Оценивание квазидетерминированных процессов с учетом ограничений на их величину и производную в задачах спутниковой навигации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Зайцев Олег Владимирович

• Зайцев Олег Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Зайцев Олег Владимирович

SYNOPSIS

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПРОЦЕССОВ, ПРИМЕНИМЫХ К ЗАДАЧАМ СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИИ В УСЛОВИЯХ ОТСУТСТВИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПРИ НАЛИЧИИ ПРОПУСКОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1. Постановка задачи оценивания процессов на основе их кусочно -полиномиального представления, непрерывной дифференцируемости и ограничений в навигационных спутниковых приложениях

1.2. Математические основы для построения алгоритмов оценивания кусочно -полиномиальных процессов с учетом ограничений

1.3. Обзор существующих алгоритмов оценивания, применимых к задачам спутниковой навигации в нестандартных с точки зрения стохастического подхода условиях

1.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИХ КУСОЧНО -ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ И ОГРАНИЧЕНИЙ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1. Исследование алгоритмов оценивания при отсутствии пропусков измерений

2.2.Исследование алгоритмов восстановления при одиночном протяженном пропуске в поступлении измерений

2.3.Исследование алгоритмов восстановления при редком поступлении измерений

2.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 3. КАМЕРАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРЕЦИЗИОННЫХ ПОЗИЦИОННЫХ ГНСС-РЕШЕНИЙ ПРИ ИХ ПРОТЯЖЕННЫХ ПРОПУСКАХ И РЕДКОМ ПОСТУПЛЕНИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ НАТУРНЫХ ДАННЫХ

3.1. Восстановление прецизионных ГНСС-решений при их одиночном пропуске и редком поступлении с использованием кодовых дифференциальных решений

3.2. Восстановление редких прецизионных ГНСС-решений с использованием результатов Precise Point Positioning

3.3. Восстановление редких прецизионных ГНСС-решений с использованием решений на основе данных Satellite Based Augmentation System

3.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 4. ПРОГНОЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОПРАВОК К КОДОВЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ ГНСС С ПРИМЕНЕНИЕМ НАТУРНЫХ ДАННЫХ

4.1. Разработка алгоритмов прогноза ДП на основе их полиномиального представления и ограничений с учетом возможности их реализации в реальном времени

4.2. Моделирование разработанных алгоритмов прогноза ДП и их апробация с применением натурных реализаций дифференциальных поправок

4.3 Выводы к Главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

140

РЕФЕРАТ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание квазидетерминированных процессов с учетом ограничений на их величину и производную в задачах спутниковой навигации»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность и степень научной разработанности темы диссертации

Алгоритмы стохастического оценивания на основе фильтра Калмана (ФК) находят широкое применение в задачах обработки навигационной информации. Однако для эффективного применения таких алгоритмов необходимо адекватное описание оцениваемых процессов с помощью дифференциальных стохастических уравнений, которые на практике не всегда удается определить. С такой проблемой приходится сталкиваться, например, при обработке данных глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) в случае разреженной диаграммы их поступления [1 - 3].

Описание погрешностей данных ГНСС с помощью стохастической модели, даже если речь идет только о наиболее существенных по уровню медленноменяющихся составляющих, проблематично из-за трудноучитываемых факторов, влияющих на их уровень и поведение - состояние ионосферы и тропосферы, прием переотраженных сигналов. Представляется, что для построения надежных алгоритмов обработки данных ГНСС следует опираться на не очень детальную, но, в то же время, достоверную информацию об их погрешностях, как то непрерывная дифференцируемость и соблюдение ограничений для самой погрешности и ее производной.

Роль модели оцениваемого процесса значительно повышается, когда приходится иметь дело с протяженными пропусками или изначально редким поступлением измерений. Такого рода задачи особенно чувствительны к несоответствию заложенной в модель динамики процесса его реальному поведению. Здесь критически важно правильно учесть возможную изменчивость процесса, чтобы по имеющимся измерениям как можно точнее реконструировать его в период отсутствия измерений. Модель оцениваемого процесса не должна излишне жестко регламентировать его изменчивость, если в таком поведении нет уверенности. Но в модели нужно передать базовую информацию об уровне и

поведении процесса, без учета которой точность оценивания процесса в период отсутствия измерений будет низкой.

В диссертационной работе рассматриваются два типа задачи оценивания данных ГНСС в период отсутствия измерений - это восстановление, когда измерения присутствуют слева и справа от пропуска, и прогноз, когда имеются измерения только слева от пропуска. Восстановление требуется при камеральной обработке данных, прогноз предназначен, главным образом, для реального времени. Протяженные пропуски и редкое поступление данных ГНСС при работе в дифференциальном режиме представляют собой достаточно распространенное явление. Так в задачах реального времени приходится сталкиваться с пропусками в поступлении дифференциальных поправок (ДП) из-за сбоев на базовой станции (БС), вырабатывающей ДП, и в радиоканале связи, по которому они транслируются. В камеральном режиме можно использовать зарегистрированные и предварительно проверенные данные БС, проблем с их трансляцией здесь нет. Но в случае камеральной обработки фазовых измерений ГНСС с целью получения прецизионных навигационных решений такие решения могут быть пропущены из-за невозможности исключить фазовую неоднозначность. Исключение фазовой неоднозначности не может быть гарантировано даже при использовании коммерческого программного обеспечения, предназначенного для решения геодезических задач по данным ГНСС. Кроме того, камеральный вариант дифференциального режима обработки данных ГНСС иногда может быть реализован только на основе находящихся в открытых интернет ресурсах измерений БС, где они представлены с дискретностью 30 с. Полученные по этим данным редкие прецизионные решения требуется «размножить» на интересующей потребителя частоте (обычно от 1 до десятков герц).

Исследуемые в работе алгоритмы восстановления прецизионных ГНСС -решений и прогноза ДП нацелены на повышение точности навигационных потребителей без значительных вычислительных затрат. При этом алгоритмы прогноза ДП могут использоваться в приемниках ГНСС и сильносвязанных инерциально-спутниковых системах.

Показателем эффективности алгоритмов служит привычная для навигационных потребителей среднеквадратическая погрешность (СКП), в том числе, полученная в ходе экспериментов с натурными данными приемников ГНСС.

Таким образом, заявленная тема диссертационной работы является актуальной. Объект исследования: навигационные решения по данным ГНСС, дифференциальные поправки к измерениям ГНСС.

Цель работы - получение эффективных по точности и вычислительным затратам решений задач восстановления и прогноза спутниковых данных в условиях отсутствия для них моделей в виде стохастических уравнений. Основные задачи:

1. Реализовать и промоделировать алгоритмы камерального восстановления прецизионных навигационных решений по фазовым измерениям ГНСС в дифференциальном режиме с использованием решений на основе ДГЛОНАСС/DGPS, Precise Point Positioning (PPP) и Satellite Based Augmentation System (SBAS). Выработать рекомендации по выбору параметров наиболее эффективного алгоритма.

2. Апробировать алгоритмы восстановления путем камеральной обработки натурных данных ГНСС.

3. Разработать и промоделировать пригодные для использования в реальном времени алгоритмы прогноза ДП к кодовым измерениям ГНСС с учетом ранее поступивших ДП, количество которых зависит от длительности прогноза. Оценить вычислительную сложность алгоритмов.

4. Апробировать алгоритмы прогноза путем камеральной обработки натурных данных ГНСС.

Положения, выносимые на защиту

1. Алгоритмы прогноза дифференциальных поправок к кодовым спутниковым измерениям с последовательной обработкой предварительно накопленных поправок в обратном времени.

2. Оценки эффективности алгоритмов прогноза дифференциальных поправок к кодовым спутниковым измерениям.

3. Оценки эффективности алгоритмов камерального восстановления прецизионных навигационных решений по фазовым спутниковым измерениям с использованием ДГЛОНАСС/DGPS, Precise Point Positioning и Satellite Based Augmentation System.

4. Рекомендации по выбору параметров алгоритма камерального восстановления прецизионных навигационных решений по фазовым спутниковым измерениям.

Научная новизна

Показана возможность восстановления прецизионных ГНСС-решений и прогноза ДП на основе квазидетерминированного кусочно-полиномиального представления оцениваемых процессов - медленноменяющихся составляющих погрешности прецизионных решений и дифференциальных поправок - с соблюдением их непрерывной дифференцируемости и ограничений, а также с учетом наличия составляющих со стохастическим описанием. Предложенные алгоритмы:

- в отличие от подходов на основе ФК и авторегрессии, не требуют детального описания динамики оцениваемых процессов с помощью высокоразмерных моделей;

- в отличие от метода главных компонент, реализуемы в бортовых условиях без существенных вычислительных затрат;

- в отличие от линейной интерполяции (ЛИ) и линейного прогноза (ЛП), способны передать изгибы оцениваемого сигнала;

- в отличие от фиксированного прогноза (ФП), вырабатывают оценку, способную учитывать резкие (несколько метров за 1000 с) перепады уровня ДП;

- в отличие от нейросетей, не требуют полноту обучающей выборки.

Теоретическая и практическая значимость

1. Применение разработанных алгоритмов позволяет повысить точность позиционирования потребителей ГНСС, в частности, при постобработке полевых измерений в задачах геодезии и картографирования, а также прогнозе медленноменяющихся составляющих процессов в реальном времени.

2. На основе разработанных алгоритмов могут быть созданы эффективные программные продукты для камеральной обработки данных ГНСС, частично обеспеченных ДП, а также программное обеспечение для бортовой аппаратуры навигационных систем, использующих спутниковые измерения с ДП в условиях их неустойчивого приема.

Методология и методы исследования

Теория линейной и нелинейной фильтрации, теория вероятности, методы нелинейного программирования, компьютерное моделирование, эксперимент, обработка натурных данных.

Степень достоверности и апробация результатов

Материалы работы были представлены на следующих российских и международных конференциях: XXV Международная научно-техническая конференция «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (2016 г, Алушта), конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» с международным участием (2016, 2017, 2018 гг., АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт - Петербург), «Современные достижения в области навигации и управления движением» (2017 г., Карлсруэ, Германия), XXIV Санкт-Петербургская Международная конференция по интегрированным навигационным системам (2017 г, АО «Концерн «ЦНИИ

«Электроприбор», Санкт - Петербург), 12-ая международная научно-техническая конференция по теме «Тенденции и гармонизация развития радионавигационного обеспечения» (2017 г., МАДИ, Москва), VII Конгресс молодых ученых (2018 г., Университет ИТМО, Санкт - Петербург), XXXI конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н.Н. Острякова (2018 г., АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт - Петербург).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, списка сокращений, одного приложения. Общий объем диссертации - 90 страниц, включая библиографию из 99 наименований. Работа содержит 34 рисунка, размещенных внутри глав.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальности темы диссертации, приводится краткое содержание ее глав.

В первой главе сформулирована постановка задачи оценивания непрерывно-дифференцируемых процессов на основе их кусочно-полиномиального представления с ограничениями на их уровень и первую производную. Представлены формулы для построения алгоритмов ее решения на основе теоретических результатов [4]. Материал излагается с учетом специфики навигационных спутниковых приложений при протяженных пропусках и редком поступлении данных ГНСС. Это новое практическое применение результатов [4]. В главе также представлен краткий обзор других наиболее известных современных алгоритмов, которые можно использовать для восстановления и прогнозирования стохастически неопределенных процессов. Указаны недостатки, препятствующие их эффективному применению в задачах спутниковой навигации.

На практике применяется широкий спектр алгоритмов оценивания процессов в условиях неопределенности их стохастического описания с пропущенными или редко поступающими измерениями, однако в рамках диссертации рассмотрены лишь основные подходы. Отмечено, что некоторым перечисленным методам восстановления пропусков свойственна значительная трудоемкость (метод главных компонент, описанный в [5], авторегрессия с высоким порядком модели, рассмотренная в работе [6], адаптивные многоальтернативные методы, которым посвящены работы [7,8]. Возможности прогноза ДП с помощью нейронных сетей изучались только на несколько секунд, как показано в работе [9], в то время как на практике ДП могут прерываться на значительно более длительное время.

Альтернативным вариантом в этом случае представляется создание модифицированных под задачи восстановления и прогноза легко реализуемых алгоритмов, с заложенными в них результатами [4]. Следует отметить, что одно из первых решений задачи оценивания с учетом ограничений на скорость судна описано в книге [10]. Обощенная схема прогноза и восстановления пропущенных данных ГНСС представлена на рисунке 1.

Геостационарные ^спутники

Данные ЭВАЭ .

Приемник потребителя

Формирование дифф. решений

Алгоритм прогноза ДП -

Ключ 1 разомкнут, когда есть сбой на БС или в радиоканале

Ключ 2 разомкнут, когда не разрешена фазовая

неоднозначность или дискретность прецизионных решений превышает дискретность грубых

Камеральный режим

Редкие измерения БС

Интернет *

Данные для РРР

Прецизионные решения

Формирование грубых и

Алгоритм восстановления

Оценка погрешности грубых решений

/Ск орректи рованные грубые решения (восстановленные прецизионные)

Рисунок 1 -Схема прогноза ДП и восстановления прецизионных ГНСС-

решений

Рассматриваемые в работе задачи восстановления и прогноза формально сводятся к задаче оценивания некоторого медленноменяющегося скалярного

процесса ё ('к) по скалярным же измерениям, содержащим в общем случае как коррелированные, так и белошумные помехи

Уk =ё('к) + н('к) 'хк +П, (1)

где хк - вектор, описывающий коррелированные во времени помехи с помощью

модели хк =фк 'хк-1 + Щк, Н('к), Фk - известные матрицы, Щ ,ук - взаимно независимые дискретные гауссовские белые шумы с нулевым средним и известными ковариационной матрицей и дисперсиями, ''к =к А к е Z -дискретные моменты времени, А' - интервал дискретности. Значения Ук в некоторые моменты времени 'к пропущены.

В задаче прогноза Ук - это поступившие до перерыва ДП, ё ('к) -медленноменяющаяся составляющая их погрешности.

В задаче восстановления в качестве измерений ук выступают разности одного из трех грубых (кодовых дифференциальных/SBAS/РРР) и прецизионных (фазовых дифференциальных) решений. Процесс ё ('к) здесь представляет собой медленноменяющуюся квазидетерминированную составляющую погрешности грубых решений. Оценив ё ('к) по разностям ук можно компенсировать погрешность грубых решений, и, таким образом, приблизить их к точности прецизионных решений в период их отсутствия.

Предположим, что составляющая ё ('к) непрерывно дифференцируема. Представим ее в виде

ё(') =с р). (2)

где р(') - непрерывно дифференцируемая функция, для которой справедливы неравенства

<Р. (3)

с, р - известные параметры.

р(0 <1, Р(О

Пусть на интервалах времени [t(s-1),t(ss = 1..S, где t(s) = s • T, T, s-длительность и номера интервалов, функция p(t) допускает кусочно-полиномиальное представление 2-й степени

pit)* b0) + 4s) • +bs) - b0s) - b2f)) • (4)

Коэффициенты в (4) - постоянные неизвестные параметры. Между ними существует взаимосвязь

b(s+1) = b(s), b(2s+1) = 2 • b(s) - 2 • b(s) - b(s), (5)

которая обуславливает непрерывность и непрерывную дифференцируемость p(t) на стыках интервалов.

Выражение (4) может быть переписано в векторно-матричной форме

p(t) * B(t) • b(S>, (6)

где b(S) = (bg^,b^p,b^,-.,b(S))T, B(t) - матрица-строка, вытекающая из (4), (5).

Таким образом, задача сводится к оцениванию вектора коэффициентов b(S) по измерениям (1) с учетом выражений (2), (6) и неравенств (3).

Следует отметить, что решение этой задачи нельзя обеспечить просто путем применения ФК, который не предусматривает возможность учета неравенств (3). Чтобы облегчить получение решения целесообразно вместо минимизации СКП оценок максимизировать функцию правдоподобия измерений (1) относительно

вектора полиномиальных коэффициентов b(S)

b(S) = arg max f(y | b(S)) = arg min (b(S) - b(S) f -Pf1- (b(S) - b(S)), (7)

b(S )eB(S) b(S) eB(S)

где y - вектор, объединяющий используемые в задаче измерения; B(S - область, включающая те и только те значения b(S), при которых выполняются ограничения (3); Д - оценка вектора Ъ^ и ковариационная матрица ее

погрешности, полученные в ФК, который оценивает вектор состояния X\ = (Ь( ^ \ хI )Т по измерениям (1). Второе равенство в (7) доказано в работе [4].

Во второй главе представлены и проанализированы результаты моделирования решения задачи восстановления процесса g(t), в качестве которого выступала гармоника. Поскольку гармоника отвечает условию непрерывной дифференцируемости, и она, как и ее производная, строго ограничены, примеры с ее участием позволяют в полной мере раскрыть потенциальные возможности алгоритмов оценивания, учитывающих данные свойства. Кроме того, в реализациях ДП и погрешностях ГНСС-решений могут присутствовать колебания, подобные гармоническим, хотя и с неизвестной частотой. Поэтому проводимое моделирование не оторвано от рассматриваемых прикладных задач, и полученные на его основе результаты и рекомендации обладают определенной ценностью.

В экспериментах использовался набор из 1000 случайных реализаций гармонического процесса с амплитудой (параметр с в (2)), равной 2, периодом 800с и равномерно распределенными от 0 до 2% начальными фазами, коррелированных помех и шума измерений. Коррелированная во времени помеха измерений (1) представлена стационарным узкополосным марковским процессом второго порядка со среднеквадратическим значением 0,05, интервалом корреляции 4с и преобладающим периодом 2с.

В работе представлены результаты исследования эффективности трех алгоритмов восстановления. Это алгоритм квадратичного восстановления (КВ), использующий (4) с учетом (5) - по существу, это не что иное, как сплайн-аппроксимация 2-й степени; алгоритм квадратичного восстановления с ограничениями (КВО), в котором, в соответствии с [4], дополнительно учитываются неравенства (3); и стандартный способ восстановления пропущенных данных - ЛИ. Мерой эффективности алгоритмов служит среднеквадратическая погрешность (СКП).

В таблицу 1 сведены результаты исследования эффективности алгоритмов КВ, КВО при пропуске в поступлении измерений в течение 200с и регулярном их поступлении до и после пропуска с дискретностью 0,1с на участках длительностью Ь. Среднеквадратическое значение шума измерений здесь составляет 1. Число интервалов £ кусочно-полиномиального представления восстанавливаемого процесса в алгоритмах КВ и КВО подбиралось так, чтобы минимизировать наибольшую на интервале пропуска измерений СКП восстановления.

Таблица 1 - Результаты КВ и КВО при 200-секундном пропуске в поступлении

измерений

Ь, с 50 100 150 200 250 300 350 400

£ для КВ 2 2 2 4 4 4 6 6

Наибольшая в пропуске СКП КВ 0,45 0,27 0,27 0,21 0,2 0,2 0,19 0,19

£ для КВО 2 2 4 3 4 4 6 5

Наибольшая в пропуске СКП КВО 0,37 0,27 0,20 0,17 0,15 0,17 0,17 0,16

Максимальное значение СКП восстановления для ЛИ не зависит от Ь и составляет 0,98.

В таблице 2 приведены диапазоны максимальных СКП КВ и КВО между моментами поступления измерений, разделенных 240-секундными интервалами. Здесь моделирование проводилось с тем же гармоническим процессом и

помехами, как и при протяженном пропуске, за исключением того, что среднеквадратическое значение шума равнялась 0,1. Для КВО и КВ были выбраны различные интервалы Т полиномиального представления (4), обеспечивающие минимальную СКП восстановления для каждого алгоритма -для КВО Т =210 с, а для КВ Т =280 с. Для

Таблица 2 Максимальные СКП восстановления между измерениями, поступающими через 240с, м

КВ 0,21-0,34

КВО 0,12-0,20

ЛИ 0,58-0,59

ЛИ максимальное СКП восстановления практически на всех участках одинакова и составляет 0,6.

По результатам сделаны рекомендации по решению задачи восстановления:

1. Алгоритм КВО на основе кусочно-полиномиального представления восстанавливаемого процесса с учетом его непрерывной дифференцируемости и ограничений более предпочтителен для применения по сравнению с алгоритмом КВ, не учитывающем ограничения, и ЛИ.

2. При протяженном пропуске измерений решение задачи восстановления следует разбивать на минимально возможное число интервалов кусочно -полиномиального представления, длительность T которых еще позволяет обеспечить приемлемую точность аппроксимации восстанавливаемого процесса с помощью квадратичной функции, и располагать эти интервалы так, чтобы на участок пропуска приходилось как можно меньше их стыков.

3. При наличии протяженных участков измерений слева и справа от пропуска можно ограничиться обработкой измерений на участках, длительность которых сопоставима с протяженностью пропуска.

4. В условиях редко поступающих измерений длительность Т интервала кусочно-полиномиального представления целесообразно выбирать меньше дискретности поступления измерений.

Третья глава посвящена камеральному восстановлению прецизионных фазовых дифференциальных решений (Postprocessing Kinematic) с применением сравнительно более грубых ГНСС-решений (ДГЛОНАСС/DGPS, PPP, SBAS). Оценивались возможности трех алгоритмов, моделированию которых была посвящена предыдущая глава. В экспериментах использованы полученные по натурным измерениям приемников спутниковой навигации решения на частоте 10Гц. Дифференциальный режим реализован с применением измерений локальной БС. Проимитированы ситуации с одиночным пропуском и редким поступлением Уфаз.

Сначала изучались возможности восстановления недостающих Уфаз на основе

кодовых дифференциальных решений укод. Измерения (1) формировались в виде

разности у = укод — Уфаз . В экспериментах использовано 8 реализаций Уфаз и

укод по 840с. Погрешность алгоритмов определялась как разность между

скорректированными кодовыми укод = укод — с ■ р(1;) и исходными фазовыми

решениями на частоте 10Гц. Эффективность алгоритма оценивалась по наибольшей СКП восстановления. Разбивка решения на интервалы кусочно -полиномиального представления выполнена с учетом рекомендаций 2) и 4) из второй главы.

При одиночном пропуске в поступлении решений Уфаз на 200с и при их

регулярном поступлении до и после пропуска в течение £=320 с для КВО выбрано £=10 (7=84 с), а для КВ - 5=8 (7=105 с) - наиболее удачные параметры с точки зрения СКП этих алгоритмов. Как видно из рис. 2 слева, в этом случае максимальная СКП КВО (рис. 2 (слева), красный цвет) составляет 0,26 м, что в 1,5 раза лучше, чем СКП кодовых решений без компенсации погрешности. СКП КВ (рис. 2 (слева), синий цвет) и ЛИ (рис. 2 (слева), черный цвет) достигает 0,4 м и 0,43 м соответственно.

На рис. 2 справа приведены результаты при сокращенном до 50с значении Ь при том же 200-секундном пропуске. Наилучшим вариантом для КВ (рис. 2 (справа), синий цвет) и КВО (рис. 2 (справа), красный цвет) здесь является 5=2.Из сравнения двух рисунков следует, что увеличение числа измерений не влияет на точность алгоритма КВ, но несколько снижает точность КВО. Максимальное СКП для КВО составляет 0,33 м, для КВ - 0,4 м, для ЛИ (рис. 2 (справа), черный цвет) - 0,43 м.

Рисунок 2 - СКП восстановления прецизионных решений при их 200 -секундном пропуске с использованием кодовых дифференциальных решений для

£=320е (слева) и £=50е (справа)

^ 0 Таблица 3 Максимальные

В таблице 3 представлены результаты трех ^^

СКП восстановления на

алгоритмов восстановления прецизионных различных участках

~ л Л между измерениями, м решений при дискретности их поступления 210с с тгп -— тепел

применением кодовых дифференциальных

решений. При этом для КВО выбрано £=10 (7=84

КВ 0,36-0,54

КВО 0,31-0,36

ЛИ 0,33-0,44

с), а для КВ - £=3 (Т=280 с) - наилучшие в смысле СКП настройки этих алгоритмов.

Из представленных результатов видно, что применение полиномиальной аппроксимации с учетом ограничений и с длительностью интервала полиномиального представления меньшей, чем временной промежуток между соседними измерениями, эффективнее, чем применение КВ или ЛИ.

Таким образом, несмотря на небольшое количество используемых в обработке реализаций, результаты апробации алгоритмов на натурных данных вполне согласуются с результатами моделирования.

Далее рассмотрен случай, когда навигационный потребитель для организации дифференциального режима пользуется измерениями сети БС, которые выкладываются в Интернет с дискретностью 30с. Опираясь опять же на данные из Интернет о состоянии ионосферы, тропосферы, уточненные эфемериды спутников и параметры погрешностей их часов, с помощью технологии РРР он получает решения Уррр на нужной частоте. Здесь измерение (1) - это разность

между прецизионным решением Уфаз и относящимся к тому же моменту времени

УРРР. Погрешность алгоритмов определялась как разность между скорректированными РРР-решениями и эталонными фазовыми дифференциальными решениями на частоте 10Гц.

На рисунке 3 показаны графики СКП КВ и КВО, вычисленные по 50 непересекающимся реализациям ГНСС-решений длиной 180с при дискретности решений 30с. Здесь также использованы наилучшие в смысле СКП настройки: для КВО 5=9 (Т=20 с), а для КВ 5=5 (Т=36 с). Графики демонстрируют вариации СКП восстановления в зависимости от того, насколько та или иная точка близка к моменту поступления Уфаз. Несмотря на то, что на участке от 0 до 60 с КВО не

лучше КВ, на остальных участках КВО обладает заметным преимуществом на 25 -30% с точки зрения максимальной СКП.

Рисунок 3. - СКП восстановления прецизионных решений при дискретности 30с с использованием РРР: КВ - синий цвет, КВО - красный цвет

Следует отметить, что КВО не обладает заметным преимуществом перед ЛИ. Тем не менее, применение КВО более предпочтительно с точки зрения защиты от возможных аномальных выбросов в редких прецизионных решениях или РРР-решениях. В случае применения ЛИ выброс непосредственно переходит в погрешность решений на всем интервале восстановления, тогда как при использовании КВО влияние выброса на точность восстановления ослабляется благодаря учету ограничений.

Наконец, проведена апробация алгоритмов восстановления с применением решений на основе данных SBAS ysBAS, полученных в приемнике на основе GPS

измерений и данных European Geostationary Navigation Overlay Service (EGNOS) -европейской SBAS, сигналы которой доступны в западной части РФ. Как и в предыдущем случае, предполагалось, что потребитель получает редкие прецизионные решения Уфаз, опираясь на измерения сети БС из Интернет,

периодически испытывая еще и проблемы с разрешением фазовой неоднозначности. Погрешность алгоритмов определялась как разность между скорректированными SBAS-решениями ysbas = ySBAS ~ с' ) и эталонными

фазовыми дифференциальными решениями на частоте 10Гц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зайцев Олег Владимирович, 2019 год

Литература

1. Литтл Р., Дж. А., Рубин Д.Б., Никифоров А.М. Статистический анализ данных с пропусками. М.: Финансы и статистика, 1991. 336 с.

2. Ефимов А.С. Решение задачи кластеризации методом конкурентного обучения при неполных статистических данных // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. №1. С. 220-225.

3. Iagaru A., McDougall I. Treatment of thyrotoxicosis // Journal of Nuclear Medicine. 2007. V. 48. N 3. P. 379-389.

4. Васильев В.И., Шевченко А.И. Восстановление пропущенных данных в эмпирических таблицах // Искусственный интеллект. 2003. № 3. С. 317-324.

5. Kondrashov D. Gap filling of solar wind data by singular spectrum analysis / D. Kondrashov, Y. Shprits, M. Ghil // Geophysical research letters. 2010. V. 37. Iss. 15. P. 1-6.

6. Волошко А.В., Бедерак Я.С., Лутчин Т.Н., Кудрицкий М.Ю. К вопросу восстановления учетных данных на химических предприятиях // Известия томского политехнического университета издательство: национальный исследовательский томский политехнический университет (Томск) issn: 1684-8519

7. Crocoll P. Unified model technique for inertial navigation aided by vehicle dynamics model // Navigation, Journal of the Institute of Navigation. 2013. V. 60. N 3. P. 179-193.

8. Crocoll P. Model-aided navigation for a quadrotor helicopter: A novel navigation system and first experimental results / // Institute of Navigation International Technical Meeting 2014, ITM 2014 Institute of Navigation International Technical Meeting 2014, ITM 2014. Institute of Navigation, 2014. P. 384-406.

9. Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 2. Введение в теорию фильтрации. Спб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012. 417 с.

10. Дмитриев С.П., Степанов О.А. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации // Радиотехника. 2004. №7. C. 11 -17.

11. Дмитриев С.П., Кошаев Д.А., Степанов О.А. Многоканальная фильтрация и ее применение для исключения неоднозначности при позиционировании объектов с помощью GPS // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 1. C. 65-70.

12. Кошаев Д.А. Метод фиктивных измерений для многоальтернативного оценивания процессов в линейной стохастической системе // АиТ. 2016. №6. С.81-108

13. Лопарев А.В., Степанов О.А., Кулакова В.И. Приближенное решение задачи робастной фильтрации с использованием метода локальных аппроксимаций спектральных плотностей // Гироскопия и навигация. 2013. №3(82). С. 85-90.

14. Козионов А.П., Пяйт А.Л., Мохов И.И., Иванов Ю.П. Исследование алгоритмов восстановления пропусков в измеряемых сигналах для системы мониторинга состояния дамб // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2015. Вып. 2-3(217-222). С. 93-104.

15. Голяндина Н.Э. Метод «Гусеница»-SSA: анализ временных рядов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 87 с.

16. Рефан М.Х., Дамешги А., Камарзаррин М. Использование рекуррентных нейронных сетей и генетического алгоритма для предсказания дифференциальных поправок к псевдодальностям GPS // Гироскопия и навигация. 2015. № 2 (89). С. 92-105.

17. Дмитриев С.П., Кошаев Д.А. Оценивание непрерывно дифференцируемого сигнала с учетом ограничений // Автомат. и телемех. 2011. № 3. C. 7-14.

18. Зайцев О.В. Повышение точности оценивания случайных процессов с учетом ограничений, заданных в виде неравенств // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. №3(60). С. 211-220.

19. Зайцев О.В. Прогноз дифференциальных поправок глобальных навигационных спутниковых систем с учетом ограничений // Известия ТУлГу, 2019. № 6. С. 245258.

УДК 621.391.14

О. В. ЗАЙЦЕВ

АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО, Санкт-Петербург

ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ИХ ДИНАМИКУ

Рассматривается метод оценивания сигнала, представляемого в кусочно-полиномиальном виде с учетом ограничений на сигнал и его производную. С помощью методического примера количественно оценивается выигрыш в точности оценивания сигнала за счет учета ограничений.

Введение

В навигационных приложениях нередко возникает задача оценивания процессов, динамика которых не вполне поддается классическому стохастическому описанию с помощью уравнений формирующего фильтра. Трудности с построением стохастической модели могут быть вызваны как неопределенностью свойств самого объекта, так и действующих на него возмущений, например, ветроволновых для морского объекта.

В задачах обработки навигационной информации применяются инвариантная или неинвариантная схемы [1]. Инвариантная схема используется при оценке сигналов с неизвестной моделью динамики при наличии избыточных измерений одного и того же параметра [2, 3]. Здесь используются разностные измерения, в которых исключаются навигационные параметры и задача сводится к уточнению ошибок их измерений. Неинвариантная схема обработки позволяет повысить точность исходных измерений за счет использования стохастической модели динамики [4-6]. Она не нуждается в наличии избыточных измерений, но требует достаточно детального описания оцениваемых параметров и процессов. Существует ряд методов, направленных на преодоление трудностей в неинвариантных схемах обработки с неизвестной моделью динамики объекта. Кратко рассмотрим основные из них и выявим их недостатки.

Слабостями адаптивных многоальтернативных методов являются возможность рассмотреть лишь счетное число гипотез, а также трудоемкость, неприемлемая для бортовых вычислителей [7-9]. Существенное сокращение вычислительной сложности многоальтернативных методов возможно лишь при выполнении специальных условий [10-12].

Робастные гарантирующие методы учитывают ограничения на уровень оцениваемых процессов, величину и дисперсии их производных [13, 14]. Эти методы предполагают наихудшее для точности поведение оцениваемых процессов при соблюдении заданных ограничений, которое, возможно, никогда не реализуется на практике.

Робастные методы без гарантирующих свойств используют фильтр Калмана (ФК), настроенный на квазидетерминированное описание процессов на ограниченных интервалах времени. При этом невозможно учесть ограничения на оце-

Научный руководитель д.т.н. Д.А. Кошаев.

ниваемые процессы и связь квазидетерминированных функций на соседних участках [15].

Перспективным представляется предложенное в [16] решение задачи в неинвариантной постановке, где для подлежащего оцениванию процесса используется кусочно-полиномиальная аппроксимация и учитываются свойства его непрерывности и дифференцируемости, а также ограничения на величину процесса и его производную. В настоящей работе приводятся методические примеры, демонстрирующие эффективность такого решения.

Постановка задачи

Приведем постановку задачи оценивания сигнала, следуя [16]. Представим полезный сигнал в виде /-мерного вектора ^ (/)

т=(/ (у), С(о-Р(У))т , (1)

где q(t) - (/-1)-мерный вектор, который описывается дифференциальным уравнением

4(Г) = ¥(/) • q(t)+A(t) • р(/) , ф) = q0, (2)

^(У), А(/) - известные матрицы, qo - случайное начальное условие, р(/) -

безразмерная скалярная функция, о которой известно, что она является непрерывной и непрерывно дифференцируемой, допускает кусочно-полиномиальное представление и для нее и ее производной существуют ограничения, с(0 - известная функция.

На функцию р(/) и ее производную накладываются следующие ограничения

|р(0| < 1, р(0| < р, (3)

а кроме того, на интервалах времени -1),, («=1..8), где № = - • Т , 5 -номер интервала, Т - длительность интервала, функция р(У) допускает кусочно-полиномиальное представление 2-го порядка [17]

р- (0=^+• +Ь" - ^ - 4") • ^^ • (4)

Т т 2

где коэффициенты связаны соотношениями:

¿0-+1) = ь{-), ь2? +1) = 2 • ь{-) - 2 • ь0-) - Ь2-), (5)

которые обеспечивают выполнение условий непрерывности р(У) и р(У):

р(() - 0) = рф-) + 0), р(№ - 0) = р(№ + 0). (6)

Требуется найти оценки д(/) в дискретные моменты времени = к •А/ по набору га-мерных измерений вида

2к = Ок • Ч(/к) + нк • хк +ук' (7)

где Хк - «-мерный вектор, описывающий коррелированные во времени помехи с помощью модели х^ = Ф^ • х^ 1 + , м>к , ^ - взаимно независимые дискретные гауссовские белые шумы с нулевым средним. Матрицы Ок, Нк, Фк, ковариационные матрицы векторов м>к , ^ считаются известными.

В методических целях рассмотрим пример, в котором /=2 , с(/)=1 , ^(/)=0 , А(/)=1. При этом имеется два измерения: в первое непосредственно входит

p(t), а во второе - q(t). В данном случае q(t) = p(t) . Производя интегрирование ps(t) по времени на каждом s-м интервале кусочно-полиномиального представления и суммируя результаты, получаем выражение для q(t) на s-м интервале времени:

h s-1 k ■т .

qs (t) = J p(t)dt + q0 = X J P (t)dt +

0 k=l(k-1)T (8)

t1

+ J ps(t)dt + qo, (s-1)T

где t1 - текущий момент времени.

Запишем формулу (4) в том виде, в котором она будет использоваться в алгоритме оценивания

pS (t) = B(t)■ b(S). (9)

где b(S) = (b01),b02),b|1),...,b0S))T , B(t) - вектор-строка.Получим выражение для q (t) в аналогичном виде. Для этого подставим выражение (9) в (8) вместо

pP" (t), вычислим соответствующие интегралы на каждом интервале и просуммируем полученные результаты

qS (t) = Bq(t)■ b(S Ч0, (10)

где B (t) - вектор-строка.

q

Выражения для элементов B(t) и B (t) для первых трех интервалов полино-

q

миального разложения приведены в таблицах 1 и 2 соответственно.

Исходную задачу оценивания q(t) для разных моментов времени можно свести к оцениванию вектора состояния

Ъ = (Я (b(S) f, q0 )T, (11)

включающего подвекторы хр , b(S) и q0, описываемые уравнениями:

bk(S} = bk-1(S> = b(S \

q0k = q0k-1 = q0, (12)

xk = ф k^k-1 + wk

по измерениям, которые получаются подстановкой (10) и (9) в (7) и в рассматриваемой задаче представлены двухмерным вектором:

z1k = G1k ■ B(tk) ■b(S] + H1k ■ x1k + n1k,

z2k = G2k

\Bq(tkУ b {S) + q0) + H2k ' x2k + n2k-

Алгоритм оценивания стохастически неопределенных процессов с учетом ограничений

Кратко изложим теоретические основы алгоритма решения поставленной задачи [16]. В качестве критерия оценок используется функция правдоподобия

измерений z = ... z^T j относительно вектора полиномиальных коэффициентов b(S) и начального условия qq . Тогда задача сводится к максимизации следующего выражения

$(S\ qQ) = arg max f( z | b(S\ qQ), (14)

b (S hrf), qQ

где B(S - область, включающая те и только те значения b(S), при которых выполняются ограничения (3), а f (z | b(S), qQ) - функция правдоподобия.

Расчет оценок по формуле (14) характеризуется большой вычислительной сложностью. В [16] показано, что значительно упростить процедуру расчета можно за счет применения двухэтапной схемы оценки. На первом этапе вектор состояния (11) оценивается ФК без учета ограничений на функцию p(t). В качестве начальных значений для ФК используются центрированный вектор Xq = Q с матрицей ковариаций Pq .

На втором этапе оптимизируется квадратичная целевая функция (15), уточняются полиномиальные коэффициенты с учетом ограничений на их область определения и начальное условие qQ

arg min (b(S) - b"(S ))T • P"! ) • (b(S) - b(S))

b(S = \b(S )^S) b_ _ (15)

qQ = qQ +Pq0b(S) PpS) (S>,

где b(S \ P_(s ) - оценка и ковариационная матрица ошибки оценки вектора коэффициентов после первого этапа размерности (S + 2) х 1 и (S + 2) х (S + 2) соот-

P

qQ,

ветственно, qQ - оценка начального условия после первого этапа, P - не-

диагональный блок ковариационной матрицы ошибок Ь) и размерности 1 х ^ + 2), - оценка вектора коэффициентов после второго этапа.

Используемые в (15) оценки Ь), и блоки ковариационной матрицы их ошибок получаются из результатов оценивания вектора Х^ для последнего момента времени.

Результаты моделирования для методических примеров

В качестве примеров рассматриваются задачи оценивания гармонических сигналов р^) и q(t). Сигнал р(/) имеет вид

p(t) = sir

(U Л Л 2 ■ ж ■ t

W Т1 )

(16)

где Ti = 8 c - период гармонического сигнала, ^ - начальная фаза.

Зададим ограничения для p(t) и p(t)

|p(t)| < 1; |p(t)| < 2ТЖ. (17)

T1

Интервал кусочно-полиномиального представления Т = 1 с. Следует отметить, что длительность интервала кусочно-полиномиального представления должна обеспечивать достаточно точную аппроксимацию самого высокочастотного участка сигнала.

Случайные помехи измерений описываются стационарными марковскими процессами первого (для Z2k) и второго (для z^ ) порядков. Для процесса второго порядка заданы следующие параметры: интервал корреляции т2=4 с, СКО с2=0.05, преобладающий период помехи Тр = 2 с. Для процесса первого порядка интервал корреляции также равен т1=4 с, СКО с1=0.05 с. Переход от непрерывной модели к дискретной осуществляется с помощью стандартной процедуры [4]. Интервал дискретизации принят равным 0.01 с.

Матрица Gk из уравнения (7) является единичной. Шумы измерений являются независимыми, дисперсия шума измерений для Z1k равна 10000, дисперсия шума для Z2k равна 1 с.

Процесс второго порядка представляется в виде комбинации двух процессов первого порядка с интервалами корреляции т2 и СКО с2 [4]. Матрицы наблюдений из уравнения (13) представляются в виде H^ = [cos(P-1) sin(p1)], 2 ■ ж

H2k = 1, где P =-. Длительность отрезка решения составляет 24 с.

TP

На рис. 1 и 3 представлены оценки сигналов p(t) и q(t) без учета ограничений и с учетом ограничений. Ограничения на производную выставляются по ее максимальному значению на длине реализации.

На рис. 2 и 4 представлены ошибки оценки сигналов p(t) и q(t) без учета ограничений и с учетом ограничений. Эффект повышения точности оценивания в случае q(t) выражен слабее, чем для p(t), потому что на процесс q(t) ограничения непосредственно не накладывались. Из полученных результатов, тем не менее, видно преимущество решения, учитывающего ограничения.

| Оценка без учета ограничений Оценка с учетом ограничений — — — ■ Истинное значение

V

""Л / V I V /'V, * /

\\ \\ п V Л У V /

\ * // /; и V / V / V / \ А А 3 и

>Л / \

10 о / ч 15

Время (с)

20

25

Рис. 1. Оценки гармонического сигнала р({) с учетом и без учета ограничений

1.5

сг

11

га га

Ошибка оценки без учета ограничений Ошибка оценки с учетом ограничений +/- 3 СКО

0.5

1 о

х Ф

о -0.5

га ^

ю

3

О

-1.5!-

10 п . . 15 Время (с)

20

25

Рис. 2. Ошибки оценки гармонического сигнала р({) с учетом и без учета ограничений

Рис. 3. Оценки гармонического сигнала q(t) с учетом и без учета ограничений

0.6 г

с: ш 0 4

го

U го 0 2

J.

О 0

т

-L Л) -0,2

"Т

о

го -0.4

ю

=1 -0.6

О -°4

| Ошибка оценки без учета ограничений Ошибка оценки с учетом ограничений +/- 3* СКО —1 |

!

______________д. ...........fj

г......... /V

___ _ 1

—^ w \

-------- \ /

-г

Ю п ,, 15 Время (с)

20

25

Рис. 4. Ошибки оценки гармонического сигнала д(1) с учетом и без учета ограничений

Заключение

На методическом примере показано, что задача оценивания процессов при отсутствии их детального стохастического описания может быть эффективно решена с использованием кусочно-полиномиального представления с учетом свойств непрерывности и непрерывной дифференцируемости, а также ограничений на величину процесса и его производную. Точность оценивания при использовании ограничений повышается в несколько раз по сравнению с решением, где они не учитываются.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ № 14-08-00347

ЛИТЕРАТУРА

1. Дмитриев С. П. , Степанов О. А. Неинвариантные алгоритмы обработки информации инер-циальных навигационных систем // Гироскопия и навигация. 2000. №1. - С. 24—39.

2. Степанов О. А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 1998. - 370 с.

3. Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010. - 509 с.

4. Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 2. Введение в теорию фильтрации. СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012. - 417 с.

5. Брок А., Шмидт Я. Статистическая оценка в системах инерциальной навигации//Вопросы ракетной техники. 1967. №1.

6. Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Современные тенденции развития. Ч. 2 // Гироскопия и навигация. - 2015. -№ 4 (91). - С. 147—159.

7. Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация. СПб.: Судостроение, 1991.

8. Дмитриев С.П., Колесов Н.В., Осипов А.В. Информационная надежность, контроль и диагностика информационных систем. СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2003.

9. Дмитриев С.П., Степанов О.А. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации. Радиотехника. 2004. №7. - C. 11—17.

10. Дмитриев С.П., Кошаев Д. А., Степанов О.А. Многоканальная фильтрация и ее применение для исключения неоднозначности при позиционировании объектов с помощью GPS // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 1. C. 65—70.

11. Кошаев Д.А. Многоальтернативный метод обнаружения и оценки нарушений на основе расширенного фильтра Калмана // АиТ. 2010. №5. - С. 70—83.

12. Кошаев Д.А. Метод фиктивных измерений для многоальтернативного оценивания процессов в линейной стохастической системе // АиТ. 2016. №6. - С.81—108

13. Maybeck P.S. Stochastic models, estimation and control // Academic Press, 1982.

14. Кулакова В. И., Небылов А. В. Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных // Автоматика. и телемеханика.2008. № 1. - С. 83—96

15. Salychev O.S. Inertial Systems in Navigation and Geophysics. Moscow: Bauman Moscow State Technical University Press. 1988.

16. Дмитриев С. П. , Кошаев Д. А. Оценивание непрерывно дифференцируемого сигнала с учетом ограничений/Автомат. и телемех. 2011. № 3. - C. 7—14.

" Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации"

Список литературы

1. P. Williams, М. Crump 'All-source navigation for enhancing UAVoperations in GPS-denied environments" Proc., ICAS,2012.

2. Лунев E. M., Жарков M. В. Алгоритм комплексной обработки информации инерциальной навигационной системы и системы определения параметров ориента-

ции и навигации БПЛАна базе фотограмметрическом обработки изображения искусственных ориентиров. — Сборник трудов XXIV международного ежегодного научно-технического семинара "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". Алушта, 2015.

ОБРАБОТКА НАВИГАЦИОННЫХ ДАННЫХ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ МОДЕЛЕЙ

Navigation data processing under conditions of their stochastic model uncertainty

Зайцев О. В.

Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург АО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", г. Санкт-Петербург

Зайцев О. В. — аспирант кафедры информационно-навигационных систем, научный руководитель — ведущий инженер Кошаев Д. А.

Рассматривается метод оценивания сигнала, представляемого в кусочно-полиномиальном виде с учетом ограничений на величину сигнала и его производную. С помощью методических примеров количественно оценен выигрыш в точности оценивания сигнала за счет учета ограничений. Исследована эффективность обработки натурных данных реальных транспортных средств на примере оценивания ошибок измерений метода Precise Point Positioning (РРР) при комплексировании высокочастотных РРР-решений и 30-секундных дифференциальных ГНСС решений.

При решении актуальных технических задач все чаще приходится иметь дело с процессами, обладающими частично или полностью неизвестной динамикой. К примеру, на практике часто требуется оценить возмущающие факторы и ошибки измерений, не поддающиеся строгому стохастическому описанию. Известные методы решения задач, связанных с неопределенностью модели динамики объекта, обладают рядом недостатков. Слабостями адаптивных многоальтернативных методов являются возможность рассмотреть лишь счетное число гипотез, а также трудоемкость, неприемлемая для бортовых вычислителей 11—3|. Робастные гарантирующие методы предполагают наихудшее для точности поведение оцениваемых процессов при соблюдении заданных ограничений, которое, возможно, никогда не реализуется на практике [4—6]. Робастные методы, без гарантирующих свойств, используют фильтр Калмана, настроенный на описание процессов на ограниченных интервалах времени [7]. При этом невозможно задать связь функций, описывающих исследуемый процесс, на соседних временных участках.

Перспективным представляется решение задачи оценивания процессов с неопределенными стохастическими моделями на основе их кусочно-полиномиального представления с учетом непрерывной дифференцируемости и ограничений на величину оцениваемого процесса и его производной [8]. Апри-

орная информация об этих ограничениях может быть получена исходя из эксплуатационных и динамических характеристик объекта.

В настоящей работе эффективность метода, предложенного в [8], подтверждена моделированием. Получены аналитические выражения для элементов матрицы, описывающей кусочно-полиномиальное представление оцениваемого сигнала. Разработано программное обеспечение метода оценивания сигнала с учетом ограничений на величину сигнала и его производную. С помощью методических примеров проиллюстрирован выигрыш в точности оценивания сигнала для варианта решения с учетом ограничений по сравнению с вариантом решения без учета ограничений. Сделан вывод отом, использование априорной информации об ограничениях на величину сигнала и его производную в условиях неопределенности стохастического описания динамики объектов повышает точность вырабатываемых оценок.

Приводятся результаты комплексирования высокочастотных РРР-решений и 30-секундных дифференциальных ГНСС решений с описанием ошибок РРР-решений на основе их кусочно-полиномиального представления с учетом ограничений.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ № 14-08-00347.

Список литературы

1. Дмитриев С. П. Высокоточная морская навигация. — СПб.: Судостроение, 1991.

2. Дмитриев С. П., Колесов Н. В., Осипов А. В. Информационная надежность, контроль и диагностика информационных систем. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2003.

3. Дмитриев С. Я., Степанов О. А. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации. Радиотехника. 2004. № 7. С. 11—17.

4. Maybeck P. S. Stochastic models, estimation and control //Academic Press, 1982.

Сборник трудов XXV Международной научно-технической конференции, Алушта 2016

5. Кулакова В. И., Небылов А. В. Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных//Автоматика и телемеханика.2008. № I С. 83-96

6. ЛопаревА. В., Степанов О. А., Кулакова В. И. Приближенное решение задачи робастной фильтрации с использованием метода локальных аппроксимаций спектральных плотностей. Гироскопия и навигация.

2013. № 3 (82). С. 85-90.

7. Salychev О. S. Inertial Systems in Navigation and Geophysics. Moscow: Bauman Moscow State Technical University Press, 1988.

8. Дмитриев С. Я., Кошаев Д. А. Оценивание непрерывно дифференцируемого сигнала с учетом ограничений // Автоматика и телемеханика. 2011. № 3. С. 7-14.

ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ЭФФЕКТИВНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В МНОГОАГЕНТНЫХ СИСТЕМАХ

Features of maintaining effective interaction in multi-agent systems Карпов С. А., Трипольский П. Э. Московский технологический университет (МИРЭА)

Карпов С. А. — аспирант кафедры "Проблемы управления ", научный руководитель — к. т. н Трипольский П. Э.

В данном докладе предлагается ряд мер, которые необходимо предпринять для объединения многоагентной системы единой сетью, формулируются требования к аппаратным средствам и технологиям, которые могут использоваться для выполнения поставленной задачи. Предлагаются модели и алгоритмы контроля связанности всей робото-технической системы на протяжении выполнения поставленной задачи.

Одна из важнейших задач, стоящих перед разработчиками многоагентных робототехнических систем (МАРС) —объединение интеллектуальных агентов беспроводной связью. Решение этой проблемы является важным этапом разработки МАРС, так как от него напрямую зависят алгоритмы кооперации и координации агентов, коммуникация между роботами, алгоритмы согласования и распределения задач. Обозначенный этап предполагает следующие шаги:

• определение требований сетевого взаимодействия исходя из анализа условий и особенностей задач, стоящих перед МАРС;

• выбор и адаптация технологии связи для использования в конкретной МАРС;

• определение способов поддержания связанности системы;

• разработка алгоритмов расчета расстановки агентов для реализации статической и динамической моделей связанности в многоагентных робототехнических системах.

На основе рассмотренных условий сред функционирования, особенностей задач МАРС составлен список требований к сетям МАРС. Для возможности объединения МАРС единой сетью, необходимо выбрать технологию, соответствующую среде передачи данных, требованиям дальности связи, помехоустойчивости, отказоустойчивости, энергопотребления, габаритным требованиям.

Анализ характера и свойств сетевого обмена в МАРС позволяет сформулировать инструменты рас-

чета соответствия выбранных технологий обозначенным требованиям. Атакже обозначить необходимость сокращения объемов передаваемой информации, за счет использования выводов анализа данных, что обуславливает необходимость использования метаданных.

Помимо технологических проблем ключевой является проблема контроля связанности. Предлагается модель представления сетевой структуры МАРС с помощью графа, а также способ контроля связанности на основе модификации подсистем планирования действий, подсистемы распределения заданий с учетом имеющихся ресурсов, подсистемы анализа модели среды и особенностей обстановки.

Реализация способов поддержания связанности основывается на прогнозировании предстоящей обстановки и реализуется за счет перестроений агентов в соответствие с оптимальной расстановкой, определяемой с помощью прогноза о состоянии системы на текущем и последующем шагах с помощью алгоритмов, основанных на предложенной модели сетевой структуры МАРС.

Список литературы

1. Трипольский П. Э., Карпов С. А. Модели и алгоритмы планирования движений интеллектуальных агентов с целью поддержания связи в мультиагентной робототехнической системе /Успехи современной радиоэлектроники № 2, 2016, С. 160—66.

2. Модели и алгоритмы обеспечения связанности агентов мультиагентной робототехнической системы в беспроводной сети, Успехи современной радиоэлектроники. — "Радиотехника", № 3, 2015, С. 201-206.

3. Coordinated Multi-Robot Exploration under Connectivity Constraints. — Journal of information science and engineering 29, 711 -727 (2013).

■ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ ■

УДК 621.391.172

О.В. ЗАЙЦЕВ (Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург)

КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И

РЕШЕНИЙ МЕТОДА ТОЧНОГО ТОЧЕЧНОГО ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Сформулирована постановка задачи и приведен алгоритм оценивания сигнала, представляемого в кусочно-полиномиальном виде в условиях стохастической неопределенности его модели и с учетом ограничений на величину и значения производной. Приведены результаты апробации алгоритма на натурных данных ГЛОНАСС/GPS аппаратуры при комплексировании высокочастотных грубых решений точечного позиционирования (на частоте 0.1 Гц) и точных, но редких 30-секундных дифференциальных измерений. Показан выигрыш в точности оценивания координат объекта при использовании полиномиального описания и информации об ограничениях по сравнению с вариантом, не учитывающим ограничения.

Введение. Бюджетным способом высокоточного позиционирования при отсутствии собственной базовой станции или подписки на платные диффсервисы является использование общедоступной информации базовых станций из Интернета. Однако наличие в этих данных 30-секундных пропусков затрудняет их использование на частотах, актуальных для потребителя (10 Гц и выше). В таком случае можно комплексировать низкочастотные точные навигационные решения, полученные по фазовым измерениям в режиме RTK, например, с высокочастотными решениями метода точечного позиционирования (Precise Point Positioning - PPP).

В настоящей работе задача комплексирования сводится к оцениванию стохастически неопределенных погрешностей PPP-решений по редким дифференциальным измерениям. Непосредственно искомое значение координаты из рассмотрения исключается, а обработке подлежат разности координат двух указанных решений, по которым оценивается медленноменяюща-яся составляющая погрешности PPP-решений. Полученная оценка учитывается в PPP-решениях, позволяя в значительной мере сохранить точность прецизионных решений в период их фактического отсутствия. Ситуацию осложняет тот факт, что информация о модели динамики погрешности отсутствует, известны лишь ограничения на уровень погрешности и ее производную. Без знания модели становится неприменима классическая теория фильтрации, использующая уравнения формирующего фильтра, и приходится обращаться к альтернативным методам, работающим в условиях стохастической неопределенности (адаптивным многоальтернативным, робастным и др.) [1—5]. Одним из наиболее простых и удобных для практического использования решений указанной задачи оценивания является использование кусочно-полиномиального описания медленноменяющейся составляющей погрешности и учет ограничений на ее уровень и величину производной [6].

Для решения задачи формируются измерения (в виде разности решений метода точечного позиционирования и прецизионных дифференциальных решений) и используется так называемый комплементарный (инвариантный) фильтр [7]. Модель медленноменяющейся составляющей погрешности PPP-решений описывается полиномом с наложенными на него и его производную ограничениями. Результаты моделирования свидетельствуют об увеличении точности оцениваемых координат и могут быть использованы для получения эталонных данных при проведении полевых испытаний навигационных систем.

Постановка задачи. Сформулируем рассматриваемую задачу в инвариантной постановке. В качестве входных данных для алгоритма оценивания (рис. 1) используются разностные измерения

Научный руководитель д.т.н. Кошаев Д.А.

ЛУ = Уррр -РРР-решения,

ренциальные решения, ние координаты; V

. Здесь уррр = х + vPPP = х + vл„AЛ - диффе-

х - искомое значе-

и V,:

соответ-

ствующие погрешности указанных решений, включающие медленноменяющиеся составляющие и белый шум.

Тогда Лу = G • р + V , где р — полезный сигнал, V — гауссовский белый шум с нулевым средним. Матрица О и ковариационная матрица вектора V считаются известными.

Представим полезный сигнал р(?) как безразмерную скалярную функцию, о которой известно, что она является непрерывной и непрерывно дифференцируемой, допускает кусочно-полиномиальное представление и для нее и ее производной заданы ограничения:

Рис. 1. Инвариантная схема комплексной обработки дифференциальных и РРР-решений

|р(?)| < 1, |р(Г) < р,

(1)

где р - величина ограничения на производную.

Кроме того, на каждом интервале времени [?(5 1),?(5)], ^=1.^), где ?(5) = 5 • Т , (5 — номер интервала, Т — длительность интервала), функция р допускает кусочно-полиномиальное представление второго порядка

р'

> ,(5-1) ,(5-1)\2

С)=*05)+*25) • {--Т—+Ь 5) - 605) -625)) • ,

(2)

коэффициенты Ь(5) = (6((1),Ь)2),Ь(1),...,Ь0))Т которого обеспечивают выполнение условий непрерывности р и р .

Требуется найти оценки р (?к ) в дискретные моменты времени = к •Л? по измерениям вида:

Лу(0 = Ок • р + Vk = ОкВ(?к) • Ь(5) + Vk

(3)

где Vk - дискретный гауссовский белый шум с нулевым средним;

Ь(5) = (Ь01),Ь02),Ь(1),...,Ь05))Т ; В(к) — вектор-строка.

Найденная оценка используется при коррекции РРР-решений для получения уточненного значения координаты уРРР = уРРР - р .

Результаты моделирования. Суть алгоритма заключается в вычислении функции правдоподобия измерений относительно вектора полиномиальных коэффициентов ь(5) с помощью экономичной в вычислительном плане двухэтапной схемы. На первом этапе коэффициенты вычисляются с помощью фильтра Калмана, а на втором этапе эти оценки уточняются за счет условной минимизации целевой функции и выбора коэффициентов из области, заданной ограничениями.

Для данного тестового примера заранее было известно эталонное (среднее за сутки) значение координаты, которое использовалось при выборе ограничений. Эталонное значение координаты вычиталось из исходных измерений РРР, и полученная разность сглаживалась. Далее, на полученной реализации выбирался отрезок (в данном примере длиной 4000 с), на котором зафиксировано максимальное отклонение сглаженной функции (и ее производной) от нуля. Это отклонение и является ограничением, значение которого в дальнейшем используется в алгоритме при обработке оставшихся отрезков реализации. Отрезок, по которому определялись

ограничения, назовем «базовым», а любой другой отрезок этой же реализации - «небазовым». Результаты апробации алгоритма на одном из «небазовых» отрезков рассматриваемой реализации приведены на рис. 2.

Для «небазового» отрезка после коррекции СКО погрешности оценки координаты было снижено с 0,0297 м до 0,01 м с учетом ограничений (до 0,015 м без учета ограничений). Таким образом, после применения алгоритма были получены оценки координаты на частоте 10 Гц с точностью, сопоставимой с результатами дифференциального режима (0,0094 м). Следует отметить, что важным свойством алгоритма является его функциональность на «не базовых» отрезках реализации после того, как алгоритм был единожды настроен по «базовому» отрезку.

Заключение. Применительно к натурным данным ГЛОНАСС/GPS аппаратуры исследована эффективность алгоритма оценивания, учитывающего ограничения на уровень оцениваемого сигнала и значения его производной, в условиях стохастической неопределенности. Особенностью обработки являлось комплексирование по схеме комплементарного фильтра высокочастотных решений точечного позиционирования (на частоте 0.1 Гц) и точных, но редких 30-секундных дифференциальных измерений. В качестве оцениваемого сигнала выступала мед-ленноменяющаяся составляющая погрешности PPP-решений с неизвестной моделью динамики. Полученные оценки этой составляющей сначала без учета информации об ограничениях, а потом с использованием этой информации, применялись при коррекции исходных PPP-решений. Результаты моделирования подтверждают возможность получения точности высокочастотных PPP-решений, сопоставимой с результатами дифференциального режима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулакова В. И., Небылов А. В. Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных //Автоматика и телемеханика. 2008. № 1. С. 83-96.

2. Дмитриев С.П., Степанов О.А. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации // Радиотехника. 2004. №7. C. 11-17.

3. Кошаев Д.А. Метод фиктивных измерений для многоальтернативного оценивания процессов в линейной стохастической системе // АиТ. 2016. №6. С.81-108.

4. Кошаев Д.А. Многоальтернативный метод обнаружения и оценки нарушений на основе расширенного фильтра Калмана // АиТ. 2010. №5. С. 70-83.

5. Степанов О.А. Цин Лян Анализ адаптивных фильтров в линейной стационарной задаче при неизвестных характеристиках шумов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. №6. С. 113-129.

6. Дмитриев С.П., Кошаев Д.А. Оценивание непрерывно дифференцируемого сигнала с учетом ограничений // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7. C. 7-14.

7. Степанов О.А. Методы обработки навигационной измерительной информации. СПб: Университет ИТМО, 2017. С.79-85.

Рис. 2. Погрешность оценки координаты на «небазовом» отрезке

Zaitsev O.V. (ITMO University, Concern CRSI Electropribor, JSC, Saint Petersburg, Russia). Integration of relative GNSS solutions and precise point positioning data under error stochastic uncertainty.

Abstract. The paper formulates problem statement and solution algorithm for estimating stochastically uncertain signal presented in piece-wise polynomial form. Available prior information like constraints on the signal and its derivative level are taken into account. The algorithm is tested with real GNSS data while integrating of rough high-frequency Precise Point Positioning solutions (at frequency of 0.1 Hz) and precise 30 s low-frequency differential solutions. To compare obtained results with the traditional approach solution the stochastic model design is used. The best positioning accuracy enhancement shown after using constraints prove algorithm efficiency.

ВЗАИМОДОПОЛНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОТНОСИТЕЛЬНОГО И АБСОЛЮТНОГО ГНСС-ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ, УЧИТЫВАЮЩЕГО НЕПРЕРЫВНУЮ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ОГРАНИЧЕНИЯ

О. В. ЗАЙЦЕВ1

(АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, ул. Малая Посадская, 30) Аннотация

Рассматривается задача совместной обработки прецизионных навигационных решений, полученных по фазовым измерениям в режиме Real Time Kinematic (RTK) и имеющих фрагментарный характер, и сравнительно грубых высокочастотных решений с учетом дифференциальных поправок Satellite Based Augmentation System (SBAS). При обработке используется комплементарный фильтр, на вход которого поступает разность измерений от двух указанных источников. Оценивается медленно меняющаяся составляющая погрешности SBAS-решений, представленная в полиномиальном виде, с учетом ограничений на ее величину и величину ее производной. Приведены результаты сравнения среднеквадратической погрешности уточненных SBAS-решений после применения фильтрации, где в качестве модели выступает полиномиальная аппроксимация без ограничений, с ограничениями и подобранная наилучшим образом сумма двух марковских процессов первого и второго порядков.

Ключевые слова: спутниковые системы навигации, оценивание, комплементарный фильтр, система дифференциальной коррекции, дифференциальные поправки, ограничения на уровень сигнала и его производную, стохастическая модель динамики.

Введение

Целью проведенного исследования являлась оценка потенциальных возможностей повышения точности при совместном использовании редких относительных решений (среднеквадрати-ческое отклонение (СКО) составляет несколько сантиметров), полученных по фазовым измерениям в режиме RTK, и высокочастотных абсолютных решений (СКО десятки сантиметров) широкозонных систем спутниковой дифференциальной навигации SBAS [1]. Ставится задача обеспечить потребителя навигационными решениями, сохраняющими высокую частоту поступления SBAS режима, и, в значительной степени, уровень точности дифференциального режима. Предполагается, что после проведения дополнительных проверок примененный здесь алгоритм может быть использован в реальном времени в навигационной аппаратуре потребителя.

Дифференциальные поправки от локальной базовой станции могут поступать с перерывами, и при проведении эксперимента тестировался именно такой сценарий.

При обработке в качестве первого источника измерений использовались выработанные в режиме реального времени навигационные решения неподвижного приемника NovAtel DL-V3 [2] с учетом одного из видов технологии SBAS - поправок европейской системы навигационного обслуживания EGNOS [3]. В качестве второго источника выступали полученные в режиме постобработки прецизионные решения по фазовым измерениям с применением сырых измерений базового приемника с темпом 30 с. Для решения задачи формировались измерения в виде разности координат указанных источников (погрешность SBAS-решений относительно дифференциальных решений), которые подавались на вход так называемого комплементарного (инвариантного) фильтра [4]. Таким образом, первая особенность предложенного решения заключается в комплексировании измерений от двух источников, что позволяет совместить достоинства дифференциальных решений и технологии SBAS.

Вторая особенность состоит в отказе от классического стохастического описания медленно-меняющейся составляющей погрешности SBAS-решений, которое предполагает знание ее статистических свойств в различных условиях, и использование вместо этого сплайн-аппроксимацию этой погрешности с учетом ограничений на ее уровень и величину производной. Такой прием не только значительно упрощает построение модели для оцениваемой вели-

1 Младший научный сотрудник.

чины, но и дает выигрыш в точности по сравнению с подходом, опирающимся на не вполне достоверную стохастическую модель.

Постановка задачи и метод решения

Сформулируем рассматриваемую задачу в инвариантной постановке. В качестве входных данных для алгоритма оценивания (рис. 1) используются разностные измерения Лу = УSBAS ~ Удыфф (погрешность SBAS-решений). Здесь у$влз = х + узвлз — SBAS-решения, Удыфф = х + удифф - дифференциальные решения, х - истинное значение координаты; Vдифф и у5влб — соответствующие погрешности указанных решений, включающие медленно меняющиеся составляющие и белый шум.

Рис. 1. Обработка SBAS и дифференциальных решений с помощью комплементарного фильтра

Представим медленно меняющуюся составляющую погрешности SBAS-решений как функцию с ■ p(t), где с - масштабирующий коэффициент, определяемый величиной ограничений на медленно меняющуюся составляющую. О функции p(t) известно, что она является непрерывной и непрерывно дифференцируемой, допускает кусочно-полиномиальное представление и для нее и ее производной заданы ограничения [5]:

|p(t)| < 1, |Д0| < л (1)

где р - величина ограничения на производную.

Кроме того, на каждом интервале времени [t(s 1),t(s)], (s=1..S), где t(s) = s ■ T (s - номер интервала, T - длительность интервала), функция p(t) допускает кусочно-полиномиальное представление 2-го порядка

p(t)=b(s) + bf ■ +(b(s) - b(s) - b2s)) ■ i^T^ •

(2)

где коэффициенты b(S} = (bl(1),b(2),b1(1),...,b(S))T связаны определенными соотношениями, обеспечивающими выполнение условий непрерывности p и р .

Преобразуем формулу (2), выделив кусочно-полиномиальные коэффициенты в отдельный вектор постоянных параметров b( S) = (b(,1), b(2), b(1),..., b(S ))T , а из оставшихся элементов, зависящих от времени, сформируем i-й элемент вектора-строки B(t) (i = 1..s + 2 ). Для того чтобы получить B (t) для всех S рассматриваемых интервалов, повторим аналогичные действия для каждого s-го интервала, последовательно записывая результаты в B (t) .

Тогда функцию p(t) на всем рассматриваемом участке времени, состоящем из S интервалов, можно записать в виде

p(t) = B(t) ■ b(S>. (3)

Требуется найти оценки p(tk ) в дискретные моменты времени tk = k ■At по измерениям вида

дж) = Ж)= с • Ж) • ь(Х)+ук, (4)

где vk - дискретный гауссовский белый шум с нулевым средним.

Найденная оценка используется при коррекции SBAS-решений для получения уточненного значения координаты ysвAs = УsвAs ~с ' Р .

Задача решалась по алгоритму, изложенному в [5]. Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе оцениваются коэффициенты Ь(^ с помощью фильтра Калмана без учета ограничений. На втором - результаты первого этапа приводятся в соответствие с ограничениями на р(£) и р(I) . Финальный результат обеспечивает максимум функции правдоподобия измерений

(4) относительно Ь(^.

Результаты обработки натурных данных

Для определения ограничений производилось сглаживание первой и второй производной разностных измерений: максимальные отклонения сглаженных функций от нуля соответствовали уровню ограничений.

Решения, вырабатываемые алгоритмом без учета ограничений, зачастую подвержены всплескам, в то время как применение ограничений устраняет этот недостаток (рис. 2, 3). Дискретность поступления дифференциальных решений 120 с, SBAS-решения поступают с интервалом 1 с, интервал полиномиального представления составлял 180 с и подбирался таким образом, чтобы минимизировать СКО уточненных 8ВА8-решений.

чоа

................... ................... ................... ................. ................

I Ограничение

\ | Погрешность измерений SBAS

| С or эаничениями п

...............|Б з ограничен!

11

100 200 300 400 500 600 700 800

Время ici

Рис. 3. Оценка производной погрешности SBAS с учетом (черный) и без учета ограничений (синий)

Проведено также сравнение по точности результатов, полученных с помощью фильтрации с полиномиальной моделью с учетом и без учета ограничений и с помощью традиционного стохастического подхода. Модель динамики для стохастического подхода выбиралась из анализа выборочной корреляционной функции погрешности SBAS. На рис. 4 приведен наиболее близкий вариант совпадения теоретической корреляционной функции и выборочной. В качестве

теоретического рассматривается сумма двух марковских процессов первого и второго порядка со следующими значениями параметров: а1 = 0.03 с 1, а2 = 0.0025 с 1 - величины, обратные интервалам корреляции, ¡2 = 0.008 с 1 - преобладающая частота процесса, а2 = 0.23 с 1,

ах = 0.25 с 1 - СКО процессов.

0.2

0.15 0.1

0.05 0

"°'°50 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Рис. 4. Выборочная (синий) и теоретическая (красная) корреляционная функция погрешности SBAS

В таблице сведены результаты обработки реальных данных 8ВА8 различными методами: фильтрация с полиномиальной моделью без ограничений, фильтрация с полиномиальной моделью с ограничениями, фильтрация со стохастической моделью. Обрабатывались 8 неперекрывающихся реализаций, дискретность поступления дифференциальных решений 120 с, 8ВА8-решения поступают с интервалом 1 с.

Из таблицы видно, что применение полиномиальной модели динамики с учетом ограничений позволяет повысить точность оценивания на 6 см по сравнению с вариантом без ограничений, на 8 см по сравнению с классическим стохастическим оцениванием и в 2 раза по сравнению с точностью исходных 8ВА8-решений.

Таблица

СКО исходных и уточненных решений (м)

СКО СКО СКО сглажива- СКО SBAS- СКО

Номер с ограничени- без ограниче- ния на основе дифференциальных

реализации ями, м T=180 c ний, м T=180 c подобранной сто-хастич. модели, м решений, м решений по фазовым измерениям, м

01 0,07 0,07 0,19 0,26 0,01

02 0,09 0,08 0,24 0,30 0,01

03 0,14 0,18 0,16 0,25 0,01

04 0,10 0,14 0,25 0,30 0,009

05 0,10 0,24 0,16 0,19 0,006

06 0,11 0,13 0,18 0,23 0,005

07 0,22 0,30 0,23 0,23 0,009

08 0,09 0,18 0,15 0,18 0,005

СКО по

множеству 0,12 0,18 0,20 0,245 0,009

реализаций

Выводы

В результате комплексирования дифференциальных измерений и измерений 8ВА8, а также применения алгоритма оценивания, основанного на известных ограничениях, удалось снизить СКО 8ВА8-решений с 24,5 см до 12 см. Это на 8 см лучше, чем при использовании подобранной по корреляционной функции стохастической модели, и на 6 см лучше, чем при использо-

вании сплайн-аппроксимации без ограничений. Интервал полиномиального представления выбирался таким образом, чтобы обеспечить минимальное СКО. Среди преимуществ использованного алгоритма следует отметить устойчивость полученных оценок к всплескам, что достигается благодаря строгому выполнению ограничивающих коэффициенты полинома неравенств. Значительное упрощение постановки задачи происходит также благодаря переходу от построения модели динамики оцениваемого процесса к его полиномиальному представлению и оцениванию только коэффициентов полинома. Как показывают результаты, такой подход оказался оправдан.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ № 18-08-01101A.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000. С. 86-101.

2. https://www.novatel.com/assets/Documents/Manuals/om-20000119.pdf

3. EGN-SDD OS V1.1

4. Степанов О.А. Методы обработки навигационной измерительной информации. СПб.: Университет ИТМО, 2017. С. 79-85.

5. Дмитриев С. П., Кошаев Д. А. Оценивание непрерывно дифференцируемого сигнала с учетом ограничений // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7. C. 7-14.

O. V. Zaitsev (Concern CSRI Electropribor, JSC, Saint Petersburg)

Integration of the results of relative and absolute gnss positioning using quasideterministic representation of their errors, considering continuous differentiability and constraints

The problem of simultaneous processing of precision navigation solutions obtained by phase measurements in the Real Time Kinematic (RTK) and rare comparatively rough high-frequency Satellite Based Augmentation System (SBAS) solutions is considered. During processing a complementary filter is used, the input of that receives a measurement difference from the two mentioned channels. A slowly varying component of the SBAS error is estimated, presented in a polynomial form, taking into account the limitations on its magnitude and the magnitude of its derivative. Finally, we compare root mean-square error of refined SBAS solutions after filtration with a polynomial approximation model without constraints, with constraints, and the sum of the two Markov processes of the first and second orders, chosen in the best way.

УДК 621.391.13

О.В. ЗАЙЦЕВ

(ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург)

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОПУСКОВ В ПОСТУПЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ПОПРАВОК ГНСС

Рассматривается задача восстановления низкочастотной составляющей дифференциальных поправок к измерениям глобальных навигационных спутниковых систем, не дошедших до потребителя из-за нарушений в канале связи или не выработанных базовой станцией. Оценивание поправок в период пропуска производится на основе имеющихся измерений, а также информации об ограничениях на первую и вторую производную имеющихся поправок. Рассматриваются одиночные и регулярные пропуски, а также задача прогноза. Приведены численные и графические доказательства эффективности используемого алгоритма.

Введение. Корректирующая информация для потребителей глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) применяется с целью повышения точности их позиционирования. В качестве передаваемой информации используются поправки к псевдодальностям и фазам по каждому спутнику. При этом могут возникать пропуски в поступлении дифференциальных поправок (ДП), которые объясняются наличием внештатных ситуаций, когда из-за сбоев на базовой станции и помех в канале передачи ДП или не вырабатываются, или не достигают приемника пользователя. Следует отметить неэффективность стандартного способа прогнозирования ДП с использованием значений скорости их изменения. Целью работы является расширение возможностей дифференциального режима обработки данных ГНСС за счет восстановления низкочастотной составляющей ДП в период отсутствия самих ДП.

Нетривиальность рассматриваемой задачи связана со сложным, трудномоделируемым поведением ДП. Их динамические особенности зачастую не поддаются описанию с помощью стохастических моделей, которые необходимы в классических методах фильтрации и сглаживания. Это заставляет обратить внимание на альтернативные методы оценивания, работающие в условиях стохастической неопределенности (адаптивные многоальтернативные, ро-бастные) [1-6]. В настоящей работе поведение низкочастотной составляющей ДП представляется в виде квазидетерминированной кусочно-полиномиальной гладкой функции с соблюдением ограничений в виде неравенств [7].

В настоящей работе решение на основе такого представления было экспериментально апробировано с использованием ДП к кодовым измерениям в формате RTCM - предложение RTCM 21 [7] с имитацией пропусков в их поступлении.

Постановка и решение задачи. Обозначим низкочастотную составляющую ДП к псевдодальности некоторого спутника через q(t), причем д(/) = ср(/), |р(/)| < 1, |р(¿)| < р , с, р - известные величины, д(0) = д0 - случайное начальное условие. Предположим, что на интервалах времени ^(5-1),t(5)], (5 = 1..^), где /*) = 5• Т , 5 - номер интервала, Т — длительность интервала, функция р(Г) допускает кусочно-полиномиальное представление 2-ого порядка:

< < (5-1) .(5-1К2

р(0 = Ь(5) + Ь25) • +(Ь( 5) - ь05) - Ь25)) • ^^. (1)

Здесь соблюдаются соотношения Ь05+1) = Ь1(5), ¿25+1 = 2 • Ь5) - 2 • Ь05) - ¿25), обеспечивающие непрерывность р(/) и р(/) на стыках интервалов.