Особенности отражения электромагнитных волн и квантовых флуктуаций от магнитных материалов и графена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кориков Константин Константинович

• Кориков Константин Константинович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кориков Константин Константинович

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы и задачи настоящего

исследования

1.1 Отражение электромагнитного поля от материальных поверхностей; коэффициенты Френеля

1.2 Модели диэлектрической проницаемости металлов

1.2.1 Модель Друде

1.2.2 Плазменная модель

1.3 Модели диэлектрической проницаемости диэлектриков

1.3.1 Модель осцилляторов Лоренца

1.3.2 Проводимость диэлектриков на постоянном токе

1.4 Магнитная проницаемость магнитных материалов

1.4.1 Классы магнитных материалов

1.4.2 Модель Дебая

1.5 Проблемы теории флуктуационных сил Казимира и Ван-дер-Ваальса и коэффициенты отражения вдоль мнимой оси частот

1.5.1 Флуктуационные силы Казимира и Ван-дер-Ваальса

1.5.2 Коэффициенты отражения на мнимых частотах в теории Лифшица

1.5.3 Проблема коэффициентов отражения на нулевой частоте

1.6 Коэффициенты отражения от графена и поляризационный тензор

1.6.1 Дираковская модель графена

1.6.2 Различные подходы к описанию отражательных свойств графена

1.6.3 Коэффициенты отражения покрытых графеном пластин в терминах поляризационного тензора

1.7 Современное состояние эксперимента по измерению сил Казимира 28 1.7.1 Измерения с помощью микромеханического осциллятора

1.7.2 Измерения с помощью атомно-силового микроскопа .... 29 1.8 Задачи данной работы

Глава 2. Отражение квантовых флуктуаций от магнитных металлов

и теорема Нернста

2.1 Теория возмущений для казимировской свободной энергии

и энтропии с использованием диэлектрической проницаемости плазменной модели

2.1.1 Низкотемпературное асимптотическое выражение для температурной поправки к энергии Казимира

2.1.2 Низкотемпературное асимптотическое выражение

энтропии Казимира

2.2 Теория возмущений для казимировской свободной энергии

и энтропии с использованием диэлектрической проницаемости Друде-модели

2.2.1 Поправка к энергии Казимира за счет учета релаксации

2.2.2 Поправка к энтропии Казимира за счет учета релаксации

2.3 О выполнении теоремы Нернста для казимировской свободной энергии магнитных металлов при использовании различных моделей диэлектрической проницаемости

2.3.1 Плазменная модель

2.3.2 Модель Друде

2.3.3 Анализ остаточной энтропии Казимира при нулевой температуре

2.4 Роль частотной зaвисимости магнитной проницаемости

2.4.1 Температурная поправка к энергии Казимира

2.4.2 Температурная поправка к давлению Казимира

2.4.3 Энтропия Казимира

2.5 Полученные выводы

Глава 3. Отражение квантовых флуктуаций от магнитных диэлектриков и теорема Нернста

3.1 Теория возмущений для казимировской свободной энергии и энтропии при частотно независимых диэлектрической и

магнитной проницаемостях

3.1.1 Температурная поправка к энергии Казимира в низшем порядке теории возмущений

3.1.2 Температурная поправка к давлению Казимира в низшем порядке теории возмущений

3.2 Учет частотной зависимости диэлектрической и магнитной проницаемо стей

3.3 Влияние проводимости диэлектрика на постоянном токе

3.4 О выполнении теоремы Нернста для казимировской свободной энергии магнитных диэлектриков

3.5 Полученные выводы

Глава 4. Теория отражательных свойств материальных пластин

с графеновым покрытием

4.1 Аналитические результаты для отражательной способности покрытых графеном пластин

4.1.1 Высокочастотное асимптотическое выражение для коэффициентов отражения

4.1.2 Низкочастотное асимптотическое выражение для коэффициентов отражения

4.2 Численные результаты для отражательной способности покрытых графеном диэлектрических пластин

4.2.1 Отражательные свойства покрытой графеном

SiO2 пластины на высоких частотах

4.2.2 Отражательные свойства покрытой графеном

SiO2 пластины на низких частотах

4.3 Численные результаты для отражательной способности покрытых графеном металлических пластин

4.3.1 Частотная зависимость отражательной способности покрытой графеном золотой пластины

4.3.2 Зависимость отражательной способности покрытой графеном золотой пластины от угла падения

4.3.3 Частотная зависимость отражательной способности

покрытой графеном никелевой пластины

4.4 Численные результаты для отражательной способности покрытых графеном полупроводниковых пластин с различной концентрацией носителей заряда

4.4.1 Отражательные свойства высокоомной кремниевой пластины с графеновым покрытием

4.4.2 Отражательные свойства низкоомной кремниевой

пластины с графеновым покрытием

4.5 Полученные выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Приложение А. Вычисление некоторых интегралов

А.1 Интеграл вида J'0° x ln [1 — e—ax] sin fixdx

А.2 Интеграл вида J0° x ln (1 — ae—x) dx

А.3 Интеграл вида fu / -ex)2 dx

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности отражения электромагнитных волн и квантовых флуктуаций от магнитных материалов и графена»

Введение

Настоящая диссертация посвящена изучению особенностей в отражении электромагнитных волн и квантовых флуктуаций электромагнитного поля от материальных поверхностей, изготовленных из магнитных материалов, а также от покрытых графеном пластин.

Обычно постулируется, что отражение классических электромагнитных волн и квантовых флуктуаций от материальных поверхностей происходит одинаковым образом [1]. Однако в последнее время эти представления были поставлены под сомнение экспериментами по измерению сил Казимира [2; 3]. Как известно, фундаментальной теорией, описывающей флуктуационные силы Ван-дер-Ваальса и Казимира, является теория Лифшица, которая учитывает электромагнитные свойства материалов через коэффициенты отражения Френеля на мнимых частотах. Значения исследуемых сил могут быть получены подстановкой в коэффициенты Френеля табличных данных для диэлектрической проницаемости. Ввиду того, что табличные значения доступны не для всего диапазона частот, используют аналитические модели диэлектрической проницаемости материалов, учитывающие различные физические свойства материальных сред. Применение в теории Лифшица модели диэлектрической проницаемости металлов Друде, которая учитывает релаксационные процессы на низких частотах, приводит к нарушению непрерывности коэффициента отражения Френеля для ТЕ-моды. Аналогичным образом использование модели диэлектрической проницаемости диэлектриков, которая учитывает проводимость на постоянном токе при отличной от нуля температуре, приводит к нарушению непрерывности коэффициента отражения Френеля для ТМ-моды. В конечном счете использование данных моделей при описании флуктуационных сил Казимира приводит к противоречиям как с экспериментальными данными, так и с термодинамикой, причем последнее выражается в нарушении теоремы Нернста [3]. Интерес к магнитным материалам обусловлен возможностью получить отталкивающую силу Казимира [4-6], однако роль магнитных свойств материалов в разрешении проблем теории флуктуационных сил к настоящему моменту не была установлена.

Другой проблемой является исследование отражения электромагнитных волн от графена, двумерного листа атомов углерода. Коэффициенты отражения от графена отличны от стандартных коэффициентов Френеля. До настоящего вре-

мени отражающая способность графена исследовалась в рамках модели Дирака [7] с использованием нелокальных диэлектрических восприимчивостей (поля-ризуемостей) графена в рамках формализма корреляционных функций плотности в приближении случайных фаз [8;9]. Однако эти вычисления были неполными, поскольку точные значения обеих корреляционных функций плотности (продольной и перпендикулярной поверхности графена) не были известны. Альтернативный формализм вычисления отражательных свойств графена с использованием поляризационного тензора графена в (2+1)-измерениях, определенного только на чисто мнимых дискретных частотах Мацубары, был развит в рамках исследований сил Ван-дер-Ваальса и Казимира [10; 11]. Несколько позже была найдена альтернативная форма поляризационного тензора, допускающая правильное аналитическое продолжение на ось вещественных частот, то есть на случай электромагнитных волн [12]. В результате были получены точные значения коэффициентов отражения от графена, позволяющие исследовать оптические свойства этого материала.

Целью данной работы является исследование особенностей отражения квантовых флуктуаций и электромагнитных волн от магнитных материалов и покрытых графеном пластин.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Проверить на соответствие теореме Нернста результаты теории Лифши-ца для магнитных металлов, описываемых диэлектрическими проницае-мостями плазменной модели и модели Друде.

2. Проверить на соответствие теореме Нернста результаты теории Лифши-ца для магнитных диэлектрических материалов, описываемых без учета и с учетом проводимости на постоянном токе.

3. Исследовать влияние графенового покрытия на отражательную способность пластин из металлов, диэлектриков и полупроводников с разной концентрацией свободных носителей заряда.

Научная новизна:

1. Впервые получены аналитические выражения для казимировской свободной энергии, энтропии и давления при низкой температуре в случае параллельных пластин, изготовленных из ферромагнитного металла, описываемого как плазменной, так и Друде-моделями диэлектрической проницаемости. Аналитические выражения для указанных величин полу-

чены также и в случае ферромагнитного диэлектрика как без учета, так и с учетом проводимости на постоянном токе.

2. Впервые показано, что свободная энергия и энтропия флуктуационного поля в системе двух параллельных пластин из ферромагнитного металла, описываемого в рамках теории Лифшица диэлектрической проницаемостью Друде-модели, нарушают теорему Нернста, а при использовании плазменной модели теорема Нернста выполняется. Для ферромагнитных диэлектриков показано, что теорема Нернста нарушается при учете проводимости пластин на постоянном токе и соблюдается без учета этой проводимости.

3. Выполнено оригинальное численное моделирование отражательной способности покрытых графеном диэлектрических, металлических и полупроводниковых пластин в широком диапазоне частот при различных температурах и установлена роль графенового покрытия.

Теоретическая и практическая значимость. Решение рассматриваемых в данном диссертационном исследовании проблем актуально как для фундаментальной физики, так и для дальнейшего развития нанотехнологий [13]. Общеизвестно, что главной тенденцией нанотехнологий является уменьшение размеров используемых устройств. Последнее повышает роль различных квантовых эффектов, таких как силы Ван-дер-Ваальса и Казимира. Использование этих сил открывает новые возможности для улучшения функционирования наноустройств. Фундаментальная физическая теория различных квантовых эффектов в наномасшта-бах основана на знании отражательных свойств составляющих наноустройство элементов по отношению к электромагнитным волнам и квантовым флуктуаци-ям. Математический формализм подобных процессов использует коэффициенты отражения, определенные на плоскости комплексной частоты.

Кроме того, коэффициенты отражения от новых материалов, подобных гра-фену, отличаются от стандартных коэффициентов Френеля, и их нахождение представляет собой сложную теоретическую проблему. Без решения этой проблемы дальнейший прогресс в области применения графена в нанотехнологиях был бы невозможен.

Таким образом, рассматриваемые проблемы представляют первостепенную важность для многочисленных приложений — например, в солнечных ячейках, биомедицинских сенсорах, нанокомпозитных материалах и, в более общем плане,

в микро-опто-электро-механических системах следующих поколений [14-17], включающих графеновые элементы [18-20].

Mетодология и методы исследования. Методология диссертационного исследования базируется на результатах трудов по изучению казимировского взаимодействия [3]. В основе используемых методов лежат работы по учету диэлектрических свойств реальных материальных сред при ненулевой температуре, а также материалов с дираковской моделью проводимости (графен) в теории флук-туационных сил Лифшица. Вывод низкотемпературных асимптотических формул выполняется в рамках теории возмущений. Численное моделирование отражательных свойств графена выполняется с помощью формализма поляризационного тензора [12].

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены аналитические выражения для казимировских свободной энергии и энтропии при низкой температуре в случае параллельных пластин, изготовленных из ферромагнитного металла, описываемого как плазменной, так и Друде-моделями диэлектрической проницаемости.

2. Показано, что при использовании плазменной модели казимировская энтропия удовлетворяет требованиям теоремы Нернста, а при использовании Друде-модели находится в противоречии с этими требованиями, принимая либо отрицательное, либо положительное значение, зависящее от параметров системы.

3. Получены аналитические выражения для казимировской свободной энергии, энтропии и давления при низкой температуре в случае параллельных пластин, изготовленных из ферромагнитного диэлектрика, как без учета, так и с учетом проводимости на постоянном токе.

4. Показано, что без учета проводимости на постоянном токе казими-ровская энтропия ферромагнитного диэлектрика удовлетворяет теореме Нернста, тогда как при учете этой проводимости вступает в противоречие с требованиями теоремы Нернста, принимая положительное значение при нулевой температуре, зависящее от параметров системы.

5. Получены общие формулы для коэффициентов отражения и отражательной способности материальных пластин с графеновым покрытием, а также их асимптотические представления при высоких и низких частотах при произвольной температуре.

6. Полученные формулы применены в случае диэлектрических (кварцевое стекло), металлических (золото и никель) и полупроводниковых (кремний с различной концентрацией носителей заряда) пластин, покрытых графеном. Во всех этих случаях рассчитаны отражательные способности покрытых графеном пластин в широком диапазоне частот при различных температурах и установлена роль графенового покрытия.

Достоверность полученных результатов обеспечивается тем, что результаты получены аналитически в рамках строгой и хорошо апробированной физической теории.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. The Ninth Alexander Friedmann International Seminar on Gravitation and Cosmology and Third Satellite Symposium on the Casimir Effect, 2015, Saint Petersburg, Russia.

2. 15th International Conference, NEW2AN 2015, and 8th Conference, ruSMART 2015, Saint Petersburg, Russia.

3. Научный форум с международным участием «Неделя науки СПбПУ», 2014, Санкт-Петербург, Россия.

Личный вклад. Автор принимал активное участие в выводе асимптотических формул для энтропии, свободной энергии и давления Казимира для ферромагнитных металлов, описываемых плазменной моделью и моделью Друде, а также ферродиэлектриков с учетом и без учета проводимости на постоянном токе. Автор выполнял численное моделирование коэффициентов отражения графена, нанесенного на металлические, диэлектрические и полупроводниковые пластины.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — в трудах конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 101 страницу, включая 22 рисунка. Список литературы содержит 120 наименований.

Глава 1. Современное состояние проблемы и задачи настоящего исследования

В данной главе формулируются проблемы и ставятся задачи, на решение которых направлено диссертационное исследование. Также приводятся необходимые для решения задач соотношения, полученные ранее в литературе. Ниже вводится определение амплитудных коэффициентов отражения Френеля и описываются модели диэлектрической и магнитной проницаемостей, входящие в коэффициенты Френеля как параметры среды. Далее рассматриваются коэффициенты отражения на мнимых частотах в связи с проблемой изучения квантовых флук-туаций. Рассматриваются проблема отражения электромагнитных волн от графе-на и описание коэффициентов отражения в терминах поляризационного тензора. В конце главы описываются основные методы современных прецизионных экспериментов по измерению сил Казимира.

1.1 Отражение электромагнитного поля от материальных поверхностей;

коэффициенты Френеля

Электромагнитная плоская волна при падении на поверхность раздела двух линейных, изотропных материальных сред разделяется на проходящую и отраженную волны. Конфигурация явления показана на рисунке 1.1.

Амплитуды отраженной, преломленной и падающей волн связаны между собой коэффициентами Френеля [21]. Амплитудные коэффициенты отражения для й (перпендикулярная плоскости падения, ТЕ) и р (параллельная плоскости падения, ТМ) поляризаций имеют вид:

Здесь £0,1 и Н01 — электрическая и магнитная компоненты электромагнитного поля, индекс 0 указывает на падающую волну, а индекс 1 — на отраженную; —

(1.1)

Яс(ш)

Е0(ш)

di

£1(ш)^1(ш)

Ei(w).

Я1(ш)

Рисунок 1.1 — Отражение электромагнитной плоской волны от поверхности раздела двух линейных, изотропных материальных сред

угол между нормалью к плоскости раздела сред и волновым вектором падающей волны, £1 и £2 — диэлектрические проницаемости, ц1 и ц2 — магнитные проницаемости первой и второй сред соответственно.

Свойства материальных сред входят в коэффициенты Френеля через макроскопические параметры £ и ц. В случае сред без пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость является комплесной функцией частоты:

£(Ш) = £(ш) + i£'(w), (1.2)

и магнитная проницаемость также:

ц(ш) = ц' (ш) + itf'(w). (1.3)

В случае падения электромагнитных волн из вакуума, для которого £1 = 1, ц1 = 1, амплитудные коэффициенты Френеля (1.1) принимают упрощенный вид:

= Ц2 cos Qi - \J£2Ц2 - sin2 Qi

Ц2 cos Qi + \J£2 Ц2 - sin2 Qi (14)

£2 cos Qi - \J£2Ц2 - sin2 Qi

rp

£2 cos Qi + \J£2Ц2 - sin2 Qi

Для реальных фотонов справедливо соотношение [3]

sin ег = (1.5)

ш

с учетом которого амплитудные коэффициенты отражения Френеля в терминах проекции волнового вектора на плоскость раздела двух сред к± = | k^ | принимают вид:

№Я - кц

г< = -;—,

№ + кЦ п /г\

£2Я - кц

Г - -!_

Р £2 Я + V здесь — к\ — £цш2/с2, а я2 — — ш2/с2.

Для исследований применяют численные расчеты, использующие табличные данные [22] коплексного показателя преломления среды, который связан с диэлектрической и магнитной проницаемостями выражением [23]:

п — у/цё, (1.7)

где

п(ш) — пП (ш) + т" (ш); (1.8)

здесь вещественная часть п' — показатель преломления среды, а мнимая п" — коэффициент, характеризующий потери в среде.

При этом выражение для коэффициента отражения по мощности при нормальном падении:

- Иш) — I]2 + п''2(ш) (19)

Ввиду того, что табличные данные доступны не для всего диапазона частот, используют аналитические модели диэлектрической и магнитной проницае-мостей материалов, учитывающие различные физические свойства материальных сред.

1.2 Модели диэлектрической проницаемости металлов

Взаимодействие электромагнитного поля с металлами при не слишком высоких частотах обусловлено слабо связанными с ионной решеткой электронами

в валентной зоне металлов. Физика процесса хорошо описывается теорией Дру-де - Зоммерфельда в приближении модели свободных электронов [24].

1.2.1 Модель Друде

Диэлектрическая проницаемость в модели Друде описывается выражением:

шр

(ш) = 1 - ( р. л. (1.10)

ш (ш + гу)

Здесь у — релаксационный параметр (релаксационная частота, зависящая от температуры); шр — плазменная частота, определяемая выражением:

ш, ^^, (1.11)

V т*

где пе — концентрация электронов проводимости; е — заряд электрона; т* — эффективная масса свободных электронов.

При температурах выше тепературы Дебая То для идеальных кристаллических решеток имеет место у = у(Т) = у0Т [25;26]. При температурах ниже То/4 выполняется у(Т) ~ Т5, а при температурах ниже температуры жидкого гелия у(Т) ~ Т2. При комнатной температуре у металлов значения релаксационного параметра у « 1013-1014 рад/с [3].

Модель Друде применима в широком частотном диапазоне от квазистатических частот до инфракрасных за исключением узкой области аномального скин-эффекта. При этом для высоких частот, в области инфракрасного излучения, влияние релаксационных параметров незначительно, и можно использовать плазменную модель.

1.2.2 Плазменная модель

Как уже было отмечено, упрощением модели Друде служит плазменная модель, которая описывает недиссипативный газ электронов проводимости [27], что справедливо на высоких частотах, когда

ш > у. (1.12)

Для плазменной модели диэлектрическая проницаемость (1.10) имеет вид:

шр

£р(ш) —1 — 42 ■ (1.13)

ш2

Данное выражение справедливо вплоть до частот, где происходит интенсивное поглощение электромагнитных волн металлом. В этой области диэлектрическая проницаемость определяется из оптических данных для комплексного показателя преломления (1.7).

1.3 Модели диэлектрической проницаемости диэлектриков

Аналитическое описание электромагнитных свойств диэлектрических сред производится с помощью модели осцилляторов Лоренца [3].

1.3.1 Модель осцилляторов Лоренца

Диэлектрик представляется в виде совокупности К осцилляторов с различными собственными частотами ш3, коэффициентами осциллятора д3 и релаксационными параметрами у 3 [3].

к

(ш) —1 + у; —2—д?—.—, (1.14)

^ ш2 - ш — гу3 ш

3=1 3

где шл — 0. При этом параметры осцилляторов могут зависеть от температуры. На нулевой частоте выражение имеет вид:

к

£0 = £(0) — 1+V А2. (1.15)

■л ш2 3=1 3

1.3.2 Проводимость диэлектриков на постоянном токе

Реальные диэлектрические среды при ненулевой температуре содержат некоторое количество свободных носителей зарядов, что приводит к наличию ненулевой проводимости диэлектрика на постоянном токе. Ненулевая проводимость присутствует в виде дополнительного члена в выражении для диэлектрической проницаемости [3]:

где ст0(Т) — проводимость на постоянном токе, зависящая от температуры следующим образом [3]:

Здесь А — ширина запрещенной зоны; кв — постоянная Больцмана; Т — температура. Как видно из данного уравнения, проводимость диэлектрика обращается в нуль экспоненциально быстро, когда температура стремится к нулю.

Известно, что все реальные материалы взаимодействуют с магнитным полем. Данное взаимодействие характеризуется магнитной проницаемостью. Выделяют различные типы магнитного взаимодействия: диамагнетизм, парамагнетизм и ферромагнетизм. Диамагнитный эффект, как результат индукционного воздействия внешнего магнитного поля, присутствует во всех материалах. Парамагнетизмом обладают материалы, атомы которых имеют собственный ненулевой результирующий магнитный момент. Ферромагнетизм присущ веществам, в которых собственные магнитные моменты атомов сильно взаимодействуют друг с дру-

(116)

А

а0(Т) - е 2квт.

(1.17)

1.4 Магнитная проницаемость магнитных материалов

1.4.1 Классы магнитных материалов

гом, приводя к возникновению магнитных доментов [28]. Внутри одного домента магнитные моменты атомов ориентированы одинаково.

1.4.2 Модель Дебая

Частотная зависимость магнитной проницаемости может быть описана моделью Дебая [28]:

ц(ш) — 1 + шг, (1.18)

1 — г~—

т

где ц0 — ц(0) — магнитная проницаемость на нулевой частоте; шт — характеристическая частота, различная для разных ферромагнетиков.

1.5 Проблемы теории флуктуационных сил Казимира и Ван-дер-Ваальса и коэффициенты отражения вдоль мнимой оси частот

Отражение электромагнитных волн от реальных материалов, как магнитных, так и немагнитных, является хорошо изученным явлением. Несмотря на это, существуют проблемы при описании взаимодействия электромагнитных полей флуктуационной природы с реальными материалами. Одним из проявлений флук-туационных полей являются силы Казимира и Ван-дер-Ваальса.

1.5.1 Флуктуационные силы Казимира и Ван-дер-Ваальса

Флуктуационные силы Ван-дер-Ваальса [29] и Казимира [3] действуют между близко расположенными электрически нейтральными поверхностями (как показано на рисунке 1.2), атомами и молекулами между собой, а также между атомами и молекулами и нейтральными поверхностями.

Обе эти силы представляют одно явление, возникающее вследствие изменения спектра нулевых вакуумных колебаний и тепловых флуктуаций при ограни-

! а \ !<->•!

Рисунок 1.2 — Казимировское взаимодействие между двумя параллельными полупространствами

чении объема квантования или при отличии топологии пространства от евклидовой [30; 31]. Различие данных сил заключается в расстояниях между взаимодействующими объектами: при расстояниях до нескольких нанометров, где влияние запаздывания электромагнитного поля, обусловленное конечностью скорости распространения взаимодействия в вакууме, пренебрежимо мало, действующая сила называется силой Ван-дер-Ваальса; при расстояниях, где влияние электромагнитного запаздывания становится существенным, действующую силу именуют силой Казимира (Казимира-Полдера, в случае взаимодействия атома или молекулы с поверхностью).

1.5.2 Коэффициенты отражения на мнимых частотах в теории Лифшица

Наиболее общее описание физика флуктуационных сил находит в теории Лифшица [3;32;33], в которой важную роль играет явление отражения. В отличие

от классического случая, свойства материальных сред описываются коэффициентами Френеля (1.4) не на вещественных, а на мнимых частотах:

,у) = *У "

М/У + \/ У2 + [е/М/ - 1]С2' (119)

(.г ч е/ у - vху2 + [е/ м/-1]£2 '

гДгС/ ,у) =

2

е/у + у7У2 + [е/М/ - 1] С;

Здесь С — безразмерные частоты Мацубары [3; 34], связанные с размерными £,г = 2п1квТ/И соотношением С = ^/шс, где шс = г/(2а), I = 0,1,2,... .В коэффициенты отражения входят локальные диэлектрическая е/ = е(гС/шс) и магнитная = (м(гСг шс) проницаемости сред пластин, зависящие от частоты.

В рамках теории Лифшица получено соотношение для свободной энергии флуктуационного взаимодействия между двумя (п = 1,2) параллельными диэлектрическими полупространствами (достаточно толстыми пластинами), расположенными друг от друга на расстоянии а, как показано на рисунке 1.2, и находящимися в тепловом равновесии при температуре Т с окружающей средой:

= ydyJ21п 1 - ^С/ ,у)т2)(гС/ ,у)е-у . (1.20)

квТ ^ ^ 8па2 — л,

/=о °ц а

Штрих около знака суммы обозначает, что вклад на нулевой частоте Мацубары (I = 0) имеет множитель 1/2. Суммирование под интегралом производится по поперечно-магнитным (а = ТМ) и поперечно-электрическим (а = ТЕ) модам. Оригинальная теория Лифшица, рассматривавшая немагнитные материалы, позднее была обобщена на магнитные [35].

Из формулы Лифшица следует, что нулевой член (I = 0) суммы соответствует энергии Казимира на единицу площади Е(а) при нулевой температуре, в то время как остальные члены (I ^ 1) могут рассматриваться как температурная поправка ДтТ(а,Т). В связи с этим уравнение (1.20) можно переписать в форме:

Т (а,Т) = Е (а) + ДтТ (а,Т). (1.21)

При этом выражение температурной поправки удобно найти в виде непрерывной зависимости от £/. Переписанное с помощью формулы Пуассона для четных функций [3] выражение (1.20) имеет вид:

Иг -ГО , СС у Т(а,Т) = 16Па Х0 /0 УЛУ/0 ^сов (П^(Су), (1.22)

где функция в подынтегральном выражении задается следующим образом:

F(Z,y) = ^ ln [l - r«(iZ,y}rL2)(iZ,y)e-] . (1.23)

a

Здесь введена величина t = Teff/T, Teff — эффективная температура, определяемая согласно [3]:

Teff = (1.24)

Таким образом, температурная поправка в (1.21) имеет вид:

Ъг ^^ Гж ГУ

ATF(a,T) = ^^ ydy у0 dZcos ltZF(Z,y). (1.25)

Как следствие, из общих термодинамических соотношений [1] могут быть

получены давление флуктационных сил: •——^

— _М. V' Г 2¿V ^(гСуГ^гС,,у) (126)

8™31=0 Л, ^ е» — г<1)(гс,,у)г<;2)(гС,,у)

и энтропия

5' (о,Т) — — ^^ — (о,Т) — ?? ОТ )■ (1.27)

Для идеальных металлических пластин, когда £ бесконечно большое, а ц — 1, амплитудные коэффициенты отражения имеют вид [3; 36]:

Ге(г6,у) — —1, ^ ^ (1.28)

При этом выражение для свободной энергии Казимира имеет форму:

?(о,Т) — 4П02 Е' ^ У ¿У 1п[1 — е-»], (1.29)

а выражения для давления Казимира —

* (aT) = - 4S Е' £ dyey—i. (130)

/=0 17 Zl

1.5.3 Проблема коэффициентов отражения на нулевой частоте

Задача обобщения классических результатов [37] теории казимировского взаимодействия для идеальных металлических пластин мотивируется нуждами экспериментальной практики. Большое число работ было проведено, в частности, по описанию диэлектрических свойств реальных материальных сред при ненулевой температуре [3; 38-46]. Как было отмечено в 1.1, отсутствие табличных данных для диэлектрической проницаемости во всем диапазоне частот требует использовать модели для диэлектрической проницаемости, упомянутые в разделах 1.2 и 1.3, для тех частот, где табличные данные отсутвуют. При этом ошибки в рассчитываемой силе Казимира могут достигать нескольких процентов [47]. Следует отметить, однако, что применение указанных моделей при исследовании флуктуационных сил встречается с рядом трудностей. Исследования выявили, что некоторые модели диэлектрической проницаемости приводят к нарушению непрерывности коэффициентов Френеля на мнимых частотах при ш ^ 0 и Т ^ 0 ив конечном счете к противоречию с экспериментальными данными [3], причем как в случае металлов, так и диэлектриков.

Обсудим теперь вопрос о том, какие проблемы в теории сил Казимира возникают при рассмотрении ТЕ-коэффициента отражения электромагнитных флук-туаций от металлической поверхности. Проблема связана с применением модели Друде диэлектрической проницаемости металлов и была обнаружена в работах [25;48;49], где рассматривалось аналитическое поведение свободной энергии Казимира между металлическими телами в пределе низких температур, таких, что Т ^ Тег. Было выявлено, что коэффициент отражения для ТЕ-моды при ш ^ 0 и Т ^ 0 не является непрерывной функцией, тогда как для ТМ-моды подобная ситуация в случае металлов не наблюдается. В дополнение к полученному результату было установлено, что учет релаксационных свойств свободных электронов приводит к разногласиям теории Лифшица с термодинамикой: энтропия Казимира (1.27) при стремлении температуры к нулю становится ненулевой отрицательной величиной, зависящей от параметров системы, что нарушает теорему Нерн-ста, третье начало термодинамики:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кориков Константин Константинович, 2018 год

Список литературы

1. Ландау, Л.Д. Статистическая физика. Часть 1 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц; Под ред. Л.П. Питаевского. — Т. 5. — М.: Наука, 1976. — 584 с.

2. Klimchitskaya, G.L. The Casimir force between real materials: Experiment and theory / G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. 81, № 4. — P. 1827-1885.

3. Advances in the Casimir Effect / M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. — Oxford: Oxford University Press, 2015. — 752 p.

4. Repulsive Casimir Forces / O. Kenneth, I. Klich, A. Mann, M. Revzen // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89, № 3. — P. 033001-033004.

5. Rosa, F.S.S. On the possibility of Casimir repulsion using Metamaterials / F.S.S. Rosa// JPCS. — 2009. — Vol. 161, № 1. — P. 012039-012046.

6. Pirozhenko, I.G. Casimir repulsion and metamaterials / I.G. Pirozhenko, A. Lam-brecht// J. Phys. A. — 2008. — Vol. 41, № 16. — P. 164015-164022.

7. The electronic properties of graphene / A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres et al. // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. 81, № 1. — P. 109-162.

8. Falkovsky, L.A. Optical far-infrared properties of a graphene monolayer and multilayer / L.A. Falkovsky, S.S. Pershoguba // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 76, №15.— P. 153410-153413.

9. Stauber, T. Optical conductivity of graphene in the visible region of the spectrum / T. Stauber, N.M.R. Peres, A.K. Geim//Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78, № 8. — P. 085432-85439.

10. Casimir interaction between a perfect conductor and graphene described by the Dirac model / M. Bordag, I.V. Fialkovsky, D.M. Gitman, D.V. Vassilevich // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 80, № 24. — P. 245406-245410.

11. Fialkovsky, I.V. Finite-temperature Casimir effect for graphene / I.V. Fialkovsky, V.N. Marachevsky, D.V. Vassilevich//Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 84, № 3. — P. 035446-035455.

12. Quantum field theoretical description for the reflectivity of graphene / M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, V.M. Petrov//Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 91, № 4. — P. 045037-045055.

13. Materials perspective on Casimir and van der Waals interactions / L.M. Woods,

D.A.R. Dalvit, A. Tkatchenko et al. // Rev. Mod. Phys. — 2016. — Vol. 88, №4.— P. 045003.

14. Miri, M. A frustrated nanomechanical device powered by the lateral Casimir force / M. Miri, R. Golestanian // Appl. Phys. Lett. — 2008. — Vol. 92, № 11. — P. 113103-113105.

15. Genet, C. The Casimir effect in the nanoworld / C. Genet, A. Lambrecht, S. Rey-naud// Phys. J. Spec. Top. — 2008. — Vol. 160, № 1. — P. 183-193.

16. Quantum Mechanical Actuation of Microelectromechanical Systems by the Casimir Force / H.B. Chan, V.A. Aksyuk, R.N. Kleiman et al. // Science. — 2001. — Vol. 291, № 5510. — P. 1941-1944.

17. Casimir attractive-repulsive transition in MEMS / M. Boström, S.Á. Ellingsen, I. Brevik et al. // Eur. Phys. J. B. — 2012. — Vol. 85, № 11. — P. 377-381.

18. Geim, A.K. The rise of graphene / A.K. Geim, K.S. Novoselov // Nat. Mater. — 2007. — Vol. 6, № 3. — P. 183-191.

19. Freitag, M. Graphene: Nanoelectronics goes flat out / M. Freitag // Nat. Nanotech-nol. — 2008. — Vol. 3, № 8. — P. 455-457.

20. A graphene-based broadband optical modulator / M. Liu, X. Yin, E. Ulin-Avila et al. // Nature. — 2011. — Vol. 474, № 7349. — P. 64-67.

21. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц; Под ред. Л.П. Питаевского. — Т. 8. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с.

22. Handbook of Optical Constants of Solids, Five-Volume Set: Handbook of Thermo-Optic Coefficients of Optical Materials with Applications / Ed. by

E.D. Palik. — Burlington: Academic Press, 1997. — 325 p.

23. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф; Под ред. Г.П. Мотулевич. — 2 изд. — М.: Наука, 1973. — 713 с.

24. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. — М.: Мир, 1979. — 458 с.

25. Violation of the Nernst heat theorem in the theory of the thermal Casimir force between Drude metals / V.B. Bezerra, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, C. Romero // Phys. Rev. A. — 2004. — Vol. 69, № 2. — P. 022119-022127.

26. Geyer, B. Casimir force under the influence of real conditions / B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Int. J. Mod. Phys. A. — 2001. — Vol. 16, № 19. — P. 3291-3308.

27. Ландау, Л.Д. Физическая кинетика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц; Под ред. Л.П. Питаевского. — Т. 10. — М.: Наука, 1979. — 528 с.

28. Вонсовский, С.В. Магнетизм. Магнитные свойста диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков / С.В. Вонсовский. — М.: Наука, 1971. — 1032 с.

29. Parsegian, V.A. Van der Waals Forces. A Handbook for Biologists, Chemists, Engineers, and Physicists / V.A. Parsegian. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — 398 p.

30. Мостепаненко, В.М. Эффект Казимира и его приложения / В.М. Мостепа-ненко, Н.Н. Трунов // Успехи физических наук. — 1988. — Т. 156, № 11. — С. 385-426.

31. Mahanty, J.Dispersion Forces / J. Mahanty, B.W. Ninham. Colloid science. — London: Academic Press, 1976. — 236 p.

32. Лифшиц, Е.М. Статистическая физика. Часть 2 / Е.М. Лифшиц, Л.П. Пита-евский. — Т. 9. — М.: Наука, 1978. — 448 с.

33. Bordag, M. New developments in the Casimir effect / M. Bordag, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko // Phys. Rep. — 2001. — Vol. 353, № 1. — P. 1-205.

34. Matsubara, T. Quantum-Statistical Mechanics of Electron-Phonon System / T. Matsubara // Progress of theoretical physics. — 1955. — Vol. 14, № 4. — P. 351-378.

35. Richmond, P. A note on the extension of the Lifshitz theory of van der Waals forces to magnetic media / P. Richmond, B.W. Ninham // J. Phys. C: Solid St. Phys. — 1971. — Vol. 4, № 14. — P. 1988-1993.

36. Schwinger, J. Casimir Effect in Dielectrics / J. Schwinger, L.L. DeRaad, K.A. Milton// Ann. Phys. (N.Y.). — 1978. — Vol. 115, № 1. — P. 1-23.

37. Casimir, H.B.G. On the attraction between two perfectly conducting plates / H.B.G. Casimir//Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. — 1948. — Vol. 51. — P. 793795.

38. Boström, M. van der Waals energy of an atom in the proximity of thin metal films / M. Boström, B.E. Sernelius // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 61, № 5. — P. 052703-052708.

39. Boström, M. Thermal Effects on the Casimir Force in the 0.1-5^m Range / M. Boström, B.E. Sernelius // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 84, № 20. — P. 4757-4760.

40. Lamoreaux, S.K. Calculation of the Casimir force between imperfectly conducting plates / S.K. Lamoreaux // Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 59, № 5. — P. R3149-R3153.

41. Lambrecht, A. Casimir force between metallic mirrors / A. Lambrecht, S. Rey-naud // Eur. Phys. J. D. — 2000. — Vol. 8, № 3. — P. 309-318.

42. Bezerra, V.B. Higher-order conductivity corrections to the Casimir force / V.B. Bezerra, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 62, № 1. — P. 014102—014105.

43. Klimchitskaya, G.L. Comparison between experiment and theory for the thermal Casimir force / G.L. Klimchitskaya, M. Bordag, V.M. Mostepanenko //Int. J. Mod. Phys. A. — 2012. — Vol. 27, № 15. — P. 1260012-1260027.

44. Klimchitskaya, G.L. What is the Temperature Dependence of the Casimir Force between Real Metals? / G.L. Klimchitskaya // Int. J. Mod. Phys. A. — 2002. — Vol. 17, № 06. — P. 751-760.

45. Geyer, B. Analytic approach to the thermal Casimir force between metal and dielectric / B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Ann. Phys. — 2008. — Vol. 323, № 2. — P. 291-316.

46. Klimchitskaya, G.L. Investigation of the temperature dependence of the Casimir force between real metals / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2001. — Vol. 63, № 6. — P. 062108-062125.

47. Pirozhenko, I. Sample dependence of the Casimir force /1. Pirozhenko, A. Lambrecht, V.B. Svetovoy // New J. Phys. — 2006. — Vol. 8, № 10. — P. 238-253.

48. Bezerra, V.B. Thermodynamical aspects of the Casimir force between real metals at nonzero temperature / V.B. Bezerra, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. 65, № 5. — P. 052113-052122.

49. Bezerra, V.B. Correlation of energy and free energy for the thermal Casimir force between real metals / V.B. Bezerra, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. 66, № 6. — P. 062112-062124.

50. Improved tests of extra-dimensional physics and thermal quantum field theory from new Casimir force measurements / R.S. Decca, E. Fischbach, G.L. Klimchitskaya et al. // Phys. Rev. D. — 2003. — Vol. 68, № 11. — P. 116003-116017.

51. Precise comparison of theory and new experiment for the Casimir force leads to stronger constraints on thermal quantum effects and long-range interactions / R.S. Decca, D. López, E. Fischbach et al. // Ann. Phys. (N.Y.). — 2005. — Vol. 318, № 1. — P. 37-80.

52. Tests of new physics from precise measurements of the Casimir pressure between two gold-coated plates / R.S. Decca, D. López, E. Fischbach et al. // Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 75, № 7. — P. 077101-077104.

53. Novel constraints on light elementary particles and extra-dimensional physics from the Casimir effect / R.S. Decca, D. López, E. Fischbach et al. // Eur. Phys. J. C. — 2007. — Vol. 51, № 4. — P. 963-975.

54. Gradient of the Casimir force between Au surfaces of a sphere and a plate measured using an atomic force microscope in a frequency-shift technique / C.-C. Chang, A.A. Banishev, R. Castillo-Garza et al. // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85, № 16. — P. 165443-165459.

55. Bimonte, G. Bohr-van Leeuwen theorem and the thermal Casimir effect for conductors / G. Bimonte // Phys. Rev. A. — 2009. — Vol. 79, № 4. — P. 042107042117.

56. Geyer, B. Thermal quantum field theory and the Casimir interaction between dielectrics / B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 72, № 8. — P. 085009-085028.

57. Klimchitskaya, G.L. Universal behaviour of dispersion forces between two dielectric plates in the low-temperature limit / G.L. Klimchitskaya, B. Geyer, V.M. Mostepanenko // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. — Vol. 39, № 21. — P. 6495-6499.

58. Klimchitskaya, G.L. Problems in the theory of the thermal Casimir force between dielectrics and semiconductors / G.L. Klimchitskaya, B. Geyer// J. Phys. A: Math. Theor. — 2008. — Vol. 41, № 16. — P. 164032-164043.

59. Pitaevskii, L.P. Thermal Lifshitz Force between an Atom and a Conductor with a Small Density of Carriers / L.P. Pitaevskii // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 101, № 16. — P. 163202-163205.

60. Dalvit, D.A.R. Contribution of Drifting Carriers to the Casimir-Lifshitz and Casimir-Polder Interactions With Semiconductor Materials / D.A.R. Dalvit, S.K. Lamoreaux// Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 101, № 16. — P. 163203163206.

61. Comment on "Thermal Lifshitz Force between an Atom and a Conductor with a Small Density of Carriers" / B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102, № 18. — P. 189301.

62. Comment on "Contribution of Drifting Carriers to the Casimir-Lifshitz and Casimir-Polder Interactions with Semiconductor Materials" / R.S. Decca, E. Fischbach, B. Geyer et al. // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102, № 18. — P. 189303.

63. Geyer, B. Thermal Casimir interaction between two magnetodielectric plates / B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 81, № 10. — P. 104101-104115.

64. Measurement of the gradient of the Casimir force between a nonmagnetic gold sphere and a magnetic nickel plate / A.A. Banishev, C.-C. Chang, G.L. Klimchit-skaya et al. // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85, № 19. — P. 195422-195428.

65. Demonstration of the Casimir Force between Ferromagnetic Surfaces of a Ni-Coated Sphere and a Ni-Coated Plate / A.A. Banishev, G.L. Klimchitskaya, V. M. Mostepanenko, U. Mohideen // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Vol. 110, № 13. — P. 137401-137405.

66. Casimir interaction between two magnetic metals in comparison with nonmagnetic test bodies / A.A. Banishev, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, U. Mohideen// Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 88, № 15. — P. 155410-155429.

67. Bimonte, G. Isoelectronic determination of the thermal Casimir force / G. Bi-monte, D. López, R.S. Decca // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 93, № 18. — P. 184434-184448.

68. Buhmann, S.Y. Ground-state van der Waals forces in planar multilayer magnetodi-electrics / S.Y. Buhmann, D.G. Welsch, T. Kampf// Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 72, № 3. — P. 032112-32127.

69. Rosa, F.S.S. Casimir interactions for anisotropic magnetodielectric metamaterials /

F.S.S. Rosa, D.A.R. Dalvit, P.W. Milonni // Phys. Rev. A. — 2008. — Vol. 78, №3. —P. 032117-032132.

70. Scattering theory approach to electrodynamic Casimir forces / S.J. Rahi, T. Emig, N. Graham et al. // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 80, № 8. — P. 085021-085047.

71. Klimchitskaya, G.L. Thermal Casimir Force between Magnetic Materials /

G.L. Klimchitskaya//Int. J. Mod. Phys. A. — 2010. — Vol. 25, № 11. — P. 22932301.

72. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films / K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al. // Science. — 2004. — Vol. 306, № 5696. — P. 666-669.

73. Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene / C. Lee, X. Wei, J.W. Kysar, J. Hone // Science. — 2008. — Vol. 321, № 5887. — P. 385-388.

74. Superior Thermal Conductivity of Single-Layer Graphene / A.A. Balandin, S. Ghosh, W. Bao et al. // Nano Lett. — 2008. — Vol. 8, № 3. — P. 902-907.

75. Schwierz, F. Graphene transistors / F. Schwierz // Nat. Nanotechnol. — 2010. — Vol. 5, № 7. — P. 487-496.

76. A roadmap for graphene / K.S. Novoselov, VI. Fal'ko, L. Colombo et al. // Nature. — 2012. — Vol. 490, № 7419. — P. 192-200.

77. Sub-10 nm Gate Length Graphene Transistors: Operating at Terahertz Frequencies with Current Saturation / J. Zheng, L. Wang, R. Quhe et al. // Scientific Reports. — 2013. — Vol. 3, № 1314. — P. 1314-1322.

78. Wallace, P.R The Band Theory of Graphite / P.R. Wallace // Phys. Rev. — 1947. — Vol. 71, № 9. — P. 622-634.

79. Surface Properties of Extremely Thin Graphite Lamellae / H.P. Boehm, A. Clauss, G. Fischer, U. Hofmann // Proceedings of the Fifth Conference on Carbon. — Pergamon press, 1962. — Vol. 1. — P. 73-80.

80. DiVincenzo, D.P. Self-consistent effective-mass theory for intralayer screening in graphite intercalation compounds / D.P. DiVincenzo, E.J. Mele // Phys. Rev. B. — 1984. — Vol. 29, № 4. — P. 1685-1694.

81. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene / K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al. // Nature. — 2005. — Vol. 438, № 7065. — P. 197-200.

82. Sernelius, B.E. Retarded interactions in graphene systems / B.E. Sernelius //Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85, № 19. — P. 195427-195436.

83. Gómez-Santos, G. Thermal van der Waals interaction between graphene layers / G. Gómez-Santos // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 80, № 24. — P. 245424245431.

84. Drosdoff, D. Casimir forces and graphene sheets / D. Drosdoff, L.M. Woods // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82, № 15. — P. 155459-155468.

85. Drosdoff, D. Casimir interactions between graphene sheets and metamaterials / D. Drosdoff, L.M. Woods //Phys. Rev. A. — 2011. — Vol. 84, № 6. — P. 06250162507.

86. Temperature dependent graphene suspension due to thermal Casimir interaction /

A.D. Phan, L.M. Woods, D. Drosdoff et al. // Appl. Phys. Lett. — 2012. — Vol. 101,№11.— P. 113118-113121.

87. Dobson, J.F. Asymptotics of the Dispersion Interaction: Analytic Benchmarks for van der Waals Energy Functionals / J.F. Dobson, A. White, A. Rubio // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96, № 7. — P. 073201-73204.

88. Sernelius, B.E. Casimir interactions in graphene systems / B.E. Sernelius // Euro-phys. Lett. — 2011. — Vol. 95, № 5. — P. 57003-57008.

89. Klimchitskaya, G.L. van der Waals and Casimir interactions between two graphene sheets / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 87, № 7. — P. 075439-75445.

90. Bordag, M. Thermal Casimir effect in the interaction of graphene with dielectrics and metals / M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev.

B. — 2012. — Vol. 86, № 16. — P. 165429-165442.

91. Klimchitskaya, G.L. Classical limit of the Casimir interaction for thin films with applications to graphene / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89, № 3. — P. 035407-35416.

92. Klimchitskaya, G.L. Classical Casimir-Polder force between polarizable microparticles and thin films including graphene / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2014. — Vol. 89, № 1. — P. 012516012524.

93. Klimchitskaya, G.L. Two approaches for describing the Casimir interaction in graphene: Density-density correlation function versus polarization tensor / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, B.E. Sernelius // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89, № 12. — P. 125407-125415.

94. Klimchitskaya, G.L. Theory of the Casimir interaction from graphene-coated substrates using the polarization tensor and comparison with experiment / G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko //Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89, №11. —P. 115419-115426.

95. Measuring the Casimir force gradient from graphene on a SiO2 substrate / A.A. Banishev, H. Wen, J. Xu et al. // Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 87, № 20. — P. 205433-205437.

96. Klimchitskaya, G.L. Reflectivity Properties of Graphene and Graphene-Coated Substrates / G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, V.M. Petrov // Internet of Things, Smart Spaces, and Next Generation Networks and Systems / Ed. by S. Balandin, S. Andreev, Y. Koucheryavy. — Springer, 2014. — Vol. 8638. — P. 451-458.

97. Investigation of the Casimir force between metal and semiconductor test bodies / F. Chen, U. Mohideen, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 72, № 2. — P. 020101-20104(R).

98. Experimental test for the conductivity properties from the Casimir force between metal and semiconductor / F. Chen, U. Mohideen, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 74, № 2. — P. 02210322116.

99. Demonstration of the Difference in the Casimir Force for Samples with Different Charge-Carrier Densities / F. Chen, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, U. Mohideen//Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 97,№ 17. — P. 170402-170405.

100. Halving the Casimir force with Conductive Oxides / S. de Man, K. Heeck, R.J. Wi-jngaarden, D. Iannuzzi //Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 103, № 4. — P. 040402040405.

101. de Man, S. Halving the Casimir force with conductive oxides: Experimental details / S. de Man, K. Heeck, D. Iannuzzi // Phys. Rev. A. — 2010. — Vol. 82, №6.— P. 062512-62522.

102. Switching Casimir forces with phase-change materials / G. Torricelli, P.J. van Zwol, O. Shpak et al. // Phys. Rev. A. — 2010. — Vol. 82, № 1. — P. 010101-010104(R).

103. Demonstration of optically modulated dispersion forces / F. Chen, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, U. Mohideen // Opt. Express. — 2007. — Vol. 15, № 8. — P. 4823-4829.

104. Control of the Casimir force by the modification of dielectric properties with light / F. Chen, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko, U. Mohideen // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 76, № 3. — P. 035338-035352.

105. Measurement of the Temperature Dependence of the Casimir-Polder Force / J.M. Obrecht, R.J. Wild, M. Antezza et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 98, №6.— P. 063201-63204.

106. Lamoreaux, S.K. The Casimir force: background, experiments, and applications / S.K. Lamoreaux//Rep. Prog. Phys. — 2005. — Vol. 68, № 1. — P. 201-236.

107. Mohideen, U. Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9^m / U. Mohideen, A. Roy // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81, № 21. — P. 45494552.

108. Quantitative non-contact dynamic Casimir force measurements / G. Jourdan,

A. Lambrecht, F. Comin, J. Chevrier // Europhys. Lett. — 2009. — Vol. 85, №3. —P. 31001-31005.

109. Bimonte, G. Material dependence of Casimir forces: Gradient expansion beyond proximity / G. Bimonte, T. Emig, M. Kardar // Appl. Phys. Lett. — 2012. — Vol. 100, № 7. — P. 074110-074113.

110. Korikov, C.C. Casimir entropy for ferromagnetic materials / C.C. Korikov // Int. J. Mod. Phys. A. — 2016. — Vol. 31, № 2-3. — P. 1641036-1641044.

111. Casimir Force at Both Nonzero Temperature and Finite Conductivity / M. Bordag,

B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko //Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, № 3-17. — P. 503.

112. Klimchitskaya, G.L. Analytic results for the Casimir free energy between ferromagnetic metals / G.L. Klimchitskaya, C.C. Korikov // Phys. Rev. A. — 2015. — Vol. 91, № 3. — P. 032119-32128.

113. Klimchitskaya, G.L. Casimir entropy for magnetodielectrics / G.L. Klimchitskaya,

C.C. Korikov // J. Phys.: Condens Matter. — 2015. — Vol. 27, № 21. — P. 214007-214012.

114. Gradshteyn, I.S. Table of Integrals, Series, and Products / I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik; Ed. by 7. — Elsevier Academic Press, 2007. — 1221 p.

115. Кориков, К.К. Энтропия Казимира для магнитодиэлектриков / К.К. Кориков, Г. Л. Климчицкая // Научный форум с международным участием «Неделя науки СПбПУ» / Под ред. В.Э. Гасумянца, Д.Д. Карова. — 2015. — С. 97-99.

116. Klimchitskaya, G.L. Theory of reflectivity properties of graphene-coated material plates / G.L. Klimchitskaya, C.C. Korikov, V.M. Petrov // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 92, № 12. — P. 125419-125427.

117. Klimchitskaya, G.L. Observability of thermal effects in the Casimir interaction from graphene-coated substrates / G.L. Klimchitskaya, V. M. Mostepanenko // Phys. Rev. A. — 2014. — Vol. 89, № 5. — P. 052512-052518.

118. Electrical properties of Silicon (Si) [Электронный ресурс]. URL: http://www. ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/electric.html (дата обращения: 1.11.2016).

119. Korikov, C.C. Reflectivity Properties of Graphene-Coated Silica / C.C. Korikov // Internet of Things, Smart Spaces, and Next Generation Networks and Systems / Ed. by S. Balandin, S. Andreev, Y. Koucheryavy. — Vol. 9247. — Springer, 2015. — P. 759-764.

120. Прудников, А.П. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — Т. 1. — М.: Физматлит, 2002. — 632 с.

Список рисунков

1.1 Отражение электромагнитной плоской волны от поверхности раздела двух линейных, изотропных материальных сред............. 12

1.2 Казимировское взаимодействие между двумя параллельными полупространствами............................. 18

1.3 Схема установки для измерения силы Казимира с помощью микромеханического осциллятора.....................29

1.4 Схема установки для измерения силы Казимира с помощью атомно-силовой микроскопии........................30

2.1 Энтропия Казимира на единицу площади для двух пластин, выполненных из никеля (№), описываемых плазменной моделью (сплошная линия) и моделью Друде (пунктирная линия) на расстоянии а = 50 мкм...........................44

2.2 Энтропия Казимира на единицу площади для двух пластин, выполненных из никеля (№), описываемых плазменной моделью (сплошная линия) и моделью Друде (пунктирная линия) на расстоянии а = 30 мкм...........................44

3.1 Температурная зависимость энтропии Казимира на единицу площади для диэлектриков с постоянными магнитной

проницаемостью ц = 25 и электрической £0 = 5,12 при расстоянии между пластинами а = 0,1 мкм.......................58

3.2 Температурная зависимость энтропии Казимира на единицу площади для диэлектриков с ц0 = 25, £0 = 5,12 и частотно-зависимой магнитной проницаемостью при расстоянии между пластинами

а = 0,1 мкм.................................. 58

4.1 Отражательная способность диоксида кремния ) с графеновым покрытием и без графенового покрытия (линии 2 и 1 соответственно) при нормальном падении показана как функция частоты на высоких частотах .................................... 65

4.2 Отражательные способности для ТМ- и ТЕ-поляризаций в случае покрытой графеном пластины из диоксида кремния при

ш = 3 х 1015 рад/с показаны как функции угла падения нижней и верхней сплошными линиями соответственно. Пунктирные линии показывают аналогичные результаты для не покрытых графеном пластин....................................66

4.3 Отражательная способность для ТМ-поляризации в случае не покрытой и покрытой графеном пластин из диоксида кремния при ш = 3 х 1015 рад/с показана с помощью сплошной и пунктирной

линий соответственно вблизи угла Брюстера...............67

4.4 Отражательная способность покрытой и не покрытой графеном пластин из диоксида кремния (линии 2, 3 и 1 соответственно) при нормальном угле падения показаны как функции от частоты на низких частотах. Линии 2 и 3 изображены для пластины из диоксида

кремния покрытой графеном при температурах Т = 75 К и Т = 300 К соответственно .........................68

4.5 Отражательная способность золотой пластины без графенового покрытия при нормальном падении как функция частоты ........ 69

4.6 Относительное изменение отражательной способности покрытой графеном золотой пластины при нормальном падении как функция частоты....................................70

4.7 Отражательная способность покрытой графеном золотой пластины для ТМ- и ТЕ-поляризаций электромагнитного поля при ш = 3,65 х 1015 рад/с показана как функция угла падения верхней и нижней сплошными линиями соответственно. Пунктирные линии показывают те же результаты, но для не покрытых графеном золотых

пластин .................................... 71

4.8 Относительное изменение отражательной способности никелевой пластины без графенового покрытия при нормальном падении как функция частоты ............................... 72

4.9 Относительное изменение отражательной способности покрытой графеном никелевой пластины при нормальном падении как функция частоты .................................... 73

4.10 Отражательная способность кремниевой пластины с высоким сопротивлением без графенового покрытия при нормальном падении

как функция частоты.............................74

4.11 Относительное изменение отражательной способности покрытой графеном кремниевой пластины с высоким сопротивлением при нормальном падении как функция частоты ................ 75

4.12 Отражательная способность высокоомной кремниевой пластины, покрытой графеном, при Т = 300 К и Т = 0 К (линии 2 и 1 соответственно) при нормальном падении как функция частоты . . . . 76

4.13 Отражательная способность покрытой графеном низкоомной кремниевой пластины при Т = 300 К показана сплошными линиями 1, 2 и 3 как функция частоты для концентраций свободных носителей заряда, равных 5 х 1014, 5 х 1016 и 5 х 1017 см"3 соответственно. Соответствующие величины для пластин без графенового покрытия показаны пунктирными линиями 1, 2 и 3 ................. 78

4.14 Отражательная способность покрытой графеном низкоомной кремниевой пластины на частоте ш = 1,5 х 1012 рад/с

при температуре Т = 300 К как функция от угла падения показана на рисунке сплошными линиями снизу вверх для ТМ- и ТЕ-поляризаций электромагнитного поля соответственно при концентрациях примесей (а) N = 5 х 1014 см"3 и (Ь) N = 5 х 1017 см"3. Пунктирные линии показывают те же результаты для кремниевой пластины без графенового покрытия ............................ 79

Приложение А Вычисление некоторых интегралов

В данном приложении представлены вычисления некоторых интегралов, используемых в основном тексте работы.

А.1 Интеграл вида x ln [1 — e ax] sin в x dx

Вычислим значение следующего определенного интеграла с параметром а ^ 1:

/>ТО

Ii = xln [1 — e—ах] sinexdx. (А.1)

Jo

Используя свойства полилогарифма

ln [1 — z] = — Lii (z), (А.2)

перепишем интеграл (А.1) в виде:

>>ТО Ж 1

/>то ^ 1 />то

I1 = - xLi1 (e-ax) sin ßx dx = - Y^ - / e-kaxx sin ßx dx. (А.3)

Jo k=i k Jo

Используя формулу 2.5.31.6 из [120], получим:

1 2kaß Ä 1 2kaß 2ß Ä 1

I v i zkajj v i ¿kap 2|j ■v i 4)

1 = "k=1 kW°2 + ß2)2 = "k=1 k(fc2a2 + ß2)2 = —03 fci (k2 + g)2' '

Принимая во внимание, что

то m —1 то

Е f (k) = — Е Res [пctgnzf (z),zk] = f (k) + f (°) + E f (k), (A-5)

к=—то k=1 k=—то k=1

получим:

I1 = 03 Res

ß j ^ п ctg nz а

2

k=1

(k2 + S)

4 ß'

+ 7M > • (А.6)

Подставив в качестве вычетов коэффициенты при первой отрицательной степени в разложениях функции в ряд Лорана в окрестностях каждого полюса, получим:

г = в

а3

а4 па3 { coth пв + пв csch2 (пв ) I

а I а а \а/1

в

4

2в

3

(А.7)

Далее, упрощая, получим окончательное значение интеграла:

' =

2а - пв coth пв + п2^ csch2

а а а

2в3

(А.8)

А.2 Интеграл вида /0° х 1п (1 — ае х) йх

Вычислим значение сдедующего определенного интеграла с параметром -1 < а < 1:

х

12 = х 1п (1 — ае-х) йх. (А.9)

Л

Используя метод интегрирования по частям, перепишем (А.9) в виде:

1 а Г ж Х2

'2 = 2 !т х1п ^— ае-хп" 2 /0 е^^ (АЛ0)

Принимая во внимание, что

1im |х21п (1 — ае—х)! =0, (А.11)

а Г х2

получим исходный интеграл в форме:

а

'2 = — 2 --йх. (А.12)

2 ]о ех — а

С использованием формулы (3.411.22) из [114] результат интегрирования примет вид:

'2 = — Г2) Е ж = —1"3 (а). (А.13)

к=1

А.3 Интеграл вида /

и (а—ех)2

(х

Вычислим значение следующего определенного интеграла:

■>со

'3 =

х

переменную Ь = х — и:

'3 =

(а — ех)2

Ь + и

(х.

(А.14)

Для этого устраним параметр в нижнем пределе интегрирования, введя новую

(А.15)

(Ь.

10 (а — е*+и)2

Обозначив для удобства у = ае—и, придем к сумме интегралов:

'3 = е

2и

.Л (У — ег )2

(Ь + и

1

'о (у — ег)2

(ьЬ

Вычисляя их явно с использованием (2.119.1) из [114], находим:

'3 = е

2и

+

1

Ц (у) У2 ' у(у — 1).

Откуда, возвращаясь к оригинальным переменным, получаем:

'3 =

Ы2 (ае и)

1

а2

а(а — еи)'

(А.16)

(А.17)

(А.18)

х

Ь