Особенности взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации и поведения показателей Ляпунова при установлении синхронных режимов в потоковых системах и дискретных отображениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Шурыгина, Светлана Андреевна

• Шурыгина, Светлана Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шурыгина, Светлана Андреевна

Содержание

Введение

1 Взаимосвязь различных типов синхронного поведения в потоковых системах и дискретных отображениях с различными типами связи

1.1 Различные типы хаотической синхронизации в потоковых системах

1.2 Влияние степени взаимности связи на установление различных типов хаотической синхронизации в потоковых системах

1.2.1 Аналитические оценки

1.2.2 Численное моделирование

1.2.2.1 Полная синхронизация

1.2.2.2 Синхронизация с запаздыванием

1.2.2.3 Обобщенная синхронизация

1.2.2.4 Фазовая синхронизация

1.3 Влияние степени взаимности связи на установление различных типов хаотической синхронизации в дискретных отображениях

1.3.1 Аналитические оценки

1.3.2 Численное моделирование

1.3.2.1 Полная синхронизация

1.3.2.2 Обобщенная синхронизация

Выводы по главе 1

2 Поведение показателей Ляпунова при установлении синхронных режимов

2.1 Переход нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений

2.1.1 Отображение окружности под воздействием шума

2.1.2 Осциллятор Ван-дер-Поля под внешним воздействием

в присутствии шума

2.1.3 Неавтономная индуцированная шумом синхронизация

2.1.4 Связанные системы Ресслера

2.2 Переход положительного показателя Ляпунова в область отрицательных значений

2.2.1 Связанные хаотические системы

2.2.2 Хаотические системы под воздействием шума

Выводы по главе 2

3 Новый подход к анализу обобщенной синхронизации однона-правлено и взаимно связанных потоковых систем и дискрет-

ных отображений

3.1 Теория обобщенной хаотической синхронизации

3.2 Корректировка определения обобщенной хаотической синхронизации

3.3 Применение метода фазовых трубок к анализу систем, находящихся в режиме обобщенной синхронизации

3.3.1 Потоковые системы

3.3.2 Системы с дискретным временем

Выводы по главе 3

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации и поведения показателей Ляпунова при установлении синхронных режимов в потоковых системах и дискретных отображениях»

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

Синхронизация колебаний динамических систем, способных демонстрировать сложное хаотическое поведение, является универсальным явлением [1-3], которое наряду с фундаментальным значением, имеет широкий спектр практических приложений, охватывающих, помимо физических, химические, биологические и физиологические системы [4-16]. В настоящее время известно достаточно большое число различных типов хаотической синхронизации (например, полная синхронизация [17], синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизацйя) [18], обобщенная синхронизация [19], фазовая синхронизация [20], синхронизация, индуцированная шумом [21-23], и др.) и, если каждый тип синхронного поведения в отдельности исследован достаточно полно [24-31], то проблема выявления взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации друг с другом находится в развитии и требует активного изучения, поскольку понимание механизмов, приводящих к установлению разных типов хаотической синхронизации и их взаимосвязи друг с другом имеет важное значение, как с фундаментальной, так и прикладной точек зрения. Так, например, известны работы, направленные на выявление взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации в системах с единым типом связи [24,32,33], когда меняется только интенсивность связи между системами. В этих работах предложены общие подходы к анализу синхронного поведения хаотических осцилляторов — синхронизация временных масштабов и синхронизация спектральных компонент, которые естественным образом обобщают различные типы синхронного поведения, перечисленные выше. В то же самое время, вопрос о взаимосвязи разных типов хаотической синхронизации при переходе от однонаправлено связанных систем к системам

с взаимной связью в настоящее время остается открытым. Поэтому в диссертационной работе большое внимание уделено определению закономерностей поведения границ этих типов хаотической синхронизации при переходе от однонаправлено связанных систем к системам с взаимной связью.

Важную роль при исследовании хаотической синхронизации играют показатели Ляпунова [34-37]. В частности, известно, что в двух связанных хаотических системах при увеличении параметра связи, как правило, происходит последовательный переход в область отрицательных значений двух показателей Ляпунова: сначала нулевого, а затем положительного1 [34,37]. Изменение знака показателя Ляпунова свидетельствует о качественных изменениях, произошедших в динамике системы. В ряде случаев, переход одного из показателей Ляпунова в область отрицательных значений связывают с возникновением синхронного поведения, как например, в случае синхронизации периодических колебаний или при установлении режима обобщенной хаотической синхронизации [34,37]. В то же самое время, для связанных хаотических осцилляторов при установлении режима фазовой синхронизации нулевой условный показатель Ляпунова является уже существенно отрицательным [37,38]. Переход старшего условного показателя Ляпунова через нуль происходит тоже немного раньше установления режима обобщенной хаотической синхронизации, однако, разница между критическими значениями параметра связи оказывается столь незначительной, что зачастую не принимается в рассмотрение. Причины различия значений параметра связи, при которых устанавливается синхронный режим, и при которых условный показатель Ляпунова становится отрицательным, до настоящего времени нигде не рассматривались. Изучению этого вопроса также посвящена настоящая диссертационная работа.

При исследовании по отдельности некоторых типов синхронного поведения часть вопросов также остается неизученной. В частности, подобные вопросы существуют для режима обобщенной хаотической синхронизации [19]. Данный тип хаотической синхронизации явно выделяется среди известных

1 Несмотря на то, что эти ляпуновские показатели могут претерпевать изменения (например, становиться отрицательными) здесь и далее используются термины "нулевой" и "положительный" условные показатели Ляпунова.

типов синхронного поведения. Изначально он был введен в рассмотрение только для однонаправлено связанных систем [19,39]. Позднее появились попытки обобщения этого режима на случай взаимной связи — две взаимно связанные хаотические динамические системы [40] и сети связанных нелинейных элементов [41-43]. В то же самое время, известные работы, посвященные этой проблеме, направлены лишь на установление факта существования этого режима, в то время как само понятие обобщенной синхронизации для таких систем, как правило, автоматически переносилось со случая обобщенной синхронизации в системах с однонаправленным типом связи, а правомерность такого переноса никоим образом не рассматривалась и не обосновывалась. Более того, во всех известных работах диагностика обобщенной синхронизации производится при помощи модификации метода вспомогательной системы [44], являющегося эффективным средством анализа обобщенной синхронизации в системах с однонаправленной связью, однако вопрос о корректности применения этого метода к системам с взаимным типом связи до настоящего времени оставался открытым. Поэтому настоящая диссертационная работа направлена также на рассмотрение данных вопросов и построение универсальной концепции обобщенной синхронизации, справедливой для систем, связанных как однонаправлено, так и взаимно.

Изучение режима обобщенной хаотической синхронизации в системах с взаимной связью оказывается важным еще и потому, что если для двух связанных осцилляторов однонаправленный и взаимный характеры связи являются равноправными, то в решетках и сетях, как правило, реализуется взаимный характер связей между элементами. Это связано с тем, что все элементы сети действуют друг на друга, если не непосредственно, то, по крайней мере, опосредовано, через соседние (промежуточные) элементы. В то же самое время, изучение синхронного поведения в таких сложных объектах, помимо фундаментального интереса, имеет важное практическое значение, связанное с задачами распознавания и хранения информации, анализа временных рядов (нейронные сети) [45-47], передачи и обработки информации (нелинейные антенны) [48-50], описания и изучения физиологических процессов, начиная с моделирования отдельных нейронов и заканчивая рассмотрением глобальных нейронных ансамблей и анализом поведения головного мозга животных

6

и человека [51-54]. Поэтому исследование режима обобщенной хаотической синхронизации является одной из основных задач настоящей диссертационной работы. В рамках решения этой задачи разработаны универсальные методы диагностики и анализа обобщенной синхронизации, справедливые как для модельных систем, связанных однонаправлено или взаимно, так и реальных экспериментальных данных, полученных от систем различной природы. Подобная задача, влекущая за собой пересмотр и уточнение существующей концепции обобщенной синхронизации однонаправлено и взаимно связанных систем, носит как фундаментальный, так и прикладной характер, а методы анализа этого режима смогут найти применение при обработке временных рядов (по всей видимости, прежде всего, радиофизической и физиологической природы).

Таким образом, на основании описанного выше можно заключить, что тема диссертации является актуальной и важной для радиофизики и нелинейной динамики, при этом вопросов, требующих дальнейших исследований в этой области, оказывается достаточно много.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является выявление особенностей различных типов хаотической синхронизации в диссипативно связанных потоковых системах и дискретных отображениях, разработка новых методов их анализа и определение взаимосвязи между ними.

Основными вопросами, подробно рассмотренными в диссертационной работе, являются следующие:

• аналитическое и численное исследование влияния степени взаимности связи на установление различных типов хаотической синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях;

• разработка концепции обобщенной синхронизации, справедливой как для однонаправлено, так и взаимно связанных потоковых систем и дискретных отображений, демонстрирующих хаотическую динамику;

• исследование закономерностей поведения спектра показателей Ляпунова при установлении различных типов хаотической синхронизации;

• исследование возможности установления индуцированной шумом синхронизации в неавтономных системах;

• изучение перемежающегося поведения на границе синхронизации, индуцированной шумом;

• пересмотр и уточнение общепринятой концепции обобщенной синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях, разработка новых методов анализа синхронного режима.

Результаты проведенных аналитических и численных исследований, изложенные в настоящей диссертационной работе, позволяют определить закономерности возникновения различных типов синхронного поведения в потоковых системах и дискретных отображениях. Полученные результаты обладают высокой степенью общности, что позволяет распространить полученные результаты на множество нелинейных динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в определении общих закономерностей возникновения различных типов хаотической синхронизации в диссипативно связанных системах при переходе от однонаправленного типа связи к взаимному, разработке непротиворечивой концепции обобщенной синхронизации, справедливой для двух (и более) хаотических систем, а также в выявлении особенностей поведения спектра показателей Ляпунова при установлении различных типов синхронизации.

Впервые получены следующие научные результаты:

• Получена аналитическая зависимость порога возникновения полной синхронизации от коэффициента взаимности связи между системами, справедливая как для отображений, так и для потоков.

• Предложена универсальная концепция обобщенной синхронизации в хаотических системах как с однонаправленным, так и взаимным типами связи. Показано, что установление обобщенной синхронизации связано с переходом одного из положительных показателей Ляпунова в область отрицательных значений.

• Установлено, что за отрицательность условных нулевого (до момента возникновения фазовой синхронизации) и положительного (вблизи границы обобщенной синхронизации) показателей Ляпунова в однонаправ-лено связанных хаотических системах отвечают ламинарные фазы (фазы синхронного поведения) систем.

• Выявлен новый тип синхронного поведения — неавтономная индуцированная шумом синхронизация.

• Обнаружено перемежающееся поведение на границе синхронизации, индуцированной шумом. Установлено, что в данном случае имеет место перемежаемость типа "оп-оА^".

• Пересмотрена и дополнена концепция обобщенной синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях. Для изучения этого типа синхронного поведения в системах с непрерывным и дискретным временем предложен подход, основанный на рассмотрении трубок траекторий в фазовом пространстве.

Большая часть представленных в диссертационной работе результатов получена автором лично либо при его непосредственном участии. В совместных работах автором выполнена значительная часть аналитических и численных расчетов. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с научным руководителем и другими соавторами научных работ, опубликованных соискателем.

Практическая значимость

Диссертационная работа решает научную задачу, имеющую существенное значение для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории ко-

9

лебаний, связанную с выявлением общих закономерностей хаотической синхронизации в диссипативно связанных потоковых системах и дискретных отображениях при изменении степени взаимности связи между ними. В большинстве случаев рассматривались эталонные модели нелинейной динамики, демонстрирующие периодическое (автогенератор Ван дер Поля, отображение окружности) и хаотическое (системы Ресслера, Лоренца, логистические отображения, отображения Эно) поведение. Благодаря тому, что все рассмотренные модели являются базовыми, результаты диссертационной работы носят общий характер и могут быть обобщены на системы различной природы (радиофизической, физиологической, биологической и т.д.). Полученные результаты позволяют понять общие закономерности синхронного поведения связанных хаотических систем, определить механизмы их возникновения и выявить тесную взаимосвязь между ними. В частности, разработанный метод анализа обобщенной синхронизации, основанный на рассмотрении трубок траекторий в фазовом пространстве и учете предыстории взаимодействующих систем, может найти применение при обработке экспериментальных данных, полученных от систем различной природы.

Определение взаимосвязи между поведением связанных хаотических осцилляторов, находящихся около границ возникновения синхронных режимов, и поведением условных показателей Ляпунова имеет важное не только теоретическое, но и практическое значение, так как позволяет применять аппарат, связанный с использованием ляпуновских показателей, при изучении широкого круга нелинейных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, значения управляющих параметров которых находятся вблизи границ установления синхронных режимов.

Более того, обнаруженное в рамках диссертационной работы сходство связанных хаотических систем и неавтономных периодических осцилляторов, находящихся под действием шума, хорошо согласующееся с известными опубликованными работами [2,55-58], позволяет расширить применимость как известных, так и полученных в рамках диссертационной работы результатов на большое число систем, находящихся под действием внешних шумов. Понятно, что шумы присутствуют всегда, как в численном моделировании, так и в эксперименте. И хотя в ряде случаев влиянием шума можно пренебречь, вбли-

10

зи границ синхронных режимов роль шума становится существенной. Шум влияет существенным образом как на статистические характеристики перемежающегося поведения и значения показателей Ляпунова, так и приводит к возникновению новых типов поведения, например, неавтономной синхронизации, индуцированной шумом. Поэтому выявление особенностей поведения систем, обусловленных добавлением шума, имеет важное фундаментальное и прикладное значение.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке специалистов по специальностям "Радиофизика и электроника", "Физика открытых нелинейных систем", а также по направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика" в ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского". Результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертационной работы, вошли в монографию [59], изданную в Германии в 2011 году.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Пороги режимов полной синхронизации, синхронизации с запаздыванием, фазовой и обобщенной синхронизаций диссипативно связанных хаотических потоковых систем и дискретных отображений уменьшаются при увеличении степени взаимности связи между системами, при этом, граница возникновения полной синхронизации в зависимости от коэффициента взаимности связи подчиняется гиперболическому закону.

2. Отрицательность условных показателей Ляпунова, имеющая место перед возникновением режимов фазовой хаотической и обобщенной хаотической синхронизации, является следствием синхронизма, наблюдающегося в определенные периоды времени вблизи границ установления синхронных режимов, где полностью синхронный режим еще не установился и наблюдается перемежающееся поведение.

3. Два идентичных периодических осциллятора, находящихся под внешним периодическим воздействием, но не синхронизованных им, демон-

стрируют идентичное поведение — режим неавтономной индуцированной шумом синхронизации — при добавлении шума, при этом средняя длительность переходного процесса обратно пропорциональна интенсивности шумового воздействия.

4. Переход к синхронизации, индуцированной шумом, сопровождается перемежающимся поведением, характеристики которого соответствуют перемежаемости типа "оп-ой".

5. Состояния взаимодействующих однонаправлено или взаимно связанных систем, находящихся в режиме обобщенной синхронизации, связаны между собой не функциональной зависимостью, а функционалом в случае потоковых систем или зависимостью, зависящей от К предыдущих состояний, в случае дискретных отображений; при этом, диагностику синхронного режима можно осуществлять по моменту перехода одного из положительных показателей Ляпунова в область отрицательных значений или при помощи метода фазовых трубок, а для однонаправлено связанных систем — и при помощи метода вспомогательной системы.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 139 страниц текста, включая 38 иллюстраций. Список литературы содержит 132 наименования.

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, описаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Введение содержит основные положения и результаты, выносимые на защиту, сведения о достоверности и апробации результатов.

Первая глава диссертационной работы посвящена изложению результатов исследования различных типов хаотической синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях при изменении степени взаимности связи между ними. В начале главы дается детальное описание известных типов синхронизации в однонаправлено и взаимно связанных системах и методов их диагностики, обсуждаются проблемы и вопросы, возникающие при

12

исследовании каждого из них в отдельности. Дальнейшее изложение главы посвящено исследованию влияния степени взаимности связи на установление режимов полной синхронизации, обобщенной синхронизации, фазовой синхронизации и синхронизации с запаздыванием в потоковых системах, а также на границы установления полной и обобщенной синхронизации в дискретных отображениях.

В главе получена аналитическая зависимость порога возникновения полной синхронизации от коэффициента взаимности связи, справедливая как для потоковых систем, так и дискретных отображений. В частности, установлено, л то порог возникновения полной синхронизации ees обратно пропорционален величине (1 + а:), где а — коэффициент взаимности связи между системами. Для других типов синхронного поведения подобное соотношение нарушается, однако, в области относительно слабых значений расстройки собственных частот взаимодействующих систем пороги фазовой синхронизации и синхронизации с запаздыванием потоковых систем и полной синхронизации дискретных отображений все же примерно удовлетворяют установленной закономерности. Кроме того, независимо от величины расстройки между системами, границы вышеупомянутых типов синхронного поведения снижаются с ростом коэффициента взаимности связи.

Отдельно рассмотрен режим обобщенной синхронизации во взаимно связанных системах. Как упоминалось выше, понятие обобщенной синхронизации до настоящего времени было введено в рассмотрение только для одно-направлено связанных систем. Поэтому этот режим был, прежде всего, расширен на случай взаимной связи между системами. В рамках первой главы диссертационной работы предложена универсальная концепция обобщенной синхронизации, справедливая как для двух однонаправлено, так и взаимно связанных потоковых систем и дискретных отображений, находящихся в хаотическом режиме. Показано, что установление обобщенной синхронизации в таких системах связано с переходом второго (положительного) показателя Ляпунова в область отрицательных значений. Полученные результаты подтверждены при помощи метода ближайших соседей. При этом, показано, что обобщение метода вспомогательной системы [40] на случай взаимной связи приводит к некорректным результатам.

По аналогии с другими рассмотренными типами синхронного поведения, в данной главе диссертации проанализирована зависимость границы возникновения обобщенной хаотической синхронизации от степени взаимности связи на примере потоковых систем и дискретных отображений. Показано, что тенденция к уменьшению порогового значения установления синхронного режима с ростом коэффициента взаимности связи по-прежнему наблюдается, однако, установить какой-либо закон как в области относительно больших, так и относительно слабых значений расстройки собственных частот представляется затруднительным. Более того, для двух связанных осцилляторов Ресслера с сильно различающимися параметрами имеет место слабая зависимость порога установления синхронного режима от коэффициента взаимности связи.

Во второй главе диссертационной работы представлены результаты исследования поведения спектра показателей Ляпунова при установлении различных типов синхронного поведения в связанных потоковых системах и дискретных отображениях при изменении параметра связи между ними.

В первой части второй главы исследован переход одного из нулевых показателей Ляпунова в область отрицательных значений как в системах, демонстрирующих периодическую динамику (отображение окружности на себя, осциллятор Ван дер Поля), находящихся под действием шума, так и связанных хаотических системах (однонаправлено связанные системы Ресслера). Показано, что переход одного из нулевых показателей Ляпунова в область отрицательных значений в таких системах происходит до момента установления режима фазовой синхронизации, причем в системах с периодической динамикой добавление шума приводит к уменьшению значения управляющего параметра, соответствующего этому переходу. В рассмотрение введены локальные условные показатели Ляпунова отдельно для ламинарных и турбулентных фаз и изучено их распределение на плоскости "значение условного показателя Ляпунова — длительность фазы". На основании проведенных исследований установлено, что за отрицательность условного нулевого показателя Ляпунова отвечают ламинарные фазы: распределение локальных условных показателей Ляпунова на плоскости "значение показателя — длительность фазы" сдвигается в область отрицательных значений, в то время как рас-

14

пределение соответствующих показателей Ляпунова для турбулентных фаз остается практически симметричным относительно нуля. Отрицательность условного нулевого показателя Ляпунова является следствием синхронизма, наблюдающегося в определенные моменты времени вблизи границы установления режима фазовой синхронизации, где полностью синхронный режим еще не наступил.

Интересным следствием из полученных результатов является тот факт, что два идентичных периодических осциллятора, находящихся под внешним периодическим воздействием, но не синхронизованные им, должны демонстрировать идентичное поведение при добавлении шума, в то время как в отсутствии шума их динамика должна отличаться. Это обусловливается тем, что в этом случае условный нулевой показатель Ляпунова является старшим и его отрицательность при добавлении шума свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации. В данном случае для того, чтобы подчеркнуть факт неавтономного поведения, целесообразно говорить о неавтономной индуцированной шумом синхронизации. В рамках второй главы диссертационной работы на примере двух несвязанных генераторов Ван дер Поля, находящихся под внешним воздействием, в отсутствии синхронизации, изучен вопрос о возможности установления в этой системе режима неавтономной синхронизации, индуцированной шумом. Проанализирована длительность установления синхронного режима и ее зависимость от интенсивности шума. Показано, что средняя длительность переходного процесса зависит как от величины интенсивности шума (обратно пропорционально), так и от того, какое воздействие оказывается на исследуемую систему: гармоническое и стохастическое одновременно или только стохастическое.

Дальнейшее изложение этой главы посвящено результатам исследования закономерностей перехода одного из положительных показателей Ляпунова в область отрицательных значений. В качестве объекта исследования выбраны два однонаправлено связанных логистических отображения. Показано, что переход условного показателя Ляпунова через нуль происходит немного раньше установления режима обобщенной хаотической синхронизации, определенной с помощью метода вспомогательной системы. В той области, где соответствующий условный показатель отрицателен, но режим обобщенной

15

синхронизации еще не наступил, имеет место перемежающееся поведение. Установлено, что, как и в случае нулевого показателя Ляпунова, отрицательность старшего (положительного) условного показателя Ляпунова является следствием синхронизма, наблюдающегося в определенные периоды времени, что соответствует ламинарным фазам поведения, в то время как в турбулентных фазах старший условный показатель Ляпунова положителен и близок к нулю.

Также во второй главе диссертации рассмотрен еще один режим, детектирование которого возможно по моменту перехода старшего показателя Ляпунова через ноль, — режим синхронизации, индуцированной шумом, в хаотических системах. Проведено исследование перехода к этому типу синхронизации. На примере одномерных отображений (логистическое и экспоненциальное отображения) и потоковых систем (осцилляторы Лоренца), демонстрирующих хаотическую динамику, находящихся под воздействием общего источника шума, установлено, что на границе этого типа синхронного поведения имеет место перемежаемость типа "оп-ой".

Третья глава диссертационной работы посвящена детальному изучению одного из наименее изученных типов хаотической синхронизации — режима обобщенной синхронизации. В рамках настоящей главы пересмотрена и дополнена концепция обобщенной синхронизации в однонаправлено и взаимно связанных потоковых системах и дискретных отображениях. Показано, что состояния взаимодействующих систем, демонстрирующих этот тип синхронного поведения, целесообразно рассматривать как связанные между собой не функциональной зависимостью, а функционалом в случае потоковых систем или зависимостью, зависящей от К предыдущих состояний, в случае дискретных отображений. Предложен подход для анализа обобщенной синхронизации в таких системах, основанный на рассмотрении трубок траекторий в фазовом пространстве, для определения порога возникновения обобщенной синхронизации и изучения данного типа синхронного поведения в системах с дискретным и непрерывным временем. При этом показано, что метод расчета спектра показателей Ляпунова и метод вспомогательной системы (последний — только для однонаправлено связанных систем) оказываются, по-прежнему, справедливыми. Полученные результаты проиллюстрированы на примере од-

16

нонаправлено связанных систем Ресслера и генераторов на туннельном диоде, связанных взаимно, а также однонаправлено связанных логистических отображений и взаимно связанных отображений Эно.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты и намечены направления дальнейших исследований в данном направлении.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических процедур; известных уравнений, описывающих физические процессы; общепризнанных методов и подходов, апробированных на различных системах и хорошо зарекомендовавших себя при проведении научных исследований; обоснованным выбором параметров численных методов. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением аналитически и численно полученных результатов, совпадением результатов при использовании различных методов диагностики колебательных режимов, а также отсутствием противоречий с известными в научной литературе достоверными общепризнанными результатами.

Апробация результатов и публикации

Настоящая диссертационная работа выполнена на кафедре физики открытых систем факультета нелинейных процессов, а также в лаборатории "Физика нелинейных явлений" отделения физики нелинейных систем научно-исследовательского института естественных наук (ОФНС НИИ ЕН СГУ) ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ по грантам Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты 07-02-00044-а, 12-02-00221-а), Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашения № 14.В37.21.0751 от 27 августа 2012 г., № 14.В37.21.1289 от 21 сентября 2012 г., ГК № П586 от 18 мая 2010

17

г., П2492 от 20 ноября 2009 г., П1136 от 27 августа 2009 г., П451 от 31 июля 2009 г.), Президентской Программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (2010-2011 и 2012-2013 гг., руководитель ведущей научной школы — чл.-корр. РАН, профессор Д.И. Трубецков), гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (проект № МК-672.2012.2, руководитель проекта — к.ф.-м.н., доцент О.И. Москаленко, 2012-2013 гг.), Фонда некоммерческих программ "Династия" и Московского Международного Центра Фундаментальной Физики (среди студентов — 2009-2011 гг.).

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах и отражены в тезисах докладов: IX Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (ННГУ, Нижний Новгород, 2012) [60], школы-семинара "Волны" (МГУ, Москва, 2009, 2012, 2013) [61-63], III Всероссийского научно- практического форума "Экология: синтез естественно-научного, технического и гуманитарного знания" (СГТУ, Саратов, 2012) [64], научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (СГУ, Саратов, 2011) [65], IX Международной школы "ХАОС-2010" (СГУ, Саратов, 2010) [66,67], 3rd Chaotic Modeling and Simulation International Conference (Хания, Греция, 2010) [68], 18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES2010) (Дрезден, Германия, 2010) [69], конференции для молодых ученых "Presenting Academic Achievements.to the World" (СГУ, Саратов, 2010) [70], конференции молодых ученых "Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики" (ИПФ РАН, Нижний Новгород, 2010) [71], Всероссийской научной школы для молодежи "Нелинейные феномены, хаос, критические явления и методы их исследования с помощью вейвлетного, кластерного и спектрального анализа в геоэкологических процессах;" (СГУ, Саратов, 2009) [72], Международной школы-семинара "Statinfo-2009" (СГУ, Саратов, 2009) [73]. Всего 14 публикаций в трудах конференций. Результаты, изложенные в диссертационной работе, неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ.

Результаты работы опубликованы в центральных реферируемых научных журналах, таких как "Chaos, Solitons and Fractals" [74], "Известия РАН. Серия

18

физическая" [75,76], "Журнал технической физики" [77,78], "Нелинейная динамика" [79], "Радиотехника и электроника" [80,81] (всего 8 статей журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук). Результаты диссертации вошли также в монографию [59].

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Шурыгина, Светлана Андреевна

Выводы по главе 3

Таким образом, в настоящей главе диссертационной работы пересмотрена и дополнена концепция обобщенной синхронизации в однонаправлено и взаимно связанных потоковых системах и дискретных отображениях. Показано, что существующая концепция нуждается в корректировке и уточнении, так как при установлении режима обобщенной синхронизации векторы состояний взаимодействующих систем следует рассматривать, как связанные функционалом, а не функциональным соотношением, и предыстория поведения таких систем также должна быть принята во внимание.

Предложен подход для анализа обобщенной синхронизации в таких системах, основанный на рассмотрении трубок траекторий в фазовом пространстве, для определения порога возникновения обобщенной синхронизации и изучения данного типа синхронного поведения в системах с дискретным и непрерывным временем. Полученные результаты проиллюстрированы на примере однонаправлено связанных систем Ресслера и генераторов на туннельном диоде, связанных взаимно, а также однонаправлено связанных логистических отображений и взаимно связанных отображений Эно. Результаты исследований свидетельствуют о том, что концепция слабой и сильной обобщенной синхронизации также должна быть пересмотрена

Заключение

В диссертационной работе на основе единого подхода, базирующегося на сочетании методов нелинейной теории колебаний и волн, применения математического аппарата для анализа временных рядов и численного моделирования решена научная задача, имеющая существенное значение для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории колебаний, связанная с исследованием различных типов синхронного поведения и механизмов их установления в потоковых системах и дискретных отображениях с различными типами связи между ними. Получены следующие основные результаты:

1. Исследовано влияние степени взаимности связи на установление различных типов хаотической синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях. Получена аналитическая зависимость порога возникновения полной синхронизации от коэффициента взаимности связи между системами, справедливая как для отображений, так и для потоков. В частности, установлено, что в двух однонаправлено и взаимно связанных системах пороги возникновения полной синхронизации находятся в соотношении 2:1. Для других типов синхронного поведения подобное соотношение нарушается, однако, независимо от величины расстройки между системами пороги возникновения режимов полной синхронизации, синхронизации с запаздыванием, фазовой и обобщенной синхро-низаций потоковых систем и отображений4 снижаются при увеличении коэффициента взаимности связи. Кроме того, показано, что в области относительно слабых значений расстройки собственных частот режимы фазовой синхронизации и синхронизации с запаздыванием потоковых систем приближенно подчиняются установленной закономерности.

4 Для отображений рассматривались только режимы полной и обобщенной синхронизации.

2. Предложена универсальная концепция обобщенной синхронизации, справедливая как для однонаправлено, так и взаимно связанных потоковых систем и дискретных отображений, демонстрирующих хаотическую динамику. Показано, что возникновение режима обобщенной синхронизации в таких системах связано с переходом одной из положительных ляпуновских экспонент в область отрицательных значений. Полученные результаты подтверждены при помощи метода ближайших соседей.

3. Исследованы закономерности поведения спектра показателей Ляпунова при установлении различных типов хаотической синхронизации. Показано, что переход нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений предшествует возникновению фазовой синхронизации, а отрицательность старшей (условной) ляпуновской экспоненты ответственна за установление режима обобщенной синхронизации в однонаправлено связанных хаотических системах. Для выявления закономерностей, отвечающих за "отрицательность" нулевого и положительного показателей Ляпунова, в рассмотрение введены локальные условные ляпунов-ские экспоненты отдельно для ламинарных и турбулентных фаз. Показано, что за отрицательность этих условных ляпуновских показателей отвечают единые механизмы: распределение локальных условных показателей Ляпунова, рассчитанных для ламинарных фаз, на плоскости "значение условной ляпуновской экспоненты — длительность фазы" сдвигается в область отрицательных значений, в то время как распределение соответствующих ляпуновских экспонент для турбулентных фаз остается практически симметричным относительно нулевого значения. Отрицательность условных ляпуновских экспонент является следствием синхронизма, наблюдающегося в определенные периоды времени вблизи границ установления синхронных режимов (фазовой синхронизации — для нулевой ляпуновской экспоненты, обобщенной синхронизации — для положительной), где полностью синхронный режим еще не установился.

4. Выявлен новый тип синхронного поведения — неавтономная индуцированная шумом синхронизация. Показано, что возникновение этого режима возможно как при одновременном воздействии внешнего сигнала и шума, так и при отдельном влиянии на систему только стохастического сигнала. Проанализирована зависимость длительности установления синхронного режима от интенсивности шума. Установлено, что средняя длительность переходного процесса обратно пропорциональна интенсивности шумового воздействия.

5. Обнаружено перемежающееся поведение на границе синхронизации, индуцированной шумом. Установлено, что в данном случае имеет место перемежаемость типа "оп-оЯ".

6. Пересмотрена и дополнена концепция обобщенной синхронизации в потоковых системах и дискретных отображениях. Показано, что при установлении режима обобщенной синхронизации векторы состояний взаимодействующих систем следует рассматривать, как связанные функционалом, а не функциональным соотношением, как это принято традиционно. Предложен подход, основанный на рассмотрении трубок траекторий в фазовом пространстве, для определения порога возникновения обобщенной синхронизации и изучения данного типа синхронного поведения в системах с дискретным и непрерывным временем. Полученные результаты свидетельствуют о том, что концепция слабой и сильной обобщенной синхронизации также должна быть пересмотрена.

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю — доценту, к.ф.-м.н. Москаленко Ольге Игоревне, а также профессору, д.ф.-м.н. Короновскому Алексею Александровичу за многолетнюю плодотворную работу и всестороннюю помощь в подготовке настоящей диссертации. Не могу не поблагодарить профессоров Храмова Александра Евгеньевича, Шараевского Юрия Павловича, Калинина Юрия Александровича, Трубецкова Дмитрия Ивановича за поддержку настоящей работы, конструктивные обсуждения, критику и идеи, которые помогли улучшить диссертацию. Благодарю профессора Юрия Ивановича Левина и зам. главного редактора журнала "Прикладная нелинейная динамика" к.ф.-м.н. Наталью Николаевну Левину за помощь в подготовке диссертации к изданию, а также всех товарищей и коллег по работе за помощь и поддержку на различных этапах выполнения данной работы.

125

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шурыгина, Светлана Андреевна, 2013 год

Список литературы

[1] А. С. Пиковский, М. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

[2] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций., Издательский Дом "Интеллект2009.

[3] V. S. Anishchenko, V. V. Astakhov, А. В. Neiman, Т. Е. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development., 2nd Edition, Springer, 2007.

[4] L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in physiology, Nature (London) 410 (2001) 277-284.

[5] Д. Э. Постнов, С. К. Хан, Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов, Письма в ЖТФ 25 (4) (1999) 11-18.

[6] V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. В. Janson, N. В. Igosheva, G. V. Bordyugov, Entrainment between heart rate and weak nonlinear forcing, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 2339-2348.

[7] Ю. П. Емельянова, Э. Мозекилде, А. П. Кузнецов, Я. JI. Лаугесен, Динамика связанных нефронов и режим широкополосной синхронизации., Нелинейная динамика 8 (5) (2012) 875-896.

[8] P. S. Landa, A. Rabinovitch, Exhibition of intrinsic properties of certain systems in response to external disturbances, Phys. Rev. E 61 (2) (2000) 1829-1838.

[9] A. Hramov, A. Ko'ronovskii, V. Ponomarenko, M. Prokhorov, Detection

of synchronization from univariate data using wavelet transform, Physical

126

Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics) 75 (5) (2007) 056207.

[10] О. H. Павлова, A. H. Павлов, А. А. Анисимов, А. И. Назимов, О. В. Сосиовцева, Синхронизация колебаний в динамике ансамблей корковых нефронов., Прикладная нелинейная динамика 19 (1) (2011) 14-24.

• [11] A. R. Kiselev, V. I. Gridnev, М. D. Prokhorov, A. S. Karavaev, О. М. Posnenkova, V. I. Ponomarenko, В. P. Bezruchko, V. A. Shvartz, Evaluation of 5-year risk of cardiovascular events in patients after acute myocardial infarction using synchronization of 0.1-hz rhythms in cardiovascular system., Annals of Noninvasive Electrocardiology 17 (3) (2012) 204-213.

[12] P. Parmananda, Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos, Phys. Rev. E 56 (1997) 1595-1598.

[13] А. С. Дмитриев, А. И. Панас, Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Физматлит, 2002.

[14] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации, Успехи физических наук 179 (12) (2009) 1281-1310.

[15] Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (5-6) (2004) 343-372.

[16] А. И. Назимов, А. Н. Павлов, Применение вейвлет-анализа и искусственных нейронных сетей к решению задачи распознавания импульсных сигналов при наличии помех., Радиотехника и электроника 57 (7) (2012) 771-781.

[17] L. М. Pecora, Т. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 64 (8) (1990) 821-824.

[18] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 78 (22) (1997) 4193-4196.

[19] N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D. I. Abarbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 51 (2) (1995) 980-994.

[20] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronisation in regular and chaotic systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 2291-2305.

[21] S. Fahy, D. R. Hamann, Transition from chaotic to nonchaotic behavior in randomly driven systems, Phys. Rev. Lett. 69 (5) (1992) 761-764.

[22] A. Maritan, J. R. Banavar, Chaos, noise and synchronization, Phys. Rev. Lett. 72 (10) (1994) 1451-1454.

[23] R. Toral, C. R. Mirasso, E. Hernandez-Garsia, O. Piro, Analytical and numerical studies of noise-induced synchronization of chaotic systems, Chaos 11 (3) (2001) 665-673.

[24] A. Shabunin, V. Astakhov, J. Kurths, Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence, Phys. Rev. E 72 (1) (2005) 016218.

[25] А. В. Шабунин, С. M. Николаев, В. В. Астахов, П. А. Стальмахов, Полная и обобщенная хаотическая синхронизация в системе трех взаимодействующих отображений., Радиотехника и электроника 52 (1) (2007) 1-8.

[26] А. В. Шабунин, В. В. Астахов, Диагностика фазовой синхронизации хаоса при помощи функции когерентности., Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика 15 (5) (2007) 68-73.

[27] М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, С. Schafer, P. A. Tass, Phase synchronization: from theory to data analysis, in: Handbook of Biological Physics, Elsiver Science, 2001, pp. 279-321.

[28] K. Pyragas, Properties of generalized synchronization of chaos, Nonlinear Analysis: Modelling and Control IMI (3) (1998) 101-129.

[29] S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, C. S. Zhou, The

synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002) 1.

128

[30] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, 0. I. Moskalenko, Generalized synchronization onset, Europhysics Letters 72 (6) (2005) 901-907.

[31] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Time scale synchronization of chaotic oscillators, Physica D 206 (3-4) (2005) 252-264.

[32] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (3) (2004) 603-610.

[33] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, O. I. Moskalenko, Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 71 (5) (2005) 056204.

[34] K. Pyragas, Conditional Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. E 56 (5) (1997) 5183-5188.

[35] R. Porcher, G. Thomas, Estimating lyapunov exponents in biomedical time series, Phys. Rev. E 64 (1) (2001) 010902(R).

[36] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, O. I. Moskalenko, Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?, Phys. Lett. A 354 (5-6) (2006) 423-427.

[37] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise, Phys. Rev. E 78 (2008) 036212.

[38] A. Politi, F. Ginelli, S. Yanchuk, Y. Maistrenko, From synchronization to lyapunov exponents and back, Physica D 224 (2006) 90.

[39] K. Pyragas, Weak and strong synchronization of chaos, Phys. Rev. E 54 (5) (1996) R4508-R4511.

[40] Z. Zheng, X. Wang, M. C. Cross, Transitions from partial to complete generalized synchronizations in bidirectionally coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 65 (2002) 056211.

[41] S. Guan, X. Gong, K. Li, Z. Liu, С. H. Lai, Characterizing generalized synchronization in complex networks, New Journal of Physics 12 (2010) 073045.

[42] S. Guan, X. Wang, X. Gong, K. Li, С. H. Lai, The development of generalized synchronization on complex networks, CHAOS 19 (2009) 013130.

[43] Y. Hung, Y. Huang, M. Ho, C. Hu, Paths to globally generalized synchronization in scale-free networks, Phys. Rev. E 77 (1) (2008) 016202.

[44] H. D. I. Abarbanel, N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach, Phys. Rev. E 53 (5) (1996) 4528-4535.

[45] M. Chavez, C. Adam, V. Navarro, S. Boccaletti, J. Martinerie, On the intrinsic time scales involved in synchronization: a data-driven approach, Chaos 15 (02) (2005) 023904.

[46] R. Q. Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, P. Grassberger, Perfomance of different synchronization measures in real data: a case study on electroencephalographs signals, Phys. Rev. E 65 (2002) 041903.

[47] B. P. Bezruchko, D. A. Smirnov, Extracting Knowledge From Time Series. An Introduction to Nonlinear Empirical Modeling., Springer, 2010.

[48] U. Parlitz, L. O. Chua, L. Kocarev, K. S. Halle, A. Shang, Transmission of digital signal by chaotic synchronization, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (4) (1992) 973-977.

[49] В. K. Meadows, Т. H. Heath, J. D. NefF, et al., Nonlinear antenna technology, Proceedings IEEE 90 (5) (2002) 882-897.

[50] В. И. Пономаренко, А. С. Караваев, E. E. Глуховская, M. Д. Прохоров, Система скрытой передачи информации на основе системы с запаздыванием с переключаемым временем задержки., Письма в ЖТФ 38 (1) (2012) 103-110.

[51] V. В. Kazantsev, V. I. Nekorkin, S. Binczak, J. M. Bilbaut, Spiking patterns emerging from wave instabilities in a one-dimensional neural lattice, Phys. Rev. E 68 (2003) 017201.

[52] I. V. Belykh, E. Lange, M. Hasler, Synchronization of bursting neurons: what matters in the network topology, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 188101.

[53] G. Balazsi, L. B. Kish, From stochastic resonance to brain waves, Phys. Lett. A 265 (2000) 304-316.

[54] E. Sitnikova, A. E. Hramov, V. V. Grubov, A. A. Ovchinnkov, A. A. Koronovsky, On-off intermittency of thalamocortical oscillations in the electroencephalogram of rats with genetic predisposition to absence epilepsy, Brain Research 1436 (2012) 147-156.

[55] В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса, Радиотехника и электроника 48 (7) (2003) 824.

[56] V. S. Anishchenko, Т. Е. Vadivasova, G. I. Strelkova, Instantaneous phase method in studying chaotic and stochastic oscillations and its limitations., Fluctuation and Noise Letters 4 (1) (2004) L219-L229.

[57] V. S. Anishchenko, G. A. Okrokvertskhov, Т. E. Vadivasova, G. I. Strelkova, Mixing and spectral-correlation properties of chaotic and stochastic systems: Numerical and physical experiments, New Journal of Physics 7 (2005) 76113.

[58] Т. E. Вадивасова, В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, А. С. Захарова, Статистические свойства мгновенной фазы зашумленных периодических и хаотических автоколебаний, Радиотехника и электроника 51 (5) (2006) 580-592.

[59] С. А. Шурыгина, О. И. Москаленко, А. А. Короновский, Хаотическая синхронизация в отображениях и потоках. Взаимосвязь различных типов синхронного поведения, показатели Ляпунова, перемежаемость., LAP LAMBERT Academic Publishing, Dudweiler Landstr. 99,

66123 Saarbrucken, Germany, 2011.

131

[60] С. А. Шурыгина, Обобщенная хаотическая синхронизация в системах с взаимной связью, Труды IX Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем"(2012) 1019-1020.

[61] С. А. Шурыгина, Индуцированная шумом синхронизация в неавтономных системах, Труды школы-семинара "Волны-2009"(2009) 8-9.

[62] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, С. А. Шурыгина, Особенности обобщенной синхронизации в однонаправлено и взаимно связанных потоковых системах и отображениях: метод фазовых трубок, Труды школы-семинара "Волны-2012"(2012) 45-46.

[63] С. А. Шурыгина, А. А. Короновский, М. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Локальные показатели Ляпунова вблизи границ синхронных режимов, in: Труды школы-семинара «Волны-2013», 2013, pp. 57-58.

[64] О. И. Москаленко, А. В. Иванов, И. А. Яшков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, С. А. Шурыгина, Метод фазовых трубок для диагностики обобщенной синхронизации, in: Материалы III Всероссийского научно-практического форума "Экология: синтез естественно-научного, технического и гуманитарного знания 2012, pp. 324-325.

[65] С. А. Шурыгина, Обобщенная синхронизация во взаимно связанных системах, in: Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2011, pp. 114-122.

[66] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, С. А. Шурыгина, Исследование обобщенной синхронизации во взаимно связанных динамических системах и сетях со сложной топологией, Материалы IX Международной школы "ХАОС-2010"(2010) 46-46.

[67] О. И. Москаленко, А. А. Короновский, С. А. Шурыгина, Перемежающаяся индуцированная шумом синхронизация, Материалы IX Международной школы "ХАОС-2010"(2010) 67-67.

[68] О. I. Moskalenko, A. A. Koronovskii, А. Е. Hramov, S. A. Shurygina, Analysis of generalized synchronization in mutually coupled dynamical

systems, Book of Abstracts of 3rd Chaotic Modeling and Simulation International Conference (2010) 53-54.

[69] О. I. Moskalenko, A. A. Koronovskii, A. E. Hramov, S. A. Shurygina, Generalized synchronization in mutually coupled dynamical systems, Proceedings of 18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES2010) (2010) 70-73.

[70] S. A. Shurygina, On the behavior of one of the positive Lyapunov exponent in mutually coupled chaotic oscillators, Papers from the conference for young scientists "Presenting Academic Achievements to the World" (2010) 129-132.

[71] С. А. Шурыгина, О поведении одной из положительных ляпуновских экспонент во взаимосвязанных хаотических осцилляторах, Тезисы докладов конференции молодых ученых "Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики"(2010) 135-136.

[72] С. А. Шурыгина, Нелинейный феномен неавтономной индуцированной шумом синхронизации, Материалы Всероссийской научной школы для молодежи "Нелинейные феномены, хаос, критические явления и методы их исследования с помощью вейвлетного, кластерного и спектрального анализа в геоэкологических процессах" (2009) 79-81.

[73] С. А. Шурыгина, Статистические характеристики неавтономной индуцированной шумом синхронизации, in: Материалы Международной школы-семинара "Statinfo-2009 2009, pp. 115-118.

[74] A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, S. A. Shurygina, А. Е. Hramov, Generalized synchronization in discrete maps, new point of view on weak and strong synchronization, Chaos, Solitons and Fractals (46) (2013) 12-18.

[75] А. А. Короновский, A. E. Храмов, С. А. Шурыгина, Неавтономная индуцированная шумом синхронизация, Изв. РАН. Серия физическая 73 (12) (2009) 1728-1731.

[76] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, С. А. Шурыгина, А. Е. Храмов, Сильная и слабая обобщенная хаотическая синхронизация, Изв. РАН.

Сер. физическая 76 (12) (2012) 1495-1499.

133

[77] О. И. Москаленко, А. А. Короновский, С. А. Шурыгина, Перемежающееся поведение на границе индуцированной шумом синхронизации, ЖТФ 81 (9) (2011) 150-153.

[78] А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, С. А. Шурыгина, Влияние шума на поведение осцилляторов вблизи границы синхронизации, ЖТФ 79 (10) (2009) 1-9.

[79] О. И. Москаленко, А. А. Короновский, С. А. Шурыгина, Поведение нелинейных систем на границе синхронизации, индуцированной шумом, Нелинейная динамика 7 (2) (2011) 197-208.

[80] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, С. А. Шурыгина, Влияние степени взаимности связи на установление типов хаотической синхронизации, Радиотехника и электроника 56 (12) (2011) 1490-1500.

[81] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, С. А. Шурыгина, Обобщенная синхронизация в сетях со сложной топологией межэлементных связей, Радиотехника и электроника 58 (5) (2013) 507-517.

[82] U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, L. Kocarev, Experimental observation of phase synchronization, Phys. Rev. E 54 (2) (1996) 2115-2117.

[83] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving, Physica D 104 (4) (1997) 219-238.

[84] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001.

[85] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Locking-based frequency measurement and synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics, Phys. Rev. Lett. 89 (26) (2002) 264102.

[86] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76 (11) (1996) 1804-1807.

[87] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖЭТФ 79 (7) (2004) 391-395.

[88] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Новый тип универсальности при хаотической синхронизации динамических систем, Письма в ЖЭТФ 80 (1) (2004) 25-28.

[89] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, I. S. Rempen, Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves, Chaos 15 (1) (2005) 013705.

[90] А. А. Короновский, A. E. Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения, М.: Физматлит, 2003.

[91] А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 31 (19) (2005) 76-82.

[92] М. Chavez, D. U. Hwang, A. Amann, Н. G. Е. Hentschel, S. Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 218701.

[93] A. E. Hramov, A. E. Khramova, A. A. Koronovskii, S. Boccaletti, Synchronization in networks of slightly nonidentical elements, IJBC 18 (3) (2008) 258-264.

[94] L. M. Pecora, T. L. Carroll, Master stability functions for synchronized coupled systems, Phys. Rev. Lett. 80 (10) (1998) 2109-2112.

[95] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Generalized synchronization: a modified system approach, Phys. Rev. E 71 (6) (2005) 067201.

[96] S. Boccaletti, D. L. Valladares, Characterization of intermittent lag synchronization, Phys. Rev. E 62 (5) (2000) 7497-7500.

[97] А. А. Короновский, M. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, ЖТФ 77 (1) (2007) 21-29.

[98] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Граница возникновения режима обобщенной синхронизации хаотических осцилляторов, Радиотехника и электроника 52 (8) (2007) 949-960.

[99] О. И. Москаленко, Синхронизация спектральных компонент в системах с однонаправленной связью, Журнал технической физики 80 (8) (2010) 1-7.

[100] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, Two types of phase synchronization destruction, Phys. Rev. E 75 (3) (2007) 036205.

[101] С. П. Кузнецов, Динамический хаос, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2001.

[102] Г. Шустер, Детерминированный хаос, М.: Мир, 1988.

[103] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем, Письма в ЖЭТФ 82 (3) (2005) 176-179.

[104] А. А. Короновский, А. В. Стародубов, А. Е. Храмова, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы с потоковым временем и её отображениям возврата, Письма в ЖТФ 32 (19) (2006) 86-94.

[105] В. В. Астахов, С. А. Коблянский, А. В. Шабунин, Бифуркационный анализ режимов синхронизации и гашения колебаний в связанных генераторах с инерционной нелинейностью., Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика 18 (2) (2010) 79-96.

[106] С. А. Коблянский', А. В. Шабунин, В. В. Астахов, Вынужденная синхронизация периодических колебаний в системе с фазовой мультиста-бильностью., Нелинейная динамика 6 (2) (2010) 1-13.

[107] V. S. Anishchenko, S. V. Astakhov, Т. Е. Vadivasova, Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force., Europhysics Letters 86 (3) (2009) 1-3.

[108] A. P. Kuznetsov, E. P. Seleznev, N. V. Stankevich, Nonautonomous dynamics of coupled van der pol oscillators in the regime of amplitude

death., Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 17 (9) (2012) 3740-3746.

[109] Ю. П. Емельянова, А. П. Кузнецов, Синхронизация связанных автогенераторов ван-дер-поля и кислова-Дмитриева., ЖТФ 81 (4) (2011) 7-14.

[110] A. S. Pikovsky, М. Zaks, М. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase . synchronization of chaotic oscillators in terms of periodic orbits, Chaos 7 (4)

(1997) 680-687.

[111] В. С. Анищенко, Я. И. Боев, Т. Е. Вадивасова, Индуцированные шумом параметрические колебания в нелинейном осцилляторе., Письма в ЖТФ 37 (4) (2011) 87-94.

[112] A. S. Pikovsky, G. V. Osipov, М. G. Rosenblum, М. Zaks, J. Kurths, Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 79 (1) (1997) 47-50.

[113] S. Boccaletti, E. Allaria, R. Meucci, F. T. Arecchi, Experimental characterization of the transition to phase synchronization of chaotic CO2 laser systems, Phys. Rev. Lett. 89 (19) (2002) 194101.

[114] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, S. Boccaletti, Ring intermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 114101.

[115] Y. Pomeau, P. Manneville, Inetrmittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems, Commun. Math. Phys. 74 (1980) 189.

[116] P. Manneville, Y. Pomeau, Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems, Physica D 1 (2) (1980) 167-241.

[117] A. Prasad, R. Ramaswamy, Characteristic distributions of finite-time Lyapunov exponents, Phys. Rev. E 60 (3) (1999) 2761-2766.

[118] R. Zillmer, A. S. Pikovsky, Multiscaling of noise-induced parametric instability, Phys. Rev. E 67 (6) (2003) 061117.

[119] А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Индуцированная шумом синхронизация пространственно-временного хаоса в уравнении гинзбурга-ландау., ЖЭТФ 134 (5(11)) (2008) 1048-1058.

[120] W. Н. Куе, С. М. Kim, Characteristic relations of type-I intermittency in the presence of noise, Phys. Rev. E 62 (5) (2000) 6304-6307.

[121] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Intermittent generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators, Europhysics Lett. 70 (2) (2005) 169-175.

[122] C. S. Zhou, J. Kurths, Noise-induced synchronization and coherence resonance of a Hodgkin-Huxley model of thermally sensitive neurons, Chaos 13 (1) (2003) 401-409.

[123] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Generalized synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations and mechanisms of its arising, Phys. Rev. E 72 (3) (2005) 037201.

[124] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, - единый тип поведения связанных хаотических систем, Доклады Академии Наук 407 (6) (2006) 761-765.

[125] A. S. Pikovsky, Comment on "Chaos, noise, and synchronization", Phys. Rev. Lett. 73 (21) (1994) 2931.

[126] L. Longa, E. M. F. Curado, F. A. Oliveira, Roundoff-induced coalescence of chaotic trajectories, Phys. Rev. E 54 (3) (1996) R2201-R2204.

[127] C. S. Zhou, С. H. Lai, Synchronization with positive conditional Lyapunov exponents, Phys. Rev. E 58 (4) (1998) 5188-5191.

[128] С. M. Kim, Mechanism of chaos synchronization and on-off intermittency, Physical Review E 56 (3, Part B) (1997) 3697-3700.

[129] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, О механизмах, приводящих к установлению режима обобщенной синхронизации, ЖТФ 76 (2) (2006) 1-9.

[130] L. Kocarev, U. Parlitz, Generalized synchronization, predictability, and - equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems, Phys. Rev. Lett.

76 (11) (1996) 1816-1819.

[131] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, В. А. Максименко, А. Е. Храмов, О возникновении обобщенной синхронизации в пучково-плазменных системах, связанных взаимно, Письма в ЖТФ 37 (13) (2011) 40-47.

[132] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация хаотических осцилляторов как частный случай синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 30 (23) (2004) 54-61.