Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева Lmp(En) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Цыренжапов, Нима Булатович

• Цыренжапов, Нима Булатович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цыренжапов, Нима Булатович

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ I. Линейные и периодические функционалы погрешности

1.1. Пространства Wm(E ),Lm(E ), JVm(Q), Lm(Q). pnpnpp

1.2. Построение элементарных кубатурных формул общего вида

1.3. Построение кубатурной формулы общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, п = 2.

1.4. Общий вид финитного функционала погрешности.

1.5. Оптимальный периодический функционал погрешности в пространстве L^ (Е^).

1.6. Норма периодического функционала погрешности в пространстве L^ (.Е^).

РАЗДЕЛ II Оценка нормы функционала погрешности в пространстве L (Е^).

2.1. Оценка сверху нормы функционала погрешности в пространстве

Соболева L (Е ).

2.2. Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве

Соболева L (Е ).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева Lmp(En)»

Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследования СЛ. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-66 годах.

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» C.JI. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.

В современном понимании проблема оптимизации формул численного интегрирования ставится как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями: a) бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования; b) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличение объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей -научной, технической, организационной и т.д. При больших численных расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. Поэтому важное значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

В диссертационной работе основной целью является построение и обоснование асимптотической оптимальности кубатурных формул общего вида в пространстве Соболева L (Е ). р п

Для достижения цели ставятся задачи:

- построение элементарных кубатурных формул общего вида; получение оптимального периодического функционала погрешности и явного вида коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности; получение в явном виде нормы периодического функционала погрешности в L^ (Е^), выделение главного члена периодического функционала погрешности. Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой поверхностью конечной площади в «-мерном евклидовом пространстве Е . В остальном она произвольна.

Рассмотрим следующий кратный интеграл

J (p(x)dx = J a {x)(p{x)dx (1)

Q E L1 n

YYl где s (X) - характеристическая функция области П, ср{х) е W (Е ), рпг >п, £2 р п p(m-\S\)> п.

Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой N q>(x)dx= I Z C?Da<p(x ) (2)

П, £ = l|a|<|S| * " . где ) = ), - узлы, C^ - коэффициенты и TV - число узлов.

Распределение узлов х^ внутри Q может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы х нумеруются с помощью г мультииндекса р = с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле х^=ИН/3, где Н - матрицы размера пхп, det/7 = 1, а положительный параметр h называется шагом решетки. Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулой общего вида (2) определяется разностью

0,р)= Z , Z C"Da<p(x ). v" 7 Q £ = 1|«|<|S| кь

Пусть В - банахово пространство, В * - его сопряженное, и пространство В вложено в пространство С непрерывных функций:

5сОД. (3)

Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В. Функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида (2) в пространстве В называется обобщенная функция / (х)е В* вида:

0(*) = *0(*)- Z I C<X{-\)aDaS{x-x ). i2 " k = l\a\<\S\ к к

Из условия вложения (3) следует, что функционал погрешности / (х) вида \ N (р)= \(p{x)dx- 2 Z C^Dacp{xh) = Q & = l|a|<|S| k k / л

ЛГ oW- I I C^{-\)aDa5{x-x ) Q к = l|«| <|5| * k p{x)dx (4) является линейным непрерывным функционалом в5и его норма определяется формулой Q В sup о-* sup

Р* 0 ОТя И5=1

Пусть X = \х^={х^k = - узлы кубатурной формулы, Р = к = |ог| < |5|| - коэффициенты кубатурной формулы и (Х,Р) - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы общего вида.

Кубатурная формула общего вида (2) с функционалом погрешности о

Q(x) в виде (4) называется оптимальной в пространстве В, если т mf sup —jj—й-в* {Х,Р)(р* О Ыв (Х,Р) к к а jnf d(x.,C?.N) = d(xk,Ck>N)-. (5) о о а

Ее узлы и коэффициенты обозначаются через xk,Ck соответственно, и называются оптимальными. У

Отыскание минимума (5) по х^, С^ называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (р^(х)е В, если она существует, реализующая минимум выражения (5), называется экстремальной функцией функционала /Q(x). а а

Функционал погрешности l^(x,X,P ,N), зависящий от X,P,N а а называется асимптотически наилучшим, если l^(x,X,P,N)eB* и для любого функционала / (x,X,P,N)eB* выполняется условие lim

N-> оо lQ(x,X,P,N) В lQ(x,X,P,N) 1

6)

В* а аа

Узлы хк и коэффициенты С к называются асимптотически наилучшими.

Пусть узлы кубатурной формулы общего вида (2) расположены на решетке Г(ЛЯ|0), dettf = 1, х =hHfi к = 1,2,-, N. а

Функционал погрешности l^(x,P,N) с узлами на решетке, зависящий от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, если а

Iq(x,P,N)e. В* и для любого l^(x,P,N)e В* выполняется условие: lim

N-> оо lQ(x,P,N) В* а lQ(x,P,N)

В* 1

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М. Никольский [28], В.И. Крылов [22], Н.П. Корнейчук [15] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов [1], Г.А. Михайлов [24], И.М. Соболь [56], А.В. Войтишек [9].

Применение вероятностных методов в приближенном вычислении интегралов в простейшем случае дает кубатурную формулу вида

11 i N (л

0 0 iV/ = 1 где x^ - независимые случайные точки, равномерно распределенные в единичном кубе. Удобство этого метода заключается в том, что в формуле (7) можно брать достаточно большие N, так как все точки х^ вычисляются по единому алгоритму, а порядок сходимости (7) (по вероятности) не зависит от кратности интегралов и равен N 2 для функций /(х) е L^. Но слабой стороной этого метода является медленная его сходимость и гладкость функций при этом не способствует улучшению сходимости.

Для решения экстремальной задачи теории кубатур в п-мерном пространстве Е C.JI. Соболевым был предложен функциональноаналитический подход; указан способ построения кубатурных формул с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке с шагом h и доказан, что

Mi такие формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве .

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве L™.

Остановимся более подробно на основных результатах C.JI. Соболева по теории кубатурных формул, полученных функционально-аналитическим методом.

В монографии C.JI. Соболева [50] дана оценка сверху нормы функционала погрешности (х) при помощи экстремальной функции (ро(х) из L™, на которой функционал погрешности принимает наибольшее значение.

Нахождение экстремальной функции щ(х) связано с решением уравнения

Amu = (-\)ml^(x) (8)

Решение уравнения (8) выражается в явной форме при помощи свертки

9) где G(x) - фундаментальное решение полигармонического уравнения порядка т, Р{х) - произвольный многочлен степени ниже т. Норма функционала погрешности определяется соотношением 2 L т Q х = О

10)

Норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем h х) удовлетворяет асимптотическому равенству lh 1 где Вт (Н) = S /3*0

Lf 1 (mesQ)2 Вт (Я)2 hm(1 + 0(h))

И)

2тиН~1р

2m'

Для оценки снизу нормы функционала погрешности с заданной решеткой узлов и с произвольными коэффициентами в пространстве важную роль играет функция (р^ (х), обладающая следующими свойствами:

1. ф (hfi) = 0, т.е. обращается в нуль в узлах решетки;

2. ф^ (х) = 0, если х g Q;

3. J ф^ (х) dx = J /ф (х) ф(х) dx.

С ее помощью C.JI. Соболевым получена оценка снизу нормы любого tit функционала погрешности (х) в пространстве L^ Q (mes n)2 Bm (H)2 hm (l + OQij)

12)

В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики Ц.Б. Шойнжуров, В.И. Половинкин, М.Д. Рамазанов, Р.А. Салихов, JI.B. Войтишек и другие, обобщая результаты C.JI. Соболева на другие функциональные пространства.

Ц.Б. Шойнжуров впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве СЛ. Соболева W™ с нормой

Ь> \w»4E„) = J т

1-Д)2 <р(х) dx

1 Р

1 < < со,

13) зависящей от функции и ее младших производных, т - любое положительное т т число и (l-Д) <p(x) = F~l(l + \2Kg\2)2 Fcp{%).

Здесь требование ортогональности функционала к многочленам степени til ниже т не является обязательным в отличие от фактор-пространства Lp {Еп).

Экстремальная функция (ро(х), соответствующая функционалу р(х), как решение нелинейного уравнения Эйлера получена с помощью преобразования Фурье и норма функционала погрешности в Wp в явном виде равна

Wtwf =

J \д{х)*р{х)\р dx jn

L Р'

14)

М.Д. Рамазанов ввел пространство с нормой

1Ия^(П) = Hg(Q)' где *р = = <р(х + ЕР)> (15) рассмотрел кубатурные формулы с ослабленным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа таких, как замена переменных в функционале и перемножение функций, построил формулы с пограничным слоем, но отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотические оптимальности в [45], [46], [47], [48].

М.В. Носков установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения [31].

B.JI. Васкевич исследовал кубатурные формулы в пространствах

1 1 гармонических функций Бергмана в^ Элементами в^ (П) являются функции класса W^ (Г2), гармонические в ограниченной области Q [7].

Ц.Б. Шойнжуров в поздних работах исследовал функционал погрешности ftt кубатурной формулы с пограничным слоем в пространстве Wр с нормой (13) и получил для функционала погрешности (х) следующую оценку р-1 lci 00Wm* =(mesQ-) Р Q О

2 тН-1р.

РфО>

2 7гН~Хр т о С dx

L Р'

16) xhm(\ + 0(h))

В таком виде константу, входящую в главный член нормы функционала нельзя улучшить.

Выделение в явном виде главного члена в оценке нормы функционала погрешности имеет важное значение, ибо при заданном N он позволяет выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью.

772

Существенный вклад в теорию кубатурных формул в пространстве Lp внес В.И. Половинкин. Ряд его результатов были использованы при доказательстве теорем настоящей диссертации. В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве Lp , 1 < р < оо с нормой i и» J

У.[оа(р(х)\ a\-m

Е " 2ск СО.

17)

Норма (17) инвариантна относительно линейных преобразований. В частности [35] им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в L™ (Q), а при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в

Y) 1

Lp. Также В.И. Половинкин исследовал [38-40] общий вид произвольного и финитного функционала погрешности.

В работе C.JI. Соболева [50] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. Л.И. Дидур в работе [14] обобщила некоторые результаты C.JI. Соболева в гильбертовом пространстве. В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [41] рассмотрены последовательности эрмитовых кубатурных формул. Получена оценка 1 h где А'" = mm р"" leL

UWpi*

18)

Изложим кратко содержание диссертации.

Основные результаты получены благодаря функционально -аналитическому подходу. Это предполагает, во первых, что подынтегральные функции объедены в некоторое банахово пространство, и во вторых, что разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функции и ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый функционалом погрешности, как правило непрерывен. Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы. В этом существенное преимущество функционального подхода перед чисто алгебраическим.

Алгебраический и функциональный подходы порождают отличные друг от друга критерии качества кубатурных формул. В первом случае лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов. Во втором предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму. В книге C.JI. Соболева и B.JI. Васкевича «Кубатурные формулы» [55] подробно исследуется взаимосвязь этих критериев.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном банаховом пространстве. В частности, в работе выводятся двусторонние оценки этих норм.

Диссертация состоит из введения, двух разделов, содержащих 8 пунктов, заключения и списка литературы из 76 наименований. Объем работы - 102 машинописных страниц. В первом разделе рассматриваются линейные и периодические функционалы погрешности. Во втором разделе проводится оценка нормы функционала погрешности.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Цыренжапов, Нима Булатович

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Соболева

Для решения данной задачи был использован

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: указан способ расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных кубатурных формул, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных с узлами на ньютоновской решетке. Построена кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, л = 2. Получен оптимальный периодический функционал погрешности и явный вид коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности в пространстве L (Е^). В явном виде получена норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности в пространстве

Соболева Lm(E ). Также показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в пространстве

Соболева ^[eJ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цыренжапов, Нима Булатович, 2004 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат, лит-ры, Т. 1, 1959. - 464 с.

3. Блинов Н.И., Войтишек JI.B. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1970. - Вып. 38. - С. 8-15.

4. Блинов Н.И., Войтишек JI.B. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. C.JI. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

5. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

6. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - С.14.

7. Васкевич B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241-250.

8. Васкевич B.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

9. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003 .-С. 45-53.

10. Ю.Войтишек JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419.

11. П.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988.-512 с.

13. Глушко В.П. Неравенства для норм производных в пространствах L^ свесом // Сиб. мат. журн. 1960. - Т. 1,3.

14. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях// Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. - С. 48-56.

15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

17. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994.-Вып.1.-С. 150-152.

18. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1.-С. 147-150.

19. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

20. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

21. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в II Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

22. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности ву/О71) ^ j // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. IIIсеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

23. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967. - 500 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. - Т.55. - С. 1-181.

25. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.-236 с.

26. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

27. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

29. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

30. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

31. Никольский Ю.С. Поведение дифференцируемых функций из весовых классов на бесконечности // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР.-1972.-Т.117.

32. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991. - Вып. 16. - С. 16-23.

33. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

34. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. с. 951-954.

35. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15, №2. - С. 413-429.

36. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т II Сиб. мат. журн. 1975. - Т.16, №2. - С. 328-335.

37. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979-18 с.

38. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L™ II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

39. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из1. U (П) //

40. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

41. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

42. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики.- Новосибирск, 1989. С. 137-139.

43. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. -1978. - Т.19, №3. - С. 663-669.

44. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

45. Пономаренко А.К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 70-76.

46. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. - Т.13, №2. - С. 481-484.

47. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

48. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР.- 1974. Т.126, №1.-С. 44-45.

49. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их