Оценка областей притяжения и инвариантных множеств в задаче управления колёсным роботом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Морозов, Юрий Викторович

• Морозов, Юрий Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Морозов, Юрий Викторович

Обозначения

Введение

1 Оценки инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем.

1.1 "Кольцевая" аппроксимация области притяжения инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Аппроксимация областей Т> и 8.

1.1.3 Выбор параметров для вспомогательной системы

1.1.4 Задание кольцевой области только одной матрицей

1.1.5 Итеративное построение инвариантного множества

1.2 Оценка области притяжения для исходной системы в отсутствии внешних возмущений.

1.2.1 Оценка области притяжения для невозмущённой системы.

1.3 Способ улучшения оценки области притяжения для невозмущёной системы.

1.3.1 "Кольцевая" область для невозмущённой системы, как способ улучшения оценки области притяжения

1.4 Выводы к главе 1.

2 Оценка инвариантных областей в задаче управления колёсным роботом

2.1 Модель колёсного робота.

2.1.1 Уравнения движения робота.

2.1.2 Параметрическое представление целевой траектории

2.1.3 Замена переменных

2.1.4 Синтез закона управления.

2.2 Оценка инвариантных множеств в задаче управления колёсным роботом.

2.2.1 Оценка области притяжения в случае движения колесного робота вдоль прямой без учета динамики привода.

2.2.2 Оценка области притяжения в случае движения колёсного робота вдоль составной траектории без учета динамики привода.

2.2.3 Оценки максимального значения показателя экспоненциального затухания для заданного начального условия

2.3 Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колёсным роботом.

2.4 Оценка области притяжения с помощью функций Ляпунова из класса форм высших степеней в задаче управления колёсным роботом.

2.4.1 Метод построения функции Ляпунова.

2.4.2 Примеры

2.5 Выводы к главе 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка областей притяжения и инвариантных множеств в задаче управления колёсным роботом»

Объект исследования и актуальность темы. В последние годы для повышения точности проведения строительных и сельскохозяйственных работ используются мобильные роботы, оснащенные системами спутниковой и инерциальной навигации. Задачи, возникающие при управлении подобными машинами, можно разделить на два вида:

- планирование траектории,

- выход на заданную траекторию и стабилизация движения по ней.

Постановка первой задачи определяется содержанием строительного или сельскохозяйственного задания. Вторая задача решается с помощью синтеза закона управления, стабилизирующего движение машины вдоль кривой, полученной из решения первой задачи.

Среди обширной литературы, посвященной задаче управления колёсным роботом, встречаются работы, использующие различные модели мобильных роботов. В одних рассматривается только кинематика движения, другие учитывают такие различные динамические свойства машины, как проскальзывание колёс или инерция привода поворота колёс /37, 50, 49, 61, 53, 48/. Во многих работах (см. /44, 14, 38, 36, 21, 58, 40, 6, 64/) решается задача синтеза управления, позволяющего стабилизировать движение по отрезку прямой или гладкой кривой.При этом управление может быть непрерывным /14/ и /36, 21, 58/ или разрывным /40, 13, 42/. Кроме того, очень часто синтезированный закон управления не удовлетворяет заданным ограничениям. С другой стороны, принудительная ограниченность управления не позволяет добиваться гарантированной скорости убывания нормы отклонения от предписанной траектории для произвольного начального положения целевой точки и ориентации платформы робота. Другими словами, замкнутая система в общем случае не обладает свойством глобальной устойчивости, т.е. для начальных условий, лежащих вне области притяжения, автоматический о выход мобильного робота на требуемую траекторию не гарантируется. Таким образом, возникает задача оценки области начальных состояний, из которой возможен выход на заданную траекторию. Следует отметить, что некоторые авторы, например /46/, синтезируют закон управления, позволяющий роботу выходить на желаемую траекторию из любой точки пространства, но при условии, что каждое из колёс мобильного робота оснащено независимым приводом. К сожалению, последнее условие в практических приложениях часто не может быть выполнено.

Задача построения инвариантной области /25/ для линейной системы рассматривается в ряде работ. В /18/ и /17/ предлагается метод инвариантного эллипсоида для случая линейной системы с ограниченным возмущением. В /28/ разработан метод эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости в линейных системах с шумом, ограниченным в 1/2 норме. В /27/ исследована структура областей достижимости для линейных систем.

Важно отметить тот факт, что даже самая простая кинематическая схема колёсного робота описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому описанные выше методы неприменимы для аппроксимации областей притяжения в задаче управления колёсным роботом. Кроме того при движении колёсного робота с приводом поворота переднего колёса, обладающим инерционностью, вдоль траектории с быстро меняющейся кривизной возникают переходные процессы, которые не позволяют достичь асимптотической устойчивости. Это означает, что для этого случая области притяжения, определенной в /21, 55/, просто не существует. Поэтому, вместо попыток оценки областей асимптотической устойчивости /24, 11/, в диссертации предлагается метод построения двух инвариантных областей, оценивающих как величину переходных процессов, вызванных переключением с сегмента на сегмент, так и область начальных условий, из которых гарантируется попадание в первую область. Как будет показано ниже (глава I) такие области можно построить для некоторого класса нелинейных систем. Области похожей структуры строились для стохастических систем в /3/.

Предлагаемый метод получения оценок областей притяжения и инвариантных множеств основан на построении непрерывных функций Ляпунова /8/ в виде квадратичных форм. Похожая задача — исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях в большом — была сформулирована в /12/ и получила дальнейшее развитие в работах советских ученых /11, 29, 28/. Однако построение таких функций для исследования нелинейных систем было бы невозможно без методов теории абсолютной устойчивости /9, 1, 19, 20, 5, 59/.

В современной литературе можно встретить различные способы аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств. В /43, 51, 30/ область притяжения строится из пересечения нескольких эллипсоидов или в виде одного для системы с произвольным переключением между N линейными системами. В /33/ авторы предлагают числеиный метод, позволяющий уточнить границу некоторой начальной (исходной) области притяжения с помощью квази-квадратичной функции Ляпунова. В /57/ описывается численный метод последовательного уточнения границы области притяжения. В /63/ рассматривают построение функций Ляпунова в виде отношения полиномов для нелинейных систем. Все описанные методы подходят только для аппроксимации области притяжения положения равновесия, для оценки переходных процессов они не применимы. Разработке численного метода для решения этой сложной задачи посвящена первая глава. Во второй главе рассматривается применение этого метода в задаче управления колёсным роботом.

Целью диссертационной работы является разработка численных методов построения оценки областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, с последующим применением разработанных методов в задаче управления колёсным роботом.

Диссертация состоит из двух глав, связанных общей методологией.

В первой главе введены основные определения, которые затем используются в тексте диссертации. Определены классы нелинейных систем, для которых задача аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств сводится к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств. Кроме того, для выделенных классов нелинейных систем введены различные вспомогательные классы систем более общих в смысле решений. Для этих классов решены различные оптимизационные задачи, связанные с построением оценок областей притяжения и инвариантных множеств. Предложен итерационный метод, позволяющий существенно уменьшить консервативность оценок инвариантных множеств.

Вторая глава посвящена исследованию качества различных законов управления и оценке величины переходных процессов с помощью областей притяжения и инвариантных множеств в задаче стабилизации движения колёсного робота вдоль заданной траектории. Сформулированы оптимизационные задачи, соответствующие различным моделям колёсного робота. Проведено численное моделирование для различных параметров модели. Подробно описан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм четных степеней в задаче управления колёсным роботом, основанный на полиномиальном преобразовании.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и вычислительной математики. Научная новизна:

1. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка области притяжения совместно с оценкой инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.

2. Впервые полиномиальное преобразование координат применено для уточнения границы области притяжения.

3. Разработаны численные методы итерационного оценивания областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, которые применены в задаче управления колёсным роботом.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в настоящей работе, являются развитием вычислительных методов теории абсолютной устойчивости и методов решения линейных матричных неравенств. Рассмотренные методы позволяют строить оценки областей притяжения и инвариантных множеств для нелинейных систем, а также могут быть использованы для проверки оптимальности синтезированных законов управления.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления.

2. Метод построения оценки области притяжения для этого класса систем, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

3. Метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

4. Метод построения оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом.

5. Численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объёма области притяжения в задаче управления колёсным роботом.

6. Численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм четных степеней в задаче управления колёсным роботом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях

1. 1-й Российской мультиконференции по проблемам управления "Мехатроника, автоматизация, управление" (Санкт-Петербург, 2006),

2. 11-й школе-семинаре молодых ученых "Управление большими системами" (Воронеж, 2007),

3. IX-й конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2007),

4. Ш-й Всероссийской молодежной научной конференции по проблемам управления (Москва, 2008),

5. Х-м международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008),

6. 17-м Международном конгрессе IFAC (Сеул, Юж. Корея, 2008),

7. IV-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых "Проблемы управления и информационные технологии" (Казань, 2008),

8. IX-й Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, Украина, 2008),

9. Международной мультиконферепции "Теория и системы управления" (Москва, 2009).

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, выводов и списка литературы (64 источника), а также содержит 15 рисунков. Общий объём диссертации составляет 78 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Морозов, Юрий Викторович

2.5. Выводы к главе 2

Во второй главе рассмотрены некоторые модели, описывающие движение колёсного робота вдоль различных целевых траекторий.

Поставлен ряд оптимизационных задач, возникающих при управлении колёсным роботом, решение которых сведено к проверке разрешимости систем линейных матричных неравенств, дополненных некоторыми критериями.

Описан итерационный метод, позволяющий улучшить оценку инвариантных множеств, основанный на поиске функций Ляпунова из класса форм чётных степеней.

Проведены вычислительные эксперименты. С помощью стандартных функций пакета ЭсПаЬ и решателя ЬМ1, написанного автором на языке С++, построены границы областей притяжения и инвариантных множеств в различных задачах.

Проведён анализ адекватности полученных теоретических результатов на практике, на базе машины Нива-Шевроле.

Заключение

1. Получены новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления. Представленные достаточные условия позволяют свести исследование устойчивости нулевого положения равновесия системы нелинейных дифференциальных уравнений к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

2. Разработай метод построения оценки области притяжения и области диссипативности для одного класса нелинейных систем. Он основан на методах теории абсолютной устойчивости и позволяет свести решение исходной задачи к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

3. Разработан метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, использующий свойства областей притяжения инвариантных множеств. Оценка области притяжения строится из совокупности эллипсоидов, которые определяются положительно определенными матрицами, каждая из которых является решением системы линейных матричных неравенств.

4. Предложен метод построения оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом. Задача управления колёсным роботом сводится к исследованию устойчивости нелинейной системы с фазовыми ограничениями.

5. Разработан численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объема области притяжения. Этот метод применяется в главе II для оценки переходных процессов в случае движения колёсного робота вдоль составной траектории, когда в модели учитывается инерционность при повороте передних колёс.

6. Разработан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом. Этот метод использовался в главе II для уточнения границы области притяжения, которая была построена с помощью квадратичной формы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Морозов, Юрий Викторович, 2009 год

1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 142 с.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. — 568 с.

3. Барабшюв И.П., Пятницкий Е.С. Численное построение функций Ляпунова для стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 6. С. 53-61.

4. Баркин А. И., Зеленцовский А. Л., Пакшин П. В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. — М.: Изд-во МАИ, 1992. — 304 с.

5. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

6. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. т. 47. № 6. С. 209-216.

7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 212 с.

8. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1950. — 472 с.

9. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // ПММ. 1944. Т.VIII, вып. 3.

10. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Том 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М: Физматлит, 2004. 464 с.

11. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М: Физматлит, 1959. — 212 с.

12. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 532 с.

13. Матюхин В.И. Управление колесной системой при учете погрешностей измерения состояния // АиТ. 2006. №9. С. 41-60.

14. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами. — СПб.: Наука, 2000 -550 с.

15. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2007. № 3. С. 106-125.

16. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. 304 с.

17. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем // АиТ. 1970. № 1. С. 5-15.

18. Пятницкий Е.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях // Дифференциальные уравнения. 1973. № 7. С. 12621274.

19. Рапопорт Л. Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным роботом // АиТ. 2006. № 9. С. 69-89

20. Рапопорт Л.В., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колесным роботом // АиТ. 2008. № 1. С. 19-26.

21. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления мобильным роботом // АиТ. 2008. № И. С. 48-62

22. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: МИР, 1980. — 304 с.

23. Сергеев И.И. Лекции по дифференциальным уравнениям. — М. Изд. ЦГ1И при мех.-мат. факультете МГУ, 2006. — 160 с.

24. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

25. Формалъский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Изд-во Наука, 1974. —368 с.

26. Черноусъко Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.: Наука, 1988. — 320 с.

27. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехтеориздат, 1955. — 208 с.

28. Bean S. P., Coutinho D.F. , Trofino A. and Сигу J.E.R. Regional stability of a class of nonlinear hybrid systems: an LMI approach. Proc. 41st, IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas. 2002. P. 2786-2791.

29. Broekett R. W. Lie algebras and Lie groups in control theory // Geom. Methods Syst. Theory, Proc. NATO advanced Study Inst., London. 1973. P. 43-82.

30. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. — 200 c.

31. Chizi G., Hung Y.S. Analysis and synthesis of nonlinear systems with uncertain conditions // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 5. P. 1262-1267.

32. Chizi G., Hung Y.S. Establishing convexity of polynomial Lyapunov functions and their sublevelsets // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 10. P. 2431-2436.

33. Christophersen F.J., Morari M. Further results on "infinity norms as Lyapunov function for linear systems-// IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. No. 03. P. 547-553.

34. Cordesses L., Cariou C., Berducat M. Combine Harvester Control Using Real Time Kinematic GPS // Precision Agriculture. 2000. No. 2. P. 147161.

35. Dixon W.E. Adaptive regulation of amplitude limited robot manipulators with uncertain kinematics and dynamics // IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. No. 03. P. 488-493.

36. Eun Y., Kabamba P. T., Meerkov S. M. System types in feedback control with saturating actuators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2004. No. 2. P. 287-291.

37. Gaspar P., Szaszi I. , Bokor J. Two strategies for reducing the rollover risk of heavy vehicles // Periodica Polytechnica SER. TRANSP. ENG., 2005. No. 1-2, P. 139-147.

38. Guldner JUtkin V.I. Stabilization of nonholonomic mobile robots using Lyapunov functionsfor navigation and sliding mode control // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision Control. 1994. P. 2967-2972.

39. Hafstein S.F. A constructive converse Lyapunov theorem on asymptotic stability for nonlinear autonomous ordinary differential equation // Dynamical Systems. 2005. No. 3. P. 281-299.

40. Hu T., Lin Z., and Li Q. Stabilization of Exponentially Unstable Linear Systems with Saturating Actuators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. No. 6. P. 973-979.

41. Hu T., Ma L. and Lin Z. Stabilization of switched systems via composite quadratic function // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 11. P. 2571-2585.

42. Kolmanovsky I., McClamroch N.H. Developments in Nonholonomic Control Problems // IEEE Control Syst. 1995. No. 12. P. 20-36.

43. Koutsoukos X. D., Antsaklis P. J. Design of Stabilizing Switching Control Laws for Discrete and Continuous-Time Linear Systems Using Piecewise-Linear Lyapunov Functions // ISIS Technical Report ISIS-2001-002. 2001.

44. Lee T.-Ch., Song K.-T., Lee Ch.-H., and Teng Ch.-Ch:Tracking Control of Unicycle-Modeled Mobile Robots Using a Saturation Feedback Controller // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. No. 2. P. 305-318.

45. Lee T.-Ch., Song K.-T., Lee Ch.-H., and Teng Ch.-Ch. Tracking Control of Mobile Robots Using Saturation Feedback Controller // Proc. IEEE International Conference on Robotics & Automation., Detroit. 1999. P. 26392644.

46. Lenain R., Thuilot B., Carioua Ch. and Martinet Ph. Mobile robot control in presence of sliding: Application to agricultural vehicle path tracking // Proc. 45th IEEE Conference on Decision & Control. San Diego. 2006. P. 6004-6009.

47. Low C.B. Wang D. GPS-based path following control for a car-like wheeled mobile robot with skidding and slipping // IEEE Transactions on control systems technology, 2008. No. 03. P. 340-347.

48. Lu L., Lin Z. Design of switched linear systems in the presence of actuator saturation // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 6. P. 1536-1542.

49. Martynenko Yu.G. Motion control of mobile wheeled robots // Fundamen-talnaya i prikladnaya matematika. 2005. No. 8. P. 29—80.

50. Necsulescu D., Lonmo V., Kim B. and Vukovich G. Autonomous Mobile Robot Control in Operational Space with Torque Saturation, Slippage and Tipaver Avoidance // IEEE Transactions on Automatic Control, 1995. No. 9. P. 1148-1153.

51. Peters S. C., Iagnemma K. An Analysis of Rollover Stability Measurement for High-Speed Mobile Robots // Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation 2006. Orlando. P. 3711-3716.

52. Rapoport L.B., Morozov Yu. V. Estimation of Attraction Domains in Wheeled Robot Control Using Absolute Stability Approach // Proc. IFAC-2008. Seoul. P. 5903-5908.

53. Rapoport L.B. Estimation of an Attraction Domain for Multivariable Lur'e Systems Using Looseless Extention of the S-Procedure // Proc. Amer. Control Conf. San-Diego, 1999. P. 2395-2396.

54. Rozgonyi S., Hangos K. M. and Szederk'nyi G. Improved Estimation Method of Region of Stability for Nonlinear Autonomous Systems // Research Report SCL-002. 2006. P. 15.

55. Samson C. Control of Chained Systems Application to Path Following and Time-Varying Point-Stabilization of Mobile Robots // IEEE Trans. Automat. Contr. 1995. No. 1. P. 64-77.

56. Seltzer S.M., Siljak D.D. Absolute stability analysis of attitude control systems for large boosters // Nasa technical memorandum. Alabama: George C. Marshall Space Flight Center, 1971. — 24 p.

57. Sordalen O. J., Egeland O. Exponential Stabilization of Nonholononnc Chained Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. No. 1. P. 35-49.

58. Sussmann H. JSontag E. D. and Yang Y. A General Result on the Stabilization of Linear Systems Using Bounded Controls // IEEE Transactions on Automatic Control, 1994. No. 12. P. 2411-2425.

59. Thuilot B., Cariou, C., Martinet P., Berducat M. Automatic Guidance of a Farm Tractor Relying on a Single CP-DGPS // Autonomous Robots. 2002. No. 13. P. 53-61.

60. Vanelli A., Vidyasagar M. Maximal Lyapunov functions and domains of attraction for autonomous nonlinear systems. // Automatica. 1985. No. 1. P. 69-80.

61. Walsh G., Tilbury D., Sastry S., Murray R., and Laumond J. P. Stabilization of Tkajectories for Systems with Nonholonomic Constraints //' IEEE Transactions on Automatic Control, 1994. No. 1. P. 216-222.