Особенности поведения некоторых нелинейных систем вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации: разрушение/установление синхронного режима, перемежаемость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Куровская, Мария Константиновна

• Куровская, Мария Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куровская, Мария Константиновна

Содержание

Введение

1 Разрушение режима фазовой синхронизации

1.1 Общие понятия теории фазовой синхронизации

1.2 Разрушение режима фазовой синхронизации двух однона-правленно связанных систем Ресслера.

1.3 Разрушение режима фазовой синхронизации: аналитическое рассмотрение.

1.4 Разрушение режима фазовой синхронизации во взаимно связанных осцилляторах.

1.5 Разрушение режима фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах с изначально фазово-некогерентными аттракторами.

1.6 Выводы по первой главе.

2 Перемежающееся поведение вблизи границы режима фазовой синхронизации

2.1 Перемежающееся поведение при малых частотных расстройках взаимодействующих осцилляторов

2.1.1 Примеры динамических систем.

2.1.2 Соотношение зависимостей средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для перемежаемости игольного ушка и перемежаемости типа I в присутствии шума.

2.2 Распределение длительностей ламинарных фаз при перемежаемости игольного ушка.

2.2.1 Перемежаемость типа I при наличии шума. Аналитическое рассмотрение.

2.2.2 Численный анализ распределений длительностей ламинарных фаз при перемежающемся поведении типа игольного ушка.

2.3 Перемежающееся поведение при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов

2.4 Численное исследование характеристик перемежающегося поведения при больших частотных расстройках.

2.4.1 Перемежающееся поведение в однонаправленно связанных осцилляторах Рссслера.

2.4.2 Перемежающееся поведение в однонаправленно связанных генераторах на туннельном диоде.

2.5 Выводы, по второй главе.

3 Ляпуновские экспоненты вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации

3.1 Об использовании ляпуновских экспонент для определения границы возникновения хаотической фазовой синхронизации

3.2 Поведение одного из нулевых показателей Ляпунова вблизи границы режима фазовой синхронизации.

3.2.1 Докритическая область, е < 0.

3.2.2 Закритическая область, е > 0.

3.3 Результаты численного моделирования эталонных динамических систем.

3.3.1 Отображение окружности.

3.3.2 Осциллятор Вап дер Поля.

3.3.3 Системы Ресслера.

3.4 Локальные ляпуновские экспоненты.

3.5 Выводы по третьей главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности поведения некоторых нелинейных систем вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации: разрушение/установление синхронного режима, перемежаемость»

Актуальность исследуемой проблемы

Явление фазовой синхронизации, наблюдаемое в системах различной природы [1,2], включая химические, биологические и физиологические, активно изучается в последнее время и вызывает большой интерес исследователей [3-5]. Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса [6-11] вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику [3,12-16]. При этом важно отметить, что в русскоязычной литературе под термином "фазовая синхронизация", возникшем достаточно давно, изначально понималось другое явление [17-23], суть которого состоит в следующем: синхронизация генераторов колебаний достигается за счет воздействия на них полученного некоторым способом преобразования фаз этих генераторов, причем генераторы и преобразователи фаз могут быть самой различной природы. Принцип фазовой синхронизации, положен в основу электронных систем фазовой автоподстройки, синхронных машин, систем фазового электропривода и т.д.

В настоящее время в русскоязычной научной литературе [3,13, 24-26] термин "фазовая синхронизация" широко используется и в смысле работ [27-29], в которых рассматривается хаотическая фазовая синхрони

Г\ зация, хотя, конечно, это вносит некоторую путаницу. Поэтому сразу следует отметить, что в настоящей диссертационной работе термин "фазовая синхронизация" используется в том смысле, в котором его трактуют работы [27-31], а именно, когда имеет место захват мгновенных фаз хаотических сигналов, при этом мгновенная фаза может быть введена различными способами.

Колоссальное число систем, как модельных, являющихся эталонными, так и представляющих практический интерес с той или иной точки зрения, были изучены и описаны с позиций фазовой синхронизации. В то же самое время следует отметить, что внимание исследователей, в подавляющем большинстве случаев, уделяется установлению факта существования или отсутствия синхронной динамики, в то время как процессы, происходящие вблизи границы возникновения режима фазовой хаотической синхронизации, исследованы в существенно меньшей степени. Тем не менее, важно подчеркнуть, что понимание подобных процессов позволяет объяснить механизмы, приводящие к установлению синхронного режима, и, несомненно, имеет важное фундаментальное значение для всей теории хаотической синхронизации. Поэтому именно на рассмотрение процессов, происходящих на границе возникновения режима хаотической фазовой синхронизации, исследование характеристик наблюдающихся режимов и выявление механизмов, приводящих к установлению синхронной динамики и направлена настоящая диссертационная работа, содержащая решение нескольких тесно взаимосвязанных друг с другом задач, касающихся поведения связанных хаотических осцилляторов вблизи границы возникновения синхронного режима.

Одной из задач, решенных в рамках настоящей диссертационной работы, является задача исследования различных особенностей разрушения (установления) режима хаотической фазовой синхронизации, в частности, изучение механизмов, обуславливающих переход от режима синхронной динамики к асинхронному поведению в связанных осцилляторах при варьировании параметра связи. Интерес к данной проблеме вызван тем, что в подавляющем большинстве случаев исследователи не делают различий между теми или иными особенностями режима фазовой синхронизации и его установления/разрушения. В качестве исключения следует упомянуть работу [32], где в зависимости от степени когерентности/некогерентпости хаотического аттрактора выделялись различные типы перехода к режиму фазовой синхронизации, а также работу [33], в которой показано, что для систем с относительно большой размерностью фазового пространства разрушение режима хаотической фазовой синхронизации может быть связано с глобальными бифуркациями. В то же самое время, исключение из поля зрения вышеупомянутых особенностей, как это произошло, например, в работе [34], может приводить к неправильной трактовке наблюдаемых явлений [35] и ошибочным выводам. Поэтому выявление причин, приводящих к разрушению (установлению) хаотической фазовой синхронизации, а также исследование характеристик данного типа синхронной динамики имеет важное научное значение.

Другой задачей, решение которой содержится в настоящей диссертационной работе, и которая тесно связана с предыдущей, является изучение статистических характеристик перемежающегося поведения, наблюдаемого ниже границы режима фазовой синхронизации. Наличие перемежающегося поведения характерно для многих нелинейных систем и наблюдается, в частности, при переходе от периодических колебаний к хаотическим [36], вблизи границы возникновения синхронных режимов связанных хаотических осцилляторов [5,37,38] и в целом ряде других случаев [39-41]. Существует определенная классификация перемежающегося поведения, в частности, выделяют перемежаемость типа 1-Ш [36,42], оп-оЯ перемежаемость [43], перемежаемость игольного ушка [44].

Из научной литературы известно, что на границе фазовой синхронизации имеет место перемежаемость игольного ушка [44-48]. Однако, следует заметить, что данный тип перемежаемости наблюдается лишь в том случае, когда величина расстройки частот между взаимодействующими хаотическими осцилляторами является достаточно малой. При большой же расстройке параметров статистические характеристики перемежающегося поведения исследованы не были. Более того, не было даже известно, наблюдается ли в этом случае перемежающееся поведение ниже границы режима фазовой хаотической синхронизации. Учитывая, что при исследовании различных особенностей разрушения (возникновения) режима хаотической фазовой синхронизации (глава 1) было установлено, что механизмы, приводящие к разрушению синхронного режима, различны при больших и малых расстройках, следовало ожидать, что и характеристики перемежающегося поведения (если оно имеет место в этом случае) могут быть другими. Очевидно, что данная проблема имеет непосредственное отношение к более точному и полному пониманию процессов, происходящих вблизи границы фазовой синхронизации и, следовательно, необходимость изучения данного вопроса не вызывает сомнений.

Что касается перемежаемости игольного ушка, то и здесь до настоящего времени оставались невыясненные вопросы. Следует отметить, что для описания перемежающегося поведения традиционно используются две основные характеристики — зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности и распределение длительностей ламинарных фаз. Для перемежаемости игольного ушка в научной литературе описан закон зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности [44,46,49], тогда как аналитический закон распределения длительностей ламинарных фаз был неизвестен. В то же время, в ряде случаев единственной доступной для анализа характеристикой перемежающегося поведения является именно распределение длительностей ламинарных фаз, поскольку далеко не всегда в эксперименте исследователь может варьировать параметр надкритичности изучаемой системы, и, следовательно, зависимость средней длительности ламинарных фаз не может быть получена [40,41]. В настоящей диссертационной работе впервые удалось получить аналитический вид распределения длительностей ламинарных фаз для перемежаемости игольного ушка.

Еще одним направлением, тесно связанным с исследуемой в диссертационной работе проблемой, является анализ изменений, происходящих в спектре показателей Ляпунова при варьировании управляющих параметров, при котором происходит переход от режима фазовой синхронизации к асинхронной динамике.

Известно, что ляпуновские показатели представляют собой мощный инструмент для анализа сложной динамики системы. Они широко используются для описания поведения сложных систем, являющихся предметом изучения различных областей науки, таких как физика [50], молекулярная динамика [51], астрономия [52], медицина [53], экономика [54] и так далее.

Одним из наиболее значимых приложений показателей Ляпунова является их использование для обнаружения качественных изменений в динамике системы при варьировании управляющих параметров. Например, ляпуновские экспоненты используются для обнаружения перехода от хаотического режима к гиперхаосу [55], для выявления наличия гиперболического аттрактора [50,56], для детектирования обобщенной синхронизации [57,58] или индуцированной шумом синхронизации [59-61], и так далее.

Нулевая ляпуповская экспонента выделяется из спектра ляпуновских показателей, характеризующего динамику системы. Несмотря па то, что эта ляпуновская экспонента может претерпевать изменения (например, становиться отрицательной), когда в системе происходят бифуркации, здесь и далее на всем протяжении диссертационной работы будет использоваться термин "нулевая ляпуновская экспонента" для обращения именно к этому ляпуновскому показателю из всего спектра ляпуновских экспонент, независимо от того до или после точки бифуркации рассматривается поведение системы. Нулевая ляпуновская экспонента соответствует возмущению вдоль траектории в фазовом пространстве и в целом ряде случаев играет важную роль в описании поведения систем. Например, для детерминированного периодического осциллятора этот показатель является наибольшим по величине в спектре ляпуновских экспонент. В таких системах, управляемых внешним сигналом (детерминированным или случайным), старшая условная ляпуновская экспонента (которая является нулевой в автономном случае) может стать отрицательной, что является признаком установления синхронного режима. Нулевой показатель Ляпунова может обозначать наличие специфического режима в динамике системы, такого как неполная индуцированная шумом синхронизация [62]. Считается также, что в связанных хаотических осцилляторах переход нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений тесно связан с установлением режима фазовой синхронизации [32,63]. В то же самое время известно [64,65], что точка, соответствующая установлению режима фазовой синхронизации и момент перехода нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений не совпадают друг с другом и могут в значительной степени различаться. Вопрос о том, как именно связаны изменения, происходящие в динамике взаимодействующих осцилляторов при приближении к границе хаотической фазовой синхронизации, с поведением нулевой ляпуновской экспоненты, нигде до настоящего момента рассмотрен не был и решение данной задачи впервые приводится в настоящей диссертационной работе. Как будет показано в главе 3 диссертации, переход нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений связан с перемежающимся поведением, наблюдающимся вблизи границы хаотической фазовой синхронизации (глава 2), а именно, с наличием ламинарных фаз (участков синхронного поведения для системы связанных осцилляторов). Для детального исследования этого вопроса в диссертационной работе введены в рассмотрение и изучены локальные ляпуновские показатели, отдельно для ламинарных и турбулентных фаз.

Таким образом, на основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что круг вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, достаточно широк, а тема диссертационной работы является актуальной и важной для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории нелинейных колебаний и волн.

Цель диссертационной работы

Настоящая работа посвящена исследованию процессов, происходящих на границе режима хаотической фазовой синхронизации. Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение поведения хаотических осцилляторов, находящихся вблизи границы установления данного режима синхронной динамики.

Основными вопросами, подробно рассмотренными в диссертационной работе, являются следующие:

• исследование особенностей разрушения/установления режима фазовой синхронизации хаотических осцилляторов при различных значениях частотной расстройки между взаимодействующими подсистемами;

• исследование статистических характеристик перемежающегося поведения, наблюдаемого вблизи границы режима фазовой синхронизации при переходе от синхронной динамики к асинхронному поведению;

• изучение возможности использования ляпуиовских экспонент для определения границы возникновения хаотической синхронизации, в частности, исследование вопроса о том, какие изменения происходят в спектре условных ляпуновских экспонент при переходе через границу фазовой синхронизации и при дальнейшем изменении управляющих параметров;

• изучение поведения нулевого показателя Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров вблизи точки седло-узловой бифуркации;

• исследование локальных ляпуиовских экспонент, рассчитанных по участкам, соответствующим ламинарным и турбулентным фазам.

Исследования, проведенные в рамках настоящей диссертационной работы, направлены на то, чтобы выявить и понять общие закономерности как синхронного поведения, так и поведения вблизи границы установления синхронного режима нелинейных динамических систем, демонстрирующих хаотическую динамику.

Научная новизна

Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении механизмов, обусловливающих процессы, происходящие вблизи границы хаотической фазовой синхронизации взаимодействующих связанных хаотических осцилляторов, и детальном анализе различных характеристик данных процессов.

Впервые получены следующие научные результаты:

• показано наличие двух сценариев разрушения/установления режима хаотической фазовой синхронизации, реализующихся, как и в случае классической синхронизации периодических осцилляторов, при большой и малой величине расстройки частот взаимодействующих подсистем. Выявлены механизмы этих типов разрушения синхронной динамики [65-67];

• исследованы статистические характеристики перемежающегося поведения на границе режима фазовой синхронизации в обоих случаях. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что при малой и большой расстройках управляющих параметров реализуются разные типы перемежающегося поведения [68,69];

• выявлены механизмы, приводящие к возникновению перемежаемости типа игольного ушка, наблюдаемой при малых частотных расстройках взаимодействующих осцилляторов ниже границы фазовой синхронизации [68,70]. Впервые получен аналитический вид распределения длительностей ламинарных фаз в зависимости от управляющего параметра для данного типа перемежающегося поведения;

• впервые описано перемежающееся поведение типа кольца, выявлены обуславливающие его механизмы. Исследованы статистические характеристики перемежаемости кольца: аналитически получен закон для зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности, а также вид распределения длительностей ламинарных фаз в зависимости от значения управляющего параметра [66,71];

• изучен вопрос об использовании условных ляпуновских экспонент для определения границы возникновения хаотической фазовой синхронизации [72];

• исследовано поведение нулевой ляпуновской экспоненты в окрестности бифуркационной точки, которая в случае связанных хаотических осцилляторов лежит ниже границы режима фазовой синхронизации. Аналитически получены зависимости данного показателя Ляпунова от управляющих параметров как выше, так и ниже точки бифуркации [72]. Построенная теория применима как в случае связанных хаотических осцилляторов, так и для систем со случайным внешним воздействием;

• исследовано поведение локальных ляпуновских экспонент, рассчитанных по участкам синхронного поведения (ламинарным фазам) и интервалам, соответствующим фазовым проскокам (турбулентные фазы) [72];

Основу диссертации составляют результаты, полученные лично соискателем. Им выполнены все численные и аналитические расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены либо лично автором, либо совместно с научным руководителем.

Практическая значимость

Диссертационная работа решает научную задачу, имеющую существенное значение для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории колебаний и волн, связанную с выявлением общих закономерностей установления/разрушения синхронного поведения в нелинейных автоколебательных системах. В большинстве случаев исследование проводилось на примере эталонных моделей нелинейной динамики, таких как автогенератор Ван дер Поля, система Ресслера, квадратичное отображение и отображение окружности. Так как все рассмотренные модели по своей сути являются базовыми, результаты, полученные в рамках настоящей диссертационной работы, имеют общий характер и могут быть распространены на системы различной природы (радиофизической, биологической, физиологической и т.д.). Полученные результаты позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей синхронного поведения связанных динамических систем и выявить механизмы их возникновения. В частности, выявление взаимосвязи между динамикой связанных хаотических осцилляторов вблизи границы возникновения режима фазовой синхронизации и поведением нулевой условной ляпуновской экспоненты имеет важное не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку позволяет адекватно использовать мощный аппарат, связанный с использованием ляпуновских экспонент, при изучении самого широкого круга нелинейных хаотических систем, значения управляющих параметров которых находятся вблизи границы установления синхронного режима.

Понимание механизмов установления/разрушения режима фазовой хаотической синхронизации при различных значениях расстроек управляющих параметров взаимодействующих систем позволило объяснить причины возникновения двух разных типов перемежающегося поведения на границе установления синхронного режима и получить аналитические зависимости для их характеристик. Более того, использованные в рамках диссертационной работы сходства между стохастическими процессами и динамическим хаосом позволяют расширить применимость полученных результатов на широкий класс систем, находящихся под воздействием шумов. Очевидно, что шумы неизбежно присутствуют как при численном моделировании, так и при проведении экспериментальных измерений. И хотя в ряде случаев влиянием шумов на поведение системы можно пренебречь, роль шумов становится чрезвычайно важной при рассмотрении динамики систем вблизи точек бифуркации. Как следствие, поведение системы в окрестности бифуркационных точек в присутствии шумов может существенным образом отличаться от случая, когда шумы в рассмотрение не принимаются. В частности, известно, что шум существенно изменяет статистические характеристики перемежающегося поведения [70,73,74]. Поэтому несомненно, что выявление особенностей поведения систем, обусловленных шумом, и выяснение, к каким изменениям количественных характеристик (таких, например, как ляпуновские экспоненты) приводит воздействие шума, имеет важное практическое значение.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке специалистов по специальности "Радиофизика и электроника", а также по направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика" в ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Существуют два сценария разрушения/установления режима фазовой синхронизации взаимодействующих хаотических осцилляторов с ярко выраженной основной частотой колебаний. Первый тип разрушения фазовой синхронизации, наблюдающийся при малой расстройке собственных частот взаимодействующих осцилляторов, связан с нарушением общего ритма хаотических колебаний, в то время как аттракторы обеих хаотических систем сохраняют фазовую когерентность, то есть проекция фазовой траектории на некоторую плоскость состояний все время вращается вокруг начала координат, не пересекая и не огибая его. Второй сценарий реализуется при большой величине частотной расстройки и обусловливается потерей фазовой когерентности хаотического аттрактора одного из взаимодействующих осцилляторов.

2. Каждый из сценариев разрушения режима хаотической фазовой синхронизации сопровождается перемежающимся поведением, при этом для малых значений расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов имеет место перемежаемость игольного ушка, а для больших - перемежаемость кольца.

3. Распределение длительностей ламинарных фаз (участков синхронного поведения) для перемежаемости игольного ушка, наблюдающейся вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации в случае малых значений расстройки основных частот взаимодействующих осцилляторов, подчиняется экспоненциальному закону.

4. Нулевая условная ляпуновская экспонента, характеризующая поведение ведомого хаотического осциллятора, становится отрицательной раньше возникновения режима фазовой синхронизации, при этом отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты является проявлением синхронизма, наблюдающегося на определенных временных интервалах (ламинарные фазы) вблизи границы установления режима фазовой синхронизации, где полностью синхронный режим еще не установился.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 184 страницы текста, включая 40 иллюстраций. Список литературы содержит 126 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Куровская, Мария Константиновна

3.5 Выводы по третьей главе

Таким образом, в настоящей работе рассмотрено поведение нулевого показателя Ляпунова в окрестности точки седло-узловой бифуркации. Получены аналитические законы зависимости данного показателя Ляпунова от управляющего параметра как выше, так и ниже точки бифуркации, при этом наблюдается отличное соответствие теоретических результатов и данных, полученных в численном счете (за исключением очень небольшого диапазона чрезвычайно малых значений управляющего параметра е, где, в полном соответствии с построенной теорией, аналитические формулы отклоняются от истинных значений ляпуновской экспоненты). Выше точки бифуркации, т.е. в закритической области, шум практически не оказывает влияния на нулевую ляпуновекую экспоненту, и ее значение Ао совпадает со значением соответствующего показателя Ляпунова Ао, характеризующего динамику системы в отсутствие шума. Что же касается докритической области, то наличие шума приводит к тому, что нулевая ляпуновская экспонента Ао начинает принимать отрицательные значения. Поскольку построенная теория применима как для систем со случайным внешним воздействием, так и в случае детерминированных хаотических осцилляторов, то можно ожидать, что те же механизмы будут проявляться и при многих других важных обстоятельствах, когда уровень естественных шумов значительный, например, в физиологических [41,125,126] или физических системах [46].

Для объяснения причин, по которым нулевой условный ляпуновский показатель становится отрицательным, в рассмотрение введены локальные условные ляпуновские экспоненты для ламинарных и турбулентных фаз, соответственно. Показано, что за отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты отвечают ламинарные фазы: распределение локальных условных показателей Ляпунова на плоскости "значение условной ляпуновской экспоненты — длительность фазы" сдвигается в область отрицательных значений, в то время как распределения соответствующих экспонент для турбулентных фаз остается практически симметричным относительно нулевого значения. Отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты является проявлением синхронизма, наблюдающегося на определенных временных интервалах вблизи границы установления режима фазовой синхронизации. В то же самое время следует учитывать, что отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты вовсе не означает установления режима фазовой хаотической синхронизации, поскольку существуют участки асинхронной динамики, прерывающие ламинарные фазы.

Заключение

В настоящей диссертационной работе проведено изучение особенностей поведения нелинейных динамических систем вблизи границы разрушения режима хаотической фазовой синхронизации. Обнаружены основные сценарии разрушения синхронного режима и выявлены механизмы, обуславливающие их возникновение. В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Впервые показано, что существуют два различных сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, реализующиеся при больших и малых значениях частотной расстройки взаимодействующих осцилляторов, соответственно. При большой величине частотной расстройки разрушение режима хаотической фазовой синхронизации сопровождается потерей фазовой когерентности хаотического аттрактора ведомой системы. В синхронном режиме ведомая система характеризуется фазово-когерентным хаотическим аттрактором, в то время как ниже границы фазовой синхронизации хаотический аттрактор ведомой системы Ресслера становится фазово-некогерентным, что, фактически, и приводит к разрушению синхронного режима. В случае малой расстройки параметров при уменьшении величины связи режим фазовой синхронизации разрушается, хотя хаотические аттракторы остаются фазово-когерентными во всем диапазоне значений параметра связи. Выявленные сценарии разрушения режима фазовой синхронизации обладают большой степенью общности и реализуются для различных систем (и хаотических, и периодических) как при однонаправленной, так и взаимной связи взаимодействующих осцилляторов.

2. Показано, что выявленные два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации находят свое отражение в двух различных типах перемежающегося поведения, реализующихся в непосредственной близости границы синхронного режима при больших и малых значениях частотной расстройки, соответственно. При малых значениях расстройки в системе имеет место перемежаемость игольного ушка, тогда как для больших расстроек наблюдается перемежаемость кольца, впервые описанная в рамках главы 2 настоящей диссертационной работы. Для данного типа перемежаемости построена соответствующая теория, выявлен механизм, приводящий к возникновению перемежающегося поведения данного типа, получена теоретическая зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра связи, хорошо согласующаяся с численными данными. Показано, что распределение длительностей ламинарных фаз удовлетворяет экспоненциальному закону.

3. В рамках диссертационной работы впервые показано, что перемежающееся поведение типа I в закритической области значений управляющих параметров в присутствии шума, имеющее место вблизи точки седло-узловой бифуркации, и перемежаемость игольного ушка, наблюдающаяся в окрестности разрушения режима хаотической фазовой синхронизации при малых значениях частотной расстройки взаимодействующих осцилляторов, фактически, являются одним типом динамики систем. Различие между данными типами перемежаемости заключается только в характере внешнего сигнала, воздействующего на систему. В случае перемежаемости типа I с шумом на систему оказывается случайное воздействие, в то время как для перемежаемости игольного ушка используется сигнал хаотической динамической системы, который влияет на динамику ведомого хаотического осциллятора. В то же время, центральные механизмы, обуславливающие поведение систем, равно как и характеристики динамики системы, оказываются одними и теми же в обоих случаях.

4. Впервые аналитически получен вид распределения длительностей ламинарных фаз для перемежаемости игольного ушка с использованием подхода, основанного на рассмотрении перемежаемости типа I при наличии шума в закритической области значений управляющего параметра. Уже известная зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности [49,110] является при этом логичным следствием построенной теории.

5. Известная зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности [49,110] для перемежаемости типа I в закритической области значений управляющих параметров в присутствии шума была получена только для двух строго определенных видов процесса реламинаризации. В настоящей диссертационной работе впервые показано, что данное аналитическое выражение практически не зависит от характера процесса реинжекции фазовой траектории (процесса реламинаризации), а следовательно, является справедливым для широкого круга нелинейных динамических систем, демонстрирующих данный тип перемежающегося поведения, включая и динамику систем вблизи границы разрушения режима хаотической фазовой синхронизации при малых значениях частотных расстроек.

6. Исследовано поведение нулевого показателя Ляпунова в окрестности точки седло-узловой бифуркации. Получены аналитические законы зависимости данного показателя Ляпунова от управляющего параметра как выше, так и ниже точки бифуркации. Продемонстрировано отличное соответствие теоретических результатов и данных, полученных в численном счете (за исключением очень небольшого диапазона чрезвычайно малых значений управляющего параметра, где, в полном соответствии с построенной теорией, аналитические формулы отклоняются от истинных значений ляпуновской экспоненты). Выше точки бифуркации, т.е. в закритической области, шум (случайный или детерминированный) практически не оказывает влияния на нулевую ляпуновскую экспоненту, и ее значение совпадает со значением соответствующего показателя Ляпунова, характеризующего динамику системы в отсутствие шума. В докритической области наличие шума приводит к тому, что нулевая ляпуновская экспонента принимает отрицательные значения. Поскольку построенная теория применима как для систем со случайным внешним воздействием, так и в случае детерминированных хаотических осцилляторов, то можно ожидать, что те же механизмы будут проявляться во многих системах, когда уровень естественных шумов значительный.

7. Для объяснения механизмов, обуславливающих отрицательность нулевой условной ляпуновской экспоненты в рассмотрение введены локальные условные ляпуновские показатели, посчитанные отдельно для ламинарных фаз и по участкам, соответствующим фазовым проскокам. Показано, что отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты связана с проявлением синхронизма, наблюдающегося в течение ламинарных фаз. Распределение локальных условных показателей Ляпунова, посчитанных по ламинарным фазам, на плоскости "значение условной ляпуновской экспоненты — длительность фазы" сдвигается в область отрицательных значений, в то время как распределения соответствующих экспонент для турбулентных фаз остается практически симметричным относительно нулевого значения. В то же время, несмотря на то, что нулевой ляпуновский показатель отрицателен, полностью синхронного режима в системе нет, поскольку участки синхронной динамики прерываются фазовыми проскоками. Таким образом, отрицательность нулевой ляпуновской экспоненты не обязательно означает существование режима фазовой синхронизации в системе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куровская, Мария Константиновна, 2009 год

1. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, С. Scháfer, and P. A. Tass, Phase synchronization: from theory to data analysis, Handbook of Biological Physics, Elsiver Science, 2001, 279-321.

2. R. Q. Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, and P. Grassberger, Perfomance of different synchronization measures in real data: a case study on electroencephalographic signals, Phys. Rev. E 65 (2002), 041903.

3. А. С. Пиковский, M. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

4. V. S. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman, Т. Е. Vadivasova, and L. Schimansky-Geier, Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems, tutorial and modern developments, Springer-Verlag, Heidelberg, 2001.

5. S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, and С. T. Zhou, The synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002), 1.

6. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда, Стохастические и хаотические колебания, М.: Наука, 1987.

7. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, Стохастические колебания в радиофизике и электронике, М.: Наука, 1989.

8. В. С. Анищенко, Сложные колебания в простых системах, М.: Наука, 1990.

9. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Летчфорд, Многочастотные и стохастические автоколебания в автогенераторе с инерционной нелинейностью, Радиотехника и электроника 27 (1980), N0. 10, 1972.

10. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы, Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1999.

11. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, С. О. Старков, Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе, ЖТФ 5 (1985), N0. 12, 2417-2419.

12. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1999.

13. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова и др., Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

14. В. С. Анищенко, Д. Э. Постпов, Эффект захвата фазовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов., Письма в ЖТФ 14 (1988), N0. 6, 569.

15. В. Д. Шалфеев, В. В. Матросов, Об эффектах захвата и удероюания при синхронизации хаотически модулированных колебаний, Изв. вузов. Радиофизика 41 (1998), N0. 12, 1033-1036.

16. В. В. Матросов, В. Д. Шалфеев, Д. В. Касаткин, Анализ областей генерации хаотических колебаний взаимосвязанных фазовых систем, Изв. вузов. Радиофизика 49 (2006), N0. 5, 448-457.

17. В. В. Шахгильдян, Л. Н. Белюстина (ес^.), Фазовая синхронизация, М.: Связь, 1975.

18. П. С. Ланда, К вопросу о частичной синхронизации, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), N0. 4, 48-59.

19. Г. А. Леонов, В. Б. Смирнова, Математические проблемы теории фазовой синхронизации, СПб.: Наука, 2000.

20. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Динамические свойства двух-контурной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 29 (2006), N0. 6, 1125-1133.

21. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 38 (1993), N0. 4, 711-720.

22. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, О динамике инерционной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 28 (1993), N0. 4, 721-730.

23. В. Линдсей, Системы синхронизации в связи и управлении, М.: Сов. радио, 1978.

24. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 30 (2004), N0. 14, 29-36.

25. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Статистические свойства динамического хаоса, Успехи физических наук 175 (2005), No. 2, 163.

26. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 19, 76-82.

27. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1804-1807.

28. G. V. Osipov, A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronization effect in a lattice of nonidentical Rossler oscillators, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 3, 2353-2361.

29. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving, Physica D 104 (1997), No. 4, 219-238.

30. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronisation in regular and chaotic systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2291-2305.

31. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001.

32. G. V. Osipov, В. Ни, С. T. Zhou, M. V. Ivanchenko, J. Kurths, Three types oftransitons to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 91 (2003), No. 2, 024101.

33. D. E. Postnov, A. G. Balanov, N. B. Janson, E. Mosekilde, Homoclinic bifurcation as a mechanism of chaotic phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), No. 10, 1942-1945.

34. D. Lee, W.-H. Kye, S. Rim, Tae-Yoon Kwon, G.-M. Kim, Generalized phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 67 (2003), No. 4, 045201.

35. A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, A. E. Hramov, Comment on "Generalized phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators", Phys. Rev. E (submitted) (2009).

36. M. Dubois, M. Rubio, P. Berge, Experimental evidence of intermiasttencies associated with a subharmonic bifurcation, Phys. Rev. Lett. 51 (1983), 1446-1449. ;

37. S. Boccaletti, D. L. Valladares, Characterization of intermittent lag synchronization, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 7497-7500.

38. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Intermittent generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators, Europhysics Lett. TO (2005), No. 2, 169-175.

39. J. L. Perez Velazquez, H. Khosravani, A. Lozano et al, Type III inermittency in human partial epilepcy, European Journal of Neuroscience 11 (1999), 2571-2576.

40. J. L. Cabrera, J. Milnor, On-off intermittency in a human balancing task, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 15, 158702.

41. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Midzyanovskaya, E. Sitnikova, C. M. Rijn, On-off intermittency in time series of spontaneous paroxysmal activity in rats with genetic absence epilepsy, Chaos 16 (2006), 043111.

42. P. Berge, Y. Pomeau, and Ch. Vidal, L'ordre dans le chaos, Hermann, Paris, 1988.

43. N. Piatt, E. A. Spiegel, and C. Tresser, On-off intermittency: a mechanism for bursting, Phys. Rev. Lett. 70 (1993), No. 3, 279-282.

44. A. S. Pikovsky, G. V. Osipov, M. G. Rosenblum, M. Zaks, and J. Kurths, Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 1, 47-50.

45. M. Zhan, G. W. Wei, and C.-H. Lai, Transition from intermittency to periodicity in lag synchronizarion in coupled Rossler oscillators, Phys. Rev. E 65 (2002), 036202.

46. S. Boccaletti, E. Allaria, R. Meucci, and F. T. Arecchi, Experimental characterization of the transition to phase synchronization of chaotic CO2 laser systems, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 19, 194101.

47. A. S. Pikovsky, M. Zaks, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, and J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators in terms of periodic orbits, Chaos 7 (1997), No. 4, 680-687.

48. K. J. Lee, Y. Kwak, and T. K. Lim, Phase jumps near a phase synchronization transition in systems of two coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 81 (1998), No. 2, 321-324.

49. W.-H. Kye and C.-M. Kim, Characteristic relations of type-I intermittency in the presence of noise, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 6304-6307.

50. K. Thamilmaran, D. V. Senthilkumar, A. Venkatesan, and M. Lakshmanan, Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit, Phys. Rev. E 74 (2006), 036205.

51. Т. Е. Karakasidis, A. Fragkou, and A. Liakopoulos, System dynamics revealed by recurrence quantification analysis: Application to molecular dynamics simulations, Phys. Rev. E 76 (2007), No. 2, 021120.

52. W. M. Macek, Stefano Redaelli, Estimation of the entropy of the solar wind flow, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 6496-6504.

53. R. Porcher, G. Thomas, Estimating lyapunov exponents in biomedical time series, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 1, 010902.

54. R. M. Diinki, Largest lyapunov-exponent estimation and selective prediction by means of simplex forecast algorithms, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 6505-6515.

55. С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков, Хаос и гиперхаос в лампе обратной волны, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 383.

56. S. P. Kuznetsov, Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the smale-Williams type, Phys. Rev. Lett. 95 (2005), 144101.

57. K. Pyragas, Weak and strong synchronization of chaos, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 5, R4508-R4511.

58. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Generalized synchronization: a modified system approach, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 6, 067201.

59. D. S. Goldobin, A. S. Pikovsky, Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 4, 045201.

60. D. S. Goldobin, A. S. Pikovsky, Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise, Physica A 351 (2005), 126-132.

61. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?, Phys. Lett. A 354 (2006), No. 5-6, 423-427.

62. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Incomplete noise-induced synchronization of spatially extended systems, Phys. Rev. E 77 (2008), No. 2, 036215.

63. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 78 (1997), No. 22, 4193-4196.

64. A. Politi, F. Ginelli, S. Yanchuk, Yu. Maistrenko, From synchronization to lyapunov exponents and back, Physica D 224 (2006), 90.

65. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Two types of phase synchronization destruction, Phys. Rev. E 75 (2007), No. 3, 036205.

66. А. А. Короновский, M. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, ЖТФ 77 (2007), No. 1, 21-29.

67. Храмов А.Е. Короновский А.А., Куровская М.К., Разрушение реэ/си-ма фазовой хаотической синхронизации, Электромагнитные волны и электронные системы 12 (2007), No. 4, 20-23.

68. Куровская М.К., Распределение длительностей ламинарных фаз при перемежаемости "игольного ушка", Письма в ЖТФ 34 (2008), No. 24, 48-54.

69. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, S. Boccaletti, Ring intermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 97 (2006), 114101.

70. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Alexey A. Ovchinnikov, S. Boccaletti, Length distribution of laminar phases for type-I intermittency in the presence of noise, Phys. Rev. E 76 (2007), No. 2, 026206.

71. О. И. Москаленко, Переход к фазовой синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой, Письма в ЖТФ 33 (2007), No. 19, 72-79.

72. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise, Phys. Rev. E 78 (2008), 036212.

73. A. A. Koronovskii, A. E. Hramov, Type-II intermittency characteristics in the presence of noise, Eur. Phys. J. B. 62 (2008), 447-452.

74. М. К. Куровская, Изучение фазового сдвига меоюду неустойчивыми периодическими орбитами во взаимно( связанных системах Рёс-слера, Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004", ГосУНЦ "Колледж", November 2004, 135-138.

75. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, Взаимосвязь фазовой синхронизации и синхронизации временных масштабов, Сборник тезисов III Международной конференции "Фундментальные проблемы физики" (13-18 июня 2005 года, Казань, Россия), 2005, 174.

76. M. К. Куровская, А. А. Короновский, A. E. Храмов, Механизмы разрушения режима фазовой хаотической синхронизации в связанных осцилляторах, Труды школы-семинара "Волны-2006". Московская область, пансионат "Университетский", 22-27 мая 2006 г., 2006, 9-11.

77. М. К. Куровская, Исследование характеристик перемежающегося поведения на границе хаотической фазовой синхронизации, Тезисыдокладов XIV научной школы "Нелинейные волны — 2008", March 2008, 101-102.

78. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, M. К. Kurovskaya, Characteristics of eyelet intermittency, Book of Abstracts. Chaotic Modeling and Simulation International Conference "CHAOS 2008" (June 3-6, 2008, Chania, Crete, Greece), 2008, 32-33.

79. А. А. Короновский, M. К. Куровская, А. Е. Храмов, Временное запаздывание между неустойчивыми периодическими орбитами связанных хаотических осцилляторов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 3, 60-66.

80. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, M. К. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 5, 056204.

81. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации, Радиотехника и электроника 49 (2004), No. 1, 123.

82. A. G. Balanov, N. В. Janson, D. E. Postnov, P. V.E. McClintock, Coherence resonance versus synchronization in a periodically forced self-sustained system, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 4, 041105.

83. P. Woafo R. A. Kraenkel, Synchronisation: stability and duration time, Phys. Rev. E 65 (2002), 036225.

84. A. G. Balanov, N. B. Janson, V. Astakhov, P. V.E. McClintock, Role of saddle tori in the mutual synchronization of periodic oscillations, Phys. rev. E 72 (2005), No. 2, 026214.

85. М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в теорию колебаний и волн, М.-Ижевск: РХД, 2000.

86. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин, Нелинейные колебания, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2002.

87. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Effect of phase synchronization in driven and coupled chaotic oscillators, IEEE Transactions on Circuits and Systems I 44 (1997), No. 10, 874-881.

88. A. S. Pikovsky, M. I. Rabinovich, Stochastic oscillations in dissipative systems, Physica D 2 (1981), 8-24.

89. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Locking-based frequency measurement and synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 26, 264102.

90. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (2004), No. 3, 603-610.

91. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Time scale synchronization of chaotic oscillators, Physica D 206 (2005), No. 3-4, 252-264.

92. D. Pazo, M. Zaks, J. Kurths, Role of unstable periodic orbits in phase and lag synchronization between coupled chaotic oscillators, Chaos 13 (2002), 309-318.

93. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Yu.I Levin, Synchronization of chaotic oscillator time scales, JETP 127 (2005), No. 4, 886-897.

94. E. Rosa, E. Ott, M. H. Hess, Transition to phase synchronization of chaos, Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 8, 1642-1645.

95. С. Grebogi, Е. Ott, J. A. Yorke, Fractal basin boundaries, long lived chaotic trancients, and unstable-unstable pair bifurcation, Phys. Rev. Lett. 50 (1983), No. 13, 935-938.

96. Y. Pomeau, P. Manneville, Inetrmittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems, Commun. Math. Phys. 74 (1980), 189.

97. Takehiko Horita, Katsuya Ouchi, T. Yamada, H. Fujisaka, Stochastic model of chaotic phase synchronization. II, Progress of Theoretical Physics 119 (2008), No. 2, 223-235.

98. Т. E. Вадивасова, В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, А. С. Захарова, Статистические свойства мгновенной фазы зашумленных периодических и хаотических автоколебаний, Радиотехника и электроника (2006), 580-592.

99. J. P. Eckmann, L. Thomas, and P. Wittwer, Intermittency in the presence of noise, J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 3153-3168.

100. J. E. Hirsch, B. A. Huberman, D. J. Scalapino, Theory of intermittency, Phys. Rev. A 25 (1982), No. 1, 519-532.

101. Jin-Hang Cho, Myung-Suk Ко, Young-Jai Park, and G.-M. Kim, Experimental observation of the characteristic relations of type-i intermittency in the presence of noise, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 3, 036222.

102. Alexander E. Hramov, Alexey A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Type-i intermittency with noise versus eyelet intermittency, Europhysics Letters (2009), submitted.

103. C.-M. Kim, O. J. Kwon, Eok-Kyun Lee, Hoyun Lee, New characteristic relations in type-i intermittency, Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 4, 525528.

104. C.-M. Kim, Geo-Su Yim, Jung-Wan Ryu, Young-Jai Park, Characteristic relations oftype-iii intermittency in an electronic circuit, Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 24, 5317-5320.

105. J. E. Hirsch, M. Nauenberg, D. J. Scalapino, Phys. Lett. A 87 (1982), 391.

106. J. P. Crutchfield, J. D. Farmer, B. A. Huberman, Fluctuations and simple chaotic dynamics, Physics Reports 92 (1982), No. 2, 45.

107. K. Pyragas, Conditiuonal Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 5, 5183-5188.

108. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, O. I. Moskalenko, Generalized synchronization onset, Europhysics Letters 72 (2005), No. 6, 901-907.

109. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D.I. Abaxbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 51 (1995), No. 2, 980-994.

110. H. D.I. Abarbanel, N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 5, 4528-4535.

111. T. Yamada, Takehiko Horita, Katsuya Ouchi, H. Fujisaka, Stochastic model of chaotic phase synchronization. I, Progress of Theoretical Physics 116 (2006), 819-837.

112. O. Popovych, Yu. Maistrenko, P. A. Tass, Phase chaos in coupled oscillators, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 6, 065201 (R).

113. Awadhesh Prasad and Ramakrishna Ramaswamy, Characteristic distributions of finite-time Lyapunov exponents, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 3, 2761-2766.

114. R. Zillmer, A. S. Pikovsky, Multiscaling of noise-induced parametric instability, Phys. Rev. E 67 (2003), No. 6, 061117.

115. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency, Phys. Rev. E 73 (2006), No. 2, 026208.

116. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform, Phys. Rev. E 75 (2007), No. 5, 056207.