Оценивание состояния мобильных объектов при наличии возмущений с использованием технологии канонизации матриц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Волков Василий Геннадьевич
Волков Василий Геннадьевич
кандидат наук
2024
- Специальность ВАК РФ00.00.00
- Количество страниц 242
Оглавление диссертации кандидат наук Волков Василий Геннадьевич
Введение
1 Проблемы и методы оценивания параметров и идентификации моделей движения мобильных объектов для решения задач управления и диагностики
1.1 Особенности проектирования систем управления движением
и диагностики мобильных объектов
1.2 Основные понятия теории оценивания, идентификации и редукции динамических систем
1.3 Анализ существующих методов оценивания, идентификации и редукции динамических систем для решения задач управления и диагностики
1.4 Цель и задачи диссертационного исследования
1.5 Выводы по главе
2 Разработка методов и алгоритмов канонизации матриц, идентификации и редукции моделей динамических систем
2.1 Применение матричных разложений для канонизации матриц
2.2 Применение метода канонизации матриц при решении задач структурной идентификации и сбалансированной редукции моделей динамических систем
2.3 Выводы по главе
3 Разработка методов и алгоритмов аналитического синтеза функциональных наблюдателей для решения задач управления и диагностики мобильных объектов
3.1 Аналитический синтез наблюдателей минимального порядка
3.2 Аналитический синтез оптимальных фильтров минимального порядка, подавляющих внешние возмущения
3.3 Аналитический синтез оптимальных фильтров минимального порядка, подавляющих начальные возмущения
3.4 Выводы по главе
4 Оптимальное оценивание параметров движения седельного автопоезда
4.1 Разработка математической модели движения автопоезда по криволинейной траектории
4.2 Разработка алгоритма оценивания углов увода осей и угла складывания автопоезда
4.3 Применение математической модели движения автопоезда по криволинейной траектории для синтеза алгоритма упреждающего управления
4.4 Выводы по главе
Заключение
Список литературы
Приложение A Листинги программ
A.1 Программа канонизации матриц на основе матричных разложений
A.2 Программа для идентификации и сбалансированной редукции линейной модели динамической системы на основе канонизации матрицы Ганкеля
A.3 Программы для синтеза НМП и ФМП, подавляющих внешние и начальные возмущения, на основе канонизации матриц
и решения ЛМН
A.4 Программная реализация алгоритма оценивания углов увода
осей и угла складывания автопоезда
Введение
Современными трендами развития многих отраслей производства являются постепенный переход к энерго- и ресурсосберегающим технологиям, значительная автоматизация и роботизация, а также обеспечение безопасности технических систем как для человека, так и для окружающей среды. Для этого во многих отраслях (сельское хозяйство, промышленность, транспорт и др.) происходит активное внедрение электронных систем управления и диагностики. Так, например, в авиастроении благодаря развитию вычислительной техники в целях автоматизации рутинного труда пилотов давно стали применяться программно-аппаратные комплексы, называемые автопилотами. Позже, в связи со значительным ростом производительности и быстродействия микроконтроллеров, повышением пропускной способности и надежности бортовых компьютерных сетей, электронные системы стали внедряться, в том числе и в автомобилестроении, например, для управления двигателями, что позволило значительно повысить их экологичность.
В настоящее время существенное развитие получило измерительное оборудование, в том числе датчики для измерения многих физических величин, системы оптической (радары, лидары, стереокамеры и др.), инерциальной (акселерометры, гироскопы и др.), а также спутниковой навигации. Кроме того, существенно возросли точность, быстродействие и другие показатели качества доступных для применения в инженерной практике исполнительных устройств. Все это обуславливает современную тенденцию к созданию сложных мехатронных и роботизированных систем, сочетающих в себе механические, электрические, гидравлические и др. компоненты. Достаточно широким классом таких систем являются мобильные объекты (МО), представляющие собой стационарные и нестационарные многосвязные динамические системы (ДС) с многими входами и многими выходами. К ним можно отнести многие типы транспортных средств (ТС): автомобильный транспорт, суда авиации, морские суда и т. д.
Сейчас в автомобилестроении активно развиваются системы активной помощи водителю высокого уровня автономности, вплоть до полной автоматизации. К таким системам можно отнести системы контроля полосы движения, адаптивного круиз-контроля (АКК), помощи при торможении и т. д.
При управлении подобными системами критически важным для системы автоматического управления (САУ) аспектом является наличие как можно более полной информации о текущем состоянии объекта управления (ОУ) и действующих на него внешних возмущениях. Значительная часть необходимой информации может быть получена с помощью измерительного оборудования. Однако, достаточно часто, ввиду наличия у ОУ большого количества переменных состояния, их неясного физического смысла, дороговизны и инерционности измерительного оборудования, а также наличия шумов, могут возникать ситуации, когда полный вектор переменных состояния недоступен непосредственному измерению или его измерение существенно осложнено. В таких ситуациях часто применяются так называемые наблюдатели состояния (наблюдатели).
Наблюдатель — это алгоритм, ДС, состояние которой с течением времени стремится к истинному состоянию ОУ. В зависимости от порядка ДС выделяют наблюдатели полного порядка (НПП) (порядок наблюдателя равен порядку объекта), редуцированные наблюдатели (РН) (порядок наблюдателя меньше порядка объекта) и наблюдатели минимального порядка (НМП) или так называемые функциональные наблюдатели (ФН). Порядок наблюдателя напрямую связан с вычислительной сложностью получаемого алгоритма управления и поэтому, ввиду ограниченности вычислительных ресурсов бортовых микроконтроллеров, наряду с прочими является достаточно важным показателем качества САУ. При этом известно, что для многосвязных систем с многими входами и многими выходами (М1МЮ-систем) и большим количеством переменных состояния порядок ФН может оказываться значительно меньше порядка наблюдателей иных типов.
Проблема оценки состояния ДС по известным входным и выходным сигналам впервые была поднята в конце 50-х годов. Разработке теории и методов аналитического синтеза наблюдателей было посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых. Фундаментальные основы теории наблюдения, такие как критерий наблюдаемости ДС, теорема о разделении, понятия фильтра Калмана, НПП, РН и т. п. сформулированы в работах Р. Е. Калмана, Д. Г. Люенбергера, Б. А. Франсиса, В. М. Вонама, Дж. С. Дой-ла, К. Астрома, Дж. О'Райли, Н. Т. Кузовкова, С. А. Красновой, В. А. Уткина и др.
В дальнейшем для еще большего снижения порядка наблюдателя было введено понятие индекса наблюдаемости и разработан ФН, осуществляющий оценку не самого вектора переменных состояния, а только их некоторой линейной комбинации. Теория ФН и методы их синтеза рассматривались в работах Д. Г. Люенбергера, Ч.-Ч. Тсуи, Н. Т. Кузовкова, С. К. Коровина, А. В. Ильина, В. В. Фомичева и др.
Позже методология синтеза наблюдателей стала обогащаться методами современной теории автоматического управления (ТАУ). Так, в работах Б. Р. Андриевского, И. Б. Фуртата, Б. Т. Поляка, П. С. Щербакова, Д. В. Баландина, М. М. Когана, С. А. Красновой, В. А. Уткина, Х. Тринха, Т. Фернандо и др. для синтеза наблюдателей применяются методы Н2 и Нж, Г0-оптимального и робастного управления, методы каскадного синтеза, аппарат линейных матричных неравенств (ЛМН) и т. п. Однако следует отметить, что ДС, получаемые этими методами в качестве решения задач управления и наблюдения, достаточно часто имеют высокий порядок и большие по модулю и различающиеся на порядки коэффициенты. Кроме того, как правило, реальные ОУ являются нелинейными или линейными нестационарными системами, и для них бывает достаточно сложно разработать адекватную, обладающую приемлемой точностью математическую модель (ММ). Все это приводит к значительным трудностям при проектировании САУ, как на этапах анализа системы и синтеза для нее законов управления и наблюдения, так и на этапе ее практической реализации на микроконтроллере.
В качестве источников возможных путей решения описанных проблем можно отметить такие направления как структурная идентификация и редукция ДС. В рамках структурной идентификации становится возможным восстановить ММ ОУ по известным входным сигналам или внешним возмущениям и выходным сигналам системы. Методы редукции ДС позволяют понизить порядок модели системы (ОУ, алгоритма управления или наблюдения), сохранив при этом исходное количество входов и выходов, а также основные свойства системы. Структурной идентификации и редукции ДС посвящены работы многих авторов, среди них Б. Мур, К. Виллкокс, Дж. Пе-раире, Р. В. Фроинд, Р. С. Паппа, К. В. Роули, Дж.-Н. Жуанг, Н. С. Райбман, Я. З. Цыпкин, Н. Е. Зубов, Л. А. Растригин, Н. Е. Маджаров и др.
В настоящее время активно развивается новое направление — теория
вложения систем, основывающаяся на анализе алгебраических особенностей оператора системы и позволяющая синтезировать полный класс решений задачи управления или наблюдения. Для анализа этих алгебраических особенностей систем разработана технология канонизации матриц, которая позволяет строить полный класс решений любых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): переопределенных, недоопределенных, вырожденных или плохо обусловленных. Основные результаты по теории вложения систем, канонизации матриц и их приложению к задачам управления и наблюдения получены В. Н. Буковым, В. Н. Рябченко, А. М. Бронниковым, Н. И. Сельвесюком, Е. Ю. Зыбиным, С. В. Горюновым, В. В. Косьянчуком, А. З. Асановым, Д. Н. Демьяновым и др.
Несмотря на значительные успехи теории вложения систем и канонизации матриц, недостаточно проработанным остается вопрос получения канонизации. На данный момент известен лишь так называемый планшетный метод канонизации, главным достоинством которого является возможность работы с СЛАУ, имеющими дробно-рациональные коэффициенты, что позволяет решать задачи синтеза систем, сформулированные в форме матричных передаточных функций. В качестве основных недостатков планшетного метода можно отметить невозможность получения канонизаторов и делителей нуля с заданными свойствами, например, являющихся унитарными, а также теоретическую неустойчивость метода Гаусса, на котором он основан. В тоже время из вычислительной линейной алгебры известно, что наиболее эффективными являются алгоритмы решения СЛАУ, основанные на матричных разложениях. В частности, наиболее быстрыми методами для квадратных матриц являются те, что основаны на LU-разложении, для матриц произвольного размера — на QR-разложении, максимальная скорость может быть достигнута для эрмитовых положительно-определенных матриц при помощи разложения Холецкого, а для решения вырожденных и плохо обусловленных систем наиболее подходящими являются QR-, LQ- и сингулярное разложения. Основные результаты по вычислительной линейной алгебре известны из работ Ф. Р. Гантмахера, Л. Н. Трефетена, Д. Бау, Г. Стренга, Н. Дж. Хиг-гама, Дж. Голуба, Ч. Ф. Ван Лоана, Д. Юлы и др.
Таким образом, рассматриваемые в диссертационной работе вопросы разработки методов синтеза ФН, методов редукции и идентификации на ос-
нове канонизации матриц и решении ЛМН, а также методов канонизации матриц, основанных на матричных разложениях являются актуальными.
Объектом исследования являются мобильные объекты, представляющие собой стационарные и нестационарные многосвязные ДС с многими входами и многими выходами, описывающиеся ММ в виде систем дифференциальных или разностных уравнений (ДУ или РУ) с ненулевыми начальными условиями и внешними возмущениями, состояния и коэффициенты которых можно интерпретировать как параметры движения (например, положение, скорость, курсовой угол и т. п.). В данной работе под такими объектами понимаются сочлененные колесные ТС, в частности грузовые седельные автопоезда, однако, в целом, к таким объектам можно отнести и другие типы ТС.
Предметом исследования являются методы и алгоритмы оптимального оценивания параметров движения и структурной идентификации моделей МО.
В работе применяются следующие методы исследования: методы решения линейных матричных уравнений и неравенств (методы канонизации и разложения матриц), методы вычислительной линейной алгебры (методы анализа вычислительной сложности и обусловленности), методы оптимального и робастного управления и наблюдения, методы теории устойчивости, методы идентификации, методы теоретической и аналитической механики, математическое и компьютерное моделирование.
Цель исследования состоит в обеспечении теоретической устойчивости и снижении сложности алгоритмов оценивания параметров и структурной идентификации моделей движения мобильных объектов за счет разработки новых методов и алгоритмов проектирования наблюдателей и фильтров минимального порядка, основанных на технологии канонизации матриц.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1. Разработка устойчивых с вычислительной точки зрения методов и алгоритмов канонизации матриц, основанных на матричных разложениях и позволяющих осуществлять оценку обусловленности задачи канонизации матрицы без ее явного обращения.
2. Разработка методов и алгоритмов идентификации и сбалансированной редукции линейных моделей мобильных объектов на основе канонизации матрицы Ганкеля.
3. Разработка методов и алгоритмов аналитического синтеза НМП, Иж-и Го-оптимальных фильтров минимального порядка (ФМП) для линейных моделей мобильных объектов с ненулевыми начальными условиями, подверженных действию внешних возмущений, на основе канонизации матриц и решения ЛМН и синтез с их помощью НМП и ФМП для оценивания параметров движения седельного автопоезда.
4. Разработка математической и компьютерной модели плоского движения седельного автопоезда, допускающей линеаризацию, пригодной для решения задач анализа, синтеза и диагностики САУ.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Методы и алгоритмы канонизации матриц, основанные на LU-, QR-и LQ-разложениях, а также метод оценки обусловленности задачи канонизации матрицы без ее явного обращения (соответствует п. 4 и 5 паспорта научной специальности).
2. Метод и алгоритм идентификации и сбалансированной редукции линейных моделей мобильных объектов на основе канонизации матрицы Ганкеля (соответствует п. 6 и 7 паспорта научной специальности).
3. Методы и алгоритмы аналитического синтеза НМП, Иж- и Г0-опти-мальных ФМП для линейных моделей мобильных объектов с ненулевыми начальными условиями, подверженных действию внешних возмущений, на основе канонизации матриц и решения ЛМН (соответствует п. 4 и 5 паспорта научной специальности).
4. Математическая модель плоского движения седельного автопоезда, допускающая линеаризацию, пригодная для решения задач анализа, синтеза и диагностики САУ (соответствует п. 3 и 5 паспорта научной специальности).
Научная новизна результатов исследований заключается в следующем:
1. Разработанные методы канонизации матриц в отличие от существующих позволяют обеспечить теоретическую устойчивость вычислительного процесса, дают возможность использования свойства унитарности получаемых канонизаторов и делителей нуля для осуществления оценки обусловленности задачи канонизации без явного обращения исходной матрицы.
2. Разработанный метод идентификации и сбалансированной редукции моделей мобильных объектов в отличие от существующих позволяет получать аппроксимацию грамианов управляемости и наблюдаемости системы на основе канонизации матрицы Ганкеля, построенной по импульсной характеристике ДС.
3. Разработанные методы аналитического синтеза НМП, Нж- и Го-оптимальных ФМП в отличие от существующих позволяют вычислять матричные коэффициенты наблюдателей и фильтров, одновременно обеспечивающие асимптотическую устойчивость и требуемые показатели качества процесса оценивания (заданную скорость сходимости, уровень гашения внешних возмущений или ненулевых начальных условий) и независимость процесса оценивания от переменных состояния, не требуемых для оценки функционала.
4. Разработанная математическая модель плоского движения седельного автопоезда в отличие от существующих имеет достаточно невысокий порядок системы, может выражаться системой явных или неявных ДУ и допускает линеаризацию.
Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем:
1. Разработанный алгоритм канонизации матриц позволяет обеспечить устойчивость, точность и быстродействие вычислительного процесса синтеза НМП и ФМП для оценивания параметров движения мобильных объектов за счет использования теоретически устойчивых QR-, LQ- и сингулярного разложений в случаях, когда исходная матрица является плохо обусловленной, вырожденной или прямоугольной, и более быстрого LU-разложения в остальных случаях, при этом достигае-
мое ускорение по сравнению с планшетным методом канонизации пропорционально размерности задачи. В частности для матриц, имеющих до 100 строк и столбцов, может достигаться 2-3-кратное ускорение по сравнению с существующим планшетным методом.
2. Разработанный алгоритм идентификации и сбалансированной редукции моделей мобильных объектов позволяет упростить вычисления гра-мианов управляемости и наблюдаемости, необходимые для осуществления структурной идентификации и сбалансированной редукции, за счет использования свойства унитарности получаемых в процессе канонизации матрицы Ганкеля канонизаторов и делителей нуля.
3. Разработанные алгоритмы синтеза НМП, Иж- и Г0-оптимальных ФМП позволяют повысить точность и быстродействие вычислительного процесса за счет применения алгоритмов канонизации матриц на основе матричных разложений для осуществления необходимых линейных преобразований системы и метода внутренней точки для решения получаемых ЛМН. В соответствии с результатами моделирования максимальная относительная ошибка оценивания параметров движения седельного автопоезда для НМП и ФМП, синтезированных разработанными методами и алгоритмами, не превышает 13 %, а для ФМП — 11 %.
4. Разработанная математическая модель плоского движения седельного автопоезда в случае представления в виде системы неявных нелинейных ДУ является достаточно точной и позволяет решать задачи инженерного анализа САУ, а в случае представления в виде системы явных линейных ДУ является достаточно простой с вычислительной точки зрения и может быть легко реализована на микроконтроллерах как часть алгоритмов упреждающего управления или диагностики. Проведенный в работе анализ результатов компьютерного моделирования показал, что максимальная относительная ошибка линейной модели не превышает 15 %.
Результаты диссертационной работы в виде методик и алгоритмов внедрены в процессы проектирования в Научно-техническом центре ПАО «КА-
МАЗ» и в учебный процесс в Набережночелнинском институте ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».
Достоверность и обоснованность полученных результатов: методов, алгоритмов, моделей - обеспечивается применением апробированных научных методов, строгим доказательством теоретических положений и математическим моделированием с последующим анализом результатов на предмет качественной согласованности с предсказаниями теории движения автомобиля и результатами натурных испытаний автомобилей с близкими к моделируемому автопоезду параметрами.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Комплексный метод повышения устойчивости двухзвенного автопоезда при экстренном торможении2021 год, кандидат наук Скотников Глеб Игоревич
Совершенствование организации перевозок грузов автопоездами в горных условиях2015 год, кандидат наук Сурхаев Гамзат Магомедович
Повышение безопасности движения большегрузных колесных транспортных систем при перевозке крупногабаритных неделимых грузов2013 год, кандидат наук Тропин, Сергей Львович
Улучшение наблюдаемости параметров движения автомобиля в системах активной безопасности2022 год, кандидат наук Чаплыгин Антон Владимирович
Повышение транспортно-эксплуатационных качеств лесовозного автопоезда при движении на кривых1998 год, доктор технических наук Соколов, Геннадий Максимович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание состояния мобильных объектов при наличии возмущений с использованием технологии канонизации матриц»
Апробация работы
Основные результаты настоящей диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
• «Международная научно-техническая конференция «Автоматизация» ^шАШюСоп-2021)» (Сочи, «Омега Сириус», 5-11 сентября 2021 г.);
• «XIII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2019)» (Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 17-20 июня 2019 г.);
• XXI Международная научная конференция «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, Самарский государственный технический университет, 3-6 сентября 2019 г.);
• Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Интеллектуальные системы, управление и ме-хатроника—2016-2017» (Севастополь, Севастопольский государственный университет, 19-21 мая 2016 г., 18-20 сентября 2017 г.);
• Международная научно-техническая конференция «Инновационные машиностроительные технологии, оборудование и материалы — 20152016» (Казань, выставочный центр «Казанская ярмарка», 7-9 декабря 2016 г., 6-8 декабря 2017 г.);
• Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского федерального университета 2015-2016 года (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 10 апреля 2015, 2016 гг.);
• Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «VII-VIII, X Камские чтения» (Набережные Челны, Набережночелнинский институт Казанского (Приволжского) федерального университета, 24 апреля 2015 г., 22 апреля 2016 г., 23 ноября 2018 г.).
Публикации
Основные положения и результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 28 работах, включая 9 работ в изданиях, индексируемых в реферативных базах Scopus или Web of Science, 14 работ - в прочих научных изданиях, получено 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ. Из перечисленных работ 5 опубликованы в изданиях, входящих в Перечень ВАК РФ.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, 4 глав основного текста, заключения, библиографического списка из 131 наименований и 1 приложения. Основной материал диссертации изложен на 242 стр., содержит 37 рисунков, 8 таблиц, объем приложения 43 стр.
Во введении проиллюстрирована актуальность работы, приведены цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая значимость работы.
В первой главе рассматриваются основные МО в автомобилестроении, а также особенности проектирования для них электронных систем управления (ЭСУ) и диагностики. Приводятся примеры таких электронных систем и предъявляемых к ним технических требований.
Рассмотрены особенности управления и существующие подходы к математическому моделированию плоского движения седельного автопоезда. Проиллюстрирована важность динамической оценки таких кинематических параметров его движения, как углы увода колес и угол складывания автопоезда. Выявлено, что в качестве алгоритмов оценивания параметров движения МО, как правило, используются РН и фильтры. Показано, что часто более эффективным подходом может быть использование НМП и ФМП, что во многих случаях позволяет существенно снизить вычислительную сложность алгоритмов оценивания, тем самым облегчить их реализацию на микроконтроллерах.
Проанализированы существующие методы и алгоритмы синтеза НМП и ФМП. Выявлено, что наиболее перспективными методами вычисления их коэффициентов являются технология канонизации матриц и аппарат ЛМН. При этом показано, что на данный момент используемые в них вычислительные алгоритмы являются либо неэффективными, либо неустойчивыми с вычислительной точки зрения.
В результате проведенного анализа примеров МО в автомобилестроении, обзора подходов к разработке для них алгоритмов управления и диагностики, существующих методов и алгоритмов синтеза ФН, идентификации и минимальной реализации моделей МО, методов канонизации матриц сформулированы цель и задачи диссертационной работы.
Во второй главе рассматривается задача решения переопределенных, недоопределенных, вырожденных или плохо обусловленных СЛАУ с использованием технологии канонизации матриц для последующего применения в задачах управления и наблюдения. Предлагается модификация существующего алгоритма канонизации, основанная на применении матричных разложений. Проводится подробный анализ обусловленности задачи канонизации и предлагается метод ее оценки, основанный на вычислении норм матриц, получаемых в результате канонизации, и не требующий обращения исходной матрицы. Приводится пошаговый алгоритм канонизации матриц в самом общем случае, а также результаты его тестирования на большой выборке случайным образом сгенерированных матриц.
Далее разрабатывается метод структурной идентификации и сбалансированной редукции, использующий технологию канонизации матриц для аппроксимации грамианов управляемости и наблюдаемости, а также методы вычисления собственных векторов и собственных чисел для оценки сингулярных чисел Ганкеля, необходимых для сбалансированной редукции.
В третьей главе разрабатываются методы синтеза НМП и ФМП. Сначала выполняются необходимые линейные преобразования ММ ОУ с помощью технологии канонизации матриц с целью сведения задачи оценивания к задаче вычисления неизвестной матрицы наблюдения Ь и матричных коэффициентов синтезируемых наблюдателей и фильтров. Далее осуществляется анализ процесса оценивания на основе второго метода Ляпунова и формулируются ЛМН, решая которые можно вычислить матрицу наблюдения
синтезируемого наблюдателя или фильтра. Формулируются пошаговые алгоритмы синтеза НМП, Нж- и Г0-оптимальных ФМП. Затем рассматриваются вопросы обеспечения устойчивости, а также выполнения дополнительных требований разработчика к показателям качества процесса оценивания (заданной скорости сходимости, уровню гашения внешних возмущений или ненулевых начальных условий).
В четвертой главе с помощью разработанных методов и алгоритмов решается задача оценивания углов увода колес (углы между траекториями движения автомобиля-тягача или полуприцепа и плоскостями вращения их колес) и угла складывания автопоезда (угол, образуемый на пересечении продольных осей автомобиля-тягача (далее — тягача) и полуприцепа). Для этого разрабатывается ММ плоского движения седельного автопоезда, рассматриваются возможности ее представления в виде систем явных или неявных ДУ, а также ее линеаризации, проводится ее верификация и валидация. Далее излагаются результаты синтеза ФН для оценивания углов увода осей тягача и полуприцепа и угла складывания автопоезда. Приводятся результаты моделирования, подтверждающие корректность разработанных алгоритмов. Наконец, в конце главы приводится пример использования модели при решении задачи упреждающего управления плоским движением седельного автопоезда.
В приложениях приведены тексты программ, реализующих методы канонизации матриц на основе матричных разложений, методы синтеза ФН на основе канонизации матриц и решения ЛМН, метод идентификации и сбалансированной редукции линейной модели ДС на основе канонизации матрицы Ганкеля, методы синтеза НМП и оптимальных ФМП, подавляющих внешние и начальные возмущения, для линейных динамических систем, а также программы для вычисления опорных состояний, управляющих воздействий и матриц коэффициентов модели в пространстве состояний автопоезда для упреждающего управления.
Глава 1 Проблемы и методы оценивания параметров и идентификации моделей движения мобильных объектов для решения задач управления и диагностики
1.1 Особенности проектирования систем управления движением и диагностики мобильных объектов
1.1.1 Типовые мобильные объекты и их системы управления и диагностики в автомобилестроении
Одним из основных направлений развития автомобилестроения является улучшение экономических и потребительских свойств, а также повышение безопасности производимых ТС [1; 2]. Под экономическими свойствами ТС в первую очередь понимается такой комплексный показатель, как общая стоимость перевозки людей, грузов или оборудования, установленного на нем. В свою очередь, он складывается из показателей расхода топлива (определяемого в основном характеристиками двигателя и трансмиссии), совершаемой полезной работы (массы перевозимых людей, грузов или оборудования, установленного на нем), а также времени движения по маршруту [3; 4]. Особенно важными данные свойства являются для грузовых автомобилей, в том числе автопоездов, а также автобусов. К потребительским свойствам ТС обычно относят те свойства, которые прямо или косвенно характеризуют воспринимаемое водителем и пассажирами качество вождения. К таким свойствам, как правило, относятся плавность хода, тяговая и тормозная динамичность, управляемость и устойчивость ТС. Часто с точки зрения пользователей легковых автомобилей данная группа свойств является определяющей. Свойство безопасности ТС заключается в минимизации риска и ущерба от причинения возможного вреда жизни, здоровью и имуществу водителя, пассажиров и других участников дорожного движения до приемлемого уровня. Следует отметить, что в отличие от предыдущих свойств, ключевые требования к безопасности, как правило, определяются законодательством [1].
С развитием вычислительной техники и мехатроники: ЭВМ, микроконтроллеров, бортовых компьютерных сетей, исполнительных механизмов, датчиков для измерения многих физических величин — для улучшения всех
указанных выше свойств ТС стали активно применяться достаточно сложные бортовые ЭСУ [5]. К таким системам можно отнести ЭСУ двигателями внутреннего сгорания, автоматическими и роботизированными коробками переключения передач, гидравлическими и пневматическими подвесками ТС и т. п. Их алгоритмы управления, как правило, являются сложными, многосвязными. Кроме того, с развитием систем оптической (радары, лида-ры, стереокамеры и др.), инерциальной (акселерометры, гироскопы и др.), а также спутниковой навигации, стали развиваться системы помощи водителю высокого уровня автономности, вплоть до полной автоматизации. Примерами таких систем являются системы избежания столкновения, контроля полосы движения, АКК, помощи при торможении, при парковке и т. п. Все это позволяет рассматривать современные ТС как МО, представляющие собой стационарные и нестационарные многосвязные ДС с многими входами и многими выходами.
Для описания МО, как правило, разрабатываются ММ в виде систем ДУ или РУ с ненулевыми начальными условиями и внешними возмущениями, состояния и коэффициенты которых можно интерпретировать как параметры движения (например, положение, скорость, курсовой угол и т. п.). Одной из наиболее удобных и распространенных форм представления таких моделей является модель в пространстве состояний.
Для решения задач инженерного анализа, разработки и отладки алгоритмов управления и диагностики, как правило, используется ММ поведения МО, которая обычно является непрерывной ДС и формулируется в виде системы ДУ. Общее описание непрерывной ДС в пространстве состояний имеет следующий вид [6]:
х(ь) = ! {х(г),п(г),£),
у(ь) = д(х(г),и(г),г), '
где х(Ь) Е — вектор состояния; и(Ь) Е Кт — вектор входных сигналов; у (Ь) Е — вектор выходных сигналов; г — порядок системы; т — количество входных сигналов; п — количество выходных сигналов; Ь — моменты непрерывного времени.
В случае, если непрерывная ДС является линейной нестационарной, то
вместо (1.1) ее описание в пространстве состояний имеет следующий вид:
х(г) = Л(х(г),и(г),г)х(г) + в (х(г),и(г),г)и(г), у (г) = с (х(г),и(г),г)х(г) + п(х(г),и(г),г)и(г),
где Л(х(г),и(г),г) е Кгхг — матрица динамики; в(х(г),и(г),г) е Кгхт — матрица входных сигналов; С(х(г),и(г),£) е Кпхг — матрица выходных сигналов; Б{х(г), и(г), г) е Кпхт — матрица прямой связи.
В случае, если непрерывная ДС является линейной стационарной, то ее описание в пространстве состояний имеет следующий вид:
х(г) = Лх(г) + ви(г), (13)
у(г) = Сх(г) + Би(г). '
Достаточно часто на исследуемую ДС действуют внешние возмущения и шумы измерения, а также ненулевые начальные условия. Для учета данных факторов модель в пространстве состояний вида (1.3), как правило, модифицируют, добавляя в нее соответствующие слагаемые. Тогда описание ДС принимает следующий вид:
х(г) = Лх(г) + ви(г) + Fw(t),
х(0) = х0, (1.4)
у (г) = Сх(г) + Би(г),
где w(t) е К1 — вектор внешних возмущений; F е Кгх1 — матрица внешних возмущений; х0 е — вектор начальных условий.
ЭСУ движением МО, как правило, являются сложными, многорежимными программно-аппаратными комплексами [7; 8]. Разные режимы системы представляют собой отдельные алгоритмы управления и диагностики МО и являются дискретными ДС, описывающимися в виде систем РУ [9; 10].
Общее описание дискретной ДС в пространстве состояний имеет следующий вид:
хк+1 = 1{хк ,ик ,к), (15)
Ук = д{хк ,ик ,к),
где хк е — вектор состояния; ик е Кт — вектор входных сигналов;
yk E Rn — вектор выходных сигналов; k — отсчеты дискретного времени.
В случае, если дискретная ДС является линейной нестационарной, то вместо (1.5) ее описание в пространстве состояний имеет следующий вид:
Xk+i = A(xk ,uk ,k)xk + B(xk ,uk ,k)uk, Ук = C(xk ,uk ,k)xk + D(xk ,uk, k)uk,
где A(xk,uk, k) E Rrxr — матрица динамики; B(xk,uk, k) E Rrxm — матрица входных сигналов; C(xk,uk, k) E Rnxr — матрица выходных сигналов; D(xk, uk, k) E Rnxm — матрица прямой связи.
В случае, если дискретная ДС является линейной стационарной, то ее описание в пространстве состояний имеет следующий вид:
xk+1 = Axk + Buk, (1 7)
yk = Cxk + Duk.
Обозначениями векторов сигналов системы в виде x(t) и xk подчеркивается зависимость от времени. Далее в целях упрощения они обозначаются просто x.
Таким образом, под МО автомобилестроения понимаются ТС: легковые и грузовые автомобили, в том числе автопоезда, автобусы и т. д. Основным способом описания ММ, а также алгоритмов управления и диагностики МО являются модели в пространстве состояний с ненулевыми начальными условиями и внешними возмущениями.
1.1.2 Основные требования к системам управления и диагностики
мобильных объектов
В целях улучшения экономических и потребительских свойств, а также обеспечения безопасности ТС инженеры постоянно совершенствуют и разрабатывают новые ЭСУ и системы помощи водителю ТС [11]. Как правило, такие системы являются цифровыми (алгоритмы работы системы выполняются на микроконтроллере), многорежимными (система управления в зависимости от внешних условий использует разные программы и законы управления) и распределенными (отдельные программные модули систем выполняются на разных ЭВМ и микроконтроллерах, информация между ними передается по бортовой компьютерной сети), поэтому к современным ЭСУ и
системам помощи водителю ТС предъявляются достаточно жесткие требования. В качестве примеров электронных систем МО с достаточно жесткими требованиями можно привести систему управления двойным сцеплением двухпоточной роботизированной коробки переключения передач и такую систему помощи водителю, как АКК [12—16].
При управлении двойным сцеплением в процессе переключения передач необходимо, не разрывая потока мощности от двигателя к колесам ТС, плавно выключить первое сцепление и включить второе. В этом процессе выделяют две основные фазы: фазу крутящего момента и фазу инерции.
На фазе крутящего момента важно обеспечить точное изменение положения выключаемого сцепления от точки схватывания (крутящий момент, вырабатываемый двигателем, передается полностью) до точки касания (крутящий момент, вырабатываемый двигателем, не передается), а включаемого сцепления — от точки касания до точки, соответствующей точке схватывания выключаемого сцепления. При этом важно не допустить циркуляции передаваемой мощности из-за слишком раннего замыкания включаемого сцепления и проскальзывания выключаемого сцепления до его полного размыкания. Также важно, чтобы сцепления изменяли свое положение монотонно, т. е. выключаемое сцепление в процессе переключения не смыкалось обратно, а включаемое сцепление не размыкалось.
На инерционной фазе осуществляется синхронизация частоты вращения коленчатого вала двигателя с входным валом включаемого сцепления. При этом управление процессом осуществляется за счет изменения крутящего момента, вырабатываемого двигателем, а передаваемый крутящий момент включаемого сцепления постепенно увеличивается.
Для реализации указанных возможностей в системе используется обратная связь по состоянию исполнительного механизма (чаще всего это давление в цилиндре гидравлического исполнительного механизма или положение штока поршня в пневматическом исполнительном механизме). Кроме того, как правило, на систему действуют внешние возмущения — точно неизвестный крутящий момент, передаваемый сцеплением, поскольку характеристика, связывающая с ним управляемую величину в исполнительном механизме, обычно подбирается разработчиками эмпирически.
Назначением системы АКК является автоматизация процесса управле-
ния скоростью движения и дистанцией до впереди идущего ТС [17—19]. Большинство современных систем допускают возможность стабилизации скорости ТС в достаточно широком диапазоне (как правило, от 30 до 90 км/ч), позволяют вручную изменять уставную максимальную скорость непосредственно в процессе работы системы и автоматически изменяют скорость в случае изменения скорости впереди идущего ТС или появления впереди нового участника движения. При этом ясно, что при управлении скоростью движения и дистанцией до впереди идущего ТС практически не допускается перерегулирование или колебательность переходного процесса, а ввиду возможности возникновения достаточно сильных, непредсказуемых внешних возмущений (например, внезапное появление другого ТС, движущегося с другой скоростью) требуется быстрая реакция на резкие изменения уставки по скорости.
В АКК для определения скорости впереди идущего ТС и дистанции до него часто используются радары, лидары и стереокамеры. Каждая из указанных технологий подвержена значительному влиянию погодных условий (дождя, снега, тумана), а также обладает конструктивными и/или экономическими ограничениями (ограничениями на стереобазу, диаметр приемника, стоимость оборудования). Данные обстоятельства требуют применения алгоритмов слияния данных с датчиков и независимого оценивания параметров движения.
В соответствии с методологией системного анализа, современными методологиями проектирования электронных систем и парадигмами разработки для них программного обеспечения (модельно-ориентированным проектированием, У-моделью и т. п.) требования к электронной системе формируются в виде определений функций, которые она должна реализовывать [20]. При этом желательно, чтобы определение каждой функции содержало в себе описание условий, в которых она должна реализовываться, и количественные критерии правильности ее работы. Такой подход к формированию требований позволяет каскадно связать высокоуровневые требования заказчика и других заинтересованных сторон с известными показателями качества САУ.
Так, исходя из приведенного выше принципа, в качестве примера в системе управления двойным сцеплением можно выделить следующие функ-
ции: открытие сцепления, закрытие сцепления, передача сцеплением определенного крутящего момента (схватывания) и т. д. В качестве критериев правильности работы системы управления двойным сцеплением можно предложить плавность процесса переключения (обычно измеряется по производной ускорения ТС), отсутствие замедления в процессе переключения, соответствие крутящего момента, передаваемого сцеплением, крутящему моменту, запрашиваемому водителем.
В случае АКК можно выделить функции стабилизации и удержания уставной скорости, изменения уставной скорости, вмешательства водителя в процесс управления (например, для обгона), стабилизации и удержания уставной дистанции и т. д. В качестве критериев правильности работы АКК можно предложить ошибку по скорости движения, по удерживаемой дистанции до впереди идущего ТС, перерегулирование по скорости и по дистанции и т. п.
С учетом указанных особенностей функционирования электронных систем к одному из важнейших показателей качества систем управления и диагностики МО можно отнести ошибку оценивания динамических параметров движения, опосредованно влияющую на такие показатели как статическая ошибка, перерегулирование, время нарастания и время переходного процесса.
1.1.3 Особенности управления движением седельного автопоезда
В настоящее время автопоезда активно применяются в коммерческих грузоперевозках, что связано с их высокой экономической эффективностью. Применение автопоездов различного состава, например, седельных тягачей с полуприцепами и тягачей с прицепами на жесткой сцепке, является одним из наиболее перспективных подходов к перевозке крупногабаритных и тяжелых грузов. По экспертным оценкам их применение позволяет снизить себестоимость транспортировки грузов на средних и больших дистанциях на 30% [21].
Однако управление автопоездом является достаточно сложной задачей, требующей учета как динамики тягача, так и полуприцепа, а также их ограниченной маневренности. Рассматривая управление автопоездом, необходимо отметить, что в случае наличия одного или более прицепов/полуприцепов
возникают дополнительные сложности, связанные с необходимостью учета их взаимовлияния, иными словами, с многосвязностью ОУ.
В настоящее время разработано и описано в специальной литературе достаточно большое количество моделей, используемых для изучения различных процессов, протекающих при движении автомобиля [22—27]. Однако большая их часть предназначена для исследования двухосных или трехосных (реже — многоосных) ТС. При этом отдельной задачей, весьма важной и сложной, является изучение особенностей движения сочлененных ТС — автомобилей с одним или несколькими прицепами/полуприцепами (автопоездов).
Известно [28], что при прохождении поворотов автопоезда, как правило, обладают значительно большей шириной динамического коридора по сравнению с одиночными автомобилями тех же габаритных размеров. Также вследствие действия внешних возмущений могут возникать существенные поперечные угловые колебания (так называемое «виляние») полуприцепа, что дополнительно увеличивает эту ширину. Более того, при движении на больших скоростях вышеописанные колебания могут оказаться неустранимыми посредством изменения угла поворота управляемых колес без снижения скорости. Кроме того, следует отметить, что центр масс (ЦМ) автопоезда, как правило, расположен выше, чем у одиночных ТС, что повышает риск его опрокидывания при прохождении поворотов. Все это не только накладывает существенные ограничения на минимальный радиус поворотов, но и требует более точного планирования траектории и скорости движения при их прохождении.
Значительную часть времени автопоезда движутся по междугородним трассам и высокоскоростным автомагистралям, на отдельных участках сочетающих высокую извилистость, малый радиус кривизны траектории и неоднородность дорожного покрытия. Известно, что перечисленные факторы существенно сказываются на управляемости и устойчивости ТС, в особенности многозвенных [1; 3; 4]. В связи с данным обстоятельством особенно острой проблемой становится разработка эффективных систем активной помощи водителю для автопоездов, повышающих их курсовую устойчивость и управляемость, а также полностью автономных автопоездов [29].
Различные подходы к моделированию движения автопоездов предло-
жены в [30—34]. Основными недостатками приведенных подходов и разработанных на их основе моделей являются их большая размерность, существенная нелинейность, а также сложности, возникающие при учете сил реакции в седельно-сцепном устройстве (ССУ). При этом для разработки САУ необходима ММ, достаточно точно описывающая поведение автопоезда и, тем самым, позволяющая осуществлять инженерный анализ системы (например, проводить анализ на управляемость и устойчивость), однако при этом достаточно простая, линейная или допускающая линеаризацию, поскольку широко применяемые на практике методы исследования и синтеза регуляторов в основном ориентированы на линейные ДС [6; 9; 10; 35; 36]. Более того, подобные модели, как правило, требуют значительно меньше вычислительных ресурсов, и для их реализации хорошо подходят простые явные схемы численного интегрирования. Это обстоятельство особенно важно в тех случаях, когда микроконтроллеры, используемые для управления движением автопоезда, имеют сильно ограниченный объем памяти и быстродействие [21; 37].
Как правило, САУ МО для своего функционирования требуют наличия как можно более полной информации о текущих кинематических параметрах движения (переменных состояния), таких как боковая составляющая вектора скорости, угловая скорость и угол складывания автопоезда. Не все из них бывает целесообразно получать путем непосредственного измерения в силу наличия большого количество переменных состояния, их неясного физического смысла, дороговизны и инерционности измерительного оборудования, наличия значительных помех в данных измерений [38—40]. В случае автопоезда примерами таких параметров движения могут служить угол складывания (угол, образуемый на пересечении продольных осей тягача и полуприцепа), углы увода (углы между траекториями движения тягача и полуприцепа, и плоскостями вращения их колес), боковое смещение автопоезда относительно середины дорожной полосы и т. п. [41—44].
Похожие диссертационные работы по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Методы повышения точности регулирования в системах с разрывными управлениями2015 год, кандидат наук Кочетков, Сергей Александрович
Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем2003 год, доктор технических наук Краснова, Светлана Анатольевна
Идентификационные методы для синтеза адаптивных наблюдателей нелинейных систем2016 год, кандидат наук Арановский, Станислав Владимирович
Декомпозиционные методы синтеза многофункциональных следящих систем в условиях неполной информации2019 год, доктор наук Уткин Антон Викторович
Декомпозиционные методы синтеза наблюдателей состояния1999 год, кандидат технических наук Краснова, Светлана Анатольевна
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волков Василий Геннадьевич, 2024 год
Список литературы
1. Jacobson B. Vehicle dynamics. — Chalmers University of Technology, 2016.
2. Rajamani R Vehicle dynamics and control. — Springer Science & Business Media, 2011.
3. ТарасикВ. П. Теория движения автомобиля. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — С. 478.
4. Смирнов Г. А. Теория движения колесных машин. — М.: Машиностроение, 1990.— С. 351.
5. Bonnick A. Automotive Computer Controlled Systems. Diagnostic Tools and Techniques. — Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001. — С. 272.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления / К. А. Пупков [и др.] // / под ред. К. А. Пупков, Н. Д. Егупов. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — С. 616.
7. Cheng H. Autonomous intelligent vehicles: theory, algorithms, and implementation. — Springer Science & Business Media, 2011.
8. Vlacic L., Parent M., Harashima F. Intelligent vehicle technologies. — Elsevier, 2001.
9. Astrom K. J., WittenmarkB. Computer-controlled systems: theory and design. — Courier Corporation, 2013.
10. Astrom K. J., Murray R. M. Feedback systems. — Princeton university press, 2010.
11. Белоусов Б. Н., Наумов С. В., И. К. Т. Тенденции развития автомобильных интеллектуальных систем управления // Автомобильная промышленность. — 2015. — № 1. — С. 33—36.
12. Kulkarni M., Shim T., Zhang Y. Shift dynamics and control of dual-clutch transmissions // Mechanism and machine theory. — 2007. — Т. 42, № 2. — С. 168—182.
13. Galvagno E., Velardocchia M., Vigliani A. Dynamic and kinematic model of a dual clutch transmission // Mechanism and machine theory. — 2011. — Т. 46, № 6. — С. 794—805.
14. Shift control strategy and experimental validation for dry dual clutch transmissions / Y. Liu [и др.] // Mechanism and Machine Theory. — 2014. — Т. 75. — С. 41—53.
15. Oh J. J., Choi S. B., Kim J. Driveline modeling and estimation of individual clutch torque during gear shifts for dual clutch transmission // Mechatronics. — 2014. — Т. 24, №5.
16. A Systematic Model for Dynamics and Control of Dual Clutch Transmissions / Y. Liu [и др.] // Journal of Mechanical Design. — 2009. — Т. 131, № 6.
17. Xiao L., Gao F. A comprehensive review of the development of adaptive cruise control systems // Vehicle system dynamics. — 2010. — Т. 48, № 10. — С. 1167—1192.
18. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. Синтез и нейросетевая реализация ПИ регулятора адаптивного круиз-контроля грузового автомобиля // Ме-хатроника, автоматизация, управление. — 2018. — Т. 19, № 11. — С. 707—713.
19. Волков В. Г. Синтез и аппроксимация законов управления адаптивного круиз-контроля грузового автомобиля // Интеллектуальные системы, управление и мехатроника - 2017: сборник трудов конференции. — Севастополь: Изд-во СевГУ, 2017. — С. 190—194.
20. Kapurch S. J. NASA systems engineering handbook. — Diane Publishing, 2010.
21. Автомобильный справочник BOSCH. — 2004.
22. Algebraic nonlinear estimation and flatness-based lateral/longitudinal control for automotive vehicles / L. Menhour [и др.] // 2011 14th international IEEE conference on Intelligent transportation systems (ITSC). — 2011. — С. 463—468.
23. Attia R., Orjuela R., Basset M. Combined longitudinal and lateral control for automated vehicle guidance // Vehicle System Dynamics. — 2014. — Т. 52, № 2. — С. 261—279.
24. Automatic lateral control for unmanned vehicles via genetic algorithms / E. Onieva [и др.] // Applied Soft Computing. — 2011. — Т. 11, № 1. — С. 1303—1309.
25. Snider J. M. Automatic steering methods for autonomous automobile path tracking : дис. ... маг. / Snider J. M. — Robotics Institute, Pittsburgh, PA, 2009.
26. Волков В. Г. Сравнительный анализ алгоритмов следования за полосой при движении автомобиля в условиях неполноты и неточности сведений о его параметрах // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского федерального университета 2015 года: сборник статей. —Казань: Казан. ун-т, 2015. — С. 26—29.
27. Волков В. Г. Сравнительный анализ эффективности нечёткого и субоптимального регуляторов в задаче обеспечения курсовой устойчивости автомобиля // Всероссийская научно-практическая конференция «VII Камские чтения»: сборник докладов. — Набережные Челны: Из-дательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2015. —С. 77—80.
28. Афанасьев Л. Л. Конструктивная безопасность автомобиля. — Рипол Классик, 1983.
29. Галимова Г. Р., Волков В. Г., Ахметзянов И. З. Упреждающее многосвязное управление движением автопоезда по криволинейной траектории // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2020. — Т. 21, № 11. —С. 630—638.
30. Новожилов И. В. Методы формирования приближённых математических моделей движения // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — № 7. — С. 5—9.
31. Горелов В. А., А. Т. С. Математическая модель криволинейного движения автопоезда по недеформируемому опорному основанию //Ж. автомобильных инженеров. — 2011. — № 5. — С. 18—22.
32. Gagnon I., RichardM. J., Dore G. A multibody dynamics model to assess the impact of road unevenness on the efficiency of a semitrailer truck //
International Journal of Vehicle Systems Modelling and Testing. — 2015. — Т. 10, № 1. —С. 1—28.
33. Liu Z., Hu K., Chung K.-W. Nonlinear analysis of a closed-loop tractor-semitrailer vehicle system with time delay // Mechanical Systems and Signal Processing. —2016. — Т. 76/77. — С. 696—711.
34. Павлов И. С. Математическое моделирование пространственного движения автомобиля : дис. ... канд. / Павлов И. С. — МГУ им. М.В. Ломоносова, 1998.
35. Robust control design for active driver assistance systems. Т. 10 / P. Gaspar [и др.]. — Springer, DOI, 2016. — С. 293.
36. Kwakernaak H. Robust control and -optimization — tutorial paper // Automatica. — 1993. — Т. 29, № 2. — С. 255—273.
37. W. R. Understanding automotive electronics: an engineering perspective. — Butterworth-heinemann, 2017. — С. 695.
38. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. К вопросу о построении оптимальных фильтров пониженного порядка // XIII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2019: сборник трудов конференции. — Москва: ИПУ РАН, 2019. — С. 839—843.
39. Volkov V. G., Dem'yanov D. N. Functional observer design using linear matrix inequalities // Optoelectron., Instrum. Data Process. — 2016. — Vol. 52. — P. 334-340.
40. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. Синтез функциональных наблюдателей с использованием линейных матричных неравенств // Автометрия. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 21—29.
41. Volkov V. G., Demyanov D. N.Designing physically realizable state observer for estimating the kinematic parameters of the road train // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. Vol. 240 012067. — IOP Publishing, 2017.
42. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. Проектирование физически реализуемого наблюдателя состояния для оценивания кинематических параметров седельного автопоезда // Инновационные машиностроительные тех-
нологии, оборудование и материалы - 2016: сборник трудов конференции. — Казань: АО КНИАТ, 2016. — С. 41—44.
43. Volkov V. G., Demyanov D. N., Karabtsev V. S. Development and Research of the Mathematical Model of Planar Motion of a Vehicle with a Semitrailer // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2018. — Vol. 10, no. 1. — P. 99-110.
44. Волков В. Г., Демьянов Д. Н., Карабцев В. С. Разработка и исследование математической модели плоского движения автомобиля с полуприцепом // Математическое моделирование. — 2017. — Т. 29, № 7. — С. 29—43.
45. Introduction to State Estimation of High-Rate System Dynamics / J. Hong [и др.] // Sensors. — 2018. — С. 217.
46. Sliding Modes Observers for Estimation of Performance of Heavy Vehicles / N. M'Sirdi [и др.] // 3rd International Conference on Advances in Vehicle Control and Safety. — 2007. — С. 313—318.
47. Александров А. Г., Паленов М. В. Состояние и перспективы развития адаптивных ПИД-регуляторов в технических системах // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 2. — С. 16—30.
48. Разработка и использование нейронечеткой системы формирования нечетких моделей оценки дискретного состояния объектов / М. В. Дага-ева [и др.] // Международный форум KAZAN DIGITAL WEEK - 2023: сборник материалов. — Казань: Научный центр безопасности жизнедеятельности, 2023.
49. Емалетдинова Л. Ю., Кабирова А. Н., Катасев А. С. Методика разработки нейросетевых моделей регуляторов управления техническим объектом // Инженерный вестник Дона. — 2023. — 7 (103). — С. 131— 140.
50. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.
51. Proctor J.L., Brunton S. L., Kutz J.N.Dynamic Mode Decomposition with Control // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. — 2016. — Т. 15, № 1. —С. 142—161.
52. State-space solutions to standard H2 and control problems / J. Doyle [и др.] // 1988 American Control Conference. — 1988. — С. 1691—1696.
53. Balandin D. V., Kogan M. M. LMI-based -optimal control with transients // International Journal of Control. — 2010. — Т. 83, № 8. — С. 1664—1673.
54. Shen B., Ding S. X., Wang Z. Finite-horizon fault estimation for linear discrete time-varying systems with delayed measurements // Automatica. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 293—296.
55. Shen B., Ding S. X., Wang Z. Finite-horizon fault estimation for linear discrete time-varying systems with delayed measurements // Automatica. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 293—296.
56. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С. Т. Кусимов [и др.]. — М.: Наука, 1998. — С. 452.
57. Luenberger D. G. Observing the state of a linear system // IEEE transactions on military electronics. — 1964. — Т. 8, № 2. — С. 74—80.
58. Luenberger D. G. Observers for multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1966. — Т. 11, № 2. — С. 190—197.
59. Luenberger D. G. An introduction to observers // IEEE Transactions on automatic control. — 1971. — Т. 16, № 6. — С. 596—602.
60. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. — М.: Машиностроение, 1976. — С. 184.
61. Conant R. C., Ross Ashby W. Every good regulator of a system must be a model of that system // International journal of systems science. — 1970. — Т. 1, № 2. — С. 89—97.
62. Francis B. A., Wonham W. M. The internal model principle of control theory // Automatica. — 1976. — Т. 12, № 5. — С. 457—465.
63. Francis B. A., Wonham W. M. The internal model principle for linear multivariable regulators // Applied mathematics and optimization. — 1975. — Т. 2, № 2. — С. 170—194.
64. Functional observer for switched discrete-time singular systems with time delays and unknown inputs / J. Lin [и др.] // IET Control Theory & Applications. — 2015. — Т. 9, № 14. — С. 2146—2156.
65. Feng J. E., Lam J., Xu S. Finite-time functional observers for descriptor systems // International Journal of Control, Automation and Systems. — 2009. — Т. 7, № 3. — С. 341—347.
66. Doyle J. Analysis of feedback systems with structured uncertainties // IEE Proceedings D-Control Theory and Applications. Т. 129. — 1982. — С. 242— 250.
67. Коровин С. К., Медведев И. С., В. Ф. В. Функциональные наблюдатели для линейных систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, № 10. — С. 1374—1384.
68. Коровин С. К., Медведев И. С., Фомичев В. В. Минимальные функциональные наблюдатели // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 404, №3. —С. 316—320.
69. AsanovA. Z., Dem'yanov D. N.Analytical synthesis of functional observers // Russian Aeronautics (Iz VUZ). — 2013. — Т. 56.
70. Асанов А. З., Демьянов Д. Н. Аналитический синтез функциональных наблюдателей // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника.—2013.—№4.— С. 13—18.
71. Asanov A. Z., Dem'yanov D. N.Analytical synthesis of functional observers for systems with signal perturbations // Optoelectron., Instrum. Data Process. — 2014. — Т. 50.
72. Асанов А. З., Демьянов Д. Н. Аналитический синтез функциональных наблюдателей для систем с сигнальными возмущениями // Автометрия. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 111—119.
73. Gugercin S., Antoulas A. C. A survey of model reduction by balanced truncation and some new results // International Journal of Control. — 2004. — Т. 77, № 8. — С. 748—766.
74. Kim J., Bewley T. R. A linear systems approach to flow control // Annu. Rev. Fluid Mech. — 2007. — Т. 39. — С. 383—417.
75. Van Overschee P., De Moor B. L. Subspace identification for linear systems: Theory-Implementation-Applications. — Springer Science & Business Media, 2012.
76. Juang J. N., Pappa R. S. An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction // Journal of guidance, control, and dynamics. — 1985. — Т. 8, № 5. — С. 620—627.
77. Ma Z., Ahuja S., Rowley C. W. Reduced order models for control of fluids using the Eigensystem Realization Algorithm // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 2011. — Т. 25, № 1. — С. 233—247.
78. Rowley C. W. Model reduction for fluids, using balanced proper orthogonal decomposition // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2005. — Т. 15, № 03. — С. 997—1013.
79. Willcox K., Peraire J.Balanced Model Reduction via the Proper Orthogonal Decomposition // AIAA journal. — 2002. — Т. 40, № 11. — С. 2323— 2330.
80. Pernebo L., Silverman L. Model reduction via balanced state space representations // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1982. — Т. 27, №2. —С. 382—387.
81. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.
82. Ribeiro M. I. Kalman and extended kalman filters: Concept, derivation and properties // Institute for Systems and Robotics. — 2004. — Т. 43, № 46.
83. Краснова С. А., Уткин В. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006.
84. Асанов А. З., Д. Д. Н. Оценивание непосредственно неизмеряемых внешних возмущений с использованием функциональных наблюдателей // Автометрия. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 27—34.
85. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем с неопределенностью // Труды Математического института имени ВА Стеклова. — 2008. — Т. 262.— С. 87—102.
86. Баландин Д. В., Коган М. М. Минимаксная фильтрация: \gamma_0-оптимальные наблюдатели и обобщенные -оптимальные фильтры // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 4. — С. 43—58.
87. Баландин Д. В., Коган М. М. Обобщенное -оптимальное управление как компромисс между -оптимальным и 7-оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — Т. 6. — С. 20—38.
88. Balandin D. V., Kogan M. M. Generalized -optimal control as a trade-off between the -optimal and 7-optimal controls // Automation and Remote Control. — 2010. — Т. 71, № 6. — С. 993—1010.
89. Bukov V. N. Embedding of Systems: Analytical Approach to the Analysis and Synthesis of Matrix Systems. — Kaluga : Izd. Nauchn. Literatury N. F. Bochkarevoi, 2006.
90. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. — Изд-во НФ Бочкаревой, 2006.
91. Embedding of systems / V. N. Bukov [и др.] // Autom. Remote Control. — 1999. — Т. 60.
92. Bukov V. N., Ryabchenko V. N.System embedding. Linear control // Autom. Remote Control. — 2001. — Т. 62.
93. Буков В. Н., Рябченко В. Н. Вложение систем. Линейное управление // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 1. — С. 50—66.
94. Bukov V. N., Kos'yanchuk V. V. System embedding. Linear observation // Autom. Remote Control. — 2001. — Т. 62.
95. Буков В. Н., Рябченко В. Н., Косьянчук В. В. Вложение систем. Линейное управление с наблюдением // Автоматика и телемеханика. — 2001.—№3. —С. 15—30.
96. Bukov V.N., Ryabchenko V.N. Embedding of systems. Promatrices // Autom. Remote Control. — 2000. — Т. 61.
97. Буков В. Н., Рябченко В. Н. Вложение систем. Проматрицы // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 20—33.
98. Вложение систем / В. Н. Буков [и др.] // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 8. — С. 61—73.
99. Волков В. Г. Исследование разрешимости задачи синтеза редуцированного наблюдателя по технологии вложения // Итоговая образовательно-научная конференция студентов Казанского федерального универси-тета2016 года: сборник статей.—Казань: Казан. ун-т, 2016. — С. 63— 66.
100. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. Аналитический синтез наблюдателя Лю-енбергера с использованием технологии вложения систем // Интеллектуальные системы, управление и мехатроника- 2016: сборник трудов конференции. — Севастополь: Изд-во СевГУ, 2016. — С. 43—47.
101. Волков В. Г. Наблюдатель состояния привода промышленного манипулятора с заданной динамикой процесса оценивания на основе технологии вложения // Всероссийская научно-практическая конференция «VIII Камские чтения»: сборник докладов. — Набережные Челны: Из-дательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2016. —С. 64—67.
102. Bukov V. N., Goryunov S. V. Inversion and canonization of block matrices // Math. Notes. — 2006. — Т. 79.
103. Буков В. Н., Горюнов С. В. Обращение и канонизация блочных матриц // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, № 5. — С. 662—673.
104. Solution of linear matrix equations using the canonization method / V. N. Bukov [и др.] // Vestn. Kiev Univ., Ser. Fiz.-MatNauki. — 2002. — Т. 1.
105. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации / В. Н. Буков [и др.] // Вестник Киевского университета. Серия: Физико-математические науки. — 2002. — № 1. — С. 19—28.
106. Bukov V. N., Goryunov S. V., Ryabchenko V. N.Matrix linear systems: A comparative review of the approaches to their analysis and synthesis // Autom Remote Control. — 2000. — Т. 61.
107. Буков В. Н., Горюнов С. В., Рябченко В. Н. Анализ и синтез матричных линейных систем. Сравнение подходов // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 11. —С. 3—43.
108. Асанов А. З., Ахметзянов И. З. Канонизация матриц произвольного размера средствами Matlab //. — 2004. — С. 796—804.
109. Akhmetzyanov I. Z. Certificate of State Registration of Computer Program no. 2015617953 Russian Federation, August 20, 2015.
110. Volkov V. G., Dem'yanov D. N. Application of Matrix Decompositions for Matrix Canonization // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2019. — Vol. 59, no. 11. — P. 1759-1770.
111. Волков В. Г., Демьянов Д. Н. Применение матричных разложений для канонизации матриц // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2019. — Т. 59, № 11. — С. 1823—1835.
112. Linear matrix inequalities in system and control theory / S. Boyd [и др.]. — SIAM, 1994.
113. Boyd S. P., Barratt C. H. Linear controller design: limits of performance. — Citeseer, 1991.
114. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. — Cambridge university press, 2004.
115. Bertsimas D., Tsitsiklis J. N. Introduction to linear optimization. Т. 6. — Athena Scientific Belmont, MA, 1997.
116. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — С. 280.
117. Moore B. Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction // IEEE transactions on automatic control. — 1981. —Т. 26, № 1. — С. 17—32.
118. Kürschner P. Balanced truncation model order reduction in limited time intervals for large systems // Advances in Computational Mathematics. — 2018. — Т. 44, № 6. — С. 1821—1844.
119. Нечепуренко Ю. М. Эрмитовое спектральное псевдообращение и его приложения // Математические заметки. — 2014. — Т. 96, № 1. — С. 101—115.
120. Strang G. The fundamental theorem of linear algebra// Am. Math. Monthly. — 1993. —Т. 100.
121. Strang G. Linear Algebra and Its Applications. — Belmont, CA: Thomson, Brooks/Cole, 2006.
122. Trefethen L. N., Bau D. Numerical Linear Algebra. — 1997.
123. Golub G. H., van Loan C. F. Matrix Computations. — 2012.
124. Hager W. W. Condition estimates // SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1984. — Т. 5.
125. Higham N. J., Tisseur F. A block algorithm for matrix 1-norm estimation, with an application to 1-norm pseudospectra// SIAM J. Matr. Anal. Appl. — 2000. — Т. 21.
126. Golub G. H., Reinsch C. Singular value decomposition and least squares solutions // Numer. Math. — 1970. — Т. 14.
127. Буков В. Н., Рябченко В. Н., Зыбин Е. Ю. Решение билинейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Сер. Физико-математические науки. — 2003. — № 2. — С. 14— 23.
128. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. — М.: Физ-матлит, 1972. — С. 332.
129. Алексеев К. Б., Малявин А. А., Палагута К. А. Сравнительный анализ предикторного и нечеткого управления движением автомобиля // Ме-хатроника, автоматизация, управление. — 2009. — № 5. — С. 36—46.
130. Olsson C. Model complexity and coupling of longitudinal and lateral control in autonomous vehicles using model predictive control : дис. ... маг. / Olsson C. — KTH Royal Institute of Technology, 2015.
131. СП 42.13330.2011 Градостроительство. Планировка и застройка городских и сельских поселений. Актуализированная редакция СНиП 2.07.0189* (с Поправкой и Изменением N 1).
Приложение A Листинги программ
A.1 Программа канонизации матриц на основе матричных разложений
function [varargout] = canonize(A,varargin)
%CANONIZE Matrix canonization
%
% [A_l ,A_r , Al ,Ar ,Ac] = CANONIZE (A, TOLL) computes the matrix canonization % (A_l, A_r , Al, Ar, Ac) of a matrix A, where A_l denotes left null divisor , % A_r — right null divisor , Al — left identity divisor , Ar — right % identity divisor , Ac — consolidated canonizer , so that Al * A * Ar = I,
% A_l * A = 0, A * A_r = 0, Ac = Ar * Al.
%
% Matrix A can be any numeric or sym data types. The canonization algorithm % accepts numeric, variable precision and symbolic inputs, e.g. A = [xA2 x; % 1 0]. Parameter TOL sets the precision for which the canonization is % calculated. This parameter is used in the rank and condition number
% estimation .
%
% Ac = CANONIZE(A) returns a consolidated canonizer Ac.
%
% [Al,Ar] = CANONIZE(A) returns left and right identity divisors Al and Ar.
%
% [A l ,A_r ,Ac] = CANONIZE(A) returns left and right null divisors A_l and
% A_r. %
% [Al, A_r ,Al,Ar] = CANONIZE(A) returns all divisors separetly.
%
% [Al, A_r , Al, Ar, Ac] = CANONIZE(A) also returns the consolidated canonizer
% Ac . %
% [Al,A_r,Al,Ar,Ac, solver] = CANONIZE(A) also returns a name of
% the canonization method used.
%
% [Al, A_r , Al, Ar, Ac] = CANONIZE(A, tol) calculate s canonization of a numeric
% matrix A, using user specified tolerance tol.
%
% [Al ,A_r ,Al ,Ar, Ac, solver ] = CANONIZE (A, tol) also returns a name of
% the canonization method used.
%
% Copyright 2018 Vasily Volkov %% Input processing
switch nargin
case 0
% If a user provides no matrix ,
% then there is no matrix to canonize and an error occurs error ( ' Canonization : incorrectNumberOfArguments ' ,...
'Erroru\nTheunumberuofuargumentsucanunotubeu%d. ' ,0);
case 1
if isnumeric(A)
% If a user provides a matrix of numeric data type , % then the required tolerance is estimated tol = max ( size (A)* eps ( norm (A)));
else
if ~isa (A, 'sym' )
% If a user provides a matrix of not sym data type , % then there is an error occurs
error ( ' Canonization : incorrectTypeOfArguments ' ,...
[ ' Error u \ nInput u 1 u must u be u either u of u numeric u ' ,... ' oru sym u data u type s , u not u a u%s . ] , c l a s s (A ) ) ;
end
end
case 2
if and(and( isnumeric (A) , i sf lo at ( varargin { 1 })) , varargin { 1} > 0)
% If a user provides a numeric matrix and a floating —point % tolerance value then the required tolerance is set by a user tol = varargin{1};
else
% If a user tries to set not a numeric value of tolerance or % a matrix is not of numeric data type , then an error occurs error ( ' Caninization : incorrectTypeOf Arguments ' ,. ..
[ ' Erro r. u \ nTol erance u must u be u positive u and u set u only u ' ,... ' forutheucanonizationuofunumericumatrices u ' ,... ' and u be u of u numeric u data u type . ' ] ) ;
end
otherwise
% If a user provides too much input arguments , i.e. more than 2, % then an error occurs
error ( ' Canonization : incorrectNumberOf Arguments ' ,...
' Error u \ nThe u number u of u arguments u can u not u be u°%d. ' , nargin ) ;
end
%% Canonization
% Determine the size of a matrix [m, n] = s i z e (A) ;
% Depending on the matrix sizes an appropriate canonization algorithm % i s a p p l i e d if m > n
%% QR solver
% If the user needs to obtain unitary left null — divisor of a matrix A % then the approproate method for matrix canonization is % QR—decomposition [Q,R,E] = qr (A); solver = 'qr';
% Rank estimation of a matrix A if exist('tol','var')
% If matrix A is of numeric data type, then its rank can be % estimated by a number of sufficiently nonzero elements % of matrix R instead of applying the MATLAB rank function r = sum (sum (abs (R) ,2) > tol);
else
% If matrix A is of sym data type , then its rank can be computed % by the MATLAB rank function r = rank(A);
end
warning ( ' off ' );
AR = E*[R(1:r,1:r)\[ eye ( r), —R( 1:r,r + 1:n)];[ zeros (n—r , r) , eye (n—r ) ] ]; % Canonization A_l = Q(: , r + 1:m) '; A_r = AR(: , r + 1:n); Al = Q(:,1:r)'; Ar = AR(:,1:r); warning ( ' on ' ); elseif m < n
%% LQ solver
% If the user needs to obtain unitary right null — divisor of a matrix A % then the appropro ate method for matrix canonization is % LQ—decomposition [Q,L,E] = qr(A'); solver = ' lq ' ;
L = L'; Q = Q' ;
E = E';
% Rank estimation of a matrix A if exist('tol','var')
% If matrix A is of numeric data type, then its rank can be % estimated by a number of sufficiently nonzero elements % of matrix L instead of applying the MATLAB rank function r = sum (sum (abs (L)) > tol);
else
% If matrix A is of sym data type , then its rank can be computed % by the MATLAB rank function r = rank(A);
end
warning ( ' off ' );
AL = [[ eye (r); — L(r + 1:m, 1: r)]/L(1:r,1: r) ,[ zeros (r ,m-r ) ; eye (m-r )] ] * E;
% Canonization
A_1 = AL( r + 1 :m, : ) ;
A_r = Q( r + 1 :n , : ) ';
A1 = AL(1 :r , :);
Ar = Q( 1 : r , :) ' ;
warning ( ' on ' ) ;
else
%% LU solver
% If matrix A is square then the most computationally efficient way to % canonize it it through the LU decomposition [L,U,P] = lu(A); solver = ' 1u ' ;
% Rank estimation of a matrix A if exist('tol','var')
% If matrix A is of numeric data type, then its rank can be % estimated by a number of sufficiently nonzero elements % of matrix U instead of applying the MATLAB rank function r = sum ( sum ( abs (U) ,2) > tol);
else
% If matrix A is of sym data type , then its rank can be computed % by the MATLAB rank function r = rank(A);
end
warning ( ' off ' ) ;
AR = [U(1:r,1:r)\[ eye ( r), -U( 1:r,r + 1:n)];[ zeros (n-r , r ), eye (n-r ) ] ] ;
AL = L\P;
% Canonization
A_1 = AL( r + 1 :m, : ) ;
A_r = AR( : , r + 1:n);
Al = AL(1:r,:);
Ar = AR(:,1:r);
warning ( ' on ' ) ;
end
%% Condition number estimation and an increasing of a solution accuracy % The algorithm makes sense only if matrix A is of numeric data type , % if its of sym data type it is not possible to compute the condition % number or recompute the result with the SVD decomposition if isnumeric(A)
% Estimation of the reciprocal condition number % with respect to matrix canonization % rcondnumber = 1 /(norm (Al) * norm(A) * norm(Ar)); rcond_number = 1/( norm (Ar*A1)* norm (A)); if isnan (rcond_number) || rcond_number < to1 %% SVD-solver
% If matrix A is badly conditioned with respect to matrix
% canonization then the algorithm recalculates the canonization % through the SVD decomposition [U,S,V] = svd (A); solver = ' svd ' ;
% Recalculation of the rank estimate of a matrix A
s = diag(S);
s_tol = s(s > tol );
r = numel( s_tol );
% Canonization
A_l = U(: , r + 1:end) ';
A_r = V(: , r + 1: end );
Al = U(: ,1: r) ';
Ar = V(: ,1:r)* diag(1./s_tol);
end
end
%% Output postprocessing
% Depending on the number of input arguments it is possible to avoid a % little bit more computational overhead getting rid of the calculation of % the consolidated canonizer Ac = Ar * Al switch nargout case 0
% In the case of zero output arguments we consider % that a user is interested only in the consolidated canonizer Ac varargout{1} = Ar*Al; case 1
% In the case of one output argument we consider
% that a user is interested only in the consolidated canonizer Ac varargout{1} = Ar*Al; case 2
% In the case of two output arguments we consider that a user is % interested in left and right canonizers (Al,Ar) separately and % is not interested in the left and right null — divisors (A_l,A_r) varargout{1} = Al; varargout{2} = Ar; case 3
% In the case of three output arguments we consider that a user is % not interested in left and right canonizers (Al,Ar) separately , % but instead interested in the consolidated canonizer Ac varargout{1} = A_l; varargout{2} = A_r; varargout{3} = Ar*Al; case 4
% In the case of four output arguments we consider that the user is % not interested in the computation of consolidated canonizer Ac % explicitly ,
% thereby it is possible to avoid the computational overhead ,
% induced by matrix multiplication , involved in the computation % o f c o n s o l i d a t e d c a n o n i z e r Ac varargout{1} = A_l; varargout{2} = A_r; varargout{3} = Al; varargout{4} = Ar; case 5
% In the case of five outputs or more we consider that a user is % interested in the full set of matrices constituting % matrix canonization (A_l, A_r , Al, Ar, Ac) varargout{1} = A_l; varargout{2} = A_r; varargout{3} = Al; varargout{4} = Ar; varargout{5} = Ar*Al; otherwise
% In the case of five outputs or more we consider that a user is
% interested in the full set of matrices constituting
% matrix canonization (A_l, A_r , Al, Ar, Ac)
varargout{1} = A_l;
varargout{2} = A_r;
varargout{3} = Al;
varargout{4} = Ar;
varargout{5} = Ar*Al;
varargout{6} = solver;
end end
A.2 Программа для идентификации и сбалансированной редукции линейной модели динамической системы на основе канонизации
матрицы Ганкеля
function [Ar, Br, Cr, Dr] = siabc (Y,m,p , r)
%SIABC System identification and balanced truncation via canonization
%
% [Ar, Br , Cr, Dr] = SIABC (Y ,m, p, r) solves a problem of the system % i d e n t i fi c a t i o n a n d i t s m i n i m a l r e a l i z a t i o n b y m e a n s o f c a n o n i z a t i o n % of the Hankel matrix. The function constructs the Hankel matrix based on % the input system impulse response characteristic Y. The parameter m is % the number of inputs to the system , p — number of outputs , r is required
% rank of the reduced model .
%
% Array Y must be three —dimensional and contain data arranged the same way
% as the impulse () function of the MATLAB Control System Toolbox does.
%
% Copyright 2019 Vasily Volkov
%% Preprocessing
% Construct Hankel matrices [D,H0,H1] = blk_hankel(Y);
% Canonize Hankel matrix H0 [~,~,Hl,Hr,~, solver] = canonize (H0,0.0005);
% Approximate the ob servbility and controllability gramians HL = Hl*H0; HR = H0*Hr; Wc = HL*HL'; Wo = HR'*HR;
%% Calculation of the nonsingular tranformation matrix T
% Balance the observbility and controllability gramians [T,~] = eig (Wc*Wo);
% Depending on the canonization solver choose the approproate method for % calculation of the T matrix switch solver case 'svd'
%% Similar to ERA/BPOD (via SVD)
% The Hankel matrix were canonized by the SVD—based algorithm so % the Wc and Wo are already diagonal and equal and there is no need % to calculate tranformation matrix T T = eye(size(Hl,1), min(size(Hr,2),r)); case ' qr '
%% QR—based algorithm (if Hl — unitary)
% The Hankel matrix were canonized by the QR—based algorithm so % the Hl matrix Eis unitary and Wo = I Wc = T\Wc/T ';
T = T*( diag (1./diag (Wc))A (1/4)); case ' lq '
%% LQ—based algorithm (if Hr — unitary)
% The Hankel matrix were canonized by the LQ—based algorithm so % the Hr matrix is unitary and Wc = I Wo = T'*Wo*T;
T = T/(diag(diag(Wo))A(1/4)); case ' lu '
%% LU—based algorithm
% The Hankel matrix were canonized by the LU—based algorithm so % the Hl and Hr matrices have no special properties
Wc = T\Wc/(T) '; Wo = T'*Wo*T;
T = T*(diag((diag(Wc)./diag(Wo))).A(1/4)); otherwise
% If a provided method is not { ' lu ', ' qr ', ' lq ', ' svd '} % an error occurs
error ( ' siabc : incorrectMethodOfCanonization ' ,... ' Erroru\ nIncorrectumethoduofucanonization ! ');
end
%% Postprocessing
% Apply tranformation matrix T, calculated on the previous step , to obtain % the reduced model matrices [Ar, Br, Cr] T = T(: ,1: min(size(T,2),r )); Ar = T\Hl*H1*Hr*T; Br = T\Hl*H0; Cr = H0*Hr*T;
% Choose the fi rst m input vectors and p output vectors Br = Br(: ,1 :m); Cr = Cr(1:p,:); Dr = D;
end
%% Service functions
function [D,H0,H1] = blk_hankel(Y)
%BLK_HANKEL Block Hankel matrix
%
% [D,H0,H1] = b lk hankel (Y) constructs the block Hankel matrices H and H' % on the measurements array Y. It also identifies the D matrix of a system
% under consideration .
%
% Array Y must be three—dimensional and contain data arranged the same way
% as the impulse () function of the MATLAB Control System Toolbox does.
%
% Copyright 2019 Vasily Volkov
% Rearrange a 3— dimentional input matrix
Y = permute (Y, [2 ,3,1]); D = Y(: ,: ,1);
Y = Y(: ,: ,2:end);
% Calculate the numbers of inputs and outputs of a system [p,q,n] = size(Y);
% Calculate the size of Hankel matrices
n = floor ((n- 1 )/2);
% Calculate Hankel matrices H0 = zeros(p*n,q*n); H1 = zeros(p*n,q*n); for i = 1:n
for j = 1:n
H0((p*(i - 1) + 1):(p*i) ,(q*(j - 1)+1):(q*j )) = Y(: ,: , i+j -1); H1((p*(i - 1) + 1):(p*i) ,(q*(j - 1)+1):(q*j )) = Y(: ,: , i+j );
end
end end
A.3 Программы для синтеза НМП и ФМП, подавляющих внешние и начальные возмущения, на основе канонизации матриц и решения
ЛМН
A.3.1 Основные программы Программа для синтеза НМП
function varargout = fobsv(varargin)
%FOBSV Design a functional observer using canonization and LMI approaches.
%
% fobsv (sys) designs the funtional observer for the state —space system sys % to estimate the linear functional g = I *x.
% fobsv (sys,K) designs the functional observer for the state —space system % sys to estimate the linear functional g = K*x.
% fobsv(A,C,K) designs the functional observer for the autonomous % state —space system dx/dt = A*x, y = C*x to estimate the linear functional % g = K*x.
% fo b s v (A , B , C , K) d e s i g n s t h e fu n c t i o n a l o b s e r v e r fo r t h e s t a t e — s p a c e s y s t e m % dx/dt = A*x + B*u, y = C*x to estimate the linear functional g = K*x. % fo b sv (A, B, C, D, K) designs the functional observer for the state —space % system dx/dt = A*x + B*u, y = C*x + D*u to estimate the linear functional
% g = K*x.
%
% L = fobsv (__) returns the observer matrix L.
% [X,Z] = fobsv (__) returns the LMI problem solution X, Z.
% [M,N, P ,Q,R, S] = fobsv (__) returns the observer state —space matrices M, N,
% P, Q, R , S.
%
% Description
% fo b sv (A, B, C, D, K) function designs the functional observer of the form
%
% g = K*x
%
% for the state —space system
%
% dx/dt = A*x + B*u,
% y = C*x + D*u,
%
% where x is the state , u is the input , y is the measured output , g is the % linear functional of the state variables to be estimated , matrices A, B,
% C, D, K are the matrices of the respectful sizes .
%
% The functional observer is designed in the following form
%
% dz / dt = M*z + N*y + P*u,
% g = Q*z + R*y + S*u,
%
% w h e r e M, N , P , Q , R , S a r e m a t r i c e s c a l c u l a t e d b y t h i s fu n c t i o n .
%
% The matrices M, N, P, Q, R, S are calculated using the observer matrix L
% also calculated by this function using the LMI approach.
%
% I n p u t
% sys is the state —space model of a dynamical system ,
% A is the state matrix of the state—space model,
% B is the input—to—state matrix of the state—space model,
% C is the state—to—output matrix of the state—space model,
% D is the input—to—output matrix of the state—space model,
%K is the state —to — output matrix of the linear functional to be estimated.
%
% Output
% L is the functional observer matrix ,
% M is the functional observer state matrix ,
%N is the functional observer output —to — state matrix,
% P is the functional observer input—to—state matrix ,
% Q is the functional observer state—to—output matrix ,
% R is the functional observer output—to—estimate matrix ,
% S is the functional observer input—to—estimate matrix ,
% X is the Lyapunov quadratic function matrix ,
% Z is the matrix used to reduce the control problem to LMI by the change
% of variables Z = X*L.
%
% See functions fobsvss, fobserrss , lindeprows, fopermat, ymuetamat, % ymuetaind, lyaplmisolve for further details.
% Copyright 2022 Vasily Volkov
%% Input processing
switch nargin
case 1
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.