Оценка состояний, длительности мертвого времени и параметров распределения в полусинхронном потокe событий второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Тумашкина Диана

• Тумашкина Диана
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Тумашкина Диана

Введение

1 Математическая модель полусинхронного потока событий второго порядка

1.1 Математическое описание потока при его полной наблюдаемости

1.2 Математическое описание потока при его частичной наблюдаемости

1.3 Некоторые свойства потока

1.4 Матрицы инфинитезимальных характеристик процесса

1.5 Выводы и результаты по первой главе

2 Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий второго порядка

2.1 Оптимальная оценка состояний потока при его полной наблюдаемости

2.1.1 Вид рекуррентного соотношения для апостериорных вероятностей

2.1.2 Получение формулы пересчета для апостериорных вероятностей

2.1.3 Вид апостериорной вероятности состояния потока при его полной наблюдаемости

2.1.4 Нахождение явных выражений для априорных вероятностей

2.1.5 Алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его полной наблюдаемости

2.2 Оптимальная оценка состояний потока при его частичной наблюдаемости

2.2.1 Вид апостериорной вероятности состояния потока при его частичной наблюдаемости

2.2.2 Алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его частичной наблюдаемости

2.3 Выводы и результаты по второй главе

3 Оценивание параметров плотности распределения вероятностей и длительности мертвого времени в полусинхронном потоке событий второго порядка методом моментов

3.1 Оценка параметров плотности распределения вероятностей

3.1.1 Вид плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в потоке для общего случая задания параметров

3.1.2 Вид плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в потоке для особого случая задания параметров

3.1.3 Оценка параметров плотности вероятности для общего случая

3.1.4 Оценка параметров плотности вероятности для особого случая

3.2 Оценка параметров плотности распределения вероятностей в рекуррентном потоке

3.2.1 Вид совместной плотности вероятности длительностей интервалов между соседними событиями в потоке для общего случая задания параметров

3.2.2 Вид совместной плотности вероятности длительностей интервалов между соседними событиями в потоке для особого случая задания параметров

3.2.3 Условия рекуррентности потока для общего случая задания параметров

3.2.4 Условия рекуррентности потока для особого случая задания параметров

3.2.5 Оценка параметров плотности в рекуррентном потоке для общего случая

3.2.6 Оценка параметров плотности в рекуррентном потоке для особого случая

3.3 Оценка длительности мертвого времени в наблюдаемом потоке

3.3.1 Вывод плотности вероятности рт (т)

3.3.2 Оценивание длительности мертвого времени методом моментов

3.3.3 Среднее число потерянных событий в единицу времени

3.4 Оценка длительности мертвого времени в рекуррентном наблюдаемом потоке

3.4.1 Вывод совместной плотности вероятности рг (т, т2)

3.4.2 Условия рекуррентности полусинхронного потока событий второго порядка при наличии мертвого времени

3.4.3 Оценивание длительности мертвого времени в рекуррентном

наблюдаемом потоке методом моментов

3.4.4 Вероятностные характеристики потока

3.5 Выводы и результаты по третьей главе

4 Результаты численных экспериментов на имитационной модели полусинхронного потока событий второго порядка

4.1 Проверка работоспособности модели

4.2 Проверка качества оценки состояний потока

4.3 Проверка качества оценки параметров плотности распределения

4.4 Проверка качества оценки длительности мертвого времени

4.5 Выводы и результаты по четвертой главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А Имитационное моделирование

Приложение Б Блок-схема имитационной модели

Приложение В Акт о внедрении результатов диссертации в учебный процесс Национального исследовательского Томского государственного университета

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка состояний, длительности мертвого времени и параметров распределения в полусинхронном потокe событий второго порядка»

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящее время при описании и анализе реальных технических, физических, телекоммуникационных и других систем возникает необходимость применять математический аппарат теории массового обслуживания (ТМО) [17, 43-45, 77, 83, 84, 91-93, 103, 119, 121, 122], так называемой теории очередей. В связи с быстрым развитием информационных технологий важнейшей сферой приложения ТМО является проектирование цифровых сетей интегрального обслуживания (ЦСИО), которые представляют собой технологии связи для одновременной цифровой передачи голоса, изображений, видео и других сетевых данных и услуг по цифровым каналам телефонной сети. Информационные потоки сообщений, функционирующие в ЦСИО, совершенствуются и вместе с тем усложняются. Как показывает практика, довольно часто параметры, определяющие поток событий, неизвестны либо случайно изменяются во времени. Поэтому адекватными математическими моделями данных потоков являются дважды стохастические потоки событий [4, 5, 37, 89, 94, 104-106, 109, 126]. Вышеупомянутые потоки событий характеризуются следующим образом. Моменты наступления событий потока являются случайными, а также интенсивность потока представляет собой случайный процесс. Таким образом, имеется двойная случайность, т.е. двойная стохастика, что и приводит к определению дважды стохастического потока событий.

Данные потоки событий широко применяются в качестве математических моделей входящих потоков различных систем массового обслуживания (СМО) [15, 26, 54, 58, 90, 102, 108, 120]. Фундаментальной задачей ТМО является нахождение вероятностных характеристик, определяющих функциональные возможности, принцип и эффективность функционирования СМО. Случайные потоки событий, в свою очередь, являются основными элементами СМО, несущими в систему большие потоки информации.

На текущий момент дважды стохастические потоки событий применяются в

качестве математических моделей реальных информационных потоков сообщений в телекоммуникационных, компьютерных, информационно-вычислительных сетях. Примерами практической применимости данных потоков событий являются: задача по оценке производительности широкополосных беспроводных сетей вдоль протяженных транспортных магистралей (совокупность станций, объединенных беспроводными каналами связи) с использованием в качестве входящего потока MAP-потока событий в многофазной СМО [11]; применение дважды стохастических потоков для аппроксимации данных трафика локальных сетей Ethernet в Bellcore Morristown Research and Engineering Center, сформированных в виде последовательностей моментов наступления пакетов, образующих коррелированный информационной поток (для аппроксимации использовался принцип суперпозиции нескольких дважды стохастических потоков на разных временных интервалах) [111].

В этой связи следует отметить актуальность изучения данных потоков.

Условия функционирования реальных процессов и систем являются таковыми, что параметры входящих в систему потоков являются ненаблюдаемыми, наблюдаются лишь моменты наступления событий потока (заявок, сообщений). Сопровождающий случайный процесс (в частном случае интенсивность) дважды стохастических потоков событий, являющийся скрытым (т.е. ненаблюдаемым) процессом, характеризуется дискретным или конечным множеством состояний и множеством параметров. Поэтому решение задач оценки состояний [6, 27, 30, 100, 113, 117] и параметров [8, 28, 31, 34, 97, 98, 124] дважды стохастического потока (сопровождающего случайного процесса) представляет существенный интерес. При этом сопровождающий процесс является принципиально ненаблюдаемым и используется в качестве описательного и вычислительного математического аппарата, а наблюдаются только моменты времени наступления событий. Тогда задачи оценивания состояний и параметров потока решаются по наблюдениям за моментами наступления событий.

В данной диссертационной работе рассматривается дважды стохастический

поток событий с числом состояний, равным двум, и описываемый восемью параметрами.

В зависимости от способа перехода сопровождающего случайного процесса из состояния в состояние дважды стохастические потоки событий можно разделить на следующие три типа: 1) синхронные потоки, переход из состояния в состояние в которых зависит непосредственно от момента наступления события [20, 32, 34]; 2) асинхронные потоки, переход из состояния в состояние в которых не зависит момента наступления события [10, 21, 27, 74, 101]; 3) полусинхронные потоки, у которых для одного состояния справедливо определение первого типа, а для другого состояния - второго типа [25, 28, 29, 33, 41, 61].

В свою очередь, в зависимости от математической модели потока событий дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: 1) потоки, у которых длительность интервала между соседними событиями задается одной случайной величиной [8, 9, 25, 28, 32]; 2) потоки, у которых длительность интервала между соседними событиями задается двумя случайными величинами -потоки второго порядка [6, 111].

На практике любая обслуживающая система затрачивает определенное время на регистрацию события (заявки, сообщения), в течение которого регистрирующий прибор не способен регистрировать последующие события. Таким образом, событие, поступившее в систему, порождает период мертвого времени [1, 23, 24, 118] или период ненаблюдаемости, в течение которого другие наступившие события потока недоступны для наблюдения, иначе говоря, теряются. Наступившие в период ненаблюдаемости события могут продлевать или не продлевать длительность мертвого времени, поэтому выделяют модели с продлевающимся и непродлевающимся мертвым временем. В настоящей работе полагается, что данный период времени является фиксированным, а также, что следующее наступившее в период мертвого времени событие потока не продлевает его длительность (непродлевающееся мертвое время).

Термин « мервое время » используется для систем регистрации дискретных событий, в частности, детекторы частиц и ядер. Примером ситуации

возникновения периода мертвого времени является прибор для регистрации (подсчета) попавших в него заряженных частиц (альфа-, бета-, гамма- лучи) -счетчик Гейгера-Мюллера. При попадании частицы в счетчике возрастает напряжение и ток, временно не позволяющие прибору регистрировать следующую частицу.

Тогда существенный интерес представляет оценивание периода ненаблюдаемости для оценки среднего числа потерянных событий в потоке. Аналитическое решение данной задачи позволит на практике повысить эффективность функционирования системы обслуживания. В работах [9, 20-22, 31, 59, 71] рассматриваются задачи подобного рода для различных типов дважды стохастических потоков событий.

Объектом исследования настоящей работы является полусинхронный поток событий второго порядка. В работе рассматривается названный поток при его полной наблюдаемости и частичной наблюдаемости, т.е. в условиях существования непродлевающегося мертвого времени.

Все вышесказанное подтверждает актуальность темы диссертационного исследования и развивает теорию и практику дважды стохастических потоков событий, являющихся математическими моделями входящих информационных потоков сообщений, заявок, данных в наше время интенсивного использования компьютерных, цифровых и информационно-вычислительных технологий, когда потоки представляют собой большие массивы разнородных данных.

Степень разработанности темы исследования. Впервые модель дважды стохастического потока была опубликована в 1955 году Д. Коксом [94], в которой интенсивность потока является непрерывным случайным процессом; данная модель носит название процесса Кокса или дважды стохастического пуассоновского процесса. Аналогичная модель потока также рассмотрена в работе Дж. Кингмена в 1964 году [104].

Далее в 1979 г. в работах Г.П. Башарина, В.А. Кокотушкина и В. А. Наумова [4, 5], М. Ньютса [109] и в 1991 г. в работе Д. Лукантони [106] были рассмотрены дважды стохастические потоки с интенсивностью, являющейся кусочно-

постоянным случайным процессом с конечным числом состояний. В работах [4, 5] введены MC-потоки (Markov chain), являющиеся потоками с интенсивностью, управляемой цепью Маркова; в [109] рассмотрены versatile Markov point process, или MAP-потоки (Markovian arrival process), являющиеся потоками, управляемыми марковским процессом; в [106], в свою очередь, введены в рассмотрение BMAP-потоки (batch Markovian arrival process), где в каждый момент времени события наступают «пачками».

MAP-потоки событий широко используются в настоящее время для аппроксимации информационных потоков в телекоммуникационных сетях. К примеру, в работах [11-13, 36, 37, 105, 125] вышеприведенные потоки были использованы в задачах с широкополосными сетями беспроводной связи вдоль протяженных транспортных магистралей. Можно отметить, что вышеупомянутые в разделе « актуальность » настоящей работы синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки событий являются частными случаями MAP-потоков.

В настоящее время достаточно подробно изучены синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки, в которых интенсивность потока формируется одной случайной величиной. Менее изученными являются дважды стохастические потоки с интенсивностью, заданной двумя случайными величинами. Примерами являются работы [6, 62, 87, 111, 112]: модулированный MAP-поток, обобщенный синхронный поток событий второго порядка.

Основными задачами, которые возникают при исследовании дважды стохастических потоков событий являются следующие задачи: 1) задача оценивания состояний потока (задача фильтрации состояний потока событий); 2) задача оценивания параметров потока. Задачи оценивания первого типа решены в работах [6, 27, 30, 100, 113, 117], задачи второго типа в [8, 28, 31, 34, 97, 98, 99, 124] для различных типов дважды стохастических потоков.

Заметим, что усложнение математической модели потока событий влечет за собой естественное усложнение решения отмеченных выше задач, особенно, для потоков второго порядка [71-73] и потоков с произвольным числом состояний [42].

В литературе исследуются дважды стохастические потоки событий с двумя

состояниями, в одном из которых имеет место нулевая интенсивность (альтерниирующие потоки). В [74] отмечается, что данные потоки могут являться математическими моделями потоков, поступающих в общую сеть из одного источника. Два состояния характеризуются следующим образом: информация пересылается с максимальной интенсивностью либо не пересылается. В качестве примера в [74] приведен источник, посылающий информацию на обслуживающий прибор по мере ее накопления с возможными ситуациями: начало и конец интервала передачи информации совпадают с моментами пересылки первой и последней порции информации, что определяет альтерниирующий синхронный поток; длительности интервалов времени, когда источник осуществляет передачу информации, определяет обслуживающий прибор исходя из загруженности сети, тогда имеет место асинхронный поток; интервал передачи открывается источником, а закрывается обслуживающим прибором, или наоборот, что определяет полусинхронный поток событий.

Дважды стохастические потоки событий изучаются как при их полной наблюдаемости, так и при частичной, т.е. функционирующие в условиях мертвого времени [1]. Стоит отметить, что характер мертвого времени классифицируется по нескольким признакам. Говорят о продлевающемся мертвом времени [25], когда наступившее в период ненаблюдаемости событие продлевает период длительности мертвого времени, в ином случае говорят о непродлевающемся мертвом времени. Выделяют также мертвое время фиксированной длительности [21, 29, 59] и случайное мертвое время [22, 38, 60].

Можно сказать, что мертвое время является искажающим фактором в модели потока событий, т.к. в период его длительности теряются события потока. Соответственно, чем больше период мертвого времени, тем больше событий, содержащих информацию, теряется. В этой связи оценка длительности мертвого времени является актуальной задачей, позволяющей оценить потерю информации. Как правило, для оценивания длительности мертвого времени применяют метод моментов и метод максимального правдоподобия [25, 41, 59, 110].

Исследованием дважды стохастических потоков событий, а также СМО с входящими дважды стохастическими потоками занимались и занимаются ученые различных научных школ: А. Ф. Терпугов, А. М. Горцев, К. И. Лившиц, А. А. Назаров, Л. А. Нежельская, А. Н. Моисеев, М. Е. Завгородняя - в Национальном исследовательском Томском государственном университете [22, 25, 47, 48, 53, 55, 56, 79, 95, 96]; В. М. Вишневский, М. П. Фархадов - в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук [12-14, 80]; Г. А. Медведев, А. Н. Дудин, В. И. Клименок, Г. В. Царенков - в Белорусском государственном университете [37, 51, 52, 85]; Ю. В. Малинковский - в Гомельском государственном университете им. Ф. Скорины [49, 50]; Г. П. Башарин, Ю. В. Гайдамака, К. Е. Самуйлов - в Российском университете Дружбы народов [2, 3, 16, 78]; А. В. Зорин, М. А. Федоткин - в Национальном исследовательском Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского [39, 40, 127]; Г. Ш. Цициашвили, Н. И. Головко, В. В. Катрахов - в Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук [18, 19, 123]; В. В. Рыков - в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина [7, 35, 75, 76]; М. Ньютс, Д. Лукантони, А. Баник, У. Гупта - в США [88, 106, 107, 109] и другие ученые.

Таким образом, начиная с 1955 г. и по настоящее время, дважды стохастические потоки событий являются актуальным объектом математических исследований. Вместе с развитием информационных технологий и компьютеризации модели дважды стохастических потоков развиваются и усложняются. Реальные потоки в телекоммуникационных сетях принимают все более замысловатые формы, поэтому исследование и разработка новых моделей дважды стохастических потоков как никогда актуальна.

В настоящей диссертации впервые рассматривается один из типов дважды стохастических потоков событий, а именно полусинхронный поток событий второго порядка. Более того, исследование потока проводится при его полной наблюдаемости, а также при наличии искажающего фактора - мертвого времени. Для данного потока событий в диссертационной работе решается задача

оценивания состояний. Отметим, что параметры потока в данной работе не оцениваются в связи со сложностью рассматриваемого объекта исследования, поэтому решается задача оценки параметров плотности распределения вероятностей длительности интервала между событиями потока и задача оценки длительности мертвого времени.

Данное исследование поможет расширить класс применяемых входящих потоков в различных СМО, а также класс математических моделей информационных потоков событий (сообщений, заявок), функционирующих в сетях связи различного рода.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является аналитическое и численное изучение полусинхронного потока событий второго порядка.

В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

- построение математической модели полусинхронного потока событий второго порядка в условиях его полной и частичной наблюдаемости;

- разработка алгоритмов оптимального оценивания состояний потока при его полной и частичной наблюдаемости;

- оценивание параметров плотности распределения вероятностей длительности интервала между соседними событиями потока;

- оценивание длительности мертвого времени;

- установление качества оценивания состояний, параметров распределения и длительности мертвого времени путем постановки и проведения статистических экспериментов на построенной имитационной модели потока.

Научная новизна исследования заключается в том, что в диссертационной работе впервые изучается новая математическая модель дважды стохастического потока событий, а именно: полусинхронный поток событий второго порядка. Впервые решается задача оптимального оценивания состояний потока в условиях его полной и частичной наблюдаемости, а также решаются задачи оценивания параметров распределения вероятностей и задача оценивания длительности мертвого времени в случае функционирования потока в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты исследования расширяют класс дважды стохастических потоков событий, а вместе с тем и класс математических моделей для описания входящих потоков в СМО. Аналитические результаты диссертационного исследования вносят вклад в теорию дважды стохастических потоков событий и могут быть использованы при решении прикладных задач сферы массового обслуживания, в частности, на начальном этапе проектирования телекоммуникационных, компьютерных и вычислительных сетей связи.

Результаты диссертации используются в учебном процессе Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета при проведении занятий по дисциплине «Имитационное моделирование» для студентов 4 курса (бакалавриат), а также в лекционных курсах «Оценка состояний дважды стохастических потоков событий» и «Оценка параметров дважды стохастических потоков событий» для студентов 2-го года обучения (магистратура).

Методология исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и случайных процессов, теории массового обслуживания и марковских процессов, математической статистики, теории дифференциальных уравнений, а также методы имитационного моделирования с использованием языка программирования C# в среде Microsoft Visual Studio.

На защиту выносятся:

- математическая модель полусинхронного дважды стохастического потока событий второго порядка в случаях его полной и частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности);

- алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его полной наблюдаемости, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

- алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его частичной наблюдаемости, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

- алгоритм оценивания параметров плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями потока методом моментов;

- алгоритм оценивания длительности непродлевающегося мертвого времени методом моментов;

- численные результаты экспериментов по установлению качества оценивания путем проведения статистических испытаний на разработанной имитационной модели потока.

Степень достоверности результатов исследования. Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата при получении явных формул, непросредственно используемых при решении задач оценивания, согласованностью полученных аналитических результатов с имеющимися формулами для дважды стохастического полусинхронного потока событий, являющегося частным случаем исследуемого полусинхронного потока событий второго порядка. Кроме того, достоверность результатов исследования подтверждается многочисленными статистическими экспериментами, проведенными с использованием имитационной модели рассматриваемого потока событий, разработанной и отлаженной на языке программирования С# в среде Visual Studio 2013, результаты которых согласуются с физическими представлениями об объекте исследования.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. IV Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 20-21 мая 2016 г.); доклад на тему «Имитационная модель полусинхронного потока второго порядка».

2. V Международная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 1929 мая 2017 г.); доклад на тему «Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий второго порядка».

3. VI Международная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2426 мая 2018 г.); доклад на тему «Статистические эксперименты на имитационной

модели полусинхронного потока событий второго порядка в условиях его неполной наблюдаемости».

4. VI Международная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2426 мая 2018 г.); доклад на тему «Simulation Modeling of Semi-Synchronous Event Flow of the Second Order under Conditions of its Incomplete Observability».

5. XII конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» ICAM 2018 (Алтай, 04-08 июня 2018 г.); доклад на тему «Апостериорные вероятности состояний полусинхронного потока событий второго порядка в условиях неполной наблюдаемости».

6. XVII Международная конференция имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Томск, 10-15 сентября 2018 г.); доклад на тему «Оптимальная оценка состояний полусинхронного потока событий второго порядка в условиях его полной наблюдаемости».

7. VII Международная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2325 мая 2019 г.); доклад на тему «Оценивание методом моментов параметров плотности вероятности длительности интервала между событиями рекуррентного полусинхронного потока второго порядка в особом случае».

8. VII Международная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2325 мая 2019 г.); доклад на тему «Estimation of the Probability Density Parameters of the Interval Duration between Events in Recurrent Semi-synchronous Event Flow of the Second Order in a Special Case by the Method of Moments».

9. XVIII Международная конференция имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Саратов, 26-30 июня 2019 г.); доклад на тему «Оценка параметров плотности вероятности длительности интервала между событиями в рекуррентном полусинхронном потоке второго порядка методом моментов».

10. XXII Международная научная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (ДССН-2019)» (Москва, 23-27 сентября 2019 г.); доклад на тему «Estimation of the Probability Density Parameters of the Interval Duration between Events in Correlated Semi-synchronous Event Flow of the Second Order by the Method of Moments».

11. XIII конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» ICAM 2020 (Томск, 07-09 сентября 2020 г.); доклад на тему «Плотность вероятности значений длительности интервала между событиями полусинхронного потока второго порядка в условиях неполной наблюдаемости».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе 3 статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (все статьи опубликованы в российском научном журнале, входящем в Web of Science), 3 статьи в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и / или Scopus, 4 публикации в сборниках научных трудов, 5 публикаций в сборниках материалов международных научных конференций.

Личный вклад автора. Математическая модель объекта исследования, постановка решенных в диссертации задач сформулированы научным руководителем доктором физико-математических наук, доцентом Л. А. Нежельской. Полученные аналитические результаты, приведенные в работе и выносимые на защиту, принадлежат лично автору. Математические расчеты, разработка имитационной модели рассматриваемого объекта, а также постановка статистических экспериментов на имитационной модели потока с целью получения численных результатов проведены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю Л. А. Нежельской принадлежат математическое описание объекта исследования и постановки задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из

введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений. Общий объем диссертации составляет 154 страницы; иллюстративный материал представлен 23 рисунками (из них 2 - в приложении Б) и 37 таблицами; список использованной литературы содержит 127 наименований.

Во введении к диссертации приводится актуальность, научная новизна и степень разработанности темы исследования, в том числе дается обзор работ других авторов по рассматриваемой тематике, формулируются цель и задачи исследования, приводится методология исследования, излагается теоретическая и практическая значимость работы, а также представляются результаты апробации полученных материалов исследования в виде докладов на научных конференциях.

В первой главе диссертации дается математическое описание полусинхронного дважды стохастического потока событий второго порядка в условиях его полной наблюдаемости либо частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности), а также приводятся основные свойства и характеристики потока. В том числе доказывается марковость сопровождающего случайного процесса и выводится матрица инфинитезимальных характеристик.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тумашкина Диана, 2021 год

с, = -

а

12

а11 а12

а12 -к,г° , -к,г С =-12— е 2 + ще 2

а11 - а12

Подставив полученные С , С и вернувшись к исходным обозначениям, находим решение системы дифференциальных уравнений относительно щ (г | г0) и щ (г | г0) в виде

щ,(г|г0) =

а-

ар( )(XIX)+XР (XIX)+а2

■+

+

щ--

а

а

1р(2) (X 2 X,) + X1р(1)(X 2IX,) + а 2

)(2)/

-(а^2'^! Xl)+XlPl(1)(X2| Xl)+а2)(г-г0)

а1Р1 (X2 X!) + X1P (X 2 Х1)

щ 2 (г | г ) =

а^2^ 2 |Х) + XP(1)(X 21X1) + а 2

щ

а

lр(2)(X2 |Х) + X1P( (X2 X!) + а2

а

(аlPl(2)(X21 Xl)+XlPl(1)(X^ Xl)+а2)(г-г0)

е

<

е

В стационарном режиме при г ^ да (г0 ^ -да), получим явный вид финальных вероятностей состояний процесса X(г) в виде (2.17). Лемма 2.3 доказана.

2.1.5 Алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его полной

наблюдаемости

На основании полученных в подразделах 2.1.2-2.1.4 формул разработан алгоритм оптимального оценивания состояний полусинхронного потока событий второго порядка при его полной наблюдаемости, который приведен ниже.

1. В момент времени г0 — 0 вычисляется априорная вероятность первого состояния процесса Ъ(г):

а

г о + 0) — г о — 0) — я, ——--2—~-.

ах р(2)(Ъ 2^) + Ъ ^(Ъ 2^,) + а 2

2. В любой момент времени г, 0 < г < ^, где ^ - момент наступления первого события потока, вычисляется вероятность кЪ | г) по следующей формуле:

^ 10 = М^1 - 1 '0 + 0)] - к - к(Ъ | /0 + 0)]еЧЪ2+а,)(1-к1)(г-г0)

[1 -| Ч + 0)]-к -| Ч + 0)]еЧЪ-Ъ2+а,)(1-к1)(г-г0)

а9

где к — 2

Ъ - + ах

3. По формуле, представленной в п.2 алгоритма, в момент времени г — гх наступления события потока вычисляется вероятность | Ч) — кЪ | ^ - 0), т.е.

| г, - 0) —

_ к [1 - к(Ъ | Ч + 0)] - [к - к(Ъ | Ч + 0)]е'(Ъ2+а1 )(1-к )('х -г°)

[1 - к(Ъ | Ч + 0)] - М - к(Ъ | Ч + 0)]еЧЪ - Ъ2+а1 )(1-к )('х -г0) '

4. В момент наступления события г — г вычисляется значение кЪ | Ч + 0) по формуле пересчета:

ЪР(1)(ЪЪ) + ар(2)(ЪЪ)]к(Ъ | Ч - 0)

к(Ъ | Ч + 0) —

[Ъ+а - Ък(Ъ l Ч - 0)+Ъ

5. В любой момент времени г, ^ < г < г2, вычисляется вероятность | г) по

следующей формуле:

м, [1 - | г, + 0)] - [М, - | г, + 0)]е-Ъ2+а1)(1-к1)(г-г1) ( 11 ) [1 - к(Ъ | Ч + 0)] - к - к(Ъ | Ч + 0)]е-А2+а1)(1-к1)(г-г1) .

6. Вычисляется вероятность | Ч) — кЪ | Ч - 0) по следующей формуле:

_ м,[1 - | г1 + 0)]- [м1 - ^ | г1 + 0)]е'(^2+а1)(1-м1)(г2-г1) м( 11г2 0) [1 -«(X |г, + 0)]-[м -«(X |г, + 0)]е-(Я^-X2+аl)(1-мl)(г2-гl) .

7. Вычисляется вероятность м^х | г2 + 0) по формуле пересчета (2.6) для к = 2 и т.д.

Параллельно по ходу вычисления апостериорной вероятности I г) в любой момент времени г выносится решение о состоянии процесса X(г): если

/V

| г) >«(X | г), т.е. I г) > 0.5, то оценка А,(г) = X1, в противном случае -х(г) = X 2.

2.2 Оптимальная оценка состояний потока при его частичной

наблюдаемости

Рассматривается полусинхронный поток событий второго порядка в условиях его частичной наблюдаемости (при непродлевающемся мертвом времени), математическое описание которого приведено в разделе 1.2 главы 1. Требуется по наблюдениям гх, г2, ..., ги, ... за наблюдаемым потоком событий на временном интервале (г0, г) оценить состояние процесса X(г) (потока) в момент окончания наблюдений г, где г0 - момент начала наблюдений. Без ограничений общности можно положить г0 = 0.

Аналогично, как и в разделе 2.1, для вынесения решения о состоянии случайного ненаблюдаемого процесса X(г) в произвольный момент времени г необходимо получить выражения для апостериорных вероятностей | г) = w(X1| гх, ..., гт, г) = Р^(г) = X | гх, ..., гт, г), г = 1, 2, того, что в момент времени г

значение процесса X(г) = X. (т - количество наблюденных событий потока за время г) при условии, что известна реализация гх, г2, ..., гт моментов наступления событий наблюдаемого потока на заданном полуинтервале (0, г], при этом «(X, I г) + 1 г) = 1.

Решение о состоянии процесса Ъ(г) выносится по критерию максимума апостериорной вероятности на основании сравнения вероятностей кЪ l г) и м(Ъ2 | г): если кЪ | г) > кЪ l г), т.е. м(Ъ | г) > 0.5, то оценка ) — Ъ, в противном случае - 1 (г) — Ъ 2.

Сформулируем некоторые предпосылки для нахождения апостериорных вероятностей.

Пусть момент вынесения решения г принадлежит интервалу (гк, О, к — 1, 2, ...,

между соседними событиями наблюдаемого потока. Для начального интервала (г ,г ) момент времени г лежит между началом наблюдения за потоком и первым

событием в наблюдаемом потоке. Далее рассмотрим интервал (гк,, значение длительности которого есть т^ — гк+1 -^, к — 1, 2, ... . Но, так как наблюдаемое в момент г событие порождает период мертвого времени фиксированной длительности Т, то т^ — Т + ^, где цк - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени ^ + Т и моментом наступления следующего события наблюдаемого потока гк+х , т.е. интервал (гк, разбивается на два смежных: первый - полуинтервал (гк, ^ + Т ], второй - интервал (гк + Т, х). Следует отметить, что условия нахождения апостериорной вероятности | г) на полуинтервале (гк,^ + Т] и интервале (^ + Т,х) принципиально различные. Действительно, на полуинтервале , ^ + Т] поток является недоступным наблюдению, а на интервале (гк + Т,х) поток наблюдаем. Кроме того, для нахождения вероятности кЪ | г) необходимо точно знать значение Т либо предварительно оценить значение Т. В противном случае, из-за отсутствия такой информации нахождение явного вида выражения для апостериорной вероятности | г) является невозможным. В настоящем разделе полагается, что значение Т известно точно.

2.2.1 Вид апостериорной вероятности состояния потока при его частичной

наблюдаемости

Рассмотрим случай наличия мертвого времени, т.е. когда значение т ф 0 (случай т = 0 рассмотрен в разделе 2.1).

Для начала рассмотрим полуинтервал (гк, гк + т], к = 1, 2, ..., на котором событие

потока наступает в точке г ; отметим, что на самом полуинтервале события потока

не наблюдаются (отсутствуют). Так как на данном полуинтервале, т.е. в течение периода мертвого времени т, полусинхронный поток событий второго порядка ненаблюдаем, поведение апостериорной вероятности | г) на (гк, г* + т] аналогично поведению априорной вероятности щ (г | г0) первого состояния процесса X(г) для полусинхронного потока событий второго порядка; разница лишь в задании начального условия для | г) в момент времени г* наступления события

наблюдаемого потока.

Найдем дифференциальное уравнение для апостериорной вероятности «(XX | г) («(X | г) = 1 - «(X | г)) первого состояния процесса X (г) на полуинтервале

(гк, гк + т ].

Итак, пусть 1 г) - апостериорная вероятность г -го состояния процесса X(г) в момент времени г, г = 1, 2, г* < г < г* + т; | г + Дг) - апостериорная вероятность г -го состояния процесса X(г) в момент времени г + Дг, г* < г + Дг < г* + т,

где Дг - достаточно малая величина.

Рассмотрим временной полуинтервал [г, г + Дг) и опишем всевозможные ситуации, связанные с поведением процесса X (г):

1) в момент времени г значение процесса X(г) = ^ с вероятностью | г), и на полуинтервале [г, г + Дг) не закончилось первое состояние процесса X(г) с вероятностью = (1 - X1Л + о(Дг ))(1 - аДг + о(Дг)); тогда вероятность ситуации

равна «(X | г)(1 - (X + а )■Д) + о(Дг);

2) в момент времени г значение процесса Ъ(г) — Ъ с вероятностью кЪ | г), и

за промежуток времени длительности лг не закончилось первое состояние процесса Ъ(г) с вероятностью — 1 - ЪЛ + о(Лг), и за промежуток времени длительности лг закончилось первое состояние процесса Ъ(г) с вероятностью 1 - — аЛ + о(Лг), наступило событие потока и процесс остался в первом

состоянии с вероятностью р(2)(Ъ |Ъ1); вероятность рассмотренной ситуации равна

кЪ l г )а Р (2)(Ъ|Ъ )Лг+о(&);

3) в момент времени г значение процесса Ъ(г) — Ъ с вероятностью кЪ | '), и за промежуток времени длительности лг не закончилось первое состояние процесса Ъ(г) с вероятностью е~щЛ — 1 - аЛ + о(Лг), и за промежуток времени длительности лг закончилось первое состояние процесса с вероятностью 1 - — ЪЛг + о(Лг), наступило событие потока и процесс остался в первом

состоянии с вероятностью р(1)(Ъ |Ъх) ; вероятность описанной ситуации есть

кЪ l г )Ъ Р (1)(Ъ|Ъ )Лг+о(Лг);

4) в момент времени г значение процесса Ъ(г) — Ъ2 с вероятностью кЪ | г), и за промежуток времени длительности лг закончилось второе состояние процесса с вероятностью 1 - е~аЛ — а2Лг + о(Лг), и процесс перешел из второго состояния в первое с вероятностью единица; тогда вероятность рассмотренной ситуации равна кЪ | г)а2л + о(Лг).

Тогда для вероятности кЪ | г + Лг) имеет место равенство:

м(Ъ | г + Лг) — | г )(1 - (Ъ + а )Лг) + кЪ | г )а Р (2)(Ъ|Ъ )Лг + + | г )Ъ Р(1)(Ъ|Ъ )Лг + кЪ2 | г )а2лг + о(Лг).

Разделим последнее равенство на лг и, устремляя л ^ 0, приходим к дифференциальному уравнению:

м (ъ | г)—(аР(2)(Ъ|Ъ)+ЪР(1)(Ъ|Ъ) - а - ЪМЪ |')+кК l')а.

Учитывая, что р(1)(Ъ2 |Ъх) + р(1)(Ъ |Ъх) — 1, р(2)(Ъх | Ъх) + р(2)(Ъ2| Ъх) — 1 и м(Ъ |') — — 1 - | г), получим

^(Х | г) = -{а1Р1(2)(Х2Iх!) + Кр^К2|X) + а1г) + а2. Для удобства обозначим у(г) = | г), а = ар(2)(Х,2 |Х1) + Х1Р1{1)(к 2 |Х1) + а 2.

Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение:

у'(г) + ау(г) = а2,

которое решим методом разделения переменных. Находим

а

у(г) = а2+Св~а', (2.18)

а

где С - произвольная константа.

Значение произвольной постоянной С найдем из начального условия w(Х1 I гк) = Iгк + 0) или, с учетом переобозначений, у(гк) = у{гк + 0). Имеем

С

у(Ч + 0)-а2

а

еак. (2.19)

Подставив найденное значение С в виде (2.19) в решение (2.18), получим

/ ч —

у( г) = — +

а

у(гк + 0)--2

е~а (г - ь)

а

Вернувшись к исходным обозначениям, получим явную формулу, определяющую поведение апостериорной вероятности w(x11 г) для полусинхронного потока событий второго порядка на временных полуинтервалах (гк, гк + т ], к = 1, 2, ... :

w(К I г) = щ + | гк + 0) - щ]е~а(г-гк), где гк<г<гк + т, а = Хр(1)(Х2| К1) + -р(2)(Х2| К1) + а2, щ= — / а, w(Х1 |г* + 0) определяется

формулой пересчета (2.6).

На основании полученных формул можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 2.2. Поведение апостериорной вероятности w(X11 г) на временных полуинтервалах (гк,гк + т], к = 1, 2, ..., определяется формулой

w(К | г) = щ + [ЧХ | гк + 0) - щ]е-(ада)(К21 К1)+-1р1(2)(К21 К1)+-2)(г-гк), (2.20)

гк<г<гк + т; w(К | гк + 0) задается формулой (2.6), щ - формулой (2.17).

Далее рассмотрим интервал (гк + Т,х), смежный с полуинтервалом (гк,г* + Т]. На рассматриваемом интервале поток является наблюдаемым, поэтому вычисление апостериорной вероятности кЪ | г) осуществляется по формуле (2.15); при этом начальное условие для вероятности кЪ | г) привязывается к моменту времени г* + Т

М,[1 -МЪ | 'к + Т)]-[к, -кЪ | гк + Т)]е+а1)(1-к1)(г-'к-Т) (221)

к(Ъ1 г) [1 - М(Ъ | к + т)]-[м - кЪ | ^ + Т)У(Х1-Х2+а1)(1-к1)(г-'к-Т) ' (2.21)

^ + Т <' < к — 1, 2, ...; | гк + Т), к — 1, 2, ..., рассчитывается по формуле (2.20) для

г — гк + Т.

На начальном интервале г0 — 0 < г < ^ вероятности м(\ | г),

| / — ^) — | ^ - 0) рассчитываются по формуле

к,[1 - кЪ | г0 + 0)]- [к, - кЪ | '0 + 0)]е-(Я'^+а1)(1-к1)(г-'0) к( 11') [1 - к(Ъ | г0 + 0)]- [к - кЪ | Ч + 0)]ечЪ -Ъ2+а1)(1-к1)(г-'0) ,

где | Ч + 0) —я.

2.2.2 Алгоритм оптимального оценивания состояний потока при его

частичной наблюдаемости

Полученные формулы предыдущего раздела 2.2.1 позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериорной вероятности кЪ l г) (кЪ l') — — 1-кЪ |г)) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса Ъ(г) (потока) в произвольный момент времени г :

1) в начальный момент времени г0 — 0 по формуле (2.17) вычисляется

априорная вероятность |'0 + 0) — |'0 — 0) —я;

2) в любой момент времени г, 0 < г < г,, где ^ - момент наступления первого наблюдаемого события потока, для к — 0 вычисляется апостериорная вероятность

|') по формуле (2.15);

3) для к — 0 в момент времени ^ вычисляется вероятность кЪ | Ч) — | ^ - 0) по формуле (2.15);

4) к увеличивается на единицу и для к = 1 вычисляется w(Х11 гх + 0) по формуле (2.6), при этом w(К | г1 + 0) - начальное условие для w(Х | г) в формуле (2.20) на следующем шаге алгоритма;

5) для к = 1 рассчитывается w(Х | г) по формуле (2.20) для любого г, г < г < ^+Т;

6) для к = 1 по формуле (2.20) вычисляется к^Х | г = г + Т), которая является начальным значением для w(Х11 г) на следующем шаге алгоритма;

7) для к = 1 в любой момент времени г, ^ + Т < г < г2, где г2 - момент наступления второго наблюдаемого события потока, вычисляется вероятность w(К | г) по формуле (2.21);

8) для к = 1 в момент времени г2 вычисляется вероятность ЦК | г = г2) = ЦК | г2 - 0) по формуле (2.21);

9) алгоритм переходит на шаг 4, и последующие шаги выполняются для к = 2

и т.д.

Параллельно, по ходу вычисления апостериорной вероятности w(Х | г) по вышеизложенному алгоритму в любой момент времени г выносится решение о состоянии процесса К (г) по критерию максимума апостериорной вероятности [46,

/V А

82]: если w(Х | г) > w(Х21 г), то Х(г) = К1, иначе Х(г) = Х2.

2.3 Выводы и результаты по второй главе

Во второй главе диссертации:

- получен вид рекуррентного соотношения (2.5) для апостериорных вероятностей;

- получена формула пересчета (2.6), определяющая поведение апостериорной вероятности w(Х | г) (w(Х21 г) = 1 -w(\ |г)) в моменты наступления событий потока;

- получена формула (2.15), определяющая явный вид апостериорной вероятности w(\ | г) на интервалах между моментами наступления событий потока при его полной наблюдаемости;

- получена формула (2.17) для априорных финальных вероятностей состояний процесса Ъ (г);

- на основании полученных формул (2.6), (2.15), (2.17) разработан алгоритм оптимального оценивания состояний полусинхронного потока событий второго порядка в условиях его полной наблюдаемости (раздел 2.5) ;

- получено выражение (2.20), определяющее явный вид апостериорной вероятности | г) на интервалах ненаблюдаемости потока;

- на основании полученных формул (2.6), (2.15), (2.17), (2.20) разработан алгоритм оптимального оценивания состояний полусинхронного потока событий второго порядка в условиях его частичной наблюдаемости (раздел 2.21).

Таким образом, разработанные алгоритмы оптимального оценивания состояний, приведенные в данной главе, позволят оценить состояния потока с использованием формул явного вида, обеспечив минимум полной вероятности ошибки принятия решения.

3 Оценивание параметров плотности распределения вероятностей и длительности мертвого времени в полусинхронном потоке событий второго порядка методом моментов

В третьей главе данной диссертации выводятся явные формулы для оценивания параметров плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке событий второго порядка в условиях его полной наблюдаемости.

В случае частичной наблюдаемости потока по выборке моментов наблюдения событий производится оценка длительности непродлевающегося мертвого времени методом моментов для коррелированного и рекуррентного потоков, при этом остальные параметры потока считаются известными.

В данной главе также доказывается коррелированность рассматриваемого потока событий путем нахождения совместной плотности вероятности длительностей смежных интервалов и выписываются условия рекуррентности потока для случаев полной и частичной наблюдаемости.

Оценка параметров и длительности мертвого времени как для коррелированного, так и для рекуррентного потоков производится методом моментов [50].

Кроме того, исследование проводится для двух случаев задания параметров потока: общего (К + — ^ К + —) и особого (К + — = Х2 + —).

Результаты настоящей главы по оценке параметров плотности опубликованы в работах [65, 72, 114-116], и в работах [70, 71, 73] по оценке длительности мертвого времени.

3.1 Оценка параметров плотности распределения вероятностей

Рассматривается полусинхронный поток событий второго порядка в условиях его полной наблюдаемости, математическое описание которого приведено в разделе 1.1.

Обозначим т* — гк+1 - гк, к — 1, 2, ..., - значение длительности интервала между соседними событиями потока, р(т) - плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в рассматриваемом потоке. Т.к. рассматривается стационарный режим функционирования потока, то р(тк) — р(т) для всех к — 1, 2, ..., т > 0. Вследствие этого без ограничения общности момент наступления события потока ^ можно положить равным нулю, т.е. момент

наступления события есть т — 0.

Требуется найти явный вид плотности вероятности р(т) длительности интервала между моментами наступления соседних событий в коррелированном полусинхронном потоке второго порядка для общего и особого случаев задания параметров потока и для каждого из рассмотренных случаев оценить параметры плотности методом моментов.

3.1.1 Вид плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в потоке для общего случая задания параметров

Для нахождения явного вида плотности р(т) сформулируем и докажем ряд

лемм.

Введем в рассмотрение р,у (т) - условную вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий полусинхронного потока второго порядка, и в момент времени т значение процесса Ъ(т) — ЪJ при условии, что в момент времени т — 0 значение процесса Ъ(0) — Ъ, *,7 —1,2.

Лемма 3.1. Условные вероятности р1У (т), 1,7 —1,2, в полусинхронном потоке событий второго порядка имеют вид

Ри(т) — е~(Ъ+а1)т, Р,2 (т) — 0,

Р2,(т) — ^-Г^-Т И+а2)т-^+а1)т], (3.1)

(Ъ1 +а1) - (Ъ2 +а2)

Р22(т) — е-(Ъ2+а2)т, т> 0,

где (К +—) - (К+—)ф 0.

Доказательство. Запишем допредельные равенства для р (т), I, ] = 1,2,

используя формулу полной вероятности:

рп(т + Ат) = рп(т),

Р21(т + Ат) = +-1)А^Р21(т) + (1 - е--2Ат)е~К^(т), р22(т + Ат) = е"(К 2+-2 ^(т). Отметим, что р12 (т) = 0 по определению потока, т.к. переход процесса К(т) из первого состояния во второе возможен только в момент наступления события потока.

Преобразуем записанные допредельные равенства, используя разложение экспоненты в ряд:

рп (т + Ат) = (1 - (К + — )Ат)р 1 (т) + о(Ат), Р21(т + Ат) = (1 - (К + —1)Ат) р21 (т) + —2Р22 (т) Ат + 0(АтХ Р22(т + Ат) = (1 - (К2 + —2)Ат)Р22(т) + °(Ат). Полученные выражения разделим на Ат, перейдем к пределу при Ат ^ 0. Получим систему дифференциальных уравнений для нахождения условных вероятностей р (т), /, ] = 1,2:

р11 (т) = -(К1 + — )Р11(т) , р22 (т) = -(К2 + —2 )Р22 (т) , Р21 (т) =-(К1 + —1)Р21(т) + — 2Р22(т) , Ри(0) = 1, Р22 (0) = 1, Р21 (0) = 0. Решая записанную систему дифференциальных уравнений, приходим к (3.1).

Лемма 3.1 доказана.

Лемма 3.2. Плотности вероятностей р (т), I, ] = 1,2, в полусинхронном потоке событий второго порядка определяются формулами

р1;(т) = [УЛк IК1) + -1P(2)(Х. |К1)]е_(^1+<—1)т, ] = 1, 2,

р (т) = [К1 Р1(1)(К1 I К1) + — Р1(2)(К1 I К1)]—2 [е-(К2+а2)т - е-(^—От ] „ 2)

21 (К +—1) - (К 2 +— 2) ,

рп (т) = [К1Р10(К 2 1 К1) + —Р1 )(К 2 1 К1)]— 2 [е-(К2+—2)1 - е-(Х1+а1)т ] + К е-(К2+—2)1 ^^ 22 (К1 +—1) - (К 2 2) 2 , Х" ,

где (Ъ+а) - (Ъ2+а2) ф 0.

Доказательство. С учетом определения полусинхронного потока второго порядка введем совместную вероятность того, что без наступления событий потока на интервале (0, т) процесс Ъ(т) перешел на этом интервале из первого состояния в первое, на полуинтервале [т, т + Дт) наступило событие потока с вероятностью ЪДте~Мт и в момент наступления события процесс Ъ(т) перешел из первого

состояния в первое (^ ^ ^) с вероятностью РХ(1)(Ъ | Ъх) и введем совместную вероятность того, что без наступления событий потока на интервале (0, т) процесс Ъ(т) перешел на этом интервале из первого состояние в первое (^ ^ ^), на полуинтервале [т, т + Дт) наступило событие потока с вероятностью аДте^1^ и в момент наступления события процесс Ъ(т) перешел из первого состояния в первое

(2)

с вероятностью Р (Ъ, | Ъ,). Итак, переход из состояния 5 в ^ с наступлением события потока на полуинтервале [т, т + Дт) происходит с вероятностью

р11(т)[Ъ1 Р1(1)(Ъ11Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ11 Ъ,)]Дт + о(Дт). Аналогичным образом определяются остальные совместные вероятности

р11(т)[Ъ1Р1(1)(Ъ2 |Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ2 |Ъ,)]Дт + о(Дт) (^¿2),

Р21(т)[Ъ1Р1(1)(Ъ1 |Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ1 |Ъ,)]Дт + о(Дт) (^ ^5,),

Р21(т)[Ъ1Р1(1)(Ъ2 |Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ2 |Ъ,)]Дт + о(Дт) (^2 ^£2), р22(т)Ъ2Дт + о(Дт) ( 52 ^ ^2). Отметим, что некоторые из вероятностей равны нулю в силу р (т) — 0 . Тогда соответствующие плотности вероятностей будут иметь вид

~п(1)(т) — [Ъ1Р1(1)(Ъ1 |Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ1 |Ъ1)]р11(т), рР„(2)(т) — 0,

^Р,2(2)(т) — 0, ~!2(1)(т) — [Ъ1Р1(1)(Ъ2 | Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ2 | Ъ1)1р11(т),

РР2Х(1) (т) — [Ъ1Р1(1) (Ъ, | Ъ,) + а,^ (Ъ | Ъ,)]Р21 (т), Р21(2) (т) — 0, ~22(1)(т) — [Ъ1Р1(1)(Ъ2 |Ъ,) + а1Р1(2)(Ъ21Ъ,)]Р21 (т), ~22(2)(т) — Ъ2Р22(т).

Таким образом, плотности вероятностей ~ (т) того, что процесс "(т)

перейдет на интервале (0, т) из состояния г в у , г, у = 1,2, без наступления событий потока на этом интервале и с наступлением события в момент т, запишутся в следующем виде

?иС0 = [МЛМ + а1 РЛМХ)] Ри(т),

рр12(т) = [" Р^"2^1) + а1 р(2)(" 2^1)] Рп(т),

Р^т) = [" Р^К) + а1 РЛ"^)] Р21(т),

~22(т) = ["^Л"2 1^1) + а1Р1(2)(Х2 | ^ж)]р21(т) + "2Р22(т). (3.3)

Подставляя (3.1) в (3.3), получим (3.2). Лемма 3.2 доказана. Введем в рассмотрение вероятности перехода р^, г, у = 1,2, процесса "(т) из

состояния ^ в ^ за время, которое пройдет от момента т = 0 до момента

наступления очередного события потока.

Лемма 3.3. Вероятности перехода р^, г, у = 1,2, процесса "(т) в

полусинхронном потоке событий второго порядка имеют вид

_ХР(1)(", |X) + а1р1(2)(Ху^) _[ХР0)(Х|Х) + а1 р(2)(Х|Х)]а2

р1 У 1 I , , = 1,2 , Р21 =-,

"+а1 (х+а )(Х+а2)

[X Р а)(Х1X)+а Р (2)(Х | X )]а2 X л „

Р22 = [ 1 1 ( „ 1) * 1 ( 2| 1)] 2 + , Р11 + Р12 =1, Р21 + Р22 = 1- (3.4)

(Х+а)(Х+а2) Х+а2

Доказательство. Так как т - произвольный момент времени, то вероятности перехода рг , г, у = 1,2, определяются в виде

Рг, =| Рг, (т)^т , 1, У = 1,2. (3.5)

0

Таким образом, подставляя (3.2) в (3.5), получим

то

РП = [ХР(1)(Х|Х) + а1Р1(2)(Х1"!)]}е+а1)тат ,

о

то

Р12 = ["1Р1(1)("2"1) + а1Р1(2)("2"1)]}е"(Х +а1)тат ,

о

— [Ъ1Р1(1)(Ъ11Ъх) + ар(2)(МЪ,)]а2 | (е_(Х2 +а2)т - (Ъ1 +а,)т^

21 (Ъ + а,) - (Ъ 2 + а 2) ^ ,

— (Ъ2+ а,Р1 (Ъ2Ма2 |(е-(ъ2 +а2)т -е-(Ъ1 +а,)т¥х + х1 е-съ, +а2)т^

22 .л л /2 j

>(1)(Ъ2+ а1Р1(2)(Ъ2|^

(ъх +а1) - (ъ2 +а 2) 0 0

Интегрируя полученные выражения, приходим к (3.4). Лемма 3.3 доказана. Рассмотрим лг (0) - условную стационарную вероятность того, что процесс Ъ(т) в момент времени т — 0 находится в г -м состоянии при условии, что в момент времени т — 0 наступило событие потока, г — 1, 2, причем л (0) + л2 (0) — 1.

Лемма 3.4. Условные финальные вероятности лг (0), г, ] —1,2, в

полусинхронном потоке событий второго порядка определяются следующими выражениями:

я (0)_ [УЛ^Ъх) + а1Р1(2)(Ъх| Ъ,)]а2

1 ъ2 [ЪР(1)(ъ2 | Ъ)+аР(2)(^ | Ъ)]+(Ъ+а )а,

я (0) _ [Ъ1Р1(1) (Ъ21 Ъ) + а1Р1(2) (Ъ21 Ъ,)](Ъ2 + а2)

2 ъ [ЪР(1) (Ъ | Ъ)+аР(2) (Ъ | Ъ)]+(Ъ+а )а ,

л,(0) + ^2(0) — 1.

Доказательство. Последовательность моментов наступления событий потока ^, ¿2, ... образует вложенную цепь Маркова )}, поэтому справедливы следующие уравнения

л,(0) — рпЯ1(0) + Р21 ^2(0), ^2(0) — Р12л,(0)+Р22Л2(0), л,(0) + ^2(0) — 1, (3.7) где вероятности р^, г,] —1,2, определяются выражениями (3.4).

Из (3.7) находим

л,(0) — р21 , л 2(0) — р12 . (3.8)

р,2 + р21 р,2 + Р21

Подставляя (3.4) в (3.8), после несложных преобразований получим (3.6). Лемма 3.4 доказана.

Леммы 3.2 и 3.4 позволяют сформулировать следующую теорему.

0

Теорема 3.1. Плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке событий второго порядка имеет вид

р(т) = Yz1e~ZlT + (1 -у) ^в ~22Т, т> 0,

Л(0)(X + а, -X)-а, „ ч „ ч ^ч

У = УГ ' , ' 2/ ,2 , (^1 +а1) - (Л.2 +а2) * о, (3.9)

(Х1 +а1) - (Х 2 +а 2 )

где ^ = Х +а, 22 = Х +а2, вероятность щ (0) определена в (3.6).

Доказательство. В силу того, что процесс X(г) является марковским (утверждение 1.1), и моменты времени ^, к = 1, 2, ..., наступления событий образуют вложенную цепь Маркова {Х(гА)} (утверждение 1.2), плотность вероятности р(т) длительности интервала между соседними событиями в

рассматриваемом потоке определяется в виде

2 2

р(т) = , (0)£ Ру СО, т> 0. (3.10)

У

=1 У=1

Подставляя выражения (3.2) и (3.6) в формулу (3.10), получим

йа2 Ь(Х2+а2) а2

р(т) = (X )в-

+(х+а2 )в4X2+а2)т

X2Ь + (X +а1)а2 X2Ь + (Х1 +а1)а2 (X +а1)-(X2 +а2)

ь(х+а) а + х2 ь

+

Xь+(х+а)а2 (Х+а)-(х2+а2) х2ь+(х+а)а2

«П II Ч , „ Г>(2)п 114 II Ч , „ о(2),

(3.11)

где й = хР (XIX)+аР (XIX), ь = ХР (XIX)+аР (XIX).

Упростим выражения в скобках в формуле (3.11), учитывая вид щ (0), щ (0) и условие щ(0) + щ(0) = 1. Первая скобка (обозначим ее А) преобразуется следующим образом:

Л = йа2___Ь(Х2 +а2)___а2 =п а2щ2(0) _

ХЬ+(х+а )а х2ь+(х+а )а (Х+а) - (х2+а2) (х+а ) - (х+а2)

_ л1(0)(Х1 +а1 - А2) -а2 (х1 +а1) - (А2 +а2)

Затем рассмотрим вторую скобку в выражении (3.11), обозначив ее В: Ь(Х+а) а2 Х2 ь

В =--V-1 . ---^-+

х2ь + (х+а)а2 (х+а)-(х2+а2) х2ь+(х+а)а

Ь(Х +а )а2 +" Ь(Х +а -X - а)=Ь(Х +а2)(X +а -X)

и находим

в =

Ь("2 +а2 )(Х +а -X) л2 (о)( X +а -X)

[Xь+(X + а)а][(X + а) - (X +а)] [(X +а) - (X +а)]

Учитывая, что щ (0) = 1 - щ (0), несложно показать, что

В = 1 -

щ(0)(Х +а -X)-а2

[(X +а) - (X +а2)]

Введем следующие обозначения:

щ1(0)(Х +а1 -Х 2) -а 2

У = —--—, = X +а1, ^ = Х +а2.

(X +а1) - (X 2 +а 2) 1 1 1 2 2 2

Подставляя приведенные обозначения в выражение (3.11), получим (3.9).

Теорема 3.1 доказана.

3.1.2 Вид плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в потоке для особого случая задания параметров

Рассмотрим случай, когда в (3.9) величина (Х+а)-(Х2+а2) = 0. Данный случай задания параметров потока назовем «особым».

Лемма 3.5. Условные вероятности р1у (т), г,, = 1,2, в полусинхронном потоке событий в случае (X +а) - (X +а2) = 0 имеют вид

Ри(т) = +а1)т, Р12(т) = 0, Р21(т) = (X + а1 -Х)те-(Х+а1)т, р22(т) = е-^*, т> 0. (3.12)

Доказательство. Аналогичным образом, как и для случая (Х+а) - (Х+а2)ф 0 (лемма 3.1), составим систему дифференциальных уравнений для нахождения условных вероятностей ру(т), г,у = 1,2. Для этого запишем

допредельные равенства с использованием формулы полной вероятности:

рп(т + Дт) = е^+^р^т), рм(т + Дт) = е~(Х+а1 ^(т) + (1 - е"а' Дт )е-Х ^(т),

Р22(т + Дт) = +а2)ДTР22(т), при этом р12 (т) = 0 по определению потока.

Преобразуем записанные допредельные равенства, используя разложение экспоненты в ряд:

рп (т + Дт) = (1 - (X + а) Дт) Р11 (т) + о(Дт), Р21(т + Дт) = (1 - (Х + а1)Дт)Р21(т) + а2Р22(т)Дт + 0(ДтХ

Р22(т + Дт) = (1 - (Х2 + а2)Дт)Р22(т) + °(Дт). Рассматривается случай, когда (Х+а)-(Х+а2) = 0, поэтому справедливы следующие соотношения

X +а =Х2 +а2, а =Х + а -X. Запишем допредельные равенства с учетом полученных соотношений: рп (т + Дт) = (1 - (X + а )Дт) Р1 (т) + о(Дт), Р21(т + Дт) = (1 - (Х + а1)Дт)Р21(т) + (X + а1 - К)Р22(т)Дт + °(ДтХ Р22 (т + Дт) = Р22 (т) - (Х + а1 )Р22 (т) + °(Дт). Полученные выражения разделим на Дт и перейдем к пределу при Дт ^ 0. Тогда запишем систему дифференциальных уравнений для нахождения условных вероятностей р1у (т), г, у = 1,2:

Рп(т) = -(Х +а1)Рll(т), Р22(т) = -(Х1 +а1)Р22(т) , р21(т) = -(Х + а1 УР21(т)+(Х + а1- Х2 Р22(т),

Ри(0) = 1, Р22 (0) = 1, Р21 (0) = 0, при этом р12 (т) = 0. Решая данную систему уравнений, приходим к (3.12). Лемма

3.5 доказана.

Лемма 3.6. Плотности вероятностей ~(т), г, у = 1,2, в полусинхронном потоке событий второго порядка в случае (Х+а) - (Х+а2) = 0 определяются

формулами:

~п(т) = [X ^1(1)(^11Х1) + а1 Р1(2)(Х11 ^1)]^ +а1)т,

^(т) = [У^Х I \) + ар(2)(Х1 Х)]^,

рр21(т) = а2[Х1Р(1)(Х11 \) + а1Р^)(111 Х)]^,

~22(т) = а[ХР(1)(Х 2|Х1) + аР(2)(Х 2 |Х)]тв"(Х+а1)т +Х 2в"(Х+а1)т, т> 0. (3.13) Доказательство. Проводя аналогичные рассуждения, как и для случая (Х+а) - (Х2+а2) * 0 (лемма 3.2), можно утверждать, что плотности вероятностей

~(т) того, что процесс Х(т) перейдет на интервале (0, т) из состояния I в у, г, ] = 1,2, без наступления событий потока на этом интервале и с наступлением события в момент т запишутся в виде (3.3)

Подставляя (3.12) в (3.3), получим (3.13). Лемма 3.6 доказана.

Лемма 3.7. Вероятности перехода р^, I, у = 1,2, процесса Х(т) в полусинхронном потоке событий второго порядка в случае (Х+а) - (Х2+а2) = 0 имеют вид

_Х1 Р1(1)(Х1 IХ1) + а1 Р1(2)(X1 | Х1) ^ _ХР0)(Х21X1) + аР(2)(Ха | Х1)

р11 = л , р12 = . ,

X + Ц X +а!

Р21 = 2

а2[ХР(1)(Х11 Х1) + а1Р(2)(Х|Х1)]

(Х1 + а1)2

_ а2[ХР (Х2 |Х1) + а^ (X2 |Х1)1 X2 р22 = /1 \2 л . (3.14)

(Х+а )2 х+а!

Доказательство. Аналогичным образом, как и для общего случая

(Х + а) - (Х+а) * 0 (лемма 3.3), вероятности перехода р^, I, У = 1,2, будут

определяться в виде (3.5). Таким образом, подставляя (3.13) в (3.5), получим (3.14).

Лемма 3.7 доказана.

Лемма 3.8. Условные финальные вероятности щ (0), г = 1, 2, в полусинхронном потоке событий второго порядка в случае (Х+а) - (Х+а) = 0 определяются следующими выражениями:

а 2[Х Р^Х) + а1 Р1(2)(Х11Х1)]

щ 1 (0)

(Х+а)2-X[XР (XIX) + аР (XIX)] (Х1 + а)^ р(1)(Х 21X11) +1 а1 Р1(2)(Х 21X11)]

щ 2(0) =-:-(12-^-, (3.15)

(Х+а)2-X[XР (XIX)+аР (XIX)]

Л(0) + ^(0) = 11

Доказательство. Пользуясь равенствами (3.8), представленными для общего случая задания параметров потока (лемма 3.4) для условных финальных вероятностей %1 (0), г = 1,2, подставляя в которые (3.14), приходим к (3.15). Лемма 3.8 доказана.

Леммы 3.6 и 3.8 позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.2. Плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке событий второго порядка для случая (Х+а) - (Х+а2) = 0 имеет вид

р(т) = [(X +а1)-я2(0)а2(1 -(X +а1)т)]е~(Х1+а1)т, т> 0, (3.16)

где п2 (0) определена в (3.15).

Доказательство. Подставляя выражения (3.15) и (3.13) в (3.10), после необходимых преобразований получим (3.16). Теорема 3.2 доказана.

3.1.3 Оценка параметров плотности вероятности для общего случая

С целью нахождения оценки параметров плотности р(т) для полусинхронного потока событий второго порядка воспользуемся методом моментов [50].

1 " I

Рассмотрим статистики С1 = - У тк , где тк = - ^ - значение длительности

п к=1

интервала между моментами ^ и наступления событий в потоке.

Пусть имеется выборка т, т2, ..., т„ из распределения р(т | ^,г2,у), которое зависит от трех неизвестных параметров ^, г2, у. Пусть

М (т1) = |т/р(т | г1, г2, у)ёт = /1 (г1, г2, у) - начальный теоретический момент 1-го

0

порядка, который является функцией от неизвестных параметров. Тогда при больших п он близок к соответствующему выборочному моменту - статистике 1 п' I

С/ = 1 Утк . Для первых трех начальных теоретических моментов вместо

п к=1

приближенных равенств м(т1)«С запишем точные, где вместо истинных параметров подставлены значения их оценок

/ (¿1, ¿2, у) = С1, I = 1, 2, 3. (3.17)

Учитывая вид плотности (3.9), получим выражения для начальных теоретических моментов:

м (т') = 01 + ИЬИ, I = 1, 2, 3.

¿1 ¿2

Тогда система уравнений моментов, с учетом системы равенств (3.17), примет следующий вид

Х + ИП-Г 2^ 2(1 -у)-Г 6у, 6(1 -у) _г

+ = С1, 2 + 2 = С2, 3 + 3 = С3

¿1 ¿2 ¿1 ¿2 ¿1 ¿2

или, после необходимых преобразований,

¿12гСх-2гу-¿1(1 -у) = 0, + ¿2)С1 - 1 ¿1^2С2 = 1, ^ + 72)С2 - 1 ¿122С3 = ^ (313)

Решая систему уравнений (3.18), получим следующие соотношения для оценок параметров:

2(С3 -3С1С2) . . =- 6(С2 -2С12)

¿1 + ¿2 =----, ¿1 z( = 2 .

3С2 2СС 3С2 2С1С3

Нетрудно заметить, что оценки и т.2 являются корнями квадратного

уравнения:

_2 2(С3 - 3СС2) 6(С2 - 2С12)

7 +-2-7--2-= 0.

3 2С С 3 2С С

Решая последнее уравнение, находим оценки параметров плотности р(т):

2(Сэ - 3С1С2)

¿12 = _ 1,2 2

\ 3 1 2 у

3С2 ^

--^+4 6(С2 -2С12)

2(Сэ - 3С1С2)

2

V 3С2 2С1С3 У

3С2

У

(3.19)

Т.к. =Х + а, ¿2 = Х + а, где Х>Х2> 0, а соотношение между параметрами а и а2 может быть произвольным, то произвольно и соотношение между и ¿2. Таким образом, для того, чтобы определить, какой корень из (3.19)