Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат наук Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович

• Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович

ВВЕДЕНИЕ

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (от Аристотеля до Лейбница)

1.1. Исследования Аристотеля

1.2. Исследование модальностей в Средние века

1.3. Исследования Лейбница

2. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП: модальные логики, построенные как синтаксические системы

2.1. Обобщенная схема развития

2.2. Хью Макколл

2.3. И. Е.Орлов

3. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП: семантика алетической модальной логики

3.1. Обобщенная схема развития

3.1.1. Алгебраическая семантика

3.1.2. Теоретико-модельная семантика

3.2. Матричные и квазиматричные системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа представляет собой исследование в области истории модальной логики. Возникновение данного раздела логики первоначально было связано с философскими концепциями. В качестве примеров можно привести выделение Аристотелем двух видов бытия (действительного и потенциального), идею альтернативных миров, «божественных» и «естественных» модальностей в Средние века и т.д. Дальнейшее развитие теории модальностей является процессом, по ходу которого философские аспекты становятся все менее важными. Данный факт обусловлен развитием собственно логического аппарата для модальной логики.

Описать в рамках одной работы все многообразие модальной логики представляется крайне сложной задачей, поэтому акцент сделан на алетические модальности. История поэтапного развития рассматриваемого раздела логики весьма богата, она содержит множество до конца не проясненных вопросов.

Актуальность темы. Модальная логика является одним из самых интересных и перспективных разделов неклассической логики. В результате ее разработки расширяется круг дисциплин, в которых используются те или иные методы логики (от анализа философской аргументации до теоретической информатики). Достаточно привести высказывание Р. Гольдблатта: «модальная логика в наши дни рассматривается шире [чем раньше как наука о необходимой и возможной истинности] как изучение множества лингвистических конструкций, которые определяют условия истинности высказываний, в том числе высказываний о знании, верованиях, рассуждениях о времени и этике» [41, р. 1]. Столь интенсивное развитие ставит задачу исторического анализа результатов, которые оказали влияние на формирование современной модальной логики.

История модальной логики занимает значительное место в логико-исторических исследованиях второй половины XX века и начала нынешнего. Отметим, что большинство работ по данной теме принадлежит зарубежным авторам. Несмотря на популярность данной темы, она еще далеко не исчерпана.

г

В истории модальной логики есть такие теории, которые можно условно назвать вторичными, однако их результаты оказались весьма значимыми для общего развития: их анализ в качестве составных частей целостного подхода в рамках того или иного периода можно обозначить как еще одну актуальную проблему.

Степень разработанности проблемы. Литературу, которая была использована при написании данной работы, можно подразделить на две категории - на литературу о самой логике алетических модальностей и по ее истории. К первой категории можно отнести все монографии, учебные пособия, статьи и прочие исследования, в которых анализируются те или иные свойства модальной логики. Поскольку таких книг большое количество, приведем лишь несколько наиболее известных работ (характерных для разных периодов): Р. Фейс, «Модальная логика» [25], Г. Е. Хьюз и М. Дж. Крессвелл, «Введение в модальную логику» (а также «Новое введение в модальную логику»)[35, 36], А. Чагров, М. Захарьящев, «Модальная логика» [34].

Что касается второй категории, то в настоящее время существует несколько основных работ, посвященных истории модальной логике. Прежде всего, стоит отметить работу Я. И. Слинина[23], в которой были наиболее подробно рассмотрены исследования в рамках периода, который сейчас принято называть синтаксическим.

Среди современных работ одним из самых полных и подробных является исследование Р. Гольдблатта [41]. В нем прослежено развитие модальной логики вплоть до 90-х гг. XX века.

Далее стоит упомянуть о совместной работе Р. Буля и К. Сегерберга [32]. В ней приведена классификация этапов развития модальной логики -синтаксическая традиция, алгебраическая и теоретико-модельная. В той части работы, которая посвящена истории модальной логики, все эти направления достаточно подробно описаны. Проблема этапов развития модальной логики затрагивается в статье А. В. Чагрова [29]. Краткая история представлена в книге Ю. В. Ивлева [7].

Цели и задачи исследования. Главная цель данной работы -исследование истории развития модальной алетической логики. Для достижения указанной цели сформулированы несколько задач:

1) разделение истории модальной логики на несколько основных этапов;

2) выявление в каждом из выделенных этапов различных направлений и подходов;

3) обособление и анализ отдельных исследований, направлений, ранее не в полной мере изученных.

Кратко поясним задачи. 1) Деление истории модальной логики опирается на идеи Буля и Сегерберга [32], а также Чагрова [29], которые выделяют три условных этапа: синтаксический, семантический и "продвинутый" (англ. advanced). 2) В каждом из этапов можно выделить программы исследований, которые предлагали разные логики: Льюис и Гедель, Леммонн и Тарский с Ионнсоном, Крипке и Хинтикка и т.д. 3) В недостаточной мере изучены (по крайней мере в отечественной логико-исторической литературе) работы X Макколла, исследования И. Е. Орлова, формирование семантики возможных миров, история развития квазиматричной логики.

Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач использовались методы представления логических систем в виде исчислений и построения семантик, метод Хенкина. Также были задействованы методы и приемы, используемые при алгебраическом подходе.

Определение модальной логики (и алетической в частности) представляет собой некоторую сложность ввиду разнообразия подходов, а также множества ее ветвей развития. В модальных высказываниях содержится дополнительная оценочная информация относительно ситуаций или взаимосвязей между ними, или присущности признаков предметам [4, стр. 300]. Существуют несколько основных типов модальностей, т.е. терминов, посредством которых осуществляется оценка, квалификация ситуаций, взаимосвязей между ними и присущности свойств и отношений предметам в модальных высказываниях [там же]. Например, выделяют алетические («необходимо», «возможно», «случайно», «невозможно» и др.),

временные («было», «всегда будет» и др.), деонтические («обязательно», «запрещено» и др.), эпистемические («доказано», «опровергнуто» и др.) и другие модальности.

Алетические модальности оценивают некоторую ситуацию или связь признаков с предметами с точки зрения законов науки или природы. Их принято делить на логические и онтологические. Истинность высказываний с логическими модальностями устанавливается относительно некоторого множества логических законов, с онтологическими - относительно некоторых законов природы [4, стр. 301].

В статье Чагрова [29] дается два эквивалентных определения модальной логики:

• «модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, содержащая некоторую минимальную совокупность, (например, это минимальная нормальная модальная логика К) и замкнутая относительно некоторого разумного набора правил вывода (в который обязательно входит правило подстановки и правило modus ponens, но по договоренности может быть, например, и правило Геделя)»;

• «модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, истинных в некотором классе обобщенных шкал»1.

История модальной логики для удобства при группировке результатов была разделена на несколько этапов на основании той традиции, которая была главенствующей на определенной стадии развития: синтаксическая и семантическая соответственно [32].

Кроме этой периодизации мы разделим историю логики на два основных периода, которые условно назовем предыстория модальной логики и современный этап. Переходными работами от одного этапа к другому являются исследования X. Макколла и К. Льюиса.

Научная новизна работы. Относительно некоторых этапов развития представлена более полная история алетической модальной логики. Например, при описании реляционной семантики введено исследование

1 «Шкала» - русскоязычный термин, используемый в указанной статье, для обозначения фрейма.

работ С. Кангера, в описании топологической интерпретации модальной логики - работы Танг Цао Чена и т.д. Описана и проанализирована эволюция теории модальностей X. Макколла, начиная с его самых первых работ в журнале Mind. Кроме того, впервые исследована история развития квазиматричной логики, начиная с идей Ханса Райхенбаха. Проведен сравнительный анализ квазиматричных систем Ивлева с модальной трехзначной логикой Лукасевича и «модализированной» версией трехзначной логики Клини.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Установлено, что К. Льюис использовал идеи X. Макколла при создании своих систем модальной логики. В работах шотландского ученого были проанализированы разные виды импликаций и сформулирована связка, ставшая впоследствии известной как строгая импликация Льюиса. Помимо этого крупного достижения шотландский логик, скорее всего, впервые высказал идею об использовании методов алгебры применительно к логике, в которой содержатся модальности. Макколл одним из первых ввел их точные описания. В его работах используются несколько модальных операторов: необходимость, невозможность, переменность и другие. Таким образом, К. И. Льюис напрямую позаимствовал основные идеи для своих «классических» систем строгой импликации из научных изысканий Макколла.

2. Выявлено, что формирование квазиматричной логики начинается с работ X. Райхенбаха. Далее этот подход был развит Н. Решером. Он сформулировал квази-функциональный вариант трехзначной логики Лукасевича (назовем их для удобства L3quasj и L3 соответственно) путем обобщения определений логических связок L3. Примерно в это же самое время в работах Ивлева формируется квазиматричный подход в модальной логике. Система Ивлева Sr является модальным «расширением» L3quasj, следовательно, трехзначная модальная логика Лукасевича является фрагментом Sr. Проведен сравнительный анализ системы Sr Ивлева и расширенными (модальными) версиями трехзначных логик Лукасевича и Клини.

3. В обзорной части работы, в результате исследования истории алетической модальной логики, включающей основные этапы в её развитии

(Древняя Греция, Средневековье, исследования Лейбница, современная логика (синтаксический подход с интуитивной семантикой, алгебраический, теоретико-семантический), было также получено несколько результатов. К примеру, концепция возможных миров - не единственный вклад Лейбница в развитие модальной логики. Немецкий ученый дал точные определения операторам "необходимо" и "возможно", а также дал методологические пояснения, как следует трактовать необходимость. Согласно им, некоторые высказывания считаются необходимо истинными, если путем анализа входящих в них терминов можно показать, что мы приходим к тождеству. Анализ идей И. Е. Орлова показал, что задолго до К. Геделя была высказана идея модального расширения логики. Также русским логиком был сформулирован аналог правила Геделя, согласно которому оператор "доказуемо" можно поставить перед любой теоремой или аксиомой.

Научно-практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в систематическом подходе к рассмотрению истории развития модальной алетической логики. Материалы и выводы диссертационного исследования могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по модальной логике и истории логики.

Апробация работы. Полученные в ходе исследования результаты докладывались на ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2008), на научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Кызыл, 2009), на XI Международной конференции «Современная логика: проблемы теории и истории» (заочно, Санкт-Петербург, 2010), ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2011).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка использованной литературы.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (от Аристотеля до Лейбница)

1.1. Исследования Аристотеля

Аристотель считается основателем логики как науки. Силлогистика, сформулированная великим философом, считается одной из первых дедуктивных логических систем. Кроме этого, Аристотелю, скорее всего, принадлежит первое детальное и значимое исследование модальностей. Например, Р. Фейс вообще считает, что модальности как таковые в логику были введены Аристотелем [24, стр. 16]. Анализ модальностей в работах великого философа невозможен без учета его онтологии. Следует различать онтологические и логические модальности. Первые играют важную роль в метафизике, онтологии. Среди важнейших аспектов анализа аристотелевской теории модальностей следует выделить следующие: а) модальная силлогистика, б) обособленный анализ модальностей «возможно» и «необходимо», а также их соотношение. Помимо указанных двух проблем, по всей видимости, именно Стагириту принадлежит первая попытка разделить модальности de re и de dicto, хотя стоит отметить, что это различение не является четким и последовательным. Это проявляется при анализе модальной силлогистики [4, стр. 307].

Очевидно, что аристотелевская модальная логика оказала огромное влияние на формирование дальнейших взглядов в этой области. Аристотель по праву может считаться основателем и первым серьезным исследователем модальной логики. Подтверждением этого являются рассмотренные ниже модальности «возможно» и «необходимо» в интерпретации Стагирита. Модальная силлогистика (анализ которой будет представлен ниже) и зачатки временной логики являются еще одним подтверждением нашего тезиса.

Опишем философские предпосылки возникновения модальной логики у Аристотеля. В его онтологии различаются две сферы сущего: бытие в возможности и бытие в действительности, или иначе, потенциально сущее и актуально сущее. Эти положения даны в третьей книге «Метафизики» [19, стр. 9]. Более подробно этот тезис выглядит следующим образом: вещи (события), если только они не невозможны, либо действительны «без

возможности» (непреходящи), либо «никогда» не действительны, но только возможны, либо действительны «вместе с возможностью» [там же].

Я. Хинтикка подчеркивает важную роль модальностей в метафизике Аристотеля. По мнению финского логика, Стагирит проводил деление модальностей по разным основаниям: физические и логические, разные виды возможностей, необходимости и т.д. Если говорить об онтологическом значении модальностей, то здесь, согласно мнению финского логика, стоит, прежде всего, отметить их взаимоотношение с важнейшим понятием философии Аристотеля - «субстанцией» [42, р. 77]. Субстанция является единой, она объединяет в себе форму и материю:

«И субстрат есть сущность; в одном смысле это материя (я разумею здесь под материей то, что, не будучи определенным нечто в действительности, таково в возможности), в другом - существо (logos), или форма - то, что как определенное сущее может быть определено [только] мысленно, а третье - это то, что состоит из материи и формы, что одно только подвержено возникновению и уничтожению и безусловно существует отдельно, ибо из сущностей, выраженных в определении, одни существуют отдельно, а другие нет» [Метафизика, Н, 1042а, 25].

Материя, как утверждает Хинтикка, понимается Стагиритом как потенциальное бытие, форма - как действительность2. Каким образом совмещаются материя и форма в субстанции в третьем смысле (из фрагмента абзацем выше)? Я. Хинтикка ссылается на следующий фрагмент из «Метафизики»:

«Между тем, как было сказано последняя материя и форма - это одно и то же<.. .> так что одинаково, что искать причину того, что вещь едина, или причину единства [материи и формы]; ведь каждая вещь есть нечто единое, и точно также существующее в возможности и существующее в действительности в некотором отношении одно, так нет никакой

2 Сам Аристотель говорит об этом следующим образом: «... одно есть материя, другое -форма, и первое в возможности, второе - в действительности» (Метафизика, Н, 1045а, 20 -25).

другой причины единства, кроме той, что вызывает движение от возможности к действительности» [Метафизика, Н, 1045b, 20].

Аристотель различает два типа потенциального бытия: активный и пассивный, которые являются обоюдными. Первый тип является активным источником некоторого изменения, которое претерпевает потенциальность второго вида. Хинтикка утверждает, что в понимании Стагирита:

«Материя есть пассивная потенциальность, которая нужна для бытия субстанции, а форма устанавливает действительность, которая служит как активная потенциальность. Их корреляция призвана объяснить единство субстанции» [42, р. 78].

Наряду с онтологической Аристотель дает также теоретико-познавательную формулировку определений бытия в возможности и действительности. В потенциальном бытии могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание (не необходимо, чтобы одно было истинным, а другое - ложным), в действительном же бытии все утверждения подчиняются законам непротиворечия и исключенного третьего:

«<...> Не необходимо, чтобы из всякого утверждения и отрицания, противолежащих друг другу, одно было истинным, а другое ложным, ибо с тем, что не есть, но может быть и не быть, дело обстоит не так, как с тем, что есть» [Об истолковании, lib],

«Необходимо» и «возможно». Аристотелем были проанализированы модальности: «необходимое», «возможное», «невозможное», «случайное». Основные трудности связаны с аристотелевским пониманием «возможности». Можно встретить несколько интерпретаций данного термина: «не необходимо ложно», «ни необходимо истинно, ни необходимо ложно» [24, стр. 16]. Известный исследователь модальной логики Э. Н. Зальта предлагает следующий вариант [39, р. 6]: высказывание р является возможным, если и только если не— р не является необходимым. Кроме того, Аристотель, по мнению Зальта, сформулировал следующие интересные закономерности:

• Если необходимо, что если р то д, то, если р возможно, то и #

возможно.

Символически: п(р -> </) (0 р ->0 д)3;

• Если необходимо, что если р то ц, то, если необходимо р, то и

необходимо ц.

Символически: П(р -» ц) -» (пр -> □(?).

Следует отметить, что современные исследователи аристотелевской модальной логики не пришли к единому мнению касательно того, как именно Аристотель трактовал возможность. По мнению Яна Лукасевича, в двух разных работах («Об истолковании» и «Первая Аналитика») Аристотель дал два разных понимания возможности: "отсутствие необходимости" и "как если и только если не необходимо, что не—р " соответственно. Другой историк логики И. М. Бохеньский называет эти два типа возможностей унилатеральной и билатеральной соответственно, считая, что великий философ противопоставляет эти два варианта. По мнению Э. Микеладзе, оба исследователя не правы, так как они ссылаются в своих рассуждениях не на должные фрагменты сочинений Аристотеля, а также допускают истинность следующего утверждения: «быть не необходимым» равнозначно «не быть не необходимым» [19, стр. 29].

Историк логики Н. И. Стяжкин также подчеркивает неоднозначность определения оператора «возможности». По его мнению, Аристотель дал два определения указанного оператора (Стяжкин вводит оператор невозможности, обозначим его символом «I»):

1. с помощью оператора невозможности: О А = -] 1А - отрицание невозможности. Стяжкин приводит соответствующий фрагмент из «Первой аналитики»: «(Выражения) «допустимо быть присущим» и «не невозможно быть присущим» или тождественны, или сопутствуют друг другу» [23, стр. 41]. Определение можно переформулировать: О А = -| А;

Пример похожего рассуждения: «Если при наличии А необходимо существует Б, то и при наличии возможности существования А необходима и возможность существования Б» (Метафизика, 0, 1047Ь, 15)

2. второй вариант определения оператора возможности делает похожим его на «случайность»: О А =0 -| А. Данное определение не совсем корректно, поскольку возможность определяется через возможность. С содержательной точки зрения можно сказать, что некоторое положение дел А возможно, когда возможно и А и его отрицание. Еще одно определение: 0 А = -| □ А & -] 1А . В последнем случае возможное высказывание трактуется не только как отрицание невозможных, но также и как отрицание суждений необходимых [23, стр. 42].

Помимо «Первой аналитики», определение «возможности» в первом смысле по Стяжкину есть и в «Метафизике»:

«Если мы и предположим существование или возникновение того, чего

нет, но что может быть, то в этом не будет ничего невозможного»

[Метафизика, 0, 1047Ь, 10].

Подобная неоднозначность трактовки данной модальности, вероятно, стала одной из причин непоследовательности и некоторой путаницы в модальной силлогистике.

Трактовка «необходимости» также вызывает некоторые проблемы.

Модальная силлогистика. Известно, что главным достижением логики Аристотеля является силлогистика. Данная теория, ассерторическая и модальная, мыслилась Стагиритом как единое целое [20, 110]. В работах античного мыслителя исследования ассерторических силлогизмов идут вместе с обсуждениями модальных. Это касается не только силлогистики. В целом, анализ модальных высказываний не отделим от ассерторических (грубо говоря, классическая логика является своего рода основанием для модальной). В дальнейшем развитии первая часть силлогистики была тщательно изучена, чего нельзя сказать о модальном фрагменте. Вообще, судьба аристотелевской модальной силлогистики удивительна. Этому есть несколько объяснений:

1. сложность самого объекта исследования;

2. неточности, которые были допущены как самим Аристотелем, так и его исследователями (в частности, например, упоминавшаяся выше путаница с de re и de dicto модальностями);

3. изучение и анализ модального фрагмента аристотелевской силлогистики практически полностью игнорировались в период раннего Средневековья [71, р. 2]4;

По мнению Лукасевича,

«модальная силлогистика Аристотеля имеет меньшее значение, чем его ассерторическая силлогистика или его вклад в пропозициональную модальную логику. Эта система похожа на логическое упражнение, которое, несмотря на свою кажущуюся утонченность, полно небрежных ошибок и лишено какого бы то ни было полезного приложения к научным проблемам» [16, стр. 251].

Однако и Лукасевич признает необходимость изучения, как минимум, двух вопросов: проблема силлогизмов с одной ассерторической и одной аподиктической посылкой и проблема силлогизмов со случайными посылками.

Модальной силлогистике посвящены, в частности, главы с 8 по 22 сочинения «Первая Аналитика». Аристотель вводит в дополнение к языку ассерторической силлогистики модальные операторы необходимо и возможно присущее. В случае с необходимостью, все правила такие же, как и в случае с ассерторическими высказываниями:

«С необходимым присущим дело обстоит приблизительно так же, как и с просто присущим, так как при одинаковом положении терминов в посылках о присущем и необходимо присущем или не присущем силлогизм получится или не получится с тем лишь различием, что к терминам прибавляется "необходимо присуще" или "необходимо не присуще"» [Первая Аналитика, 29Ь, 35].

Правила меняются относительно второй фигуры, когда общая посылка - утвердительная, а частная - отрицательная. Также в третьей фигуре, при

4 С. Макколл утверждает, что фактически не только модальная часть аристотелевской силлогистики, но и вся «Первая Аналитика» игнорировалась в западной науке вплоть до исследований Абеляра (1079-1142).

таких же условиях, «из одного термина следует выделить то, чему в каждом их этих случаев не присуще, и относительно него построить силлогизм» [там же]. Возможно, этот взгляд некоторым образом объясняет сложность определения оператора «возможности», потому что оператор «необходимости» не вызывает никаких проблем.

Приведем несколько примеров. Рассмотрим модус Barbara ddd5, где все посылки содержат модальность необходимой присущности:

Все М с необходимостью есть Р,

Все S с необходимостью есть М,

Все S с необходимостью есть Р.

Как и было сказано выше, анализ этого силлогизма является точно таким же, как если бы его посылки были ассерторическими.

Более интересными представляются случаи, когда модальные посылки силлогизма смешаны с ассерторическими. Приведем два примера [71, р. 7]:

1) Все М с необходимостью есть Р Все S есть М

Все S с необходимостью есть Р.

2) Все М есть Р

Все S с необходимостью есть М Все S с необходимостью есть Р.

Правильным является, по мнению Аристотеля, первый силлогизм. Это никак не доказывается. По всей видимости, рассуждение по модусу первого силлогизма признается самоочевидным. Для опровержения второго силлогизма даются два доказательства: первое осуществлено методом сведения к абсурду {reductio ad absurdum: допустив правильность силлогизма с таким модусом, мы получим противоречие), второе осуществлено методом контрпримера [Ibid, р. 8]:

5 Введем наши обозначения для посылок и заключения: о - необходимо истинная посылка, - (прочерк) - ассерторическая посылка. Например, «□-□»: ,большая посылка -необходимо истинное высказывание, меньшая - ассерторическая, заключение -необходимо истинное высказывание.

Все животные передвигаются,

Все люди с необходимостью являются животными,

Все люди с необходимостью передвигаются.

Аристотелем были рассмотрены все остальные 26 модальных модусов с ассерторическими и аподиктическими посылками (за исключением одного). Если модус не является очевидным, дается его доказательство или опровержение. В большинстве случаев доказательство осуществляется с помощью обращения. Например, если мы применим обращение к большей посылке модуса Cesare □-□, его можно будет свести к очевидному Celarent □-□ [Ibid]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович, 2013 год

Список использованной литературы

[1] Аристотель. Метафизика // Сочинения в четырех томах. Том 1. Москва. 1976.

[2] Аристотель. Об истолковании // Сочинения в четырех томах. Том 2. Москва. 1978.

[3] Аристотель. Первая Аналитика // Сочинения в четырех томах. Том 2. Москва. 1978.

[4]Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. Москва, 2008.

[5] Гретцер Г. Общая теория решеток. Москва. 1982.

[6]Ивлев Ю. В. Квазиматричная логика - основа теории фактических (физических) модальностей // Логические исследования. Вып. 8. Москва, 2001.

[7]Ивлев Ю. В. Модальная логика. Москва. 1991.

[8] Ивлев Ю. В. Табличное построение пропозициональной модальной логики // Вестник Московского университета. Серия «Философия». №6. Москва. 1973.

[9]Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике, 1947 // по изд. Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике. Москва. 2007.

[10] Карпенко А. С., Современное состояние исследований в философской логике // Онлайн-журнал Логические исследования, No. 11,2003.

[11] Карпенко A.C. Логики Лукасевича и простые числа. Москва. 2007.

[12] Крипке С. А. Семантическое рассмотрение модальной логики // Семантика модальных и интенсиональных логик. Москва. 1981.

[13] Крипке С. Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний. // Фейс Р. Модальная логика. Москва. 1974.

[14] Крипке С. Теорема полноты в модальной логике // Фейс Р. Модальная логика. Москва. 1974.

[15] Лейбниц Г. В. Монадология // Сочинения в четырех томах: Т. I. Москва. 1982.

[16] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Москва. 1959.

[17] Лукасевич Я. О детерминизме (пер. В.Л. Васюкова) // Логические исследования. Вып. 2. Москва. 1993.

[18] Маркин В. И. Логика предикатов // Новая философская энциклопедия в 4-х томах, Т. 2. Москва. 2000

[19] Микеладзе Э. Основоположения логики Аристотеля // Аристотель. Сочинения в четырех томах. Том 2. Москва. 1978.

[20] Мчедишвили Л.И. «Интерпретация аподиктической силлогистики Аристотеля» // «Многозначные, релевантные и паранепротиворечивые логики». Институт философии РАН. Москва. 1984.

[21] Орлов И. Е. Исчисление совместности предложений // Математический сборник, т.35, вып.3/4, 1928.

[22] Попов В.М. Система И.Е. Орлова и релевантные логики // Философские проблемы истории логики и методологии науки. М., 1986. 4.1.

[23] Слинин Я. А. Современная модальная логика. Санкт-Петербург. 1976.

[24] Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. Москва. 1967.

[25] Фейс Р. Модальная логика. Москва. 1974.

[26] Фреге Г. Исчисление понятий, язык формул чистого мышления, построенный по образцу арифметического, 1879 // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. Сборник трудов. Пер. с нем. Б. В. Бирюков. Москва. 2000. Стр. 65-142.

[27] Фреге Г. Логика. Введение, 1897 // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. Сборник трудов. Пер. с нем. Б. В. Бирюков. Москва. 2000. Стр. 307-325.

[28] Фреге Г. О смысле и значении, 1892 // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. Сборник трудов. Пер. с нем. Б. В. Бирюков. Москва. 2000. Стр. 230-246.

[29] Чагров А. В. К вопросу об обратной математике модальной логики // Логические исследования. Вып. 8. Москва. 2001.

[30] Arnon Avron, Anna Zamansky. Non-deterministic semantics for logical systems. D. Gabbay and F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, Volume ??, 2008, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

[31 ] Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal logic. Cambridge. 2001.

[32] Bull R., Segerberg K. Basic modal logic // Handbook of philosophical logic. Vol. II: Extensions of Classical Logic. Dordrecht. 1984.

[33] Carnap R. Modalities and quantification // The Journal of Symbolic Logic, Vol. 11, No. 2,1946.

[34] Chagrov A. Zakharyaschev M. Modal logic. Oxford. 1997.

[35] Copeland B. J. The genesis of possible worlds semantics // Journal of Philosophical Logic 31: 99-137, 2002.

[36] Cresswell M. J., Hughes G. E. A new introduction to modal logic. London and New-York. 1996.

[37] Cresswell M. J., Hughes G. E. An introduction to modal logic. Methuen. 1968.

[38] Dosen K. The first axiomatization of relevant logic // Journal of Philosophical Logic. Vol. 21. No. 4. 1992.

[39] Edward N. Zalta. Basic concepts in Modal Logic. Center for the Study of Language and Information Stanford University. 1995.

[40] Goldblatt R. Boolean algebras with operators (eom.springer.de/b/bl 10750.htm).

[41] Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution // Handbook of The History of Logic. Vol. 7: Logic and Modalities in XX century. Amsterdam. 2006.

[42] Hintikka J. Analyses of Aristotle. Dordrecht. 2004.

[43] Hintikka J. Is alethic modal logic possible? // The logic of epistemology and epistemology of logic. Dordrecht. 1989

[44] Hintikka J. Models for modalities // Selected Essays. Dordrecht, 1969

[45] Jonsson B., Tarski A. Boolean algebras with operators (I) // American Journal of Mathematics. Vol. 73, No. 4. 1951.

[46] Jonsson B. A survey of Boolean algebras with operators // Algebras and orders. 1993.

[47] Kanger S. Morning star paradox // Theoria, Vol. 23, Issue 1, 1957

[48] Kanger S. Provability in logic // Collected papers of Stig Kanger with essays on his life and work, Vol. 1, Dordrecht, 2001.

[49] Knuuttila S. Medieval modal theories and modal logic // Handbook of the history of logic. Vol. 2. Medieval and renaissance logic. Amsterdam. 2008.

[50] Leibniz G.W. Contingency, http://www.earlymoderntexts.com/pdf/leibcon.pdf

[51] Leibniz G.W. The monadology. http://www.rbjones.com/rbjpub/philos/classics/leibniz/monad.htm.

i

J y t

[52] Lemmon E. J. New foundations for Lewis modal systems // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 22. No 2. 1957.

[53] Lenzen W. Leibniz's logic // Handbook of the History of Logic, Vol. 3. The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege, Amsterdam. 2004.

[54] Lewis C. I. Implication and the algebra of logic. // Mind. New Series. Vol. 21. No. 84. 1912.

[55] Lewis C. I. The calculus of strict implication // Mind. New series. Vol. 23. No. 90. Oxford. 1914.

[56] Lewis C.I. A survey of symbolic logic. Berkeley. 1918.

[57] Lewis C.I., Langford C. H. Symbolic Logic, London. 1959.

[58] Lindstrom S. Introduction // Collected papers of Stig Kanger with essays on his life and work, Vol. 1, Dordrecht, 2001

[59] Lois Frankel. From a metaphysical point of view: Leibniz and the principle of sufficient reason // Gottfried Wilhelm Leibniz. Critical assessment. London. 1994.

[60] Look B. C. Leibniz's Modal Metaphysics. Stanford Encyclopedia of Philosophy http.7/plato.stanford.edu/entries/leibniz-modal/

[61] Luis Farinas del Cerro, Newton Peron. Handbook of the 4th World Congress and School on UNIVERSAL LOGIC. March 29 - Apriel 7, 2013. Rio de Janeire. P. 115

[62] Maccoll H. Symbolic logic and its applications. London. 1906.

[63] Maccoll H. Symbolical reasoning // Mind. Vol. 5. No. 17. Oxford. 1880. PP. 45-60.

[64] Maccoll H. Symbolic reasoning (II) // Mind. New Series Vol. 6. No. 24 London. 1897. PP. 493-510.

[65] Maccoll H. Symbolic reasoning (III) // Mind. New Series. Vol. 9. No. 33. London. 1900. PP. 75-84.

[66] Maccoll H. Symbolic reasoning (IV) // Mind. New Series. Vol. 11. No. 43. London. 1902. PP. 352-368.

[67] Maccoll H. Symbolic reasoning (V) // Mind. New Series. Vol. 12. London. 1903. PP. 355-364!

[68] Maccoll H. Symbolic reasoning (VI) // Mind. New Series. Vol. 14. London. 1905. PP. 74-81.

[69] Maccoll H. Symbolical reasoning (VII) // Mind. New series. Vol 14. No. 55. Oxford. 1905. PP. 390-397.

[70] Maccoll H. Symbolical reasoning (VIII) // Mind. New series. Vol 15. No. 60. Oxford. 1906. PP. 504-518

[71] MacColl S. Aristotle's modal syllogisms. Amsterdam. 1963.

[72] Mares E. Relevance logic // http://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance//. 2006.

[73] McKinsey J. C. C. A solution of the decision problem for the Lewis system S2 and S4, with an application to topology // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 6. No. 4. 1941

[74] McKinsey J. C. C., Alfred Tarski. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 13. No. 1. 1948.

[75] Montague R. Logical necessity, physical necessity, ethics and quantifiers // Formal philosophy. Selected papers of Richard Montague. New Haven and London, 1974

[76] Novaes C. D. A medieval reformulation of de dicto/de re distinction.

[77] Parry W. T. Modalities in the Survey System of Strict Implication // The Journal of Symbolic Logic, Vol. 4. 1939.

[78] Read S. Hugh Maccoll and the algebra of strict implication // Nordic Journal of Philosophical Logic. Vol. 3. No. 1. 1998.

[79] Reichenbach H. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics. Los Angeles. 1944.

[80] RescherN. Many-valued Logic. New-York. 1969.

[81] Roberta Ballarin. Modern origins of modal logic, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010, plato.stanford.edu/entries/logic-modal-origins

[82] Russell B. Review of H. MacColl's «Symbolic logic and its applications» // Mind. London. 1906. Vol. 15.

[83] Shearman A. N. The development of symbolic logic. London. 1906.

[84] Tang Tsao-Chen. Algebraic postulates and a geometric interpretation for the Lewis calculus of strict implication // Bulletin of the American Mathematical Society. 1938.

[85] Whitehead A. N., Russel B. Principia Mathematica. Cambridge. 1910.