Особенности числовых характеристик многоканальных систем массового обслуживания с ожиданием и отказами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Фадхкал Зайнаб

• Фадхкал Зайнаб
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Фадхкал Зайнаб

Оглавление

Введение ………………………………………………………….………

Глава 1. Математическая модель открытой системы массового

обслуживания с очередью конечной длины …………………………………

1.1. Вероятностные характеристики СМО с очередью конечной длины ……

1.2. Вероятность ожидания, вероятность немедленного обслуживания

и вероятность отказа СМО с очередью конечной длины ……………..……

1.3. Основные числовые характеристики установившегося режима ………

1.4. Среднее время обслуживания заявки и среднее время

нахождения одной заявки в системе ………………………………..…….…

Глава 2. Особенности числовых характеристик многоканальных

систем массового обслуживания открытого типа ……………………….…

2.1. Новые числовые характеристики открытых многоканальных

систем массового обслуживания ……………………………………….….…

2.2. Коэффициент вариации числа заявок, одновременно

находящихся под обслуживанием ………………………………..……….…

2.3. Коэффициент вариации числа заявок, находящихся

в ожидании обслуживания ……………………………………………………

2.4. Коэффициент вариации общего числа заявок, находящихся

в системе массового обслуживания в целом …………………………...……

Глава 3. Поведение критических значений приведённой

интенсивности потока заявок, поступающих в систему ………….….….…

3.1. Постановка задачи для многоканальных систем

массового обслуживания ………………………………………………..….…

3.2. Критические значения параметров для числа заявок,

одновременно находящихся под обслуживанием …………………………

3.3. Критические значения параметров для числа заявок,

находящихся в очереди на обслуживание …………………………….……

3

3.4. Критические значения параметров для общего числа заявок,

находящихся в системе массового обслуживания …………………………

Глава 4. Критические значения приведённой интенсивности

потока заявок для непрерывных характеристик систем

массового обслуживания ………………………………………………….…

4.1. Критические значения приведённой интенсивности потока заявок

для времени ожидания заявкой очереди на обслуживание ……………

4.2. Поведение коэффициента вариации для общего времени

пребывание одной заявки в системе массового обслуживания в целом

4.3. Некоторые особенности числовых характеристик открытых

систем массового обслуживания с ожиданием и отказами …………...…

Заключение ……………….…………………..………….….….......…

Список литературы …………………………..……….…..…..….……

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности числовых характеристик многоканальных систем массового обслуживания с ожиданием и отказами»

Введение

В реальных условиях эксплуатации технических объектов и систем,

работающих по принципу систем массового обслуживания, всегда

актуальной является проблема очередей и задержек в обслуживании. При

этом естественным желанием является организовать процесс их

эксплуатации таким образом, чтобы работа этих объектов и систем протекала

бы как можно в более стабильных режимах, при которых вторые моменты

числовых и временных характеристик не превышают соответствующих

математических ожиданий. Интенсивность входного потока заявок,

поступающих в систему на обслуживание, зависит, как правило, от характера

самого потока и является исходными данными. Поэтому, при

проектировании объектов техники, работающих по принципу систем

массового обслуживания, а также при разработке проектов их

реконструкции, единственным параметром, которым можно свободно

варьировать, остается число параллельно работающих однородных

обслуживающих устройств m. Именно к определению числа обслуживающих

устройств сводится любая практическая задача, связанная с расчетом

производительности СМО. В этой связи задачу изучения работы СМО

следует ставить следующим образом. Необходимо исследовать характер

поведения моментов числовых и временных характеристик СМО с

изменением числа обслуживающих устройств m, условно считая последнее

непрерывной величиной.

Вторые моменты являются одними из основных числовых

характеристик систем массового обслуживания (СМО) различных типов.

Между тем даже для большинства систем массового обслуживания с

простейшим входящим потоком заявок и экспоненциальным временем их

обслуживания аналитические формулы этих величин отсутствуют в

опубликованной к настоящему времени научной литературе [1-18]. При этом

моменты высших порядков сравнительно хорошо изучены лишь для

одноканальных моделей СМО различных типов [2]. Что же касается систем

 5

массового обслуживания с большим числом каналов, то в опубликованной к

настоящему времени научной литературе можно найти лишь формулы

вторых моментов некоторых числовых характеристик для модели с

неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации Дж.

Кендалла – модель М/М/m) [5]. Для более же сложных моделей эти

характеристики неизвестны, несмотря на большое количество работ,

посвящённых различным прикладным аспектам теории массового

обслуживания, изданным за последнее время [19-55]. Между тем, изучение

этих характеристик позволяет сделать ряд весьма нетривиальных выводов о

режимах функционирования систем такого рода, особенно это относится к

режимам функционирования многоканальных систем массового

обслуживания с ограничениями на предельный объём накопителя.

В математической статистике при изучении зависимостей случайных

процессов принято вводить коэффициент вариации, равный отношению

среднеквадратического (стандартного) отклонения числа заявок,

поступающих в систему за единицу времени, к математическому ожиданию

этой величины. Заметим, что в теории массового обслуживания

коэффициентом вариации иногда называют несколько другую величину [6],

равную отношению дисперсии числа заявок, поступающих в систему за

единицу времени, к математическому ожиданию этой величины, которая

также характеризует степень нерегулярности соответствующего потока

заявок. При этом для простейшего потока заявок этот коэффициент равен

единице, для регулярного или детерминированного потока, то есть потока, в

котором промежутки времени между двумя последовательными заявками

являются постоянными величинами, коэффициент вариации равен нулю, для

большинства же других законов распределения он колеблется от нуля до

единицы. Эти коэффициенты вариации мы будем в дальнейшем для

определённости называть коэффициентами вариации первого и второго рода.

Между тем по аналогии с вышеуказанными величинами для каждой

числовой характеристики СМО можно ввести в рассмотрение величины,

 6

составленные из первых и вторых моментов основных числовых

характеристик установившегося режима систем массового обслуживания. К

этим характеристикам относятся, как известно

- во-первых, число заявок, одновременно находящихся под

обслуживанием;

- во-вторых, число заявок в очереди на обслуживание (находящихся в

ожидании обслуживания);

- в-третьих, общее число заявок в системе в целом (как в очереди, так и

под обслуживанием).

- в-четвёртых, число заявок, обслуженных подряд в обслуживающем

устройстве, говоря другими словами, обслуженных за период занятости

обслуживающего устройства (прибора).

Заметим, что последняя из этих характеристик почти не изучена, и для

неё данные о первых и вторых моментах, кроме результатов, полученных в

рамках простейшей классической одноканальной СМО (например, [2, 15]), до

сих пор отсутствуют. В настоящей работе рассмотрено, как вводятся

коэффициенты вариации для первых трёх из этих величин, и к каким научно-

практическим результатам это приводит. В основном нас будут интересовать

(почему так - станет ясно из дальнейшего изложения) многоканальные

системы массового обслуживания.

Цель работы заключается в разработке численных алгоритмов и

комплекса программ, позволяющих по математической модели рассчитать

количество обслуживающих приборов, требуемого для обеспечения

равновесных по определенным числовым и временным критериям режимов

работы и достижения требуемой производительности различного рода

технических объектов и систем, функционирующих по принципу систем

массового обслуживания.

Для достижения поставленной цели проводится исследование

численными методами на основе построенной математической модели

поведения коэффициентов вариации, связывающих первые и вторые

 7

моменты основных величин, характеризующих поведение систем массового

обслуживания различных типов при стационарном режиме работы. Показано,

что изучение этих характеристик позволяет сделать ряд нетривиальных

выводов о режимах функционирования этих систем, особенно о режимах

функционирования многоканальных систем массового обслуживания с

очередью конечной длины в предположении о простейшем входящем потоке

заявок и экспоненциальном времени их обслуживания многоканальным

устройством.

Практическая значимость результатов, полученных в настоящей

работе, заключается в возможности создания на их основе новых

высокоэффективных управляющих информационных систем, действующих в

режиме реального времени, в различных предметных областях. Примером

таких технических объектов, в частности, могут быть системы беспроводного

доступа к сети Интернет по технологии Wi-Fi в местах общего пользования

[56-58]. При ограниченной полосе пропускания линии связи в этом случае

предлагается квотировать время доступа к Интернет для нескольких

параллельно обслуживаемых пользователей. При этом новые пользователи,

пытающиеся установить соединение с сетью, будут ожидать обслуживания в

очереди до истечения квоты времени, выделенной уже обслуживаемым

заявкам. При ограниченном возможном количестве параллельно

обслуживаемых пользователей задача организации обслуживания в

подобных системах сводится к определению квоты времени доступа к сети

как отношения предельного числа обслуживающих каналов к интенсивности

входного потока заявок. В свою очередь, предельное число обслуживающих

каналов при коэффициенте загрузки системы близком или равном единице не

должно превышать критического значения, при котором вторые моменты

длины очереди находятся в пределах ее математического ожидания.

Остановимся кратко на содержании данной работы.

В первой главе представлена математическая модель открытой

многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной

 8

длины. Проведена подробная математическая формализация модели, в

рамках которой вычислены вторые моменты всех важнейших числовых

характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Во второй главе на основе на основе построенной математической

модели вводятся центральные для всей работы понятия коэффициентов

вариации для каждой из величин, характеризующих систему массового

обслуживания данного типа. При этом введены понятия коэффициентов

вариации первого и второго рода. Выяснено, что для характеристик

установившегося режима функционирования СМО могут существовать

некоторые критические значения приведённой интенсивности потока заявок,

при которых среднеквадратические отклонение и/или дисперсии

соответствующих характеристик системы совпадают с математическим

ожиданием этих величин:

В третьей главе изучено поведение критических значений приведённой

интенсивности потока заявок, поступающих в систему для основных

числовых характеристик СМО. При этом вводится понятие равновесных

режимов работы систем массового обслуживания, при которых значения

вторых моментов тех или иных характеристик системы не превышают

значения их первых моментов, то есть значения соответствующих этим

величинам коэффициентов вариации не превышают единицы.

В четвёртой, заключительной главе настоящего исследования

применительно к коэффициентам вариации первого рода рассмотрено

поведение критических значений приведённой интенсивности потока заявок

для непрерывных характеристик систем массового обслуживания,

соответствующих рассмотренным выше дискретным характеристикам этих

систем. В этой же главе также рассмотрены некоторые характерные

особенности числовых характеристик открытых систем массового

обслуживания с ожиданием и отказами, не связанные с понятием

коэффициента вариации, но имеющие определённое отношение к основным

результатам, полученным в данной работе.

 9

Глава 1. Математическая модель открытой

системы массового обслуживания с очередью конечной длины

1.1. Вероятностные характеристики СМО с очередью конечной длины

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания, для

которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих

обслуживания; в частности, предположим, что в очереди одновременно

могут находиться не более E заявок и что любое поступившее сверх этого

числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без

обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону

Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со

средней интенсивностью обслуживания μ заявок в единицу времени, но при

этом в систему допускаются только те требования, которые застают в ней

строго меньше заявок, чем m  E .

Ясно, что при E  0 , такая система массового обслуживания сводится к

СМО с отказами (модели А. Эрланга), а при E   должна переходить в

модель с неограниченной очередью (в рамках классификации Дж. Кендалла –

модель M/M/m). По классификации Дж. Кендалла данная модель

обозначается как M/M/m/E.

Граф состояний такой системы изображен на рис. 1. Интенсивности

перехода в соседнее правое состояние при этом определяются точно так же,

как и у одноканальной СМО, интенсивностью входящего потока заявок  – с

приходом очередной заявки система приходит в следующее по порядку

правое состояние. Иначе обстоит дело с интенсивностями у нижних стрелок.

Пусть система находится в состоянии 1 – тогда работает один канал,

который, очевидно, обслуживает  заявок в единицу времени. Пусть теперь

система находится в состоянии 2. Для перехода из этого состояния в

состояние 1 необходимо, чтобы закончили обслуживание и первый, и второй

 10

каналы (вместо этих заявок в систему поступает новая заявка из входящего

потока). А это в свою очередь означает, что суммарная интенсивность

обслуживания заявок этими двумя каналами составляет 2  , и так далее, в

таком случае суммарный поток обслуживания k каналами имеет

интенсивность k  . При k  m интенсивность обслуживания уже не

меняется и сохраняется равной m  .

Отсюда в соответствии с известными общими результатами,

приведёнными, например, в работе [6] мы сразу можем записать результат

решения уравнений Колмогорова для вероятностей стационарных состояний:



p1  p0 ;



2

p2  p0 ;

22

3

p3  p0 ;

3  2 3

4

p4  p0 ;

4  3  24



m

pm  p0 ;

m m  1    3  2  m

m 1

p m 1  p0 ;

m 2 m  1    3  2  m 1

m  2

p m 2  p0 ;

m 3 m  1   3  2  m 2



 11

m  E

pm  E  E m E

p0 ,

m m m  1   3  2 

так что в итоге получим

k

pk  p0 при k  m ;

k!

k

pk  k m

p0 при m  k  m  E . (1.1.1)

m !m

где, как обычно [6],     .

Вероятность полного простоя системы, то есть вероятность полного

отсутствия заявок в системе p0 , найдём суммированием вероятностей всех

состояний системы, поскольку эта сумма в любом случае должна быть

равной единице. Имеем

  2  m  m1  m 2 m  E 

p0 1         ..    1,

 1! 2! m ! m !m m !m 2 m !m E 

и тогда

1

  m  m 1  m  2 m E 

p0   em1        

 m ! m ! m m !m 2

m !m E 

1

  m   2 E 

  em 1     1 m  m 2  m E

 , (1.1.2)

m ! 

  

 2 m

где em  1    – неполная экспоненциальная функция

1! 2 ! m!

(неполная экспонента). При этом e0    1 , а при m  0 полагаем em    0 .

 12



Ясно, что em   e при m   . Отсюда в силу известной формулы

суммы конечной геометрической прогрессии

E 1



2 E 1  

   m

S 1  2    E   

m m m 

1

m

следует

1

 m     E 1  

p0   em 1    1    . (1.1.3)

 m  1! m      m  

Заметим также, что последнюю формулу для вероятности полного простоя

p0 можно также переписать в виде

1

 E

 m 1      

p0   em     1     , (1.1.4)

 m ! m      m   

что очевидно. Вообще говоря, данная модель работает при всех значениях

параметра накачки (заявок в систему)  .

При E  0 формулы (1.1.1), (1.1.3), (1.1.4) для p k и p0 совпадают с

соответствующими зависимостями модели с отказами (модели А. Эрланга),

1

при этом p 0  em   . При E   и   m получаем аналогичные

соотношения модели M/M/m (модель с очередью бесконечной длины),

E

поскольку в этом случае  m   0 и тогда

1

  m 1 

p0  em    .

E 

 m ! m    

Наиболее интересные результаты, однако, содержатся в данной модели при

значениях приведённой интенсивности потока заявок (требований) в систему

     

13

 2 3  m 1   m m m

 14

  m . Случай   m при этом должен быть разобран особо, поскольку в

этом случае в знаменателях формул (1.1.3), (1.1.4) содержатся

неопределённости типа 0 0 , раскрывая которые по правилу Лопиталя, имеем

1 1

 m m 1   m m 1 

p 0   m   e m m   E    em 1 m   E  1 

 (m  1) !   (m  1) ! 

1

 m m 1 

  e m  2 m   E  2 . (1.1.5)

 (m  1) ! 

Заметим, что, как показывает практика, в действительности формулы (1.1.5)

начинает работать, то есть давать более точные значения p0 , чем формула

(1.1.3), (1.1.4), не только тогда, когда строго выполняются условия равенства

  m , но уже в некоторой окрестности значений параметра  вокруг точки

  m.

Для полноты картины рассмотрим также поведение p0 при

значениях приведённой интенсивности потока заявок  , близких к

значению числа обслуживающих устройств (числа каналов) в

системе m . Для этого обратимся ещё раз к сумме в исходной формуле

(1.1.2) для p0

 2 3 E

S 1  2  3    E .

m m m m

Очевидно, что её можно преобразовать к виду

2 3 E

           

S 1  1  1    1 1    1 1      1  1  

 m   m   m   m 

E i

  

 

i0

 1  

  m 

1   , (1.1.6)

 15

откуда, раскладывая это выражение в степенной ряд, в свою

очередь имеем

E i j

i!   

S    1 

i0 j 0

j

 1  

i  j ! j !  m 

2

        

1  1   1      1  2  1    1   .

  m     m  m 

 2 3 

     

  1 3  1   3  1    1   

  m  m  m 

 2

   E  E  1  

   1  E  1    1  

  m  2  m

3 E 

E  E  1  E  2    E 

  1       1   1   .

6  m  m 

Оставляя в этом соотношении слагаемые не выше второй степени

малости относительно разности  1   m  (то есть для значений

параметра  m , близких к единице) запишем

  

S   1 1 1    1    1 2  3    E   1   

 m

2

 E  E  1    

  1 3  6    

  1   .

 2 m

В этом выражении первые круглые скобки содержат, очевидно, E  1

единиц, то есть сумма в них равна этой же величине. Во вторых круглых

скобках содержится E слагаемых, составляющих сумму натурального ряда

чисел от 1 до E , которая, как известно, равна E  E  1 2 . Сумма в

квадратных скобках содержит E  1 слагаемых. Рассмотрим теперь эту

сумму, для чего распишем её предварительно как

 16

~ E  E  1

S 1 3  6    

2

1 1



2

 

4  9  16    E 2   2  3  4    E  

2

1 1



2

 

1  4  9  16    E 2   1  2  3  4    E .

2

Но сумма квадратов натурального ряда чисел от 1 до E составляет [59]

E  E  1 2 E  1  6 и тогда

S  

2

~ E  E  1 2 E  1  E  E  1 E E  1

.

 

12 4 6

В результате мы получим следующее приближённое выражение для

вероятности полного простоя системы p0 при значениях  m , близких к

единице:

p0 

1



  em 1   

m 

 E 1 

E  E  1 

 1  



  E E 2 1  2

   

 1    =

 m !  2  m  6  m   

1

 2

 m  E 1   2

 E 1     

  em    E  1  1    1     . (1.1.7)

 m !  2  m  6  m   

При   m отсюда следуют соотношения (1.1.5), что очевидно. Интересно

отметить, что при E 1 из формулы (1.1.7) следует

1

  m 1 

p0   em    .

 m m ! 

Заметим также, что для случая достаточно больших значений параметра E

 17

m  1! 1

p0 m

 m 1

, (1.1.8)

m E

что очевидно.

1.2. Вероятность ожидания, вероятность немедленного обслуживания

и вероятность отказа СМО с очередью конечной длины

Найдём вероятности отказа и ожидания обслуживания для заявок,

поступающих в систему. Ясно, что поступившая заявка получает отказ, если

заняты все m обслуживающих каналов и все E мест в очереди, в этом

случае

m  E

pотк  p m E  E

p0 (1.2.1)

m !m

Относительная пропускная способность, то есть доля заявок, не получивших

отказ и ставших в очередь или попавших сразу же на обслуживание, если

есть незагруженные каналы,

m  E

q  1  pотк 1  E

p0 ,

m !m

дополняет вероятность отказа до единицы. Отсюда абсолютная пропускная

способность СМО, то есть среднее число заявок, обслуженное в системой

единицу времени, будет равна

 m E 



A   q    1 p . (1.2.2)

 m !m E 0 

 

Вероятность ожидания, то есть вероятность того, что поступающее

требование найдёт все каналы занятыми, очевидно, задается формулой

 18

m  E 1 m E 1

p k  m p0  E 1 

1    ...  

pожид  

k m

pk  0

m! 

k m

m k m



m!  m

 m

,

E 1 



откуда по формуле суммы геометрической прогрессии аналогично (1.1.2)

имеем

 m p0    E 

pожид   1   . (1.2.3)

m  1!m     m  

С другой стороны, очевидно, что

 m   2 E  pожид  pотк

1  2  E 

m !  m m m 

 p0

и тогда

1

  m   2 E 

p0   em1    1 m  m 2   m E

 

m ! 

  

1

 p  pотк  p0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фадхкал Зайнаб, 2016 год

Список литературы

1. А. Кофман, Р. Крюон, Массовое обслуживание. Теория и

приложения. М.: Мир, 1965.

2. Дж. Риордан, Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь,

1966.

3. Д.Р. Кокс, У.Д. Смит, Теория очередей. М.: Мир, 1966.

4. Е.С. Вентцель, Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

5. Т.Л. Саати, Элементы теории массового обслуживания и ее

приложения. М.: Советское радио, 1971.

6. Е.С. Вентцель, Исследование операций. М.: Советское радио, 1972.

7. В.К. Саульев, Математические модели теории массового

обслуживания. М.: Статистика, 1979.

8. Л. Клейнрок, Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение,

1979.

9. Д. Кёниг, Д. Штойан, Методы теории массового обслуживания. М

Радио и связь, 1981.

10. R. Cooper, Introduction to Queueing Theory. New York: Elsevier North

Holland, Inc., 1981.

11. Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко, Теория массового

обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.

12. В.Ф. Матвеев, В.Г. Ушаков, Системы массового обслуживания. М.:

Изд-во МГУ, 1984.

13. П.П. Бочаров, А.В. Печинкин, Теория массового обслуживания. М.:

Изд-во РУДН, 1995.

14. В.Б. Ивановский. В.П. Чернов, Теория массового обслуживания. М.:

ИНФРА-М, 2000.

15. F. Baccelli, P. Bremaud, Elements of Queueing Theory. Berlin: Springer-

Verlag, 2003.

 137

16. А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов, Теория массового обслуживания.

Томск: Изд-во НТЛ, 2004.

17. В.В. Крылов, С.С. Самохвалова, Теория телетрафика и её

приложения. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

18. Т.А. Радиченко, А.В. Дылевский, Методы анализа систем

массового обслуживания. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2007.

19. В.А. Павский, Теория массового обслуживания. Кемерово: Изд-во

КТИПП, 2008.

20. Г.П. Климов, Теория массового обслуживания. М.: Изд-во

Московского университета, 2011.

21. U.N. Bhat, An Introduction to Queueing Theory. Modelling and Analysis

of Application. Basel: Birkhäuser, 2015.

22. В.Ф. Дьяченко, В.Г. Лазарев, Г.Г. Саввин, Управление на сетях

связи. М.: Связь, 1968.

23. Б.С. Лившиц, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич, Теория

телетрафика. М.: Связь, 1979.

24. Л. Клейнрок, Вычислительные системы с очередями. М.: Мир,

1979.

25. Д. Феррари, Оценка производительности вычислительных машин.

М.: Мир, 1981.

26. И.Н. Альянах, Моделирование вычислительных систем. Л.:

Машиностроение, 1988.

27. Л.Г. Лабскер, Теория массового обслуживания в экономической

сфере. М.: Банки и биржи: ЮНИТИ, 1998.

28. P. Nain, Basic Elements of Queueing Theory. Application to the

Modelling of Computer Systems. France: INRIA, 1998.

29. Г.Ф. Фомин, Системы и модели массового обслуживания в

коммерческой деятельности. М.: Финансы и статистика, 2000.

30. Н.И. Головко, Н.А. Филинова, «Матричный анализ систем

массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной

 138

интенсивности входного потока», Автоматика и телемеханика, № 9, стр. 73,

2000.

31. И.Н Атенсиа, П.П. Бочаров, Ч. Д’аличе, Н.Х. Фонг, «Однолинейная

система массового обслуживания с многомерным пуассоновским потоком и

повторными заявками», Автоматика и телемеханика, № 11, стр. 123, 2000.

32. Ю.И. Рыжиков, Теория очередей и управление запасами. СПб.: 2001.

33. В.М. Дудин, В.И. Клименок, Г.В. Царенков, «Расчёт характеристик

однолинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком,

полумарковским обслуживанием и конечным буфером», Автоматика и

телемеханика, № 8, стр. 87, 2002.

34. О.М. Тихоненко, Модели массового обслуживания в

информационных системах. Минск: Технопринт, 2003.

35. П.П. Бочаров, Е.В. Вискова, «Однолинейная система массового

обслуживания конечной ёмкости с марковским потоком и обслуживанием в

дискретном времени», Автоматика и телемеханика, № 2, стр. 72, 2005.

36. А.А. Назаров, С.П. Моисеева, Метод асимптотического анализа в

теории массового обслуживания. Томск: Изд-во HTJI, 2006.

37. А.В. Кузнецов, А.С. Мандель, А.Б. Токмакова, «Об одной модели

управляемой системы массового обслуживания», Проблемы управления,

№ 5, стр. 39, 2007.

38. З.И. Микадзе, И.С. Микадзе, В.В. Хочолава, «Об одной

многоканальной смешанной системе массового обслуживания с

ограниченным временем ожидания», Автоматика и телемеханика, № 7,

стр. 44, 2007.

39. Г.П. Башарин, Лекции по математической теории телетрафика.

М.: Изд-во. РУДН, 2009.

40. Д.Г. Вольсков, Г.Л. Ривин, «Визуализация процессов работы

аэропорта на основе системы массового обслуживания и компьютеризации

управления полётами», Известия Самарского научного центра РАН, том 11,

№ 3 (2), стр. 424, 2009.

 139

41. Н.И. Головко, В.В. Катрахов, Д.Е. Рыжков, «Система массового

обслуживания с конечным накопителем и скачкообразной интенсивностью

входного потока», Автоматика и телемеханика, № 7,стр. 97, 2009.

42. Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов, «Математическая модель торговой

точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в

очередь. Часть 1. Выходящий поток обслуженных требований», Вестник

Томского гос. ун-та, Управление, вычислительная техник аи информатика,

№ 1 (6), стр. 59, 2009.

43. А.А. Назаров, М.Г. Носова, «Стохастическая модель

демографических процессов как автономная система массового

обслуживания», Обозрение прикладной и промышленной математики,

том. 16, вып. 6, стр. 1098, 2009.

44. С.Ф. Яшков, Предисловие к тематическому выпуску «Столетие

теории очередей», Автоматика и телемеханика, № 12, стр. 3, 2009.

45. A.S. Alfa, Queueing Theory for Telecommunications. New York:

Springer Science+Business Media, 2010.

46. А.А. Назаров, М.Г. Носова, «Исследование математической модели

демографических процессов в виде пятифазной системы массового

обслуживания», Вестник Сибирского гос. аэрокосмического ун-та имени

академика М.Ф. Решетнёва, вып. 1 (27), стр. 49, 2010.

47. В.М. Дупляков, Ю.В. Княжева, «Выбор закона распределения

входного потока заявок при моделировании системы массового

обслуживания торгового предприятия», Вестник Самарского

аэрокосмического ун-та имени академика С.П. Королёва, № 6 (37), стр.102,

2012.

48. П.О. Абаев, Р.В. Разумчик, «Моделирование работы SIB-сервера с

помощью системы массового обслуживания с гистерезисом и прогулками в

дискретном времени», T-Comm-Телекоммуникации и Транспорт, № 7, стр. 5,

2012.

 140

49. В.А. Романенко, «Оптимизация управления технологическими

процессами узлового аэропорта как системы массового обслуживания с

нестационарными потоками и частичной взаимопомощью каналов», в сб.

Управление большими системами, М.: Институт проблем управления имени

В.А. Трапезникова РАН, вып. 36, стр. 209, 2012.

50. Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов, «Математическая модель торговой

точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в

очередь. Часть 2. Поток заявок, отказавшихся от обслуживания», Вестник

Томского гос. ун-та, Управление, вычислительная техник аи информатика,

№ 2 (19), стр. 51, 2012.

51. П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин, «Оценка параметров систем

массового обслуживания с учётом последействия в потоках обслуженных

заявок», Успехи современной радиоэлектроники, № 9, стр. 46, 2013.

52. Е.В Мокров, К.Е Самуйлов, «Модель системы облачных

вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими

очередями и групповым поступлением заявок», T-Comm-Телекоммуникации и

Транспорт, № 11, стр. 139, 2013.

53. Ю.В. Княжева, «Повышение эффективности системы массового

обслуживания торгового предприятия посредством численного

статистического моделирования», Вестник Новосибирского гос. ун-та: серия

социально-экономических наук, том 14, вып. 2, стр. 83, 2014.

54. А.Г. Ретивин, А.И. Пестряков, К.А. Павлычев, «Гарантийная

сервисная служба как системы массового обслуживания», Вестник

Нижегородского гос. инженерно-экономического ин-та, № 4 (35.), стр. 107,

2014.

55. П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин «Существование и устойчивость

решения систем дифференциальных уравнений для разомкнутых моделей

систем массового обслуживания», Вестник Воронежского ин-та МВД

России, № 4, стр. 182, 2013.

 141

56. Д.А. Ахметшин, «Использование промежуточных беспроводных

сетей передачи данных с учетом географического положения пользователя»,

Фундаментальные исследования, № 6 (часть 5), стр. 1163, 2014.

57. Д.А. Ахметшин, Н.К. Нуриев, Е.А. Печеный, «Математическое

моделирование эффективного администрирования системы доступа в

интернет», Фундаментальные исследования, № 9 (часть 12),стр. 2650,2014.

58. Д.А. Ахметшин, Эскизный проект аппаратно-программного

комплекса промежуточной сети передачи данных, Современные проблемы

науки и образования, № 2, 2014; URL: www.science-education.ru/116-12583

(дата обращения: 08.04.2014).

59. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика.

Основание информатики. М.: Мир, 1998.

60. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский, Курс теории вероятностей

и математической статистики для технических приложений. М.: Наука,

1969.

61. А.П. Кирпичников, З. Фадхкал, «Вторые моменты числовых

характеристик многоканальных систем массвого обслуживания с очередью

конечной длины», Вестник Казанского технологического ун-та, том 17, № 19,

стр. 383, 2014.

62. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и

произведений. М.: Наука. ГРФМЛ, 1963.

63. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды.

Элементарные функции. М.: Наука. ГРФМЛ, 1981.

64. Г.Б. Двайт, Таблицы интегралов и другие математические

формулы. М.: Наука, 1983.

65. С.А. Майоров (ред.), Основы теории вычислительных систем. М.:

Высшая школа, 1978.

66. А.М. Ларионов, С.А. Майоров, Г.И. Новиков, Вычислительные

комплексы, системы и сети. Л.: Энергоатомиздат, 1987.

 142

67. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев, Интегралы и производные

дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника,

1987.

68. А.В. Псху, Уравнения в частных производных дробного порядка.

М.: Наука, 2005.

69. А.М. Нахушев, Дробное исчисление и его применение. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2003.

70. В.В. Учайкин, Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок,

2008.

71. В.Е. Тарасов, Модели теоретической физики с интегро-

дифференцированием дробного порядка. М. Ижевск: РХД, 2011.

72. М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Справочник по специальным

функциям. М.: Наука, 1977.

73. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды.

Специальные функции. М.: Наука. ГРФМЛ, 1983.

74. В.И. Пагурова, Таблицы неполной гамма-функции. М.: Изд-во АН

СССР, 1963.

75. В.П. Дьяконов, VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное

математическое моделирование. М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

76. С.В. Поршнев, И. В. Беленкова, Численные методы на базе

Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

77. В.А. Охорзин, Прикладная математика в системе MATHCAD.

СПб.: Лань, 2009.

78. 6. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, З. Фадхкал, «Некоторые

особенности числовых характеристик многоканальных систем массового

обслуживания открытого типа», Вестник Казанского технологического ун-та,

том 18, № 2, стр. 362, 2015.

79. 6. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, З. Фадхкал, «Особенности

числовых характеристик открытых многоканальных систем массового

обслуживания», В мире научных открытий, № 4.1 (64), стр. 525, 2015.

 143

80. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.

81. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания

поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrücken, LAP

LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.

82. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, «Open Systems of Multicomnent

Flows Differentiated Service», Ciencia e Tecnica Vitivinicola, vol. 29, № 7,

p. 108, 2014.