Особенности распространения и дифракции волн в слоистых фононных кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Александров Андрей Анатольевич

• Александров Андрей Анатольевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Александров Андрей Анатольевич

§1.2. Граничные условия

2. Моделирование: постановка и методы решения 23 §2.1. Постановка задачи для слоистого фононного кристалла конечной толщины

§2.2. Ячейки фононных кристаллов с неоднородностями

§2.3. Метод матриц переноса

§2.4. Полуаналитический метод для расчёта волновых полей в периодической структуре конечной толщины

§2.5. Дисперсионные соотношения для структур с бесконечным количеством ячеек

3. Распространение волн в слоистых фононных кристаллах с однородными слоями

§3.1. Классификация разрешенных и запрещенных зон

§3.2. Упругие изотропные фононные кристаллы

§3.3. Упругие анизотропные фононные кристаллы

§3.4. Пьезоэлектрические фоноииые кристаллы

§3.5. Влияние температуры на разрешенные и запрещенные зоны 69 §3.6. Влияние микроструктуры на запрещенные зоны в электроупругих фононных кристаллах с однородными слоями

4. Распространение волн в фононных кристаллах с функционально- градиентными прослойками и микродефектами

§4.1. Упругие функционально-градиентные фононные кристаллы 76 §4.2. Пьезоэлектрические функционально-градиентные фононные

кристаллы

§4.3. Фононные кристаллы с микродефектами или ослабленной адгезией слоёв

§4.4. Функционально-градиентные поврежденные фононные кристаллы

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности распространения и дифракции волн в слоистых фононных кристаллах»

Введение

Начиная с 1990-х годов, исследование функциональных материалов, называемых акустическими метаматериалами и фононными кристаллами, получило широкое распространение в силу возможности их применения в различных инженерных приложениях [1, 2]. В данный момент это активно развивающееся направление, которое изучает распространение упругих колебаний в средах со сложной периодической организацией. На настоящий момент в научной литературе нет универсального общепринятого определения акустических метаматериалов [3], поэтому далее такие структуры называются фононными кристаллами (ФнК). Фононные кристаллы можно назвать аналогом фотонных кристаллов и электромагнитных материалов, которые позволяют эффективно управлять потоком света, и уже широко используются в промышленной сфере, например, при создании специальных покрытий линз и зеркал [4], в нелинейных оптических устройствах [5] и многих других приложениях.

Особый интерес к фонноным кристаллам связан с возможностью использования их для управления энергетическими волновыми потоками, так как имеют уникальные свойства, такие как эффекты полного поглощения или отражения сигнала, эффекты отрицательного преломления, волнового резонанса, локализации волн, фокусировки и т. д. Эти свойства достигаются как за счет строго периодического, так и квазипериодического изменения свойств, а также путем введения локальные нарушений периодичности. Учет этих волновых явлений позволяет проектировать новые устройства, работающие в различных диапазонах частот [6, 7, 8, 9, 10]. Эти устройства основаны на использовании "управляемых" поверхностных

или объемных волн [И, 12, 13]. В последние годы активно разрабатывались инженерные приложения, расширяющие и регулирующие запрещенные зоны. Однако, как правило, эти зоны не могут быть увеличены до необходимого широкополосного частотного диапазона [14]. Для фононных кристаллов, состоящих из двух и более упругих материалов, эта проблема отчасти решается добавлением к упругим компонентам пьезоэлектрических [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27]. В отличие от чисто упругих ФнК, пьезоэлектрические и пьезомагнитные ФнК позволяют расширять диапазон запрещенных зон и управлять им за счет использования электрических полей. Более того, пьезоэлектрические композиты могут быть успешно применены как активные элементы электронного оборудования [11, 28]. На данный момент разработано несколько устройств, основанных на пьезоэлектрических ФнК. Например, периодический набор пьезоэлектрических слоев, параллельно соединенных между собой, был использован для управления распространением упругих волн в тонкой пластине [29] и в пьезоэлектрическом стержне с электродами [30, 31]. Эксперименты и численное моделирование возбуждения волн пьезоэлектрическим датчиком в двумерном ФнК в форме пластины приведены в [6]. Расширение резонансной ширины полосы пропускания пьезоэлектрическим накопителем достигается использованием кантилеверов, представляющих собой одномерный ФнК. Имеется ряд теоретических работ по динамике неповрежденных пьезоэлектрических ФнК как с металлизированной поверхностью, так и без нее [20, 32].

Исследование волновых явлений в слоистых пьезоэлектрических ФнК началось около пятнадцати лет назад. Так, в статье [15] было рассмотрено распространение набегающих под нормальным углом БН-волн в периоди-

ческом пьезоэлектрическом полимерном слоистом композите. Распространение плоских волн в периодическом слоистом пьезоэлектрическом композите с использованием метода матриц переноса рассматривалось в статьях [16, 17]. В работе [33] было показано, что наличие электрического поля в пьезоэлектрических ФнК существенно влияет на ширину запрещенных зон для падающих БН-волн в случае одномерной структуры. Связанные акустические 8Н и электромагнитные волны Флоке-Блоха в квазипериодических одномерных пьезоэлектрических композитах рассматривались в [19, 20, 34]. Прохождение плоских волн в конечном и бесконечном ФнК с использованием рекуррентной процедуры приближения представлена в [23].

В последние годы были проанализированы наноразмерные эффекты, влияние преднапряженного состояния и электрические источники в пьезоэлектрических слоистых ФнК [25, 35]. Наноразмерные эффекты изучались на основе нелокальной теории пьезоэлектричества и метода матрицы жесткости [24]. Кроме того, были исследованы различные виды нарушения периодичности и их влияние на волновые эффекты (случайное нарушение периодичности, квази-периодичность и дефекты) для нано-масштабных ФнК [36]. Дисперсионные соотношения упругих волн в одномерных пьезоэлектрических ФнК с механически и диэлектрически несовершенными интерфейсами [25] и с начальными напряжениями [37] исследованы при помощи общей матрицы переноса. Возможность управления поперечными волнами в диэлектрических эластомерах с помощью внешних электрических источников теоретически была показана в [26]. Распространение сдвиговых волн и формирование запрещённых зон в периодических диэлектрических эла-стомерных ламинатах, подвергнутых конечным деформациям и электро-

статическим возбуждениям, изучались в [27].

С математической точки зрения моделирование и анализ ФнК является даже более сложной задачей, чем описание фотонных кристаллов. Это связано с большим числом дополнительных параметров, которые надо учитывать в теории упругости по сравнению с оптикой. При этом при моделировании ФнК нередко используютя те же методы, которые применяются при решении волновых задач без периодической организации. При рассмотрении динамических процессов в многослойных средах может быть использован метод интегральных преобразований и построения Фурье-образа Грина, называемый также интегральным подходом [38, 39, 40, 41]. Для построения матрицы Грина имеются эффективные полуаналитические подходы [42, 43]. Также аналитические подходы имеются и для прямого интегрирования начально-краевых задач [44, 45, 46, 47, 48]. К аналитическим методам относится метод матриц-пропагаторов [49, 50, 51, 52]. Актуальным вопросом механики является моделирование дифракции волн на трещинах, включениях и распределённых микродефектах [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60]. Для решения волновых задач с с пьезоэлектрическими структурами и неод-нородностями нередко используются также разные прямые численные методы [61, 62, 63, 64, 65].

Следует заметить, что описанные выше методы в той или иной степени модифицируются в случае применения их к ФнК [66, 67, 68]. Во всех моделях с многослойными структурами встречаются сложности, связанные с наличием экспоненциально растущих экспонент в решениях дифференциальных уравнений, что порождает неустойчивость численных процедур. Для решения таких проблем были предложены разные подходы [69, 70, 71, 72, 73]. В работах [39, 74, 75] использовался метод выноса экс-

поненциальных составляющих. Кроме того, разработан ряд других методов, включая метод плоских волн [76], метод матриц переноса [77], теорию многократного рассеяния [78], метод конечных разностей [79], метод спектральных элементов [80], метод спектральных конечных элементов [81], метод конечных элементов [82] и другие. Метод плоских волн наиболее часто применяется для определения структуры запрещенных зон в бесконечных ФнК, для которых применима теория Блоха, а поля перемещений могут быть разложены в ряды Фурье. Однако для трехмерных ФнК или ФнК с большим контрастом в свойствах материалов, этот метод сходится очень медленно и для него требуется большое количество плоских волн. Кроме того, в некоторых случаях этот метод может привести к нефизическим результатам [76]. Метод матриц переноса используется для одномерных ФнК, в то время как его распространение на двумерные и трехмерные ФнК является не простой задачей [83]. Теория многократного рассеяния позволяет решить лишь некоторые проблемы, связанные с моделированием трехмерных ФнК простых форм. Метод конечных разностей, в основном, применяется для ограниченных в объеме ФнК даже с достаточно сложными формами, а также позволяет учитывать неоднородность, анизотропию материалов и нелинейность. Однако это требует сильной пространственной дискретизации, также метод весьма трудоемкий в случае большого контраста в упругих свойствах материалов компонент ФнК.

Большое практическое значение имеют модели, учитывающие связанные тепловые, электрические и механические поля [84, 85, 86], а также функционально-градиентные прослойки или вставки из наноматериалов [24]. Функционально-градиентные материалы представляют собой гетерогенные композиты, в которых свойства материала постепенно изменяются

между двумя фазами [87, 88]. Поскольку существование функционально-градиентных компонент в структуре может кардинально изменить ее динамическое поведение, в диссертационной работе изучается влияние введения различных неодпородпостей в виде функционально-градиентных прослоек, наноматериалов и наличия распределения микродефектов на свойства ФнК. Функционально-градиентные ФнК ранее рассматривались для упругого случая [89, 90]. Влияние функционально-градиентных прослоек на дисперсионные соотношения плоских Блоховских волн в одномерном пьезоэлектрическом / пьезомагнитном ФнК изучалось в [91]. Кроме того, большинство исследований ограничивается рассмотрением дисперсионных соотношений для бесконечных ФнК. В данном исследовании были рассмотрены запрещенные зоны и зоны низкого прохождения и проанализированы соответствия между свойствами конечных и бесконечных пьезоэлектрических и термоэлектроупругих ФнК. Полуаналитические выражения, основанные на методе матрицы переноса, получены для волновых полей в термоэлектроупругом слоистом ФнК, расположенном между двумя полупространствами. В работе даётся классификация запрещенных и разрешенных зон, приводится подробный численный анализ влияния различных факторов на характер распространения плоских волн в ФнК.

Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью построения механико-математических моделей, описывающих волновые явления в периодических композитах. Создание таких моделей и анализ на их основе волновых эффектов имеет широкий круг потенциальных приложений, связанных с появлением в последние несколько лет технических возможностей для изготовления периодических композитов с большим количеством ячеек небольших размеров, что востребовано при

изготовлении высококачественных резонаторов, сенсоров и датчиков.

Основной целью диссертационной работы является математическое моделирование и анализ особенностей распространения волн в фононных кристаллах с пьезоэлектрическими и функционально-градиентными слоями, при наличии распределений микродефектов, а также с учетом температурных полей и наноразмерных эффектов.

В задачи диссертационного исследования входит следующее:

1) разработка подходов и методов для описания распространения термо-электроупругих волн в слоистых фононных кристаллах, состоящих из конечного и бесконечного количества ячеек;

2) создание математических и компьютерных моделей, учитывающих наличие в структуре фононных кристаллов функционально-градиентных прослоек и ослабление адгезионных связей между слоями;

3) классификация волновых явлений в слоистых фононных кристаллах;

4) анализ влияния функционально-градиентных прослоек, стохастически распределенных микродефектов и температуры на формирование запрещенных и разрешенных зон.

Методы исследования. Для описания волновых полей в периодическом композите используется метод матриц переноса и полуаналитический метод расчёта волновых полей в термоэлектроупругой периодической структуре. Ослабление адгезионных связей моделируется граничными условиями пружинного типа, а наноразмерные эффекты учитываются с помощью нелокальной теории.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых краевых задач, применением строгих математических методов, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1) полуаналитический метод для описания распространения термоэлек-троупругих волн в слоистых фоном ных кристаллах конечной толщины, учитывающий его микроструктуру;

2) классификация типов разрешенных и запрещенных зон для слоистых упругих, анизотропных и пьезоэлектрических фононных кристаллов конечной и бесконечной толщины;

3) результаты анализа влияния функционально-градиентных прослоек и стохастически распределенных микротрещин в структуре слоистых фононных кристаллов на распространение волн;

4) результаты анализа влияния наноразмерных эффектов и температуры на формирование запрещенных и разрешенных зон в слоистых фононных кристаллах.

Теоретическая ценность и практическая значимость полученных результатов определяется возможностью их использования при разработке и внедрении новых типов функциональных материалов. Диссертационная работа была выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (1.189.2014К «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий и волно-

вого мониторинга композитных материалов»), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-31001-мол_а «Анализ и моделирование волновых явлений в фононных кристаллах с отслоениями»; 10 51 53043 ГФКН и «Перераспределение волновой энергии с помощью функционально-градиентных пьезоупругих слоистых фононных кристаллов с неоднородностями»; 10 41 230352 1)_юг_и «Моделирование и определение оптимальных характеристик периодических термоэлектроупругих функциональных слоистых наноматериалов (фононных кристаллов)»; 18-501-12069-ННИО_а «Управление распространением волн в периодических пьезоэлектрических слоистых композитах с электродами и трещинами»), а также в рамках выполнения ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (14.В37.21.0387 «Волновая динамика слоистых фононных кристаллов: моделирование неповрежденных и поврежденных структур, фильтрационные и блокирующие свойства»).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в статьях [92, 93, 94, 95, 96, 97, 98], из них 2 ([92, 93]) опубликованы в журналах из перечня, утверждённого ВАК РФ, и 4 ([94, 95, 96, 97]) в трудах международных конференций, 3 ([95, 96, 97]) из которых проиндексированы в базе данных Scopus. Создан программный комплекс для описания волновой динамики слоистых пьезоупругих фононных кристаллов "Layered Piezoelastic PnCr", получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Результаты диссертационной работы докладывались на VIII Всероссийской школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(пос. Дивноморское, 2013 г.), VII Всероссий-

ской конференции по механике деформируемого твердого тела (г. Ростов-на-Дону, 2013 г.), International Conference DAYS ON DIFFRACTION 2014 (г. Санкт-Петербург, 2014 г.), X школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (пос. Дивноморское, 2015 г.), 3rd International Conference on Phononic Crystals/Metamaterials, Phonon Transport and Phonon Coupling (Франция, г. Париж, 2015 г.), 2016 International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and their Applications"(Индонезия, г. Сурабая, 2016 г.), XV Всероссийской конференции «Волновые явления в неоднородных средах» имени А.П. Сухо-рукова ("Волны-2016") (г. Москва, 2016 г.), International Conference DAYS ON DIFFRACTION 2016 (г. Санкт-Петербург, 2016 г.), XII Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Дивноморское, 2017 г.), 4th International conference on phononic crystals/metamaterials, phonon transport/coupling and topological phononics PHONONICS 2017 (Китай, г. Чанша, 2017 г.). На защиту выносятся

1) математическая модель для описания распространения термоэлектро-упругих волн в слоистых фононных кристаллах конечной и бесконечной толщины, учитывающая его гетерогенную микроструктуру;

2) классификация типов разрешенных и запрещенных зон для слоистых упругих, анизотропных и пьезоэлектрических фононных кристаллов конечной и бесконечной толщины;

3) результаты исследования влияния толщин и материальных свойств слоев, наличия стохастически распределенных микродефектов и функционально-градиентных прослоек, а также наноразмерных эффектов

и температуры на распространение волн в слоистых фононных кристаллах;

4) результаты анализа зависимости расположения и размера запрещенных и разрешенных зон от микроструктуры фононных кристаллов.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Первая глава содержит описание основных соотношений и уравнений для начально-краевых задач для термоэлектроупругих тел. Приводятся основные граничные условия, используемые в линейной теории. В разделе 1.1 для термоэлектроупругих тел рассматривается классическая теория и нелокальная теория, которая позволяет учитывать микроструктуру материалов и наноразмерные эффекты. В разделе 1.2 рассматриваются основные механические, электрические и тепловые граничные условия.

Вторая глава содержит постановки задач для фононных кристаллов. Кроме того, описывается метод матриц переноса и полуаналитический метод для расчёта волновых полей в термоэлектроупругой периодической структуре. В разделе 2.1 рассматривается задача о периодической слоистой структуре, расположенной между двумя полупространствами. В разделе 2.2 рассматриваются фононные кристаллы с функционально-градиентными прослойками и с распределёнными микродефектами. В разделе 2.3. описывается метод матриц переноса, а в разделе 2.4. метод расчёта волнового поля, который устраняет проблему неустойчивого вычисления волновых полей для большого количества ячеек. Раздел, 2.5. посвящён выводу дисперсионных соотношений для бесконечного фононного кристалла. В третьей главе приведены основные численные результаты, кото-

рые сделаны с помощью методов, приведённых во второй главе. В разделе 3.1. дана классификация частотных диапазонов на запрещенные зоны первого и второго типов, зоны низкого прохождения и разрешенные зоны. В разделах 3.2. и 3.3. описывается связь между дисперсионными соотношениями, полученными во второй главе, и коэффициентом прохождения, а также анализируется поведение волнового поля в зависимости от относительных толщин слоёв внутри ячеек. В разделе 3-4- рассматриваются пьезоэлектрические и диэлектрические компоненты периодических структур и их влияние на тип частотных диапазонов (согласно классификации данной в начале третьей главы). Раздел 3.5. описывает влияние температуры на распространение волн в периодических термоэлектроупругих ФнК, а в разделе 3.6. рассматривается влияние микроструктуры в виде наноразмер-ных эффектов, моделируемых в рамках нелокальной теории.

В четвертой главе приводится анализ численных результатов для фононных кристаллов с функционально-градиентными прослойками и распределенными микродефектами. В разделе 4-1■ описывается влияние на фильтрационные свойства функционально-градиентных прослоек в упругих периодических композитах, в разделе 4-2. рассматриваются пьезоэлектрические периодические структуры с функционально-градиентными прослойками. В разделах 4-3. и 4-4- изучаются особенности распространения волн в фононных кристаллах с распределенными микродефектами соответственно при отсутствии и наличии функционально-градиентных прослоек.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Диссертационная работа объемом 119 страниц имеет следующую структуру: введение, 4 главы основной части, заключение и список литературы, включающий 106 источников. Работа содержит 66 рисунков и 9 таблиц.

ГЛАВА 1. Динамическая теория термоэлектроупругоети

§1.1. Уравнения движения

Уравнения движения термоэлектроупругого тела складываются из: трёх уравнений обобщенного закона Ньютона с пиро- и пьезо-модулями, уравнения Максвелла и уравнения теплопроводности. В наиболее общем случае, уравнения движения - это система из пяти уравнений второго порядка с пятью неизвестными функциями ui,u2,u3Функции щ выражают упругие перемещения, ^ — электрический потенциал, а в = T — T0 — относительное значение температуры (T — абсолютная температура, T0 — начальная температура). В линейной теории пьезоупругости, как правило, пренебрегается объемными силами взаимодействия индукционных токов и поляризации материала с магнитными и электрическими полями, поэтому уравнения движения, характеризующие обобщенный закон Ньютона имеют следующий вид:

da'j д 2 U

-j — P~W + F = 0 (1-1)

Здесь &ij — тензор напряжений, р — плотность среды, a F¡ — значения внешних сил. Для записи уравнения (1.1) относительно перемещений, в него необходимо подставить уравнение состояния

= Cijki Ski — eijk Ek — Ajje, (1.2)

где Cjki — тензор упругих постояппых, Skl — тензор деформаций, eijk —

Ek

Aij

НИИ.

Уравнение вынужденной электростатики, которое является следствием уравнения Максвелла ввиду отсутствия свободного заряда, имеет вид:

дД , ч

dD = 0 (1'3)

Где pe...................... плотность объемных свободных зарядов, a D¡ компоненты вектора

электрической индукции. Для записи уравнения (1.3) относительно потенциала, перемещений и температуры, в него подставляется соотношение:

Di = бШ Ski + Ej + ргв (1.4)

Здесь £ij — тензор диэлектрических пропицаемостей.

Для температурных явлений локальный закон сохранения энергии формулируется следующим образом:

% + W = Tdn (1.5)

3x1 &

Для составления уравнения изменения закона температуры, необходимо учесть феноменологический закон Фурье:

дТ

9г = дХ ^

где д1 — компоненты вектора теплового потока, а к у — коэффициенты теплопроводности. Исходя из (1.5) и (1.6), получим температурное уравнение движения для линейной теории упругости:

д 2 0 с!т]

к дх{дху + ^ 0 ^ (

Уравнение состояния для температурного уравнения движения выглядит следующим образом:

П = Ау Бгз + ргЕг + а0 (1.8)

где п — плотность энтропии, p¿ — пироэлектрические коэффициенты, а = p*ceT-1 ,ce — удельная теплоемкость при постоянной деформации, р — плотность. Геометрические соотношениями Коши связывают тензор деформаций с перемещениями

Ski=1 (ё+ё). м

Компоненты вектора напряженности можно выразить через электрический потенциал:

Ek = - дХ- (1.10)

дхк

Воспользовавшись соотношениями (1.1-1.10), получим систему уравнений движения для анизотропного упругого случая:

^ д2ик ,77 д2и (л лл\

Cijki дХдХ, + Fi = (L11)

В случае электроупругого слоя имеем:

^ д 2ик , ^ ,17 д 2и (л

Cijkiт,—--Н ekij^—--Н = р^-2, \Í-ÍZ)

дх1 oxj дхк oxj ot2

д2ик д 2(f

eiki^—--sik^—7T— = 0 (1.13)

дх1 дxj дхк дxj

Для термоупруго слоя:

ijki 0xiдxj ij дxj г р Bt2

д2в д ди ■

kij ^ + W = T0 Wt ^ щ + ав) ^

В случае термоэлектроупгруго слоя уравнения записываются в тен-

зорном виде:

^ д 2иь д 2(f дв д 2Ui

Cijkiт^^--+ ekij—^--Xij---+ Fi = р-т-, (1.16)

oxi дxj oxjZ дxj дxj дt2

d2Uk д2ю д6 n /„ „«ч

eiki^—^--—~--Ъ Vi— — 0, (1.17)

dxi dxj dxk dxj dxi

k" (Sx+W=T0д {X-j du - Vi %+a6) (L18)

KS >AJ i^ tA/ j KS V KS tA/ j KS tA/ i

Уравнения в тензорной записи удобно представлять в матричной форме, воспользовавшись свойством симметрии тензоров. Индексы переобозначаются следующим образом: (11)—1; (22)—2; (33)—3; (23),(32)—4; (13), (31)—(12),(21)—^6. В таком случае все уравнения состояния (1.2), (1.4), (1.8) переписывается в виде:

= Gaß Sß — еатЕт — Ха6, (1.19)

dm — emaSa + &mk Ek + pm6, (1.20)

П — Ха Sa + PmEm + a6 (1.21)

В классической теории электроупругости упругие напряжения и электрические смещения в каждой точке определяются независимо от соседних точек. В нелокальной теории электроупругости предполагается, что напряжения и электрические смещения в одной точке должны подвергаться воздействию напряжений и электрических перемещений всего тела. Таким образом, с учётом дальнодействуюгцих межатомных сил, связь между компонентами напряжения и электрического перемещения может быть записано в виде [99, 1001:

Т13(х) = X а(|Х - х|)Т,(х')^(х')

(1г(х) = I а(\х' — х^х'^х')

Здесь х- рассматриваемая точка, а(|х' — х|)- функция влияния, Т^ напряжения и электрические перемещения в классической теории электроупругости, а , нелокальные напряжения и электрические перемеще-

ния. Функция влияния зависит от константы которая является характеристикой межатомных связей.

Если рассматривать слоистые структуры, то в связи с тем, что слои бесконечные вдоль двух осей, функция влияния а записывается следующим образом:

а(|х' — x|) = a(\z' — z 1Ж|х' — х|), (1.23)

Под функцией £(|х' — х|) понимается дельта-функция Дирака. Тогда упругие напряжения и электрические перемещения записываются в следующей форме:

т13 (х) = i а(|х' — x\)Tij (xf )dv(xr) =

J v

р+<х> pa

= / a(|z' — z|Ж|х' — x|)Tij(x')dx'dZ

-to J 0

di(x) = I а(\х' — x\)Dj(x!)dv(x!) =

C+TO na

ij

v

= / a(|z' — z| )$( |x' — x\)Dij (x')dx'dz'

J—TO JO

а

а(|/- z|,£) = 1 е"(|^|/е) (1.24)

2£

Подставив а в уравнение (1.22) и проводя некоторые преобразования, можно приближенно записать связь между напряжениями и электрическими перемещениями из классической теории с напряжениями и электрическими перемещениями в нелокальной теории:

(1 - е2У2)гг] = Тц

3 3 (1.25)

(1 - £2У2К = Д

Исходя из соотношений (1.25), в нелокальной теории электроупругости для гармонических волн при моделировании слоистых структур, уравнения движения будут выглядеть следующим образом:

п д2ик , (Л 2^724 д2иг (л ^

^дХдХ, + екидХкдХ, =(1 — £ у , (1-26)

еш — * /д- = 0 ^

дх1 дх^ дхк дх

Нетрудно видеть, что в случае если характеристическая константа межатомных связей £ = 0, то получается классическая теория электроупругости.

§1.2. Граничные условия

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Александров Андрей Анатольевич, 2018 год

Литература

1. Deymier, P.A. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals / P.A. Deymier. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013. — P. 378.

2. Khelif, A. Phononic crystals. Fundamentals and applications. / A. Khelif,

A. Adibi. — Springer-Verlag New York, 2016. — P. 245.

3. Hu, G. Acoustic metamaterials with coupled local resonators for broadband vibration suppression / G. Hu, L. Tang, R. Das et al. // AIP Advances. - 2017. - Vol. 7, No. 2. - P. 025211.

4. Macleod, H.A. Thin-Film Optical Filters, Fourth Edition / H.A. Macleod. — CRC Press, USA, 2010. — P. 800.

5. Russell, P. Photonic crystal fibers / P. Russell // Science. — 2003. — Vol. 299(6).^ P. 358-362.

6. Chen, Z. Broadband characteristics of vibration energy harvesting using one-dimensional phononic piezoelectric cantilever beams / Z. Chen, Y. Yang, Zh. Lu, Y. Luo // Physica B: Condensed Matter. 2013.^ Vol. 410. - P. 5-12.

7. Aliev, G. N. Quasi-periodic fibonacci and periodic one-dimensional hypersonic phononic crystals of porous silicon: Experiment and simulation / G. N. Aliev, B. Goller // Journal of Applied Physics.^ 2014. - Vol. 116, No. 9. - P. 094903.

8. Ponge, M.-F. Theoretical and experimental analyses of tunable fabry-perot resonators using piezoelectric phononic crystals / M.-F. Ponge,

B. Dubus, C. Granger et al. // IEEE Transactions on Ultrasonics,

Ferroelectrics, and Frequency Control. — 2015. — Vol. 62, No. 6. — P. 1114-1121.

9. Li, L. Analysis of longitudinal waves in rod-type piezoelectric phononic crystals / L. Li, Y. Guo // Crystals. - 2016. - Vol. 6, No. 4.

10. Lee, W. Experiments of wave cancellation with elastic phononic crystal / W. Lee, H. Lee, Y.Y. Kim // Ultrasonics. 2016. Vol. 72.^ P. 128 133.

11. Schmidt, M.-P. SAW based phononic crystal sensor, technological challenges and solutions / M.-P. Schmidt, A. Oseev, R. Lucklum et al. // Microsystem Technologies. - 2016. - Vol. 22, No. 7. - P. 1593-1599.

12. Advances in piezoelectric thin films for acoustic biosensors, acoustofluidics and lab-on-chip applications / Y.Q. Fu, J.K. Luo, N.T. Nguyen et al. // Progress in Materials Science.^ 2017. — Vol. 89.^ P. 31-91.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0079642517300403.

13. Sorokin, B. P. Excitation of hypersonic acoustic waves in diamond-based piezoelectric layered structure on the microwave frequencies up to 20 GHz / B. P. Sorokin, G. M. Kvashnin, A. S. Novoselov et al. // Ultrasonics. - 2017. - Vol. 78. - P. 162-165.

14. Yoo, S. Hybrid phononic crystals for broad-band frequency noise control by sound blocking and localization / S. Yoo, Y.J. Kim, Y.Y. Kim // The Journal of the Acoustical Society of America. 2012. — Vol. 132(5).— P. EL411-EL416.

15. Qian, Zh. Dispersion relations for SH-wave propagation in periodic

piezoelectric composite layered structures / Zh. Qian, F. Jin, Z. Wang, K. Kishimoto // International Journal of Engineering Science. — 2004. — Vol. 42, No. 7. - P. 673-689.

16. Li, F.-M. Study on wave localization in disordered periodic layered piezoelectric composite structures / F.-M. Li, Y.-S. Wang // International Journal of Solids and Structures. - 2005. - Vol. 42. - P. 6457-6474.

17. Sesion, P. D. Acoustic phonon transmission spectra in piezoelectric AIN/GaN Fibonacci phononic crystals / P. D. Sesion, E. L. Albuquerque, C. Chesman, V. N. Freire // The European Physical Journal B. — 2007. — Vol. 58, No. 4. - P. 379-387.

18. Piliposyan, D. G. Shear bloch waves and coupled phonon-polariton in periodic piezoelectric waveguides / D. G. Piliposyan, K. B. Ghazaryan, G. T. Piliposian // Ultrasonics. - 2014. - Vol. 54, No. 2. - P. 644-654.

19. Liu, L. Theoretical study of SH-wave propagation in periodically-layered piezomagnetic structure / L. Liu, J. Zhao, Y. Pan et al. // International Journal of Mechanical Sciences. — 2014. — Vol. 85. — P. 45-54.

20. Shi, P. Propagation of shear elastic and electromagnetic waves in one dimensional piezoelectric and piezomagnetic composites / P. Shi, C.Q. Chen, W.N. Zou // Ultrasonics. - 2015. - Vol. 55. - P. 42-47.

21. Tunable phononic crystals based on piezoelectric composites with 1-3 connectivity / C. Croenne, M.-F. Ponge, V. Dubus et al. // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2016. — Vol. 139, No. 6. — P. 32963302.

22. Kutsenko, A.A. Tunable effective constants of the one-dimensional piezoelectric phononic crystal with internal connected electrodes / A.A. Kutsenko, A.L. Shuvalov, O. Poncelet, A.N. Darinskii // Journal of the Acoustical Society of America. 2015. — Vol. 137, No. 2.— P. 606616.

23. Tallarico, D. Propagation and filtering of elastic and electromagnetic waves in piezoelectric composite structures / D. Tallarico, N. Movchan, A. Movchan, M. Camposaragna // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2017.- Vol. 40, No. 9.- P. 3202-3220.

http://dx.doi.org/10.1002/mma.3893.

24. Chen, A.-L. Anti-plane transverse waves propagation in nanoscale periodic layered piezoelectric structures / A.-L. Chen, D.J. Yan, Y.-S. Wang, Ch. Zhang // Ultrasonics. - 2016. - Vol. 65. - P. 154-164.

25. Guo, X. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric phononic crystal with mechanically and dielectrically imperfect interfaces / X. Guo, P. Wei, L. Li // Mechanics of Materials. 2016.- Vol. 93.^ P. 168 - 183.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016766361500232X.

26. Galich, P. I. Manipulating pressure and shear waves in dielectric elastomers via external electric stimuli / P. I. Galich, S. Rudykh // International Journal of Solids and Structures. — 2016. — Vol. 91. — P. 1825.

27. Galich, P. I. Shear wave propagation and band gaps in finitely deformed dielectric elastomer laminates: Long wave estimates and exact solution /

P. I. Galich, S. Rudykh // Journal of Applied Mechanics. — 2017. — Vol. 84, No. 9. - P. 091002.

28. Huang, B. Modeling of a partially debonded piezoelectric actuator in smart composite laminates / B. Huang, H.S. Kim, G. H. Yoon // Smart Materials and Structures. - 2015. - Vol. 24, No. 7. - P. 075013.

29. Chen, Sh. Wave propagation and attenuation in plates with periodic arrays of shunted piezo-patches / Sh. Chen, G. Wang, X. Wen, J.and Wen // Journal of Sound and Vibration. — 2013. — Vol. 332, No. 6. — P. 1520-1532.

30. Degraeve, S. Tunability of bragg band gaps in one-dimensional piezoelectric phononic crystals using external capacitances / S. Degraeve, C. Granger, B. Dubus et al. // Smart Materials and Structures. — 2015. — Vol. 24, No. 8.

31. Degraeve, S. Tunability of a one-dimensional elastic/piezoelectric phononic crystal using external capacitances / S. Degraeve, C. Granger, B. Dubus et al. // Acta Acustica united with Acustica. — 2015. — Vol. 101, No. 3. — P. 494-501.

32. Kutsenko, A.A. Quasistatic stopband and other unusual features of the spectrum of a one-dimensional piezoelectric phononic crystal controlled by negative capacitance / A.A. Kutsenko, A.L. Shuvalov, O. Poncelet, A.N. Darinskii // Comptes Rendus - Mecanique. 2015. — Vol. 343, No. 12. - P. 680-688.

33. Piliposian, G. T. Shear wave propagation in periodic phononic/photonic piezoelectric medium / G. T. Piliposian, A. S. Avetisyan,

К. В. Gliи/игуан // Wave Motion. 2012. Vol. 49, No. 1.-P. 125-134.

34. Piliposyan, D. G. Internal resonances in a periodic magneto-electro-elastic structure / D. G. Piliposyan, К. B. Ghazaryan, G. T. Piliposian // Journal of Applied Physics. - 2014. - Vol. 116, No. 4. - P. 044107.

35. Yan, D. J. Propagation of guided elastic waves in nanoscale layered periodic piezoelectric composites / D. J. Yan, A.-L. Chen, Y.-S. Wang et al. // European Journal of Mechanics - A/Solids. — 2017. — Vol. 66. —

P. 158 - 167. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0997753817301651.

36. Chen, A.-L. Band structure properties of elastic waves propagating in the nanoscaled nearly periodic layered phononic crystals / A.-L. Chen, L.-

A. Tian, Y.-S. Wang // Acta Mechanica Solida Sinica. — 2017. — Vol. 30, No. 2. — P. 113-122.

37. Guo, X. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with initial stresses / X. Guo, P. Wei // Ultrasonics. — 2016. Vol. 66. P. 72-85.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0041624X15003017.

38. Ворович, И. И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И. И. Ворович, В. А. Бабешко. М.: Наука, 1979. — С. 320.

39. Бабешко, В. А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред /

B. А. Бабешко, Е. В. Глушков, Ж. Ф. Зинченко. — М.: Наука, 1989. —

C. 344.

40. Ворович, И. И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И. И. Ворович, В. А. Бабешко, О.Д. Пря-хини. М.: Научный мир, 1999. С. 246.

41. Глушков, Е. В. Интегральные преобразования и волновые процессы / Е. В. Глушков, Н. В. Глушкоии. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2017. С. 201.

42. Бабешко, В. А. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства / В. А. Бабешко, Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27, № 1. С. 93-101.

43. Glushkov, Е. Forced wave propagation and energy distribution in anisotropic laminate composites / E. Glushkov, N. Glushkova, A. Eremin // Journal of the Acoustical Society of America. 2011. — Vol. 129, No. 5. — P. 2923-2934.

44. Попов, Г.Я. К решению задач механики и математической физики для слоистых сред / Г.Я. Попов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1978. — Т. 31, № 2. — С. 73-81.

45. Черепанов, Г.П. Распространение трещин в сплошной среде / Г.П. Черепанов // Прикладная математика и механики. 1967. Т. 31, ..V« 3. - С. 476-488.

46. Achenbach, J.D. Wave propogation in elastic solids. / J.D. Achenbach.^ Amsterdam: North-Holldand Publ. Co., 1973. — p. 425.

47. Kundu, T. Elastic wave in multilayered solid due to a dislocation source /

Т. Kundu, А.К. Mai // Wave motion. - 1985. - Vol. 73, No. 4. - P. 909 951.

48. Sato, J. Numerical integration of the equation of motion for surface waves in a medium with arbitary variation of materail constants / J. Sato // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1959. — Vol. 49. — P. 57-77.

49. Молотков, Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах / Л.А. Молотков. Л.: Наука, 1984. — С. 202.

50. Gilbert, F. Propogator matrices in elastic and vibration problems / F. Gilbert, G.E. Backus // Geophysics. - 1965. - Vol. 31. - P. 326-332.

51. Haskel, N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media / N.A. Haskel // Bulletin of the Seismological Society of America. 1953. - Vol. 43, No. 1. - P. 17-34.

52. Trower, E.N. Transmission of elastic waves through a stratified medium / E.N. Trower // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21, No. 1.— P. 89-93.

53. Глушков, E. В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы / Е. В. Глушков, Н. В. Глуш-кова // Прикладная математика и механика. — 1996. Т. 60. Л'° 2. С. 282-289.

54. Глушков, Е. В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн про-

странственными трещинами / Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова // Прикладная математика и механика. — 1998. — Т. 62, № 5. — С. 866-870.

55. Евдокимов, А.А. Колебания полупространства при наличии системы жестких включений / А.А. Евдокимов, М.С. Капустин, О.Д. Пряхина, А.В Смирнова // Доклады Академии наук. — 2003. — Т. 383, № 2. — С. 193-197.

56. Mykhas'kiv, V.V. A frequency-domain biem combining dbies and tbies for 3-d crack-inclusion interaction analysis / V.V. Mykhas'kiv, I.O. Butrak, O.M. Khay et al. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2011. - Vol. 200, No. 47-48. - P. 3270-3279.

57. Мовчан, А.Б. Асимптотическое поведение напряженно-деформированного состояния вблизи острых включений / А.Б. Мовчан, С.А. Назаров // Доклады Академии наук СССР. — 1986. — Т. 290, № 1. — С. 48-51.

58. Ватульян, А. О. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел / А. О. Ватульян, А.Н. Соловьев. — Ростов н/Д: Южный Федеральный университет, 2008. С. 176.

59. Ватульян, А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А. О. Ватульян. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. С. 224.

60. Golub, М. V. Effective spring boundary conditions for a damaged interface between dissimilar media in three-dimensional case / M. V. Golub, О. V. Doroshenko, A. Bostrom // International Journal of Solids and Structures. - 2016. - Vol. 81. - P. 141-150.

61. Кит, Г.С. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом слое методом граничных элементов / Г.С. Кит, В.В. Михасъкив, О.М. Хай // Прикладная математика и механика. — 2002. — Т. 66, № 5. — С. 855-863.

62. Айзикович, С. М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С. М. Айзикович, В. М. Александров, А. В. Белоконь и др. — М.: Физматлит, 2006. — С. 240.

63. Соловьев, А.Н. Конечно-элементное моделирование пьезоэлектрического устройства накопления энергии на основе кантилевера / А.Н. Соловьев, Л.В. Зьюнг // Вестник Донского Государственного Технического университета. — 2014. — Т. 14, № 1(76). — С. 169-179.

64. Наседкин, А.В. Моделирование пьезогенераторов из пористой пье-зокерамики как источников возобновлемой энергии на транспорте / А.В. Наседкин // Вестник Ростовского Государственного университета путей сообщения. — 2011. — Т. 4. — С. 193-201.

65. Наседкин, А.В. Конечноэлементное моделирование пористых термоупругих композитов с учетом микроструктуры / А.В. Наседкин, А.А. Наседкина, В.В. Ремизов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. - Т. 7(1). — С. 100-109.

66. Golub, М. V. In-plane motion and resonance phenomena in a periodically layered composite with a strip-like crack / M. V. Golub, Ch. Zhang // Wave Motion. - 2014. - Vol. 54, No. 2. - P. 308-322.

67. Golub, M. V. In-plane time-harmonic elastic wave motion and resonance phenomena in a layered phononic crystal with periodic cracks /

М. V. Golub, Ch. Zhang // Journal of Acoustical Society of America. 2015. - Vol. 137, No. 1. - P. 238-252.

68. Golub, M. V. Wave propagation through an interface between dissimilar media with a doubly periodic array of arbitrary shaped planar delaminations / M. V. Golub, О. V. Doroshenko // Mathematics and Mechanics of Solids. — 2017.

69. Аки. К. Количественная сейсмология / К. Аки, Ричарде П. — М: Мир, 1983. ^ Т. 1.-С. 519.

70. Franssens, G.R. Calculation of the elastodynamics green's function in layered media by means of a modified propogator matrix method / G.R. Franssens // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1983. Vol. 75.^ P. 669-691.

71. Knopoff, L. A matrix method for elastic waves problems / L. Knopoff // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1964. — Vol. 54. — P. 431-438.

72. Luco, J.E. On the Green's functions for a layered half-space. Part 1 / J.E. Luco, R.J. Apsel // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1983. - Vol. 7, No. 5. - P. 459-471.

73. Woodhouse, J.H. Efficient and stable methods for performing seismic calculations in stratified media / J.H. Woodhouse; Ed. by A.M. Dziewonski, E. Bopschi.^ Elsevier, 1981.

74. Бабешко, В.А. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства / В.А. Бабешко,

П.В. Сыромятников // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2002. — Т. 412, № 6. — С. 1-6.

75. Бабешко, В.А. О смешанных задачах для термоэлектроупругих сред с разрывными граничными условиями / В.А. Бабешко, С.В. Ратнер, П.В. Сыромятников // Доклады Академии наук. 2007. № 5.— С. 35-47.

76. Goffaux, С. Theoretical study of a tunable phononic band gap system / C. Goffaux, J. P. Vigneron // Physical Review B. — 2001. Vol. 64. P. 075118.

77. Yeh, J.-Y. Control analysis of the tunable phononic crystal with electrorheological material / J.-Y. Yeh // Physica B: Condensed Matter. - 2007. - Vol. 400, No. 1-2. - P. 137-144.

78. Kafesaki, M. Multiple-scattering theory for three-dimensional periodic acoustic composites / M. Kafesaki, E. N. Economou // Physical Review В _ 1999 _ Vol. 60 _ p 11993.

79. Cao, Y. J. Finite difference time domain method for band gap calculations of two-dimensional phononic crystals / Y. J. Cao, Z. L. Hou, Y. Y. Liu // Solid State Communications. - 2004. - Vol. 132. - P. 539-543.

80. Shi, L. Spectral element method for band-structure calculations of 3D phononic crystals / L. Shi, N. Liu, J. Zhou et al. // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2016. - Vol. 49, No. 45.

81. Wu, M. L. Elastic wave band gaps of one-dimensional phononic crystals

with functionally graded materials / M. L. Wu, L. Y. Wu, L. W. Chen // Smart Materials and Structures. — 2009. — Vol. 18. — P. 115013.

82. Liu, Y. Explicit dynamic finite element method for band-structure calculations of 2D phononic crystals / Y. Liu, L. T. Gao // Solid State Communications. - 2007. - Vol. 144. - P. 89-93.

83. Li, Z. Y. Phononic band structures solved by a plane-wave-based transfermatrix method / Z. Y. Li, L. L. Lin // Physical Review E. — 2003. — Vol. 67. - P. 046607.

84. Гринченко, В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. — Киев: Наукова Думка, 1989. Т. 3. С. 279.

85. Гузь, А.К. Акустоэлектромагнитоупругость / А.К. Гузь, Ф.Г. Ми-хорт. — Киев: Наукова Думка, 1988. — Т. 5. — С. 288.

86. Партой, В.З. Электромагпитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. М.:Наука, 1988. — С. 472.

87. Jha, D.K. A critical review of recent research on functionally graded plates / D.K. Jha, T. Kant, R.K. Singh // Composite Structures. — 2013. - Vol. 96, No. 0. - P. 833-849.

88. Kulikov, G. M. Three-dimensional vibration analysis of layered and functionally graded plates through sampling surfaces formulation / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova, M. G. Kulikov, P. V. Monastyrev // Composite Structures. - 2016. - Vol. 152. - P. 349-361.

89. Golub, M. V. Transmission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates / M. V. Golub, S. I. Fomenko, T. Q. Bui et al. // International Journal of Solids and Structures. — 2012. - Vol. 49, No. 2. - P. 344-354.

90. Fomenko, S.I. In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals / S. I. Fomenko, M. V. Golub, T. Q. Bui et al. // International Journal of Solids and Structures. — 2014. — Vol. 51, No. 13. — P. 2491-2503.

91. Guo, X. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with functionally graded interlayers / X. Guo, P. Wei, M. Lan, L. Li // Ultrasonics. 2010. Vol. 70. — P. 158-171.

92. Фоменко, С.И. Численно устойчивый метод определения волновых полей и запрещенных зон в слоистых фононных кристаллах / С.И. Фоменко, М.В. Голуб, Александров А.А. // Вычислительная механика сплошных сред. — 2017. — Т. 10, № 3. — С. 235-244.

93. Фоменко, С.И. Волновые поля и запрещенные зоны в слоистых пьезоэлектрических фононных кристаллах / С.И. Фоменко, А.А. Александров // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2016. — № 4. — С. 92-99.

94. Голуб, М.В. Моделирование динамики слоистых фононных кристаллов при распространении упругих волн и рассеянии на отслоениях / М. В. Голуб, С. И. Фоменко, А. А. Александров // Труды VII Все-

российской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. — Т. 1. — 2013. — С. 169-173.

95. Golub, M.V. Simulation of plane 3D wave propagation in layered piezoelectric phononic crystals / M.V. Golub, S.I. Fomenko, Aleksandrov A.A. // Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction 2014". - 2014. - P. 83-88.

96. Golub, M. V. Advanced Materials / M. V. Golub, S.I. Fomenko, A.A. Alexandrov et al. / Ed. by Jani M. A. Parinov I.A., Chang Sh.-H. — Springer, 2017. — Vol. 175 of Springer Proceedings in Physics.— P. 243-258.

97. Fomenko, S.I. Band-gaps and low transmission pass-bands in layered piezoelectric phononic crystals / S.I. Fomenko, M.V. Golub, A.A. Alexandrov et al. // Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction 2016". - 2016. - P. 149-154.

98. Golub, M.V. Wave propagation and band-gaps in a three-dimensional functionally graded piezoelastic layered phononic crystal / M.V. Golub, S.I. Fomenko, A.A. Alexandrov и др. // направлена в Journal of Sound and Vibration. — 2018.

99. Eringen, A.C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves / A.C. Eringen // Journal of Applied Physics. - 1983. - Vol. 54. - P. 4703-4710.

100. Eringen, A.C. Nonlocal continuum mechanics based on distribution. / A.C. Eringen // International Journal of Engineering Science. — 2006. — Vol. 44. - P. 141-147.

101. Kiselev, A.P. Energy flux of elastic waves / A.P. Kiselev // Journal of Soviet Mathematics. - 1982. - Vol. 19, No. 4. - P. 1372-1375.

102. Babeshko, V. A. Energy vortices and backward fluxes in elastic waveguides / V. A. Babeshko, E. V. Glushkov, N. V. Glushkova // Wave Motion. _ 1992. - Vol. 16. - P. 183-192.

103. Дорошенко, О.В. Распространение и дифракция упругих волн в слоистых средах с неидеальным контактом / О.В. Дорошенко, диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Краснодар, КубГУ, 2015. — С. 115.

104. Golub, M. V. SH-wave propagation and scattering in periodically layered composites with a damaged layer / M. V. Golub, Ch. Zhang, Y.-S. Wang // Journal of Sound and Vibration. — 2012. — Vol. 331, No. 8. — P. 1829-1843.

105. Guo, J. Simulation of plane 3d wave propagation in layered piezoelectric phononic crystals / J. Guo, J. Chen, E. Pan // International Journal of Engineering Science.^ 2016.— P. 110-124.

106. Francis, L. Fabrication and characterization of functionally graded poly(vinylidine fluoride)-silver nanocomposite hollow fibers for sustainable water recovery / L. Francis, N. Ghaffour, G. L. Amy // Science of Advanced Materials. - 2014. - Vol. 6, No. 12. - P. 2659-2665.