Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хамдамов, Шерали Джумабекович

• Хамдамов, Шерали Джумабекович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хамдамов, Шерали Джумабекович

Введение

Глава I. Наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы на классах функций малой гладкости

§1.1. Определение и обозначения общего характера.

§1.2. Об оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита на классе функций Ни[—1\ 1].

§1.3. О погрешности одной квадратурной формулы на классах функций ЦгМНы[-1] 1].

§1.4. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с весом

Якоби на классах функций малой гладкости

§1.5. О наилучших весовых квадратурных формулах класса функций 0, оо)

§1.6. Об оптимизации приближенного вычисления двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге. Приведение к одномерному случаю.

Глава II. О наилучших и наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах на некоторых классах функций

§2.1. Постановка задач и классы функций.

§2.2. О наилучших весовых кубатурных формулах на классах функций (1 < Р < оо).

§2.3. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов функций УУ^Ьр^*), 1<р<оо.

§2.4. Оценки погрешности кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах, для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций»

В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский [33] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард [38]. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В.П.Моторным, А.А.Женсык-баевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К.И.Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского [33]. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.

При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатурных формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.

Рассматривается квадратурная формула п х)Цх)йх = £ Рк/(Хк) + Дп(/), п

0.0.1) в которой весовая функция д(х) > 0 на отрезке [а, 6] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р = 1 - вектор коэффициентов, X = {хь : а < XI < Х2 < . < хп-1 < хп < 6} - вектор узлов, а Яп{1) := ] д\ Р, X) - погрешность квадратурной формулы (0.0.1) на функции

Если ОТ некоторый класс функций {/(ж)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе ЭТ. Требуется найти величину где Л - множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р°, Х°) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (0.0.3), то есть то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей или оптимальной на классе ОТ, а вектор (Р°,Х°) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (0.0.1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = который реализует нижнюю грань М

Дп(ОТ;д,Р,Х)=зпр{|Дп(/;д;Р,Х)| : / £ ОТ} (0.0.2)

П(0Т; д) = ^{^(ОТ; <?; Р, X) : (Р, X) С Л}

0.0.3)

П(0Т; д, X) = Ы{Яп(Ъ1] д\Р,Х): Р С Л}

0.0.4) то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X =

В литературе задача (0.0.3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (0.0.4) - задачей Сарда.

Задача (0.0.3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов решена многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда д(х) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л.А.Онегова, В.А.Войкова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабоиева.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики, целью которой является:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов а, 6] на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найти наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций И^1'1^^), когда область (2 как ограничена, так и не ограничена.

5. Вычислить точные оценки погрешности кубатурных формул на классах функций, определяемых модулями непрерывности.

В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований диссертационной работы:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости как на конечном, так и на бесконечном интервале.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найдены наилучшие кубатурные формулы для классов функций, определенных в первом квадранте декартовом системы координат.

5. Вычислены точные оценки кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах для классов функций, определяемых модулями непрерывности.

Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.

Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Ходжент, 2007 - 2010 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в ИМ АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях „Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (г.Душанбе, 2007 г.), „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" (г.Душанбе, 2007 г.), „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ" в ИМ АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), в ИМ АН Республики Таджикистан.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [40 — 43,50], из которых одна статья выполнена в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым и Р.С.Сабоиевым. Из этой статьи в диссертации приведена теорема 2, доказательство которой принадлежит автору диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 53 наименований и занимает 82 страницу машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хамдамов, Шерали Джумабекович, 2010 год

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, т. 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, т. 20, №4, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, 3, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

8. Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. -Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.17-21.

9. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

10. Вакарчук К. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990, №47, вып. 5 с.26-29

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена А.Я. Применение полиномов Чебишева в численном анализе.-Рига: Знатне, 1984.-240 с.

12. Великин В.Л. Эрмитовы сплайны и связанные с ними квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функции // Изв. вузов, Математика., 1976, №5, с.15-28.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

14. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, т, с.121-123.

15. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле //Изв.вузов. Математика, 2000, №3, с 25-28.

16. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи матем.наук, 1981, т.36, №4, с.107-159.

17. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

18. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.:Наука, 1985 -396с.

19. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 с.-(Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

20. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

21. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

22. Крылов В.И. Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-371 с.

23. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука 1983, 324 с.

24. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. //Матем.заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

25. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов //Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

26. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, стр.577586.

27. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, т. 236, №6, с.1303-1306.

28. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

29. Лушпай Н.Е. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35-39

30. Лушпай Н.Е., Переверзев C.B. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных // В сб. Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.79

31. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, т. 19, №6, с.913-926.

32. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // У кр. матем .журнал, 1995, т. 47, N9, с. 1205-1208.

33. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. - 256 с.

34. Онегов JI.A. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв.вузов, Математика, 1981, N9, с.76-79.

35. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности // Доклады АН РТ, 2005, т.48, №3-4.

36. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №5, с.412-416.

37. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с.597-603.

38. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

39. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

40. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности квадратурных формул, точных на сплайнах первой степени // Доклады АН РТ, 2007, т.50, №3, с. 213 -217.

41. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности кубатурных формул точных на билинейных сплайнах // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №2, с. 93 100.

42. Хамдамов Ш.Дж. Об оценке погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций. // Доклады АН РТ, 2010, т. 53, №5 , с.333-337.

43. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами //Укр. мат. журнал, 1994, т.46, №11, с. 1554-1560.

44. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами.//Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с.142-152.

45. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

46. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300-1305.

47. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69-75.

48. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж.ССР, отд.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, №4, с.86-90

49. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Li а, Ь. // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №1, с. 5 9.

50. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6,

51. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

52. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с. 14-19.с.17-22