Особенности семейств периодических решений некоторых задач небесной механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Варин, Виктор Петрович

• Варин, Виктор Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Варин, Виктор Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

ОСОБЕННОСТИ СЕМЕЙСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕЛЕЦКОГО.

§ Г. Предельные задачи уравнения Белецкого.

1.1. Предельные задачи

1.2. Основное предельное уравнение.

1.3. Первая предельная задача. Теория.

1.4. Первая-предельная задача. Методы вычислений.

1.5. Первая предельная задача. Результаты вычислений

1.6. Вторая предельная задача. Теория.

1.7. Вторая предельная задача. Вычисления.

1.8. Сращивание решений'первой и второй предельных задач

1.9. Сравнение предельных семейств с допредельными

1.10. Об интегрируемости предельных уравнений.

§ 2. Обобщенные периодические решения уравнения Белецкого.

2.1. Классификация обобщенных 27Г-периодических решений

2.2. Характеристики семейств решений при е >

2.3. Характеристики семейств решений при е <

§ 3. Критические семейства периодических решений.

3.1. Критические подсемейства семейств К\ - К

3.2. Критические подсемейства семейства Ко

§ 4. Анализ вырождений на семействах периодических решений

4.1. Характеристическое многообразие

4.2. Уравнения в вариациях

4.3. Геометрические особенности.

4.4. Пересечение многообразий симметричных и несимметричных периодических решений.

4.5. Порождающие решения.

4.6. Изолированные порождающие решения

4.6.1. Случай [I =

4.6.2. Невырожденный случай е =

4.6.3. Вырожденный случай е = 0 с удвоением периода.

ГЛАВА II ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА-ФОКУСА

И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

§ 1. Обобщенная полярная замена координат

§ 2. Уравнения в вариациях.

§ 3. Системы, близкие к гамильтоновым.

§ 4. Случай ломаной Ньютона, состоящей из двух ребер.

ГЛАВА III

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ.

§ 1. Основные определения

§ 2. О вычислении семейств.

§ 3. Порождающие семейства.

§ 4. Семейство h периодических решений ограниченной задачи . г

4.1. Порождающее семейство h (ц = 0). Описание семейства

4.1.1. Порождающее семейство h (/х = 0). Период и следы.

4.1.2. Пересечения порождающего семейства h с другими семействами.

4.2. Случай Солнце-Юпитер 0.00095388).

Описание семейства.

4.2.1. Случай Солнце-Юпитер (/1 = 0.00095388).

Период и следы.

4.2.2. Случай Солнце-Юпитер (ц = 0.00095388).

Пересечения с другими семействами

4.3. Случай Земля-Луна (/х = 0.012155)

4.4. Семейство h при ß = 0.

4.5. Семейство h при ¡1 — 0.

4.6. Семейство h при д = 0.

4.7. Семейство h при fi = 0.

4.8. Семейство h при ц = 0.

4.9. Эволюция семейства h при росте ß.

§ 5. Семейства сиг.

5.1. Порождающее семейство с (/г = 0)

5.2. Порождающее семейство г (ß = 0). Начальный участок

5.3. Порождающее семейство г {ц = 0). Описание всего семейства

5.4. Экстремумы константы Якоби.

5.5. Характеристики порождающего семейства i.

5.6. Вычисление характеристик семейств S.

5.7. Период, след и их возмущения.

5.8. Обоснование бифуркаций семейств S

§ 6. Семейства сиг периодических решений ограниченной задачи при /х = 5 • Ю-5.

6.1. Семейство с при /х = 5 • Ю-5.

6.2. Семейство г при ¡1 = 5 • Ю-5.

§ 7. Замкнутые семейства периодических решений ограниченной задачи

7.1. Бифуркации семейств СПР

7.2. Образование и эволюция замкнутых семейств.

7.3. Другие замкнутые семейства.

7.4. О распределении астероидов

ГЛАВА IV

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ.

§ 1. Численное решение линейных краевых задач.

§ 2. Аппроксимация функций полиномами Чебышева.

§ 3. Учет краевых условий.

§ 4. Аппроксимация элементарных дифференциальных операторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности семейств периодических решений некоторых задач небесной механики»

Согласно Пуанкаре, периодические решения гамильтоновой системы образуют, в некотором смысле, скелет части ее фазового пространства [68, стр. 75], поэтому изучение семейств периодических решений и их особенностей является необходимым при изучении любых механических задач, где такие решения имеются. В задачах же небесной механики периодические решения представляют, как правило, наибольший интерес. В. этой работе изучаются семейства периодических решений двух задач небесной механики: уравнения колебаний и вращений спутника относительно его центра масс, движущегося по эллиптической орбите (уравнения Белецкого), и ограниченной задачи трех тел. Каждая из этих задач, и в особенности ограниченная задача, имеет богатую историю, и их изучению посвящено большое число работ.

С момента открытия уравнения Белецкого в 1956 г. [8] оно интенсивно изучалось преимущественно с практической точки зрения (приложения к задачам космической навигации, объяснение движения небесных тел). Изучение этого уравнения показало, что оно обладает большим набором семейств периодических решений с весьма сложной структурой.

Плоская круговая ограниченная задача трех тел является, вероятно, одной из наиболее изучаемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Не существует ни одной работы, где было бы дано исчерпывающее изложение результатов*, накопленных в настоящее время по этой проблеме. Можно быть уверенным, что такого обзора никогда не будет, так как новые результаты в этой задаче появляются постоянно.

Несмотря на столь пристальное внимание к этим проблемам в прошлом и настоящем, многие вопросы классификации семейств периодических решений и их особенностей оставались нерешенными, а некоторые вопросы до недавнего времени ие обсуждались. Во многом это связано с необходимостью привлечения численного анализа и большого количества вычислений, для которых ранее не было технических средств, а также, согласно Хенону [107], с необходимостью учета огромного количества деталей.

В этой работе основное внимание уделяется вырожденным решениям на семействах периодических решений уравнения Белецкого (гл. I) и ограниченной задачи трех тел (гл. III). При этом под вырожденными решениями понимаются любые особенности конечной коразмерности на семействах, т.е. решения, которые чем-либо выделяются из случая общего положения. В такой общей постановке вопрос о вырожденных решениях ранее ие рассматривался. Обычно выделяется некоторый класс особых решений, общий для некоторого круга однотипных задач, и для которых создаются свои методы исследования. Эти методы могут быть весьма общими, однако применимыми только к данному типу особенностей. Примером может служить метод нормальной формы, который применяется к изучению локальных особенностей [14]. Для того, чтобы привести систему дифференциальных уравнений к нормальной форме в окрестности особого решения, это особое решение должно быть уже известно. Таким особым решением може г быть неподвижная точка или некоторое выделенное периодическое решение на семействе. Затем, используя нормальную форму уравнений, можно описать поведение решений в окрестности вырожденного решения. Однако в многопараметрических задачах механики довольно типичной является ситуация, когда существование особого решения не вызывает сомнения, в то же время его положение в фазовом пространстве не известно. Это может быть потеря устойчивости и связанная с ней топологическая особенность на семействе решений, или это может быть пересечение семейств решений. Возможны и более причудливые сценарии. Общим в них является лишь то, что особое решение необходимо сперва идентифицировать, прежде чем изучать его окрестность. Если особое решение соответствует интегрируемому случаю, то для его локализации на семействе возможно применение метода усреднения [11, 14], или построение нормальной формы в окрестности целого семейства [88]. В случае пересечения двух многообразий решений, одно из которых соответствует интегрируемому случаю, обычно применим метод регулярных возмущений. Если же особое решение лежит в области фазового пространства, где система не интегрируема, то единственным способом получения информации об особом решении являются вычисления. Однако вычислительный алгоритм, работающий в случае общего положения, обычно отказывает уже в некоторой окрестности особого решения. Вероятно, поэтому до недавнего времени таким нелокальным особенностям не уделялось должного внимания.

Здесь предлагается метод исследования таких особенностей на семействах периодических решений, основанный на применении уравнении в вариациях высокого порядка. При этом предполагается лишь аналитичность множества всех возможных решений в окрестности особого решения.

Оказалось, что с помощью решений уравнений в вариациях можно выразить любое особое решение в рассмотренных задачах, исключая сингулярные случаи, которые требуют отдельного исследования. При этом особое решение удовлетворяет некоторой невырожденной системе краевых задач, т.е. может быть вычислено с той же точностью, что и обычное решение на семействе.

Диссертация состоит из четырех глав, в каждой из которых независимая нумерация параграфов, теорем, формул, рисунков и таблиц.

В первой главе диссертации рассматривается уравнение плоских колебаний и вращений спутника относительно его центра масс, движущегося по эллиптической орбите (уравнение Белецкого [8]), и изучаются семейства его обобщенных 27г-периодических, т.е. колебательных и вращательных решений с целым числом вращения, а также вырождения на этих семействах. Уравнение Белецкого имеет вид

-. % <125 . (15 . . .

1 + ееовИ—г — 2езшг/—- + аёто — Аеътъ>, (1) аиг аь> где е € [0,1] - это эксцентриситет эллиптической орбиты, по которой движется центр масс спутника; V - это истинная аномалия положения спутника на эллиптической орбите; <5 - это удвоенный угол между радиус-вектором центра масс спутника и одной из его осей инерции; и ¡л - инер-циальньш параметр спутника, имеющий область физических значений ц 6 [—3,3]. Уравнение (1) имеет ряд симметрий и эквивалентно гамильтоновой системе с полутора степенями свободы [41]. Уравнение (1) регулярно при е < 1 и сингулярно при е = 1. В этой работе уравнение (1) рассматривается при значениях параметров е е [—1,1] и /х € (—оо, сю).

Следуя работе [14], обозначим Тк множество симметричных (нечетных) обобщенно 27г-периодических решений 5{у) уравнения (1), где к Е Ъ - число вращения, т.е.

5(0) = 0, 5(тг) - Аэт, (2) а множество несимметричных обобщенно 27Г-периодических решении обозначим Ок. Кроме того, выделяются два множества обобщенно 27г-периоди-ческих решений, соответствующих интегрируемым случаям ¡1 = 0 и е = 0, которые обозначаются, соответственно, Л4к и Первая глава посвящена изучению этих четырех множеств решений, их особенностей и бифуркаций.

В § 1 гл. I изучаются предельные (при е = 1) задачи для уравнения Белецкого. Вблизи сингулярности многоугольник Брюно уравнения (1) имеет 2 ребра и 1 вершину (см. рис. 1).

Всего получено три предельных уравнения, соответствующих ребрам ГР, и вершине Г^. Предельные уравнения оказались неинтегриру-емыми и изучались, в основном, численно. Выделено несколько семейств ограниченных решений предельных уравнений, одно из которых закручивается в самоподобную спираль вблизи значения инерциального параметра р = —2. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о существовании бесконечного числа интервалов устойчивых периодических решении при значениях эксцентриситета е близких к 1. г(0) 1 2 r(i) ттФУ- и2( Р2 Pi

Рис. 1. Ломаная Брюно (слева) состоит из трех ребер Г^ = {q1 > 0, q<i = ()}, = {(0,0), (-2,1)}, lf> = {Ql > -2, q2 = 1} и двух вершин Г^ = {(0,0)} и lf} = {(—2,1)}. Соответствующие нормальные конусы изображены справа.

В § 2 гл. I рассматриваются нечетные обобщенно 27Г-периодические решения уравнения Белецкого и приводится классификация семейств таких решений. Дается наиболее полное к настоящему времени качественное описание множества этих решений при всех значениях эксцентриситета е и инерциального параметра /г, включая предельные значения \е\ — 1 и = оо. Эта классификация существенно опирается на результаты изучения предельных задач § 1 гл. Г. Результаты* исследования представлены в виде графиков характеристик этих семейств в новой глобальной системе координат, в которой все характеристики, независимо от значения эксцентриситета, имеют одну и ту же асимптотику при ¡1 —+оо.

В § 3 гл. I изучаются критические семейства периодических решений уравнения Белецкого, т.е. вырождения коразмерности один на семействах 27г-периодических решений, определяемые следом матрицы монодромии Тг = ±2. Эти семейства ограничивают области устойчивости (в линейном приближении) на двупараметрических семействах периодических решений. Критические семейства периодических решений вычисляются с использованием регуляризации, что дало возможность продвинуться до значений эсцентриситета е > 0.99999 и продемонстрировать квазифрактальную структуру этих семейств (см. рис. 2).

На последовательности картинок (а)-(г) рис. 2 изображены фрагменты критических семейств, соответствующие семейству колебательных решений, с последовательным увеличением масштаба. При этом стрелка на картинке (б) указывает фрагмент (в), а стрелка на картинке (в) указывает фрагмент (г). Эти рисунки впервые приведены в работе [47]. Рис. 2 позволяет сделать вывод о существовании на семействе бесконечного количества сборок Уитни, вложенных друг в друга.

Рис. 2. Квазифрактальная структура семейства вблизи е = 1 и ¡1 — —2.

Семейства Ть с другими числами вращения к имеют аналогичную структуру [95].

В § 4 гл. I дается наиболее полный к настоящему времени анализ вырождений коразмерности два на семействах обобщенных периодических решений уравнения Белецкого. При этом используется метод высших вариаций, позволяющий поставить в соответствие каждому вырождению некоторую невырожденную систему краевых задач и вычислить особое решение с той же точностью, как и обычное решение. Суть этого метода состоит в следующем.

Каждое решение системы дифференциальных уравнений может рассматриваться как точка на некотором многообразии, называемом характеристическим, вложенным в конечномерное евклидово пространство. Ло кальными координатами на этом многообразии являются начальные данные задачи Коши, а также параметры, входящие в систему уравнений. Характеристическое многообразие является, в некотором смысле, графиком всех возможных решений при всех допустимых значениях параметров. Тогда семейство периодических решений можно отождествить с некоторым аналитическим подмногообразием, а особенности семейства получают геометрическую интерпретацию< как особенности некоторой гладкой поверхности.

С другой стороны, каждое решение системы может рассматриваться также как функция, заданная на характеристическом многообразии. Эту функцию можно дифференцировать по локальным координатам характеристического многообразия наряду с уравнениями исходной системы, которые рассматриваются теперь как некоторые дифференциальные тождества, заданные на характеристическом многообразии. Таким образом определяются уравнения в вариациях произвольного порядка и смешанные вариации (т.е. по начальным данным и параметрам), не прибегая к функциональному анализу.

Характеристическое многообразие х уравнения (1) определяется как четырехмерное множество х - {¿(0), ¿'(0), е, /X, 5(тг), ¿'(тг)} С М6 (3) в шестимерном евклидовом пространстве. Здесь 5(ь>) - это решение уравнения (1) с начальными данными £(0), £'(0) Е (—оо, оо) при фиксированных параметрах е € (-1,1) и ¡1 Е (—оо, оо), а 5(тг), б'(тт) вычисляются при этих начальных данных. Первые четыре величины в определении х служат локальными координатами.

Семейства обобщенных 27Г-периодических решений образуют двумерные подмногообразия многообразия х> при этом симметричные 27г-периодичес-кие решения множества лежат в двух гиперплоскостях, определяемых уравнениями (2), т.е. ?к = хП {5(0) = 0} П {<5'(0) = Ьг}, к Е Ъ.

Уравнения в вариациях для уравнения (1) определяются следующим образом. При фиксированном значении истинной аномалии V функция 5{у) является аналитической функцией, заданной на многообразии Х'- —

6(»)(р),гдер=(6(0),6Щ,е,ц)€х

Пусть точкар Е X фиксирована. Обозначим А = (Д<5(0), Д<5'(0), Де, Д/х), тогда 5{р) = Д). Пусть тп = (ш1, т2, тз, т4) - мультииндекс. Обозначим

М - ^(0). «.(М - ^(0). (4)

По формуле Тейлора имеем

6(1;, А) = £ —5т(и,р)Ат. (5) о<н т

Кроме того, д5т{у,р) / ди = 5'т(у,р), так как порядок дифференцирования можно менять.

Если в уравнение (1) подставить е —е + Ае и /х —> д + А/1, а также ряды (5), то, приравнивая нулю коэффициенты при Ат для всех значений мультииндекса га, получим уравнения в вариациях для функций 5т(и,р).

Начальные данные для всех решений уравнений в вариациях фиксированы:

0,0,0,0(0,?) = ¿(0), ^д0>о(0,р) = ¿'(0), ¿1,о,о,о(0,р) - 96{0)/д5(0) = 1 и <%100(0,р) = д6'(0)/д6'(0) = 1. Для остальных значений мультииндекса

В точности те же уравнения получаются с помощью формального дифференцирования уравнения (1) по локальным координатам многообразия X (т.е. по начальным данным и параметрам) необходимое число раз.

Рис. 3. Некоторые из вырождений вблизи пересечения многообразий С/0 и Л4о

Все изученные вырождения коразмерности 2 получили в § 4 гл. I геометрическую интерпретацию как особенности проектирования некоторой гладкой поверхности, либо как пересечение таких поверхностей. При этом использовались уравнения в вариациях до 5 порядка, включая смешанные вариации, которые ранее не применялись. На рис. 3 приведены некоторые из вырождений, найденные вблизи пересечения многообразий То, Оо и Л40.

Особенностью метода высших вариаций является его общность, гак как все полученные формулы для вырожденных решений оказываются применимы к любому аналогичному уравнению без каких либо изменений (см. например, [55]). При этом сами уравнения в вариациях вычисляются с помощью операции формального дифференцирования, и этот процесс может быть автоматизирован с помощью методов компьютерной алгебры. Все необходимые уравнения в вариациях, вместе с исходным уравнением, образуют треугольную систему ОДУ и могут быть непосредственно включены в вычислительную программу.

Основные результаты первой главы.

1. Изучены пределы семейств периодических решений уравнения Белецкого при е —> 1. Для этого вычислено несколько семейств ограниченных решений предельных (при е = 1) уравнений и произведено сращивание решений на этих семействах. Установлено, что одно из предельных семейств закручивается в самоподобную спираль вблизи значения инерциального параметра ^ = —2, что влечет существование бесконечного числа интервалов устойчивых периодических решений при значениях эксцентриситета е близких к 1.

2. Дано наиболее полное к настоящему времени качественное описание семейств обобщенных 27Г-периодических решений уравнения Белецкого при всех значениях эксцентриситета е и инерциального параметра ¡1. Результаты исследования представлены в виде графиков характеристик этих семейств в новой глобальной системе координат. Дана классификация критических подсемейств, ограничивающих области устойчивости в линейном приближении на семействах 2тт-периодических решений. Описана квазифрактальная структура некоторых из этих подсемейств при е —> 1.

3. Предложен метод анализа вырождений конечной коразмерности на семействах периодических решений уравнения Белецкого, основанный на применении высших вариаций этого уравнения. Показано, что каждому вырожденному решению соответствует невырожденная на этом решении система краевых задач, что дает возможность вычислить это решение с той же точностью, как и решение в случае общего положения. Метод высших вариаций применен для изучения всех вырожденных решений на семействах обобщенно периодических решений уравнения Белецкого, которые ранее исследовались различными другими методами. Изучен также ряд вырождений, которые ранее были неизвестны. В частности, обнаружена бесконечная последовательность вложенных друг в друга сборок Уитни при е —> 1, которые имеются на семействах периодических решений для каждого числа вращения.

4. Изучены бифуркации семейств симметричных и несимметричных периодических решений уравнения Белецкого, а также бифуркации семейств периодических решений в общем случае. Найдены в явном виде уравнения для порождающих решений и уравнения разветвления. Ответвившиеся решения найдены в виде рядов, члены которых удовлетворяют бесконечной треугольной системе краевых задач. Эта система вырождена, но однозначно разрешима с помощью высших вариаций, как только выбрано решение уравнений разветвления.

Во второй главе метод высших вариаций применяется для изучения вырожденных предельных циклов в системах на плоскости, что имеет приложение также к проблеме центра-фокуса.

В § 1 гл. II рассматривается наиболее общий к настоящему времени класс полиномиальных систем ОДУ, имеющих одно ребро ломаной Ньютона [14], для которых проблема центра-фокуса может быть решена алгоритмически. Это системы, которые с помощью перенормировки х, у и £ приводятся к виду йх/М = у2*™-1 + ., , , ву/аг = -х2^-1 +., ^ где £ т, и п взаимно просты, а многоточие обозначает мономы аР,чхР+1У9 в первом уравнении (6), или мономы Ьрлхруд+1 во втором уравнении (6), все векторные показатели (р, (?) которых лежат правее ребра ломаной Ньютона системы (6), т.е. ртЛ-цп > 2утп — т — п (следуя Ляпунову [63], это случай первой категории;), либо правее и на ребре ломаной Ньютона системы (6), т.е. рт qn > 2^тп — т — п (это случай второй категории). Ляпунов рассмотрел системы (6) для ^ = т = 1 [63].

Вводится обобщенная полярная замена координат, пригодная для всего класса таких систем, которая приводит систему (6) к уравнению гг/<г<р = /(г,<р), (7) где правая часть /(г, ф) аналитична для достаточно малых г в в некоторой полосе |1ту?| < е, и даются условия, при которых особая точка в нуле является монодромной.

В § 2 гл. II приводится процедура вычисления уравнений в вариациях любого порядка для уравнения (7). Все уравнения в вариациях на нулевом решении интегрируются в квадратурах, что позволяет найти асимптотику отображения Пуанкаре в явном виде. Доказана теорема о почти алгебраической разрешимости проблемы центр-фокус для данного класса систем (т.е. при фиксированных коэффициентах мономов на ребре ломаной Ньютона системы).

Явный вид асимптотического разложения отображения Пуанкаре позволяет изучать рождение сколь угодно вырожденных циклов. На рис. 4 показаны две характеристические кривые С и Т, соответствующие центру и фокусу в начале координат системы (6). Кривая С является, очевидно, биссектрисой, а аналитическая кривая Т полностью определяется значениями ее производных в нуле в некоторой окрестности начала координат. Эти производные вычисляются алгоритмически до нужного порядка.

Рис. 4. Характеристическое множество центра (С) и фокуса (3-).

Расположение кривой Т по отношению к биссектрисе С позволяет судить об устойчивости или неустойчивости фокуса, о порядке касания кривых С и Т в нуле (т.е. о грубости или порядке негрубости фокуса), а также о наличии предельных циклов и об их устойчивости. Например, кривая Т на рис. 4 соответствует неустойчивому негрубому фокусу, а точка пересечения Т П С соответствует устойчивому предельному циклу уравнения

7).

В § 3 гл.11 рассматриваются системы ОДУ вида (6) с одним ребром ломаной Ньютона, близкие к гамильтоновым системам на плоскости. Вводятся замены координат при которых траектория укороченной, т.е. гамильтоновой, системы преобразуется в окружность.

В § 4 гл. II замены координат, предложенные в § 3 гл. II, обобщаются на некоторые системы ОДУ с ломаной Ньютона, состоящей из двух ребер. Для таких систем проблема центра-фокуса ранее не решалась. Получены условия центра вместе с асимптотикой отображения последования и показано, что такие случаи сводятся к исследованию систем ОДУ на римановых поверхностях.

Основные результаты второй главы.

1. Предложена обобщенная полярная замена координат для класса систем (б), которая приводит их к уравнению (7), что позволяет алгоритмически решить проблему центра-фокуса для этих систем с помощью высших вариаций уравнения (7). Предложен алгоритм вычисления высших вариаций любого порядка для уравнения (7), который сводится к операциям формального дифференцирования и может быть запрограммирован на компьютере.

2. Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях центра ддя систем (6): Особая точка, ноль системы (6) является центром тогда и только тогда, когда все уравнения в вариациях на нулевом решении уравнения (7) имеют в качестве решений 27г-периодические функции, ограниченные на вещественной оси. Показано, что все уравнения в вариациях на нулевом решении уравнения (7) интегрируются в квадратурах, т.е. найдено в явном виде асимптотическое разложение отображения Пуанкаре для-систем (6). Доказана теорема о почти алгебраической разрешимости проблемы центр-фокус для систем (6). Показано, что для случая первой категории все фокусные величины алгебраичны; для случая второй категории условие негрубости фокуса алгебраично и все фокусные величины начиная со второй трансцен-дентны.

3. Исследован ряд примеров рождения предельных циклов различной степени вырождения. Бифуркация Андронова-Хопфа является при этом частным невырожденным случаем. Условия рождения цикла выражаются в виде квадратур. Описано также рождение цикла конечного радиуса при разрушении особой точки центр у системы (6). Показано, что для систем первой категории все фокусные величины могут быть вычислены путем решения некоторого числа линейных задач.

4. Впервые проблема центра-фокуса решена для системы с двумя ребрами ломаной Ньютона. Показано, что для таких систем, имеющих гамильтоново укорочение, проблема центра-фокуса сводится к исследованию систем ОДУ на римановых поверхностях и аналогична случаям с одним ребром ломаной Ньютона.

В третьей главе изучаются натуральные семейства h, сиг симме кричных периодических решений (СПР) плоской круговой ограниченной задачи трех тел и их особенности. Этот выбор не случаен. Среди натуральных семейств СПР имеются семейства, устроенные относительно просто, как, например, семейство h. В то же время существуют семейства СПР, имеющие очень сложную структуру. Среди девяти основных натуральных семейств СПР (см. начало гл. III) семейство i имеет, вероятно, наиболее сложную структуру, которая разрушается при сколь угодно малых значениях массового параметра ß. Семейство i претерпевает при этом бесконечный каскад бифуркаций, которые до недавнего времени были неизвестны. Семейство с устроено довольно просто само по себе, однако его эволюция при росте ¡1 тесным образом связана с эволюцией семейства i и помогает объяснить эволюцию последнего. Семейство с заканчивается как локально двукратное на семействе h, что предопределило выбор этого семейства для подробного изучения.

Напомним постановку задачи.

Пусть три точечных тела Pi, Po и Р3 движутся в одной плоскости под действием закона тяготения Ньютона. Тела Р\ и Р2 имеют массы га и 777,2 соответственно, а масса тела Рз настолько мала, что ее влиянием на тела Р\ и Р2 можно пренебречь. Будем говорить, что масса тела Рз равна нулю. Тогда тело Р2 совершает кеплерово движение относительно тела Р\. Если тело Р2 движется по окружности, то задача о движении тела Р3 называется плоской круговой ограниченной задачей трех тел, коротко - ограниченной задачей.

Будем считать, что единицы массы, времени и расстояния выбраны так, что сумма m + m2, гравитационная постоянная, расстояние Р1Р2 и угловая скорость Р2 относительно Р\ равны единице. Тогда единственный параметр - это fi = 7722/(777, + 777,2) £ [0,1/2]. Во вращающейся вместе с телом Ро (синодической) системе координат с центром в Pi положение xi, хо тела Рз описывается системой Гамильтона с двумя степенями свободы и одним параметром ц [15, гл. III, § 1]:

Xj = дН/ду3, у3 = -дН/дх3, j = 1,2, (8) где

Я = #о + ¡iR, Н0 = \{yl + у2) + x2yi - хгу2 - г-1,

R = г 1 + XI - г2 \ г = + Х% Г2 = \J{x 1 - I)2 + и точка над символом означает дифференцирование по времени t.

При [i ф 0 задача не интегрируется. При /х = 0 задача интегрируется и можно описать все ее решения, что сделано в [15, гл. III-VI]. Множество решений этой задачи при ¡л — 0 устроено весьма сложно из-за столкновений тела Рз с телом Р2. При ¡л > 0 эти столкновения приводят к сингулярным возмущениям и дальнейшему усложнению множества решений. Периодические решения при фиксированном значении параметра [л образу ют одно-параметрические семейства, а при переменном fi - двупараметрические.

Система (8), (9) переходит в себя при подстановке

Xi, Х2: Уъ У2 -► ~t, ХЪ -Х2, ~Уъ У2, (Ю) которая является ее симметрией. При симметрии (10) плоскость х2 = у\ = 0 является инвариантной и называется [15, гл. III] плоскостью симметрии П. Решения системы (8), переходящие в себя при подстановке (10). являются симметричными. Симметричные периодические решения два раза ортогонально пересекают плоскость симметрии, и это является их характеристическим свойством. Здесь изучаются только*такие решения (СПР).

В отличие от многих работ, посвященных ограниченной задаче, здесь массовый параметр ¡л учитывается как второй параметр на семействах СПР, т.е. семейства СПР изучаются как двупараметрические. Раньше их изучали и вычисляли либо для фиксированных значений параметра ¡л, либо для малых fi. Для ¡л = 1/2 это сделано в работах [117] и [82]. Для [i = ¡хм — 0.01215585, соответствующего случаю Земля (Pi) - Луна (-Р2), - [85]. Для ¡i — ¡jlj = 0.00095388, соответствующего случаю Солнце (Р\) -Юпитер (Р2), ~ в [16, 20]. Для \¿ — ¡л^ = 5.178 х Ю-5, соответствующего случаю Солнце (Pi) - Нептун (Р2), - [112; 121, 122]. Для /л = 0 (порождающие семейства) - в [15, 16, 20; 107, 108]. Некоторые специальные семейства изучались также для других значений /л.

Происхождение, структура и эволюция семейств СПР отслеживается от их порождающих семейств при ¡л = 0 до максимального значения массового параметра ¡л — 1/2. Попутно изучаются их бифуркации и возникающие особенности на семействах. Двупараметрический подход позволяет выявить неизвестные ранее закономерности строения семейств СПР, а также обнаружить некоторые их особенности коразмерности 2, которые не видны на однопараметрических подсемействах, и ранее были неизвестны.

В § 1 гл. III даются основные определения и вводятся 4 системы координат, удобные для графического представления большого объема данных. Изображать характеристики семейств СПР на плоскости П в естественных координатах xi, 7/2 не всегда целесообразно, ибо характеристики могут представлять собой очень тесно расположенные кривые (см. [85]). Поэтому в [35] были предложены четыре системы координат на плоскости симметрии: две глобальные - I система и II система Xi, С — —2if, где С -<i константа Якоби; и две локальные - III система а, ё, связанная с телом Р\\ и IV система Wi,y2, связанная с телом Р2.

В § 2 гл. III обсуждаются некоторые аспекты организации вычислений (численные методы описаны в гл. IV). Вычислительные проблемы в ограниченной задаче чрезвычайно сложны, свидетельством чему является отсутствие сколько-нибудь подробных систематических работ, выполненных для этой задачи со времени отчета Брука [85] до публикаций [34]-[40).

В § 3 гл. III определяются классы порождающих семейств СПР ограниченной задачи, которые служат основой для классификации всех семейств СПР. Если решение x(t,ß), существующее при некотором ß = ßo > 0, продолжается по параметру ß до произвольно малых ß > 0, то его предел при ß —> 0 называется порождающим периодическим решением. Очевидно, порождающее решение состоит из кусков решений задачи при ß = 0. Эти решения подразделяются на два вида: первый вид состоит из решений, для которых тело Рз не имеет столкновений с телом Р2; второй вид состоит из решений, для которых тело Рз имеет столкновения с телом Р2. Решения первого вида - это решения задачи двух тел Pi и Р3 в синодической (вращающейся) системе координат. Решения второго вида состоят из нескольких кусков решений задачи двух тел Р\ и Р3: каждый кусок начинается и заканчивается столкновением Р3 с Р2, и все куски имеют одинаковое значение гамильтониана Я. Все эти куски, т.е. решения-отрезки, образуют счетное множество однопараметрических семейств Д-, Bj, Си (объединяемых в семейства S) и однопараметрические семейства Tjv, детально изученные в [15, гл. III-V]. Семейства S симметричных решений-отрезков были найдены в [103].

Отметим, что вычислять порождающие решения как правило значительно проще, чем близко расположенные к ним порожденные периодические решения, так как последние могут быть сильно неустойчивы. Теория сингулярных возмущений семейств СПР еще не создана, поэтому теория порождающих семейств СПР вместе с принципом Брука являются в настоящее время единственной теорией, объясняющей бифуркации СПР при малых ß > 0.

В § 4 гл. III содержится наиболее полное к настоящему времени исследование семейства h периодических решений ограниченной задачи. Его эволюция описана в 4 системах координат, введенных в § 1 гл. III, начиная с его порождающего семейства при ¡1 — 0 и до значения массового параметра [1 = 1/2. Как следует из результатов § 4 гл. III, семейство h при росте ¡1 не испытывает бифуркаций (самопересечений), т.е. оно взаимно однозначно проектируется на полосу

Т> 0, у. €[0,1/2], где Т - период СПР, и унифицируется этими двумя параметрами как дву-параметрическое семейство. Кроме того, при росте д от 0 до 1/2 семейство h становится более однородным. Если при уь = 0 оно состоит из кусков разных семейств с круговыми и эллиптическими орбитами, а также - семейств решений-отрезков с различным поведением периода и следов, что еще заметно при небольших значениях массового параметра, то при ¡л = 0.5 на семействе h уже нельзя выделить куски с различным качественным поведением этих величин. Отметим также, что для ¡j, > 0:3 интервалы полной линейной устойчивости совпадают с интервалами плоской линейной устойчивости, т.е. вертикальная компонента не вносит дополнительной неустойчивости. В целом, при возрастании ¡1 от нуля семейство h отходит от порождающего тем больше, чем дальше от тела Р\ (или Р2) находится орбита. Это справедливо как для координат орбит, так и для их следов. Для регулярных возмущений это согласуется с табл. 1, 2 Приложения в [15].

В § 5 гл. III изучаются порождающие семейства сиг (т.е. при ¡х — 0). Показано, что порождающее семейство г имеет бесконечную циклическую структуру, состоящую из кусков семейств круговых и эллиптических орбит задачи двух тел и семейств решений-отрезков. Сложность описания структуры порождающего семейства г значительно возрастает с каждым новым циклом. Было установлено, что правая характеристика семейства г имеет зигзаги вдоль верхнего участка характеристики семейства решений-отрезков В\ и нижней части характеристики тела Ро. Если раздуть участки характеристики семейства г, проходящие по характеристикам семейства Bi, то получим последовательности зигзагов, схематически показанные на рис. 5 для семейства В\ (а) и характеристики тела Р2 (б). В этих рисунках по оси абсцисс откладывается номер п зигзага на характеристике, а по оси ординат -1/(3 - С)1/3 (рис. 5 (а)) и 1/(3 - С)1/3 (рис. 5 (б)). Эта информация не содержится в описании порождающего семейства г, приведенном в книге Хенона [107, табл. 10.8].

Рис. 5. Зигзагообразная структура правой характеристики порождающего семейства г. Верхний (а) и нижний (б) участки.

В § 6 гл. III семейства сиг изучаются при fi = 5 • Ю-5. Это значение массового параметра выбрано таким образом, что с одной стороны оно достаточно мало, так что вычисленные семейства весьма близки к порождающим, описанным в § 5 гл. III. Это позволило подтвердить существование предсказанной циклической структуры семейства г с зигзагообразным поведением их правых характеристик вдоль характеристик семейства В\ и тела Р2. С другой стороны - это значение массового параметра оказалось достаточно большим, чтобы обнаружить новые свойства плоского и вертикального следов, но недостаточно большим для полного разрушения циклической структуры семейства i (см. § 7 гл. III). а б

Рис. 6. Зигзагообразная структура правой верхней характеристики семейства г вблизи характеристики семейства В\ при ц = 5 • Ю-5.

На рис. 6 (а) показан фрагмент правой характеристики- семейства г, проходящий вблизи, характеристики семейства В\ в координатах а, ё, а на рис. 6 (б) показан тот же фрагмент, но с растяжением каждого зигзага по оси ё от экстремальных точек. Весь вычисленный участок семейства г (4 цикла) представлен характеристиками в координатах а, ё на рис. 7. При этом рис. 7 (а) соответствует левой половине плоскости симметрии, а рис. 7 (б) - правой.

Рис. 7. Левая (а) и> правая (б) характеристики семейства г при ß = 5-10

Вычислительные трудности при отслеживании семейства i вблизи его порождающего семейства при ¡л = 5 • Ю-5 оказались столь велики, что их удалось преодолеть только с привлечением новых вычислительных технологий (см. гл. IV). При этом удалось продвинуться на один цикл дальше, чем при теоретическом описании порождающего семейства г в § 5 гл. III.

В § 7. гл. III изучаются разрушение циклической структуры семейства г при малых значениях массового параметра /л и- ответвившиеся от семейства г замкнутые семейства СПР. Замкнутые семейства СПР образуются в результате бесконечного каскада бифуркаций семейства i при /л —> 0 и существуют только в ограниченных интервалах значений Вычислен начальный участок этого каскада, который соответствует четырем циклам семейства г, описанным в § 6 гл. III. Показано, что существуют две монотонно убывающие последовательности [л'к и ßk, ¡л'к < [лк, к = 1,2,такие что замкнутое семейство СПР ответвляется от семейства г при ¡i — fi'k. Семейства ik существуют только в интервалах значений ¡л G [(л'к, при ¡л = (л'к семейство гк стягивается в одну орбиту. Была также найдена эмпирическая асимптотика этих последовательностей при к —> оо.

-05 '2 05 06 07 08 09 ба

На картинках рис. 8 показано образование семейства ¿1, его эволюция при увеличении /х и исчезновение при стягивании в одну орбиту. Крестиками отмечены критические орбиты. Эволюция последующих замкнутых семейств ¿2,. принципиально не отличается от эволюции семейства г\.

1.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6 а

0.6 0.7

0.8

0.9

1.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6

1.81.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6

0.6

0.7 Л

11 = 2.3 • 1(Г2 ^ = /¿м а

0.8

0.9

Рис. 8. Эволюция первого цикла в координатах а, ё.

Вырожденные семейства СПР, состоящие из одной орбиты, не были известны, как и бифуркации, приводящие к образованию замкнутых семейств гк. Для вычисления бифуркаций и вырожденных семейств СПР использовались методы, развитые в гл. I.

На рис. 9 (а), заимствованном из книги [15], показаны части характеристик порождающих семейств 1(1, Ак и Ск,к+1- На рис. 9 (б), любезно предоставленном проф. Г. Воятисом (Греция), показаны характеристики некоторых семейств СПР, вычисленных им для fi = 5.178 х Ю-5, соответствующего внешнему участку семейства Id (случай Солнце-Нептун-тело пояса Койпера).

Рис. 9. Части плоскости симметрии П с частями характеристик семейств А,, Ck,i и Id для ¡1 = 0 (а); части характеристик семейств СПР для /г = 5.178 х Ю-5 (б); части характеристик семейства г для fj, = 5 х Ю-5 (в).

Рис. 91 (в) соответствует левой характеристике семейства г при ß = 5 • Ю-5 (см. рис. 7 (а)), соответствующего внутреннему участку семейства Id (случай Солнце-Юпитер-астероид). Горизонтальные части на рис. 9 (б) и (в) соответствуют характеристикам частей семейств Id на рис. 9 (а); вертикальные части на рис. 9 (б) и (в) соответствуют характеристикам частей семейств Е^ (не показанным на рис. 9 (а)); наконец, наклонные участки на рис. 9 (б) соответствуют частям семейств Аг, а на рис. 9 (в) -частям семейств решений:отрезков Ск,к+ъ

Из рис. 9 видно, что сверху и снизу от горизонтали ё = 1 характеристики семейств СПР образуют определенные структуры, называемые нами пузырями (они помечены номерами к = 1,.). Как показано в § 7 гл. III (для рис. 9 (в)), эти пузыри образуют замкнутые семейства СПР ik. Рис. 9 (б) почти симметричен рис. 9 (в) по отношению к вертикали а = —1. и показывает некоторые замкнутые семейства СПР в процессе их образования. Таким образом, образование замкнутых семейств СПР является довольно типичным явлением. Тем более удивительно, что соответствующие им бифуркации ранее не вычислялись.

Основные результаты третьей главы.

1. Проведено наиболее полное к настоящему времени исследование дву-параметрического семейства h периодических решений ограниченной задачи. Структура и эволюция семейства h описывается в 4 системах координат, начиная с его порождающего семейства при ß — 0 и до значения массового параметра ß = 1/2.

2. Дано полное описание циклической структуры порождающего семейства г периодических решений ограниченной задачи. Обнаружено ранее неизвестное зигзагообразное поведение его характеристик вблизи характеристик семейства решений-отрезков В\. Семейство i периодических решений ограниченной задачи вычислено при значении массового параметра ß = 5-Ю-5 на протяжении четырех циклов. Эти расчеты подтвердили теоретически предсказанную циклическую структуру семейства г.

3. Изучены бифуркации (самопересечения) семейства г при изменении массового параметра ß и образование замкнутых семейств СПР. Обнаружены две монотонно убывающие последовательности ß'k и ßк, A4 < ^ = 1,2,.такие что при ß = ß'k от семейства г ответвляется замкнутое семейство СПР которое существует только в интервале значений ß Е [ß'k,ßk]. При ß = ß'k семейство гк стягивается в i

24 одну орбиту. Как бифуркации семейства г при /4, так и вырожденные семейства гк при ц = ¡1к вычисляются с помощью вариаций системы (8), (9), т.е. без интерполяции. Значения величин ц'к и найдены с не менее чем 16 десятичными разрядами. Была найдена эмпирическая асимптотика этих последовательностей при к —> оо. Сравнение порождающих семейств СПР с некоторыми семействами СПР при малых ¡1 позволило сделать вывод о том, что образование замкнутых семейств СПР является типичным явлением в ограниченной задаче.

4. В рамках плоской ограниченной'круговой задачи трех тел дано объяснение распределению астероидов главного пояса вблизи резонансов 2:1, 3:2, 4:3, и расположению внешней границы главного пояса астероидов вблизи резонанса,5:4.

В четвертой главе дается краткое изложение основ построения численных методов без насыщения для линейных краевых задач для систем ОДУ на конечном интервале. Решение нелинейных краевых задач ничем принципиально не отличается от решения линейных краевых задач, кроме того, что линейные задачи решаются за. одну итерацию, а решение нелинейной задачи^ требует нескольких ньютоновских итераций, для линейных дифференциальных операторов, полученных из уравнений! в. вариациях. Методы без насыщения, обладают контролируемой точностью и нечувствительны к неустойчивости решений в обычном понимании.

Основной результат четвертой главы.

1. Применение методов без насыщения позволило преодолеть некоторые трудности принципиального характера при вычислении семейств СПР при малых ¡л, а именно: близость характеристик разных семейств СПР друг к другу, а также вычислить части семейств СПР, где индекс неустойчивости превышает 1020, т.е. где обычные численные методы не применимы ввиду полной потери значащих цифр.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Варин, Виктор Петрович, 2009 год

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1971. 584 с.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

3. Арнольд В.И., Илъяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники, т. 1, М:ВИНИТИ, 1985, стр. 7-149.

4. Афендиков А.Л., Варин В.П. О потере устойчивости и бифуркации автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля / / Изв. АН СССР. 1991. МЖГ. №2. С. 41-48.

5. Афендиков А.Л., Варин В.П. Исследование автоколебательных режимов, близких к течению» Пуазейля в плоском канале // Докл. АН СССР. 1991. Т. 13. N 6. С. 1407-1412.

6. А.Л. Афендиков, В.П.Варин Вырожденная бифуркация рождения цикла в многопараметрических задачах гидродинамики // ПММ, Том 62, Вып. 2, 1998, с. 216-222.

7. Вабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

8. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно его центра масс. В книге: Искусственные спутники Земли. М.: Изд. Акад. Наук СССР, 1959, Часть 3, 13-31.

9. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Из-во МГУ, 1975.

10. Белецкий В.В., Лавровский Е.К. О теории резонансного вращения Меркурия // Астрон. Журнал, 1975, том. 52, №6.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958

12. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Моск. мат. о-ва, 1971, т. 25, с. 119-262 (§ 1-8); 1972, т. 26, с. 199-239 (§ 9-12).

13. Брюно А.Д. О периодических облетах Луны // Препр. N 91 ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М., 1978. 25 с.

14. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

15. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.

16. Брюно А.Д. Однократные периодические решения ограниченной задачи трех тел в случае Солнце-Юпитер // Препр. N 66 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1993. 27 с.

17. Брюно А.Д. Двукратные периодические решения ограниченной задачи трех тел в случае Солнце Юпитер. Препр. N 67. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1993. 29 с.

18. Брюно А.Д. Многократные периодические решения ограниченной задачи трех тел в случае Солнце Юпитер // Препр. N 68. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1993. 23 с.

19. Брюно А.Д. Первые приближения дифференциальных уравнений // ДАН 1994, т. 335, N 4, с. 413-416.

20. Брюно А.Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел // Препр. N 93 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М.; 1996. 32 с.

21. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 с.

22. Брюно А.Д. Периодические решения системы Гамильтона // Космич. исслед. 2006. Т. 44. N 3. С. 258-271.

23. Брюно А.Д., Барин В.П. Первая предельная задача для уравнения колебаний спутника // Препр. N 124 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М.; 1995.

24. Брюно А.Д., Барин В.П. Вторая предельная задача для уравнения колебаний спутника // Препр. N 128 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М.; 1995.

25. Брюно А.Д., Барин В.П. Фрактальная структура периодических колебаний спутника // Чебышевские чтения. Материалы конф., посвященной 175 год. П.Л. Чебышева, М.: МГУ, 1996, Т.1, с. 75-77.

26. Врюно А.Д., Барин В.П. Классы семейств обобщенных периодических решений уравнения Белецкого // Препр. N 64 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М.; 2002, 21 с.

27. Брюно А.Д., Барин В.П. О семействах периодических решений ограниченной задачи трех тел // Препр. N 10 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М.; 2005, 20 с.

28. Брюно А.Д., Барин В.П. Семейство Н периодических решений ограниченной задачи при больших р // Препр. N 64. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2005. 31 с.

29. Брюно А.Д., Барин В.П. Семейство к периодических решений ограниченной задачи при малых р // Препр. N 67. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2005. 31 с.

30. Брюно А.Д., Барин В.П. Порождающее семейство г периодических решений ограниченной задачи // Препр. N 36. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2006. 27 с.

31. Брюно А.Д., Барин В.П. Периодические решения ограниченной задачи трех тел при малых р // Препр. N 34. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2007. 30 с.

32. Брюно А.Д., Барин В.П. Сложные семейства периодических решений ограниченной задачи // Препр. N 35. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2007. 27 с.

33. Брюно А.Д., Барин В.П. Порождающее семейство с периодических решений ограниченной задачи // Препр. N 51 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2007. 14 с.

34. Брюно А.Д., Барин В.П. Периодические решения ограниченной задачи трех тел при малом отношении масс // Прикл. матем. и мехап. 2007. Т. 71. N 6. С. 1034-1066.

35. Брюно А.Д., Барин В.П. О семействах периодических решений ограниченной задачи трех тел // Астрон. вестн. 2008. Т. 42. N 3. С. 163-185.

36. Брюно А.Д., Барин В.П. Семейства сиг периодических решений ограниченной задачи при /х = 5 • 10~5 // Препр. N 22 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2008. 26 с.

37. Варин В.П. Локализация вырождений на семействах периодических решений ОДУ и их регуляризация // Препр. Института прикл. матем. N 22, М.; 1999.

38. Варин В.П. Периодические решения уравнения Белецкого и их вырождения // Препр. Института прикл. матем. N 23, М.; 1999.

39. Варин В.П. Симметричная аномалия и ее вычислительное примене-ниие // Препр. Института прикл. матем. N 57, М.; 2000.

40. Варин В.П. Проблема центра-фокуса и уравнения в вариациях // Препр. N 9 Института прикл. матем. им. М.В. Келдыша, М., 2001.

41. Варин В. П. Условия центра для систем близких к гамильтоновым // Препр. N 48 Института прикл. матем. им. М.В. Келдыша, М., 2001.

42. Варин В. П. Асимптотика отображение последования для некоторых полиномиальных систем ОДУ // Препр. N 34 Института прикл. матем. им. М.В. Келдыша, М., 2001, 23 с.

43. Варин В.П. Вырожденная бифуркация периодических решений ОДУ обусловленная симметрией // Препр. N 51 Института прикл. матем. им. М.В. Келдыша, М., 2002.

44. Варин В.П. Отображения последования некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений // Мат. Сборник, т. 195. N 7, с. 3-20, 2004.

45. Варин В.П. Изолированные порождающие периодические решения уравнения Белецкого // Космические исследования, 2007, т. 45, N 1, с. 1-8.

46. Варин В.П. Замкнутые семейства периодических решений ограниченной задачи трех тел // Препр. N 16. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2008. 27 с.

47. Варин В.П., Петров А.Г. Математическая модель слуховой улитки человека // Препр. N 96. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2008. 26 с.

48. Ильяшенко Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр-фокус // Функциональный анализ и его приложения, т. 6, вып. 3, 1972, 30-37.

49. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.

50. Лерман JI.M., Уманский Я. Л. О существовании петель сепаратрис в четырехмерных системах, близких к интегрируемым гамильтоповым // Прикл. матем. и механ. 1983. Т.47. Вып.З. С. 395-401.

51. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр. соч. т. 2, М.-Л: ОНТИ, 1956, 272-331.

52. Медведева Н.Б. Главный член асимптотики преобразования монодро-мии // Сиб. мат. журнал, 1997, т. 38, N 1, 135-150.

53. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

54. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов• и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

55. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения, М-.: Мир, 1980.

56. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах, т. 1, М.: Наука, 1971.

57. Садов С.Ю. Анализ функции, определяющей устойчивость вращения почти симметричного спутника // Препр. Института прикл. матем. N 84; М.; 1994.

58. Садов С.Ю. Коэффициенты осредненного уравнения колебаний спутника // Препр. Института прикл. матем. N 27, М.; 1995.

59. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью // Дифф. уравнения, 1976, т. 12, N 7, с. 1238-1246.

60. Сарычев В.А. Ориентация искуственных спутников // Итоги науки и техники. (Исслед. Косм. Простр.), 11, ВИНИТИ, Москва, 1978.

61. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования, 1977, т. 15, N 6, с. 809-834.

62. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования, 1979, т. 17, N 2, с. 190-207.

63. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметрические периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования, 1980, т. 18, N 1, с. 3-10.

64. Себехей В. Теория орбит. (Перевод с англ.) М: Наука, 1982. 656 с.

65. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. Пер. с англ. М.: Наука, 1967.

66. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

67. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // ЖВМ и МФ. 3:3 (1963), 528-538.

68. Afendikov A.L., Varin V.P. An analysis of periodic flows in the vicinity of the plane Poiseille flow // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1991. V. 10, №6. P. 577-603.

69. Afendikov A.L., Varin V.P. Bifurcations of some viscous fluid flow and transition to turbulence // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1991. V. 10, №2. Suppl: P. 13-18.

70. Bartlett J.H. The restricted problem of three bodies (1) // Kong. Dan. Vidensk, Selsk., Mat.-Fys. Skr. 1964. V. 2. N,7. 48 p.

71. Bray T.A., Goudas C.L. Three-dimensional periodic oscillations about Li, L2, and" L3 // Advances in Astronomy and Asprophysics (Z. Kopel ed.). Academic Press, N.Y. and L., 1967, V. 5, P. 71-130.

72. Breakwell Ji V., Perko L.M. Second order matching in the restricted three-body problem (small fi) // Celest. Mech. 1974. V. 9. N 4. P. 437-450.

73. Broucke M.R. Periodic orbits in the restricted three-body Problem with Earth-Moon masses // NASA Techn. Rep. 32-1168. Pasadena, 1968. 92P

74. Bruno A.B. Researches on the restricted three-body problem. II. Periodic solutions and arcs for /z = 0 // Celest. Mech. 1978. V. 18. N 1. P. 9-50.

75. Bruno A.B. Researches on the restricted three-body problem. III. Properties of solutions for (i = 0 U Celest. Mech. 1978. V. 18. N 1. P. 51-101.

76. Bruno A.D. Normal form in perturbation theory // Proc. VIII. Intern. Conf. on Nonlinear Oscillations. (L.Pust, ed.). Academia: Prague. 1979, v. 1, p. 177-182.

77. Bruno A.D. On periodic flybys of the moon // Celest. Mech. 1981. V. 24. N 3. P. 255-268.

78. Bruno A.D. Singular perturbations in Hamiltonian Mechanics // Hamiltonian Mechanics (J.Seimenis, ed.). Plenum P.:N.Y., 1994. p. 4349.

79. Bruno A.D., Varin V.P. Singularities of oscillations of a satellite on highly eccentric elliptic orbits // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications 30:4 (1997) 2541-2546.

80. Bruno A.D., Varin V.P. The limit problems for the equation of' oscillations of a satellite // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 67, 1997, №1, 1-40.

81. Bruno A.D., Varin V.P. Generalized periodic solutions^to the equation of oscillations of a satellite // ZAMM 79: Supplement 2 (1999) S283-S284.

82. Bruno A.D., Varin V.P. Classes of families of generalized periodic solutions to the Beletsky equation // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 88, 2004, 324-341.

83. Colombo G., Franklin F.A., Munford C.M. On a family of periodic orbits of the restricted three-body problem and the question of the gaps in the asteroid belt and in Saturn's ring // Astron. J. 1968. V. 73 N 2. P. 111-123.

84. Dulac H. Solutions d'un systeme d'equations differentiielles clans le voisinage des valeurs singulières // Bull. Soc. Math, de France. 1912, v. 40, pp. 324-383.

85. Edneral V.F. Computer evaluation of cyclicity in planar cubic system // Proceedings of the ISSAC'97 (ed. by W.Kuchlin), N.Y.: ACM, 1997, p. 305-309.

86. Hénon M. Exploration Numérique du Problème Restreint. I Masses égales, orbites périodique // Ann. Astrophys. 1965, V. 28, N. 3. P. 499511.

87. Hénon M. Exploration numerique du problème restreint. II. Mass égalés, stabilité des orbites périodiques // Ann. astrophys. 1965, t. 28, N 6, p. 992-1007.

88. Hénon M. Sur les orbits interplanetaires qui rencontrent deux fois la terre // Bull, astron. Ser. 3. 1968. T. 3. №3. P. 377-402.

89. Hénon M. Numerical extrapolation of the restricted problem. V. Hill's case: Periodic orbits and their stability // Astron. and Astrophys. 1969. V. 1. N. 2. P. 223-238.

90. Hénon M. Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem.

91. Equal masses // Astron. and Astrophys. 1973. V. 28. P. 415-426.

92. Hénon M. Vertical stability of- periodic orbits in the restricted problem.1.. Hill's case // Astron. and Astrophys. 1974. V. 30. P. 317-321.

93. Hénon M. Generating families of the restricted three-body problem. Springer, Berlin etc., LNP NsM 52, 1997. 278 p.

94. Hénon M. Generating families of the restricted three-body problem. II. Quantitative Study of Bifurcations. Springer, Berlin'etc., LNP NsM 65, 2001. 301 p.

95. Hénon M., Guyot M. Stability of periodic orbits in the restricted problem // Periodic Orbits, Stability and Resonances (G.E.O. Giacaglia. ed.), Dordrecht-Holland: D. Reidel P.C, 1970. P. 349-374.

96. Hitzl D.L., Hénon M. The stability of second species periodic orbits in the restricted problem (fi = 0) // Acta Astronaut. 1977. V. 4. P. 1019-1039.

97. Hitzl D.L., Hénon M. Critical generating orbits for second species periodic solutions of the restricted problem // Celest. Mech. 1977. V. 15. N 4. P. 421-452.