Оценивание векторов состояния источников первичного и вторичного излучения в устройствах обработки информации радиосистем с ограниченной дальностью действия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Заикин Борис Александрович

• Заикин Борис Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Заикин Борис Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ

11

ОЦЕНИВАНИЯ ПАРМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ И СООБЩЕНИЙ

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ИССЛЕДУЕМЫЕ АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ В

УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ РАДИОСИСТЕМ С

ОГРАНИЧЕННОЙ ДАЛЬНОСТЬЮ ДЕЙСТВИЯ

2.1 Нелинейный алгоритм фильтрации

2.2 Алгоритм фильтрации c постоянными коэффициентами

2.3 Алгоритм α-β-γ фильтрации

2.4 Алгоритм фильтрации Калмана

2.5 Оценивание постоянного в течении времени наблюдения

31

параметра

2.6 Параметры радиосистем с ограниченной дальностью

33

действия

2.7 Критерий качества оценивания

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ФИЛЬТРАЦИЯ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ

ИНФОРМАЦИИ ТРЕХКООРДИНАТНЫХ РАДИОСИСТЕМ С

37

ОГРАНИЧЕННОЙ ДАЛЬНОСТЬЮ ДЕЙСТВИЯ ПРИ РАБОТЕ С

МЕДЛЕННО ПЕРЕМЕЩАЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ

3.1 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

38

информации активной однопозиционной радиосистемы

3.2 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

53

информации активной трехпозиционной радиосистемы

3.3 Результаты моделирования процедуры оценивания для

трёхкоординатных охранных радиосистем при работе с

медленно перемещающимися объектами

3

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ФИЛЬТРАЦИЯ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ

ИНФОРМАЦИИ ТРЕХКООРДИНАТНЫХ РАДИОСИСТЕМ С

98

ОГРАНИЧЕННОЙ ДАЛЬНОСТЬЮ ДЕЙСТВИЯ ПРИ РАБОТЕ С

БЫСТРО ПЕРЕМЕЩАЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ

4.1 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

информации активной однопозиционной радиосистемы при

работе с объектами с переменной скоростью

4.2 Результаты моделирования процедуры оценивания для

устройства обработки информации однопозиционной

радиосистемы управления воздушным движением

4.3 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

информации активной однопозиционной радиосистемы при

работе с объектами с флуктуирующим ускорением

4.4 Результаты моделирования процедуры оценивания для

устройства обработки информации охранной трёхпозиционной

радиосистемы при работе с квадракоптерами

Выводы по главе

ГЛАВА 5. ФИЛЬТРАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ИСТОЧНИКОВ

120

ПЕРВИЧНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

5.1 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

120

информации гиперболической пятипозиционной радиосистемы

5.2 Результаты моделирования процедуры оценивания для

гиперболической пятипозиционной радиосистемы при работе с

медленно перемещающимися источниками излучения

Выводы по главе

ГЛАВА 6. ФИЛЬТРАЦИЯ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ

ИНФОРМАЦИИ ДВУХКООРДИНАТНЫХ РАДИОСИСТЕМ С

ОГРАНИЧЕННОЙ ДАЛЬНОСТЬЮ ДЕЙСТВИЯ ПРИ

4

СОВМЕЩЕННИИ ОБЪЕКТА НАБЛЮДЕНИЯ И ПУНКТА

ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

6.1 Синтез алгоритмов фильтрации в устройстве обработки

147

информации активной двухпозиционной радиосистемы

6.2 Результаты моделирования процедуры оценивания для

двухкоординатной радиогеодезической системы при работе с

медленно перемещающимися объектами

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Критический анализ нелинейного алгоритма

175

фильтрации

Приложение 2. Блок схема и листинг программ в Matlab для

200

трехкоординатных радиосистем

5

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание векторов состояния источников первичного и вторичного излучения в устройствах обработки информации радиосистем с ограниченной дальностью действия»

Актуальность темы

К настоящему времени радиотехнические системы прочно заняли место во

многих областях человеческой деятельности. К этим областям относятся сельское

хозяйство, гражданская авиация, военная сфера и др. Важную роль играют

радиосистемы точного определения местоположения источника первичного и

вторичного излучения. Подобные системы используются в радиоастрономии,

радиогеодезии, радиоуправлении. Принципы функционирования подобных

радиосистем используются в охранных системах, системах сопровождения

народно-хозяйственных грузов на транспорте, в системах управления воздушным

движением, в системах определения локальных областей, подверженных

землетрясениям и другим катаклизмам и т.д.

Особенностью рассматриваемых в данной работе систем является

ограниченное время наблюдения, обусловленное, прежде всего, малым

расстоянием от системы до источника, что с одной стороны даёт определённые

преимущества по энергетике, а с другой – заставляет использовать алгоритмы

обработки информации и структуру системы, позволяющие в условиях

нестационарности процесса оценивания обеспечивать приемлемые точностные

характеристики и экономию материальных ресурсов. Важный вклад в обеспечение

указанных качественных показателей вносят подбор и разработка недорогих

реализуемых алгоритмов в устройствах обработки информации (УОИ),

рациональное структурное построение измерительных устройств.

На заре развития радиотехники точность определения информационных

параметров радиосигналов и сообщений, переданных посредством радиоканала,

для потребителей оставляла желать лучшего. Совершенствование

радиотехнических средств и методов в период 1970 – 2010 гг. позволило

существенно улучшить точность определения информационных параметров

радиосигналов и сообщений. Этот факт, а также снижение стоимости аппаратной

 6

части, активизация терроризма в последние годы, вынуждает шире применять

такие системы как в военной, так и в гражданской сферах.

Вместе с тем с ростом потребностей в высокоточной радиотехнике задачи

совершенствования методов и систем с целью дальнейшего повышения

точностных характеристик продолжают оставаться актуальными. Кроме этого,

появление нового класса радиотехнических средств – многопунктовых

радиосистем потребовало разработки новых алгоритмов обработки сигналов. В

этой связи разработка перспективных алгоритмов оценивания информационных

параметров радиосигналов и сообщений в современных системах, является

актуальной и чрезвычайно важной задачей.

В данной работе исследуются и предлагаются к использованию алгоритмы

оценивания векторов состояния малоподвижных источников вторичного

излучения (медленно передвигающихся вертолетов и дронов в отдельных режимах

полётов, аэростатов, дирижаблей и др.), с использованием трехкоординтаных

однопозиционной угломерно-дальномерной и трёхпозиционной дальномерной

радиосистем. Так же в работе рассмотрена задача оценивания координат и

параметров движения подвижных источников вторичного излучения (например,

вертолётов и дронов при их быстром перемещении, самолетов и др.) с

использованием трехкоординатных радиосистем, а также источников первичого

излучения (например, источников излучения активных помех) с использованием

гиперболических радиосистем. Помимо этого, проведено исследование работы

алгоритмов в двухпозиционной радиосистеме координатометрии на плоскости при

совмещении пункта обработки информации и объекта наблюдения (например,

радиогеодезического зонда).

Целью работы является синтез и анализ алгоритмов фильтрации векторов

состояния источников излучения, обеспечивающих улучшение точностных

характеристик в устройствах обработки информации радиосистем с ограниченной

дальностью действия (РОДД). Такими системами могут быть охранные

 7

радиосистемы, радиогеодезические радиосистемы, системы орудийной наводки,

системы управления воздушным движением и др.

Основные задачи, решаемые в работе:

1. Анализ существующих методов оценивания информационных параметров

радиосигналов и сообщений.

2. Синтез алгоритмов фильтрации вектора состояния объекта наблюдения в

радиосистемах с ограниченной дальностью действия.

3. Разработка имитационных моделей синтезированных алгоритмов и

исследование их характеристик.

4. Сравнение эффективности одноэтапной и двухэтапной процедур обработки

информации.

5. Оценка возможностей применения алгоритмов фильтрации в различных

сферах деятельности.

Методы исследования:

При решении поставленных задач использовались методы теории

вероятностей и математической статистики, теории матриц, статистической теории

радиотехнических систем, вычислительной математики и программирования.

В качестве показателей эффективности разработанных алгоритмов при

проведении исследований рассматриваются точечные ошибки по координатам,

расстояние между истинными значениями координат объекта наблюдения и

значениями, полученными в процессе фильтрации, исправленное выборочное

среднеквадратическое отклонение (СКО) указанного расстояния.

Методами имитационного моделирования в среде Matlab проведен

сравнительный анализ алгоритмов при их использовании в различных

радиосистемах.

 8

Новые полученные результаты:

1. Разработана модифицированная версия нелинейного алгоритма фильтрации,

позволяющая реализовать его в устройствах обработки информации (УОИ)

радиосистем с ограниченной дальностью действия.

2. Методами статистической радиотехники синтезированы алгоритмы

фильтрации вектора состояния источника излучения в УОИ конкретных

радиосистем с ограниченной дальностью действия.

3. Методами вычислительной математики и программирования созданы

имитационные модели синтезированных алгоритмов.

4. Методами имитационного моделирования получены статистические

характеристики синтезированных алгоритмов в УОИ радиосистем с

ограниченной дальностью действия и проведен их сравнительный анализ.

5. Проведено сравнение одноэтапной и двухэтапной процедур обработки

информации с применением апробированных алгоритмов фильтрации.

Показано, что эти процедуры аналогичны.

Практическая ценность работы:

1. Реализация синтезированных алгоритмов оценивания векторов состояния

объектов наблюдения позволит улучшить характеристики радиотехнических

устройств, как в уже применяемых, так и во вновь проектируемых

радиосистемах координатометрии.

2. Использование полученных результатов в лекционных курсах позволит

повысить качество этих курсов.

Реализация и внедрение:

1. Результаты исследований использованы в практической работе по созданию

новой однопозиционной системы посадки летательных аппаратов в ОАО

«НПК «НИИДАР».

 9

2. Полученные новые теоретические результаты внедрены в курсы, читаемые

студентам и аспирантам в институте радиотехнических и

телекоммуникационных систем ФГБОУ ВО «МИРЭА – Российский

технологический университет».

Положения, выносимые на защиту:

1. При ограниченном времени наблюдения и работе фильтров устройства

обработки информации (УОИ) трёхпозиционной дальномерной

радиосистемы в нестационарном режиме имеет место снижение СКО ошибки

в среднем для алгоритма α-β в 8 раз, для алгоритма Калмана и нелинейного

алгоритма в 3.6 раза в интервале изменения ОСШ от 0 до 10 дБ относительно

значения СКО ошибки в стационарном режиме работы фильтров.

2. Модифицированная версия нелинейного алгоритма оценивания реализуема в

УОИ угломерно-дальномерных и дальномерных радиосистем.

3. Одноэтапная и двухэтапная процедуры обработки информации на примере

оценивания параметров радиосигнала с использованием УОИ угломерно-

дальномерной радиосистемы дают практически одинаковый результат

оценивания параметров радиосигналов.

4. Выигрыш в уменьшении СКО ошибки при использовании УОИ

трёхпозиционной радиосистемы относительно однопозиционной

радиосистемы составляет примерно в 4 раза для исследованных алгоритмов

оценивания в интервале изменения ОСШ от 0 до 10 дБ.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на следующих

научно-технических конференциях:

1. II-ая международная научно-практическая конференция «Актаульные

проблемы и перспективы развития радиотехнических и

инфокоммуникационных систем» «Радиоинфоком – 2015», Москва,

14.04.2015-16.04.2015

 10

2. Первая научно-техническая конференция МТУ, Москва, 11.05.2016-

18.05.2016

3. Вторая научно-техническая конференция МТУ, Москва, 15.05.2017-

20.05.2017

4. III-ая международная научно-практическая конференция «Актаульные

проблемы и перспективы развития радиотехнических и

инфокоммуникационных систем» «Радиоинфоком – 2017», Москва,

13.11.2017-17.11.2017

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ ([1]-[9]) в числе

которых 4 статьи в научно-технических журналах, входящих в перечень изданий,

рекомендуемых ВАК для публикации результатов диссертационных работ на

соискание ученой степени кандидата наук ([1]-[4]).

 11

ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ

ПАРМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ И СООБЩЕНИЙ

В радиотехнике, а также во многих других науках и приложениях, часто

встает проблема оценивания реализаций случайных процессов, содержащих, как

полезную информацию, так и различного рода помехи. Проблема оценивания

заключается в том, чтобы по результатам зашумленных измерений восстановить

реализацию случайного процесса, содержащего полезную информацию. Под

оцениванием понимается математическая процедура принятия решения о

значениях реализации случайного процесса в некоторые моменты времени, т.е.

математическая процедура обработки результатов измерений наблюдений [10].

Теория оценивания относится к разделу математической статистики, в частности,

теории статистических решений. В зависимости от решаемых задач, оценивание

может производиться наилучшим способом в смысле некоторого критерия. Такая

операция называется оптимальным оцениванием.

В общем случае задачи оценивания случайных процессов можно условно

разделить на несколько задач: обнаружение сигналов, различение их, оценивание

постоянных значений параметров сигнала, оценивание изменяющихся во времени

параметров сигнала (фильтрация случайных процессов изменения параметров

сигнала), разрешение сигналов, распознавание образов и т.п. В данной работе речь

пойдет преимущественно о фильтрации случайных процессов и в меньшей степени

об оценивании постоянных значений параметров радиосигналов. Кратко

сформулируем эти задачи [10], [11].

Пусть на отрезке [0, 𝑇] исследуется случайный процесс 𝜉(𝑡). Этот процесс в

общем случае является функцией от полезного сигнала 𝑠[𝑡, 𝛬⃗(𝑡)] и помехи 𝑛(𝑡):

𝜉(𝑡) = 𝑓{𝑠[𝑡, 𝛬⃗(𝑡)], 𝑛(𝑡)}, 𝑡𝜖[0, 𝑇], (1.1)

где 𝛬⃗(𝑡) = [𝜆1 (𝑡), 𝜆2 (𝑡), … , 𝜆𝑛 (𝑡)]𝑇 – совокупность параметров 𝜆𝑖 (𝑡), 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅

1, 𝑚.

 12

Пусть некоторые параметры 𝜆𝑖 (𝑡), 𝑖 = ̅̅̅̅̅

1, 𝑛 полезного сигнала 𝑠[𝑡, 𝛬⃗(𝑡)]

представляют собой векторную случайную величину или вектор состояния 𝛬⃗(𝑡) с

априорно известными статистическими характеристиками, к примеру, 𝑝 (𝛬⃗(𝑡)).

Теперь, пусть непосредственно наблюдается реализация случайного процесса 𝜉(𝑡)

(1.1). Требуется по наблюдению 𝜉(𝑡) и известной априорной информации

оптимальным образом оценить согласно выбранному критерию значение

постоянного в течении времени наблюдения параметра 𝛬⃗(𝑡). Такую задачу

называют оцениванием постоянного значения параметра сигнала.

Задачи оценивания постоянных параметров, как по постановке, так и по

правилам оценок весьма разнообразны. В частности, многие различия

обуславливаются полнотой или неполнотой известных априорных сведений,

критерия и т.д. В случае радиосистем координатометрии, различия могут быть

обусловлены: геометрическим построением системы, принципом действия и

параметрами радиосистемы, параметрами движения объекта наблюдения (ОН) и

т.д.

Если информационные параметры полезного сигнала 𝑠[𝑡, 𝛬⃗(𝑡)] изменяются

на отрезке наблюдения [0, 𝑇], то изложенная задача оценивания постоянного

значения параметра трансформируется в задачу фильтрации этого параметра. При

решении этой задачи также необходимо получить оценку 𝛬⃗(𝑡) на основании

наблюдения реализации случайного процесса 𝜉(𝑡) и известной априорной

информации.

Результатом решения задач фильтрации являются оптимальные правила

оценивания случайных процессов и соответствующие им структурные схемы

оптимальных устройств оценивания (оптимальных фильтров), а также

потенциальные характеристики качества их функционирования. Задача

фильтрации является более общей и сложной, чем задача оценивания постоянных

на интервале наблюдения параметров сигнала. Когда оцениваемый параметр за

 13

время 𝑇 не успевает существенно измениться или этим изменением можно

пренебречь, задача фильтрации сводится к задаче оценивания постоянных на

интервале наблюдения параметров сигналов.

Следует отметить, что в общем случае задачи оценивания постоянных

параметров и фильтрации могут дополнять друг друга. При этом на первом этапе

интервалы наблюдения для оценивания постоянного параметра выбираются так,

чтобы движение объекта наблюдения было несущественно и таким образом

получают дискретные отсчеты. На втором этапе полученные отсчеты подвергаются

процедуре фильтрации, которая учитывает параметры движения и флуктуации

объекта наблюдения.

Устройство, реализующее процесс фильтрации, соответственно, называется

фильтром. В теории фильтрации распространены случаи, когда название получает

не только процесс фильтрации, но и фильтр исполняющий этот процесс. Сами

фильтры могут быть разделены на линейные и нелинейные; цифровые или

аналоговые; активные или пассивные; рекурсивные или нерекурсивные.

При фильтрации необходимо учитывать не только модель фильтра, но и

вводить модели изменения параметров, учитывающие наряду со спецификой, ряд

общих особенностей этих изменений.

В теории оценивания различают данные текущего, предыдущего и

последующего измерений. Несмотря на то, что термин фильтрация в данном

смысле является синонимом оценивания, в узком смысле, фильтрация как процесс

предполагает использование именно текущего и предыдущих измерений. Помимо

фильтрации, выделяют также [12]:

 экстраполяцию, если оценивание происходит на основе только предыдущего

измерения;

 совокупное сглаживание, если оценивание происходит на основе текущего,

предыдущих и последующих измерений;

 14

 ретроспективу или обратный прогноз, если оценивание выдается на основе

последующих измерений;

 интерполяцию, если оценивание происходит на основе предыдущих и

последующих измерений.

Сами модели оценивания различают по их физической сущности –

постоянной или переменной структуре; по характеру математического описания –

вероятностные модели и модели на основе стохастических уравнений.

В трудах [12]-[14] даны современные представления о существующих

методах фильтрации. Дадим краткий обзор различных моделей фильтрации.

Вероятностные многошаговые модели обеспечивают формирование

условных плотностей вероятности последующих значений параметров 𝜆(𝑣+1) =

(𝑣)

= 𝜆э при заданных предыдущих. Вероятностные модели могут быть упрощены,

если используются гауссовские 𝑝(𝜆𝑘+1 |𝜆𝑘 , 𝜆𝑘−1 , … ) или марковские 𝑝(𝜆𝑘+1 |𝜆𝑘 )

априорные условные плотности вероятности. В этом случае говорят о гауссовских

и марковских моделях. Последующие случаи отличаются от вероятностных

многошаговых моделей по форме описания на основе стохастического уравнения.

Далее идут модели дискретного изменения параметров в виде

стохастических уравнений и многошаговой квазилинейной фильтрации оценок. В

эту группу входят: модели в виде нелинейных стохастических уравнений;

квазилинейная стохастическая модель; квазилинейная фильтрация при прямом и

косвенном измерениях.

К моделям в виде стохастических дифференциальных уравнений относят:

модели непрерывного изменения параметра и модели непрерывной квазилинейной

фильтрации.

Отдельно следует отметить модели оценивания параметров интенсивно

маневрирующего объекта наблюдения без явного перехода к алгоритмам

нелинейной фильтрации. В эту группу входят: модели, учитывающие корреляцию

 15

случайных приращений; модели со скачкообразным изменением регулярной

составляющей движения; измерители с коррекцией полосы пропускания;

измерители с коррекцией результирующей оценки параметра; измерители с

коррекцией регулярной составляющей модели движения цели; многогипотезные

по моделям движения (ПМД) измерители с коммутируемой структурой;

многогипотезные ПМД байесовские адаптивные измерители; многогипотезные

ПМД измерители без межобзорной памяти гипотез; многогипотезные ПМД

измерители с межобзорной памятью гипотез; многокоординатные измерители

параметров движения цели, совершающей разворот в горизонтальной плоскости.

Развитие аппаратных и программных средств вычисления позволили перейти

к более сложным моделям – оцениванию параметров интенсивно маневрирующего

объекта наблюдения с явным переходом к алгоритмам нелинейной фильтрации. К

последним относят парциальную нелинейную фильтрацию и нелинейную

фильтрацию Даума [15]-[18].

Также следует выделить случаи стационарного оценивания случайных

процессов. К этим случаям относят различные фильтры Винера – Колмогорова.

В не очень дорогих радиосистемах, к которым следует отнести радиосистемы

с ограниченной дальностью действия, функционирующие с относительно

медленно перемещающимися объектами, сложные алгоритмы оценивания вряд ли

целесообразно использовать. Для них показаны менее сложные, но в то же время

достаточно эффективные и уже апробированные алгоритмы, такие как нелинейный

алгоритм фильтрации [19]-[21], алгоритм α-β фильтрации [13], [22], алгоритм

фильтрации Калмана [13], [23]. В.Б. Гребенниковым [19] предложен метод

нелинейной фильтрации, основанный на критерии максимума апостериорной

вероятности (МАВ) при гауссовом приближении, и упрощенном нахождении

логарифма функции правдоподобия (ЛФП). Алгоритмы α-β фильтрации и

фильтрации Калмана известны и не требуют пояснений.

 16

Объектом исследования в данной работе являются радиосистемы с

ограниченной дальностью. Радиосистемы такого типа, в большинстве случаев не

требуют применения сложных вычислительных алгоритмов, поэтому в данной

работе будут рассматриваться именно такие алгоритмы, как фильтрация с

постоянными коэффициентами, α-β фильтрации, фильтрация Калмана и

нелинейная фильтрация.

При проектировании радиосистем выбор алгоритма фильтрации осложняется

отсутствием сравнительных данных о качестве фильтрации при использовании

указанных выше алгоритмов при условии, что задана структура самой

радиосистемы. Особенно это относится к многопозиционным радиосистемам.

Ниже перечислены работы, имеющие отношения к решению указанных задач.

В [24] и [25] аналитически был описан алгоритм оценивания изменяющихся

во времени параметров источников первичного излучения в многопозиционных

радиосистемах, но проверка моделированием синтезированных алгоритмов не

была проведена.

Работа [26] посвящена фильтрации по алгоритму Калмана в разностно-

доплеровской системе. В [27], [28] описана работа фильтра Калмана в системах с

одним передающим и несколькими приемными пунктами. Статья [29]

рассматривает сравнение алгоритмов α-β и Калмана в бортовой радиолокационной

станции при фильтрации угловых координат. В [30] рассматривается фильтрация

Калмана для системы посадки самолета, которая является трехпозиционной

дальномерной радиосистемой. В [31] рассмотрены вопросы объединения

информации, полученный из группы угломерно-дальномерных радиосистем, и её

фильтрации по алгоритму Калмана. Статья [32] посвящена применению нейронных

сетей к задаче оценивания. Публикации [33] и [34] посвящены функционированию

алгоритмов фильтрации при их работе с маневрирующими объектами наблюдения.

В большинстве представленных выше работ объектами наблюдения

являются источники вторичного излучения, фильтрация параметров которого

 17

проводится в стационарном режиме. Особое место занимает задача определения

местоположения источника первичного излучения, в которой объект наблюдения

сам излучает собственный сигнал, а радиосистема только принимает его. Для

решения такой задачи может использоваться разностно-дальномерная

(гиперболическая) радиосистема. Ввиду сложной нелинейной взаимосвязи

информационных параметров радиосигнала и вектора состояния объекта

наблюдения ряд работ [35], [36], [37], [38] посвящен специальному методу

линеаризации уравнений взаимосвязи, который заключается в использовании

избыточного количества приемных пунктов. В [39] данная методика рассмотрена

при приложении её к многопозиционной спутниковой системе определения

источника излучения. Работа [40] посвящена применению алгоритмов фильтрации

α-β- и Калмана в разностно-дальномерной и разностно-доплеровской

радиосистеме при её работе с объектом наблюдения с постоянным и практически

постоянным ускорением. В статье [41] рассматривается применение калмановской

фильтрации в системе измерения разностей дальностей и разностей скоростей.

Работа [42] посвящена достижению асимптотической эффективности оценок, при

использовании дальномерного и разностно-дальномерного методов измерения

координат объекта наблюдения. В указанных работах фильтрация параметров

радиосигнала также осуществляется в стационарном режиме.

Ряд работ посвящены синтезу алгоритма фильтрации в различных системах

с помощью упрощения, предложенного В.Б. Гребенниковым. В [43] указанная

методика была применена для синтеза алгоритма фильтрации в разностно-

дальномерной радиосистеме. Недостатками этой работы являются: невозможность

измерения вектора состояния объекта наблюдения в трехмерном пространстве и

отсутствие моделирования, а также отсутствие оценки качества фильтрации. В [44]

по той же самой методике был синтезирован алгоритм фильтрации для двухбазовой

угломерной двухпозиционной радиосистемы. Следует отметить, что в данной

работе, во-первых, рассмотрена угломерная система, значительно уступающая по

точности дальномерным радиосистемам, а во-вторых оценка качества фильтрации

 18

по-прежнему не была приведена. Имеют место и другие приложения данной

методики. Так, например, в [45], [46] был синтезирован алгоритм обработки

радиолокационной информации в гиперболической системе, однако и в этом

случае оценка качества фильтрации не была проведена. В [47] был синтезирован

алгоритм для разностно-доплеровской многопунктовой радиосистемы; в [48]

рассмотрена разностно-доплеровская радиосистема; в [49] рассмотрена

фильтрация вектора состояния наземного источника излучения в однопозиционной

угломерной радиосистеме с синтезируемой базой. В перечисленных работах

проведены исследования различных структур многопунктовых измерителей,

однако проблема оценки качества фильтрации векторов состояния объектов

наблюдения решена не была.

Помимо этого, в тех публикациях, где проводилась оценка качества

алгоритмов фильтрации с помощью моделирования объектом исследования

становились исключительно радиосистемы дальнего действия.

Наконец, следует отметить, что некоторые алгоритмы фильтрации могут

работать в вариантах одноэтапной и двухэтапной обработки данных. Одноэтапная

обработка предполагает непосредственную фильтрацию вторичных параметров

(таких как декартовы координаты объектов). Двухэтапная обработка предполагает

фильтрацию первичных параметров (к примеру, временной задержки, угловой

координаты и т.д.) на первом этапе, и перевод этих величин во вторичные

параметры на втором этапе. Преимущество того или иного метода обработки

оставалось до сих пор не ясным.

Выводы по главе 1.

Изложенное позволяет сделать следующее заключение. Предложенные в

ряде указанных выше работ алгоритмы не проверены моделированием. Не

проведено сравнение алгоритмов фильтрации выходных данных в радиосистемах

с ограниченной дальностью действия. До сих пор оставалось не ясным, обладает

ли одноэтапная обработка преимуществом перед двухэтапной обработкой. В

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заикин Борис Александрович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Б.А. Заикин. Линейная фильтрация выходных данных в охранной

однопозиционной системе // Российский технологический журнал, Т.5 №5,

2017, с.13-24.

2. Б.А. Заикин, А.Ф. Котов. Сравнение алгоритмов фильтрации различных

типов в трехпозиционной разностно-дальномерной радиосистеме // Успехи

современной радиоэлектроники №1, 2018, с.36-43.

3. Я.О. Арешин, Б.А. Заикин, А.Ф. Котов. Оценка качества фильтрации с

использованием нелинейного алгоритма в охранной трехпозиционной

дальномерной радиосистеме // Электромагнитные волны и электронные

системы, №4, 2018, с.37-45.

4. Я.О. Арешин, Б.А. Заикин, А.Ф. Котов, А.И. Стариковский. Анализ и

сравнение алгоритмов фильтрации координат объекта наблюдения в

двухпозиционной радиосистеме // Вестник РАЕН №3, 2018, с.95-100.

5. А.Г. Азизов, Б.А. Заикин, М.Е. Калиниченко, А.Ф. Котов. Квазиоптимальный

алгоритм вторичной обработки информации в радиолокационной системе //

Вестник МГТУ МИРЭА, №2(3), 2014, с.184-195.

6. А.Г. Азизов, А.Ю. Богадаров, Б.А. Заикин, М.Е. Калиниченко, А.Ф. Котов, П.

В. Попонов. Оценивание координат источников излучения в однобазовой

МРЛС // Вестник МГТУ МИРЭА №1(6)., 2015, с.73-81.

7. А.Г. Азизов, А.Ю. Богадаров, Б.А. Заикин, М.Е. Калиниченко, А.Ф. Котов,

П.В. Попонов. Местоопределение источников узкополосных сигналов в

двухпозиционной РЛС // Сб. науч. трудов ч.1 II МНПК «Актуальные

проблемы и перспективы развития радиотехнических и

инфокоммуникационных систем», «РАДИОИНФОКОМ-2015», 2015, с.317-

322.

8. Б. А. Заикин, А. Ю. Богадаров, А. Ф. Котов, П. В. Попонов. Оценивание

координат воздушной цели в дальномерной многопозиционной

 169

радиолокационной системе // Российский технологический журнал, Т.4 №2

(11), 2016, с.65-72.

9. Я.О. Арешин, Б.А. Заикин, А.Ф. Котов. Оценка качества фильтрации

нелинейного алгоритма в однопозиционной угломерно-дальномерной

радиосистеме // Сб. науч. трудов ч.1 III МНПК «Актуальные проблемы и

перспективы развития радиотехнических и инфокоммуникационных

систем», «РАДИОИНФОКОМ-2017», 2017, с.49-62.

10.М.С. Ярлыков, Миронов М. А. Марковская теория оценивания случайных

процессов – М.: Радио и связь, 1993, 464 с.: ил.

11.В.И. Тихонов. Оптимальный приём сигналов –– М.: Радио и связь, 1983, 320

с.

12.Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник. Изд.

2 – е, перераб. и доп. / Под ред. Я. Д. Ширмана – М.: Радиотехника, 2007, 512

с.: ил.

13.П.И. Дудник, Г.С. Кондратенков, Б.Г. Татарский, А.Р. Ильчук,

А.А. Герасимов. Авиационные радиолокационные комплексы и системы:

учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС – М.: Изд. ВВИА им. проф.

Н.Е. Жуковского, 2006, 1112 с.

14.В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный

приём сигналов – М.: «Сов. Радио», 1975, 704 с.

15.Garfield C. Schmidt. Designing Nonlinear Filters based on Daum’s Theory //

Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol.16, №2, 1993, p.371-376

16.Fred Daum. Curse of dimensionality and particle filters // Aerospace Conference,

2003. Proceedings. 2003, IEEE. p.4_1979-4_1993

17.Fred Daum. Nonlinear filters: Beyond the Kalman filter // IEEE A&E Systems

Magazine, vol.20, №8, 2005, p.57-69

18.Yaakov Bar-Shalom, Fred Daum, Jim Huang. The probabilistic data association

filter // IEEE Control System Magazine, 2009, p.82-100

 170

19.В.Б. Гребенников. Квазиоптимальная нелинейная фильтрация

многокомпонентной марковской последовательности // Методы обработки

сигналов в радиотехнических системах, 1986, c.16-20.

20.В. Б. Гребенников, А.Ф. Котов. Импульсные многопозиционные

радиотехнические системы // Радиотехника, №6, 1987, с.6-9.

21.Многопозиционные радиотехнические системы/В. С. Кондратьев, А. Ф.

Котов, Л. Н. Марков; Под ред. проф. В. В. Цветнова. – М.: Радио и связь,

1986. – 264 с.: ил.

22.Dirk Tenne, Tarunraj Singh. Characterizing performance of -- filters // IEEE

Transactions on aerospace and electronic systems, vol.38, №3, 2002, p.1072-

1087

23.R.E. Kalman. A new Approach to linear filtering and prediction problems //

Transactions of the ASME-Journal of basic Engineering. 82 (Series D). 1960. p.35-

45.

24.А.Ф. Котов. Местоопределение источников сигналов современных

радиосредств при влиянии тропосферы и подстилающей поверхности:

автореферат на соискание учёной степени доктора технических наук. - М.:

МИРЭА, 1999

25.В.Б. Гребенников, А.Ф. Котов. Фильтрация векторов состояния источников

импульсных радиосигналов с неизвестной структурой в пассивной

многопозиционной радиотехнической системе // М.:«Радиотехника», журнал

«Радиосистемы», №7. Вып. 46, 2000, c.70-74.

26.Linfeng Shang, Xiaojun Yang, Keyu Xing. Trajectiry Estimation Using Range

Difference Rate Measurments of Doppler-only Sensor Network, IEEE APSIPA,

2015, p.333-337

27.Ngoc Hung Nguyen, Kutluyil Dogancay, Linda M. Davis. Joint transmitter

waveform and receiver path optimization for target tracking by multistatic radar

system // IEEE Workshop on Statistical Signal Processing (SSP), 2014, p.444-

447

 171

28.Bita Sobhani, Enrico Paolini, Andrea Giorgetti, Matteo Mazzotti, Marco Chiani.

Target Tracking for UWB multistatic radar sensor network // IEEE Journal of

selected topics in signal processing, vol.8, №1, 2014, p.125-136.

29.А.А. Разин, С.В. Шаров. Сравнительные оценки точности измерений

угловых координат в бортовой РЛС при использовании - фильтра и

модификации фильтра Калмана // Наука и образование, №12, 2010, с.1-11

30.Я.В. Кондрашов, Т.С. Фиалкина. Математическое моделирование

многопозиционной радиодальномерной системы посадки летательных

аппаратов // Научный вестник МГТУ ГА, №164, 2011, с.78-84

31.Ю.Б. Попов, К.В. Машаров. Оценка координат воздушного объекта в

многопозиционной РЛС с использованием фильтра Калмана // Доклады

ТУСУРа. 2011. №1(23). с.22-28.

32.Н.П. Богомолов, В.Г. Сидоров. Фильтрация оценок вектора состояния в

двухпозиционной радиолокационной системе с применением

искусственных нейронных сетей // Вестник сибирского государственнго

университета науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева, №3,

2005 с.12-16

33.М.А. Логинов, А.С. Буров, С.Н. Барцевич. Алгоритм сопровождения

маневрирующих целей с учетом данных первичной обработки сигнала //

Наука и образование, №1, 2012, с.1-15

34.А.А. Бортников. Алгоритм совместной траекторной обработки

радиолокационной информации // Известия ТулГУ, Технические науки,

№12 ч.2, 2014, с.182-189

35.Ali Noroozi, Mohammad Ali Sebt, Comparison between Range-Difference-Based

and Bistatic-Range-Base Localization in Multistatic Passive Radar. IEEE IRS

16th International, 2015, p.1058-1063

36.Marco Compagnoni, Roberto Notari, Fabio Antonacci, Augusto Sarti. On the

staticstical model of source localization based on range difference measurements.

Journal of the Franklin Institute. 2017, v. 354, p.7183-7214.

 172

37.В.А. Симаков. Построение адаптивных систем пассивной радиолокации на

принципах разностно-дальномерной координатометрии // Научные

ведомости, №2 (22), вып.11, 2005, с.211-219

38.Б.В. Матвеев, В.П. Дубыкин, Д.Ю. Крюков, Ю.С. Курьян, А.А. Саликов.

Измерение координат источников радиоизлучения многопозиционной

пассивной разностно-дальномерной системой произвольной конфигурации

// Вестник Воронежского государственного технического университета.

2014. т.5. с.51-57.

39.И.В. Гринь, Р.А. Ершов, О.А. Морозов, В.Р. Фидельман. Оценка координат

источника радиоизлучения на основе решения линеаризованной системы

уравнений разностно-дальномерного метода // Известия высших учебных

заведений. Поволжский регион. Технические науки. Электроника,

измерительная и радиотехника. 2014. №4(32). с.71-81.

40.R.Sri Ram Kumar, M.Venkat, J.Ravi Kumar. Performance comparison of α-β-γ

filter and kalman filter for CA, NCA target tracking using bistatic range and

range rate measurments. IEEE International Conference on Communication and

Signal Processing ICCSP, 2014, p. 1462-1466

41.Michail N. Petsios, Emmanouil G. Alivizatos, Nikolaos K. Uzunoglu.

Manoeuvring target trackng using multiple bistatic range and range-rate

measurements // Signal Processing 87, 2007, p.665-686.

42.S. Chen, K. C. Ho. Achieving asymptotic efficient performance for squared range

and squared range difference localizations // IEEE Transactions on signal

processing, vol.61, №11, 2013, p.2836-2849

43.А.Ф. Котов, И.А. Сошников. Квазиоптимальная фильтрация вектора

состояния цели разностно–дальномерной РЛС. Сборник трудов НТК

МИРЭА 54. Часть 3. Технические науки, М.: МИРЭА, 2005

44.В. Б. Гребенников, А. Ф. Котов, И. А. Сошников. Пеленгация движущейся

цели двухбазовой угломерной двухпозиционной РЛС // Сборник трудов НТК

МИРЭА 55. Часть 3. Технические науки, М.: МИРЭА, 2006

 173

45.А.Н. Королёв, А.Ф. Котов, И.А. Сошников. Квазиоптимальная фильтрация

вектора состояния малоподвижного летательного аппарата // Сборник трудов

НТК МИРЭА 56. Часть 2. Физико - математические науки, М.: МИРЭА, 2007

46.А.Ю. Богодаров, Ю.А. Зданович, А.Ф. Котов, П.В. Попонов.

Квазиоптимальная фильтрация вектора состояния цели в гиперболической

системе // VIII Всероссийская научно-техническая конференция

«Радиолокация и радиосвязь». Доклады. М., 2014 – с. 103-107

47.А.Н. Королёв, А.Ф. Котов, И.А. Сошников. Алгоритм фильтрации вектора

состояния объекта в разностно-доплеровской ПМРЛС // Сборник трудов

НТК МИРЭА 57. Часть 2. Физико - математические науки, М.: МИРЭА, 2008

48.Д.Л. Белорецкий, А.С. Васинкин, Ю.А. Зданович, А.Н. Королёв, А.Ф. Котов,

А.М. Кузнецов, И.А. Сошников, А.Ю. Унгер. Оптимизация обработки

сигналов в разностно-доплеровской пассивной многофункциональной

радиолокационной системе // Научный вестник МИРЭА, № 1(8), 2010, с. 4-

10

49.Я.О. Арешин, Д.Л. Белорецкий, А.С. Васинкин, А.Н. Володин, А.А.

Громович, Ю.А. Зданович, А.Н. Королёв, А.Ф. Котов, А.М. Кузнецов, И.А.

Сошников, А.А. Ткаченко, А.Ю. Унгер. Алгоритм определения координат

источников излучения в однопозиционной пассивной угломерной РЛС с

синтезируемой базой // Сборник трудов НТК МИРЭА 59. Часть 2. Физико -

математические науки, М.:МИРЭА, 2010

50.Skolnik M.I. a.o. Radar handbook. Third edition. USA, McGraw-Hill companies,

2008, 1352 p.

51.P. Swerling, “Maximum angular accuracy of a pulsed search radar,” Proc.IRE,

1956, Vol. 44, pp. 1146-1155.

52.П.А. Бакулев. Радиолокационные системы. Учебник для вузов. – М.:

Радиотехника, 2004, 320 с., ил.

53.Большаком В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П.

Радиогеодезические и электрооптические измерения: Учебник для вузов.-М.:

Недра, 1985. – 303 с. ил.

 174

54.Статистическая радиотехника. Тихонов В. И. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:

Радио и связь, 1982. – 624 с.

55.А.Ф. Котов, В.Б. Гребенников, А.Н. Королев. Статистические методы оценки

и фильтрации параметров сигналов на фоне помех: учебное пособие. М.:

МИРЭА, 1981 – 104 с.

 175

Приложение 1. Критический анализ алгоритма нелинейной фильтрации

Основой для данного алгоритма служит уравнение Байеса. При этом могут

быть использованы различные критерии. Для данного алгоритма используется

критерий максимума апостериорной вероятности. Помимо этого, алгоритм

использует гауссово приближение для описания плотностей вероятности и

марковские последовательности для описания модели поведения объекта

наблюдения и самого процесса фильтрации. Такие приближения дают возможность

найти логарифм функции правдоподобия (ЛФП) путем разложения его в ряд

Тейлора в точке максимума правдоподобия.

П.1.1 Формула Байеса и критерии нахождения оценок

Согласно теореме умножения вероятностей (теореме Байеса), вероятность,

того что передано сообщение 𝜆, а принят сигнал 𝑦 определяется совместным

распределением вероятности 𝑝(𝜆, 𝑦) или плотности вероятности 𝜔(𝜆, 𝑦) [54]:

𝑝(𝜆, 𝑦) = 𝑝(𝜆)𝑝(𝑦|𝜆) = 𝑝(𝑦)𝑝(𝜆|𝑦), (П.1.1)

𝜔(𝜆, 𝑦) = 𝜔(𝜆)𝑤(𝑦|𝜆) = 𝜔(𝑦)𝜔(𝜆|𝑦), (П.1.2)

где 𝑝(𝜆), 𝜔(𝜆) – априорные интегральная функция распределения вероятностей

(ИФРВ) и плотность вероятности того, что передано сообщение 𝜆; 𝑝(𝑦|𝜆) и 𝜔(𝑦|𝜆)

– условные ИФРВ и плотность вероятности того, что принят сигнал 𝑦 при условии,

что передано сообщение 𝜆; 𝑝(𝑦), 𝜔(𝑦) – ИФРВ и плотность вероятность того, что

принят сигнал 𝑦; 𝑝(𝜆|𝑦), 𝜔(𝜆|𝑦) – апостериорные ИФРВ и плотность вероятности,

того, что передано сообщение 𝜆 при условии что принят сигнал 𝑦. Так же отметим,

что сообщение 𝜆 и сигнал 𝑦 могут принимать различные формы в зависимости от

сферы применения. К примеру, в случае радиосистем координатометрии в качестве

𝜆 могут полагать координату наблюдения объекта, а в качестве принятого сигнала

𝑦 - отраженный от объекта наблюдения (ОН) сигнал.

Плотность вероятности 𝜔(𝑦) не зависит от 𝜆 и поэтому может быть

представлено константой С. Тогда из (П.1.2) следует:

 176

𝜔(𝜆|𝑦) = С𝜔(𝜆)𝑤(𝑦|𝜆), (П.1.3)

1

где С = .

𝜔(𝑦)

Выражение (П.1.3) может быть записано в форме:

𝜔𝑝𝑠 (𝜆) = С𝜔𝑝𝑟 (𝜆)𝐹(𝜆), (П.1.4)

где 𝜔𝑝𝑠 (𝜆) = 𝜔(𝜆|𝑦), 𝜔𝑝𝑟 (𝜆) = 𝜔(𝜆), 𝐹(𝜆) = 𝜔(𝑦|𝜆) – функция правдоподобия

(ФП), которая показывает насколько принятый сигнал правдоподобен сигналу 𝑦

содержащему переданное сообщение 𝜆.

Константа С может быть найдена из условия нормировки:

∞ ∞

∫ 𝜔𝑝𝑠 (𝜆)𝑑𝜆 = ∫ С𝜔𝑝𝑟 (𝜆)𝐹(𝜆)𝑑𝜆 = 1. (П.1.5)

−∞ −∞

Таким образом, для определения апостериорной плотности вероятности 𝜔𝑝𝑠

помимо априорной плотности вероятности 𝜔𝑝𝑟 (𝜆) необходимо знать функцию

правдоподобия 𝐹(𝜆).

Для нахождения оценки по выражению (П.1.4) могут быть применены

различные критерии. Рассмотрим некоторые их них [13]:

1. Критерий максимума апостериорной вероятности. Оценка находится таким

образом, чтобы удовлетворять выражению:

𝑑 𝜔𝑝𝑠 (𝜆)

| = 0. (П.1.6)

𝑑𝜆 ̂

𝜆=𝜆

2. Критерий максимального правдоподобия. Оценка находится таким образом,

чтобы удовлетворять выражению:

𝑑 𝐹(𝜆)

| = 0. (П.1.7)

𝑑𝜆 𝜆=𝜆̂

3. Критерий минимума апостериорной дисперсии. Оценка находится из

условия:

 177

2

𝜎𝜆2 = ∫ (𝜆 − 𝜆̂) 𝑝𝑝𝑠 (𝜆)𝑑𝜆. (П.1.8)

𝜆

Условие (П.1.8) приводит к оценке вида среднего значения (первого момента)

от плотности 𝑝𝑝𝑠 (𝜆):

𝜆̂ = ∫ 𝜆𝑝𝑝𝑠 (𝜆)𝑑𝜆. (П.1.9)

𝜆

Можно показать, что указанные критерии при определенных условиях

эквивалентны. Однако, следует помнить, что в общем случае они не равны.

Рассмотренные выше соотношения верны так же и для 𝑛-мерного сообщения

𝛬⃗ = [𝜆1 , 𝜆2 … 𝜆𝑛 ]𝑇 . В дальнейшем, будем обозначать однокомпонентное сообщение

𝜆, а многокомпонентное 𝛬⃗ (в некоторых задачах многокомпонентное сообщение

называют вектором состояния).

П.1.2 Гауссово приближение

Для формирования оценки из (П.1.4) в качестве моделей плотностей

вероятности может быть использован гауссовская плотность вероятности:

2

1 (𝜆 − 𝜆̂)

𝜔(𝜆) = 𝑒𝑥𝑝 (− ), (П.1.10)

𝜎𝜆 √2𝜋 2𝜎𝜆

где 𝜆̂ – среднее значение (математическое ожидание) 𝜆; 𝜎𝜆 – среднеквадратическое

отклонение (СКО) 𝜆.

В случае 𝑛-мерного сообщения 𝛬⃗ = [𝜆1 , 𝜆2 … 𝜆𝑛 ]𝑇 получаем,

соответствующую гауссову плотность:

1 1 𝑇

𝜔(𝛬⃗) = 𝑛 𝑒𝑥𝑝 (− (𝛬 − 𝛬) 𝐾𝜆−1 (𝛬⃗ − 𝛬⃗̂)),

⃗ ̂

⃗ (П.1.11)

(2𝜋)2 √|𝐾𝜆 | 2

где 𝛬⃗̂ – вектор средних значений (математических ожиданий), 𝐾𝜆 - ковариационная

матрица:

 178

𝐷𝜆1 𝐾12 … 𝐾1𝑗 … 𝐾1𝑛

𝐾12 𝐷𝜆2 … … … …

… … … … … …

𝐾𝜆 = . (П.1.12)

𝐾1𝑗 … … 𝐷𝜆𝑖 … …

… … … … … …

[𝐾1𝑛 … … … … 𝐷𝜆𝑛 ]

Запишем так же обратную матрицу 𝐾𝜆−1 :

𝛿𝜆1 𝜌12 … 𝜌1𝑗 … 𝜌1𝑛

𝜌12 𝛿𝜆2 … … … …

… … … … … …

𝐾𝜆−1 = . (П.1.13)

𝜌1𝑗 … … 𝛿𝜆𝑖 … …

… … … … … …

[𝜌1𝑛 … … … … 𝛿𝜆𝑛 ]

Поясним выражение в степени числа Эйлера в (П.1.11):

𝑛 𝑛

𝑇

̂ ̂

(𝛬⃗ − 𝛬⃗) 𝐾𝜆−1 (𝛬⃗ − 𝛬⃗) = ∑ ∑ 𝑘𝜆−1 (𝑖𝑗) (𝜆𝑖 − 𝜆̂𝑖 )(𝜆𝑗 − 𝜆̂𝑗 ), (П.1.14)

𝑖=1 𝑗=1

где 𝑘𝜆−1 (𝑖𝑗) – элементы матрицы 𝐾𝜆−1 .

В дальнейшем, нам так же понадобится логарифм гауссовой плотности и его

производные по параметрам 𝛬⃗. Для получения этих формул подставим (П.1.14) в

(П.1.11):

1

𝜔(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = 𝑛 ×

(2𝜋)2 √|𝐾𝜆 |

𝑛 𝑛 (П.1.15)

1

× exp (− ∑ ∑ 𝑘𝜆−1 (𝑖𝑗) (𝜆𝑖 − 𝜆̂𝑖 )(𝜆𝑗 − 𝜆̂𝑗 )).

2

𝑖=1 𝑗=1

Прологарифмируем (П.1.15):

𝑛 𝑛

1 1

ln 𝜔(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = ln 𝑛 − ∑ ∑ 𝑘𝜆−1 (𝑖𝑗) ×

(2𝜋) 2 √|𝐾𝜆 | 2 (П.1.16)

𝑖=1 𝑗=1

× (𝜆𝑖 − 𝜆̂𝑖 )(𝜆𝑗 − 𝜆̂𝑗 ).

Найдем производные от (П.1.16) по 𝜆𝑖 :

 179

𝑛

∂ln 𝜔(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 )

= −𝛿𝜆𝑖 (𝜆𝑖 − 𝜆̂𝑖 ) − ∑ 𝜌𝑖𝑗 (𝜆𝑗 − 𝜆̂𝑗 ). (П.1.17)

𝜕𝜆𝑖

𝑗≠𝑖,𝑗=1

Найдем вторые производные от (П.1.16) по 𝜆𝑖 :

∂2 ln 𝜔(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) −𝛿𝜆𝑖 , если 𝑖 = 𝑗,

={ (П.1.18)

𝜕𝜆𝑖 𝜕𝜆𝑗 −𝜌𝑖𝑗 , если 𝑖 ≠ 𝑗 .

Отметим, что производные выше второго порядка, будут равны 0.

П.1.3 Оценка максимальной апостериорной вероятности при гауссовом

приближении

Предположим, что требуется оценить 𝑛 параметров с помощью метода

максимальной апостериорной вероятности при гауссовом приближении. Для этого

запишем (П.1.4) для 𝑛 - мерного случая:

𝜔𝑝𝑠 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = С𝜔𝑝𝑟 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 )𝐹(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ). (П.1.19)

Строго говоря, каждый из членов (П.1.19) является гауссовым

распределением и может быть описан выражением (П.1.11) или (П.1.15).

Прологарифмируем (П.1.19):

ln 𝜔𝑝𝑠 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = ln С +

+ ln 𝜔𝑝𝑟 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) + ln 𝐹(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = (П.1.20)

= ln С + ln 𝜔𝑝𝑟 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) + 𝐹1 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ),

где 𝐹1 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = ln 𝐹(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) – логарифм функции правдоподобия

(ЛФП). Разложим ЛФП в виде ряда Тейлора в окрестности точки априорной оценки

(𝜆̂1 𝑝𝑟 , 𝜆̂2 𝑝𝑟 , … , 𝜆̂𝑛 𝑝𝑟 ), имея ввиду, что он представляет собой гауссово

распределение и все его производные выше второго порядка равны 0 (согласно

(П.1.16), (П.1.17), (П.1.18)):

𝐹1 (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) = 𝐹1 (𝜆̂1 𝑝𝑟 , 𝜆̂2 𝑝𝑟 , … , 𝜆̂𝑛 𝑝𝑟 ) + (П.1.21)

 180