Особенности рассеяния и фотоионизации при взаимодействии ультракоротких лазерных импульсов с плазмой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Храмов Егор Сергеевич

• Храмов Егор Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Храмов Егор Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Взаимодействие ультракоротких импульсов лазера на свободных электронах со внутренними электронными оболочками атомов твёрдого тела

1.1. Физико-математическая модель импульсов лазера на свободных электронах

1.2. Фотоионизация К-оболочки атомов твёрдого тела импульсом рентгеновского лазера на свободных электронах

1.3. Временные зависимости спектра импульса лазера на свободных электронах, зависимость вероятности ионизации внутренних электронных оболочек атомов твёрдого тела от времени

1.4. Результаты и выводы Главы

ГЛАВА 2. Рассеяние ультракоротких лазерных импульсов в максвелловской плазме

2.1. Рассеяние УКЛИ на свободном электроне. Релятивистский случай

2.2. Рассеяние УКЛИ на атомах в высокочастотном приближении

2.3. Томсоновское рассеяние ультракоротких лазерных импульсов в максвелловской плазме

2.4. Рассеяние УКЛИ на плазмонах в максвелловской плазме

2.5. Переходное рассеяние УКЛИ в максвелловской плазме

2.6. Результаты и выводы Главы

ГЛАВА 3. Рассеяние ультракоротких лазерных импульсов в плотной плазме

3.1. Рассеяние УКЛИ на связанных электронах плотной плазмы в резонансном приближении

3.2. Рассеяние УКЛИ на ионных сферах плотной плазмы

3.3. Результаты и выводы Главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

УКЛИ - ультракороткий лазерный импульс

ЛСЭ - лазер на свободных электронах WDM - warm dense matter

т-зависимость - зависимость какой-либо величины, характеризующей процесс взаимодействия излучения и вещества, (как правило, вероятности) от длительности импульса.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы и степень проработанности темы диссертации

Генерация фемтосекундных и субфемтосекундных лазерных импульсов -одно из важных направлений развития современной лазерной физики. Существует множество работ, посвящённых различным методикам временной компрессии импульсов вплоть до десятков аттосекунд [1]. Помимо перспективных прикладных применений в широком диапазоне областей (биология, медицина [2], наноиндустрия [3] и др.), ультракороткие лазерные импульсы открывают новые горизонты в теоретических исследованиях. Тем не менее, на этом пути возникает существенная проблема: физические модели, в рамках которых лазерные импульсы можно считать квазимонохроматическими, а оператор возмущения в представлении взаимодействия не зависящим от времени, теряют свою применимость, поскольку спектральная ширина УКЛИ соизмерима со спектральной шириной сечений процессов, а их длительность слишком мала, чтобы полагать поток излучения стационарным. Таким образом, требуется адаптация существующих подходов, сформулированных в терминах вероятности в единицу времени, на случай УКЛИ и изучение качественных особенностей процессов, обусловленных экстремальными длительностями импульсов.

Литературный обзор показал, что существует множество работ посвящённых описанию взаимодействия УКЛИ с различными системами. Коллектив исследователей САФУ (рук. проф. Матвеев В.И.) в рамках приближения мгновенных возмущений описал широкий спектр процессов рассеяния в поле УЛКИ [4, 5]. Помимо этого, не было найдено каких-либо подходов, обобщённых на целый класс процессов. Найденные решения есть частные, применимые к конкретно рассматриваемым проблемам методы, которые не могут быть универсализированы на различные системы.

Эксперименты с применением лазеров на свободных электронах находятся в фокусе внимания большого числа научных групп в связи с уникальностью результатов, достигаемых за счёт высоких интенсивностей и малых длительностей

импульсов ЛСЭ. В работах [6, 7] представлено детальное описание параметров импульсов такого рода. Тем не менее, в указанных источниках отсутствует математически-формализованная модель импульсов, учитывающая случайность параметров спайков. В работе [8] представлена модель временной и спектральной зависимости импульсов ЛСЭ, которая является частным случаем, опирающимся на данные, полученные в ходе эксперимента на гамбургском ЛСЭ (FLASH) [9].

В работе [10] рассматривалось рассеяние на свободном электроне в терминах полной вероятности за всё время действия импульса в нерелятивистском пределе. Существует множество методов для описания процессов в высокочастотных полях [11], однако они не применимы для описания УКЛИ. Спектры рассеяния УКЛИ на атомных и молекулярных мишенях в приближении мгновенных возмущений были рассмотрены в статьях [4, 5, 12, 13]. Тем не менее, в них не было изучено влияние длительности импульса на спектр. Более того, данное приближение налагает жёсткие ограничения на величину длительности.

Поскольку рассеяние в плазме в режиме коллективного взаимодействия электронов с излучением является важным процессом для диагностики плазмы, существует множество экспериментальных работ по рассеянию коротких лазерных импульсов. Например, авторы статьи [14] представили отчёт об измерении спектра рассеяния лазерного импульса длинной 0.7 нс на ионно-акустических волнах золотой плазмы. В работе [15] описывается экспериментально полученный спектр рассеянного субпикосекундного импульса в плазме. Более поздняя работа [16] посвящена исследованию нелинейного томсоновского рассеяния импульса длиной порядка 10 фс в гелиевой плазме. Также в работе [17] описаны результаты эксперимента по нелинейному томсоновскому рассеянию. Тем не менее, теоретических работ, содержащих анализ зависимости вероятности от длительности импульса, по данной тематике найдено не было.

В работах [18] и [19] представлена методика расчёта сечения рассеяния на связанных электронах плотной плазмы в рамках квантово-механической версии температурозависимой модели Томаса-Ферми и импульсного приближения

соответственно. К настоящему времени в литературе не найдены работы, посвящённые рассеянию УКЛИ на связанных электронах в плотной плазме.

УКЛИ широко используются для изучения плазмы в состоянии WDM [20]. В работе [21] описывается метод исследования электронной структуры WDM, где в качестве импульса накачки используется импульс титан-сапфирового лазера длительностью 150 фс. В статье [22] приводятся некоторые идеи о применении УКЛИ для экспериментов с WDM, представлены примерные модели экспериментов с золотыми и оловянными мишенями. Теоретических работ, в которых описывались бы особенности протекания фотопроцессов в WDM, зависящие от длительности УКЛИ, найдено не было.

В данной работе мы предлагаем расширение на случай УКЛИ вероятностного описания в рамках первого и второго порядка квантово-механической теории возмущения процессов фотоионизации и рассеяния в плазменных системах в терминах полной вероятности за всё время действия импульса, а также мгновенной вероятности в течение действия импульса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности рассеяния и фотоионизации при взаимодействии ультракоротких лазерных импульсов с плазмой»

Цель работы

Целью данной работы является адаптация и расширение традиционных физико-математических моделей, описывающих фотопроцессы в плазме, на случай ультракоротких лазерных импульсов, и изучение с их помощью качественных особенностей данных процессов, обусловленных экстремально короткими длительностями импульсов. Для исследования выбраны такие процессы как:

• Фотоионизация внутренних электронных оболочек атомов твёрдого тела;

• Рассеяние на свободных электронах, включая релятивистский случай;

• Рассеяние импульсов на атомах в высокочастотном приближении;

• Томсоновское рассеяние в максвелловской плазме;

• Рассеяние на плазмонах в максвелловской плазме;

• Переходное рассеяние в максвелловской плазме;

• Рассеяние на связанных электронах плотной плазмы;

• Рассеяние на ионных сферах плотной плазмы.

Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие задачи:

• Разработана модель импульсов ЛСЭ со случайными параметрами;

• Изучены спектральные и временные зависимости вероятности фотоионизации внутренних электронных оболочек атомов твёрдого тела в поле импульсов ЛСЭ;

• Изучено рассеяние ультракоротких рентгеновских импульсов на свободных электронах, включая релятивистский случай;

• Проанализирована временная динамика вероятности рассеяния УКЛИ на атомах в высокочастотном пределе;

• Получены аналитические выражения, описывающие вероятность томсоновского и переходного рассеяния, а также рассеяния на плазмонах в максвелловской плазме под действием УКЛИ;

• Рассчитаны и проанализированы зависимости вероятности рассеяния УКЛИ на связанных электронах плотной плазмы в резонансном приближении.

• Предложен метод расчёта вероятности рассеяния УКЛИ в плотной плазме в рамках модели ионных сфер.

Научная новизна работы

1. Впервые построена модель импульсов лазера на свободных электронах, работающего в режиме самоусиленной спонтанной эмиссии, учитывающая случайность параметров генерируемых спайков, с помощью которой была проанализирована зависимость вероятности фотоионизации К-оболочек атомов алюминия твёрдого тела от параметров импульса ЛСЭ, а также была изучена временная динамика вероятности процесса.

2. Впервые рассмотрены спектрально-временные зависимости вероятности рассеяния импульсов УКЛИ на атомах в высокочастотном пределе.

3. Впервые получены аналитические выражения для расчёта вероятности рассеяния в максвелловской плазме по томсоновскому и переходному каналу в

поле УКЛИ, с помощью которых детально изучена динамика нелинейного участка зависимости вероятности от длительности УКЛИ. 4. Впервые изучено рассеяние УКЛИ на связанных электронах ионов в плазме в терминах полной вероятности за время действия импульса при различных плотностях плазмы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанные модели для описания процессов в терминах полной вероятности за всё время действия импульса и мгновенной вероятности в течение действия УКЛИ адаптируют стандартные подходы к описанию процессов в поле лазерного излучения для ультракоротких импульсов. Разработанные методы расчёта является важным теоретическим результатом, который открывает широкое поле для дальнейших исследований в области кинетики фотоиндуцированных процессов и физики плазмы.

Построение модели импульсов лазера на свободных электронах теоретически значимо, поскольку существующие модели имеют достаточно узкий спектр применения. Предлагаемая же в данной работе модель позволяет описать широкий ряд фотопроцессов, инициированных излучением ЛСЭ с высокой вариативностью параметров импульсов. Также полученная модель импульсов ЛСЭ может быть актуальна при теоретической разработке и совершенствовании методов генерации, равно как и диагностики экзотических состояний вещества, идентичного внутренней материи звёзд и ядер планет. Описанные эффекты взаимодействия УКЛИ со внутренними электронными оболочками атомов твёрдого тела представляют интерес для задач рентгеновской спектроскопии.

Исследованные особенности, обусловленные экстремально короткими длительностями импульсов, могут использоваться как теоретический базис в усовершенствовании существующих методов диагностики плазмы различного типа. Представленные в работе результаты дают ключ к экспериментальному исследованию спектральных характеристик процессов, прямое измерение которых

затруднено из-за недостаточной разрешающей способности приборов по сравнению с шириной спектра сечения (например, высокодобротные плазмонные колебания).

С развитием и распространением фемто- и субфемтосекундных лазеров полученные результаты могут быть также применены в исследованиях твёрдотельных структур, в задачах метрологии и сверхточного контроля химических реакций.

Методология и методы исследования

Описание фотопроцессов в поле УКЛИ выполнено в терминах полной вероятности за всё время действия импульса, а также мгновенной вероятности в течение действия УКЛИ на основе спектральных характеристик сечения процесса. Расчёт вероятности базируется на методах квантовой механики и электродинамики. Описание коллективных процессов в максвелловской плазме строится на приближении случайной фазы и приближении Салпитера. Для описания рассеяния на веществе в состоянии warm dense matter была применена модель ионной сферы.

Положения, выносимые на защиту

1. В случае УКЛИ, в отличии от монохроматических импульсов, спектральный профиль вероятности фотоионизации внутренних электронных оболочек атомов твёрдого тела зависит не только от свойств сечения, но и от длительности импульса.

2. Вероятность рассеяния на атоме в высокочастотном приближении изменяется немонотонно в течение действия импульса, когда параметр неадиабатичности (произведение параметра длительности импульса на модуль разности несущей и рассеянной частоты) больше единицы.

3. Аналитические выражения, описывающие полную спектрально-угловую вероятность томсоновского и переходного рассеяния УКЛИ в максвелловской плазме при углах рассеяния более 10°.

4. Угловая зависимость вероятности томсоновского рассеяния УКЛИ на фиксированной частоте рассеяния не равна нулю при малых углах из-за вклада плазмонных колебаний в полную вероятность за счёт спектральной ширины УКЛИ, несмотря на то, что их частоты отстроены от несущей и рассматриваемой частоты рассеяния.

5. Увеличение плотности плазмы влияет на вид немонотонных участков зависимости вероятности резонансного рассеяния УКЛИ на связанных электронах от длительности импульса.

6. Зависимость интегральной по углу вероятности рассеяния УКЛИ на ионной сфере от длительности импульса имеет немонотонный характер в линейном по интенсивности поля режиме при несущих частотах, отстроенных от усреднённой плазменной частоты ионной сферы.

Степень достоверности и апробация результатов работы

Достоверность диссертационной работы основана на применении общепринятых физических методов и строгих математических моделей, непротиворечивости выводов и их соответствии представлениям классической физики. Все результаты прошли процедуру рецензирования при публикации в ведущих в данной области научных изданиях, а также были апробированы на всероссийских и международных конференциях.

Основные результаты представлены на следующих всероссийских и международных конференциях:

1. 41st PhotonIcs & Electromagnetics Research Symposium, PIERS 2019 in Rome (Рим, Италия, 2019 г.);

2. 31st International Conference on Photonic, Electronic, and Atomic Collisions (Довиль, Франция, 2019 г.);

3. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, Россия, 2020 г.).

Публикации

Материалы диссертации представлены в 8 статьях, 7 из которых

опубликованы в рецензируемых журналах, внесенных в перечень ВАК (2-8), 6

входят в базы данных Web of Science и/или Scopus (2-7):

1. V.A. Astapenko, E.S. Khramov. Peculiarities of Double Differential Scattering Probability of Ultrashort X-ray Pulses by Free Electron // International Review of Atomic and Molecular Physics. - 2018. - Vol. 9. - No 1. - P. 1-6.

2. F.B. Rosmej, V.A. Astapenko, V.S. Lisitsa, Xiangdong Li, E.S. Khramov. Scattering of Ultra-Short Laser Pulses on "Ion-Sphere" in Dense Plasmas // Contributions to Plasma Physics. - 2019. - Vol. 59. - No 2. - P. 189-196.

3. V.A. Astapenko, F.B. Rosmej, V.S. Lisitsa, E.S. Khramov. Thomson scattering in plasmas: Theory generalization for ultrashort laser pulse effects // Physics of Plasmas. - 2020. - Vol. 27. - No 8. - P. 083301.

4. V.A. Astapenko, F.B. Rosmej, E.S. Khramov. Time Dependence of Ultra-Short Laser Pulses Scattering by Atom in High Frequency Limit // Atoms. - 2020. - Vol. 8. - No 3. - P. 41.

5. F.B. Rosmej, V. A. Astapenko, E. S. Khramov. XFEL and HHG interaction with matter: Effects of ultrashort pulses and random spikes // Matter and Radiation at Extremes. - 2021. - Vol. 6. - No 3. - P. 034001.

6. V. A. Astapenko, F.B. Rosmej, E. S. Khramov. Scattering of ultrashort laser pulses on plasmons in a Maxwellian plasma // Matter and Radiation at Extremes. - 2021. -Vol. 6. - No 5. - P. 054404.

7. V. A. Astapenko, F.B. Rosmej, E. S. Khramov. Scattering of ultrashort laser pulses in Maxwellian plasmas: Transition scattering // Physics of Plasmas. - 2021. - Vol. 28. - No 10. - P. 102104.

8. Астапенко В.А., Храмов Е.С. Резонансное рассеяние ультракоротких рентгеновских импульсов на связанных электронах в плотной плазме // Труды МФТИ. - 2021. - Т. 13. - № 4. - С. 76-85.

Связь с научными программами

Соискатель являлся исполнителем следующих проектов по теме диссертации:

1. Государственное задание №3.9890.2017/8.9 по теме: «Взаимодействие ультракоротких электромагнитных импульсов с естественными объектами и наноструктурами».

2. Грант РФФИ №^19-32-90016 по теме: «Поглощение и рассеяние ультракоротких импульсов лазера на свободных электронах в плотной плазме»

3. Проект МФТИ в рамках программы 5-топ-100 (мероприятие 1.1.3 «Привлечение для научного руководства ученых мирового уровня на позиции визит-профессоров») по теме: «Электромагнитные процессы в поле ультракоротких лазерных импульсов»

Личный вклад автора

Основные результаты диссертационной работы были получены лично соискателем, либо при его непосредственном участии. Соискатель принимал участие в постановке задач, разработке методов их решения, аналитических и численных расчетах, а также внёс весомый вклад в анализ и представление полученных результатов на страницах научных изданий и в ходе публичных выступлений.

Благодарности

Соискатель выражает особую благодарность научному руководителю диссертационной работы профессору, доктору физ.-мат. наук Астапенко Валерию Александровичу за переданные знания, постановку интересных задач, плодотворные дискуссии, а также терпение и поддержку в течение всего периода совместной работы.

Соискатель выражает отдельную благодарность у заслуженному профессору Сорбонны Франку Бернарду Росмей за всестороннее содействие в проведении исследований, помощь в разработке концептов для решения поставленных задач и наставления при подготовке научных публикаций.

Соискатель признателен профессору, доктору физ.-мат. наук Лисице Валерию Степановичу за многочисленные консультации и идеи, послужившие важную роль в решении поставленных задач.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, формулировки основных результатов и выводов, и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 126 стр. и содержит 60 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 85 наименований.

ГЛАВА 1. Взаимодействие ультракоротких импульсов лазера на свободных электронах со внутренними электронными оболочками атомов твёрдого тела

1.1. Физико-математическая модель импульсов лазера на свободных электронах

Физика плазмы рассматривает статистические свойства систем, содержащих большое количество заряженных частиц. В основе коллективных процессов, протекающих в данных системах, лежат дальнодействующие кулоновские силы. При увеличении плотности и понижении температуры плазма начинает проявлять свойства конденсированного вещества, в котором значение близкодействующих сил соизмеримо с дальнодействующими. Т.е. мы имеем дело с сильнокоррелированной многочастичной кулоновской системой, в которой эффекты, обусловленные квантовой статистикой, а также сложной взаимосвязью между молекулярными, атомными и ядерными процессами, играют важную роль [23, 24]. Микроскопические свойства плазмы зависят от фазовых переходов, которые в свою очередь влияют на макроскопические свойства вещества. Благодаря этому возможны фазовые переходы металл-диэлектрик [25], упорядочивание и хаотизация молекулярных структур [26], химическое разделение [27] и т.д.. Примерами сильно-коррелированных экстремальных состояний является плотная сильносвязанная плазма (dense strongly coupled plasma) и тёплая плотная материя (WDM). Теоретическое описание такого вещества является крайне сложной задачей [20], поскольку методы статистической термодинамики при столь сильных близкодействующих взаимодействиях утрачивают применимость [20, 28]. Т.к. теоретические модели процессов плотной материи не обеспечивают удовлетворительного описания, требуются эксперименты. Для зондирования материи, обладающей высокой плотностью, с достаточным пространственным разрешением требуется оперировать излучением рентгеновского диапазона [29]. Существенным барьером для рентгеновской диагностики является тот факт, что в описываемых экстремальных состояниях материя практически не излучает волн

рентгеновского диапазона и нужно искусственным образом инициировать в мишени данный процесс. Один из существующих методов основан на использовании лазеров с высокой интенсивностью излучения: взаимодействие лазерного импульса с материей порождает супратермальные электроны ehot, которые в свою очередь ионизируют внутренние электронные оболочки атомов мишени с последующим излучением в рентгеновском диапазоне [30-32]. Например, реакция ионизации К-оболочки частично ионизированной меди с испусканием рентгеновского излучения вследствие перехода электрона c L-оболочки на K-оболочку имеет вид:

K2L8Mx + ehot ^ K1L8MX + 2е^ К2Ь7МХ + 2е + ЪшКа. (1.1.1)

здесь верхние индексы обозначают число электронов на соответствующих оболочках, x - показывает степень ионизации (например, х = 18 для однократной ионизации меди, x = 17 для двухкратной, и т.д.), юКа - частота Ka перехода.

Другой метод схож с предыдущим, но вместо бомбардировки супратермальными электронами мишень облучают рентгеновским импульсом лазера на свободных электронах [33-36]:

K2L8MX + h^XFEL ^ K1L8MX + ephoto ^ K2L7Mx + eph0t0 + hc*Ka. (1.1.2)

Данный метод имеет существенное преимущество - возможность варьировать параметры импульса ЛСЭ (в частности, несущую частоту и длительность), а экстремально малые длительности обеспечивают высокую разрешающую способность по времени [29], что делает ЛСЭ исключительным инструментом для фундаментальных исследований [37, 38].

Спайки ЛСЭ работающего в режиме самоусиленной спонтанной эмиссии (SASE mode) [39] имеют случайные параметры, что создаёт дополнительные трудности при теоретическом и экспериментальном исследовании процессов в поле импульсов ЛСЭ. Чтобы проанализировать общие особенности разных стохастических реализаций, мы предлагаем физико-математическую модель

излучения ЛСЭ в рамках которой, импульс представлен серией ультракоротких гауссовых импульсов (спайков) со случайными в общем случае значениями времён генерации и начальными фазами. В свою очередь, временная зависимость серии спайков имеет гауссову огибающую. Данные положения можно формализовать как:

n ( Л (if — f л2 Л E(t) = E0£ exp - j exp[ -i^j- |[cos(®e(t -1,) + )]. (1.1.3)

-o 4

j=1

V J

здесь ф] - момент максимума амплитуды и начальная фаза у-го спайка соответственно. т, Т - характерная длительность спайка и огибающей всей серии спайков соответственно. юс - несущая частота импульса. Ео - амплитудный множитель напряжённости поля. Далее, если не оговорено иного, Е0 = 1 ат.ед. (напряжённость поля на первой боровской орбите). В настоящей главе приводится сравнение воздействия импульса (1.1.3) и одиночного гауссова импульса с характерной длительностью Т, соответствующего огибающей серии спайков. Также в дальнейших главах рассматриваются процессы под действием УКЛИ, электрическое поле которых моделируется гауссовым импульсом:

E(t) = E0 exp

f t2 >

2T2 V 2T J

cos1

(vct + p). (1.1.4)

На Рис.1.1.1 представлена временная зависимость интенсивности смоделированного импульса ЛСЭ, пропорциональная квадрату напряжённости поля.

Спектральная плотность такого импульса может быть получена путём преобразования Фурье формулы (1.1.3):

ВД = ^Еот^ехр^ + Щ) [ехр (-0у - ^^р!) + ехр(^- - <2+^)]. (1.1.5) где ю - аргумент преобразования Фурье.

Спектральная плотность огибающей серии спайков:

Е (а) =.

!§ ЕТ

ехр

-гф--

)2Т

+ ехр

гф

22

(а + а )2Т

(1.1.6)

Рис.1.1.1 Зависимость интенсивности от времени для импульса ЛСЭ с параметрами:

Т = 20 фс, т = 0.1 фс, Юс = 1560 эВ, п = 20.

Приведём более детальнее описание распределения случайных спайков внутри огибающей и их начальных фаз. Для того чтобы спайки не перекрывались, следует ввести следующее ограничение на максимальное число спайков:

«шах <

Т

т

(1.1.7)

Время максимума амплитуды ]-го спайка при равномерном распределении внутри огибающей задаётся формулой:

4 =

кТ

2

2к -1

п

-1 I, ] = 1, п, п < пп

(1.1.8)

2

2

V

здесь кТ- реальная длительность импульса огибающей, параметр к примерно равен 6-8.

Полудлина интервала между концом ]-го спайка и началом (]+1)-го равна:

Л, =к (Т-т). О.Щ

Для более реалистичной аппроксимации генерируемых на практике импульсов будем считать, что начальная фаза ф] каждого стохастического спайка равномерно распределена на интервале [-п; п], а времена максимумов спайков 1] -равномерно на интервалах -Л 1; ^ + Л1 ] соответственно.

Энергетической мерой сигнала определим величину Вюь равную:

+ад

\ Е1(г)йг. (1.1.10)

Чтобы получить аналитическое выражение для энергии воспользуемся свойством преобразования Фурье [40]:

над л ад

\ Е \г)ёг = -1 ||Е(а)|2 йа. (1.1.11)

-ад —ад

] ^еХР\2Т2+ >) (еХР 1(р]--2-) + еХР \1(р1--2-))

V ( ■ А( I- (Щ-Щс)2?2^ ( . (Щ + Щс)2т2\\, ^ехр\-^2-ш Ьк ) I ехр I 1рк----\ + ехр(-1рк----) )йш =

= 1Е°2т2^^ехр(-~12+г~) I [ехР(- 1(Р) - (к) — (Щ-Щс)2?2) +

]=1к=1

+ ехр( — рк) — (ы + шс)2т2) + 2 ехр( — (ы2 + шс2)т2) cos(рj + рк)] ехр(ш(1] — Ьк))с1ы

Интегрируя данное выражение, получаем формулу:

( + (ь — ¡к)

]=1к=1

£ 1о I

2Т2 4т2

[ехр(—ш2т2) сов(р] + (к) + соэ[шс(^ — 1к) — (р] — (к)]] (1.1.12)

—со

Аналогичным образом получаем энергию огибающей серии спайков:

Stot

- Е 02Т 2 0

1 + ехр(-сс 2Т2) 008(2^)]

(1.1.13)

Рис.1.1.2 содержит кривые спектральной плотности импульса ЛСЭ в режиме регулярной и стохастической генерации, а также импульс, соответствующий скорректированному гауссовому импульсу с длительностью как у огибающей серии спайков. Несмотря на равную длительность, импульс ЛСЭ и одиночный гауссов импульс имеют разную спектральную ширину. Это обусловлено тем, что ширина спектра импульса ЛСЭ пропорциональна величине 1/т, а ширина спектра одиночного - величине 1/Т. Спектр регулярных спайков представлен гребёнкой эквидистантных пиков, отстоящих друг от друга на величину 2пп/хТ. Ширина пиков равна 4п/хТ. Спектр стохастических спайков имеет вид шума, амплитуда которого максимальна при частоте равной несущей и спадает при удалении от этой частоты. Несмотря на примерно равное значение энергии импульсов ЛСЭ в обоих рассматриваемых режимах, их амплитуды различаются на порядок. Это связано с тем, что в режиме регулярных спайков вся энергия сосредоточена в узких спектральных пиках, а в случае стохастических спайков она распределена по всей спектральной полосе импульса. При увеличении числа спайков энергия импульса возрастает, т.к. упаковка спайков в огибающей становится плотнее.

Теперь получим формулу математического ожидания квадрата модуля спектральной плотности импульса ЛСЭ М[|Е(ю)|2]. Для упрощения вычислений введём следующие переменные в формуле (1.1.5):

=

—ЕоТ ехр

f 2 \

tj ■

+

2Т2 1

V У

У. =

ехр

{со-юс )~т

22

+ ехр

(с+сс У*

22

Как видим, {х ] , {у }п - набор из 2п независимых случайных величин. Тогда математическое ожидание квадрата спектральной плотности можно записать как:

М

Е (с)|

=М

1=1

к=1

£ £м [х^У* ]=£ £м \XjXl ]м [уу* ]. (1.1.14)

1=1 к=1

1=1 к=1

2

2

2

В случае, когда к^д выражение М[УдУк*] равняется произведению мат. ожиданий: М[УдУк*] = М[Уд]М[Ук*].

Рис.1.1.2 Нормированная на энергию спектральная плотность сигналов: ЛСЭ в режиме генерации регулярных и стохастических спайков, гауссов импульс эквивалентный огибающей серии спайков. Параметры импульсов: Т = 10 фс, т = 0.1 фс, Юс = 1560 эВ, п = 70.

Поскольку случайные величины ^ и ф] имеют прямоугольное распределение, плотности вероятности р(1д) и р(фО - константы равные 1/2Д1 и 1/2п соответственно.

M[Yj] = J^ Yjp(<pj)d<pj = — Ц

(ш — шс)2т

1

2п

exp

_ 1 п

п

2„-2\ гп

exp I —ipj

(ш — шс)2т2

2

+ exp I ipj

(ш + шс)2т2

2

=

2

,п / (ш + ш )2j2\ гП

J exp(—ipj) dpj + exp (---) J exp(jpj) dp

exp

(ш — шс)2т2 2

sin п + exp I —

( ш + шс)2т2 _2

sin п

= 0 .

Поскольку М[У|] = 0, то (1.1.14) может быть переписана как:

1 п п г -ш г 1 п

М |Е(с)2 ] = £ £м\Xj.x* ]м[111* ]ё1к = £м

1 |2 1 2

M \Yj\ .

j =1 k=i

j=1

М

X.

т^ 2 2 +ад

ж Е0 т

exp

Т

V У

2_2 'У +Д< ( , 2 Л

. . , ж Е0 т Г ^= —^- | exp

4А

' -А,

3

Т

V У

=

ж2 Е0 т2Т

8А,

ег/

+ А ^

""Т

V У

- ег/

О0 -А 'у А,

Т

V У

М

]= J[exp(- (ю - юс)2т2)+ exp(- (ю + юс)2т2)+ 2exp(-(ffl2 + юс2)т2)cos2ф;]p(ф;^ф]

-ад

= exp(-(ffl -юс)2т2)+ exp(-(ffl + юс)2т2)+ — exp(-(ffl2 + юс2)т2)Жcos2ф;.dфj

ТГ »

= exp(-(ffl -юс)2т2)+ exp(-(ffl + юс)2т2).

В конечном итоге формула мат. ожидания квадрата модуля спектральной плотности приобретает вид:

М

Е (ю)Г

ж2 Е02т2Т

8А,

exP(- (ю - юс )2 т')+ exP(- (ю + юс )2 )]

■2

У=1

( +о , Л Л г,о А Л

ег/

'У +А,

Т

- ег/

'У -А,

Т

(1.1.15)

Согласно (1.1.15), кривая математического ожидания имеет гауссову форму. Примечательно, что график мат. ожидания является средней кривой для стохастических спайков на Рис.1.1.3.

Вычислим математическое ожидание энергии импульса, используя формулу (1.1.13) и свойство мат. ожидания суммы:

М [еш ] = М

2ж л[жЕг, 2Тт

| ад | ю

— j | Е(ю)2 dю = — j М [| Е (ю)2 ^ю

16А

2

, У=1

ег/

] ' V ~Г У

- ег/

0 -А ' ] А,

Т

j[exp(- (ю - юс)2 т2)+ exp(- (ю + юс)2 т2 )}ю .

Вычисляя интеграл, получаем окончательное выражение для математического ожидания энергии спайков:

жЕ Тт "

м [вы ] = жЬ^Тт 2

8А

, У=1

Л" , А Л Гл> Л Л

ег/

,0 + А,

Т

- ег/

,0 -А

'у а ,

Т

(1.1.16)

2

2

ад

ж

3

-ад

Рис.1.1.3 Квадрат модуля спектральной плотности импульса ЛСЭ для режима регулярных спайков, стохастических спайков, а также мат. ожидание этой величины. Параметры импульса:

Т = 20 фс, т = 0.1 фс, Юс = 1560 эВ, п = 20.

Рис.1.1.4 Зависимость энергии импульса ЛСЭ от несущей частоты при разных параметрах импульса. Сплошные линии соответствуют мат. ожиданию, ломаные линии - режиму случайных спайков, в котором для каждого значения несущей частоты генерировался уникальный набор случайных параметров спайков.

Примечательно, что согласно формуле (1.1.16) мат. ожидание энергии не зависит от несущей частоты сигнала, в отличие от формулы (1.1.12). Так же проиллюстрированные на Рис.1.1.4 кривые демонстрируют отсутствие зависимости энергии от несущей частоты (в отличие от числа и длительности спайков) и совпадение расчётов по формулам (1.1.12) и (1.1.16). Данный факт объясняется тем, что в двойную сумму в (1.1.12) основной вклад вносят элементы, для которых выполняется к = а в этом случае, учитывая юст >> 1, все множители, содержащие несущую частоту, обнуляются. Таким образом, справедливо приближённое выражение для (1.1.12):

Взятие операции математического ожидания от (1.1.17) также приводит к формуле (1.1.16).

(1.1.17)

1.2. Фотоионизация К-оболочки атомов твёрдого тела импульсом рентгеновского лазера на свободных электронах

В данном параграфе мы применяем разработанную в параграфе 1.1 физ.-мат. модель импульса ЛСЭ для изучения процесса фотоионизации К-оболочки атома А1.

Ключом к описанию процесса фотоионизации внутренних электронных оболочек атомов твёрдого тела в терминах вероятности является спектральный профиль сечения поглощения, который в рамках дипольного приближения с использованием оптической теоремы может быть выражен через динамическую поляризуемость атома [41]:

(®)= . (1.2.1)

с

с - скорость света в вакууме, а(ю) - динамическая поляризуемость атома.

В свою очередь динамическая поляризуемость может быть выражена через мнимую и действительную часть атомного фактора рассеяния ^(ю), :2(ю) [42]:

е2

аС") = ^ + ^С")]- (12 2)

Из (1.2.1), (1.2.2) получаем выражение для спектра сечения поглощения:

4яе2

= —-/2М- (123)

ШеСш

здесь Ше, е - масса и заряд электрона соответственно.

Чтобы рассчитать спектр сечения поглощения при произвольной температуре мы ввели следующую аппроксимационную формулу, учитывающую запрет Паули:

0) = + ^ '- (1.2.4)

Температурная зависимость химического потенциала ц(©) рассчитана численно с использованием алгоритма, описанного в работе [43]. Порог ионизации К-оболочки атома алюминия равен Ьюьп = 1559.6 эВ [44], температура Ферми = 12 эВ [45]. Подгоночные коэффициенты С1 = 2.07-10-20 см2, С2 = 9.624-108 см3/с2

были рассчитаны, исходя из экспериментальных данных о сечении поглощения при комнатной температуре.

На Рис.1.2.1 представлен спектр сечения поглощения алюминия при разных температурах. Экспериментальные данные о спектре атомного фактора рассеяния алюминия при комнатной температуре взяты из работы [44]. Как видно из графика, с увеличением температуры кривые сглаживаются.

, х10"3

^ -1-1-1-1-1-1-1-

6 5

н 4

^ 3

ей ° та

Ь

2 1

1520 1530 1540 1550 1560 1570 1580 1590 1600

и, эВ

Рис.1.2.1 Спектр сечения поглощения алюминия вблизи порога ионизации К-оболочки при

различных температурах.

Стандартная вероятностная модель, описывающая взаимодействие излучения и вещества, сформулирована для импульса, поле которого квазимонохроматично, а оператор возмущения в представлении взаимодействия не зависит от времени [46], не применима в случае ультракороткого импульса. Согласно стандартному рассмотрению в рамках квантово-механической теории возмущения, полная вероятность процесса W является произведением вероятности в единицу времени w и длительности импульса т, который можно считать монохроматическим. Однако, при малой длительности импульс состоит из

множества спектральных компонент, каждая из которых вносит свой вклад w в полную вероятность W, причём этот вклад уникален для каждой компоненты и не пропорционален т. Предлагаемый нами подход позволяет рассчитать полную вероятность фотопроцесса за всё время действия УКЛИ через функционал сечения рассматриваемого процесса а(ю) и Фурье-образа напряженности электрического поля в импульсе ЛСЭ Е(ю). Формула полной вероятности поглощения получена в рамках теории возмущения в работе [47]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Храмов Егор Сергеевич, 2022 год

- 2011.

[7]. T. Tschentscher. Layout of the X-Ray Systems at the European : тех. отч. / European X-Ray Free-Electron Laser Facility GmbH. - 2011.

[8]. T. Pfeifer, Y. Jiang, S. Düsterer, R. Moshammer, J. Ullrich. Partial-coherence method to model experimental free-electron laser pulse statistics // Optics letters. -2010. - Vol. 35. - No 20. - P. 3441-3443.

[9]. DESY - FLASH - Free-electron laser FLASH // URL: https://flash.desy.de/ (дата обращения: 09.05.2020).

[10]. V.A. Astapenko, S.V. Sakhno. Scattering of ultrashort electromagnetic pulses by a free electron in the nonrelativistic limit // International Review of Atomic and Molecular Physics. - 2014. - Vol. 5. - No 2. - P. 83-89.

[11]. E. Oks. Analytical Advances in Quantum and Celestial Mechanics: Separating Rapid and Slow Subsystems // IOP Publishing Ltd.. - Bristol, 2020.

[12]. D.N. Makarov. Quantum theory of scattering of ultrashort electromagnetic field pulses by polyatomic structures // Optics express. - 2019. - Vol. 27. - No 22. - P. 31989-32008.

[13]. A.A. Goshev, M.K. Eseev, D.N. Makarov. Scattering of Attosecond Electromagnetic Field Pulses by Atomic and Molecular Anions Including the Magnetic Field Component // Journal of Experimental and Theoretical Physics. -2020. - Vol. 130. - No 1. - P. 28-34.

[14]. B. Bo et.al. Collective Thomson scattering from laser-produced plasmas // Chinese Physics Letters. - 2001. - Vol. 18. - No 7. - P. 936.

[15]. T.E. Glover et. al. Subpicosecond Thomson scattering measurements of optically ionized helium plasmas // Physical review letters. - 1994. - Vol. 73. - No 1. - P. 78.

[16]. K.T. Phuoc. et. al. X-ray radiation from nonlinear Thomson scattering of an intense femtosecond laser on relativistic electrons in a helium plasma // Physical review letters. - 2003. - Vol. 91. - No 19. - P. 195001.

[17]. O.E. Vais, S.G. Bochkarev, V.Y. Bychenkov. Nonlinear Thomson scattering of a relativistically strong tightly focused ultrashort laser pulse // Plasma Physics Reports. - 2016. - Vol. 42. - No 9. - P. 818-833.

[18]. W.R. Johnson, J. Nilsen, K.T. Cheng Thomson scattering in the average-atom approximation // Physical Review E. - 2012. - Vol. 86. - No 3. - P. 036410.

[19]. P. Eisenberger, P.M. Platzman. Compton scattering of x rays from bound electrons // Physical Review A. - 1970. - Vol. 2. - No 2. - P. 415.

[20]. F. Graziani, M.P. Desjarlais, R. Redmer, S.B. Trickey (Eds.). Frontiers and challenges in warm dense matter. Vol. 96. // Springer Science & Business. - Berlin, 2014.

[21]. B.I. Cho et. al. Electronic structure of warm dense copper studied by ultrafast x-ray absorption spectroscopy // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106. - No 16. -P. 167601.

[22]. R. More, H. Yoneda, H. Morikami. Short-pulse lasers and electron dynamics in warm dense matter // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer.

- 2006. - Vol. 99. - No 1-3. - P. 409-424.

[23]. W.D. Kraeft, D. Kremp, W. Ebeling, G. Röpke. Quantum Statistics of Charged Particle Systems // Akademie-Verlag. - Berlin, 1986.

[24]. S. Ichmaru. Statistical Plasmas Physics: Condensed Plasmas // Westview Press. -Oxford, 2004.

[25]. I.D. Fedorov, N.D. Orekhov, V.V. Stegailov. Nonadiabatic effects and excitonlike states during the insulator-to-metal transition in warm dense hydrogen // Physical Review B. - 2020. - Vol. 101. - No 10. - P. 100101.

[26]. A.S. Bakai. Order-disorder transitions in a turbulent medium // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1981. - Vol. 2. - No 1. - P. 52-60.

[27]. G.T. Marklund. Plasma convection in force-free magnetic fields as a mechanism for chemical separation in cosmical plasmas // Nature. - 1979. - Vol. 277. - No 5695.

- P. 370-371.

[28]. R. Cheng et.al. Warm dense matter research at HIAF // Matter and Radiation at Extremes. - 2018. - Vol. 3. - No 2. - P. 85-93.

[29]. E. Lindroth et.al. Challenges and opportunities in attosecond and XFEL science // Nature Reviews Physics. - 2019. - Vol. 1. - No 2. - P. 107-111.

[30]. O. Renner, M. Smid, D. Batani, L. Antonelli. Suprathermal electron production in laser-irradiated Cu targets characterized by combined methods of x-ray imaging and spectroscopy // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2016. - Vol. 58. - No 7. -P. 075007.

[31]. O. Renner, F.B. Rosmej. Challenges of x-ray spectroscopy in investigations of matter under extreme conditions // Matter and Radiation at Extremes. - 2019. - Vol. 4. - No 2. - P. 024201.

[32]. M. Smid, O. Renner, A. Colaitis, V.T. Tikhonchuk, T. Schlegel, F.B. Rosmej. Characterization of suprathermal electrons inside a laser accelerated plasma via highly-resolved Ka-emission // Nature communications. - 2019. - Vol. 10. - No 1.

- P. 1-8.

[33]. S. Varro (Ed.). Free Electron Lasers // InTech. -Rijeka, Croatia, 2012.

[34]. Linac Coherent Laser Source // URL: https://lcls.slac.stanford.edu/ (дата обращения: 09.06.2020).

[35]. European XFEL // URL: https://www.xfel.eu/ (дата обращения: 10.04.2020).

[36]. RIKEN/HARIMA. X-ray Free Electron Laser // URL: http://xfel.riken.jp/eng/ (дата обращения: 18.12.2020).

[37]. R.W. Lee et. al. Finite temperature dense matter studies on next-generation light sources // JOSA B. - 2003. - Vol. 20. - No 4. - P. 770-778.

[38]. D. Riley. Generation and characterisation of warm dense matter with intense lasers // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2017. - Vol. 60. - No 1. - P. 014033.

[39]. H. Zhirong, K. Kwang-Je. Review of x-ray free-electron laser theory // Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams. - 2007. - Vol. 10. - P. 034801.

[40]. С.И. Баскаков. Радиотехнические цепи и сигналы. // Высшая школа. - Москва, 2005.

[41]. R.G. Newton. Optical theorem and beyond // American Journal of Physics. - 1976.

- Vol. 44. - No 7. - P. 639-642.

[42]. F.B. Rosmej, V.A. Astapenko, V.S. Lisitsa. XUV and x-ray elastic scattering of attosecond electromagnetic pulses on atoms // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2017. - Vol. 50. - No 23. - P. 235601.

[43]. F.B. Rosmej, V.A. Astapenko, V.S. Lisitsa. Plasma Atomic Physics // Springer Series on Atomic, Optical and Plasma Physics Vol. 104. - Berlin, Heidelberg, 2020.

[44]. B.L. Henke, E.M. Gullikson, J.C. Davis. X-ray interactions: photoabsorption, scattering, transmission, and reflection at E= 50-30,000 eV, Z= 1-92 // Atomic data and nuclear data tables. - 1993. - Vol. 54. - No 2. - P. 181-342.

[45]. N.W. Ashcroft, N.D. Mermin. Solid state physics. // Saunders College Publishing.

- New York, 1976.

[46]. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // Физматлит. - Москва, 2004.

[47]. V.A. Astapenko. Simple formula for photoprocesses in ultrashort electromagnetic field // Physics Letters A. - 2010. - Vol. 374. - No 13-14. - P. 1585-1590.

[48]. P.M. Platzman, P.A. Wolff. Waves and interactions in solid state plasmas. Vol. 13. // Academic Press. - New York, 1973.

[49]. A. Sitenko. Electromagnetic Fluctuations in Plasma. // Elsevier. - New York, London, 2012.

[50]. B.S. Tanenbaum. Continuum theory of Thomson scattering // Physical Review. -1968. - Vol. 171. - No 1. - P. 215.

[51]. V.A. Astapenko. Scattering of an ultrashort electromagnetic pulse in a plasma // Plasma physics reports. - 2011. - Vol. 37. - No 11. - P. 972-977.

[52]. O. Klein, T. Nishina. Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac // Zeitschrift für Physik. -1929. - Vol. 52. - No 11-12. - P. 853-868.

[53]. A.H. Compton. A quantum theory of the scattering of X-rays and X-rays by light elements // Physical Review. - 1923. - Vol. 21. - P. 207.

[54]. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Теоретическая физика. Квантовая электродинамика // Физматлит. - Москва, 2002.

[55]. V.A. Astapenko. Attosecond dynamics of photoexcitation of the hydrogen atom by ultrashort laser pulses // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 2020.

- Vol. 130. - No 1. - P. 56-61.

[56]. A.M. Dykhne, G.L. Yudin. "Jarring" of a quantum system and the corresponding stimulated transitions // Soviet Physics Uspekhi. - 1978. - Vol. 21. - No 7. - P. 549.

[57]. D.E. Evans, J. Katzenstein. Laser light scattering in laboratory plasmas // Reports on Progress in Physics. - 1969. - Vol. 32. - No 1. - P. 207.

[58]. A.I. Akhiezer, Akhiezer I.A., A.G. Sitenko. Contribution to the theory of plasma fluctuations // Sov. Phys. JETP. - 1962. - Vol. 14. - P. 462-468.

[59]. J. Chihara. Interaction of photons with plasmas and liquid metals-photoabsorption and scattering // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2000. - Vol. 12. - No 3.

- P. 231.

[60]. R. Kubo. The fluctuation-dissipation theorem // Reports on progress in physics. -1966. - Vol. 29. - No 1. - P. 255.

[61]. E.E. Salpeter. Electron density fluctuations in a plasma // Physical Review. - 1960.

- Vol. 120. - No 5. - P. 1528.

[62]. Kunze, The laser as a tool for plasma diagnostics. // North-Holland Publishing Company. - Amsterdam, 1968.

[63]. J. Sheffield, D. Froula, S.H. Glenzer, N.C. Luhmann Jr. Plasma Scattering of Electromagnetic Radiation: Theory and Measurement Techniques. // Academic Press. - 2010.

[64]. A. Dinklage, T. Klinger, G. Marx, L. Schweikhard. Plasma physics: confinement, transport and collective effects. Vol. 670. // Springer. - Berlin, Heidelberg, 2005.

[65]. A.I. Akhiezer, I.A. Akhiezer, R.V. Polovin, A.G. Sitenko, K.N. Stepanov. Plasma Electro-Dynamics. // Nauka. - Moscow, 1975.

[66]. L. Tonks, I. Langmuir. Note on "Oscillations in Ionized Gases" // Physical Review.

- 1929. - Vol. 33. - No 6. - P. 990.

[67]. J. Dawson. On Landau damping // The physics of fluids. - 1961. - Vol. 4. - No 7.

- P. 869-874.

[68]. N. Maafa. Dispersion relation in a plasma with arbitrary degeneracy // Physica Scripta. - 1993. - Vol. 48. - No 3. - P. 351.

[69]. В.А. Астапенко. Взаимодействие излучения с атомами и наночастицами. // Издательский дом "Интеллект". - Долгопрудный, 2010.

[70]. J. Zeng, Y. Li, J. Yuan. Effects of plasma screening on radiative transition and photoionization of Si10+-Si13+ in a dense plasma environment // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. - 2021. - Vol. 272. - P. 107777.

[71]. G. Faussurier, C. Blancard, P.L. Silvestrelli. Hard-Sphere variational approach using an ab initio molecular dynamics code // Physical Review B. - 2008. - Vol. 77. - No 15. - P. 155126.

[72]. Y. Sentoku et. al. Isochoric heating in heterogeneous solid targets with ultrashort laser pulses // Physics of Plasmas. - 2007. - Vol. 14. - No 12. - P. 122701.

[73]. M. Belkhiri, C.J. Fontes, M. Poirier. Influence of the plasma environment on atomic structure using an ion-sphere model // Physical Review A. - 2015. - Vol. 91. - No 3. - P. 032501.

[74]. D. Saltzman. Atomic Physics in Hot Plasmas // Oxford University Press. - New York, 1998.

[75]. W. Brandt, S. Lundqvist. Atomic oscillations in the statistical approximation // Physical Review. - 1965. - Vol. 139. - No 3A. - P. A612.

[76]. N. Bohr, H.A. Kramers, J.C. Slater. LXXVI. The quantum theory of radiation // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. -1924. - Vol. 47. - No 281. - P. 785-802.

[77]. A.H. Carter. Classical and Statistical Thermodynamics. // Prentice Hall. - New Jersey, 2001.

[78]. A. Anders. A Formulary for Plasma Physics // Akademie-Verlag. - Berlin, 1990.

[79]. X. Li, F.B. Rosmej. Spin-dependent energy-level crossings in highly charged ions due to dense plasma environments // Physical Review A. - 2010. - Vol. 82. - No 2.

- P. 022503.

[80]. X. Li, F.B. Rosmej, V.S. Lisitsa, V.A. Astapenko. An analytical plasma screening potential based on the self-consistent-field ion-sphere model // Physics of Plasmas.

- 2019. - Vol. 26. - No 3. - P. 033301.

[81]. K. Aomoto, M. Kita, T. Kohno, K. Iohara. Theory of hypergeometric functions. // Springer. - Tokyo, 2011.

[82]. B.J.B. Crowley. Average-atom quantum-statistical cell model for hot plasma in local thermodynamic equilibrium over a wide range of densities // Physical Review A. - 1990. - Vol. 41. - No 4. - P. 2179.

[83]. M. Bashkansky, J. Reintjes. SCATTERING | Stimulated Scattering. // Encyclopedia of Modern Optics / Elsevier. - Oxford, 2005.

[84]. U. Keller. Recent developments in compact ultrafast lasers // Nature. - 2003. - Vol. 424. - No 6950. - P. 831-838.

[85]. Q. Lin, J. Zheng, W. Becker. Subcycle pulsed focused vector beams // Physical review letters. - 2006. - Vol. 97. - No 25. - P. 253902.