Особенности поведения материалов при мощной плазменной нагрузке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Аракчеев, Алексей Сергеевич

• Аракчеев, Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Аракчеев, Алексей Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Модель образования пылевых частиц при облучении

графита

1.1. Постановка задачи

1.2. Математическая модель дробления на основе гипотезы масштабного подобия

1.3. Аналогия модели дробления с фрактальной геометрией

1.4. Дополнительные предположения модели

1.5. Обсуждение результатов

Глава 2. Неустойчивость нагретого поверхностного слоя

2.1. Постановка задачи

2.2. Вычисление инкримента неустойчивости

Глава 3. Модель образования трещин на вольфраме вследствие остаточных пластических напряжений после облучения

3.1. Постановка задачи

3.2. Математическая модель пластической деформации

3.3. Условия образования трещин на вольфраме

3.3.1. Первое условие

3.3.2. Второе условие

3.3.3. Третье условие

3.4. Сравнение теоретических условий образования трещин

с экспериментальными результатами

3.5. Вычисление глубины трещин на вольфраме

3.6. Направление трещин

Глава 4. Развитие трещин на хрупко-вязких материалах

4.1. Постановка задачи

4.2. Решение вспомогательной задачи

4.2.1. Постановка математической задачи

4.2.2. Асимптотика

4.2.3. Корректировка постановки задачи

4.2.4. Самоподобие решения

4.2.5. Сила вдоль ребра

4.2.6. Сила по нормали к поверхности

4.2.7. Сила по оси у

Заключение

Приложение А. Нахождение упругих механических напряжений в полупространстве с неоднородным распределением температуры

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности поведения материалов при мощной плазменной нагрузке»

Введение

Проблема механической устойчивости конструкционных материалов возникала во многих областях науки и техники. Для каждого приложения специфичны свои требования к устойчивости (работа при высоких/низких температурах, многократные пластические деформации, устойчивость к трению и так далее). В процессе развития установок для удержания и нагрева плазмы с целью реализации управляемого термоядерного синтеза мощность потока энергии на стенки установки выросла настолько, что главными механизмами, ограничивающими срок службы материалов стенки, стали механические процессы разрушения [1]. Главным ориентиром по мощности плазменной нагрузки сейчас является проект ITER [2] с прогнозируемым коэффициентом теплового воздействия при импульсных явлениях более 10 МДж м-2 с-1/2. Кроме механической устойчивости, от материала стенки и дивертора термоядерной установки требуются химическая стойкость к контакту с водородом при высокой температуре, малая нейтронная активация, высокая теплопроводность, малое распыление. Поэтому в данный момент основными твердыми материалами, предлагаемыми в таком качестве, являются графит, вольфрам и материалы на их основе (композитные материалы и сплавы). Они не относятся к классическим конструкционным материалам. При атмосферном давлении графит во время нагрева остается хрупким до температур более 2000°С. Вольфрам имеет высокую для конструкционных металлов температуру перехода из хрупкого состояния в вязкое 300°С). Опускание температуры ниже этой величины при высоких градиентах температуры может приводить к механическому разрушению. Кроме того, температура выше температуры рекристаллизации (для вольфрама ~ 1600°С) приводит к ухудшению механических свойств. В таких

жестких условиях именно хрупкое разрушение ограничивает срок службы материала стенок.

Вопросы механической устойчивости материалов к плазменным нагрузкам исследовались в работах [3-15]. В этих работах хрупкое разрушение материалов представлено образованием пылевых частиц и трещин на поверхности. Аналитическим оценкам и численным расчетам механических повреждений при плазменных нагрузках посвящены работы [16-22]. Но при типичных параметрах импульсной плазменной нагрузки на материалы в термоядерных установках есть малые параметры (например, отношение толщины нагретой области к остальным характерным размерам, отношение времени прохождения звуковой волны через нагретую область к времени облучения и так далее), позволяющие аналитически решать задачу, учитывающую одновременно упругость, пластичность и хрупкость материала. Прозрачность аналитической модели позволяет существенно продвинуться в понимании процессов, происходящих в материале при импульсной плазменной нагрузке. Данная диссертация посвящена точным аналитическим методам решения задач о хрупком разрушении материалов при мощной плазменной нагрузке.

Механические напряжения, в результате которых происходит это хрупкое разрушение, возникают в результате теплового расширения при сильно неоднородном нагреве. Механические повреждения, образующиеся в результате таких напряжений, имеют ряд особенностей, отличающих их от классических случаев приложения механических напряжений к материалам, рассматриваемых в теории сопротивления материалов. Первая особенность: механические напряжения при тепловой нагрузке возникают без приложения поверхностных сил. В уравнении механического равновесия появляется член, выражающийся через градиент температуры. Это отличие существен-

но изменяет математические расчеты и их результаты. Вторая особенность: механические напряжения при тепловой нагрузке возникают синхронно с повышением температуры. Стандартные механические испытания и расчеты производятся при постоянном распределении температуры. Существенная зависимость от температуры не только численных параметров материала, но и его качественного поведения при приложении механического напряжения (хрупко-вязкий переход металлов) требует дополнительного анализа.

Указанные особенности принимались во внимание при построении модели хрупкого разрушения с образованием пылевых частиц и трещин. С помощью выражений для упругих напряжений показан характер хрупкого разрушения графита с образованием пылевых частиц. В качестве геометрической характеристики этой пыли теоретически получено ее распределение по размеру. Для трещин на поверхности вольфрама рассмотрены два возможных механизма образования: неустойчивость упругих напряжений и разрыв остаточными пластическими напряжениями. В результате показано, что в термоядерных установках механическая неустойчивость не развивается. Полученные теоретические результаты по условиям образованию трещин и зависимости их глубины от мощности нагрузки совпали с экспериментальными данными с установок ЛШ1ТН-1 (Юлих, Германия), Р31-2 (Юлих, Германия) и ГОЛ-3 (Новосибирск, Россия). На защиту выносятся следующие положения:

1. Степенное распределение пылевых частиц, образовавшихся в результате хрупкого разрушения, аналитически полученное на основе гипотезы масштабного подобия дробления. Показатель распределения пылевых частиц, больших толщины разрушенного слоя, в интервале от —3 до —2, для меньших - от —4 до —3, в предположении регулярности фор-

мы частиц для пылинок. Наилучшее соответствие экспериментальных данных с касательными упаковками шаров.

2. Инкремент неустойчивости пластины с нагретым поверхностным слоем. Отсутствие этой неустойчивости в технически значимых для первой стенки и дивертора термоядерных установок случаях.

3. Аналитическая модель, описывающая пластические деформации материала с хрупко-вязким переходом при нагретом приповерхностном слое. Условия образования трещин при импульсной тепловой нагрузке. Зависимости глубины трещин от мощности поверхностного нагрева. Совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными.

4. Постановка математической задачи, необходимой для расчета развития трещин на материалах с хрупко-вязким переходом. Решение стационарной задачи теории упругости для четверти пространства с однородными вдоль ребра силами.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [23-26].

Глава 1

Модель образования пылевых частиц при облучении графита

1.1. Постановка задачи

Толщина нагретой области в облучаемом плазмой материале определяется толщиной области выделения энергии и дистанцией распространения температуры за время облучения. Толщина области выделения энергии в материале определяется глубиной проникновения частиц из плазмы в материал. Даже при температурах порядка 1 МэВ для типичных твердых материалов стенки термоядерной установок она не превышает 1 мм [27]. Дистанция распространения температуры вглубь материла оценивается по следующей формуле: у/хт, где х ~~ температуропроводность, г - время облучения. Характерная величина температуропроводности 100 мм2/с, а длительность импульсных тепловых нагрузок порядка 1 мс. Оценка дистанции распространения температуры вглубь материала дает величину порядка 0.3 мм.

В сумме толщина нагретой области может быть оценена сверху величиной порядка 1 мм. Эта величина обычно много меньше и размеров облучаемой поверхности, и толщины материала. Кроме того, обычно механическое равновесие упругого тела устанавливается быстрее характерного времени изменения распределения температуры. Поэтому для нахождения механических напряжений в конкретный момент времени можно использовать мгновенное распределение температуры [28]. Поэтому к такому телу применимы результаты приложения А, в котором получены выражения для

тензора упругих напряжений {<уЬ)~-

<Т

аЕ(Т(х) - Тр) (1-ст)

(2)

где Е - модуль Юнга, а - коэффициент Пуассона, а - коэффициент линейного теплового расширения, Т - температура, То - температура, при которой тело считается недеформированным. Эти выражения получены для абсолютно упругого материала, то есть для материала без пластических напряжений (сг?- = 0). Хрупкие тела удовлетворяют этому условию: они разрушаются раньше, чем наступает пластическая деформация. Из материалов, применяемых в стенках плазменных установок, высокую температуру перехода в вязкое состояние имеет графит (2200°С).

Условием хрупкого разрушения материала является превышение предела прочности. По формулам (1) и (2) получается, что при нагреве возникают только сжимающие напряжения. Для прочных марок графита (МПГ-6) предел прочности на сжатие равен 73.6 МПа. Вычислим изменение температуры, необходимое для возникновения такого напряжения, по формуле (2). Для этого необходимы следующие его параметры: модуль Юнга Е « 10 ГПа, коэффициент Пуассона сг « 0.25, коэффициент линейного теплового расширения сх ^ 7 • 10~6АГ-1. Получаем, что предел прочности достигается при нагреве на 700°С. Это соответствует мгновенной плотности выделения энергии 1.5 КДж/г [29]. Но экспериментально наблюдаемый порог разрушения графита 10 КДж/г [30]. Для сравнения, удельная энергия нагрева до температуры фазового перехода графита 8 КДж/г. Для объяснения различия теоретического и экспериментальных результатов разберемся в геометрии деформации. Материал сжат в направлении вдоль поверхности. При такой деформации не может образоваться сеть трещин, уходящих от поверхности

вглубь материала, характерная для облученных хрупко-вязких материалов (металлы), так как их наличие не приведет к снятию напряжений. Но графит является пористым, с пористостью не мене 10% даже у прессованных марок. При нагреве больше, чем на700°С, единственная форма допустимого для графита хрупкого разрушения - образование трещин с заполнением пор. При этом образуется объемная сеть трещин. Остывание до комнатной температуры возвращает пористость материала к начальному значению. При этом отдельные от материала пылевые частицы не образуются. Нагрев же до температуры фазового перехода принципиально меняет ситуацию: во время достижения этой температуры прочность материала уменьшается до нуля, и материал не выдерживает любого контакта с более холодными слоями. Для уменьшения напряжений горячие слои материала дробятся на пылевые частицы. На рисунке 1 представлена фотография таких пылинок. Геометрической характеристикой этой пыли может служить ее распределение по размеру. Оно важно, так как определяет площадь поверхности пыли. Последняя, в свою очередь, определяет темп испарения пыли и поглощения трития.

Рис. 1: Фотография графитовых пылевых частиц на стальном пылесборнике в ГОЛ-3.. Есть два основные распределения, обычно используемые для аппрок-

симации экспериментальных результатов в данной области: логнормальное и степенное (распределение Юнга) [31-33]. Распределение Юнга наблюдалось в нескольких экспериментах [30,32-35] для вольфрамовой и графитовой пыли в диапазоне размеров от нескольких нанометров до десятков микрон (рис. 2). Измеренные показатели (—7) распределения лежат в диапазоне между —3.3 и —2.1. Степенное распределение наблюдалось и в термоядерных установках, и в установках, специально созданных для изучения эрозии.

Степенное распределение наблюдалось также для атмосферной пыли [31]. Для нее степенное распределение было объяснено моделью слипания частиц [36]. В результате слипания из мелких частиц образуются скопления, распределенные по размеру согласно степенному закону. В плазменных установках степенное распределение наблюдалось не только для скоплений частиц, но и для одиночных частиц в диапазоне размеров от нескольких нанометров до нескольких микрон [32]. Таким образом, модель слипания пылевых частиц не может объяснить распределение по размеру пыли во всем наблюдаемом диапазоне размеров.

Обычно различают четыре механизма образования пыли в плазменных установках: отслаивание переосажденного слоя, хрупкое разрушение, конденсация из перенасыщенного пара и рост из углеводородных молекул [37]. В случае образования пыли из газовой фазы (конденсация из перенасыщенного пара и рост из углеводородных молекул) распределение по размеру отличается от степенного [38]. Характерный размер пылинок, образованных отслаиванием переосажденного слоя, больше 100 нанометров [39]. На меньших размерах отслаивание можно рассматривать как хрупкое разрушение. Таким образом, есть эксперименты, для которых хрупкое разрушение остается единственным механизмом образования пыли, способным объяснить ее распределение по размеру. Мы покажем, что хрупкое разрушение действи-

(а)

large dust particles -

agglomerates M-

10

14-4-

small dust particles

1 l0'2Nn

ё ю"

1 10ь

0

1 106

10' 1001 ■

I I I ■ 1111 №

\

iunge distribution

К ft

log-normal distribution

к

к

(b)

N (nv:

SE12-

1E1t

(С) 1Ч(т"

1 10 100 1000 size (nm)

104

10

12

10

11

10

10

100

w

в. -■

N

Щ

Ml I

m irk Г

• м

H 11

1000 r (nm)

(e) 1000

СЯ -«—>

с

Z3 О

о

100 10 1

A (ппп)

SD

102

1£0 233

N

N~r

-3.11

\

h

3 5 7 10 20

size (^im)

Рис. 2: Измеренное распределение пылевых частиц по размеру (а) в стеллараторе ЬНБ [32], (Ь) в токамаке Т-10 [35], (с, ё) в квазистацонарном плазменном ускорителе [33], и (е) в многопробочной ловушке ГОЛ-3 (данные из [30]).

тельно может быть причиной степенного распределения пылинок по размерам.

Хрупкое разрушение изучалось экспериментально и теоретически [712]. Степенное распределение одиночных частиц наблюдалось в широком диапазоне размеров между двумя характерными размерами: размер зерна материала и межатомное расстояние. Это подсказывает, что закон дробления материала не должен зависеть от размеров. Более того, само степенное распределение, не имеющее характерных размеров, указывает на то же самое.

1.2. Математическая модель дробления на основе гипотезы масштабного подобия

Сначала сформулируем задачу математически. Пылевые частицы, появившиеся в результате хрупкого разрушения, являются фрагментами твердого тела [40]. Для того, чтобы получить их, нужно разделить это тело на фрагменты согласно какому-то закону. В предположении масштабного подобия этот закон должен не зависеть от размеров фрагментов. Будем мысленно удалять эти фрагменты из тела в порядке уменьшения их размеров и нумеровать их индексом п. Функция распределения фрагментов по размеру не будет зависеть от формы начального тела только для фрагментов, размеры которых много меньше размеров начального тела. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что п> 1,

Подчеркиваем, что указанный способ нумерования фрагментов никак не связан с порядком образования фрагментов при реальном дроблении тела. Любые последующие дробления фрагментов на более мелкие куски автоматически учитываются представляемой моделью, так как предполагается

нумерация фрагментов после окончания всех дроблений.

Обозначим объем тела, оставшегося от исходного после удаления п-ого фрагмента, Уп и площадь его поверхности Бп. Величины Уп, Бп и характерный размер п-ого фрагмента гп можно связать рекуррентными выражениями

где с\ и С2 — коэффициенты, зависящие от формы удаляемых фрагментов. Благодаря предположению масштабного подобия эти коэффициенты не зависят от размеров удаляемого фрагмента и его номера. Коэффициент с\ положителен, так как при удалении фрагмента объем остающегося тела всегда уменьшается. Коэффициент С2 может быть как положительным, так и отрицательным.

Для того, чтобы замкнуть рекуррентную схему, необходимо выразить размер следующего удаляемого фрагмента гп+х через объем и площадь поверхности остающегося тела (Уп и 5П). После удаления большого числа фрагментов размер удаляемых частей станет много меньше размеров исходного тела. При этом локальная структура остатка не будет больше зависеть от формы исходного тела, а будет определяться только формой удаляемых фрагментов. При росте п локальная структура тела будет оставаться самоподобной, так как способ построения одинаков на любом масштабе. Разница будет только в размерах этих элементов. Из гипотезы масштабного подобия следует, что размер удаляемого фрагмента будет пропорционален размеру этих элементов. Линейный размер этих элементов может быть определен как отношение его объема к площади поверхности. При таком способе определения результат не зависит от количества элементов структуры, так как и

Уп = Уп-1 - С1Г®,

£>П — £>п-1 + С2ГП1

(3)

(4)

объем и площадь поверхности растут линейно с количеством этих элементов. Таким образом, мы получаем требуемое выражение:

rn+i = c3Vn/Sn, (5)

где сз — положительный коэффициент, зависящий от формы удаляемых фрагментов.

В дальнейшем удобно анализировать последовательность qn = S^/V^ вместо последовательностей Vn, Sn и гп. Рекуррентное выражение для найденное из (3), (4) и (5), не содержит других переменных:

(1 + c2cl/qn)

Qn+i = qn--г—2 ■■ (6)

(1 - cicyqn)

Эта последовательность стремится к ненулевой постоянной goo или к бесконечности. Причем второй случай реализуется только при выполнении условия

Зс2 + 2cic3 > 0. (7)

В первом случае рекуррентные выражения (3) и (4) могут быть упрощены при n> 1:

К+1 = Vn(l- cicjj/goo) , (8)

Sn+i = Sn(l + c2cl/q00) . (9)

Формула (6) в этом пределе запишется в виде

(1 - Ci^Abo)2 = (1 + c2cl/q0о)3 . (10)

Из формул (8) и (9) следует, что последовательности Vn и Sn — геометрические прогрессии:

У„сх(1-^/<Ьо)п, (11)

. Sncx(l + cacl/goo)n. (12)

Подставляя (11) и (12) в (5) получаем

гп ос (1 - clcl|q00)n|2', (13)

где для упрощения мы использовали выражение (10). Отсюда можно получить функцию распределения фрагментов по размеру:

ДО =

IЫ

ос (14)

г

¿г

Такой результат не наблюдался в эксперименте, поэтому исследуем второй случай.

Если последовательность qn стремится к бесконечности, выражение (6) можно разложить при 1:

дп+г « Яп (1 + ЗС2С1^2С1С1) = Яп + (Зс2с! + 2С14) - (15)

При п 1 последовательность qn растет линейно:

йп ~ (Зс2сз + 2схсз) п. (16)

Зависимость Уп от п следует из (3) и (16):

Уп+1/Уп = 1 - с1С|/дп, (17)

откуда мы получаем асимптотическое поведение Уп\

°1С3

ос п Зс2сз+2с1сз . (18)

Аналогично, выражение для площади поверхности остающегося тела следует из формул (4) и (16):

С2С2

5П ОС 7Т,3с2сз+2с1сЗ . (19)

Подстановка (18) и (19) в (5) дает

с2с|+с1С|

г осп Зс2сз+2с1^. (20)

Из этой зависимости получаем функцию распределения по размеру

/м =

с1п

<1г

ос г

7 = 3 +

1 + С1С3/С2 '

Из условия (7) можно получить, что параметр 7 находится в интервале от 1 до 4. Все известные экспериментальные результаты попадают в этот интервал.

В случае дробления ТУ-мерного тела аналогичные вычисления дают допустимый диапазон для показателя распределения от — — 1 до — 1.

1.3. Аналогия модели дробления с фрактальной

геометрией

Дробление тела в приведенной выше модели напоминает алгоритм построения фрактала и может быть описано в терминах фрактальной геометрии. Есть связь между показателем функции распределения фрагментов по размеру и фрактальной размерностью упаковки. Последняя определена как размерность Хаусдорфа-Безиковича остаточного множества [41].

Представленная модель предполагает дробление тела на бесконечное количество областей, в совокупности полностью заполняющих начальное тело. Такая же ситуация реализуется в покрывающих упаковках, например касательной упаковке шаров [42,43] (рисунки 5 и 6). Однако покрывающие упаковки обычно несамоподобны. Это сильно усложняет математические выкладки. Поэтому мы выведем основное выражение на примере самоподобного фрактала типа ковра Серпинского [41,44].

При построении фрактала такого типа на каждой стадии построения удаляется несколько фрагментов одинаковой формы и размера. Построение фрактала характеризуется двумя параметрами: отношение линейных раз-

меров фрагментов, удаляемых на соседних стадиях (fei > 1) и отношение количества удаляемых фрагментов на соседних стадиях (/с2 > 1) • Обозначив номер стадии построения i, мы можем выразить через него номер удаляемого фрагмента п и его размер г

М+1 _ 1

n=l + fc2 + fc! + ... + ģ = --, (22)

«2 — 1

г ос (23)

и найти связь между ними при г 1:

nocr-bgfclfc2 '(24)

Выражение logfcl Ä;2 равно размерности остаточного множества D [41, 44]. Таким образом, мы получаем функцию распределения удаляемых фрагментов по размеру

7=1 + 1?. (25)

Справедливость этого выражения доказана для некоторых несамоподобных фракталов, в частности для касательных упаковок [45,46]. Есть основания надеяться, что это выражение справедливо для любого дробления тела, соответствующего представленной модели.

Размерность остаточного множества в трехмерном пространстве очевидно находится в интервале между 0 и 3. Таким образом, допустимый интервал значений для j естественным образом следует из размерности дробимого тела. Однако результат раздела 1.2. более общий, так как изначально не предполагалась дробно-размерная природа хрупкого разрушения, а также найдена связь показателя функции распределения фрагментов по размеру с геометрией дробления.

f{r) =

dn

dr

Проиллюстрируем геометрию дробления для разных величин параметра 7. Случай больших 7 может быть представлен кубом Серпинского (рис. 3), то есть трехмерным аналогом ковра Серпинского [41], для которого 7 « 3.97. Особенность геометрии куба Серпинского состоит в том, что при его построении остающееся тело имеет большую площадь поверхности.

Более строго, комбинация коэффициентов в выражении (21) может быть интерпретирована следующим образом:

где ДТ4 = Уп+1 — Уп и АЗп = 5п+1 — Разность АУп всегда равна объему п-ого фрагмента V*. Величина АЗп может отличаться от. площади поверхности п-ого фрагмента 5* из-за частичного совпадения поверхности фрагмента с поверхностью тела, из которого его удаляют. В кубе Серпинского удаляемые фрагменты не соприкасаются друг с другом, поэтому Дй'п = и С2 имеет максимальное (положительное) значение для фрагментов такой формы и размера. Следовательно, выражение (26) принимает вид

Площадь поверхности удаляемого фрагмента равна площади поверхности, содержащейся в одной ячейке куба, но объем, остающийся в этой ячейке, в 26 раз больше, чем у фрагмента. Поэтому величина (27) мала («1/26), и параметр 7 в (21) близок к 4.

При построении трехмерного аналога треугольника Серпинского [41] из тетраэдра удаляется его центральный октаэдр так, чтобы остались четыре тетраэдра в два раза меньшего размера. Показатель распределения по размеру (25) для него точно равен —3. Это пограничный случай, соответствующий С2 = 0, то есть, площадь поверхности остаточного множества не

(26)

(27)

Рис. 3: Три поколения фрагментов куба Серпинского с вырезом. Вырезанный фрагмент

показан на вставке.

меняется в процессе удаления фрагментов. Если удаляемый фрагмент увеличить так, чтобы остающиеся четыре тетраэдра стали меньше (рис. 4), то к\ >2, = 4, С2 < 0, и, следовательно, абсолютная величина показателя распределения уменьшится. Предельный случай остающихся очень маленьких тетраэдров соответствует 7=1, что является другим предельным случаем представленной модели.

Заметим, что представленные фракталы не в полной мере соответствуют изложенной выше математической модели: коэффициент сз колеблется как функция от номера фрагмента. Поэтому для использования формулы (21) следует брать среднее значение С3.

Рис. 4: Схема дробления модифицированного тетраэдра Серпинского с размерностью 1.4.

В работе [35] была обнаружена фрактальная структура отдельной пылевой частицы на подложке. Измеренная размерность этой структуры 2.2 =Ь 0.2 близка к значению коэффициента 7 ~ 2.3 ±0.1 для этой же самой пыли. Так как измеренная размерность не обязана совпадать с размерностью остаточного множества при самоподобном дроблении, это совпадение не противоречит выражению (25), полученному из основ фрактальной геометрии.

1.4. Дополнительные предположения модели

Экспериментальные данные показывают значительный разброс измеренных значений параметра 7, что, видимо, соответствует разным законам дробления в различных экспериментальных установках. Сложно однознач-

но связать закон фрагментации с показателем степени. Поэтому мы проанализируем несколько разумных способов дробления, вычислим для них величину 7 и сопоставим особенности геометрии дробления с функцией распределения фрагментов по размеру.

Во-первых, предположим регулярность формы фрагментов. В общем случае АУп = V* и Авп < 5*. Отсюда следует, что

ЛК

А5П

V* > -2-. — о* о„

(28)

Подстановка (28) в выражение (27) дает

С1С3 > Уп /К

С2 ^ / 5п

(29)

Если форма каждого фрагмента регулярнее формы остаточного множества, то правая часть неравенства (29) (как и левая) много больше единицы. Следовательно, показатель в функции распределения (21) отличается от —3 на малую величину. В случае дробления Л^-мерного тела аналогичные рассуждения дают показатель, близкий к — N.

При предположении регулярности формы удаляемых фрагментов разумно также предполагать, что с2 > 0, так как маловероятно, что значительная часть поверхности удаляемого фрагмента будет совпадать с поверхностью остаточного множества. При этом предположении допустимый диапазон для показателя при дроблении Л/"-мерного тела сужается до интервала от —N — 1 до —N, а эти интервалы для разных N становятся неперекрывающимися.

Во-вторых, примем во внимание экспериментально наблюдавшуюся форму фрагментов. В работе [32] были сфотографированы отдельные мелкие пылевые частицы, и они оказались сферическими. Заполнение пространства шарами изучалось в связи с задачей о касательных упаковках [42,43].

Особенностью касательных упаковок является вписывание на каждом шагу построения шара максимально возможного размера в остающееся тело. Касательная упаковка в трехмерном пространстве (рисунок 5) соответствует 7 ~ 3.47 [47]. Касательная упаковка дисков в двумерном пространстве дает 7 ~ 2.3 (рисунок 6).

Рис. 5: Касательная упаковка шаров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аракчеев, Алексей Сергеевич, 2013 год

Литература

[1] Ph.Mertens, V.Thompson, G.F.Matthews et al. Bulk tungsten in the JET divertor: Potential influence of the exhaustion of ductility and grain growth on the lifetime // Journal of Nuclear Materials. - 2013. - V. 438. - p. S401-S405.

[2] R. Aymar, P. Barabaschi and Y. Shimomura. The ITER design // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2002. - V.44. - p.519-565.

[3] U.Samm. Plasma-wall interaction in magnetically confined fusion plasmas // Transactions of Fusion Science and Technology. - 2008. -V. 53 - p. 223228.

[4] J.Linke, Th.Loewenhoff, V.Massaut et al. Performance of different tungsten grades under transient thermal loads // Nuclear Fusion - 2011. - V.51. - p. 073017.

[5] M.Wirtz, J.Linke, G.Pintsuk, L. Singheiser et al. Comparison of the thermal shock performance of different tungsten grades and the influence of microstructure on the damage behaviour // Physica Scripta. - 2011. -V.T145. - p.014058.

[6] M.Wirtz, J.Linke, G.Pintsuk et al. Influence of high flux hydrogen-plasma exposure on the thermal shock induced crack formation in tungsten // Journal of Nuclear Materials. - 2012. - V.420. - p.218-221.

[7] O.V.Ogorodnikova, Y.Koza, J.Linke, S.Pestchanyi. Modelling of Thermal Shock Experiments of Carbon Based Materials in Judith // Journal of Nuclear Materials. - 2005. - V. 337, n.1-3 SPEC. - p.791-794.

[8] A.V.Burdakov, M.N.Chagin, V.V.Filippov et al. On a Possibility of Explosive Material Erosion under Conditions of Iter Disruption Eventa // Journal of Nuclear Materials. - 1996. - V.233, Part 1. - p.697-700.

[9] M.Rubel, M.Cecconello, J.A.Malmberg et al. Dust particles in controlled fusion devices: morphology, observations in the plasma and influence on the plasma performance // Nucl. Fusion. - 2001. - V.41, n.8. - p.1087-1100.

[10] J.Linke, M.Rubel, J.A.Malmberg et al. Carbon particles emission, brittle destruction and co-deposit formation: experience from electron beam experiments and controlled fusion devices // Phys. Scr. - 2001. - T91. -p.36.

[11] J.Linke, S.Amouroux, E.Berthe et al. Brittle destruction of carbon-based materials in transient heat load tests // Fus. Eng. Des. - 2003. - V. 66-68. - p. 395-399.

[12] Y.Koza, S.Amouroux, B.N.Bazylev et al. Brittle Destruction of Carbon Based Materials // Phys. Scr. - 2004. - Till. - p.167.

[13] M.Wirtz, J.Linke, G.Pintsuket al. Comparison of thermal shock damages induced by different simulation methods on tungsten // Journal of Nuclear Materials. - 2013. - v.438, - p. S833-S836.

[14] A.V.Arzhannikov, V.A.Bataev, I.A.Bataev et al. Surface modification and droplet formation of tungsten under hot plasma irradiation at the GOL-3 // Journal of Nuclear Materials, - 2013. - v.438. - p. S677-S680.

[15] A.Huber, A. Burdakov, M. Zlobinski et al. Investigation of the Impact on Tungsten of Transient Heat Loads Induced by Laser Irradiation, Electron

Beams and Plasma Guns // Fusion science and technology. - 2013. - V. 63.

- p. 197-200.

[16] H.Wurz, B.Bazylev, ¡.Landman et al. Macroscopic erosion in tokamak off normal events // Fusion Engineering and Design. - 2001. - V.56-57. -p.397-401.

[17] S.Pestchanyi, H.Wuerz. 3-D simulation of macroscopic erosion of CFC under ITER off-normal heat loadsMacroscopic erosion in tokamak off normal events // Fusion Engineering and Design. - 2003. - V.66-68. - p.271-276.

[18] S.Pestchanyi, I.Landman. Improvement of the CFC structure to withstand high heat flux // Fusion Engineering and Design. - 2006. - V.81. - p.275-279.

[19] S.E.Pestchanyi, J.Linke. Simulation of cracks in tungsten under ITER specific transient heat loads // Fusion Engineering and Design. - 2007. -V.82. - p.1657-1663.

[20] S.E.Pestchanyi, I.S.Landman. Simulation of dust production in ITER transient events // Fusion Engineering and Design. - 2008. - V.83. - p.1054-1058.

[21] S.Pestchanyi, I.Garkusha, I.Landman. Simulation of tungsten armour cracking due to small ELMs in ITER // Fusion Engineering and Design.

- 2010. - V.85. - p.1697-1701.

[22] S.Pestchanyi, I.Garkusha, I.Landman. Simulation of residual thermostress in tungsten after repetitive ELM-like heat loads // Fusion Engineering and Design. - 2011. - V.86. - p.1681-1684.

[23] А.С.Аракчеев, К.В. Лотов. Аналитическая модель хрупкого разрушения на основе гипотезы масштабного подобия // ЖЭТФ. - 2012. - Том 142, Вып. 2. - с. 271.

[24] A.S.Arakcheev, K.V.Lotov. Formation of Small Dust Particles by Brittle Destruction // Fusion Science & Technology. - 2011. - 59(1T). - p. 265267.

[25] E.I.Soldatkina, A.S.Arakcheev and P.A.Bagryansky. Experiments in support of the Gas Dynamic Trap based facility for plasma-material interaction testing / / http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0920379613006479

[26] A.Huber, A.Arakcheev, G.Sergienko et al. Investigation of the Impact on Tungsten of Transient Heat Loads applied by Laser Irradiation // Принята в печать в Physica Scripta.

[27] Тормозная способность электронов и позитронов. Доклад 37 МКРЕ. // Пер. с англ. -М.: Энергоатомиздат, 1987. - 328 с.

[28] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория упругости // - М.: Наука, 1987. -248 с.

[29] Л.В.Гурвич, И.В.Вейц, В.А.Медведев и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: В 4-х т. Т. II. Кн. 2. // М.: Наука, 1982. - 560 с.

[30] A.V.Arzhannikov, V.T.Astrelin, A.V. Burdakov et al. Interaction of Hot Electron Plasma with Solids at the Gol-3 Facility // Transact, of Fusion Techn. - 1999. - IT. - p. 146-150.

[31] C.E. Junge. Air Chemistry and Radioactivity // N. Y.: Academic Press, 1963. - 116 p.

[32] K.Koga, S.Iwashita, S.Kiridoshi et al. Characterization of Dust Particles Ranging in Size from lnm to 10 ¡i m Collected in the LHD // Plasma and Fusion Research: Regular Articles - 2009. - p.034

[33] L.N. Khimchenko, V.M.Gureev, G.Federici et al. Study of erosion products in experiments simulating ELMs and disruptions in ITER on plasma gun QSPA-facility // 21th IAEA Fusion Energy Conference, Chengdu. - 2006. - EX/4-5Ra.

[34] L.N.Khimchenko, V.M.Gureev, S.A.Kamneva et al. Surface structure measurements of deposits from CFC and W divertor armour materials sputtered in ELMs simulated experiment // Proc.33th EPS Conf. Plasma Phys.,Rome. - 2006. - V. 301. - p. 4.091.

[35] L.N. Khimchenko, J.Compan, G.Federici et al. Erosion of W and CFC in ITER ELMs I Type simulation experiment: fractal nanodust - structure and properties // 34th EPS Conference on Plasma Phys., Warsaw. - 2007. - V. 31F. - p. 2.006.

[36] S.K.Friedlander. Similarity Considerations for the Particle-Size Spectrum of a Coagulating, Sedimenting Aerosol // Journal of Meteorology - 1960. - V. 17, 1.5. - p. 479-483.

[37] J.Winter. Dust in fusion devices—a multi-faceted problem connecting high-and low-temperature plasma physics // Plasma Phys. Control. Fusion, -2004. - V.46, n.l2B. - B583.

[38] Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Физическая кинетика // М.: Наука, 1979. - 536 с. .

[39] J. Winter. Dust in fusion devices - experimental evidence, possible sources and consequences // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1998. - V.40, n.6. -p.1201.

[40] Arakcheev, A., Lotov, K. Model of brittle destruction based on hypothesis of scale similarity [Eleceronic Resource] // 38th EPS Conference on Plasma Physics. - 2011. - PI.063. - Available by: http://ocs.ciemat.es/EPS2011PAP/pdf/Pl.063.pdf .

[41] B.B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature // San Francisco: Freeman, 1982. - 468 p.

[42] D.W.Boyd. Osculatory Packings by Spheres // Canad. Math. Bull. - 1970.

- V. 13. - p. 59-64.

[43] D.W.Boyd. The osculatory packing of a three dimensional sphere // Canadian J. Math. - 1973. - V. 25. - p. 303-322.

[44] J. Feder. Fractals // N. Y.: Plenum press, 1988. - 283 p.

[45] D.W. Boyd. The residual set dimension of the Apollonian packing // Mathematica. - 1973. - V. 20. - p. 170-174.

[46] D.W.Boyd. The sequence of radii of the Apollonian packing // Math. Сотр.

- 1982. - V. 39. - p. 249-254.

[47] M.Borkovec, W.De Paris, R.Peikert. The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing // Fractals. - 1994. - V. 2, n.4. - p. 521-526.

[48] J.S.Mathis, W.Rumpl, K.H.Nordsieck. The Size Distribution of Interstellar Grains // Astronomical Journal, - 1977. - V. 217, - p. 425-433.

[49] D. Avnir, D.Farin, P.Pfeifer. Molecular fractal surfaces // Nature. - 1984. -V. 308. - p. 261-263.

[50] В.В.Новожилов. Основы нелинейной теории упругости. // Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 212 с.

[51] А.И.Лурье. Нелинейная теория упругости // М.: Наука, 1980. - 518 с.

[52] I.Smid, M.Akiba, G.Vieider et al. Development of tungsten armor and bonding to copper for plasma-interactive components //J. Nucl. Mater. - 1998. - V. 258-263. - p. 160-172.

[53] Л.В.Гурвич, И.В.Вейц, В.А.Медведев и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: В 4-х т. T. IV. Кн. 2. // М.: Наука, 1982. - 560 с.

[54] S.Dushman, J.M.Lafferty. Scientific Foundation of Vacuum Technique / New York: J.Wiley a. Sons, Inc., 1962. - p. 806.

[55] I.K.Kikoin. Tables of Physical Constants // Moscow: Atomizdat, 1976. -149 p.

[56] O.M. Wirtz. Thermal Shock Behaviour of Different Tungsten Grades under Varying Conditions: PhD / Oliver Marius Wirtz. - Julich, 2012. -144 p.

[57] А.Д.Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики // М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

0

[58] М.Я.Выгодский. Справочник по высшей математике // М.:Астрель, 2006. - 991 с.

[59] Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ // М.:Наука, 1977. - 744 с.

[60] А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1972. - 736 с.