Оценивание параметра распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в обобщённом асинхронном потоке событий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Першина Анна Александровна

• Першина Анна Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Першина Анна Александровна

Введение

1. Математическая модель коррелированного обобщённого асинхронного потока событий с двумя состояниями, функционирующего в стационарном режиме в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону

1.1 Математическая модель потока событий при его частичной наблюдаемости

1.2 Основные свойства потока событий и сопровождающего процесса

1.3 Матрицы инфинитезимальных характеристик

1.4 Стационарные априорные вероятности состояний сопровождающего процесса (потока)

1.5 Выводы и результаты по первой главе

2 Оценивание параметра равномерного распределения длительности случайного мёртвого времени в коррелированном обобщённом асинхронном потоке событий методом моментов

2.1 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в коррелированном потоке - детерминированная величина (общий случай)

2.2 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в коррелированном потоке - случайная величина (общий случай)

2.3 ММ-оценка параметра Т в коррелированном потоке (общий случай)

2.4 Результаты статистических экспериментов для коррелированного наблюдаемого потока в общем случае

2.5 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в коррелированном потоке - детерминированная величина (особый случай)

2.6 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в коррелированном потоке - случайная величина (особый случай)

2.7 ММ-оценка параметра T в коррелированном потоке (особый случай)

2.8 Результаты статистических экспериментов для коррелированного наблюдаемого потока (особый случай)

2.9 Выводы и результаты по второй главе

3 Оценивание параметра равномерного распределения длительности случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий методом моментов

3.1 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в рекуррентном потоке - детерминированная величина (общий случай)

3.2 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в рекуррентном потоке - случайная величина (общий случай)

3.3 ММ-оценка параметра T в рекуррентном потоке (общий случай)

3.4 Результаты статистических экспериментов для рекуррентного наблюдаемого потока (общий случай)

3.5 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в рекуррентном потоке - детерминированная величина (особый случай)

3.6 Длительность непродлевающегося мёртвого времени в рекуррентном потоке - случайная величина (особый случай)

3.7 ММ-оценка параметра T в рекуррентном потоке (особый случай)

3.8 Результаты статистических экспериментов для рекуррентного наблюдаемого потока (особый случай)

3.9 Выводы и результаты по третьей главе

4 Оценивание параметра равномерного распределения длительности случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий методом максимального правдоподобия

4.1 Приближённая МП-оценка параметра Т в рекуррентном потоке (общий случай)

4.2 Результаты статистических экспериментов для рекуррентного наблюдаемого потока (общий случай; метод максимального правдоподобия)

4.3 Приближённая МП-оценка параметра Т* в рекуррентном потоке (особый случай)

4.4 Результаты статистических экспериментов для рекуррентного наблюдаемого потока (особый случай; метод максимального правдоподобия)

4.5 Выводы и результаты по четвертой главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А Имитационное моделирование

Приложение Б Блок-схема имитационной модели

Приложение В Алгоритмы оценивания параметра Т

Приложение Г Акт о внедрении результатов диссертации в учебный процесс Национального исследовательского Томского государственного университета

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание параметра распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в обобщённом асинхронном потоке событий»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория массового обслуживания (ТМО), называемая зарубежными авторами теорией очередей, возникла сравнительно недавно. Развитие вычислительной техники, применение новейших методов в сфере информационных технологий способствовали появлению новых задач, подобных тем, что были выдвинуты и изучены А. Эрлангом в начале XX века [103, 104].

Теория массового обслуживания (ТМО) возникла в начале XX века и была представлена работами датского учёного А. К. Эрланга, связанными с решением задач в области телефонии - проектированием и расчётом систем обслуживания телефонного трафика. Основные исследования А. К. Эрланга в этой области относятся к 1908 - 1922 гг. В его первой работе, вышедшей в свет в 1909 г., доказано, что телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, носят случайный по времени характер, а их количество на заданном интервале времени подчиняется распределению Пуассона. В этой связи естественно, что математическим инструментом ТМО являются понятия и методы теории вероятностей и теории случайных процессов. В середине XX века аналогичные телефонным задачи возникают в естествознании, медицине, организации производства, разнообразных областях науки и техники, что обусловило возросший интерес учёных (как зарубежных, так и отечественных) к их решению методами ТМО. Основы и фундаментальные результаты по ТМО изложены в трудах [4, 10, 16, 37 - 45, 56 - 58, 71, 72, 76 - 80, 96 - 99, 112, 124, 134, 141, 142, 144, 146, 147].

Совершенствованию применяемого математического аппарата ТМО способствуют работы по проектированию, внедрению, эксплуатации и модернизации информационно-вычислительных систем и сетей разной конфигурации, спутниковых сетей связи, телекоммуникационных сетей и т. п. [36, 52 - 55, 59, 73, 75, 81, 82, 87, 89, 90, 106 - 108, 116 - 118, 120 - 123, 126 - 128, 131 -133, 143, 145, 148, 149].

В качестве входящих потоков событий (сообщений, запросов, заявок, требований) до середины восьмидесятых годов прошлого века преимущественно

рассматривались пуассоновские потоки [76 - 80], что было вызвано относительной простотой систем связи, изолированностью видов связи друг от друга, низкой пропускной способностью каналов передачи и, как следствие, их высокой загруженностью. Впоследствии усложнение структуры цифровых систем интегрального обслуживания (ЦСИО), разнообразие программного и аппаратного обеспечения, интеграция разного рода систем коммуникации выявили неадекватность модели простейшего потока реальным информационным потокам и непригодность соответствующих моделей функционирования ЦСИО для анализа протекающих в них процессов. Таким образом, требования практики обнаружили необходимость и послужили стимулом к созданию новых математических моделей входящих потоков в виде дважды стохастических потоков событий [100, 115].

Рассматривая простейший поток событий, А.Я. Хинчин в своих работах [76 - 80] ввёл понятие мгновенного значения параметра потока (мгновенная интенсивность), т.е. интенсивность потока есть детерминированная функция времени. Следуя А.Я. Хинчину, такие потоки стали называть потоками с переменным параметром (потоками с переменной интенсивностью) [80]. Если теперь представить, что интенсивность потока не является детерминированной функцией времени, а является случайным процессом, то приходим к понятию дважды стохастического потока: первая стохастика - случайны моменты наступления событий потока, вторая стохастика - случайна интенсивность потока.

Анализ научной литературы свидетельствует о том, что дважды стохастический поток, интенсивность которого есть непрерывный случайный процесс, а события в потоке наступают в случайные моменты времени, впервые определён в работах Д. Кокса [97, 99], М. Бартлетта [88], и Дж. Кингмена [125]. Впервые результаты исследований потоков, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний, опубликованы практически в одно и то же время, в 1979 г., в работах Г. П. Башарина, В. А. Кокотушкина, В. А. Наумова [6, 7] и М. Ньютса [135]. В [6, 7] отмеченные потоки получили название MC (Markov Chain) - потоки, в [135] - MVP (Markov versatile processes)-потоки. В работе [129] эти потоки называются также MAP (Markovian

Arrival Process)-потоками событий. Зарубежными и отечественными исследователями при описании подобных входящих потоков событий в системах массового обслуживания (СМО) используются термины «дважды стохастические потоки событий», MAP-потоки, МС-потоки.

В статье [17] приведена классификация MAP-потоков на MAP-потоки первого и второго порядков в зависимости от возможных вариантов смены состояний интенсивности потока. Класс MAP-потоков первого порядка - это потоки, у которых смену состояний интенсивности определяет одна случайная величина; вследствие этого смена состояний происходит в случайные моменты времени, в которые событие потока может наступить или не наступить: 1) синхронные потоки (потоки, у которых состояние интенсивности меняется в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий [18]; 2) собственно MAP-потоки как обобщение синхронных потоков [19, 114]. Класс MAP-потоков второго порядка - это потоки, у которых смена состояний интенсивности определяется двумя независимыми случайными величинами так, что смена состояний происходит в случайные моменты времени, в которые событие потока может наступить или не наступить: 1) модулированные MAP- потоки [137 - 139]; 2) обобщённые асинхронные потоки [20, 21, 46 - 48], являющиеся обобщением асинхронных потоков, или, что то же самое, MMPP-потоков [22 - 25, 105, 109] (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий); 3) обобщённые полусинхронные потоки [26] как обобщение полусинхронных потоков [27, 112, 136] (потоки, у которых одна часть состояний интенсивности меняется в момент наступления событий потока (свойство синхронных потоков), другая часть состояний интенсивности меняется в произвольные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий потока (свойство асинхронных потоков)).

Подчеркнём, что MAP-потоки (МС-потоки) событий являются наиболее характерной и подходящей математической моделью потоков в реальных телекоммуникационных сетях и системах, в частности, в широкополосных сетях

беспроводной связи вдоль протяжённых транспортных магистралей [5, 12 - 14, 31 -34, 89, 148].

Модели дважды стохастических потоков событий также находят широкое применение при изучении телекоммуникационных и вычислительных систем и сетей [3, 8], в исследовании биофизических процессов [91, 93], в финансово-экономическом моделировании [49, 94, 95], в решении задач управления запасами [130] и при статистической обработке данных (в том числе специализированных) [92, 119]. Таким образом, задачи исследования дважды стохастических потоков событий как математических моделей реальных информационных потоков являются прогрессивными и актуальными.

Степень разработанности темы исследования. Большинством авторов исследования СМО и СеМО (сети массового обслуживания) осуществляются в условиях, когда все события входящего дважды стохастического потока доступны наблюдению. В реальности же зарегистрированное событие может создать период мёртвого времени для регистрирующего прибора [1, 2, 140], в течение которого другие события потока становятся ненаблюдаемыми для регистрирующего прибора (теряются). Другими словами, любая СМО, на вход которой поступает поток запросов, затрачивает определённое время на регистрацию запросов. В течение этого времени (мёртвое время) регистрирующий прибор не регистрирует запросы, поступающие в течение мёртвого времени. Таким образом, запрос (сообщение), поступивший в систему, порождает период мёртвого времени [1, 2, 19 - 21, 25 - 27] или период ненаблюдаемости, в течение которого другие поступившие запросы недоступны для наблюдения, иначе говоря, теряются.

Все устройства регистрации делятся на две группы [1, 2]. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мёртвым временем, вторую -устройства с продлевающимся мёртвым временем. В обоих случаях можно считать, что мёртвое время выступает искажающим фактором при решении различного рода задач оценивания по измерениям моментов наступления наблюдаемых сообщений исходного потока (эффект мёртвого времени влечет за собой потери запросов исходного потока, что отрицательно сказывается на решении задач

оценивания). В настоящей работе в качестве искажающего фактора рассматривается непродлевающееся мёртвое время.

Термин «мёртвое время» возник при изучении функционирования счетчиков элементарных частиц, когда в течение времени регистрации очередной элементарной частицы счётчик не может регистрировать последующие частицы, поступившие на него (например, счётчик Гейгера - Мюллера). Подобные ситуации возникают в компьютерных сетях, например, при использовании протокола случайного множественного доступа с обнаружением конфликта: в момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» запросы, поступающие в данный узел сети, получают отказы в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания запросов, поступивших в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мёртвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.

В настоящее время в мировой литературе имеется, по-видимому, единственная монография [13], где приведено систематизированное изложение теории очередей с коррелированными (дважды стохастическими) потоками сообщений применительно к телекоммуникационным сетям. Подчеркнём, что изложенная в [13] теория и её применение в телекоммуникационных сетях рассмотрены без искажающих факторов (непродлевающегося либо продлевающегося мёртвого времени), воздействующих на входящий дважды стохастический поток сообщений.

Период ненаблюдаемости сообщений потока (период мёртвого времени) может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным. Математические модели дважды стохастических потоков событий с непродлевающимся (продлевающимся) детерминированным мёртвым временем широко использовались и используются при решении задач оценивания состояний и параметров дважды стохастических потоков событий по измерениям моментов наступления событий наблюдаемых потоков [19 -21, 25 -27, 62, 112, 114, 137 -139].

В случае простейшего входящего потока сообщений имеется достаточно большое количество научных статей, посвящённых его изучению в ситуации наличия непродлевающегося либо продлевающего детерминированного, либо случайного мёртвого времени [1, 15, 29, 30, 35, 83 - 85, 110, 111, 113].

Однако достаточно открытым остаётся вопрос изучения дважды стохастических потоков сообщений, когда мёртвое время является случайной величиной. Здесь отметим работу [11], в которой решается задача оценки параметров асинхронного потока событий в условиях случайного мёртвого времени и работу [28], где решается задача оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мёртвого времени в полусинхронном потоке событий.

В настоящей работе принимается, что длительность непродлевающегося мёртвого времени является случайной величиной, распределённой по равномерному закону. Такой выбор обусловлен тем, что при оценивании длительности непродлевающегося мёртвого времени известно только, что длительность непродлевающегося мёртвого времени ограничена сверху некоторой величиной и принадлежит некоторому отрезку. Вследствие этого переходя к непродлевающемуся случайному мёртвому времени в условиях неопределённости о законах распределения случайного мёртвого времени, естественно выбрать распределение мёртвого времени равномерным на этом отрезке, как обладающее наибольшей энтропией. Объектом исследования при этом является обобщённый дважды стохастический поток сообщений (далее обобщённый асинхронный поток) с двумя состояниями, функционирующий в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени.

Основные задачи, которые возникают при исследовании дважды стохастических потоков сообщений, связаны с оценкой состояний потока (задача фильтрации состояний потока сообщений) [19, 23, 46, 48, 62, 136, 139] и с оценкой параметров потока сообщений, в частности, с оценкой длительности периода мёртвого времени либо с оценкой параметров, определяющих длительность периода мёртвого времени [11, 18, 21, 24 - 28, 47, 62, 112,114, 137, 138]. Основой

для решения перечисленных задач являются измерения моментов наступления сообщений на некотором интервале наблюдения за потоком. Подчеркнём, что в ситуациях, когда длительность мёртвого времени является случайной величиной, решение задач оценки состояний дважды стохастических потоков в произвольный момент времени возможно только приближённо, так как значение длительности случайного мёртвого времени является принципиально ненаблюдаемым. При этом оценить, насколько приближение близко к истинному состоянию потока, не представляется возможным.

В настоящей работе решается вторая задача: оценка параметра равномерного распределения длительности случайного мёртвого времени по наблюдениям за моментами наступления сообщений потока на некотором интервале наблюдения. Рассматривается стационарный режим функционирования потока, то есть время функционирования обобщённого асинхронного потока достаточно велико (в принципе, время функционирования потока стремится к бесконечности).

Таким образом, в данной работе рассматривается обобщённый асинхронный поток событий (запросов, сообщений) с двумя состояниями, функционирующий в стационарном режиме в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону.

В заключении данного раздела подчеркнём, что в России исследованиями в области ТМО, в том числе изучением СМО с входящими дважды стохастическими потоками событий занимались и занимаются учёные различных научных школ: В.М. Вишневский, М.П. Фархадов - в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук [9, 12, 13, 34, 148]; Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Ю.В. Гайдамака, К.Е. Самуйлов - в Российском университете дружбы народов [3 -8, 14, 73, 89, 132]; В.В. Рыков - в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина [102]; В. А. Ивницкий - в Московском университете путей сообщения [37, 38]; А. Ф. Терпугов, А.М. Горцев, А.А. Назаров, Л.А. Нежельская, К.И. Лившиц, А.Н. Моисеев, С.П. Сущенко - в Национальном исследовательском Томском государственном университете [15, 18, 19, 49, 60, 62, 75, 101, 109, 112, 130, 139]; ГШ Цициашвили, М.А. Осипова - в Институте

прикладной математики Дальневосточного отделения РАН [81, 82]; В. Н. Задорожный - в Омском государственном техническом университете [36].

Подобными исследованиями занимались и занимаются в Белорусском государственном университете учёные Г.А. Медведев, А.Н. Дудин, В.И. Клименок [13, 31 -33, 56 -58, 101]; В Гомельском государственном университете им. Ф. Скорины учёный Ю.В. Малинковский [52 - 54]; В Гродненском государственном университете им. Я. Купалы учёный М.А. Маталыцкий [55]; в Азербайджанской Национальной академии наук учёный А.З. Меликов [59]; в Австрийском университете им. И. Кеплера учёный Д. В. Ефросинин [102]; в университете г. Пиза (Италия) учёный M. Pagano [126]; в США учёные M.F. Neuts, D.M. Lucantoni, S.A. Centanni, D. R. Cox [94 - 96, 129, 135].

Таким образом, начиная с 1955 г. и по настоящее время, дважды стохастические потоки событий являются актуальным математическим объектом научных исследований. Вместе с развитием информационных технологий и цифровизацией различных областей человеческой деятельности модели дважды стохастических потоков также развиваются и усложняются, принимая порой все более замысловатые формы. Поэтому исследование математических моделей дважды стохастических потоков событий, разработка модификаций известных моделей и разработка новых математических моделей как никогда актуальны.

Цель и задачи исследования. Целью работы является аналитическое и численное исследование обобщённого асинхронного потока событий, функционирующего в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону.

В соответствии с целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

- получение явных формул для математических ожиданий длительности интервала между соседними событиями коррелированного (и рекуррентного) обобщённого асинхронного потока событий, функционирующего в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону, в общем и особом случаях.

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в коррелированном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае методом моментов;

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в коррелированном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае методом моментов;

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае методом моментов;

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае методом моментов;

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае методом максимального правдоподобия;

- разработка алгоритма оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае методом максимального правдоподобия;

- установление качества оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в обобщённом (коррелированном либо рекуррентном) асинхронном потоке событий путем постановки и проведения статистических экспериментов на построенной имитационной модели потока.

Научная новизна исследования заключается в том, что в диссертационной работе впервые изучается модификация математической модели дважды стохастического потока событий, а именно: коррелированный (и рекуррентный) обобщённый асинхронный поток событий с двумя состояниями, функционирующий в стационарном режиме в условиях непродлевающегося случайного мёртвого

времени, распределённого по равномерному закону. Впервые решается задача оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в общем и особом случаях как для коррелированного, так и для рекуррентного потоков.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Полученные в диссертации результаты и выводы способствуют развитию теории дважды стохастических потоков событий. Для обобщённого асинхронного потока событий как коррелированного, так и рекуррентного впервые аналитически решена задача оценки параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени.

Практическая ценность заключается в использовании разработанных алгоритмов оценивания параметра распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени при анализе функционирования реальных систем, а также при проектировании систем и сетей массового обслуживания (например, телекоммуникационных сетей и систем) с входящими дважды стохастическими потоками событий. В частности, при проектировании широкополосных сетей беспроводной связи вдоль протяжённых транспортных магистралей. Разработанный математический аппарат способствует обработке результатов физических экспериментов, полученных с учётом непродлевающегося случайного мёртвого времени регистрирующих приборов.

Полученные результаты используются в учебном процессе в институте прикладной математики и компьютерных наук (ИПМКН) Национального исследовательского Томского государственного университета в курсах лекций образовательных дисциплин «Имитационное моделирование» - для бакалавров 4-го года обучения ИПМКН, а также в лекционных курсах «Оценка параметров дважды стохастических потоков событий» и «Оценка состояний дважды стохастических потоков событий» - для магистрантов 2-го года обучения ИПМКН.

Методы исследования. В настоящем исследовании применяются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории случайных

марковских процессов, линейной алгебры, математической статистики и математического анализа, а также методы имитационного моделирования.

Статистические эксперименты проведены с использованием расчётной программы, реализованной средствами высокоуровневого, объектно-ориентированного языка программирования C# в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio. Программа реализована в виде графического пользовательского интерфейса (graphical user interface, GUI); в основу положено имитационное моделирование обобщённого асинхронного потока событий при непродлевающемся случайном мёртвом времени, распределённом по равномерному закону.

На защиту выносятся: - модифицированная математическая модель коррелированного (и рекуррентного) обобщённого асинхронного потока событий с двумя состояниями, функционирующего в стационарном режиме в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону;

- алгоритм оценивания методом моментов параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в коррелированном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае;

- алгоритм оценивания методом моментов параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в коррелированном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае;

- алгоритм оценивания методом моментов параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае;

- алгоритм оценивания методом моментов параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае;

- алгоритм оценивания методом максимального правдоподобия параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного

мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в общем случае;

- алгоритм оценивания методом максимального правдоподобия параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае;

- численные результаты экспериментов по установлению качества оценивания путём проведения статистических испытаний на разработанной имитационной модели потока.

Степень достоверности результатов исследования обеспечена корректным применением математического аппарата при получении явных формул, используемых при решении задач оценивания, и проведении численных расчётов; согласованностью аналитических результатов с имеющимися формулами для дважды стохастического асинхронного потока, являющегося частным случаем исследуемого обобщённого асинхронного потока, а также достоверность результатов подтверждается многочисленными статистическими экспериментами, проведёнными на имитационной модели обобщённого асинхронного потока событий при наличии непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону.

Апробация результатов исследования. Основные положения докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. III Всероссийская молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 22-23 мая 2015 г.); доклад на тему «Разработка и реализация программного модуля «Имитационное моделирование систем массового обслуживания, заданных пользователем».

2. Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики» (Томск, 25-28 апреля 2017 г.); доклад на тему «Оценивание длительности мертвого времени в простейшем потоке событий».

3. V Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», секция «Прикладной вероятностный анализ» (Томск, 19-20 мая 2017 г.); доклад на тему «Исследование простейшего потока событий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени».

4. VI Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», секции «Прикладной вероятностный анализ», «Computer science»(Томск, 24-26 мая 2018 г.); доклад на тему «Стохастические эксперименты на имитационнной модели пуассоновского потока событий при продлевающемся случайном мёртвом времени».

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Першина Анна Александровна, 2022 год

Список использованной литературы

1. Апанасович В. В. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте / В. В. Апанасович, А. А. Коляда, А. Ф. Чернявский. - Минск: Университетское, 1988. - 256 с.

2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А.Т. Баруча-Рид. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

3. Башарин Г. П.Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчёта / Г. П. Башарин, П. П. Бочаров, Я. А. Коган. - М.: Наука, 1989. - 336 с.

4. Башарин Г. П. Массовое обслуживание в телефонии / Г. П. Башарин, А. Д. Харкевич, М. А. Шнепс. - М.: Наука, 1968. - 240 с.

5. Башарин Г. П. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина, И. А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

6. Башарин Г. П. О методе эквивалентных замен расчёта фрагментов сетей связи. Ч. 1 / Г. П. Башарин, В. А. Кокотушкин, В. А. Наумов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1979. - № 6. - С. 92-99.

7. Башарин Г. П. О методе эквивалентных замен расчёта фрагментов сетей связи. Ч. 2 / Г. П. Башарин, В. А. Кокотушкин, В. А. Наумов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1980. - № 1. - С. 55-61.

8. Башарин Г. П. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем / Г. П. Башарин, А. Л. Толмачёв // Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. - М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 21. - С. 3-119.

9. Билик Р. В. Инженерные методы расчёта сетей при проектировании распределённых автоматизированных систем массового обслуживания / Р. В. Билик, З. П. Мясоедова, Н. В. Петухова, М. П. Фархадов. -М.: МАКС Пресс, 2010. - 256 с.

10. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания / А. А. Боровков. - М.: Физматгиз, 1972. - 368 с.

11. Васильева Л.А. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях присутствия мёртвого времени // Вестник Томского государственного университета. - 2002. - № S1-1. - С. 9-13.

12. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - М.: Техносфера, 2003. - 512 с.

13. Вишневский В. М. Стохастические системы с коррелированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных сетях / В. М. Вишневский, А. Н. Дудин, В. И. Клименок. - М. : Техносфера, 2018. - 564 с.

14. Гайдамака Ю. В. Модели обслуживания вызовов в сети сотовой подвижной связи / Ю. В. Гайдамака, Э. Р. Зарипова, К. Е. Самуйлов. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - 72 с.

15. Глухова Е.В. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени / Е.В. Глухова, А.Ф. Терпугов // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1995. - Т. 38, № 3. - С. 22-31.

16. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - Изд. 4-е, испр. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 400 с.

17. Горцев А. М. О связи МС - потоков и МАР-потоков событий / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2011. - № 1 (14). - С. 13-21.

18. Горцев А. М. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий / И. В. Бушланов, А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 9. - С. 76-93.

19. Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний МАР-потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская, А. А. Соловьев // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 8. - С. 49-63.

20. Горцев А. М. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени / А. М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Вестник

Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 4 (21). - С. 14-25.

21. Горцев А. М. Сравнение МП- и ММ-оценок длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий / А. М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - № 4 (25).- С. 32-42.

22. Горцев А. М. Асинхронный дважды стохастический поток с инициированием лишних событий / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Дискретная математика. - 2011. - Т. 23, вып. 2. - С. 59-65.

23. Горцев А. М. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская, Т. И. Шевченко // Изв. вузов. Физика. - 1993. - Т. 36, № 12. - С. 67-85.

24. Горцев А. М. Оценивание параметров асинхронного потока с инициированием лишних событий методом моментов / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 18. -С. 267-273.

25. Горцев А.М. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события / А. М. Горцев, О. В. Ниссенбаум // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284. - С. 137-145.

26. Горцев А. М. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке / А. М. Горцев, А. А. Калягин, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2015. - № 1 (30). - С. 2737.

27. Горцев А.М. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мёртвом времени / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13, № 1. - С. 31-41.

28. Горцев А. М. Оценивание параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мертвого времени в полусинхронном потоке событий / А. М. Горцев, А. В. Веткина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2021. - № 54. - С. 28-37.

29. Горцев А.М. Оценивание параметра непродлевающегося мёртвого времени случайной длительности в пуассоновском потоке событий / А. М. Горцев, М. Е. Завгородняя // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2017. - № 40. - С. 32-40.

30. Горцев А. М. Условная плотность вероятности общего периода ненаблюдаемости в пуассоновском потоке событий при продлевающемся случайном мертвом времени / А. М. Горцев, М. Е. Завгородняя, А. А. Шитина // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Двенадцатой конференции с международным участием. Томск, 04-08 июня 2018 г. - Томск: Издательский дом ТГУ, 2018. - С. 127-128.

31. Дудин А. Н. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками / А. Н. Дудин, В. И. Клименок. - Минск: Изд-во БГУ, 2000. - 175 с.

32. Дудин А. Н. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером / А. Н. Дудин, В. И. Клименок, Г. В. Царенков // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 8. - С. 87-101.

33. Дудин А. Н Расчет необходимого числа каналов в современных телекоммуникационных сетях / А. Н. Дудин, В. И. Клименок // Информатизация образования. - 2005. - № 4. - С. 56-68.

34. Жожикашвили В. А. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ / В. А. Жожикашвили, В. М. Вишневский. -М.: Радио и связь, 1988. - 191 с.

35. Завгородняя М. Е. Исследование простейшего потока событий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени / М. Е. Завгородняя, А. А. Шитина

// Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. -Томск: Издательский Дом ТГУ, 2017.- Т. 301. - С. 128-133.

36. Задорожный В. Н. Аналитико-имитационные исследования систем и сетей массового обслуживания / В. Н. Задорожный. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. - 280 с.

37. Ивницкий В. А. Аналитическое исследование разомкнутых многоцентровых сетей массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и ограниченными бункерами / В. А. Ивницкий, Я. Л. Шрайберг // Автоматика и телемеханика. - 1984. - № 3. - С. 87-96.

38. Ивницкий В. А. Сети массового обслуживания и их применение в ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. - 1977. - № 7. - С. 33-70.

39. Ивченко Г. И. Теория массового обслуживания / Г. И. Ивченко, В. А. Каштанов, И. Н. Коваленко. - М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

40. Кениг Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кениг, Д. Штойян. - М.: Радио и связь, 1981. - 122 с.

41. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок. - М.: Мир, 1979. - 600 с.

42. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

43. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания / Г. П. Климов. - М.: Наука, 1966. - 244 с.

44. Кокс Д. Р. Теория очередей / Д. Р. Кокс, У. Л. Смит. - М.: Мир,1966. -

220с.

45. Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. - М.: Мир, 1965. - 302 с.

46. Леонова М. А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока в условиях его неполной наблюдаемости / М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : материалы междунар. конф., посвящ. 75-летию проф., д-ра физ.-мат.

наук Г. А. Медведева. Минск, 22-25 февр. 2010. - Минск: РИВШ, 2010. - Вып. 3. -С. 201-206.

47. Леонова М. А. Оценка длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий / М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Изв. вузов. Физика. - 2013. - Т. 56, № 9/2. - С. 220-222.

48. Леонова М.А. Вероятность ошибки при оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий / М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 2 (19). - С. 88-101.

49. Лившиц К. И. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей / К. И. Лившиц, Л. Ю. Сухотина, И. Ю. Шифердекер // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2007. - № 1. - С. 36-43.

50. Лифшиц А. Л. Статистическое моделирование систем массового обслуживания / А. Л. Лившиц, Э.А.Мальц. - М.: Сов. Радио, 1978. - 248 с.

51. Малинковский Ю. В. Теория вероятностей и математическая статистика (Часть 2. Математическая статистика) / Ю. В. Малинковский. - Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2004. - 146 с.

52. Малинковский Ю. В. Сети массового обслуживания с мгновенно обслуживаемыми заявками. 1. Модели с одним типом заявок // Автоматика и телемеханика. - 1998. - № 1. - С. 92-106.

53. Малинковский Ю. В. Сети массового обслуживания с обходами узлов заявок //Автоматика и телемеханика. -1991. - №2. - С. 102-110.

54. Малинковский Ю. В. Характеризация стационарного распределения сетей с групповыми перемещениями в форме произведения смещённых геометрических распределений / Ю. В. Малинковский, Е. В. Коробейникова // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 12. - С. 43-56.

55. Маталыцкий М. А. Системы и сети массового обслуживания: анализ и применения / М. А. Маталыцкий, О. М. Тихоненко, Е. В. Колузаева. - Гродно: Изд-во ГрГУ, 2011. - 820 с.

56. Медведев Г. А. Анализ дискретных марковских систем при помощи стохастических графов // Автоматика и телемеханика. - 1965. - Т. 26, № 3. - С. 485-491.

57. Медведев Г. А. Обслуживание группы объектов ограниченным числом экстремальных регуляторов / Г. А. Медведев, Л. К. Лимова // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1968. - № 4. - С. 42-49.

58. Медведев Г. А. Помехоустойчивость приёмника с конечным временем восстановления. Случай простейшего потока мешающих сигналов // Известия вузов СССР. Радиотехника. - 1962. - № 2. - С. 200-297.

59. Меликов А. З. Телетрафик: Модели, методы, оптимизация / А. З. Меликов, Д. А. Пономаренко, В. В. Паладюк. - Киев: Политехника, 2007. - 256 с.

60. Моисеев А. Н. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания /А. Н. Моисеева, А. А. Назаров. - Томск: Изд-во НТЛ, 2015. - 240 с.

61. Назаров А. А. Теория вероятностей и случайных процессов / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

62. Нежельская Л. А. Оценка состояний и параметров дважды стохастических потоков событий: диссертация на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук. -Томск, 2016. - 341 с.

63. Нежельская Л. А. Оценивание параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий в особом случае / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2020. - № 51. - С. 87-93.

64. Нежельская Л. А. Оценивание параметра непродлевающегося мертвого времени случайной длительности в рекуррентном обобщенном асинхронном потоке физических событий / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2020. - Т. 63, № 1 (745). - С. 88-93. (в переводной версии журнала, входящей в Web of Science: Nezhelskaya L. A. Estimate of the Parameter of Unextendable Random Dead Time in a Recurrent Generalized Asynchronous Flow of Physical Events /

L. A. Nezhelskaya, A. A. Pershina // Russian Physics Journal. - 2020. - Vol. 63, № 1. -P. 99-104).

65. Нежельская Л. А. Процедура оценивания параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий в особом случае / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2021. - № 54. - С. 65-73.

66. Нежельская Л. А. Оценивание методом максимального правдоподобия параметра распределения случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке событий / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2021. - №55. - C. 53-64.

67. Нежельская Л. А. Статистические эксперименты на имитационной модели обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся случайном мертвом времени / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. - Томск: Издательский Дом ТГУ, 2019.- Т. 304. - С. 49-58.

68. Нежельская Л. А. Оценивание параметра непродлевающегося мертвого времени случайной длительности в обобщенном асинхронном потоке событий / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019): материалы XVIII Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 26-30 июня 2019 г., Ч. 2. -Томск: Издательство НТЛ, 2019. - С. 352-357.

69. Нежельская Л. А. Оценка в особом случае параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мёртвого времени в обобщённом асинхронном потоке событий. / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур (ICAM - 2020). -Томск: Издательский Дом ТГУ, 2020. - С. 91-92.

70. Нежельская Л. А. Приближённое оценивание параметра распределения случайного мёртвого времени в рекуррентном обобщённом асинхронном потоке

методом максимального правдоподобия / Л. А. Нежельская, А. А. Першина // Робастная статистика и финансовая математика - 2020. - Томск: Издательство Томского университета, 2021. - С. 62-69.

71. Риордан Д. Вероятностные системы обслуживания / Д. Риордан. - М.: Связь, 1966. - 184 с.

72. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и её приложения / Т. Л. Саати. - 2-е изд. - М.: Советское радио, 1971. - 519 с.

73. Самуйлов К. Е. Методы анализа и расчета сетей ОКС-7 / К. Е. Самуйлов. - М.: Изд-во РУДН, 2002. - 292 с.

74. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло / И. М. Соболь. - М.: Наука, 1973. - 312 с.

75. Сущенко С. П. Анализ влияния длительности сквозного тайм-аута на операционные характеристики виртуального канала // Автоматика и вычислительная техника. - 1995. - № 4. - С. 43-66.

76. Хинчин А. Я. Математическая теория стационарной очереди // Математический сборник. - 1932. - Т. 39, № 4. - С. 73-84.

77. Хинчин А. Я. О пуассоновских потоках случайных событий // Теория вероятностей и ее применения. - 1963. - Т. 1, № 3. - С. 320-327.

78. Хинчин А. Я. О среднем времени простоя станков // Математический сборник. - 1933. - Т. 40, № 2. - С. 119-123.

79. Хинчин А. Я. Потоки случайных событий без последействия // Теория вероятностей. - 1956. - Т. 1. - С. 3-18.

80. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / А. Я. Хинчин. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

81. Цициашвили Г. Ш. Новые мультипликативные теоремы для сетей массового обслуживания / Г. Ш. Цициашвили, М. А. Осипова // Проблемы передачи информации. - 2005. - Т. 41, вып. 2. - С. 111-122.

82. Цициашвили Г. Ш. Перегрузка в узлах сети массового обслуживания / Г. Ш. Цициашвили, М. А. Осипова // Автоматика и телемеханика. - 2010. - №. 9. -С. 185-189.

83. Шитина А. А. Разработка и реализация программного модуля "Имитационное моделирование систем массового обслуживания, заданных пользователем" // Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. - Томск: Издательский Дом ТГУ, 2015 .- Т. 297. - С. 150-154.

84. Шитина А. А. Оценивание длительности мертвого времени в простейшем потоке событий /А. А. Шитина, М. Е. Завгородняя // Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики»: сборник тезисов докладов. - Томск: Издательство Томского университета, 2017. - С. 78.

85. Шитина А. А. Статистические эксперименты на имитационной модели пуассоновского потока событий при продлевающемся случайном мертвом времени // Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. -Томск: Издательский Дом ТГУ, 2018.- Т. 302. - С. 133-140.

86. Шуленин В.П. Математическая статистика. Ч. 1 / В. П. Шуленин. -Томск: Изд-во НТЛ, 2012. - 540с.

87. Balsamo S. A review on queueing networks models with finite capacity queues for software architectures performance prediction / S. Balsamo, V. De Nitto Persone, P. Inverardi // Performance Evaluation. - 2003. - Vol. 51, is. 2. - P. 269-288.

88. Bartlett M. S. The spectral analysis of point processes // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. - 1963. - Vol. 25, is. 2. - P. 264-296.

89. Basharin G. P. Mathematical Theory of Teletraffic and Its Application to the Analysis of Multiservice Communication of Next Generation Networks / G. P. Basharin, Yu. V. Gaidamaka, K. E. Samouylov // Automatic Control and Computer Sciences. -2013. - Vol. 47, is. 2. - P. 62-69.

90. Baskett F. Open, closed and mixed networks of queues with different classes of customers / F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz, F. G. Palacios // Journ. ACM. -1975. - Vol. 22, is. 2. - P. 248-260.

91. Best J. Doubly stochastic processes: an approach for understanding central nervous system activity // Selected Topics on Applied Mathematics, Circuits, Systems and Signals. - WSEARS Press, 2009. - P. 155-158.

92. Bouzas P. R. Modelling the mean of a doubly stochastic Poisson process by functional data analysis / P. R. Bouzas, M. J. Valderrama, A. M. Aguilera, N. RuizFuentes // Computational Statistics and Data Analysis. - 2006. - Vol. 50, is. 10. - P. 2655-2667.

93. Card H. C. Doubly stochastic Poisson Processes in artifical neural learning // Neural Networks, IEEE Transactions. -1998. - Vol. 9, is. 1. - P. 229-231.

94. Centanni S. A. Monte Carlo approach to filtering for a class of marked doubly stochastic Poisson processes / S. Centanni, M. Minozzo // Journal of the American Statistical Association. - 2006. - Vol. 101. - P. 1582-1597.

95. Centanni S. Estimation and filtering by reversible jump MCMC for a doubly stochastic Poisson model for ultra-high-frequency financial data / S. Centanni, M. Minozzo // Stat. Model. - 2006. - Vol. 6. - P. 97-118.

96. Cox D. Point processes / D. Cox, V. Isham. - Chapman and Hall, 1980. - 181p.

97. Cox D. R. Some statistical methods connected with series of events // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. - 1955. - Vol. 17, is. 2. - P. 129-164.

98. Cox D. R. The theory of stochastic processes / D. R. Cox, H. D. Miller. - N.Y.: Wiley, 1965. - 398 p.

99. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of supplementary variables // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. -1955. - Vol. 51, is.3. - P. 433-441.

100. Daley D. J. An introduction to the theory of point processes / D. J. Daley, D. Vere-Jones. - New York: Springer-Verlag, 1988. - 471 p.

101. Dudin A. N. The MMAP/M/R/0 queueing system with reservation of servers operating in a random environment / A. N. Dudin, A. A. Nazarov // Problems of Information Transmission. - 2015. - Vol. 51, is. 3. - P. 289-298.

102. Efrosinin D. On performance characteristics for queueing systems with heterogeneous servers/ D. Efrosinin, V. Rykov //Automation and Remote Control. -2008. - Vol. 69, is. 1. - P. 61-75.

103. Erlang A. K. The theory of probabilities and telephone conversations // Nyt Tidsskrift for Matematik. Seria B. - 1909. - Vol. 20. - P. 33-39.

104. Erlang A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // Elektrotkeknikeren. - 1917. - Vol. 13. - P. 5-13.

105. Fischer W. The Markov-modulated Poisson process (MMPP) cookbook / W. Fischer, K. Meier-Hellstern // Performance Evaluation. - 1993. - Vol. 18, is. 2. - P. 149171.

106. Gelenbe E. Analysis and synthesis of computer systems / E. Gelenbe, I. Mitrani. - London: Academie Press, 1980. - 239 p.

107. Gelenbe E. The behaviour of a single queue in a general queueing networks / E. Gelenbe, G. Pujolle // Acta Informatica. - 1976. - Vol. 7, is. 2. - P. 123-136.

108. Gordon W. J. Closed queueing system with exponential servers / W. J. Gordon, G. F. Newell // Operations Research. - 1967. - Vol. 15, is. 2. - P. 254-265.

109. Gortsev A. M. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events / A. M. Gortsev, L. A. Nezhelskaya // Discrete Mathematics and Applications. - 2011. - Vol. 21, is. 3. - P. 283-290.

110. Gortsev A.M. An estimate for intensity of Poisson flow of events under the condition of its partial missing / A.M. Gortsev, I.S. Klimov // Radiotekhnika. - 1991. -№. 12. - P. 3-7.

111. Gortsev A.M. Estimation of intensity of Poisson stream of event for conditions under which it is partially unobservable / A.M. Gortsev, I.S. Klimov // Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Elektrosvyaz and Radiotekhnika). - 1992. - Vol. 47, is. 1. - P. 33-38.

112. Gortsev A.M. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events / A.M. Gortsev, L.A. Nezhel'skaya // Measurement Techniques. - 2003. Vol. 46, is.6. - P. 536-545.

113. Gortsev A.M. Estimation of the non-observability period and intensity of Poisson event flow / A.M. Gortsev, I.S. Klimov // Radiotekhnika. - 1996. - No. 2. - P. 8-11.

114. Gortsev A.M. Joint probability density of interarrival interval of a flow of a physical events with unextendable dead time period / A.M. Gortsev, A.A. Solov'ev // Russian Physics Journal. - 2014. Vol. 57, is. 7. - P. 973-983.

115. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes / J. Grandell. -BerlinHeidelberg: Springer-Verlag, 1976. - 240 p.

116. Harrison J. M. A note on networks of infinite-server queues / J. M. Harrison, A. J. Lemoin // J. Appl. Probab. - 1981. - Vol. 18, is. 2. - P. 561-567.

117. Heindl A. Decomposition of general tandem queueing networks with MMPP input // Performance Evaluation. - 2001. - Vol. 44, is. 1-4. - P. 5-23.

118. Hiller F. S. Finite queues in series with exponential or erlang service times. A numerical approach / F. S. Hiller, R. W. Boling // Operations Research. - 1967. - Vol. 15. - P. 286-303.

119. Hossain M. M. Approximate methods in Bayesian point process spatial models / M. M. Hossain, A. B. Lawson // Computational Statistics and Data Analysis. -2009. - Vol. 53 (8). - P. 2831-2842.

120. Iglehart D. L. Weak convergence in queueing theory // Adv. Appl. Prob. -1973. - Vol. 5. - P. 570-594.

121. Jackson J. R. Job-shop-like queueing systems // Manag. Sci. - 1963. - Vol. 10, is. 1. - P. 131-142.

122. Jackson J. R. Networks of waiting lines // Operations Research. - 1957. -Vol. 5, is. 4. - P. 518-521.

123. Kelly F. P. Networks of queues // Advances in Applied Probability. - 1976. -Vol. 8, is. 2. - P. 416-432.

124. Kendall D. G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chains // Annals of Mathematical Statistics. -1953. - Vol. 24, is. 3. - P. 338-354.

125. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1964. - Vol. 60, is. 4. - P. 923-930.

126. Korzun D. A TCP-like control of notification delivery for subscription operation in smart spaces / D. Korzun, M. Pagano, A. Vdovenko // Distributed Computer

and Communication Networks: Control, Computation, Communications): proc. of the eighteenth Int. Scientific Conf. (DCCN-2015). Moscow, October 19-22, 2015. -Moscow: ICS RAS, 2015. - P. 10-18.

127. Labetoulle J. Network of queues / J. Labetoulle, G. Pujolle // IEEE Trans. Software Engineering. - 1980. - Vol. 6, is. 4. - P. 373-381.

128. Lam S. S. Queueing network models of packet switching networks, Part 2: Networks with population constations / S. S. Lam, J. W. Wong // Performance Evaluation.

- 1982. - Vol. 2, is. 3. - P. 161-180.

129. Lucantoni D. M. New results on the single server with a bath Markovian arrival process // Stochastic Models. - 1991. - Vol. 7, is. 1. - P. 1-46.

130. Livshits K. Steady state probabilistic characteristics of the on/off production rate control production-inventory system with MMPP demand arrivals / K. Livshits, A. Kitaeva, E. Ulyanova // Communications in Computer and Information Science. - 2018.

- Vol. 912. - P. 248-262.

131. Marie R. Steady-state probabilities for a queue with a general service distribution and state dependent arrivals / R. Marie, Pellaumail J. // IEEE JSE. - 1983. -Vol. SE-9, is. 1. - P. 109-113.

132. Martikainen O. Call Processing Model for Multimedia Services / O. Martikainen, V. Naumov, K. Samouylov // Intelligent Networks and New Technologies (V. B. Iversen and J. Norgaard ed.). - London: Chapman&Hall, 1996. - P. 181-192.

133. McKenna J. A class of closed Markovian queueing networks: Integral representations, asymptotic expansions, generalizations / J. McKenna, D. Mitra, K. G. Ramakrishnan // Bell Syst. Techn. J. - 1981. - Vol. 60, is. 5. - P. 709-745.

134. Medhi J. Stochastic models in queueing theory / J. Medhi. - 2nd ed. - N.Y.: Academic Press, 2003. - 482 p.

135. Neuts M.F. A versatile Markovian point process // Journal of Applied Probability. - 1979. - Vol. 16, is. 4. - P. 764-779.

136. Nezhel'skaya L. Optimal state estimation of semi-synchronous event flow of the second order under its complete observability / L. Nezhel'Skaya, D. Tumashkina //

Communications in Computer and Information Sciences. - 2018. - Vol. 912. - P. 93105.

137. Nezhel'Skaya L. Probability density function for modulated MAP event flows with unextendable dead time // Communications in Computer and Information Sciences.

- 2015. - Vol. 564. - P. 141-151.

138. Nezhelskaya L.A. Conditions for Recurrence of a Flow of Physical Events with Unextendable Dead Time Period // Russian Physics Journal. - 2016. -Vol. 58, is.12.

- P. 1859-1867.

139. Nezhel'skaya L.A. Optimal state estimation in modulated MAP event flows with unextendable dead time // Communications in Computer and Information Sciences.

- 2014. - Vol. 487. - P. 342- 350.

140. Normey-Rico J. E. Control of dead-time process / J. E. Normey-Rico. -London: Springer-Verlag, 2007. - 462 p.

141. Palm C. Analysis of the Erlang traffic formula for busy-signal arrangements // Ericsson Technics. - 1938. - Vol. 5, is. 9. - P. 39-58.

142. Pollaczek F. Problemes stochastiques poses par le phenomene de formation d'une queue d'attente a un guichet et par des phenomenes apparentes // Memorial des sciences mathematiques. - 1957. - Vol. 136. - P. 1-123.

143. Rieman M. I. Open queueing networks in heavy traffic // Math. Operations. Research. - 1984. - Vol. 9, is. 3. - P. 441-458.

144. Riordan J. Stochastic service systems / J. Riordan. - New York: John Wiley & Sons, 1962. - 139 p.

145. Spirn J. R. Queueing networks with random selection for service // IEEE Trans. on Software Engineering. - 1979. - Vol. SE-5, is. 3. - P. 287-289.

146. Syski R. Introduction to congestion theory in telephone systems / R. Syski. -Edinburgh and London: Oliver and Boyd, 1960. - 742 p.

147. Takacs L. M. Introduction to the theory of queues / L. M. Takacs. - New York: Oxford University Press, 1962. - 584 p.

148. Vishnevsky V. M. Optimization of topological structure of broadband wireless networks along the long traffic routes / V. M. Vishnevsky, A. A. Larionov, R.

V. Smolnikov // Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications): proc. of the eighteenth Int. Scientific Conf. (DCCN-2015). Moscow, October 19-22, 2015. - Moscow: ICS RAS, 2015. - P. 27-35.

149. Walrand J. An introduction to queueing networks / J. Walrand. - N.Y.: Prentice-Hall, 1988. - 384 p.

148

Приложение А

(обязательное) Имитационное моделирование

Метод имитационного моделирования широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит компьютер, позволяющий осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов. При имитационном

моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы. При исследовании процесса методом имитационного моделирования должно быть реализовано наблюдение за ним с течением времени.

Основные преимущества имитационного моделирования по сравнению с аналитическими методами заключаются в следующем:

1) большая адекватность между сущностью физического явления (объекта) и математической моделью физического явления (объекта);

2) более широкий охват физических процессов и систем по сравнению с аналитическими методами;

3) возможность моделирования процессов и систем при разнообразных законах распределения случайных величин как в установившихся, так и в переходных режимах;

4) получение в результате имитационного моделирования самых разнообразных статистических характеристик исследуемых процессов и систем.

Для получения численных результатов разработана программа имитационного моделирования обобщённого асинхронного потока событий, функционирующего в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону. Программа реализована на языке программирования С# в среде Microsoft Visual Studio 2017. Первый этап расчёта предполагает имитационное моделирование исходного потока событий, схемы

создания непродлевающегося случайного мёртвого времени и наблюдаемого потока событий. Результатом работы имитационной модели являются: 1) последовательность значений длительности периодов ненаблюдаемости событий исходного потока {Т,...,Тп}, где Тп - значение длительности мёртвого времени, порождённое последним наблюдаемым событием на интервале моделирования Тт; 2) последовательность значений интервалов времени между

соседними событиями наблюдаемого потока тк = ^+1 - ^, к = 1, п -1, на основании

которых формируется статистика С = (1/п) ^ п хк, хк > 0 (оценка математического

ожидания М(т|Т ) - длительности интервалов между соседними событиями наблюдаемого потока). Статистика С необходима для выписывания уравнения

моментов М(т | т ) = с, решением которого является значение оценки Т*.

150

Приложение Б

(обязательное) Блок-схема имитационной модели

На рисунках Б.1 - Б.3 представлена блок-схема алгоритма имитационного моделирования потока событий в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени. На рисунках Б.1 - Б.3 введены следующие обозначения: Tm - время моделирования;

t1 - момент наступления события в обобщённом асинхронном потоке; t2 - момент окончания длительности мёртвого времени; t3 - момент наступления события в наблюдаемом потоке; T - значение длительности мёртвого времени;

Y - значение случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [0,1];

х, z, t - вспомогательные переменные; State - переменная, обозначающая состояние, в котором процесс находится в момент моделирования;

DurationState - длительность нахождения процесса в состоянии State; EndState - момент окончания нахождения процесса в состоянии State; Discrete(p) - функция, которая в зависимости от параметра p принимает случайное значение 0 или 1 (с вероятностью p принимает значение 1, с вероятностью 1 -p принимает значение 0;

Discrete(q) - функция, которая в зависимости от параметра q принимает случайное значение 0 или 1 (с вероятностью q принимает значение 1, с вероятностью 1 - q принимает значение 0;

n1 - количество событий в обобщённом асинхронном потоке; Выходом имитационной модели является tt\ - последовательность

моментов наступлений событий в наблюдаемом потоке. Последовательность {т} -интервалов времени между соседними событиями обобщённого асинхронного

потока событий вычисляется по формуле: xk = 13Ш -1к = 1,n -1, на основании которых формируется статистика С = (Vп) ^ п хк, хк > 0.

Рисунок Б.1 - Блок-схема алгоритма имитационного моделирования обобщённого асинхронного потока событий в условиях непродлевающегося случайного

мёртвого времени (часть 1)

I I

Рисунок Б.2 - Блок-схема алгоритма имитационного моделирования обобщённого асинхронного потока событий в условиях непродлевающегося случайного

мёртвого времени (часть 2)

Рисунок Б.3 - Блок-схема алгоритма имитационного моделирования обобщённого асинхронного потока событий в условиях непродлевающегося случайного

мёртвого времени (часть 3)

154

Приложение В

(обязательное) Алгоритмы оценивания параметра Т

Алгоритм оценивания параметра Т* методом моментов в коррелированном потоке в общем случае: 1) вход: С, полученное из имитационной модели с заданными параметрами; 2) методом простой итерации численно решается

уравнение моментов, где М(т | Т ) определено формулой (2.28), С определена в

(2.37), т.е. находится значение ММ -оценки т* .

Алгоритм оценивания параметра Т* методом моментов в коррелированном потоке в особом случае: 1) вход: С, полученное из имитационной модели с заданными параметрами; 2) методом простой итерации численно решается

уравнение моментов, где

М(т | Т ) определено формулой (2.38), С определена в (2.37), т.е. находится значение ММ -оценки т* .

Алгоритм оценивания параметра Т* методом моментов в реккурентном потоке в общем случае: 1) вход: С, полученное из имитационной модели с заданными параметрами; 2) методом простой итерации численно решается

уравнение моментов, где

М(т | Т )

определено формулой (3.18), С определена в (2.37), т.е. находится значение ММ -оценки т* .

Алгоритм оценивания параметра Т* методом моментов в реккурентном потоке в особом случае: 1) вход: С, полученное из имитационной модели с

заданными параметрами; 2) методом простой итерации численно решается

*

уравнение моментов, где М(т | Т ) определено формулой (3.42), С определена в (2.37), т.е. находится значение ММ -оценки т* .

Алгоритм оценивания параметра Т* методом максимального правдоподобия в реккурентном потоке в общем случае:

1) вход: величины т1, т2 ,..., тп, полученные из имитационной модели с заданными параметрами, которые упорядочиваются по возрастанию: 0 <х(1) <х(2) <... <х(п) ;

2) вычисляются значения функции правдоподобия (4.10) в точках т = х(к),

— ((к) I т^^ *

к = 1,п, где Р( 1 ), р2(х Iт ) определены в (3.5), (3.10) соответственно;

3) находится максимальное значение функции (4.10) на множестве этих точек;

4) в качестве приближённой МП-оценки параметра Т выбирается Т , обеспечивающее максимальное значение функции (4.10) на предыдущем шаге алгоритма.

Алгоритм оценивания параметра Т* методом максимального правдоподобия в реккурентном потоке в особом случае:

1) вход: т1, т2 ,..., тп, полученные из имитационной модели с заданными параметрами, которые упорядочиваются по возрастанию: 0 < х(1) < х(2) <... <х(п) ;

2) вычисляются значения функции правдоподобия (4.10) в точках Т* = х(к),

_ р (х( к )| Т * ) ({к )]т

к = 1,п, где У1К 1 Р2(х 1 т ) определены в (3.35), (3.37) соответственно;

3) находится максимальное значение функции (4.10) на множестве этих точек;

4) в качестве приближённой МП-оценки параметра Т выбирается Т , обеспечивающее максимальное значение функции (4.10) на предыдущем шаге алгоритма.

156

Приложение Г

(справочное)

Акт внедрения результатов диссертации в учебный процесс Национального исследовательского Томского государственного университета

Настоящим подтверждается, что результаты диссертации Першиной A.A. «Оценивание параметра распределения длительности непродлевающегося случайного мёртвого времени в обобщённом асинхронном потоке событий», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации), используются в учебном процессе Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета при проведении занятий по дисциплине «Имитационное моделирование» для студентов 4 курса (бакалавриат), а также в лекционных курсах «Оценка состояний дважды стохастических потоков событий» и «Оценка параметров дважды стохастических потоков событий» для студентов 2-го года обучения (магистратура).

Директор ИПМКН

доктор технических наук, профессор A.B. Замятин

Заведующий кафе^фой прикладной математики ИПМКН^ ^

Акт

о внедрении результатов кандидатской диссертации Першиной А.А.

в учебный процесс НИ ТГУ

А.М. Горцев