Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Пикулин, Сергей Владимирович

• Пикулин, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пикулин, Сергей Владимирович

Введение

0.1. Общая характеристика работы.

0.2. Обзор содержания диссертации.

0.3. Основные обозначения.

0.4. Основные определения и некоторые известные факты.

I Сферически перфорированные области

§ 1 Задачи в перфорированном кубе.

1.1. Локализация носителя решения.

1.2. Сходимость решений.

§ 2 Осреднение задачи с неоднородным краевым условием.

2.1. Сходимость решений.

2.2. Интегральная сходимость градиентов.

II Цилиндрически перфорированные области

§ 1 Свойства решений.

1.1. Функциональные пространства.

1.2. Разрешимость задач Дирихле и Зарембы.

1.3. Вариационный принцип и ограниченные решения.

1.4. Аппроксимация обобщенных решений.

§ 2 Вспомогательные результаты.

2.1. Свойства меры с плотностью |х|р.

2.2. Некоторые свойства гладких функций и классических решений.

2.3. Оценка решения в центре шара при о > 1.

2.4. Обнуление решения в центре шара при а < 1.

2.5. Оценки решений задачи Дирихле.

§ 3 Теоремы о локализации и сходимости.

3.1. Локализация носителя.

3.2. Сходимость решений.

3.3. Интегральная сходимость решений вместе с градиентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях»

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена изучению свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью в перфорированных областях.

Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (х £ Мп):

Агь — |гг|ст signw = 0, 0 < <т ^ 1, s > 0. (0.1)

Для уравнений данного вида рассматриваются краевые задачи Дирихле и Зарембы в ограниченных липшицевых областях ГI, содержащих конечное число одинаковых полостей шаровой или цилиндрической формы. Решения указанных задач в классе W^fi) П L^Ct) понимаются в обобщенном смысле. Известно [61], что для функций из И^О) в липшицевой области О, определены их следы на dQ, принадлежащие пространству W^idSÍ). Исходя из этого, краевые условия типа Дирихле, отвечающие функциям класса W^2(dCí) ПЬоо^дй), задаются в виде следов функций класса W^Q) HL^Q), определенных во всей области.

Поведение решений краевых задач такого вида имеет ряд особенностей, не возникающих в линейном случае; в частности:

1) при a G (0,1) и выполнении однородного условия Дирихле или Неймана на «внешней» границе области носитель ограниченного решения локализован в окрестности полостей, размер которой зависит от входных данных (эффект локализации носителя);

2) при достаточно больших а > 1 и достаточно быстром стремлении размеров полостей к нулю одновременно с ростом их количества при фиксированном условии Дирихле на внешней границе наблюдается сходимость решений к решению предельной задачи в неперфорированной области; при этом предельная задача не зависит от краевых условий на границах полостей.

Актуальность темы. Полулинейные уравнения в частных производных эллиптического типа с измеримыми коэффициентами активно изучались многими авторами. В.А.Кондратьев и Е. М.Ландис [23, 22] установили ряд качественных свойств решений таких уравнений. В работах O.A. Олейник и В.А.Кондратьева [73, 74, 18, 17, 19, 20] изучено поведение решений полулинейных уравнений в (полу)бесконечном цилиндре с условием Неймана на боковой поверхности цилиндра. Вопросы существования решений и их асимптотического поведения в цилиндрических областях изучались в работах Ю.В.Егорова, В.А.Кондратьева, О.А.Олейник [И, 12] и др. В статье Ю.В.Егорова, В.А.Кондратьева [71] рассмотрена задача с нелинейным граничным условием. Свойства решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях изучались в работах А.А.Конькова [24, 25, 26, 27]. В связи с эффектом локализации носителя следует отметить теоремы о компактности носителя решения некоторых нелинейных неравенств в неограниченной области [26].

Исследованию разрешимости уравнений со степенной нелинейностью и изучению свойств их решений в случае оператора Лапласа в главной части посвящена обширная литература: [72, 87, 97, 65, 99, 98, 75]; уравнения более общего вида изучались в работах [79, 63, 47, 86, 78, 77].

Теории осреднения линейных уравнений посвящено большое количество статей и монографий, в частности: [32, 62, 2, 49, 68, 39, 13, 86]. Осреднением квазилинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях и областях с каналами занимался И. В. Скрыпник [50, 51, 52, 53]. Задачи осреднения для эллиптических и параболических операторов в различных постановках изучались также работах Г. А. Чечкина [56], Т. А. Шапошниковой [60], А. С. Шамаева [59] и других авторов. Как правило, в задачах осреднения накладываются определенные ограничения на входные данные, например: близость полостей к некоторому многообразию [31, 81], периодичность коэффициентов [62], периодичность расположения полостей [2, 40] или другие условия [91]. Также обычно задачи осреднения включают в себя те или иные краевые условия на границах полостей, такие как условие Неймана [15], Дирихле [86], или условия различных типов на разных участках границы [3, 67]. Использование в диссертации методов теории устранения особенностей [94, 95, 96, 54, 55], а также качественной теории линейных [29, 4, 30] и полулинейных [22, 23, 21] эллиптических уравнений, позволяет не делать в задачах осреднения дополнительных предположений о поведении решений на границах полостей, о периодичности коэффициентов, либо об упорядоченности расположения полостей внутри области.

В работах Е.П.Долженко [7, 8, 9], Л.Карлесона [66], А.В.Покровского [43, 44, 45, 46] и других авторов доказан ряд критериев устранимости замкнутого множества для эллиптических уравнений в терминах хаусдорфовой меры этого множества. Теоремы об осреднении настоящей работы являются некоторыми аналогами таких критериев. При этом условиям типа равенства нулю хаусдорфовой меры в теории устранения особенностей соответствуют условия на скорость убывания размеров полостей. Некоторые результаты диссертации имеют аналоги в теории полулинейных параболических уравнений [58, 36, 37].

Теоремы о существовании «мёртвой зоны», то есть такого подмножества (положительной меры), на котором решение уравнения обращается в нуль, известны для квазилинейных эллиптических [70, 76, 89, 1, 90] и параболических [57, 6] уравнений. Для нелинейных параболических задач известен также эффект пространственной локализации возмущения [48].

Целью диссертационной работы является:

1) изучение свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью и нелинейным членом, зависящим от неизвестной функции степенным образом, в областях со сферической и цилиндрической перфорацией методами теории устранения особенностей и качественной теории квазилинейных уравнений;

2) исследование задачи осреднения для полулинейных эллиптических уравнений в областях, содержащих полости шаровой или цилиндрической формы;

3) изучение эффекта локализации носителя решения краевых задач Зарембы и Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) для п > 3 и достаточно больших значений показателя нелинейности и > 1 найдены условия, при которых решения задачи Дирихле в последовательности перфорированных областей сходятся (в подходящем смысле) к решению предельной задачи в неперфорированной области; получена оценка скорости сходимости, полиномиальная по малому параметру; доказано, что при значениях показателя нелинейности, превышающих определенную критическую величину, и при достаточно быстром убывании размеров полостей одновременно с увеличением их количества достигается сходимость к предельному решению почти всюду в области;

2) при п > 3, а > 1 установлены условия сходимости к нулю интегрального выражения, включающего разность предельного решения и решений в перфорированных областях, а также градиент этой разности;

3) в случае п > 2 и а € (0,1) установлен эффект локализации носителя: ограниченное решение задачи Зарембы обращается в нуль на достаточном удалении от той части границы области, где краевое условие неоднородно; получена оценка на размер зоны локализации;

4) для случая задачи в перфорированной области с однородным условием Дирихле на внешней границе при п > 3 и (7 6 (0,1) получена уточненная оценка на размер зоны локализации.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Публикации. Опубликовано 7 работ [88, 35, 33, 34, 82, 41, 42] по теме диссертации, из которых 3 — в источниках, рекомендованных ВАК.

Апробация. Результаты работы докладывались на заседаниях семинара «Качественная теория уравнений в частных производных» кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е. В. Радкевича, а также под руководством проф. В.В.Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева; на семинаре «Методы решения задач математической физики» Федерального государственного бюджетного учреждения науки Вычислительного центра им. А.А.Дородницына Российской академии наук под руководством проф. А. А. Абрамова, проф. В.И.Власова, проф. Б.В.Пальцева; на семинаре отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН под руководством проф. А. К. Гущина и проф. В. П. Михайлова; на Международной конференции «Fourth Arbeitstagung of the Second Series» (Bonn, 1999); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» им. И.Г.Петровского (Москва, 2011 г.); на Международной молодёжной конференции — школе «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна, 2012 г.); на Третьей международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Самара, 2012 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы и пункты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пикулин, Сергей Владимирович, 2012 год

1. Антонцев С. Н., Шмарев С. И. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 963-984.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва: Наука, 1984.

3. Гадылынин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, № 2. С. 271-287.

4. Гервер М. Л., Ландис Е. М. Одно обобщение теоремы о среднем для функций многих переменных // ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 4. С. 761764.

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. Москва: Наука, 1989.

6. Глаголева Р. Я. Достаточное условие существования "мертвой зоны" у решений вырождающихся полулинейных параболических уравнений и неравенств // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 6. С. 824-831.

7. Долженко Е. П. О «стирании» особенностей аналитических функций // УМН. 1963. Т. 18, № 4(112). С. 135-142.

8. Долженко Е. П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113-1130.

9. Долженко Е. П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 6. С. 12511270.

10. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. ВИНИТИ. 1976. Т. 9. С. 5-130.

11. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Об одной проблеме О.А.Олейник // УМН. 1997. Т. 52, № 318. С. 159-160.

12. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 3. С. 45-68.

13. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: Физматлит, 1993.

14. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 3-4(13-14). С. 125-146.

15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1981.

16. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задач в цилиндрических областях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1996. Т. 19. С. 235-261.

17. Кондратьев В. А. О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях / / Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 3. С. 863-874.

18. Кондратьев В. А. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей / Тр. МИАН, 250. Москва: Наука, 2005. С. 183-191.

19. Кондратьев В. А. Об асимптотичесикх свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Т. 25. С. 98-111.

20. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сборник. 1988. Т. 135(177), № 3. С. 346-360.

21. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки. 1988. Т. 44, № 4. С. 457-468.

22. Коньков А. А. О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1. С. 30-39.

23. Коньков A. A. Positive Solutions of Nonlinear Second-Order Elliptic Inequalities in Unbounded Domains // Russian J. Math. Phys. 1997. Vol. 5, no. 1. P. 119-122.

24. Коньков А. А. О решениях квазилинейных эллиптических неравенств, обращающихся в нуль в окрестности бесконечности // Матем. заметки. 2000. Т. 67, № 1. С. 153-156.

25. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств // Уравнения в частных производных, СМФН, Москва: МАИ. 2004. Т. 7. С. 3-158.

26. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Москва: Наука, 1973.

27. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, № 1(109). С. 3-62.

28. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. Москва: Наука, 1971.

29. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Матем. сб. 1964. Т. 65 (107), № 3. С. 458-472.

30. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

31. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении слабонелинейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 390-398.

32. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Усреднение решений эллиптических операторов с нелинейным поглощением в перфорированнх областях.Препринт МГУ им. М. В. Ломоносова, 27 страниц. Москва: МАКС Пресс, 2000.

33. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях // Матем. сборник. 2002. Т. 193, № 3. С. 101-114.

34. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении полулинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 396-408.

35. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении слабо-нелинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Изв. вузов. Матем. 2005. Т. 193, № 9. С. 29-37.

36. Натанзон И. П. Теория функций вещественного переменного. Москва: Наука, 1974.

37. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Издательство МГУ, 1990.

38. Олейник О. А., Шамаев А. С. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред. Киев: Наукова думка, 1986. С. 185-190.

39. Покровский А. В. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 3. С. 424-433.

40. Покровский А. В. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей // Функц. анализ и его прил. 2005. Т. 39, № 4. С. 62-68.

41. Покровский А. В. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. 2007. Т. 62, № 3(375). С. 215-216.

42. Покровский А. В. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка // Функц. анализ и его прил. 2008. Т. 42, № 2. С. 44-55.

43. Похожаев С. И. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 4. С. 467-489.

44. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Москва: Наука, 1987.

45. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва: Мир, 1984.

46. Скрыпник И. В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнении // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. 1976. Т. 9. С. 131-254.

47. Скрыпник И. В. Усреденение квазилинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Успехи мат. наук. 1985. Т. 244, № 40:4. С. 197-198.

48. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. Москва: Наука, 1990.

49. Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 10. С. 6790.

50. Туваев М. В. Устранимые особые множества для уравнений видаМатем. заметки. 1992. Т. 52, № 3. С. 146153.

51. Туваев М. В. Усреднение решений эллиптического уравнения с нелинейным поглощением в перфорированной области // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 846-847.

52. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 6. С. 99-150.

53. Чистяков В. В. О некоторых качественных свойствах решений недивергентного полулинейного параболического уравнения второго порядка // УМН. 1986. Т. 41, № 5(251). С. 199-200.

54. Чистяков В. В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1991. Т. 15. С. 70-107.

55. Шамаев А. С. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях // УМН. 1982. Т. 37, № 2(224). С. 243-244.

56. Шапошникова Т. А. Об усреднении некторых краевых задач в областях, содержащих тонкие каналы // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Т. 24. С. 324-340.

57. Adams R. Sobolev Spaces. New York: Academic Press, 1975.

58. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

59. Brezis H. Semilinear equation in M.N without condition at infinity // Appl. Math. Optim. 1984. Vol. 12. P. 271-282.

60. Brezis H., Browder F. Strongly nonlinear elliptic boundary-value problems // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sc. 1978. Vol. 5. P. 587-603.

61. Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1980. Vol. 75, no. 1. P. 1-6.

62. Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in Rn // Math. Scand. 1963. Vol. 12. P. 15-18.

63. Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. On boundary-value problems for the laplacian in bounded and in unbounded domains with perforated boundaries // Journal of Differential Equations. 2005. Vol. 216, no. 2. P. 502522.

64. Damlamian A., Li Ta-Tsien. Boundary homogenization for elliptic problems // J. Math. Pures Appl. 1987. Vol. 66, no. 9. P. 351-361.

65. De Giorgi E. Sulla differentiabilita e l'analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. 1957. Vol. III, no. 1-2. P. 25-43.

66. Diaz J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries. Vol. 1: Elliptic equations. Research Notes in Mathematics, Vol 106. Boston: Pitman, 1985.

67. Keller J. В. On solutions of Au = f(u) // Comm. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10, no. 4. P. 503-510.

68. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // Operator Theory: Advances and Applications. 1992. Vol. 57. P. 185-194.

69. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // J. Partial Diff. Equ. 1993. no. 1. P. 10-16.

70. Kuzin I., Pohozaev S. Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations. Birkhauser, 1997.

71. Landis E. M. Some properties of the solution of degenerating semilinear elliptic inequalities // Russian J. Math. Phys. 1993. Vol. 1, no. 4. P. 483-494.

72. Laptev G. I. Solvability of quasilinear elliptic second order differential equations in Rn without condition at infinity // Adv. Math. Research. 2003. Vol. 4. P. 1-18.

73. Leoni F. Nonlinear elliptic equations in Rn with „absorbing" zero order terms // Adv. Differential Equations. 2000. Vol. 5, no. 4-5. P. 681-722.

74. Levine H. A., Paine L. E. On the nonexistence of entire solutions to nonlinear second order elliptic equations // SIAM. J. Math. Anal. 1956. Vol. 7, no. 3. P. 337.

75. Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1963. Vol. 17, no. 1-2. P. 43-77.

76. Lobo M., Oleinik O. A., Pérez M. E., Shaposhnikova T. A. On Homogenization of Solutions of Boundary Value Problems in Domains, Perforated along Manifolds // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CI. Sei. (4). 1997. Vol. 25, no. 3-4. P. 611-629.

77. Morse A. P. The Behavior of a Function on Its Critical Set // Annals of Mathematics Second Series. 1939. Vol. 40, no. 1. P. 62-70.

78. Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 457-468.

79. Nash J. Continuity of the solutions of parabbolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. Vol. 80. P. 931-954.

80. Oleinik O. A. Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996.

81. Osserman R. On the inequality An > f(u) // Pacific J. Math. 1957. Vol. 7, no. 4. P. 1641-1647.

82. Pikulin S. V. Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary // Russian J. Math. Physics. 2012. Vol. 19, no. 3. P. 401-404.

83. Pucci P., Serrin J. The strong maximum principle revisited //J. Differential Equations. 2004. Vol. 196. P. 1-66.

84. Pucci P., Serrin J. Dead cores and bursts for quasilinear singular elliptic equations // SIAM J. Math. Anal. 2006. Vol. 38. P. 259-278.

85. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. Vol. 48. P. 883-890.

86. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les équations elliptique second ordre à coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier. 1965. Vol. 15, no. 1. P. 189-257.

87. Vasquez J. L., Véron L. Removabale Singularities of Strongly Nonlinear Elliptic Equations // Manuscripta Math. 1980/81. Vol. 33. P. 129-144.

88. Vasquez J. L., Véron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Anal. 1984. Vol. 269. P. 119-135.

89. Vasquez J. L., Véron L. Isolated singularities of some semilinear elliptic equations // Journal of Diff. Equations. 1985. Vol. 60. P. 301-322.

90. Véron L. Solutions singulière d'équations elliptiques semilineaires // C. R. Acad. Sci. 1979. Vol. 288, Ser. A. P. 867-869.

91. Véron L. Comportement asymptotique des solutions d'équations elliptique semi-lineaires dans R^ // Ann. Mat. Pura Appl. 1981. Vol. 127. P. 25-50.

92. Véron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equations // Nonlinear Analysis Theory, Methods and Appl. 1981. Vol. 5, no. 3. P. 225-242.