Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp(En) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Урбаханов, Александр Валерьевич

• Урбаханов, Александр Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Урбаханов, Александр Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. Построение эрмитовых кубатурных формул

1.1 Пространства W?{En), Lmp(En)

1.2 Элементарные квадратурные формулы общего вида

1.3 Периодические функционалы погрешности квадратурной формулы общего вида

1.4 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности 3 О

1.5 Построение кубатурной формулы общего вида с пограничным слоем при п = 2, G - 1,сг = 2 41 РАЗДЕЛ II. Оценка нормы функционала погрешности

2.1 Общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в пространств eWp(En)

2.2 Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.3 Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем

2.4 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.5 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^ (Еп) •

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp(En)»

Основная задача многомерного приближенного интегрирования состоит в отыскании с заданной точностью интеграла

Jn(x) = j<p(x)dx = f%a {x)(p{x)dx, (1)

Q En где x - точка «-мерного пространства Еп, Zn(x) - характеристическая функция ограниченной области интегрирования Q с кусочно-гладкой границей Г = r(Q) и функция (р{х) непрерывна в замыкании области Q.

Многомерный интеграл (1) приближенно выражается суммой k=\\a\<a Q

2) узлы, С" где коэффициенты формулы (2), N - число узлов и а - порядок старшей производной, входящей в формулу (2).

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется равенством

В данной работе рассматривается пространство C.JI. Соболева W™(En), \ <р<оо с нормой 1

IH*)IU =

1 z

Еп\а\<т

14'

Da<p(x) dx и Wp*(En) - сопряженное пространство к пространству W™{Еп).

Условие вложения W" в Са имеет вид рт > п, р(т -15|) > п, где \S\ < <j, S - мультииндекс.

Функционал погрешности кубатурной формулы общего вида

М-Е £с?(-1 pD°s{x-xW) 4

3) p{x)dx

4) является линейным непрерывным функционалом в пространстве W™ и его норма определяется формулой feW|L.(£ )=Sup

11 WP ср*0 ln><P

W" Sup

Ы„т =1 d.

5)

Введем обозначения: Вт = <у е Еп ,0 < yt <m,i = 1,2,., п, < 1 т ньютоновская система узлов, В} - множество индексов а значений функции и ее производных порядка не выше а-т п Р.

1 и Da(p{x) - совокупность значений функции и её производных в одной точке.

Рассмотрим кубатурную формулу общего вида с ньютоновской системой узлов для фундаментального куба А q{x)dx= £ Y,CrD>(r) (6) д уеВт аеВ, и функционал погрешности формулы (6)

Г(*Ых)}= J

4М- Е уеВт аеВ] p{x)dx.

7)

Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.

В работе построены эрмитовы кубатурные формулы в л-мерном пространстве Еп и не эрмитовы кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов для кубов, являющихся аналогами формул Ньютона-Котеса.

Построенные эрмитовы формулы не могут быть получены интегрированием формул Тейлора, так как они содержат не один, а несколько узлов. Формулы получены с помощью символического метода В.А. Диткина и Л.А. Люстерника [2].

В одномерном случае эрмитовы квадратурные формулы исследовались в работах С.М. Никольского [24], Н.П. Корнейчука [10] и его учениками.

Эрмитовы кубатурные формулы рассматривались и ранее Т.И. Хаитовым [61] в гильбертовом пространстве Z,™.

В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [36] рассмотрены последовательности эрмитовых формул в пространстве L™ и получена оценка

В. И. Половинкин отмечает, что в этой работе не выписывались явно коэффициенты таких конкретных формул и вычисление этих коэффициентов при узлах формул является технически трудной задачей.

В диссертации Н.Б. Цыренжапова [62] рассматривалась решетчатая эрмитова формула вида

В работе [62] крайние узлы в ньютоновской системе узлов Вт заменялись на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат, вследствие чего уменьшается область влияния функционала. Однако при mesnyhm (1 + о(1)),

ГОЛ Р'М Ю

9) определении коэффициентов некоторых формул возникает трудность при выборе отдельных точек.

В отличие от работы Н.Б. Цыренжапова, в данной диссертационной работе рассмотрены формулы, в которых участвуют все значения функции и её производные до порядка сг включительно в узлах ньютоновской решетки и в явном виде получены кубатурные формулы общего вида.

Основной целью диссертации является построение и обоснование асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных формул общего вида в пространстве СЛ. Соболева W™.

Для достижения цели ставятся задачи:

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;

• получение общего вида функционала погрешности, получение в явном виде нормы функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получение в явном виде нормы периодического функционала yyj погрешности в W^ , выделение главного члена нормы периодического функционала погрешности, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;

• оценка сверху нормы функционала погрешности;

• оценка снизу нормы функционала погрешности.

Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей в «-мерном евклидовом пространстве Е , в остальном она произвольна.

В данной работе рассматриваются кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов, в которых участвуют значения функции и её производные. В этом случае алгебраическая система линейных уравнений для определения коэффициентов элементарной формулы общего вида имеет решение и периодический функционал, построенный с помощью элементарного функционала с ньютоновской системой узлов асимптотически оптимален в w;{ а).

Для нахождения коэффициентов формулы используем метод JI.A. Люстерника и В.А. Диткина [2].

Функцию <р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме оо , т, x,d-,+.+xndn

Ф)= Е k(xidl+. + xndnf(p(Q) = e-1 1 П П(рф)> к—О где = (i=l,.,n) - оператор частного дифференцирования

1 I d.(p{x) = ? d = {d^ d 2,—^ дифференциальный вектор, i ds =d.(ds~l)

S-я степень дифференциального оператора dd.d . произведение дифференциальных операторов d. и d.,

1 J dx - d1xl + d2x2 + . + dnxn «скалярное произведение» вектора d на вектор х.

Находим производную и интеграл от этой функции. Подставив в формулу (6) и приравняв коэффициенты при равных степенях Д получаем систему для нахождения коэффициентов элементарной кубатурной формулы общего вида

G 1 г=0а=0 X Са^=г=/, , v и \k\ = L+k0+. + k <т, (10) to 7 W + 1)! 111-2 п где/ а

Гк а, если к-а > 0 7— \к-а, если |£|-|ог|>0 к-а =

О, если к — а <0

0, если < 0 '

G +1- число точек лежащих на оси ОХ^ сг - порядок старшей производной. с":=с/с2.с « I Е . Е

7 а '2 U r = 0ri=0y2 = 0 yn=Q Е = Е Е - Е а = 0 а, = =0 а =0

12 п

Если m - точность формулы (6), то число коэффициентов С® равно т + \ и С« зависит от выбора параметров G и и.

При заданной точности т числа G и сг согласованы таким образом, чтобы система (10) имела единственное решение.

Сначала рассмотрим квадратурную формулу. Пусть т - точность квадратурной формулы (6), т +1 - число всех одночленов, входящих в произвольный многочлен степени т, G +1 - число всех узлов формулы, лежащих на оси ОХь сг + 1- число значений функции и её производных в одной точке и (G + l)(cr + l) - число всех коэффициентов формулы (6). Параметры т, G и сг определяются следующим образом:

1. Пусть заданы параметры G и сг. Тогда точность т формулы (6) определяется из уравнения: m + l) = (G + l)(cr +1) (11)

Отсюда m = (G + lX<7 +1)~ 1. Приведем следующие примеры: а) Пусть G=2 и <т=1, тогда точность m=3x2-l=5.

Для определения коэффициентов формулы (6) решим систему (10) и получим следующие коэффициенты:

0 38 „о 449 о 541

1 "15' 2 - 60 * О" 60 ' с1 = 137 с\ 2937 ci= 2513 1 24 ' 0 240 ' 2 240 "

Квадратурная формула для данного случая будет иметь вид

541 38 449 2937 137 2513

J f(x)dx = -—ДО) +—/(1) +—/(2) - /' (0) +—/'(О ~—/'' (2) • q 60'V 15 60' ' 240 24/ 240 б) Пусть G=3 и о" =2, тогда точность w=4x3-l=l 1. Сама формула примет вид: f(x)dx = elm + C,°/(l) + С2°/(2) + с3°/(3) -f€i/'(0) + c;/'(l) + о С'/ ' (2) + С\Г (3) + С02/'' (0) + Clr' (1) + С\Г • (2) + С32/' • (3). Для определения коэффициентов формулы решим систему (10) и получим следующие коэффициенты со = 912523 со = 23717 со 5851 со = 35339

0 2395008' 1 29568' 2 29568' 3 2395008'

1 = 214943 1 = 10657 , = 10657 х 5941

3991680' 1 ~ 147840' 2 ~ 147840' 3~ 1330560' П369 с2 = 4423 С2=7453 с2 ^ 1513 0 3991680' 1 88704' 2 443520' 3 3991680*

2. Пусть задана точность т формулы. Из уравнения (3) заключаем. Если т +1 - нечетное число, то G и сг - чётные. Если т +1 - четное число, то G нечетно или о нечетно. Если т + \ - четное число и (<j + l\G + l) - нечетное число или (т + l) -нечетное число и (cr + lXG + l) - четное число, то (w + l) = (G!-l + l)((j + l)+l = (o- + l)G! + l или т = G{cj +1).

Если перечисленные условия не выполнены, система уравнений (10) может не иметь решений.

3. Пусть заданы числа т и G. Предположим m-G > G +1. Из уравнения (11) находим m — G сг =-.

G +1

Приведем следующие примеры:

3-1 а) Пусть т= 3 и G=\, тогда о = —= 1;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: f(x)dx = 1 ДО) + i /(1) + -L /• (0) - i /' (1). q .z z i z i z б) Пусть m=5 и G=l, тогда о- = ~~ = 2;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: \f(x)dx =- ДО) + -Д1) + —/'(0) -—/'(1) + —/"(0) +—/"(1) q 2 2 10 10 120 120

11-2 в) Пусть /7?=11 и G=2, тогда сг = —-— = 3;

Решая систему, получим следующие коэффициенты со = 24965 с0 = 128 со=ИОЗ , =4357 I=J. = 169

0 59136' 1 231' 2 59136' 0 59136' 1 б' 2 19712' С2= 2819 2 = 64 с2 = 509 сз= 41 C3=J сз = 17 0 221760' 1 3465' 2 443520' 0 177408' 1 360' 2 295680'

Таким образом, построена элементарная квадратурная формула общего вида для интервала [0,l).

Далее рассматривается представление финитных функционалов. Общий вид финитного функционала погрешности имеет следующее представление: = J Z Щвае2т(х)Ч^{х)Уаср(х)ск V<p(x)eW™. * 'Е\а\<т п\ I

Известно [44], что при рт>п и 0<\S\<m-^ частная производная с

D <р(х) непрерывна и при сг = т

Л Р.

-1, пространство W™ (Е^) вложено в пространство непрерывных дифференцируемых функций С (Е ).

Условие вложения Wm(E ) в Си (Е ) имеет вид р 4 п' v п' и|S|<<r.

Доказаны следующие леммы:

Лемма 2.1. Пусть 1 < р < оо, — + -L = 15 р(т-|5|)> п, рт > п и р^ (х) е W™,, тогда т-метагармонический оператор (1-Д)т переводит функцию в обобщенную функцию (l - А)т (р^ (х) - (x) g W™ и выражение l£(x\p(x)\ = J z ^Da<p0(x)Da<p(x)dx, V<p{x)eW™(En) x 1 E \a\<ma- y n1 1

W^EJ. представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством г т Р

Лемма 2.2. Пусть рт>пу p(m-\S^}>n,\S\<cr и - произвольный финитный функционал общего вида из S s с Wm . Тогда существует функция u(x) = s2 m*l£(x), являющаяся единственным решением т-метагармонического уравнения

1 -Ay»«(x) = lg(x) и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление

E \a\<m n

Отметим, что доказательства лемм проводятся по схеме работы Ц.Б. Шойнжурова [71], однако свертка Da ^ (*) * (х) в функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у.

Теорема 2.1. Если рт>п, Iq(x)eS* и свертка то экстремальная функция соответствующая функционалу Iq{x) кубатурной формулы общего вида определяется формулой а\ <т.

Sign{Dae 2я(х)*%{х)): и норма функционала Iq(x) в Wзадается равенством w т г.

Е \а\<т . п1 1

Fl! oi"

Далее исследуется норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности.

С.Л. Соболевым [44] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. В данном пункте исследования проводятся в негильбертовом пространстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный член периодического функционала погрешности, что имеет большое значение для численного подсчета.

Yl

Лемма 2.3. Если 1 < р < со, рт > п, 0 < \S\ < т--,сг = тп

IP J

-1,

S\ < сг, /0СТ (х) е Wp*{А) - периодический функционал погрешности общего вида имеет следующее представление где Ds = 2jDy и коэффициенты Dy определяются из линейной системы

ГеВт уравнений (10), то функция вида ecw* вгг(х)+с. ог|<п? О является экстремальной функцией, соответствующей периодическому функционалу /0 ^(х). Нормы функции <Ра{х) и функционала 10а (х) соответственно определяются равенствами

Д) д аК/я

I Bgtt+c. dx

IM д)

IS д|а|<т

Теорема 2.2. Пусть 1 < p <oo, pm >n, 0 <\S\ < m--, cr = mP n P.

-1, <7 и (pa (x) g W" (a) - экстремальная функция, соответствующая функционалу l0a (х), тогда периодический функционал погрешности s\<ar&bm л где определяются из линейной системы (10), является оптимальным периодическим функционалом погрешности общего вида в пространстве

W"(A), норма его равна ICWJ^.^

IS д|а|<т

BahfAx)+Ca dx и ka><Po) =

I а 'о

Далее обосновывается асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем при нечетном т.

В.И. Половинкиным [30] доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в

1Y! пространстве L при 1< /?<оо.

Получена оценка сверху нормы функционала погрешности, для этого предварительно доказаны лемма 2.4, лемма 2.5 и теорема 2.3.

Лемма 2.4.Если рт > п, р(т-|<Sl)> п, — + — = 1, а-т

Р Р п Р.

-1, \щ = т, Г т), |x|<Z,/z то

Sup J а\<тА h

Dae2m{xH[l dx<ChmP'+n.

Лемма 2.5. Если l^(x)e R{L,A,\S^,\a\ = m и [S^ra или |.S| = w + l, то при |х| > Lh выполняется неравенство

Sup а\<т

Da+°+Ss2m(x)*r fx)

Khj C hn+lsl+ae~ 2 ш-2л1+|а|+сг+|5| "

Теорема 2.3. Если Q- ограниченная область в Еп с кусочно-гладкой границей Г = Г(Г2), рт > п, р(т-\S\) > п, Ы < а, — + — = 1, 1<р<оо, р р то норма равномерно распределенного в области функционала /q(x) в W™* при h —> О удовлетворяет неравенству ш wp (£„> к

-л mesQ.) р hm, где К - положительная константа, не зависящая от h,

1 1

Теорема 2.4. Если рт> п, p(m-\S\)> п, \S\< а, — +— = 1, 1</?<оо и

Р Р' ограниченная область Q имеет кусочно-гладкую границу в Еп> то при h—>0 для всех функционалов с регулярным пограничным слоем в смысле определения СЛ. Соболева имеет место неравенство: gw wfm mesO.) d p dx hm(l + 0(h)).

Далее получена оценка снизу нормы функционала погрешности, для чего предварительно доказана вспомогательная лемма 2.6.

Лемма 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу из r = T(Q). Тогда при /г —> 0 существует последовательность функций о qfh (х) е Wp такая, что

1. (х) = 0, если x = hj3 и хе Q!2h,

2. f<pl (x)dx = hmp'mes Q J ■ ^ д|а|<т

Bah;:{x)+ca dx(\ + 0{h)).

Теорема 2.5. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу Г=Г(£2), тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на решетке с шагом h, при h —> 0 имеет место следующая оценка снизу mesQ)

EZ1 P

0 р'

JZ ч cbc hm(\ + 0(h)).

Используя полученные ранее оценки сверху и снизу функционала погрешности, доказана следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу

Г = r(Q). При нечетном т функционал Iq с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева Wf(En ) и выполняется равенство

К («) (mesCl)

Ell р а\\

Бхм cbc hm(\ + 0(h)).

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Урбаханов, Александр Валерьевич

Основные результаты диссертационной работы являются новыми. пространстве Соболева W при нечетных т.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве

Соболева Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты:

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;

• получен общий вид функционала погрешности, получена в явном виде норма функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получена в явном виде норма периодического функционала погрешности в , выделен главный член нормы периодического функционала погрешности, получена норма экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;

• показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Урбаханов, Александр Валерьевич, 2005 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1, 1959. -464 с.

3. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

4. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем //Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

5. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем //Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

6. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

7. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003 .-С. 45-53.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

9. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. - С. 48-56.

10. Ю.Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: Наука, 1981.-431 с.

11. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

12. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы о приближенном анализе.-М.: Наука, 1962.-224с.

13. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. - Вып. 1. - С. 150-152.

14. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1. - С. 147-150.

15. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

16. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

17. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в // Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

18. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности всеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

19. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

20. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-таим. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. -Т.55. - С. 1-181.

21. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III

22. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987.-236 с.

23. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

24. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г.

25. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. -456 с.

26. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

27. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

28. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

29. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

30. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. - С. 951-954.

31. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т. 15, №2. - С. 413-429.

32. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т. II Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

33. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01) / ЛГУ. Л., 1979 - 18 с.

34. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L17^ II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988.-С. 125-136.

35. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //

36. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

37. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в Lm(E ) //р п

38. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

39. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. -1978. - Т. 19, №3. - С. 663-669.

40. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

41. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. -Т.13, №2. - С. 481-484.

42. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. — 174 с.

43. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т.126, №1. - С. 44-45.

44. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77-89.

45. Рамазанов М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв ред. В.И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39-52.

46. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.

47. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

49. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

50. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е пепераб. и доп. - М.: Нука, 1992. - 432 с.

51. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

52. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.: Наука, 1973. 311 с.

53. Урбаханов А.В., Цыренжапов Н.Б. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003-С. 184-187.

54. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева.- Журнал Вычислительные технологии.- 2004.- Т.9.- С. 133-138.

55. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Построение кубатурных формул общего вида с участием производных // Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ, 2004.- Вып.7 -С. 56-75.

56. Урбаханов А.В. Построение кубатурных формул общего вида //Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2 (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ),- Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- С.81-84.

57. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII междунар. семинара-совещ. /Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. -Улан-Удэ, 2005 -С. 126-131.

58. Урбаханов А.В. Шойнжуров Ц.Б. Норма периодического функционала погрешности // Математика, её приложения и математическое образование: Матер, всероссийской конф. с междунар. участием (26-30 июня 2005, г. Улан-Удэ).- Изд-во ВСГТУ, 2005.-С.275-278.

59. Францев Г.Л. Кубатурные формулы в пространстве Lm II Сборникp,sнаучных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1999. -Вып.4 - С. 94.

60. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

61. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог. ун-т Улан-Удэ,2001.-99 с.

62. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР. 1969. - Т. 12, №10. - С. 3-6.

63. Хаитов Т.И. Оптимальные и близкие к ним периодические кубатурные формулы с кратными узлами // Вопр. вычисл. и прикл. матем — Ташкент 1975. -вып.32 С. 168-173.

64. Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева1.(E ): Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07)7 Вост.-Сиб: технолог. р пун-т Улан-Удэ, 2004: - 102 с.

65. Цыренжапов Н.Б. Общий вид функционала погрешности кубатурныхформул в пространстве С.Л. Соболева L17^ (Е^) // Математика, ее