Особенности на некоторых многообразиях Фано тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Каржеманов, Илья Вячеславович

• Каржеманов, Илья Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каржеманов, Илья Вячеславович

1.1 История поставленных задач.

1.2 Основные результаты.

1.3 Описание диссертации и используемых методов.

2 Вспомогательная часть

2.1 Основные обозначения и определения.

2.2 Особенности алгебраических многообразий.

2.3 Результаты из теории минимальных моделей.

2.4 Торические многообразия.

3 Многообразия Фано с каноническими особенностями

3.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения.

3.2 Стягивания специального типа.

3.3 Общий случай: редукция к лог-расслоению Мори.

3.4 Случай стягивания на кривую.

3.5 Случай стягивания на поверхность.

3.6 Следствия.

4 Многообразия Фано—Энриквеса

4.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения.

4.2 Случай малой степени.

4.3 Общий случай.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности на некоторых многообразиях Фано»

1.1 История поставленных задач

На рубеже 19-20-го веков, с расцветом итальянской школы алгебраической геометрии, в математику пришло множество красивых геометрических конструкций и методов. Так, стало ясно, что геометрия проективных алгебраических многообразий существенно определяется свойствами линейных систем дивизоров на этих многообразиях. Исходя из этого наблюдения были построены бирегулярная теория неособых проективных кривых и бирациональная теория неособых проективных поверхностей. Это послужило хорошим заделом для классификации алгебраических многообразий в размерности ^ 2 над полем комплексных чисел (см. [27], [56], [8], [17], [71], [72]).

Однако в отношении геометрии алгебраических многообразий высших размерностей оставалось больше вопросов чем ответов. Было поставлено огромное число задач, часть из которых получила лишь интуитивные решения, не удовлетворяющие современному уровню математической строгости. Более того, некоторые доказанные утверждения были ошибочны. Тем не менее, идеи и предсказания итальянских алгебраических геометров по сей день служат большим подспорьем в решении классических задач.

Одним из ярчайших представителей итальянской геометрической школы был Дж. Фано. В своих работах он, в частности, интересовался проблемой Люрота для алгебраических многообразий в размерности ^ 3 (см. [18], [19], [20]). Это привело его к изучению неособых алгебраических многообразий, близких к рациональным, а именно, многообразий с обильным антиканоническим дивизором. Такие многообразия получили впоследствии название многообразий Фано. В случае кривых единственным многообразием Фано является Р1. В размерности 2, согласно критерию Дж. Кастель-нево, многообразия Фано рациональны. Желая построить контрпример к проблеме Люрота в размерности 3, Дж. Фано изучал геометрию неособой трехмерной кварти-ки в Р4. Унирациональность общей такой гиперповерхности была доказана в работе [70]. С другой стороны, в [19], [20] Дж. Фано доказал, что всякая неособая трехмерная квартика в Р1 не рациональна, тем самым отрицательно решив проблему Люрота. Однако работы [19], [20] содержали много неясных и, зачастую, ошибочных утверждений (см. также [68]). Тем не менее, идеи Дж. Фано были восстановлены в работе [32], где было дано доказательство нерациональности неособой трехмерной квартики в Р4 на современном уровне математической строгости.

С другой стороны, многообразия Фано интересны и сами по себе, как представители весьма специфического класса алгебраических многообразий (во второй половине 20-го века, в рамках теории минимальных моделей С. Мори было осознано, что многообразия Фано являются естественными строительными блоками для многообразий отрицательной кодаировой размерности). В частности, итальянские геометры занимались задачей классификации неособых многообразий Фано. Так, в размерности 2 было дано полное описание соответствующих поверхностей (см. [14]), и на свет появились поверхности дель Пеццо. Трехмерный случай рассматривался Дж. Фано в работах [19], [20], [21]. Однако полное описание трехмерных неособых многообразий" Фано было получено почти полвека спустя в работах В. А. Исковских, С. Мори и С. Мукаи (см. [30], [31], [53]), в которых были усовершенствованы идеи самого Дж. Фано, а также применены мощные средства теории минимальных моделей, развитой в работах Ю. Каваматы, Я. Коллара, С. Мори, М. Рида, В. Шокурова и др. (см., например, [44], [51], [52], [79]).

Далее, случай особых многообразий Фано не менее интересен. Так, естественным дополнением к классу неособых трехмерных многообразий Фано как алгебраических многообразий, содержащих неособую КЗ поверхность в качестве обильного дивизора, служат трехмерные нормальные алгебраические многообразия, содержащие неособую поверхность Энриквеса в качестве обильного дивизора. Если потребовать еще, чтобы многообразия последнего типа не являлись конусами, то мы приходим к понятию лмогообразия Фано-Энриквеса. Существенно здесь то, что неособые трехмерные многообразия Фано и многообразия Фано-Энриквеса являются, в определенном смысле, "общими представителями" класса трехмерных алгебраических многообразий, имеющих обильный антиканонический дивизор и канонические особенности (см. определение 2.2.6 и замечание 3.6.4). В свою очередь, класс многообразий последнего типа является, с точки зрения получения разумного описания трехмерных многообразий с обильным антиканоническим дивизором, наиболее широким.

Однако, как показывает даже случай неособых многообразий Фано, получение такого описания - весьма нетривиальная задача. Так, многообразия Фано-Энриквеса изучались в работах [22], [24]. В частности, Дж. Фано показал (см. также [10]), что такие многообразия всегда особы. Более того, он предположил, что особенности многообразий Фано-Энриквеса всегда являются обыкновенными двойными, и классифицировал данные многообразия при этом предположении. Однако, как оказалось, список, полученный Дж. Фано, был не полон (см. [6], [69]). Кроме того, предположение об особенностях также не верно (см. [40], [60]). Тем не менее, верно то, что многообразия Фано-Энриквеса выделяются из класса трехмерных алгебраических многообразий с обильным антиканоническим дивизором как многообразия индекса Фано 1 и с каноническими ^-горенштейновыми особенностями индекса 2 (см. определения 2.3.15, 2.2.1 и замечание 3.6.4). Это наблюдение позволяет с помощью несложной конструкции циклического накрытия (см. пример 2.2.15) свести изучение многообразий Фано-Энриквеса к случаю трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями (см. определение 2.2.1) и действием регулярной инволюции с конечным числом неподвижных точек. Последнее условие довольно ограничительно и позволяет в некоторых случаях получить полное описание соответствующих многообразий Фано-Энриквеса (см. [6], [69], а также теоремы 3.6.5 и 4.1.1).

Рассуждения предыдущего абзаца приводят к естественной и, с точки зрения получения полного описания трехмерных алгебраических многообразий с обильным антиканоническим дивизором, наиболее общей задаче классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. Эта задача естественна также в рамках теории минимальных моделей, так как рассматриваемые многообразия Фано являются антиканоническими моделями многообразий Ч^-Фано (см. [1], а также определение 2.3.8).

Первым шагом в направлении решения поставленной задачи служит оценка антиканонической степени многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями (см. определение 3.1.1). В неособом случае для этой степени из работ [30], [31], [53] следует оценка ^ 64, которая достигается только на Р3. Более того, в работе [62] было доказано, что в общем случае антиканоническая степень не превосходит 72, и данная оценка является точной. Это положительно решает проблему Фано-Исковских (см. [29]). Заметим также, что отсюда следует оценка на род многообразий Фано-Энриквеса (см. определение 3.6.3 и замечание 3.6.4). Далее, класс трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями разбивается на подклассы многообразий одной и той же антиканонической степени. Для некоторых из этих подклассов можно получить полное описание (см. [62], а также теоремы 3.1.10 и 3.6.6). Таков один из путей решения задачи классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. Другой способ восходит к [19], [20], [21] (см. также [30] и [31]) и основан на детальном изучении антиканонической линейной системы на данном трехмерном многообразии Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. При некоторых ограничениях на эти линейные системы можно получить полную классификацию соответствующих многообразий (см. [58], а также теорему 4.1.1).

Разумеется, оба этих подхода были бы весьма затруднительными без огромного арсенала средств, доставляемого теориями минимальных моделей и особенностей алгебраических многообразий. Так, в рамках теории минимальных моделей изучение трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями естественно сводится к случаю трехмерных слабых многообразий Фано с терминальными факториальными особенностями (см. определения 2.2.6 и 2.3.15). Геометрия многообразий последнего типа во многом определяется строением экстремальных лучей и соответствующих экстремальных стягиваний на этих многообразиях (см., например, [37], а также определение 2.3.3 и теорему 2.3.7). Описание же экстремальных лучей происходит во многом за счет описания структуры конуса Мори (см., например, [37], а также определение 2.3.2) соответствующего слабого многообразия Фано.

В следующем разделе мы изложим основные результаты диссертации, позволяющие приблизиться к решению описанных выше задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каржеманов, Илья Вячеславович, 2009 год

1. Alexeev V. General elephants of Q-Fano 3-folds // Compositio Math. 1994. V. 91. P. 91-116.

2. Арнольд В. И., Варченко А. H., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов // Наука. Москва. 1982.

3. Artin M. On isolated rational singularities of surfaces // Amer. Journal Math. 1966. V. 88. P. 129-136.

4. M. Artin. Some numerical criteria for contractability of curves on algebraic surfaces // Am. J. Math. 1962. V. 84. P. 485-496.

5. Atiyah M. Vector bundles over an elliptic curve // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. V. 7. P. 414-452.

6. Bayle L. Classification des variétés complexes projectives de dimension trois dont une section hyperplane générale est une surface d'Enriques //J. Reine Angew. Math. V. 449. 1995. P. 9-63.

7. Borisov A. Boundedness of Fano threefolds with log-terminal singularities of given index //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2001. V. 8. P. 329-342.

8. Castelnuovo G., Enriques F. Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche // Ann. di Mat. pura ed app. 1901. V. 6.

9. Conte A. Two examples of algebraic threefolds whose hyperplane sections are Enriques surfaces // Algebraic geometry open problems (Ravello, 1982); Lecture Notes in Math. (Springer, Berlin, 1983). V. 997. P. 124-130.

10. Conte A., Murre J. P. Algebraic varieties of dimension three whose hyperplane sections are Enriques surfaces // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CL. Sci. V. 12(1). 1985. P. 43-80.

11. Cutkosky S. Elementary contractions of Gorenstein threefolds // Math. Ann. 1988. V. 280. P. 521-525.

12. Гриффите Ф., Харис Дж. Принципы алгебраической геометрии // М.: Мир. 1982.

13. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий // Успехи мат. наук. 1975. Т. 33(2) С. 85-134.

14. Del Pezzo P. Sule superficie delPnmo ordine immerse nello spazio a n dimensioni. Rend, di Palermo // 1887. V. 1.

15. Dolgachev I. V. Weighted projective varieties // Lecture Notes in Math. 1982. V. 956. P. 34-71.

16. Du Val P. On isolated singularities of surfaces which do not affect tile condi-tions of adjunction, I, II and III // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1934. V. 30. P. 453-459,460465,483-491.

17. Enriques F. Le superficie algebriche // Zanichelli. 1949.

18. Fano G. Sopra aleune varieta algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. (1907-1908). V. 43. P. 973-977.

19. Fano G. Osservazioni sopra aleune varieta non razionali aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. 1915. V. 50. P. 1067-1071.

20. Fano G. Nuove ricerche sulle varieta algebriche a tre dimensione a curve-sezioni canoniche // Comm. Pont. Ac. Sci. 1947. V. 11. P. 635-720.

21. Fano G. Sulle varieta a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche // Mem. R. Accad. d'ltalia. 1937. V. 8. P. 14-49.

22. Fano G. Sulle varieta algebriche a tre dimensione le cui sezioni iperpiane sono superficie di genere zero e bigenere uno // Mem. Mat. Sci. Fis. Natur. Soc. Ital. Sci. Ser. 1938. V. 3. P. 41-66.

23. Fulton W. Introduction to toric varieties // Princeton University Press. 1993.

24. Godeaux L. Sur les variétés algébriques à trois dimensions dont les sections hyperplanes sont des surfaces et de bigenre un // Bull. Acad. Belgique Cl. Sci. 1933. V. 14. P. 134-140.

25. Grothendieck A. La theorie des classes de Chern // Bull. Soc. Math, de France 1958. V. 86. P. 137-154.

26. Grothendieck A. Le groupe de Brauer, Dix exposes sur la cohomologie des shemasr North-Holland // Amsterdam. 1968. P. 46-188.

27. Haphen G. Memoire sur la classification des courbes gauches algebriques // J. Ec. Polyt. 1882. V. 52. P. 1-200.

28. Iano-Fletcher A. R. Working with weighted complete intersections // Explicit Birational Geometry of 3-Folds (A. Corti and M. Reid, eds.). London Math. Soc. Lecture Note Sec. Cambridge Univ. Press. Cambridge 2000. V. 281. P. 101-173.

29. Исковских В. А. Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий // Современные проблемы математики. Т. 12 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1979. С. 159-236.

30. Исковских В. А. Трехмерные многообразия Фано I // Изв. АН СССР Сер. Ма-тем. 1977. Т. 41(3). С. 516-562.

31. Исковских В. А. Трехмерные многообразия Фано II // Изв. АН СССР Сер. Ма-тем. 1978. Т. 42(3). С. 506-549.

32. Исковских В. А., Манин Ю. И. Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат. сб. 1971. Т. 86(1). С. 140-166.

33. Iskovskikh V. A., Prokhorov Yu. G. Fano varieties. Encyclopaedia of Mathematical Sciences // Algebraic geometry V / ed. Parshin A. N., Shafarevich I. R. V. 47. Berlin: Springer-Verlag. 1999.

34. Jahnke P., Radloff I. Gorenstein Fano threefolds with base points in the anticanonical system // Сотр. Math. 2006. V. 142(2). P. 422-432.

35. Jahnke P., Radloff I. Terminal Fano threefolds and their smoothings // arXiv: math. AG06011769 (2006).

36. Kawamata Y. The crêpant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to the degeneration of surfaces // Ann. of Math. 1988. V. 127(2). P. 93-163.

37. Kawamata Y., Matsuda K., Matsuki K. Introduction to the Minimal Model Problem // Advanced Studies in Pure Math. 1987. V. 10. P. 283-360.

38. Kempf G., Knudsen F. F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings // Lecture Notes in Mathematics, I. Springer-Verlag, Berlin, 1973. V. 339.

39. Клеменс X., Коллар Я., Мори С. Многомерная комлексная геометрия // М.: Мир. 1993.

40. Knutsen A. L., Lopez A. F., Munoz R. On the extendability of projective surface and a genus bound for Enriques-Fano threefolds // arXiv: math. AG0605750 (2006).

41. Kollâr J. Shafarevich Maps and Automorphic Forms // Princeton Univ. Press. 1995.

42. Kollâr J. Flops // Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. 1987.(Preprint).

43. Kollâr J. Singularities of pairs // Proc. Symp. Pure Math. 1997. V. 62. P. 221-287.

44. Kollâr J. et al. Flips and Abundance for Algebraic Threefolds // Astérisque. 1992. V. 211.

45. Kollâr J., Mori S. Birational geometry of algebraic varieties // Cambridge Univ. Press. 1998.

46. Kollâr J., Shepherd-Barron N. I. Threefolds and deformations of surface singularities // Invent. Math. 1988. V. 91(2). P. 299-338.

47. Kreuzer M., Skarke H. PALP: A package for analyzing lattice polytopes with applications to toric geometry // Computer Phys. Comm. 2004. V. 157. P. 87-106.

48. Laufer H. Minimally elliptic singularities // Amer. J. Math. 1977. V. 77. P. 12571295.

49. Львовский С. M. Ограниченность степени трехмерных многообразий Фано // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1981. Т. 45(6). С. 1288-1331.

50. Minagawa Т. Deformations of Q-Calabi-Yao 3-folds and Q-Fano 3-folds of Fano index 1 // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1999. V. 6(2). P. 397-414.

51. Mori S. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds //J. Amer. Math. Soc. 1988. V. 1. P. 117-253.

52. Mori S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective // Ann. Math. 1982. V. 115(2). P. 133-176.

53. Mori S., Mukai S. Classification of Fano 3-folds with B2> 2 // Manuscr. Math. 1981. V. 36. P. 147-162.

54. Namikawa Y. Smoothing Fano 3-folds //J. Algebraic Geom. 1997. V. 6. P. 307-324.

55. Nill B. Volume and lattice points of reflexive simplices // Discrete Comput. Geom. V. 37. 2007. P. 301-320.

56. Noether M. Zur Grundlegung der Theorie der Algebraischen Raumcurven // Verlag der Königlichen Akademie der Wissenschaften, Berlin. 1883.

57. Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag. VIII. 1988. V. 3. 212 P.

58. Пржиялковский В. В., Чельцов И. А., Шрамов К. А. Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано // Изв. РАН Сер. Матем. 2005. Т. 69. С. 145-204.

59. Prokhorov Yu. G. A remark on Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities // Proc. Fano Conf. 2002.

60. Прохоров Ю. Г. О многообразиях Фано-Энриквеса // Мат. сб. 2007. Т. 198(4). С. 117-134.

61. Прохоров Ю. Г. О трехмерных многообразиях с гиперплоскими сечениями -поверхностями Энриквеса // Мат. сб. 1995. Т. 186(9). С. 113-124.

62. Прохоров Ю. Г. Степень трехмерных многообразий Фано с каноническими го-ренштейновыми особенностями // Мат. сб. 2005. Т. 196(1). С. 81-122.

63. Prokhorov Yu. G., Shokurov V. V. Toward the second main theorem on complements: from local to global //J. Algebraic Geom. 2009. V. 18. P. 151-199.

64. Reid M. Canonical 3-folds // Algebraic Geometry, Angers. 1979. P. 273-310.

65. Reid M. Chapters on algebraic surfaces // Complex algebraic geometry (Park City. Ut. 1993) P. 3-159.

66. Reid M. Projective morphisms according to Kawamata // Preprint Univ. of Warwick. 1983.

67. Reid M. Young person's guide to canonical singularities // Proc. Syrup. Pure Math. 1987. V. 46. P. 343-416.

68. Roth L. Algebraic threefolds with special regard to problems of rationality // Springer, Berlin. 1955.

69. Sano T. Classification of non-Gorenstein Q-Fano 3-folds of index 1 // J. Math. Soc. Japan. V. 47(2). 1995. P. 369-380.

70. Segre B. Variazione continua ad omotopia in geometria algebrica // Ann. mat. pura ed appl. 1960. P. 149-186.

71. Segre C. Recherches generates sur les courbes et les surfaces reglees algebriques // Math. Ann. 1887. V. 30. and 1889. V. 34.

72. Severi F. Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero // Atti del 1st. Veneto. 1909. V. 68.

73. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия // M.: Мир. 1981.

74. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М.: Мир. 1973. 280 С.

75. Чельцов И. А. Особенности трехмерных многообразий, обладающих обильным эффективным дивизором гладкой поверхностью кодаировой размерности нуль // Матем. заметки. Т. 59(4). 1996. С. 618-626.

76. Чельцов И. А. Рациональность трехмерного многообразия Фано-Энриквеса рода пять // Изв. РАН Сер. Матем. 2004. Т. 68(3). С. 181-194.

77. Shepherd-Barron N. I. Canonical 3-fold singularities are Cohen-Macaulay // Warwick preprint.

78. Shin K.-H. 3-dimensional Fano Varieties with Canonical Singularities // Tokyo J. Math. 1989. V. 12. P. 375-385.

79. Шокуров В. В. Трехмерные лог-перестройки // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1992. Т. 56(1). С. 105-203.

80. Каржеманов И. В. О трехмерных многообразиях Фано с каноническими горен-штейновыми особенностями // Мат. сб. 2009. Т. 200(8). С. 111-146.

81. Каржеманов И. В. О некоторых многообразиях Фано-Энриквеса // Деп. в ВИНИТИ РАН. 2009. С. 1-10 (Karzhemanov I. V. On some Fano-Enriques threefolds // arXiv: math. AG0810.0487 (2008)).