Оценка качества прогнозов моделей и прогнозирование при наличии структурных сдвигов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Китов, Виктор Владимирович

• Китов, Виктор Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Китов, Виктор Владимирович

1 Смещение второго порядка статистики, оценивающей качество прогнозов

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Смещение второго порядка статистики оценки качества прогнозов.

1.4 Статистические испытания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка качества прогнозов моделей и прогнозирование при наличии структурных сдвигов»

2.2 Описание метода.43

2.3 Используемые методы бутстрапа.44

2.4 Статистические испытания на независимых наблюдениях 49

2.4.1 Регрессия (нормальное распределение регрессоров) 49

2.4.2 Регрессия (нестандартное распределение регрессоров) .51

2.5 Статистические испытания на временных рядах.59

2.5.1 Процентные ставки по канадским облигациям . . 59

2.5.2 Ставка по кредитам в Перу.64

2.5.3 Доля кредитов финансовых организаций в ВВП Бразилии.67

2.6 Заключение.69

3 Взвешивающий метод прогнозирования при наличии структурных сдвигов порядка 0{ 1). 71

PL.

3.1 Введение.71

3.2 Метод взвешенного учета наблюдений.72

3.3 Свойства взвешивающего метода.74

3.3.1 Смещение и дисперсия.74

3.3.2 Сравнение ожидаемых квадратов ошибки прогноза 75

3.4 Определение оптимальных весов.76

3.4.1 Оптимизационный подход - несколько структурных сдвигов.76

3.4.2 Оптимизационный подход-один структурный сдвиг 77

3.4.3 Метод перекрестной проверки .77

3.5 Статистические испытания.78

3.6 Заключение.87

4 Обобщение взвешивающего метода прогнозирования при наличии структурных сдвигов порядка 0{~s). 94

4.1 Введение.94

4.2 Постановка задачи.96

4.3 Описание взвешивающего метода.100

4.4 Определение весовых коэффициентов.101

4.5 Статистические испытания.104

4.5.1 Случай одного структурного сдвига.105

4.5.2 Случай двух структурных сдвигов.106

4.6 Заключение.110

Ключевые слова: прогнозирование, оценка качества прогнозов, оценка свойств прогнозов, сравнение моделей, оценка параметров, асимптотика второго порядка, смещение второго порядка, проверка гипотез, неравномерное усреднение, бутстрап, структурный сдвиг, ожидаемый квадрат ошибки прогноза, метод перекрестной проверки.

К/

Введение. Краткий обзор диссертационной работы

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию методов математического моделирования в случае, когда у исследователя нет возможности проводить контролируемый эксперимент, и вся информация содержится в располагаемой конечной выборке наблюдений. Исследование касается вопросов оценки качества прогнозов моделей общего вида, а также повышению точности прогнозов модели линейной регрессии в случае присутствия в выборке структурных сдвигов.

Первая и вторая части работы посвящены задаче оценки качества прогнозов модели. Данная задача возникает при выборе модели, наиболее точно описывающей данные (путем оценивания ожидаемого квадрата ошибки прогноза или корреляции между прогнозом величины и ее фактической реализацией), при исследовании свойств ошибок прогноза (например, можно ли считать, что ошибки имеют нулевое математическое ожидание), а также при исследовании вопросов возможности улучшения точности прогнозов (например, за счет тестирования гипотезы о наличии корреляции между ошибками прогноза или между ошибками прогноза одной модели и прогнозами другой модели). Указанная задача решается в многочисленных эмпирических работах, например в [25, 34, 35, 27, 26, 13], однако во многих случаях при анализе данных модель, качество прогнозов которой исследуется, содержит неизвестные параметры, которые оцениваются по той же выборке, что и прогнозы рассматриваемой модели. Оценка параметров в общем случае влияет на качество прогнозов, делая их менее точными, что отражается на точечной оценке качества прогнозов и на ее распределении, делая стандартные асимптотические выводы несостоятельными. В случае, когда неизвестные параметры модели оцениваются по всем предыдущим наблюдениям в выборке до момента прогноза, прогнозы также становятся неравнозначными между собой - более ранние прогнозы являются менее точными по сравнению с более поздними. В работах [36] и [37] выводится корректное асимптотическое распределение статистики, оценивающей качество прогнозов, которое учитывает влияние оценки параметров модели на распределение статистики. Методика оценки параметров в этих работах охватывает стандартные методы оценивания, включающие метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. В работах рассматриваются случаи, когда неизвестные параметры модели на каждом этапе прогнозирования оцениваются либо по всем предыдущим наблюдениям, либо по фиксированному числу предшествующих наблюдений. Статистические испытания, приводимые авторами, свидетельствуют о том, что томность асимптотической аппроксимации распределения статистики, оценивающей качество прогнозов, существенно ухудшается при оценивании неизвестных параметров по фиксированному числу наблюдений, предшествующих моменту прогноза, в случае, если число этих наблюдений невелико по сравнению с общим объемом выборки.

В первой части диссертационной работы рассматривается асимптотическое разложение второго порядка статистики, оценивающей качество прогнозов, в случае оценивания неизвестных параметров модели методом экстремального оценивания, который включает в себя нелинейный метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов как частные случаи. В работе доказано, что статистика оценки качества прогнозов имеет смещение второго порядка, которое не учитывается в асимптотическом распределении, полученном в работах [36] и [37]. Данное смещение имеет сомножитель, не принимающий больших значений в случае, когда оценивание неизвестных параметров производится по всем предшествующим наблюдениям, по в случае оценки по фиксированному числу предыдущих наблюдений данный коэффициент равен отношению числа наблюдений, по которым производится усреднение прогнозов, к числу наблюдений, по которым оцениваются неизвестные параметры модели. Следовательно, в случае, когда это отношение велико, статистика оказывается существенно смещенной, что и объясняет неудовлетворительную точность асимптотической аппроксимации в статистических испытаниях работы [37]. Приводимые статистические испытания в первой части диссертации свидетельствуют о том, что корректировка статистики на найденное смещение позволяет значительно повысить точность асимптотической аппроксимации в указанном случае. В других случаях оценивания неизвестных параметров модели учет найденного смещения также повышает точность асимптотической аппроксимации, но данное улучшение невелико. Также в первой части диссертации получено асимптотическое распределение статистики, оценивающей качество прогнозов в случае, когда неизвестные параметры модели рассчитываются в каждый момент прогноза по всем располагаемым наблюдениям в выборке.

Во второй части диссертационной работы предлагается новый метод получения оценки качества прогнозов модели общего вида, который учитывает неравнозначность прогнозов в случае, когда расчет неизвестных параметров модели производится по всем наблюдениям, предшествующим моменту прогноза. При этом сам метод оценивания неизвестных параметров может быть любым. Стандартной практикой, использующейся, например, в работах [36, 37, 18] при получении оценки качества прогнозов, является усреднение по значениям прогнозов с равными весами. Предлагаемый во второй части диссертационной работы метод позволяет получить более точные оценки качества прогнозов за счет учета прогнозов с различными весами, поскольку в рассматриваемом контексте более ранние значения прогнозов, в которых параметры модели оцениваются по сравнительно небольшому числу наблюдений, являются менее надежными, чем более поздние значения прогнозов, при построении которых неизвестные параметры модели рассчитываются точнее по большему числу наблюдений. В работе находится условие, определяющее оптимальные весовые коэффициенты с точки зрения построения наиболее точной оценки качества прогнозов. Они оказываются зависимыми от некоторых неизвестных параметров случайного процесса, с помощью которого была получена исходная выборка. Поскольку данный случайный процесс неизвестен, для практического применения предлагается использовать процедуру бутстрапа для его аппроксимации. Точность предлагаемого метода сопоставляется со стандартным методом равнозначного учета прогнозов на выборке из независимых наблюдений и па временных рядах, описывающих реальные экономические процессы. Выясняется, что метод взвешенного учета наблюдений действительно дает более точную оценку качества прогноза, чем метод усреднения с равными весами, причем преимущество предлагаемого метода в некоторых ситуациях может быть очень существенным. Помимо этого, анализ получаемых весовых коэффициентов дает наглядное представление о степени неравнозначности прогнозов, что помогает при выборе оптимального момента, начиная с которого следует учитывать прогнозы в методе равномерного усреднения при тестировании гипотез.

В третьей части диссертационной работы рассматривается задача построения наиболее точных прогнозов в модели линейной регрессии, параметры которой подвержены резким изменениям (структурным сдвигам) в определенные моменты времени. Предполагается, что с ростом объема выборки структурные сдвиги имеют порядок 0(1). Структурные сдвиги модели отвечают реким изменениям в природе объектов, поведение которых описывает модель. Наличие структурных сдвигов находит свое отражение во многих эмпирических работах, таких как [21, 22]. Во многом, рштерес к тематике структурных сдвигов возник за счет появления статистических инструментов для их обнаружения в моделях линейной регрессии. В работе [12] предлагается тест на общую стабильность модели во времени, в [32, 15] тестируется наличие структурного сдвига в известный момент времени, в [33, 7, 8] тест обобщается на случай, когда момент структурного сдвига неизвестен. В работах [23, 9] рассматриваются тесты на наличие нескольких структурных сдвигов в неизвестные моменты времени. В [28, 38] рассмотрены тесты на выбор между наличием структурного сдвига в стационарной модели и наличием единичного корня в регрессии, когда момент структурного сдвига известен и неизвестен соответственно. Однако, несмотря на появление многочисленных тестов, рассчитанных на обнаружение структурных сдвигов в модели, не так много исследований было посвящено воздействию, которое оказывают структурные сдвиги на точность прогнозов. К числу таких исследований можно отнести [29], в котором рассматривается, как влияет величина и время структурного сдвига на точность прогнозов линейной регрессир!, а также [30], в котором предлагается двухшаговая процедура прогнозирования в модели линейной регрессии, которая является устойчивой к наличию структурных сдвигов. В работе [31] рассматривается новый метод прогнозирования, в котором наряду с наблюдениями после структурного сдвига предлагается использовать некоторое число наблюдений до структурного сдвига для нахождения параметров регрессии при составлении прогноза, что, делая прогноз смещенным, тем не менее снижает дисперсию ошибки оценивания регрессионного параметра и в целом повышает точность прогнозов. В третьей части диссертационной работы предлагается новый метод прогнозирования в модели линейной регрессии, устойчивый к наличию структурных сдвигов неизвестной величины в известные моменты времени. Данный метод, используя все наблюдения, располагаемые в выборке, учитывает наблюдения каждого структурного режима (набора наблюдений между структурными сдвигами) со своим весом, что обеспечивает устойчивость прогнозирования при наличии структурных сдвигов и повышает среднюю точность прогнозов по сравнению с методом наименьших квадратов, примененным ко всей выборке или только к наблюдениям последнего структурного режима. Также данный метод прогнозирования значимо превосходит по точности метод, предложенный в работе [31], что подтверждается асиптотическим приближением распределения ошибки прогноза и статистическими испытаниями.

В четвертой части диссертационной работы рассматривается обобщение взвешивающего метода прогнозирования, при наличии структурных сдвигов порядка 0(1/п5), где п - это размер выборки. Метод прогнозирования разрабатывается без явной спецификации модели прогнозирования и при предположении,- что вектор неизвестных параметров модели оценивается методом экстремального оценивания общего вида (включающем нелинейный метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов). Допускается зависимость между ре-грессорами и ошибками модели. Такая постановка задачи делает предлагаемый метод применимым для широкого класса приложений. Исследуются асимптотические свойства оптимальных весовых коэффициентов метода при различных значениях параметра 5, и находится в аналитическом виде условие, определяющее оптимальные весовые коэффициенты. Приводятся статистические испытания, сравнивающие точность прогнозов предлагаемого метода и методов наименьших квадратов, примененных ко всей выборке и только к последнему структурному режиму.

Автор выражает благодарность профессору Российской экономической школы Анатольеву Станиславу Анатольевичу за помощь в выборе актуальных направлений научного исследования, содействие в поиске статей, а также за ценные советы и рекомендации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Китов, Виктор Владимирович

Общее заключение и основные выводы диссертационной работы

Общим результатом диссертационной работы является развитие новых методов математического моделирования в ситуации, когда отсутствует возможность производить контролируемый эксперимент, и вся доступная информация находится в ограниченной выборке наблюдений. Это включает в себя нижеперечисленные результаты.

В случае, когда требуется оценить качество прогнозов параметрической модели, неизвестные параметры которой находятся методом экстремального оценивания (включающем нелинейный метод наименьших квадратов, метод максимального провдоподобия и метод моментов как частные случаи), а прогнозы оцениваются по той же выборке, что и неизвестные параметры, были получены следующие результаты.

1. Найдено асимптотическое распределение статистики, оценивающей качество прогнозов, когда вектор неизвестных параметров оценивается на кажом шаге, используя все наблюдения выборки (полное окно наблюдений). Данная статистика позволяет тестировать те же гипотезы, что и статистика, оценивающая качество прогнозов, при расширяющемся и скользящем окне (когда вектор неизвестных параметров оценивается по всем наблюдениям, предшествующим моменту прогноза, и фиксированному числу наблюдений до момента прогноза соответственно), но предпочтительна на практике, поскольку ее распределение обладает меньшим асимптотическим смещением второго порядка, что делает асимптотическое приближение первого порядка более точным, по сравнению со случаями расширяющегося и скользящего окна.

2. Получено смещение второго порядка для статистики, оценивающей качество прогонзов, в случае, когда вектор неизвестных параметров оценивается, используя полное, расширяющееся и скользящее окно. Учет найденного смещения позволяет получать более точную асимптотическую аппроксимацию распределения статистики, оценивающей качество прогнозов, и строить более точные тесты, что было подтверждено численным экспериментом. Наибольшее улучшение асимптотической аппроксимации достигается в случае тестирования гипотез с односторонней альтернативой, а также в случае использования скользящего окна для оценки неизвестных параметров.

3. Предложен новый метод получения точечных оценок качества прогнозов параметрических моделей для случая расширяющегося окна наблюдений. Данный метод позволяет получать более точные оценки качества прогнозов и дает визуальное представление о степени неравнозначности наблюдений в связи с последовательной оценкой неизвестных параметров, что позволяет более обоснованно выбирать момент в выборке, начиная с которого будут строиться прогнозы для оценки их качества. Преимущества метода проиллюстрированы на временных рядах, описывающих реальные экономические процессы с использованием различных численных методов бутстрапа. Помимо метода экстремального оценивания, предложенная методика построения точечных оценок может быть применена и при других методах оценивания неизвестных параметров.

В случае, когда необходимо построить прогноз с помощью параметрической модели, параметры которой с течением времени подвержены структурным сдвигам, были получены следующие результаты.

1. Для случая линейной регрессии, строго экзогенных регрессоров и независимых ошибок предложен новый метод прогнозирования (взвешивающий метод), основанный на учете наблюдений из каждого структурного режима с некоторыми весами, определяемым из условия минимизации ожидаемого квадрата ошибки прогноза. Найдено асимптотическое распределение регрессионного параметра, полученного предлагаемым методом. Показано аналитически и в статистических испытаниях, что разработанный метод превосходит по точности последний из предлагавшихся методов прогнозирования при наличии структурных сдвигов - метод выбора длины окна. Предложены два подхода численной реализации нового метода - оптимизационный подход и подход, использующий перекрестную проверку. В статистических испытаниях два предложенных подхода сравнивались по точности вместе с методом выбора длины окна и методами наименьших квадратов, примененными ко всем наблюдениям и наблюдениям последнего структурного режима. Был получен вывод о том, что взвешивающий метод является эффективным методом устойчивого прогнозирования при наличии в выборке структурных сдвигов неизвестной величины - при структурных сдвигах большой величины метод дает точность похожую на точность МНК, примененного к последнему структурному режиму, а при структурных сдвигах малой величины метод в большей степени напоминает по точности МНК, использующий все наблюдения выборки. Оптимизационный подход реализации взвешивающего метода является менее требовательным к вычислительным ресурсам по сравнению с реализацией посредством перекрестной проверки, а потому является более предпочтительным в приложениях.

2. Предложенный метод прогнозирования при наличии структурных сдвигов обобщен на случай, когда параметрическая модель, описывающая данные, явно не специфицируется, а вектор неизвестных параметров оценивается посредством экстремального оценивания общего вида, и допускается зависимость между ошибками и регрессорами. Рассмотренная постановка задачи делает предлагаемый метод прогнозирования применимым для широкого класса практических приложений. Для случая, когда ошибки модели не зависят от предыдущих ошибок и регрессоров, модель представляет линейную регрессию, а матрица вторых регрессионных моментов остается неизменной, получено аналитическое значение для оптимального взвешивающего коэффициента в случае единственного структурного сдвига. С ростом выборки получены выводы об асимптотическом поведении оптимальных взвешивающих коэффициентов при различной скорости стремления величин структурных сдвигов к нулю. В статистических испытаниях был получен вывод о том, что обобщенный взвешивающий метод представляет эффективный метод устой-чивовго прогнозирования при наличии в выборке структурных сдвигов неизвестной величины. При одном структурном сдвиге точность метода в среднем лежит между значениями точности методов наименьших квадратов, примененных ко всем наблюдениям и наблюдениям только последнего структурного режима, при различных структурных сдвигах напоминая больше тот метод, который обеспечивает большую точность. При двух структурных сдвигах взвешивающий метод оказывается более гибким и строго доминирует по средней точности метод наименьших квадратов, примененный к наблюдениям последнего структурного режима.

Список работ автора по теме диссертации

1. Китов В.В. Выбор оптимальных весов при оценке качества прогнозов модели. // Тезисы выступления на XXI научной конференции Российской экономической школы. Май 2007.

2. Китов В.В. Новые методы прогнозирования при наличии структурных сдвигов и оценки качества прогнозов. // Труды 12й всероссийской школы-семинара Современные проблемы математического моделирования. 2007. стр.109-116.

3. Китов В.В. Метод взвешенного учета ошибок для оценки качества прогнозов. // Вестник МГУ. 2008. Том 32, N1, стр.56-63.

4. Китов В.В. Тестирование метода взвешенной оценки прогнозов на временных рядях. // Кибернетика и системный анализ. 2008. Том 44, N1, стр. 148-158.

5. Китов В.В. Метод взвешенного учета наблюдений для прогнозирования при наличии структурных сдвигов. // Математическое моделирование. 2008. Том 20, N3, стр. 29-47.

6. Anatolyev S.A., Kitov V.V. Using all observations when forecasting under structural breaks. // Finnish Economic Papers. 2007. Том 20, N2, стр. 166-176.

7. Оценка качества прогнозов и прогнозирование при наличии структурных сдвигов. // Тезисы выступления на конференции Ломоносов-2008, секция Математика и механика. Апрель 2008. ISBN 978-5-91579-003-1, стр. 21-22.

Доклады автора на конференциях по теме диссертации

1. Выбор оптимальных весов при оценке качества прогнозов модели. // XXI научная конференция Российской экономической школы. Май 2007.

2. Новые методы прогнозирования при наличии структурных сдвигов и оценки качества прогнозов. // XII всероссийская школа-семинар Современные проблемы математического моделирования. 2007.

3. Оценка качества прогнозов и прогнозирование при наличии структурных сдвигов. // Конференция Ломоносов-2008, секция Вычислительная математика и кибернетика.

4. Оценка качества прогнозов и прогнозирование при наличии структурных сдвигов. // Конференция молодых ученых механикоматематического факультета МГУ им.Ломоносова, (секция Математика и механика конференции Ломоносов-2008). Доклад занял призовое место.

Результаты диссертации также докладывались на семинаре Анализ и моделирование финансовых рынков кафедры системного анализа факультета ВМиК МГУ им.Ломоносова.

Другие работы автора

1. Китов В.В. Построение оптимальной инвестиционной стратегии при наличии фиксированных и пропорциональных издержек. // Труды 28-ой конференции механико-математического факультета МГУ. 2006. стр 79-83.

2. Китов В.В. Оптимальное управление инвестициями в актив со случайной доходностью при транзакционных издержках. // Математическое моделирование. 2007. Том 19, N5, стр.45-58.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Китов, Виктор Владимирович, 2008 год

1. Анатольев С.А. 2002. Эконометрика для продолжающих. Российская экономическая школа. Москва.

2. Анатольев С.А. 2003. Эконометрика для подготовленных. Российская экономическая школа. Москва.

3. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. 1965. Независимые и стационарно связанные величины. Наука. Ленинград.

4. Китов В.В., 2008. Метод взвешенного учета 'наблюдений для прогнозирования при наличии структурных сдвигов. Математическое моделирование 20(3), 2947.

5. Anatolyev S., Vasnev А. 1999. Markov chain approximation in bootstrapping autoregressions. Economics Bulletin 3(19),1-8.

6. Anatolyev S.A., Kitov V.V., 2007. Using all observations when forecasting using structural breaks. Finnish Economic Papers 20(2), 166-176.

7. Andrews D.W.K., 1993. Tests for parameter instability and structural change with unknown changepoint. Econometrica 61(4), 821-856.

8. Andrews D.W.K., Ploberger W. 1994. Optimal tests when a nuisance parameter is present only under the alternative. Econometrica 62(6), 1383-1414.

9. Bai J., Perron P. 1998. Estimating and testing linear models with multiple structural changes. Econometrica 66(1), 47-78.

10. Berkowitz J., Kilian L. 1996. Recent Developments in Bootstrapping Time Series. Finance and Economics Discussion Series from Board of Governors of the Federal Reserve System (U.S.) N.96-45. http://ideas.repec.Org/p/fip/fedgfe/96-4-5.html.

11. Berkowitz J., Birgean I., Kilian L. 1999. On the Finite-Sample Accuracy of Nonparametric Resampling Algorithms for Economic Time Series. Advances in Econometrics. 14, 77-107. http://ideas.repec.Org/p/fth/michet/99-01.html.

12. Brown R.L., Durbin J., Evans J.M. 1975. Techniques for testing the constancy of regression relationships over time. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 37(2), 149-192.

13. Diebold F.X., Rudebush G.D. 1991. Forecasting Output with the Composite Leading Index: A Real-Time Analysis. Journal of the American Statistical Association, 86(415), 603-610.

14. Diebold F.X., Mariano R.S. 1995. Comparing Predictive Accuracy. Journal of Business & Economic Statistics 13(3), 253-263.

15. Chow G., 1960. Tests of equality between sets of coefficients in two linear regressions. Econometrica 28(3), 591-605.

16. Chu C.S., Hornik K., Kuan C.M. 1995a. MOSUM tests for parameter constancy. Biometrica 82(3), 603-617.

17. Chu C.S., Hornik K., Kuan C.M. 1995b. The moving-estimates test for parameter stability. Econometric Theory 11(4), 699-720.

18. Clements M.P. 2005. Evaluating Econometric Forecasts of Economic and Financial Variables. Palgrave Macmillan. New York.

19. Frances P.H., Dijk V.D. 2000. Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge University Press. Cambridge.

20. Friedman J., Hastie Т., Tibshirani R. 2001. The Elements of Statistical Learning. Springer. New York.

21. Manski C.F. 1988. Analog Estimation Methods in Econometrics. NY: Chapman&Hall.

22. Meese R.A., Rogoff K. 1983. Empirical Exchange Rate Models of the Seventies: Do They Fit Out of Sample? Journal of International Economics, 14 (February, 1-2), 3-24.

23. Meese R.A., Rogoff К. 1988. What Is Real? The Exchange Rate-Interest Rate Differential Over the Modern Floating Rate Period. Journal of Finance, 43(4), 933-948.

24. Nelson C.R. 1972. The prediction perfomance of the FRB-MIT-PENN Model of the U.S. Economy. American Economic Review, 62(5), 902-917.

25. Perron P. 1989. The great crash, the oil-price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica 57(6), 1361-1401.

26. Pesaran M.H., Timmermann A. 2004. How costly is it to ignore breaks when forecasting the direction of a time series. International Journal of Forecasting, 20(3), 411-425.

27. Pesaran M.H., Timmermann A. 2002- Market timing and return prediction under model instability. Journal of Empirical Finance 9(5), 495-510.

28. Pesaran M.H., Timmermann A. 2007. Selection of estimation window in the presence of breaks. Journal of Econometrics, 137(1), 134-161.

29. Quandt R.E. 1958. The esimation of parameters of a linear regression system obeying two separate regimes. Journal of the American Statistical Association 53(284), 873-880.

30. Quandt R.E., 1960. Tests of the hypothesis that a linear regression obeys two separate regimes. Journal of the American Statistical Association 55(290), 324

31. Stock J.H., Watson M.W. 1993. A Procedure for Predicting Recessions with Leading Indicators: Econometric Issues and Recent Experience. Business Cycles, Indicators and Forecasting Chicago: University of Chicago Press, 95-153.

32. West K.D., Cho D. 1994. The Predictive Ability of Several Models of Exchange Rate Volatility. Journal of Econometrics, 69(2), 367-391.

33. West K.D. 1996. Asymptotic Inference About Predictive Ability. Econometrica 64(5), 1067-1084.

34. West K.D., McCracken M.V. 1998. Regression-based Tests of Predictive Ability. International Economic Review 39(4), 817-40. (http://www. nber. org/papers/t0226).

35. Zivot E., Andrews D.W.K. 1992. Further evidence on the great crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. Journal of Business and Economic Statistics330.10(3), 251-270.