Отображения поверхностей, содержащих конгуэнтные семейства линий в евклидовом пространстве En. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Фарафонова, Г.М.

• Фарафонова, Г.М.
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фарафонова, Г.М.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Отображения Q р -мерных поверхностей, содержащих соответствующие конгруэнтные семейства лиши в Е п

§ I. Основные уравнения, определяющие отображения

§ 2. Отображения £ поверхностей в Е i , содержащих по два соответственно конгруэнтных семейства линий

§ 3. Некоторые частные случаи отображении ^ поверхностей в Е

§ 4. О соответствии конгруэнции прямых при отображении ^ поверхностей в Е

ГЛАВА 2. Отображения р- мерных поверхностей в

§ I. Основные уравнения и свойства, определяющие отображения в Е и

§ 2. Отображения д^ поверхностей в Е

§ 3. О конгруэнциях, образованных прямыми репера, Френе, для линий на гиперповерхностях в Eh.

ГЛАВА 3. Отображения ge в Еи

§ I. Определение отображений g-в Еп . Теоремы существования отображений в Еч

§ 2. Необходимые и достаточные условия существования отображений Егорова в Е

§ 3. О соответствии конгруэнции прямых при отображении ^

§ 4. Частные случаи отображений в Е*

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Отображения поверхностей, содержащих конгуэнтные семейства линий в евклидовом пространстве En.»

Актуальность темы.

В данной работе рассматриваются точечные отображения р- мерных поверхностей \/р ■—^ VpB п - мерном евклидовом пространстве Еп , при которых однопараметрическому семейству X линий Y^VL соответствует конгруэнтное семейство X линий Y с VP ( два семейства конгруэнтны, если соответствующие лиши семейств конгруэнтны).

В настоящее время имеется значительная литература по точечным отображениям ( ,[2 2] ). Геометрия точечных отображений тесно связана со многими другими областями геометрии.

Основным частным случаем, рассматриваемых в данной работе отображений, являются отображения, изученные в Е3 Д.Ф.Егоровым (1&3). Д.Ф.Егоров в работе [6] рассматривал поверхность S как семейство \ F J линий, зависящих от одного параметра от . Каждая линия семейства i F f подвергалась какому-то конечному смещению, которое непрерывно менялось от одной линии к другой}и в результате получалось новое семейство \ F } и новая поверхность S , причем нормаж поверхности S не обязательно будут образами нормалей поs верхности °

Д.Ф.Егоров рассматривал тот "замечательный частный случай, когда нормаж поверхности, проведенные в точках одной линии canst t совпадут с нормалями поверхности в точках соответствующей линии, когда будут приведены к совпадению эти две жнии".

Д.Ф.Егоровым (Г6]) получен основной результат: для того чтобы данное семейство 1 F" 1 линий на поверхности S допускало указанное преобразование, необходимо и достаточно, чтобы нормали поверхности S в точках каждой линии семейства, принадлежали линейному комплексу.

Эта задача тесно связана с практически важным вопросом о взаимном огибании поверхностей.

Р.Н. Щербаков рассматривал отображение Д.Ф.Егорова. Он нашел натуральное уравнение указанного семейства, а затем рассмотрел аналогичную зада,чу в аффинной и проективной геометрии поверхностей ([2?]), а также решил аналогичные задачи в теории конгруэнции ([28]-[30]). Полученные на этом пути преобразования получили название "преобразований Егорова" С[31]).

Преобразования Егорова различных геометрических образов в проективном и неевклидовом пространствах рассматривались в работах Е.Т.Ивлева, ([п]), В.И.Машаяова ([15]), М .Б .Пергамен-щикова ([17]).

A.П. Ерохина в работах ([7]-[9]) продолжила изучение преобразований Егорова для поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве и для линейчатых конгруэнции в различных пространствах.

М.А.Акивис в работе!2]получил результат, аналогичный основному результату Д.Ф.Егорова, для проективной теории поверхностей. При этом роль линейного комплекса играет билинейная система плоских элементов. Из теоремы, доказанной М.А.Акиви-сом, может быть получен и основной результат Д.Ф.Егорова.

Один частный вид преобразований Егорова для линейчатой поверхности рассмотрен в работе Георги Златанова (1ю]).

B.Я.Беркуцкий в работах ([3]-[5]) исследует Е - отоб-ражотш и преобразования Егорова в квазинеевклидовых пространствах (построил для поверхностей и линейчатых контруэнщй в квазинеевклидовых пространствах теорию Е - отображений и преобразований Егорова). В данной работе ставится цель:

1) изучение отображений g р - мерных поверхностей Vp-^Vp в Е h , содержащих соответствующие конгруэнтные однопараметрические семейства 21 и линий;

2) рассмотрение отображений : VpVp ^содержащих соответствующие конгруэнтные семейства 2 и X линий с параллельными касательными в соответствующих точках;

3) обобщение отображений поверхностей, рассмотренных Д.Ф. Егоровым в Е3^на случай р- мерных поверхностей в Е h .

Научная новизна. В работе впервые исследовано отображение поверхностей Vp , содержащих соответствующие одно-параметрические семейства X и X линий в Е h . Доказана теорема существования таких отображений . Рассмотрены частные случаи отображений g в Е 3 .

Изучен частный 'случай отображений д - отображения при которых в соответствующих точках М Vp и V линий конгруэнтных семейств и касательные параллельны. Доказана теорема о том, что к каждой паре поверхностей ( V , Vo ), находящихся в отображении

I ' ^ ~ присоединяется оо поверхностей Vp , соответствующе точки которых принадлежат прямой (ММ ) | ~ j М € Vp ) и которые находятся в отображении . В данном случае изучены отображения конгруэнции, определяемых прямыми реперов Френе.

Обобщено отображение поверхностей, рассмотренное Д.Ф.Егоровым в работе Г ^ 3 в Е^ , для р - мерных поверхностей в Е h . В Е3 доказано необходимое и достаточное условие существования отображений поверхностей, рассмотренных Д.Ф.Егоровым.

Рассмотрены отображения 2 - мершх и 3 - мерных поверхностей в Е^ . Изучены некоторые частные случаи отображений Егорова в Е3 .

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего изучения отображений поверхностей, содержащих соответствующие конгруэнтные семейства линий в Е ^ .

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались неоднократно на научном геометрическом семинаре МОПИ им. Н.К.Крупской, на научном геометрическом семинаре МЗШ им. В.И.Ленина (1976,1982,1983), на геометрическом семинаре в Московском институте стали и сплавов (1982,1983).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Опубликованные научные работы по теме диссертации выполнены без соавторов .

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях (C32K35-J) .

Общие методы исследования. Исследования в диссертации проводятся методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 35* названий и изложена на 131 страницам машинописного текста. Все теоремы и формулы обозначаются тройной нумерацией: первая цифра указывает главу, вторая - номер параграфа, а третья - номер теоремы или формулы соответствующего параграфа и главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фарафонова, Г.М., 1984 год

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия Калинин, 1977, 82 с.

2. Акивис М.А. О проективном обобщении преобразований Д.Ф.Егорова. Изв. вузов. Матем., 1984, № 7, с.3-10.

3. Беркуцкий В.Я. Е отображения двумерного дифференцируемого многообразия. - В кн.:1У отчетная научная конференция. Омский гос. ун-т: Тез. докладов. Омск, 1978, с.42.

4. Беркуцкий В.Я. Е отображения линейных конгруэнций в квазинеевклидовых пространствах о3 • - Томск, 1979, 24 с. Деп. в ВИНИТИ, В 3528-79.

5. Беркуцкий В.Я. Е отображения и преобразования Егорова поверхностей в трехмерных квазинеевклидовых пространствах. В кн. Геометрический сборник. Томск, ТГУ, 1981, вып. 21, с. 45-54.

6. Егоров Д.Ф. 0 поверхностях, образованных расцределением линий данного семейства. В кн.: Егоров Д.Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М., 1970, с. 328-371.

7. Ерохина А.П. К вопросу о преобразовании Егорова. В кн.: Итоговая научная конференция по математике и механике за 1970 год: Тез. докл. Томск, 1970, с. 117.

8. Ерохина А.П. К вопросу о преобразованиях Егорова в проективной теории конгруэнций. В кн.: Геометрический сб.: Труды Томск, ун-та, 1972, т. 212, вып. 9, с. 96-119.

9. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: "Мир", 1971, 357 с.

10. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: МГУ, 1962, 237 с.

11. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М.: МГУ, 1963, 367 с.

12. Машанов В.И. Линейчатые поверхности конгруэнций прямых пространства постоянной кривизны. Сибирский матем. журнал, 1965, У1, Ш I, с. 149-164.

13. Норден А.П. Теория поверхностей. Гостехиздат. М., 1956, 259 с.

14. Пергаменщиков М.Б. 0 преобразовании Егорова в теории конгруэнций. Литовский матем. сб., 1967, т. Ш, 2, с. 257, ХХУ научно-педагогическая конференция математических кафедр педвузов Уральской зоны: Тез. докладов. Свердловск, 1967, с. 64-65.

15. Розенфельд Б.А, Многомерные пространства. М.: "Наука", 1966, 648 с.

16. Рыбаков В.Н. Биноминальные свойства конгруэнций. Ученые записки кафедры геометрии МГЗПИ, М., 1955, т. ХХХУ, вып. 4.

17. Рыбаков В.Н. Однопараметрические семейства конгруэнций и поверхностей в Е3< В кн.: УП Всесоюзная конференция- 130 по современным проблемам геометрии: Тез. докладов. Шнек., 1979, с. 169.

18. Рыжков В.Б. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. АН СССР, Институт научной информации. Итоги науки. Геометрия, 1969, М., 1965, с. 65 107.

19. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. АН СССР, Институт научной информации. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия., 1970, М., 1971, с. 153-168.

20. Схоутен И.А., Стройк Д.Дж- Введение в новые методы дифференциальной геометрии. М., 1948, т. П, 346 с.

21. Фиников С.П. Теория поверхностей. М. Л., ГТТИ, 1934, 200 с.

22. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. -Л., ГИТТЛ, 1948, 432 с.

23. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М. JI., ШТТЛ, 1950, 526 с.

24. Щербаков Р.Н. К вопросу об образовании поверхности линиями. Успехи математических наук. 1953, 8, Ж 2, с.147-- 157, 1957, 12, В I, с. 259-261.

25. Щербаков Р.Н. Репер линейчатой поверхности, принадлежащей данной конгруэнции /метрическая теория/. Ученые записки Бурятского педагогического института, 1954, 5,с. 51 60.

26. Щербаков Р.Н. Некоторые вопросы аффинной теории прямолинейных конгруэнций. Матем. сб., 37/79/, 1955, 3,с. 527 556.

27. Щербаков Р-Н. Проективная теория репера линейчатой поверхности, принадлежащей данной конгруэнции. Матем.сб.,- 131 46/88/, 1958, 2, с. 159 194.

28. Щербаков Р.Н. Преобразования Егорова в теории конгруэнций. В кн.: Труды третьего всесоюзного математического съезда, 1956, I, с. 176 177.

29. Фарафонова Г.М. О преобразованиях Егорова в Е3 и Е^. Республиканский сборник научных трудов. Современная геометрия. I., 1978, с. 123 127.

30. Фарафонова Г.М. Обобщение преобразования Егорова в Е3. Исследования по геометрии многообразий и проективной геометрии. Республиканский сборник научных трудов. JL , 1979, с. 98 108.

31. Фарафонова Г.М. О некоторых типах отображений поверхностей, содержащих семейства конгруэнтных линий в евклидовом пространстве. Деп. ВИНИТИ, М, 1980, 15 с.

32. Фарафонова Г.М. Однопараметрические семейства поверхностей, содержащих конгруэнтные семейства линий в евклидовом пространстве. Сб. "Прикладные вопросы дифференциальной геометрии", В I, Деп. ВИНИТИ, 1982, с. 57 -69.