + шЕ является секториальным [81; 120].

а) X = Ьр (П), 1 <р< Б (А) = Ш 2р(П) П Ш01,Р(П).

б) X = Ьр(П), 1 <р< Б(А) = {х е Ш2р(П) | Бх\дп = 0}, где

N дх

(Бх)(в) = ¿о(в)х(в) + ^2 ^(8)дТ' 8 е дП,

г=1 д8г

функции е С(П) (1 < I < п) таковы, что

п

^2Лг(в)ф) = 0 У в е д П.

г=1

Здесь V = (^1(в),... , ип(в)) есть единичный вектор внешней нормали к дП в точке в.

в) X = С(П),

Б(А) = {х е р| Ш2'Р(П) Бх\дп = 0, Ах е С(П)|,

оператор Б вводится так же, как в пункте б).

Пример 4. Пусть А — секториальный оператор в банаховом пространстве X, Б — ограниченный оператор. Тогда существует константа ш0 такая, что для всех ш > ш0 оператор А + Б + шЕ является секториальным [95,гл.3]. Например, оператор А может быть дифференциальным оператором, удовлетворяющим условиям из примеров 1, 2 или 3, а оператор Б — интегральным оператором Фредгольма. Пример показывает возможность применения исследуемых методов решения некорректных задач Коши к интегродифференциальным уравнениям.

Ниже предполагается, что решение х = х(Ь) задач (2), (3) существует при Ь е [0,Т]. Для любых входных элементов указанные задачи имеют не более одного решения [30; 50]. В дальнейшем иногда будет использоваться и более узкое понятие решения задач (2), (3), допускающее их интерпретацию как некорректных вычислительных задач (G,D(G),X,Y) в вышеописанном смысле. Именно, решением этих задач в узком смысле будем называть элемент х(Т), где х : [0,Т] ^ X есть классическое решение этих задач. В этом случае Z = Y = X для задачи (2) и Z = X х X, Y = X для задачи (3), Б^) С Z.

9

Отметим, что задачи (2), (3), будучи линейными некорректными задачами, формально могут быть представлены в виде операторного уравнения (1) с подходящим оператором В Е Ь(Х), имеющим неограниченный обратный. Например, для задачи (2) таким оператором будет оператор полугруппы, генератор которой совпадает с —А. В самом деле, из условия 1 следует, что (—А) является генератором сильно непрерывной полугруппы (и_А(г))>0, где и-А(г) Е Ь(Х), г > 0; и-А(0) = Е; и-А(г+в) = и-А(г)и-А(в), г, в > 0. Кроме того, полугруппа (и-А(1))1>0 допускает аналитическое продолжение с положительной полуоси {г Е К | г > 0} в сектор К(п/2 — ф0). Таким образом, задача Коши

х(г) = —Ах(г), ж(0) = / (4)

является корректно поставленной и ее решение определяется выражением х(г) = U_A(t)f, г > 0 [30; 50; 95; 105]. Задача (4) эквивалентна задаче Коши с обратным направлением времени

х(г) = Ах(г), х(Т) = ¡, (5)

причём связь между решениями задач (4) и (5) имеет вид х(г) = х(Т — г), г Е [0,Т]. Таким образом, задача (5) имеет решение х(г) = и_А(Т — г) f. Это значит, что и для решения задачи (2) справедливо

х(г) = и_А(т — г)х(т), г е [0,Т]. (6)

При г = 0 с учётом х(0) = f это равенство переходит в

и_А(Т )х(Т) = ^ (7)

Отсюда видно, что задача нахождения элемента и = х(Т) в (2) может быть записана в виде операторного уравнения (1) с оператором В = и_А(Т). Что касается задачи (3), её решение допускает представление [50,с.305-320]

х(Т) = 2 и_А1/2 (Т)(f — А_1/2д) + ,

где элемент тт определяется из аналогичного (7) операторного уравнения

и_А1/2 (Т )тт = 2( f + А_1/2д).

Таким образом, принципиально возможен подход к решению задач (2), (3), основанный на применении известных методов регуляризации линейных операторных уравнений. Однако в результате обычно получаются весьма громоздкие и трудно реализуемые на практике конструкции (см., например, [49,с.142; 52,с.105-107]). Причина этого видится в том, что такой

10

подход не учитывает дифференциальную структуру рассматриваемых задач. Таким образом, актуальна проблема разработки и изучения методов решения некорректных задач (2), (3), адекватно учитывающих и использующих эту структуру.

В диссертации изучаются разностные методы решения задач (2), (3). Эти методы имеют вид

k k

ajxn+j = At ^^ ßjAxn+j, 0 < n < N — k, x0 = f (8)

j=o j=0

для задачи (2) и

kk

ajXn+j = (At)2 J] ßjAxn+j, 0 < n < N — k, xo = f (9)

j=0 j=0

для задачи (3) с g = 0 (т.е. с начальными условиями x(0) = f, xx(0) = 0). Здесь At = T/N есть шаг временной дискретизации, tn = nAt, 0 < n < N есть узлы дискретизации на отрезке [0, T], а элементы xn £ X, 0 < n < N есть приближения к значениям x(tn) классического решения в узлах дискретизации. Каждая разностная схема (8) или (9) характеризуется значением k > 1 (для схем вида (9), k > 2) и коэффициентами aj, ßj, 0 < j < k. Если, кроме того, задать начальные элементы xi, ... , xk-i разностной схемы, т.е. приближения к значениям искомого решения в начальных узлах дискретизации, то схемы (8), (9) позволяют найти приближения xn для всех 0 < n < N.

Отметим, что методы класса (9) можно использовать и для решения задачи (3) с g = 0, однако изучение этих методов в применении к некорректным задачам Коши второго порядка с общими краевыми условиями выходит за рамки настоящей работы. Вместе с тем, задача (3) с произвольным элементом g £ D(A1/2) может быть приведена к виду (3) с g = 0. В самом деле, для этого наряду с (3) рассмотрим вспомогательную краевую задачу

y(t) = Ay(t), t £ [0,T], 2/(0) = g, y(T) = h (10)

с произвольным h £ D(A); например, можно положить h = 0. Согласно [50,гл.3], задача (10) является равномерно корректной и её решение имеет вид

y(t) = U-A1/2 (t)zo + U-A1/2 (T — t)wT,

где

zo = (E + U-A1/2 (2T))-1(U-ai/2 (T)h — A-1/2g) £ D(A), wt = (E + U-Ai/2 (2T))-1 (h + U-Ai/2 (T)A-1/2g) £ D(A).

Находя у(0) и вычитая уравнение (10) из (3), приходим к следующей задаче для разности и(г) = х(г) — у (г), имеющей вид (3) с д = 0:

и(г) = Аи(г), г е [0,Т], и(0) = f — у(0), и(0) = 0. (11)

Отметим также, что если про искомое решение исходной задачи (3) с д = 0 известны априорные условия истокопредставимости или продолжимости (условия 1.2.4 или 2.2.2), то соответствующую задачу (11) можно построить так, чтобы она также удовлетворяла данным условиям. В первом случае в (10) следует взять к Е Б(АР) в (10); во втором случае вместо (10) следует рассмотреть задачу

у(г) = Ау(г), г е [0,Т1], у(0) = д, у(Т1) = к.

В связи со сказанным, далее мы рассматриваем только задачи (3) с д = 0.

Отметим также, что часто встречающиеся в приложениях некорректные задачи Коши для неоднородных дифференциально-операторных уравнений могут быть сведены к изучаемым в работе задачам для однородных уравнений. Рассмотрим, например, задачу Коши для неоднородного уравнения первого порядка

х(г) = Ах(г) + д(г), г е [0,Т], х(0) = f е б (А)

с оператором А, удовлетворяющим условию 1, и непрерывной функцией д : [0, Т] ^ X такой, что д(г) Е В(А2) и А2д(г) непрерывна при г Е [0,Т]. Решим корректную задачу

у(г) = Ау(г) + д(г), г е [0,Т], у(Т) = к

с некоторым элементом к Е Б (А) [50,с.162]. Для разности и(г) = х(г) — у (г) получаем задачу

и(г) = Аи(г), г е [0,Т], и(0) = f — у(0)

вида (2). Аналогичная процедура принципиально применима и к задачам Коши, относящимся к неоднородным дифференциально-операторным уравнениям второго порядка.

Разностные методы (8), (9) для решения некорректных задач Коши (2) и (3) с д = 0 являются предметом исследования настоящей работы. Отметим, что разностные схемы широко применяются для решения скалярных аналогов задач (2), (3), в которых X = К [4; 15; 78; 79]. Разностные методы в применении к корректным абстрактным задачам Коши первого порядка с секториальным оператором —А подробно изучены в [84,гл.11], также см. [114; 121]. Применение одной схемы класса (8) к некорректным задачам Коши впервые обсуждалось в

[51], но доказанная теорема о сходимости носила условный характер в силу наличия чрезмерно жёстких и труднообозримых априорных условий. Изучение регуляризующих свойств разностных методов для некорректных задач Коши было начато в [6; 7]. В случае гильбертова пространства X схемы (8) изучались в [88; 89]. Первые оценки скорости сходимости и погрешности для случая банахова пространства были получены в [10; 13; 14]. Однако, в указанных работах рассматривался лишь простейший выбор х0 = ... = = f начальных элементов разностных схем, что не позволяло достичь максимальной возможной точности методов. Кроме того, известные необходимые условия квалифицированной сходимости разностных методов были весьма далеки от достаточных [49,гл.3]. Настоящая работа нацелена на преодоление этих пробелов в теории разностных методов решения некорректных задач Коши. Автором разработан способ оптимального выбора начальных элементов разностных схем, повышающий точность методов, и установлены близкие друг к другу необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости изучаемых методов в терминах показателя истокопредставимости искомого решения. Тем самым доказана невозможность дальнейшего значительного усиления полученных оценок при наложении на искомое решение условия истокопредставимости.

Значительное распространение в последние годы получили подходы к решению некорректных задач Коши, согласно которым вначале вносится малое возмущение в уравнение или начальное условие с целью регуляризации задачи, а уже для корректной возмущённой задачи строятся разностные схемы (см., напр., [65]). Параметром регуляризации в указанных вспомогательных задачах является малый параметр, входящий в видоизмененное уравнение, либо в модифицированное начальное условие. Данный параметр наследуется и конструируемыми конечно-разностными схемами регуляризации, реализация которых предполагает надлежащее согласование параметра регуляризации не только с погрешностью, но и с шагами пространственно-временной дискретизации. В частности, к этому типу методов принадлежат разностные схемы на основе широко известного метода квазиобращения и метода вспомогательных граничных условий [30; 53; 65]; см. также [107]. Автор следует другому подходу к построению разностных методов, согласно которому возмущение уравнения не производится, а параметром регуляризации является сам шаг разностной схемы, что снимает вопрос об их дополнительном согласовании. Этот подход аналогичен применяющемуся в известных методах численного дифференцирования (см., напр., [15,с.84]) и методе ^-регуляризации Апарцина-Бакушинского для уравнений Вольтерра 1 рода [23,с.112], где параметром регуляризации также служит шаг дискретизации.

Для численной реализации изучаемых методов необходимо дополнить полудискрети-

зацию по времени, реализованную в схемах (8), (9), дискретизацией по пространственным переменным, т.е. конечномерной аппроксимацией пространства X и оператора А. Получаемые схемы полной дискретизации также изучаются в диссертации. Близкий подход к решению абстрактных задач Коши, в рамках которого вначале производится пространственная дискретизация, а затем временная, развивается в работах С.И.Пискарёва [20; 57-60]. Сравнение этого подхода с предлагаемым автором проведено в разделе 1.5.

Среди методов решения некорректных задач Коши второго порядка, альтернативных предлагаемому автором, наряду с уже упоминавшимися методами квазиобращения и вспомогательных граничных условий отметим метод Козлова-Мазьи-Фомина [33; 90]. Однако развитая здесь техника ориентирована на задачи Коши с самосопряженным оператором пространственной части, действующим в гильбертовом пространстве, что заметно уступает принимаемому нами уровню общности. В [91] изложен метод для задач вида (3) в гильбертовом пространстве, аналогичный методу квазиобращения; здесь же приведён обширный обзор методов решения некорректных задач Коши для эллиптических уравнений.

Наличие пробелов в известных ранее результатах по разностным методам решения некорректных задач Коши, с одной стороны, и наличие существенных ограничений разного вида у альтернативных методов решения этих задач, с другой, доказывают актуальность выбранной темы исследования.

Цели и задачи работы. Целью работы является изучение скорости сходимости и погрешности разностных методов (8), (9) для решения некорректных задач Коши (2) и (3) с д = 0 соответственно.

Задачи, которые необходимо было решить для достижения указанной цели:

— разработка и обоснование оптимального способа выбора начальных элементов х1 , ..., хи_1 разностных методов (8), (9);

— получение оценок скорости сходимости схем (8), (9) в случае точных входных данных при наложении различных априорных условий на искомое решение;

— доказательство невозможности существенного улучшения полученных оценок скорости сходимости, подразумевающее получение близких друг к другу необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости разностных схем;

— построение на основе схем (8), (9) регуляризующих алгоритмов, позволяющих решать некорректные задачи (2), (3) в случае приближённых входных данных, и нахождение оценок погрешности этих алгоритмов;

— разработка и апробация численных алгоритмов нахождения т.н. характеристического показателя разностных схем, входящего в формулировки теорем о скорости сходимости и

погрешности этих схем;

— построение и исследование схем полной дискретизации на основе схем временной полудискретизации (8), (9).

В первой главе диссертации обозначенные выше задачи решаются в применении к разностным методам решения некорректных задач Коши (2). Вторая глава посвящена осуществлению этой программы в применении к задачам (3) с д = 0. Наконец, третья глава содержит результаты численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность предлагаемых алгоритмов решения задач (2), (3).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Автору принадлежат, в частности, следующие оригинальные идеи: оптимизация выбора начальных элементов разностных схем с использованием дробно-рациональных аппроксимаций специального вида для экспоненты и гиперболического косинуса и применением операторных исчислений; итеративное применение теоремы вложения из теории интерполяции банаховых пространств для получения необходимых условий степенной сходимости разностных методов в терминах показателя истокопредставимости искомого решения. Автором разработан единообразный подход к анализу методов решения задач (2), (3), позволивший получить прямые и обратные теоремы о степенной сходимости как разностных методов, так и метода квазиобращения.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая ценность работы состоит в том, что в ней реализована относительно законченная программа исследования разностных методов для решения некорректных задач Коши (2) и (3) с д = 0. В частности, определены оптимальные начальные параметры этих методов, выделены классы методов с высокой скоростью сходимости, получены оценки скорости сходимости и погрешности и доказана невозможность их существенного улучшения. Теоретическая ценность работы подтверждается также тем фактом, что разработанный автором подход к доказательству прямых и обратных теорем о степенной сходимости оказался применим не только к разностным методам решения некорректных задач Коши, но и к широко известному методу квазиобращения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кокурин Михаил Михайлович, 2018 год

Литература

1. Алибеков Х.Н., Соболевский П.Е. Об устойчивости и сходимости разностных схем высокого порядка аппроксимации для параболических уравнений. II // Воронежский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 18.10.76, №3645-В76.

2. Ануфриева У.А., Мельникова И.В. Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами // Современная математика. Фундаментальные направления. 2005. Т. 14. С. 3-156.

3. Бабин А.В. Решение задачи Коши при помощи весовых приближений экспонент многочленами // Функциональный анализ и его приложения. 1983. Т. 17, № 4. С. 75-76.

4. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.

5. Бакаев Н.Ю., Бакушинский А.Б. К теории приближенных методов решения некорректной задачи Коши // Доклады Академии Наук СССР. 1990. Т. 312, № 4. С. 777-782.

6. Бакушинский А.Б. Разностные методы решения некорректных задач Коши для эволюционных уравнений в комплексном В—пространстве // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, № 9. С. 1661—1668.

7. Бакушинский А.Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши // Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7, № 10. С. 1876-1885.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 199 с.

9. Бакушинский А.Б., Кокурин М.М., Кокурин М.Ю. О схеме полной дискретизации некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 96-108.

10. Бакушинский А.Б., Кокурин М.М., Кокурин М.Ю. Об одном классе разностных схем решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 3. С. 483-498.

11. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Алгоритмический анализ нерегулярных операторных уравнений. М.: ЛЕНАНД, 2012. 312 с.

12. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: ЕДИТОРИАЛ УРСС, 2002. 192 с.

13. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Об оценке скорости сходимости и погрешности разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 163-171.

14. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Об оценке скорости сходимости разностных методов решения некорректной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 25-31.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 636 с.

16. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. 502 с.

17. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

18. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 184 с.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

20. Васильев В.В., Пискарев С.И., Селиванова Н.Ю. Проинтегрированные полугруппы, С-полугруппы и их приложения // Функциональный анализ. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 131. С. 3-109.

21. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. 263 с.

22. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007. 224 с.

23. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.

24. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 120 с.

25. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985. 352 с.

26. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. 52 с.

27. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

28. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

29. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 208 с.

30. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1995. 176 с.

31. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

33. Козлов В.А., Мазья В.Г., Фомин А.В. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 1. С. 64-74.

34. Кокурин М.М. Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости метода квазиобращения для решения абстрактной задачи Коши // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского: материалы международной Казанской летней научной школы-конференции. Казань: Казан. ун-т, 2013. Т. 46. С. 251-253.

35. Кокурин М.М. Необходимые и достаточные условия степенной сходимости метода квазиобращения и разностных методов решения некорректной задачи Коши в условиях точных данных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55, № 12. С. 2027-2041.

36. Кокурин М.М. Необходимые и достаточные условия степенной сходимости разностных схем для некорректной задачи Коши второго порядка // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции. Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ, 2015. Т. 51. С. 241-243.

37. Кокурин М.М. О выборе начальных условий для разностных схем решения некорректной задачи Коши // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения-2010». Казань: Казан. матем. об-во, 2010. Т. 40. С. 179-184.

38. Кокурин М.М. О необходимых и достаточных условиях квалифицированной сходимости разностных методов решения некорректной задачи Коши // «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» Тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова. Екатеринбург: Изд. Уральского государственного университета, 2011. С. 246-247.

39. Кокурин М.М. Об оптимизации оценок скорости сходимости некоторых классов разностных схем решения некорректной задачи Коши // Вычислительные методы и программирование. 2013. Т. 14. С. 58-76.

40. Кокурин М.М. Оценки погрешности разностных схем решения некорректных задач Ко-ши второго порядка // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики: Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 31 октября - 3 ноября 2016 г.: Тезисы докладов. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова; МАКС Пресс, 2016. С. 160.

41. Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости и погрешности разностных схем решения линейной некорректной задачи Коши второго порядка // Вычислительные методы и программирование. 2017. Т. 18. С. 322-347.

42. Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости разностных схем для некорректных задач Коши в банаховом пространстве // Тез. докл. Международной конференции, посвященной 100-летию С.Г.Крейна., Воронеж, 13-19 ноября 2017 г. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2017. С. 121-122.

43. Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости разностных схем для некорректных задач Коши первого и второго порядка // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Тринадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции. Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ, 2017. Т. 54. С. 196-199.

44. Кокурин М.М. Полиномиальные оценки скорости сходимости разностных схем для некорректных задач Коши // Тезисы докладов Международного научного семинара по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 19-21 ноября 2015 г. М.: РУДН, 2015. С. 97-98.

45. Кокурин М.М. Полиномиальные оценки скорости сходимости схем полной дискретизации абстрактной задачи Коши для уравнения второго порядка // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского: Материалы Международной научной конференции «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014». Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2014. Т. 49. С. 204-207.

46. Кокурин М.М. Разностные схемы решения абстрактной задачи Коши для уравнения второго порядка // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Лобачевские чтения-2012: материалы XI молодежной научной школы-конференции. Казань: Казан. матем. об-во, 2012. Т. 45. С. 105-107.

47. Кокурин М.М. Разностные схемы решения задачи Коши для линейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 4. С. 569-584.

48. Кокурин М.М. Степенные оценки скорости сходимости одного класса разностных схем для некорректной задачи Коши 2-го порядка в гильбертовом пространстве // Сборник тезисов IX Международной молодежной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», посвященной 85-летию со дня рождения акад. М.М.Лаврентьева. Новосибирск, Академгородок, 26 июня-2 июля 2017 г.

С. 35.

49. Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости итерационных методов решения нерегулярных уравнений. Йошкар-Ола: Марийский гос. ун-т, 2009. 219 с.

50. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

51. Крейн С.Г., Прозоровская О.И. О приближенных методах решения некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3, № 1. С. 120-130.

52. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

53. Латтес Л., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

54. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Книжный дом «Либроком»/иИ,88, 2010. 336 с.

55. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи математических наук. 1994. Т. 49, № 6. С. 111-150.

56. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Наука, 1987. 216 с.

57. Пискарев С.И. Об оценках скорости сходимости при полудискретизации эволюционных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 12. С. 2153-2159.

58. Пискарев С.И. Решение эволюционных уравнений второго порядка в условиях Крейна-Фатторини // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 9. С. 1604-1612.

59. Пискарев С.И. Оценки скорости сходимости при решении некорректных задач для эволюционных уравнений // Известия АН СССР. 1987. Т. 51, № 3. С. 676-687.

60. Пискарев С.И. Дифференциальные операторы в банаховом пространстве и их аппроксимация. М.: Издательство МГУ, 2005. 287 с.

61. Прилепко А.И., Костин А.Б. Оценка спектрального радиуса одного оператора и разрешимость обратных задач для эволюционных уравнений // Математические заметки. 1993. Т. 53, № 1. С. 89-94.

62. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Математические заметки. 1992. Т. 51, № 2. С. 77-87.

63. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005. 295 с.

64. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. 248 с.

65. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

66. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и Ма^аЬ. СПб.: Лань, 2011. 264 с.

67. Соломяк М.З. Оценка нормы резольвенты эллиптического оператора в пространствах Ьр // Успехи математических наук. 1960. Т. 15, № 6. С. 141-148.

68. Соломяк М.З. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // Доклады Академии Наук СССР. 1958. Т. 122, № 5. С. 766-770.

69. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. 156 с.

70. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 288 с.

71. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

72. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 312 с.

73. Тихонов И.В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Серия Математическая. 2003. Т. 67, № 2. С. 133166.

74. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Математические заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 99-113.

75. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 488 с.

76. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

77. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685 с.

78. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

79. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 464 с.

80. Ягола А.Г., Янфей В., Степанова И.Э., Титаренко В.Н. Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. 216 с.

81. Agmon S. On the eigenfunctions and the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm.Pure Appl.Math. 1962. Vol. 15. P. 119-147.

82. Alber Ya, Ryazantseva I. Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type. - Dordrecht: Springer, 2006. 410 pp.

83. Arendt W. Semigroups and evolution equations: Functional calculus, regularity and kernel estimates // Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations. Vol. 1. Amsterdam: Elsevier, 2004. P. 1-85.

84. Bakaev N.Yu. Linear Discrete Parabolic Problems. Amsterdam: Elsevier, 2006. 286 pp.

85. Bakaev N.Yu. Resolvent estimates of elliptic differential and finite-element operators in pairs of function spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2004, no. 5-8. P. 217-238.

86. Bakaev N.Yu., Thomee V., Wahlbin L.B. Maximum-norm estimates for resolvents of elliptic finite element operators // Mathematics of Computation. 2002. Vol. 72, no. 244. P. 15971610.

87. Bakushinsky A.B., Kokurin M.M., Kokurin M.Yu. Regularization Algorithms for Ill-Posed Problems. Berlin: Walter de Gruyter, 2018. 326 pp.

88. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu., Kokurin M.M. On a class of finite difference methods for ill-posed Cauchy problems with noisy data // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 18, no. 9. P. 959-977.

89. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu, Paymerov S.K. On error estimates of difference solution methods for ill-posed Cauchy problems in a Hilbert space // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. Vol. 16, no. 6. P. 553-565.

90. Baumeister J., Leitao A. On iterative methods for solving ill-posed problems modeled by partial differential equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. Vol. 9, no. 1. P. 13-29.

91. Benrabah A., Boussetila N., Rebbani F. Regularization method for an ill-posed Cauchy problem for elliptic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2017. Vol. 25, no. 3. P. 311-329.

92. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin: Springer, 1998. 334 pp.

93. Crouzeix M. On multistep approximation of semigroups in Banach spaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1987. Vol. 20. P. 25-35.

94. Crouzeix M., Larsson S., Piskarev S., Thomee V. The stability of rational approximations of analytic semigroups // BIT Numerical Mathematics. 1993. Vol. 33, no. 1. P. 74-84.

95. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York: Springer, 2000. 586 pp.

96. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer, 1996. 320 pp.

97. Fattorini H.O. Second Order Linear Differential Equations in Banach Spaces. Amsterdam: North-Holland, 1985. 314 pp.

98. Gallardo J.M. Generation of analytic semigroups by differential operators with mixed boundary conditions // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2003. Vol. 33, no. 3. P. 831-863.

99. Gallardo J.M. Generation of analytic semi-groups by second-order differential operators with nonseparated boundary conditions // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2000. Vol. 30, no. 3. P. 869-899.

100. Gallardo J.M. Second-order differential operators with integral boundary conditions and generation of analytic semigroups // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2000. V. 30, no. 4. P. 1265-1291.

101. Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially Convergent Algorithms for Abstract Differential Equations. Basel: Birkhauser/Springer Basel, 2011. 180 pp.

102. Gekeler E. Discretization Methods for Stable Initial Value Problems. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 201 pp.

103. Gomilko A., Tomilov Yu. On convergence rates in approximation theory for operator semigroups // Journal of Functional Analysis. 2014. Vol. 266. P. 3040-3082.

104. Groetsch C.W. Inverse Problems in Mathematical Sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993. 152 pp.

105. Haase M. The Functional Calculus for Sectorial Operators. Basel — Boston — Berlin: Birkhauser, 2006. 392 pp.

106. Hohage T. Regularization of exponentially ill-posed problems // Numerical functional analysis and optimization. 2000. Vol. 21, no. 3-4. P. 439-464.

107. Huang Y., Zheng Q. Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems // Proceedings of the American Mathematical Society. 2005. Vol. 133, no. 10. P. 3005-3012.

108. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Berlin: Springer, 2006. 346 pp.

109. Kabanikhin S.I., Gasimov Y.S., Nurseitov D.B., Shishlenin M.A., Sholpanbaev B.B., Kasenov S. Regularization of the continuation problem for elliptic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2013. Vol. 21, no. 6. P. 871-884.

110. Kabanikhin S.I., Lorenzi A. Identification Problems of Wave Phenomena. Theory and Numerics. Utrecht: VSP, 2000. 342 pp.

111. Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O. Iterative Regularization Methods for Non-Linear Ill-Posed Problems. Berlin: Walter de Gruyter, 2008. 194 pp.

138

112. Lavrentiev M.M., Avdeev A.V., Lavrentiev M.M.,Jr., Priimenko V.I. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht: VSP, 2003. 275 pp.

113. Lorenzi L., Bertoldi M. Analytical Methods for Markov Semigroups. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. 526 pp.

114. Marchuk G.I., Shaidurov V.V. Difference Methods and Their Extrapolations. New York: Springer, 1983. 334 pp.

115. Melnikova I.V, Filinkov A. Abstract Cauchy Problems: Three Approaches. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2001. 236 pp.

116. Neubauer A. Tikhonov-regularization of ill-posed linear operator equations on closed convex sets // Journal of Approximation Theory. 1988. Vol. 53, no. 3. P. 304-320.

117. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1983. 279 pp.

118. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York: Marcel Dekker, 2000. 709 pp.

119. Schuster T., Kaltenbacher B., Hofmann B., Kazimierski K.S. Regularization Methods in Banach Spaces. Berlin: Walter de Gruyter, 2012. 283 pp.

120. Stewart H.B. Generation of analytic semigroups by strongly elliptic operators under general boundary conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 259. P. 299-310.

121. Thomee V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. Berlin: Springer, 2006. 370 pp.

Приложение. Тексты программ

Программа 1.

Текст программы в Maple 15, определяющей характеристический показатель разностной схемы для задачи Коши первого порядка двумя способами.

> restart;

>with(LinearAlgebra):

> k:=2;

> alpha: = [-2*Par1+3,2*Par1-4,1];

>beta:=[Par2-2,3*Par1-2*Par2,Par2-Par1]; >phi:=Pi/6; >gam:=evalf(cos(phi));

Первый метод

>M2_min:=2*sum(abs(alpha[k+1])A(-2)*(abs(alpha[k+1]*beta[j]) +abs(alpha[j]*beta[k+1])),j=1..k);

> a_min:=unapply(M2_min/gam,(Par1,Par2));

>B := <<1,1/(4-2*Par1)>|<(2*Par1-3)/(4-2*Par1),0>>; >J := JordanForm(B); >Q := JordanForm(B, output='Q');

>NormD:=unapply(max(abs(Q[1,1])+abs(Q[1,2]),abs(Q[2,1]) +abs(Q[2,2])),(Par1,Par2)); >DMin:=QA(-1);

> NormDMin:=unapply(max(abs(DMin[1,1])+abs(DMin[1,2]), abs(DMin[2,1])+abs(DMin[2,2])),(Par1,Par2));

>MyMatr:=(Par1,Par2)->a_min(Par1,Par2)*NormD(Par1,Par2) *NormDMin(Par1,Par2);

Второй метод

> Q: = [seq(unapply( ((-2*alpha[j + 1]*beta[j + 1]*gam+2*beta[j + 1]A2*u) *(alpha[k+1]A2-2*alpha[k+1]*beta[k+1]*gam*u+beta[k+1]A2*uA2)-(alpha[j+1]A2-2*alpha[j+1]*beta[j+1]*gam*u+beta[j+1]A2*uA2)*(-2 *alpha[k+1]*beta[k+1]*gam+2*beta[k+1]A2*u)) / (2*(k-j)*gam *(alpha[j+1]A2-2*alpha[j+1]*beta[j+1]

*gam*u+beta[j+1]A2*uA2)*(alpha[k+1]A2-2

*alpha[k+1]*beta[k+1]*gam*u+beta[k+1]A2*uA2)) ,u) ,j=0..k-1)]; >MyQ1:=unapply(Q[1](u),(u,Par1,Par2)); >MyQ2:=unapply(Q[2](u),(u,Par1,Par2));

> MyMax: = (Par1,Par2)->max(maximize(MyQ1(u,Par1,Par2), u=0..infinity),maximize(MyQ2(u,Par1,Par2),u=0..infinity)); Результаты

>MyPar1:=7/4; MyPar2:=3/2;

> MyMatr(MyPar1,MyPar2); MyMax(MyPar1,MyPar2); Программа 2.

Текст программы в Maple 15 для проведения численного эксперимента, описанного в примере 3.1.1.

> restart; Прямая задача

>with(PDEtools):

> a:=0.1;bb:=0.01;b:=bb*x;c:=x*(1-

x)+0.02;T:=0.5;T1:=2.5;N:=5;epsilon:=T/N;delta:=0.005;kDelt:=3;

> PDE:=diff(u(x,t),t)=aA2*diff(diff(u(x,t),x),x) -b*diff(u(x,t),x) -c*u(x,t);

>IBC:={u(x,0)=sin(2*Pi*x),u(0,t)=0,u(1,t)=0}; >ans:=pdsolve(PDE,IBC,numeric):

> p:=ans:-value(t=T1,output=listprocedure): >u_0:=rhs(op(3,%)):

> p:=ans:-value(t=T1-T,output=listprocedure): >u_T:=rhs(op(3,%)):

> p3D:=ans:-plot3d(t=0..T1,x=0..1,axes=boxed): >plots[display](p3D);

Обратная задача

> u_eps:=x->u_0(x)+delta*evalf(sin(kDelt*Pi*x)); >Num:=10;

>ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)]:

>for i from 0 to Num do

> u_eps_[i]:=u_eps(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic):

> u_eps1:=unapply(f,x):

> deg:=-

aA2*epsilon*diff(diff(w(x),x),x)+b*epsilon*diff(w(x),x)+(c*epsilon+ 1)*w(x)=f:

>dsol:=dsolve({deg,w(0)=0,w(1)=0},numeric,output=listprocedure,abse rr=Float(1,-5),maxmesh=2048): >w:=rhs(op(2,%)):

> for i from 0 to Num do

>u_eps_[i]:=2*u_eps1(i/Num)-w(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]: ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic): u_eps2:=unapply(f,x): unassign(w):

Основной цикл

>for n from 1 to N-1 do

> deg:=-

aA2*epsilon*diff(diff(w(x),x),x)+b*epsilon*diff(w(x),x)+(c*epsilon+ 4)*w(x)=u_eps1(x);

>dsol:=dsolve({deg,w(0)=0,w(1)=0},numeric,output=listprocedure,abse rr=Float(1,-5),maxmesh=2048); >w:=rhs(op(2,%));

> for i from 0 to Num do

>u_eps_[i]:=-2*u_eps1(i/Num)+10*w(i/Num);

> end do; unassign(w);

deg:=-

aA2*epsilon*diff(diff(w(x),x),x)+b*epsilon*diff(w(x),x)+(c*epsilon+ 4)*w(x)=u_eps2(x);

dsol:=dsolve({deg,w(0)=0,w(1)=0},numeric,output=listprocedure,abser

r=Float(1,-5),maxmesh=2048);

w:=rhs(op(2,%));

for i from 0 to Num do

>u_eps_[i]:=u_eps_[i]+9*u_eps2(i/Num)-34*w(i/Num);

> end do;

ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]; ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)];

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic); u_eps:=unapply(f,x); unassign(w);

u_eps1:=unapply(u_eps2(x),x); u_eps2:=unapply(u_eps(x),x); end do:

Интерполяция u_0 и u_T

> for i from 0 to Num do u_0_[i]:=u_0(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]: ValList:=[seq(u_0_[i],i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic): u_0Int:=unapply(f,x):

> for i from 0 to Num do u_T_[i]:=u_T(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]: ValList:=[seq(u_T_[i],i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic): u TInt:=unapply(f,x):

Итоговый расчёт погрешностей и визуализация

>plot([u_0(x),u_T(x),u_eps(x)],x=0..1,color=black,linestyle=[S0LID, D0T,S0LID],thickness=[1,3,3],labels=["",""],legend=["psi_1(s)","psi _2(s)","x_N(s),delta=0.005"],font=[TIMES,B0LD,15],view=[0..1,-0.4..0.4]);

>u0_uT:=sqrt(int((u_TInt(x)-u_0Int(x))A2,x=0..1));

> uEps_uT:=sqrt(int((u_TInt(x)-u_eps(x))A2,x=0..1)); >_uT_:=sqrt(int(u_TInt(x)A2,x=0..1));

> uEps_uT/_uT_;

Программа 3.

Текст программы в Maple 15 для проведения численного эксперимента, описанного в примере 3.1.3.

> restart;

> with(plots):

>with(LinearAlgebra):

> a:=0.2;b:=0;c:=0;T:=0.5;T1:=1;N:=5;epsilon:=T/N;delta:=5*10A(-5);kDelt1:=3;kDelt2:=5;

Прямая задача

>psi:=(x,y)->xA4*yA(1/4)*(1-x)*(1-y);

> Num:=30;NumT:=4*NumA2;h:=1/Num;dt:=T1/NumT;NNumT:=round(T/dt);

> for i from 0 to Num do for j from 0 to Num do

> u[i,j,0]:=evalf(psi(i/Num,j/Num));

> od;od;

>for k from 1 to NumT do

>for i from 0 to Num do u[i,0,k]:=0; u[i,Num,k]:=0 od: >for j from 0 to Num do u[0,j,k]:=0; u[Num,j,k]:=0 od: >for i from 1 to Num-1 do for j from 1 to Num-1 do

>u[i,j,k]:=u[i,j,k-1]+dt*aA2*(u[i-1,j,k-1]-2*u[i,j,k-1]+u[i+1,j,k-1]+u[i,j-1,k-1]-2*u[i,j,k-1]+u[i,j+1,k-1])/hA2;

> od;od;od;

> u0: = [seq([seq(u[i,j,NumT],j=0..Num)],i=0..Num)]:

>uT:=[seq([seq(u[i,j,NumT-NNumT],j=0..Num)],i=0..Num)]: >PL0T3D(GRID(0..1,0..1,u0),AXES(B0XED)); >PL0T3D(GRID(0..1,0..1,uT),AXES(B0XED));

Обратная задача

>for i from 1 to Num+1 do for j from 1 to Num+1 do u_eps1[i,j]:=u0[i,j]+delta*evalf(sin(kDelt1*Pi*(i-1)/Num)*sin(kDelt2*Pi*(j-1)/Num)) od od; >A:=Matrix((Num+1)A2,(Num+1)A2);

> f:=Vector((Num+1)A2);

>for i from 1 to (Num+1)A2 do f[i]:=0 od:

>for i from 1 to (Num+1)A2 do for j from 1 to (Num+1)A2 do A[i,j]:=0; od;od;

> for i from 2 to Num do for j from 2 to Num do

>A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j]:=4*aA2*epsilon/hA2+1; >A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-2)+j]:=-aA2*epsilon/hA2; >A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*i+j]:=-aA2*epsilon/hA2; >A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j-1]:=-aA2*epsilon/hA2; >A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j+1]:=-aA2*epsilon/hA2; >f[(Num-1)*(i-2)+j-1]:=u_eps1[i,j];

> od;od;

>for j from 1 to Num+1 do A[(Num-1)A2+j,j]:=1; A[(Num-1)A2+Num+1+j,(Num+1)*Num+j]:=1; od:

>for i from 2 to Num do A[(Num-1)A2+2*Num+1+i,(Num+1)*(i-1)+1]:=1; A[(Num-1)A2+3*Num+i,(Num+1)*(i-1)+Num+1]:=1; od: >_u:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(A),f); >for i from 1 to Num+1 do for j from 1 to Num+1 do u_eps2[i,j]:=2*u_eps1[i,j]-_u[(Num+1)*(i-1)+j] od; od; >for i from 1 to (Num+1)A2 do f[i]:=0 od:

for i from 1 to (Num+1)A2 do for j from 1 to (Num+1)A2 do A[i,j]:=0; od;od;

for i from 2 to Num do for j from 2 to Num do

A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j]:=4*aA2*epsilon/hA2+4;

A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-2)+j]:=-aA2*epsilon/hA2;

A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*i+j]:=-aA2*epsilon/hA2;

A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j-1]:=-aA2*epsilon/hA2;

A[(Num-1)*(i-2)+j-1,(Num+1)*(i-1)+j+1]:=-aA2*epsilon/hA2;

od;od;

for j from 1 to Num+1 do A[(Num-1)A2+j,j]:=1; A[(Num-1)A2+Num+1+j,(Num+1)*Num+j]:=1; od:

for i from 2 to Num do A[(Num-1)A2+2*Num+1+i,(Num+1)*(i-1)+1]:=1; A[(Num-1)A2+3*Num+i,(Num+1)*(i-1)+Num+1]:=1; od:

Основной цикл... >for n from 1 to N-1 do

>for i from 2 to Num do for j from 2 to Num do f[(Num-1)*(i-2)+j-1]:=u_eps1[i,j]; od;od;

_u:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(A),f);

>for i from 1 to Num+1 do for j from 1 to Num+1 do u_eps3[i,j]:=-2*u_eps1[i,j]+10*_u[(Num+1)*(i-1)+j] od; od;

>for i from 2 to Num do for j from 2 to Num do f[(Num-1)*(i-2)+j-1]:=u_eps2[i,j]; od;od;

>_u:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(A),f); >for i from 1 to Num+1 do for j from 1 to Num+1 do u_eps3[i,j]:=u_eps3[i,j]+9*u_eps2[i,j]-34*_u[(Num+1)*(i-1)+j]; od;od;

>for i from 1 to Num+1 do for j from 1 to Num+1 do u_eps1[i,j]:=u_eps2[i,j]; u_eps2[i,j]:=u_eps3[i,j]; od;od;

> od;

Итоговый расчёт погрешностей и визуализация

> u_eps: = [seq([seq(u_eps3[i,j],j=1..Num+1)],i=1..Num+1)]:

> PL0T3D(GRID(0..1,0..1,u_eps),AXES(B0XED));

> err: = [seq([seq(u_eps3[i,j]-uT[i,j],j=1..Num+1)],i=1..Num+1)]: >PL0T3D(GRID(0..1,0..1,err),AXES(B0XED));

> u0_uT:=sqrt(hA2 *add(add((u0[i,j]-uT[i,j])A2,j=1..Num+1),i=1..Num+1));

> uEps_uT:=sqrt(hA2*add(add((u_eps[i,j]-uT[i,j])A2,j=1..Num+1),i=1..Num+1));

>_uT_:=sqrt(hA2*add(add((uT[i,j])A2,j=1..Num+1),i=1..Num+1));

> uEps_uT/_uT_;

Программа 4.

Текст программы в Maple 15 для проведения численного эксперимента, описанного в разделе 3.2.

> restart;

>with(LinearAlgebra):

> a:=0.1;bb:=0.02;b:=x->bb*x;c:=x->x*(1-x)+0.02; T:=0.5;T1:=2.5;N:=5;Delta:=T/N;delta:=0.001;kDelt:=3;

Вспомогательная корректная задача >psi:=x->xA2*(x-1);

>MDir:=50;NDir:=50;hDir:=1/MDir;DeltaDir:=T1/NDir;

> A:=Matrix((MDir+1)*(NDir+1)); >for i from 1 to MDir-1 do

>for j from 1 to NDir-1 do

>A[(MDir-1)*(j-1)+i,(MDir+1)*j+i+1]:=-2/DeltaDirA2-2*aA2 /hDirA2+b(i*hDir)/hDir-c(i*hDir);

>A[(MDir-1)*(j-1)+i,(MDir+1)*j+i+2]:=aA2/hDirA2-b(i*hDir)/hDir; >A[(MDir-1)*(j-1)+i,(MDir+1)*j+i]:=aA2/hDirA2; >A[(MDir-1)*(j-1)+i,(MDir+1)*(j+1)+i+1]:=1/DeltaDirA2; >A[(MDir-1)*(j-1)+i,(MDir+1)*(j-1)+i+1]:=1/DeltaDirA2;

> od;

> od:

>for i from 1 to MDir-1 do A[(MDir-1)*(NDir-1)+i,i+1]:=-1/DeltaDir; A[(MDir-1)*(NDir-1)+i,MDir+1+i+1]:=1/DeltaDir; od:

>for i from 1 to MDir-1 do A[(MDir-1)*NDir+i,(MDir+1)*NDir+i+1]:=1 od:

>for j from 0 to NDir do A[(MDir-1)*(NDir+1)+j+1,(MDir+1)*j+1]:=1 od:

>for j from 0 to NDir do A[MDir*(NDir+1)+j+1,(MDir+1)*(j+1)]:=1 od:

> f:=Vector((MDir+1)*(NDir+1));

>for k from 1 to (MDir-1)*(NDir-1) do f[k]:=0 od: >for i from 1 to MDir-1 do f[(MDir-1)*(NDir-1)+i]:=0 od: >for i from 1 to MDir-1 do f[(MDir-1)*NDir+i]:=psi(i*hDir) od: >for j from 0 to NDir do f[(MDir-1)*(NDir+1)+j+1]:=0 od: >for j from 0 to NDir do f[MDir*(NDir+1)+j+1]:=0 od: >_u:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(A),f);

> i: = 'i,;j: = ,j';

>for j from 0 to NDir do

> ArgList: = [seq(i*hDir,i=0..MDir)];

>ValList:=[seq(_u[(MDir+1)*j+i+1],i=0..MDir)]; >u_res[j]:=unapply(spline(ArgList,ValList,x),x);

> od:

>plot([seq(u_res[j](x),j=0..NDir)],x=0..1);

Обратная задача

>u_eps:=unapply(u_res[0](x)+delta*evalf(sin(kDelt*Pi*x)),x): >Num:=10;

>ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)]:

> for i from 0 to Num do

> u_eps_[i]:=u_eps(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic): >u eps1:=unapply(f,x):

>deg:=-aA2*DeltaA2*diff(diff(w(x),x),x)+b(x)*DeltaA2*diff(w(x),x) + (c(x)*DeltaA2+1)*w(x)=f:

> dsol:=dsolve({deg,w(0)=0,w(1)=0},numeric,output=listprocedure, abserr=Float(1,-5),maxmesh=2048):

>w:=rhs(op(2,%)):

> for i from 0 to Num do

>u_eps_[i]:=3/2*u_eps1(i/Num)-1/2*w(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]: ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic): u_eps2:=unapply(f,x): unassign(w):

Основной цикл

>for n from 1 to N-1 do

>deg:=-aA2*DeltaA2*diff(diff(w(x),x),x)+b(x)*DeltaA2*diff(w(x),x) + (c(x)*DeltaA2+1)*w(x)=u_eps2(x):

> dsol:=dsolve({deg,w(0)=0,w(1)=0},numeric,output=listprocedure, abserr=Float(1,-5),maxmesh=2048):

>w:=rhs(op(2,%)):

> for i from 0 to Num do

>u_eps_[i]:=-u_eps1(i/Num)+3*u_eps2(i/Num)-w(i/Num);

> end do:

>ArgList:=[seq(evalf(i/Num),i=0..Num)]: ValList:=[seq(u_eps_[i],i=0..Num)]:

> f:=spline(ArgList,ValList,x,cubic); u_eps:=unapply(f,x); unassign(w);

u_eps1:=unapply(u_eps2(x),x); u_eps2:=unapply(u_eps(x),x); end do:

Итоговый расчёт погрешностей и визуализация

> plot([u_eps(x),u_res[NDir/5](x),u_res[0](x)],x=0..1);

> sqrt(int((u_eps(x)-u_res[NDir/5](x))A2,x=0..1,numeric));

> sqrt(int((u_res[NDir/5](x)-u_res[0](x))A2,x=0..1,numeric));

> sqrt(int((u_eps(x)-

u_res[NDir/5](x))A2,x=0..1,numeric))/sqrt(int((u_res[NDir/5](x))A2, x=0..1,numeric));