Относительная метрическая энтропия как мера степени перемешивания в регулярных и хаотических зашумленных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Астахов, Сергей Владимирович

• Астахов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Астахов, Сергей Владимирович

Введение

Глава 1. Относительная метрическая энтропия динамических и стохастических систем

1.1. Энтропия Колмогорова-Синая.1G

1.2. Концепция относительной метрической энтропии.

1.3. Относительная метрическая энтропия хаотических систем, находящихся под действием шума.

1.4. Выводы.

Глава 2. Синхронизация квазипериодических автоколебаний

2.1. Теория синхронизации квазипериодических автоколебаний в фазовом приближении

2.2. Радиофизический эксперимент.

2.3. Синхронизация в цепочке связанных генераторов Ван дер Поля

2.4. Выводы.

Глава 3. Применение концепции относительной метрической энтропии для оценки степени перемешивания в различных зашумленных и распределенных системах.

3.1. Диагностика индуцированного шумом хаоса с помощью относительной метрической энтропии

3.2. Диагностика эффекта стохастического резонанса с помощью относительной метрической энтропии.

3.3. Исследование влияния эффекта синхронизации на перемешивание в зашумленной системе с помощью относительной метрической энтропии.

3.4. Исследование пространственного перехода к хаосу в активной среде с помощью относительной метрической энтропии.

3.5. Выводы.L

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Относительная метрическая энтропия как мера степени перемешивания в регулярных и хаотических зашумленных системах»

Термин энтропия был впервые введен немецким физиком Рудольфом Клаузиусом в 1865 году [1]. Само слово в переводе с греческого означает "поворот, превращение" и этимологически считается, что понятие введено для обозначения формы энергии, в которую неизбежно "превращается" любая энергия - бесполезное тепло. Эта идея была ранее предложена Сади Карно [2] и сейчас известна как второе начало термодинамики.

В 1875 году австрийский физик Людвиг Больцман [3] и американский ученый Уиллард Гиббс [4] ввели энтропию в вероятностный математический аппарат статистической механики и их идеи были развиты Максом Планком. Позже Джон фон Нейман обобщил понятие энтропии на квантовую механику [5]. В теорию вероятностей термин "энтропия" введен Клодом Шенноном [6] и в дальнейшем его формулировка легла в основу теории информации.

Понятие энтропии в теорию динамических систем ввел А.Н. Колмогоров [7]. а строгая теория была построена Я.Г. Синаем [8]. Сейчас данная характеристика известна как энтропия Колмогорова-Синая и является ключевым понятием современной эргодичсской теории.

Исходное понятие термодинамической энтропии S можно интерпретировать как меру степени беспорядка в некоторой системе. Простым примером системы, в которой S растет, служат молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба, а затем внезапно для них открывается возможность заполнить весь сосуд. Степень беспорядка в этой системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот рост беспорядка связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше). Проводя аналогию между объемом с некоторым газом и некоторой динамической системой следует перейти от пространства координат частиц газа к фазовому пространству рассматриваемой системы. Состояние системы описывается изображающей точкой в данном пространстве. Чтобы проследить за движением изображающей точки, в общем случае целесообразно исследовать эволюцию малого объема, включающего начальную точку [9]. Если предельная траектория есть устойчивое состояние равновесия или периодическое движение, то малая область сжимается в точку или линию. Таким образом, мы имеем дело с полной предсказуемостью поведения системы и наше незнание о состоянии системы равно нулю. Если же предельная траектория неустойчива по Ляпунову, то малая начальная область растягивается вдоль одних направлений и может сжиматься по другим и в виде сильно деформированного образования заполняет некоторую область фазового пространства, подобно газу, заполняющему ограниченный стенками объем. Фазовый объем начальной области может сохраняться в случае консервативной системы или уменьшаться в пределе до нуля в случае диссипативной.

Процесс заполнения некоторой области фазового пространства изображающими точками, стартовавшими из малой окрестности друг друга, называют перемешиванием. В ходе эволюции в системе с перемешиванием две сколь угодно близкие по начальным условиям фазовые траектории, спустя определенное время, могут оказаться в различных, удаленных друг от друга областях фазового пространства. В результате получается, что, хотя эволюция произвольной фазовой точки полностью детерминирована, для описания эволюции любой сколь угодно малой области в фазовом пространстве системы с перемешиванием нужно использовать статистический, вероятностный подход. А.Н. Колмогоров показал, что введенная им метрическая энтропия в динамических системах с перемешиванием будет иметь конечное положительное значение [7]. Именно отличное от нуля значение метрической энтропии динамической системы является главным критерием наличия режима дстср-мпппровапного хаоса. При этом для большинства базовых моделей динамичес ко го хаоса величина метрической энтропии (энтропии Колмогорова-Синая) может быть вычислена как сумма положительных характеристических показателей Ляпунова [10, 11]. Таким образом, в силу того, что прямое вычисление энтропии Колмогорова-Синая по определению затруднено, на практике критерием хаотичности аттрактора стало наличие у него хотя бы одного положительного ляпуновского характеристического показателя.

Итак, перемешивающим свойством могут обладать нелинейные системы, характеризующиеся ненулевым значением энтропии Колмогорова-Синая. Однако, любая реальная система находится под действием неустранимых шумов различной природы, которые, безусловно, вносят свою роль в перемешивание в фазовом пространстве такой системы. При этом, с точки зрения строгого определения, величина энтропии Колмогорова-Синая при добавлении в систему шума становится бесконечной, даже если в отсутствие шумов система демонстрирует регулярные движения с нулевой метрической энтропией, а интенсивность шума ничтожно мала. В таких случаях для оценки степени перемешивания в системе прибегают к оценке величины старшего характеристического показателя Ляпунова. Тем не менее, как будет показано в первой главе, такая оценка не всегда может точно передать информацию о степени перемешивания в системе, поскольку с увеличением интенсивности шумового воздействия старший характеристический показатель Ляпунова может убывать [12]. Кроме того, в ряде случаев вычисление ляпуновских характеристических показателей зашумленных систем затруднено. Так, если отсутствует информация о виде уравнений, описывающих модель системы, и в руках исследователя находится только временной ряд, вычисление характеристических показателей Ляпунова становится сложной и нетривиальной задачей [13-16]. В связи с этим представляется целесообразным сформулировать критерий степени перемешивания в зашумленной системе, который в отсутствие шумового воздействия давал бы значения, соответствующие величине метрической энтропии (и сумме положительных характеристических показателей Ляпунова), а при наличии шума был бы способен адекватно отразить степень перемешивания, вносимого шумом, зависящую от интенсивности шумового воздействия. При этом оценка должна сводиться к анализу фазовой траектории без использования уравнений системы. Особый интерес такой критерий может вызвать при работе с системами, в которых реализуется так называемый хаотический случайный аттрактор [12]: новая мера перемешивания должна регистрировать индуцированный шумом переход к хаосу в таких системах.

Введение такого критерия позволит решить еще одну важную проблему. Явление синхронизации периодических автоколебаний интуитивно воспринимается как увеличение степени порядка в динамике объединенной системы. Тем не менее, классическая мера степени порядка в динамике системы (речь идет об энтропии Колмогорова-Синая) демонстрирует нулевые значения [8], поскольку, как в отсутствие синхронизации, так и в синхронизированном режиме, движения системы остаются регулярными. Действительно, ни о каком перемешивании в этом случае говорить нельзя. Если же подать малое шумовое воздействие, то энтропия такой системы обратится в бесконечность (опять же, как в режиме синхронизации, так и в асинхронном режиме). Таким образом, классическое понятие метрической энтропии не дает никакой информации об упорядочивающем влиянии явления синхронизации. Использование новой меры степени перемешивания позволит решить задачу об упорядочивающем эффекте синхронизации, как снижении степени перемешивания, вносимого источником шума.

Говоря о синхронизации, следует отмстить, что на сегодняшний день сформулирована строгая бифуркационная теория синхронизации периодических автоколебаний [17-21]. Также обнаружены и исследованы механизмы синхронизации хаотических автоколебаний [20-24], в том числе и в присутетвие задержки в канале связи [25-29]. При этом строгая теория синхронизации квазипериодических, многочастотных автоколебаний на сегодняшний день еще не сформирована. Существуют недавние результаты [30-33], где в численном эксперименте с использованием сечений Пуанкаре показано, что в основе бифуркационного механизма синхронизации такого типа автоколебаний лежат седло-узловые бифуркации инвариантных торов. В рамках второй главы дайной работы решается задача построения бифуркационной теории синхронизации квазипериодических автоколебаний в фазовом приближении (по аналогии с синхронизацией периодических автоколебаний) на примере трсхчастотных колебаний. Теоретические результаты подтверждаются в радиофизическом эксперименте.

Явление синхронизации квазипериодических автоколебаний играет важную роль при осуществлении взаимодействия в цепочках осцилляторов. Поэтому представляется весьма важным обобщить теоретические результаты, полученные для синхронизации трехчастотных автоколебаний на случай синхронизации в цепочке из большего количества квазигармоничсских автогенераторов. Очевидно, новый критерий степени перемешивания может быть использован и применительно к распределенным системам. В цепочках генераторов и активных средах, как и в случае сосредоточенных систем, перемешивание может реализовываться за счет собственной динамики парциальных элементов в отсутствие шума. При этом хаотическая динамика может наблюдаться как во всей системе, так и локально, в некоторых точках или на определенных интервалах пространственной координаты. Особый интерес представляет пространственный переход от регулярных колебаний к хаотическим вдоль пространственной координаты такой распределенной системы. Существуют работы [34, 35], в которых в цепочке однонаправленно связанных генераторов с инерционной нелинейностью реализуется пространственный переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Тем не менее, в такой модели ие может реализоваться непрерывный пространственный каскад бифуркаций удвоения периода. Количество удвоений ограничено числом элементов цепочки и невозможно локализовать бифуркацию в пространстве. Таким образом, чтобы говорить о непрерывном по пространственной координате переходе к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, необходимо сформулировать модель активной среды, реализующей такое поведение. В качестве критерия хаотичности динамики в подобной среде и меры степени перемешивания в фазовом пространстве ее элементов также можно использовать новую меру, введенную для зашумлен-пых сосредоточенных систем.

Целью диссертационной работы являлась разработка количественной меры степени перемешивания в зашумленных системах и исследование с ее помощью влияния на перемешивание, вызванное шумом, нелинейных эффектов, таких как стохастический резонанс, синхронизация периодических и квазипериодических автоколебаний, индуцированный шумом хаос, а также исследование перемешивания в среде, демонстрирующей переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода вдоль пространственной координаты.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационного исследования, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Ввести новую количественную меру перемешивания и показать ее связь с энтропией Колмогорова-Синая и характеристическими показателями Ляпунова динамической системы. Показать способность новой меры отражать перемешивающее влияние шума.

2. Разработать теорию фазовой синхронизации предельного цикла на двумерном торе н подтвердить ее выводы в радиофизическом экспсрименте.

3. Исследовать изменение величины введенной меры перемешивания при стохастическом резонансе, а также при синхронизации периодических и квазипериоднческих колебаний в присутствие шума. Диагностировать с помощью введенной меры перемешивания явление возникновения хаотического случайного аттрактора.

4. Ввести модель непрерывной активной среды, в которой реализуется пространственный переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Показать развитие хаотической динамики, используя в качестве критерия новую меру степени перемешивания.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Астахов, Сергей Владимирович

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. В фазовом пространстве динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, реализуется явление перемешивания. Степень перемешивания определяется величиной метрической энтропии Колмогорова-Синая и, в случае динамического хаоса, задастся собственной динамикой системы. Однако, любая реальная физическая система всегда находится под влиянием неустранимых внешних шумов. Строгое определение энтропии Колмогорова-Синая требует обращения данной величины в бесконечность при добавлении к системе шума сколь угодно малой интенсивности. Введенное понятие относительной метрической энтропии позволяет количественно определить степень перемс-пшванртя, вызванного шумом относительно данной точности измерений состояния системы.

2. В отсутствие шума введенная величина дает оценку энтропии Колмогорова-Синая динамической системы. При конечном значении точности измерений полученная величина достаточно близка к истинному значению KS-энтропии и может быть связана с характеристическими показателями Ляпунова через неравенство Маргулиса-Рюэля и теорему Песина.

3. Исследование зависимости величины относительной метрической энтропии от точности измерений показало, что хаотической динамике системы в отсутствие шума соответствует плато на графике такой зависимости, причем при добавлении шума в систему данное плато приобретает наклон, который увеличивается с увеличением интенсивности шума, а правая граница плато практически не претерпевает изменений. Таким образом, с помощью введенного понятия относительной метрической энтропии становится возможным отделить перемешивающее влияние шума от перемешивания, вызванного собственной динамикой системы по одной временной реализации.

4. В случае зашумленной системы относительная метрическая энтропия даст более правильную оценку степени перемешивания, чем положительные характеристические показатели Ляпунова. Так, в зашумленной системе Ресслера в режиме хаоса наблюдается уменьшение старшего характеристического показателя Ляпунова с увеличением интенсивности шумового воздействия. При этом относительная метрическая энтропия такой системы увеличивается с увеличением интенсивности шума.

5. Разрушение эффекта синхронизации в системе двух связанных генераторов Ван дер Поля, находящихся под внешним гармоническим воздействием происходит через следующую последовательность касательных бифуркаций. В режиме синхронизации система демонстрирует одно-частотные периодические автоколебания, характеризующиеся устойчивым предельным циклом в фазовом пространстве. С изменением частоты внешнего гармонического воздействия происходит седло-узловая бифуркация устойчивого и седлового предельных циклов с образованием устойчивого двумерного тора, который, в свою очередь, лежит на гиперповерхности трехмерного тора. Одновременно происходит седло-рспел-лерная бифуркация двух предельных циклов с образованием седлового двумерного тора, который лежит на гиперповерхности того же трехмерного тора. При дальнейшем изменении частоты воздействия происходит касательная бифуркация устойчивого и седлового двумерных торов. В результате система демонстрирует трехчастотные квазипериодическис колебания.

G. Проведенный радиофизический эксперимент полностью подтвердил выводы построенной теории фазовой синхронизации предельного цикла на двумерном торе в окрестности резонанса 1:1.

7. Результаты радиофизического эксперимента по синхронизации предельного цикла на двумерном торе в окрестности резонанса 1 : 3 позволяют распространить выводы теории фазовой синхронизации на случаи ре-зонансов кратности, отличной от 1 : 1. Построенная по результатам эксперимента бифуркационная диаграмма качественно повторяет полученную аналитически для резонанса 1:1.

8. В основе механизма потери фазовой синхронизации в цепочке осцилляторов Ван дер Поля также лежит последовательность касательных бифуркаций. Отличие состоит в том, что количество седло-узловых бифуркаций и размерность участвующих в бифуркациях предельных множеств определяются количеством осцилляторов в цепочке.

9. Введенная в первой главе относительная метрическая энтропия позволяет диагностировать возникновение индуцированного шумом хаоса в нелинейной диссипативной системе. На примере осциллятора Дуффин-га, находящегося под действием шума, показано возникновение плато в зависимости величины относительной метрической энтропии от точности регистрации. Данное плато характерно для зашумленных хаотических автоколебаний и не наблюдается в случае зашумленных регулярных колебаний.

10. Явление стохастического резонанса снижает степень перемешивания в зашумленной нелинейной системе. На примере передемпфированного бистабильного осциллятора, находящегося под действием шума, в численном эксперименте показано наличие минимума в зависимости величины относительной метрической энтропии от интенсивности шума. При этом минимум наблюдается при том же значении интенсивности шума, что и максимум отношения сигнал/шум, то есть при стохастическом резонансе.

11. Синхронизация гармонических автоколебаний в присутствие шума снижает степень перемешивания в фазовом пространстве системы. В численном эксперименте показано, что в системе двух связанных генераторов Ван дер Поля, находящихся под действием белого гауссова шума, при переходе от не синхронных автоколебаний к режиму синхронизации наблюдается уменьшение величины относительной метрической энтропии. Более того, при синхронизации предельного цикла на торе внешним гармоническим воздействием в присутствие шума наблюдается максимум относительной метрической энтропии при трехчастотных колебаниях системы, уменьшение величины энтропии при захвате одной частоты и минимум относительной метрической энтропии в режиме одночастотных колебаний.

12. Шум фиксированной интенсивности оказывает большее перемешивающее действие на предельный цикл, лежащий на поверхности тора, чем на предельный цикл, не являющийся резонансом на торе. Данный вывод справедлив и для торов: шум вызывает большее перемешивание в случае, если фазовый портрет системы представляет собой эргодический тор, являющийся резонансом на торс большей размерности.

13. Введена модель непрерывной активной среды, демонстрирующей пространственный переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Предложенная модель демонстрирует локализованные в пространстве бифуркации удвоения периода. Развитие хаоса вдоль пространственной координаты также подтверждается результатами исследования относительной метрической энтропии.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Астахов, Сергей Владимирович, 2010 год

1. Clausius R. The Mechanical Theory of Heat - with its Applications to the Steam Engine and to Physical Properties of Bodies. London, 1865.

2. Carnot S. Reflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres a developper cette puissance texte. Bachelier Librairc, 1824.

3. Boltzmann L. Vorlesungen iiber Gastheorie. Leipzig, J. A. Barth, 1898. Vol. 2.

4. Gibbs W. A Method of Geometrical Representation of the Thermodynamic Properties of Substances by Means of Surfaces. 1873.5. von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer, 1932.

5. Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication // The Bell System Technical Journal. 1948. Vol. 27. Pp. 379-423, 623-656.

6. Колмогоров ATI. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега // ДАН СССР.1958. Т. 119, № 5. С. 861-864.

7. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР.1959. Т. 124, № 4. С. 768-771.

8. Аиищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1990.

9. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // Успехи Математических Наук. 1977. Т. 32, № 4. С. 55-112.

10. Ruelle David. An inequality for the entropy of clifferentiable maps // Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. 1978. Vol. 9, no. 1. Pp. 83-87.

11. Arnold L. Random Dynamical Systems. New York: Springer, 1998.

12. Zeng X., Eykholt R., Pielke R. A. Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision // Physical Review Letters. 1991. Vol. 66, no. 25. P. 3229.

13. Habib S., Rync R. D. Symplectic Calculation of Lyapunov Exponents // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, no. 1. Pp. 70-73.

14. Christiansen F., Rugh II.H. Computing Lyapunov spectra with continuous Gram Schmidt orthonormalization // Nonlinearity. 1997. Vol. 10, no. 5. P. 1063.

15. Rangarajan G., Habib S., Ryne R.D. Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 17. Pp. 3747-3750.

16. Hayashi C. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. New York: McGraw-Hill Company, 1964.

17. Блехмаи И.И. Синхронизация динамических систем. Москва: Наука, 1971.

18. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. Москва: Наука, 1997.

19. Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

20. Balanov A., Janson N., Postnov D., Sosnovtseva 0. Synchronization: From Simple to Complex. Springer, 2008.

21. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76. Pp. 1804 1807.

22. Mosekilde E., Maistrenko Y., Postnov D. Chaotic Synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific, 2002.

23. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Nciman A.B. et al. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Berlin: Springer, 2007.

24. Астахов В.В., Неходцева Е.И., Астахов С.В., Шабунин А.В. Влияние задержки в канале связи на режимы полной синхронизации хаотических систем с дискретным временем // Изв. вузов ПНД. 2007. Т. 15, № 5. С. 61-67.

25. Астахов В.В., Астахов С.В., Неходцева Е.И., Шабунин А.В. Влияние задержки в канале связи на полную синхронизацию // Известия Саратовского университета. 2008. Т. 8, № 2. С. 30-34.

26. Неходцева Е.И., Астахов С.В. Синхронизация взаимодействующих с задержкой генераторов с инерционной нелинейностью // Нелинейные дни в Саратове для молодых 2007: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ "Наука", 2008. С. 136-139.

27. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: synchronization of quasiperiodic motions // Physical Review E. 2006. Vol. 73. P. 056202.

28. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Physical Review E. 2007. Vol. 76. P. 046216.

29. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Chaos. 2008. Vol. 18, no. 3. P. 037123.

30. Анищенко B.C., Николаев C.M., Kurths J. Механизмы синхронизации предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 1. С. 39-56.

31. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР. 1986. Т. 28, № 5. С. 1120.

32. Anishchenko V.S. Auto-oscillatory regimes in the chain of coupled generators. Selforganization by Nonlinear Irreversible Processes. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

33. Adlcr R., Downarowicz Т., Misiurewicz M. Topological entropy. 2008. URL: http://www.scholarpedia.org/article/Topologicalentropy.

34. Hassclblatt В., Pesin Y. Pesin entropy formula. 2008. URL: http://www. scholarpedia.org/article/Pesinentropyformula.

35. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of Strange Attractors // Physical Review Letters. 1983. Vol. 50, no. 5. Pp. 346-349.

36. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal // Physical Review A. 1983. Vol. 28, no. 4. Pp. 2591-2593.

37. Marwan N., Romano M. C., Thiel M., Kurths J. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. 2007. Vol. 438. Pp. 237-329.

38. Renyi A. Probability Theory. Amsterdam: North-Holland, 1970.

39. Farmer J. D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D. 1982. Vol. 4, no. 3. Pp. 366-393.

40. Мун Ф. Хаотические колебания. Москва: Мир, 1990.

41. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Москва: Физматлит, 2001.

42. Henon М. A Two-dimensional Mapping with a Strange Attractor // Communications in Mathematical Physics. 1976. Vol. 50, no. 1. Pp. 69-77.

43. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, no. 5. Pp. 397-398.

44. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: Бином, 2001.

45. Anishchcnko V.S. Dynamical Chaos. Models and Experiments. Appearance, Routes and Structure of Chaos in Simple Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 1995.

46. Anishchcnko V., Astakhov S., Vadivasova T. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86. P. 30003.

47. Анищенко B.C., Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухча-стотных колебаний // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 237-252.

48. Zheng Zh., Ни G., Ни В. Phase slips and phase synchronization of coupled oscillators // Physical Review Letters. 1998. Vol. 81. P. 5318.

49. Anishchenko V.S., Astakhov S.V., Vadivasova Т.Е. Diagnostics of the Degree of Noise Influence on a Nonlinear System Using Relative Metric Entropy // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 2-3. Pp. 261-273.

50. Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Анищенко B.C. Исследование пространственного перехода к временному хаосу в активной среде с однонаправленной связью // Изв. вузов ПНД. 2008. Т. 16, № 2. С. 122-130.

51. Shimansky-Geier L., Hcrzcl Н. Positive Lyapunov Exponents in the Kramers Oscillator // Journal of Stat. Phys. 1993. Vol. 70, no. 1. Pp. 141-147.

52. Анищенко B.C., Нейман А.В., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. 1999. Т. 169, № 1. С. 7-38.

53. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

54. Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. Dynamical chaos in ensembles of structures and spatial development of turbulence in unbounded systems, Ed. by W Ebeling. Springer, 1986.

55. Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one- and two-dimensional coupled map lattices // Physica D. 1989. Vol. 32. P. 60.

56. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. Москва: Наука, 1990.

57. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса // Изв. вузов: Радиофизика. 1991. Т. 34, № 10-12. С. 1079.

58. Bohr Т., Jensen М.Н., Paladin G., Vulpiani A. Dynamical systems approach to turbulence. New York: Cambridge University, 1998.

59. Aranson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Rev. Mod. Phys. 2002. Vol. 74, no. 1. Pp. 99-143.

60. Kaneko K. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems. Singapore: World Scientific, 1986.

61. Pikovsky A.S. Discrete model of spatially mixing system // Physics Letters A. 1992. Vol. 168. P. 276.