Осесимметричная контактная задача о кручении неоднородной упругой среды сложной структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Васильев, Андрей Сергеевич

• Васильев, Андрей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Андрей Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Постановка и решение контактной задачи о кручении цилиндрически анизотропного полупространства с неоднородным покрытием

1.1 Постановка задачи

1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению

1.3 Трансформанты ядер в некоторых частных случаях

1.4 Численное построение трансформанты ядра интегрального уравнения

1.5 Некоторые свойства трансформант ядер

1.6 Построение решения задачи

1.7 Решение задачи для некоторого класса законов неоднородности

ГЛАВА 2. Аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения

2.1 Алгоритм аппроксимации полиномами Бернштейна

2.2 Анализ свойств функции Щ

2.3 Анализ свойств функции П2

2.4 Итерационный алгоритм би-скобочной аппроксимации

2.5 Сравнительный анализ методов аппроксимации

2.6 Комбинированный алгоритм аппроксимации

ГЛАВА 3. Кручение сред с покрытиями сложной структуры

3.1 Неоднородные среды, градиент изменения упругих свойств которых меняет знак 1, 2, 4, 10 и более раз

3.2 Неоднородный слой, лежащий на существенно более жестком основании

3.2.1 Однородный слой на жестком основании

3.2.2 Неоднородный слой на жестком основании

3.3 Неоднородные цилиндрически анизотропные покрытия

3.4 Анализ точности результатов

3.4.1 Вклад функции вида П2 в решение задачи

3.4.2 Анализ погрешности результатов

ГЛАВА 4. Напряженно-деформированное состояние полупространства.

Функция жесткости. Простейшие аналитические решения

4.1 Напряженно-деформированное состояние упругого полупространства с неоднородным покрытием

4.2 Функция жесткости кручения

4.3 Простейшие аналитические решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осесимметричная контактная задача о кручении неоднородной упругой среды сложной структуры»

ВВЕДЕНИЕ

Механика контактных взаимодействий деформируемых твердых тел занимает центральные позиции в области механики деформируемого твердого тела, поскольку посредствам контакта и возникающих при этом контактных усилий реализуется работа элементов механизмов машин.

Характерной особенностью контактных задач является то, что они являются задачами со смешанными граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным уравнениям, требующим развития специальных методов решения.

В связи с развитием новых технологий особое значение в настоящее время играют контактные задачи для неоднородных сред. Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Покрытия для реальных материалов представляют собой сложные структуры, неоднородные по толщине [66]. Различие свойств на поверхности и в глубине может быть весьма существенно и обуславливается самими различными факторами (неравномерное старение материала на поверхности и в глубине, взаимодействие материала с различными газами или соляными растворами, осаждением на поверхность материала компонент растворов при электролизе, лазерное напыление различных по составу пленок на поверхность материала и др.).

Первоначально непрерывно-неоднородные материалы

(функционально-градиентные) были предложены в качестве альтернативы однородным покрытиям и прослойкам в деталях аэрокосмических аппаратов, подверженных воздействию высоких температур [123]. Исследования показали, что материалы, обладающие изменяющимися по глубине упругими свойствами, имеют более высокую степень устойчивости к износу и растрескиванию при воздействии скользящего контакта [146]. Более того, машинные детали, изготовленные из функционально-градиентных материалов, имеют более продолжительный срок эксплуатации по сравнению с обычными цельно-керамическими деталями [96]. Это открытие послужило

стимулом к появлению многочисленных работ, посвященных контактным задачам для функционально-градиентных материалов.

Одним из самых многочисленных и разнообразных видов функционально-градиентных материалов являются слоистые композиты. Они представляют собой многокомпонентные слоистые материалы, состоящие, как правильно, из пластичной основы - матрицы, которая армирована наполнителями, обладающими высокой прочностью. Изменяя состав матрицы и наполнителя, их соотношение, получают широкий спектр материалов с требуемым наборов свойств. Широко распространенными примерами таких материалов являются армированные углепластики, применяемые в авиастроении, фанера, стекло, армированное несколькими слоями полимерных пленок. Использование таких материалов обычно позволяет уменьшить массу конструкции при сохранении или улучшении ее механических характеристик. Например, использование полимерных слоистых композитных материалов при производстве космической и авиационной техники позволяет сэкономить от 5 до 30% веса летательного аппарата.

Разрушение структуры и самого материала деталей машин в машиностроении в основном инициируется вблизи их поверхностей из-за концентрации напряжений при воздействии внешних нагрузок. Поэтому для снижения эффекта износа и усталости, вызванного высокими нагрузками, требуются специальные покрытия. Концепция функционально-градиентных материалов активно рассматривается при разработке покрытий с целью избежать резкого изменения свойств материалов в зоне покрытие/подложка, которое приводит к трещинам, разрыхлению и, в итоге, к разрушению покрытия, а затем и всей детали.

Известно, что решения смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности, теории консолидации [1,2, 25, 29, 61], теории

разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их решения, являются общими для целого класса задач математической физики.

Основополагающими в теории смешанных контактных задач были работы Г. Герца [119, 120], Я. Буссинеска [104], С. А. Чаплыгина [91], М.А. Садовского. Весьма эффективной оказалась теория функции комплексного переменного, развитая Н.И. Мусхелишвилли [72] и его учениками. Эти методы базировались на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений. Существенные применения методов теории функции комплексного переменного мы находим в работах Л. А. Галина, А. И. Каландия, С. Г. Михлина, Г. И. Савина, Д. И. Шермана и др. Теория пространственных контактных задач была продвинута А.И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др.

Вышеперечисленные исследования касались в основном классических контактных задач. Результаты работ этого периода освещены в монографиях Н. И. Мусшелишвили [72], И. Я. Штаермана [95], Л. А. Галина [51], А.И. Лурье [70], И. Снеддона [85] и др. Подробные обзоры даны Д. И. Шерманом [93, 94] и Н. А. Кильчевским и Э. Н. Костюком [62].

Повышение интереса к неклассическим задачам наблюдается с середины 50-х годов прошлого века, и оно было связано в первую очередь с необходимостью расчета фундаментов и оснований в строительстве, необходимостью расчета покрытий дорожных одежд [64, 65], а также с необходимостью расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях [36, 44, 49, 58, 63].

В разработке новых методов решения неклассических смешанных задач теории упругости можно выделить несколько основных направлений.

В работах первого направления (В.М.Александров, Н.Х.Арутюнян, Н.И.Ахиезер, А.А.Баблоян, В.Басбридж, Н.М.Бородачев, Г.М.Валов, И.И.Ворович, В.Т.Гринченко, М.Г.Крейн, В.А.Кудрявцев и В.З.Партон, Дж. Кук, Н.Н.Лебедев, В.И.Моссаковский, Б.Нобл, В.В.Панасюк, Г.Я.Попов, В.

Синг, И. Снеддон, Р.Сривастав, Дж. Твид, Е.Титчмарш, В.С.Тоноян, Ю.И.Травкин, К. Трантер, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, А.И. Цейтлин, М.И. Чебаков, Ю.И.Черский, В.И. Юдович и др.) краевая задача сводится к парным или тройным интегральным уравнениям или рядам, преобразующимся в интегральные уравнения первого или второго рода или бесконечные системы алгебраических уравнений.

К первому направлению относится метод факторизации, который берет свое начало с результатов Винера-Хопфа [141] и дальнейшего их развития В.А. Фоком [90]. На основе этих результатов М.Г. Крейну [67] и И.М. Раппорту [79] удалось разработать теорию построения решения класса интегральных уравнений, порождаемых смешанными контактными задачами.

Применение метода факторизации для решения контактных задач можно найти в работах Попова [74, 75, 78]. Широкое применение и дальнейшее развитие метод получил в работах В.М. Александрова, В.А, Бабешко, A.B. Белоконя и др. [27, 28, 30-33, 41]

Традиционно метод использовался для построения решений контактных задач в области малых значений характерного геометрического параметра.

Основой методов второго направления служит идея коллокации (В.М. Александров, И.И. Ворович, А.И. Каландия, В.В. Копасенко, В.М. Фридман, B.C. Чернина, И.Я. Шгаерман и др.). Решение интегрального уравнения 1-го рода, соответствующего исходной задаче, аппроксимируется функцией, содержащей конечное число параметров. Путем удовлетворения интегральному уравнению в конечном числе точек для определения этих параметров получается конечная система линейных алгебраических уравнений. Обзор работ этого направления содержится в монографии А.И.Каландия [59].

Третье направление (В.М.Александров, В.А.Бабешко, А.В.Белоконь, И.И.Ворович, Б.И.Сметанин, А.С.Соловьев, Ю.А.Устинов, М.И.Чебаков и др.) состоит в применении асимптотических методов решения смешанных

задач. В монографиях И.И. Воровича, В.М.Александрова, В.А. Бабешко [1, 48], В.М.Александрова, Е.В. Коваленко [29] асимптотические методы изложены в систематическом виде.

Ярким примером этого направления является метод регуляризации. Идея метода регуляризации восходит к Карлеману [107]. Впервые метод регуляризации для решения контактных задач был применен в работе И. И. Воровича и Ю. А. Устинова [49], где представлено решение задачи о давлении штампа на слой конечной толщины. Решение представлено в виде ряда по степеням /г1, где к - обезразмеренная толщина слоя. Метод регуляризации применим для построения решения контактных задач для неоднородных сред для больших значений характерного геометрического параметра.

Авторами четвертого направления (В.М.Александров, Н.Х Арутюнян, П.И.Клубин, А.И.Лурье, С.М.Мхитарян, Г.Я.Попов, Н.А.Ростовцев, Б.И. Сметанин, М.И. Чебаков и др.) смешанная задача сводится к интегральному уравнению первого рода, находятся собственные функции интегрального оператора, соответствующего главной части ядра. Далее на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задача сводится к бесконечной алгебраической системе.

К данному направлению принадлежит, например, метод ортогональных многочленов, который берет свое начало с работы П.И. Клубина [63]. Сущность метода ортогональных многочленов описана в работах [77, 78]. Метод ортогональных многочленов традиционно использовался для построения решений для диапазона средних значений характерного геометрического параметра задачи.

Пятое направление (В.Л.Рвачев, В.С.Проценко, Н.С.Синекоп) связано с развитием метода Я-функций, который соединил в себе алгебрологические методы, используемые в математике и кибернетике, с классическими методами математической физики и вычислительной математики. Структурный метод, разработанный авторами этого направления, позволяет

строить решения смешанных задач теории упругости для областей конечных размеров. Метод в систематическом виде изложен в монографии В.Л.Рвачева и В.С.Проценко [81].

По перечисленным направлениям также имеются обзоры Б.Л.Абрамяна, А.Я.Александрова [3, 4], Г.Я.Попова, Н.А.Ростовцева [76], В.Л.Рвачева [80], И.И. Воровича, В.М. Александрова[1], и др. Методы, используемые в данной диссертации, относятся к первому и третьему направлениям.

Позднее, в конце 80 годов прошлого века, интерес к контактным задачам для непрерывно неоднородных тел резко возрос в связи с развитием современных технологий, которые позволили получать покрытия с непрерывно изменяющимися упругими свойствами.

Далее проведем анализ литературы за последние тридцать лет и отметим наиболее значимые работы.

М.А. Guler, F. Erdogan рассмотрели ряд плоских задач для материалов с градиентными покрытиями для экспоненциальных законов неоднородности [116-118]. Для построения решения задач использовался метод коллокации.

Китайские ученые Y.-S. Wang, L.-L. Ке использовали кусочно-линейную аппроксимацию трансформанты ядра для сведения решения ряда плоских задач к решению интегрального уравнения [124-126, 131]. Интегральное уравнение решалось методом Крэнка [127].

R.D. Kiilchytsky-Zhyhailo, A.A. Yevtushenko построили решения для слоистых материалов в случае трехмерной задачи [128-130]. Для построения аналитического решения была использована многослойная ступенчатая модель. L.S. Stephens исследовал численно, используя метод конечных элементов, напряженное состояние материала с покрытием при наличии градиентной подложки [141].

G.H. Paolino, К. Park [134] использовали сеточные методы и технику параллельных вычислений для построения решения трехмерных контактных задач. H. J. Choi, G.H.Paolino [108] исследовали термоупругий контакт

плоского штампа скользящего с трением по среде с функционально-градиентным покрытием. Рассматривалось экспоненциальное изменение свойств в покрытии. Для решения использовался метод коллокации.

A. Brzoza, V. Pauk [105] рассматривали осесимметричные задачи о кручении штампом (параболическим или плоским) шероховатой среды. Задачи сведены к решению интегральных уравнений, которые решались численно.

Поскольку при решении контактных задач для непрерывно-неоднородных сред приходится преодолевать определенные трудности, связанные с решением дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в ряде работ были рассмотрены некоторые специальные случаи неоднородности по глубине. Так в работах R.E.Gibson, P.T.Brown [112-115] рассматривался упругий слой, модуль которого линейно увеличивается с глубиной. В работе А.О. Awojobi [103] рассматривалась неоднородная среда, модули упругости которой являются степенными функциями.

По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных законов непрерывной неоднородности были решены в работах В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Н.В.Глушковой [42, 54] (неоднородное полупространство), И.В.Ананьева, В.А.Бабешко, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой [38, 39] (неоднородный слой).

Важное прикладное значение имеет решение обратных задач математической физики. К ним относятся задачи определения свойств материалов, идентификация полимерных и композитных материалов, задачи неразрушающего контроля (определение расположения и конфигурации дефекта) и т.д. Различные постановки, методы решения, условия обеспечивающие единственность, и другие аспекты исследования обратных задач освещены в работах О.М. Алифанова, А.О. Ватульяна, В.Г. Романова, A.A. Самарского, А.Н. Тихонова, H.D. Bui, V. Isakov и др. [36, 46, 47, 83, 84, 86, 87, 106, 121].

Для построения решений контактных задач для покрытий различных толщин используются различные методы (регулярный асимптотический метод, сингулярный асимптотический метод, методы ортогональных многочленов, коллокации и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи.

При использовании численных методов основные недостатки состоят в необходимости проводить новые вычисления при каждом изменении, как геометрических параметров, так и материальных свойств. Задание функционально-градиентного слоя представляет определенные трудности. Использование стандартного пакета метода конечных элементов может привести к качественно неверным результатам для многих важных характерных величин таких как контактные напряжения, тепловые потоки и т.д.

Большинство известных в литературе результатов по контактным задачам для неоднородных материалов, получены при специальных предположениях о законе изменения функционально-градиентных свойств (экспоненциальном, степенном), которые дают возможность использовать явные аналитические решения для соответствующих дифференциальных уравнений (например, см. [103, 112- 115, 116-118]).

Построение решений контактных задач для неоднородных покрытий сложной структуры (покрытия со знакопеременным градиентом, покрытия с существенным изменением механических свойств) сильно осложняется тем, что трансформанты ядер интегральных уравнений имеют значительные отличия от трансформант ядер для материалов с покрытиями простой структуры. Трансформанты, соответствующие покрытиям со знакопеременным градиентом, значительно медленнее стремятся к постоянному значению при больших значениях параметра преобразования Ханкеля. В случае существенного изменения механических свойств в покрытии, значения трансформанты ядра значительно отличаются от 1.

Сеточные методы построения решения в таких случаях оказываются неэффективными, так как, чтобы уловить сложный закон изменения механических свойств в покрытии, требуется значительно увеличить число узлов в сетке.

Регулярный асимптотический метод дает удовлетворительные результаты при значительно больших значениях характерного геометрического параметра задачи (для ряда случаев при Я>1000, хотя для задачи о слое сходимость метода обоснована при Я>2) чем для случая однородной среды.

Решения, построенные для таких покрытий, методами коллокации и ортогональных многочленов оказываются нестабильными (возникают проблемы с обоснованием сходимости решений при увеличении числа узлов коллокации или при увеличении порядка многочленов).

Кроме того, более медленное затухание трансформанты ядра и существенное отличие значений транс форманты от 1 затрудняет процесс построения удовлетворительных аппроксимаций в рамках использовавшихся ранее методов.

В настоящей работе развивается асимптотический метод построения приближенных аналитических решений парных интегральных уравнений, порождаемых смешанными задачами теории упругости для неоднородных покрытий. Метод является двухсторонне асимптотически точным и позволяет получить единое решение задачи, эффективное для покрытий любых толщин.

Метод был впервые опубликован в 1982 году [8]. Предпосылкой к созданию метода являлись результаты, полученные Александровым В.М. [35], при обосновании метода использовались результаты Бабешко В.А.[41, 42, 43].

Трансформанты ядер парных интегральных уравнений строятся численно. На основании установленных аналитических свойств трансформант строятся их аппроксимации аналитическими выражениями

специального вида. Для этих аппроксимаций парных интегральных уравнений построены замкнутые аналитические решения. Доказано, что эти решения являются двухсторонне асимптотически точными относительно безразмерного геометрического параметра задач.

Предлагается новый эффективный алгоритм аппроксимации трансформант ядер интегральных уравнений контактных задач. Производится сравнительный анализ данного и ранее известных алгоритмов построения аппроксимаций трансформант ядер и анализируется их эффективность.

Алгоритм существенно расширяет классы законов изменения упругих свойств в покрытии, для которых удается построить приближенные аналитические решения с малой погрешностью. Возможности алгоритма иллюстрируются на примере задачи о кручении жестким круглым штампом среды с неоднородным покрытием.

Построены решения контактной задачи о кручении круглым штампом упругих сред с неоднородными покрытиями сложной структуры:

• покрытиями периодической структуры, градиент изменения упругих свойств которых многократно меняет знак;

• неоднородными покрытиями с существенным отличием механических свойств от свойств подложки (отличие свойств в 100 и более раз);

• неоднородными покрытиями, обладающими цилиндрической анизотропией.

Анализируется напряженно-деформированное состояние полупространства по глубине.

Анализируется возможность использования простого приближенного аналитического решения задачи о кручении, построенного с использованием одночленной аппроксимации трансформанты ядра. Даются оценки точности такого решения для ряда характерных законов неоднородности в зависимости от исходных параметров задачи.

Предложена схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.

Изучается погрешность решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом, и анализируется их связь с погрешностью аппроксимации трансформанты ядра.

По теме диссертации опубликовано 15 работ [5-7, 15-17, 19, 22-24, 45, 98-101], в том числе четыре статьи [6, 17, 45, 100] представлены в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

В работах [7, 17, 19, 24, 45, 100] соавторам принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Васильеву A.C. принадлежит построение и анализ свойств решения контактной задачи о кручении, а также схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.

В монографии [5] Васильеву A.C. принадлежат результаты второй главы, посвященные построению решений задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием высокой точности. В работах [5, 6, 15, 16, 22, 23, 98, 99,101] Васильеву A.C. принадлежит построение эффективных аппроксимаций контактных задач, построение решения контактной задачи о кручении и анализ полученных численных результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Васильев, Андрей Сергеевич

Выводы:

1) для всех рассматриваемых законов неоднородности даже при скачке свойств в зоне покрытие-подложка в 100 раз удается добиться хорошей точности аппроксимации трансформанты;

2) при Я е [ю-4,0л] контактные напряжения для законов 11 и 13, 12 и 14 близки;

3) при Я >10 контактные напряжения для законов 9, 13, 14 близки.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что рассматриваемая неоднородность покрытия (отличие свойств до 3,5 раз) существенно влияет на распределение контактных напряжений как в зоне больших А, так и в зоне малых А, несмотря на то, что эта неоднородность мала по сравнению со скачком упругих свойств на границе покрытие-подложка (100 раз).

3.3 Неоднородные цилиндрически анизотропные покрытия

В настоящем параграфе рассматривается цилиндрически анизотропное полупространство, в котором модули сдвига изменяются в соответствие с (1.1). Изучаются следующие законы неоднородности: закон 15. = 1, /^(г) = 0.5(4.5-2.5 соз(2 ж-г/Н)) г

4.5+ 2.5 сое

2ж ■■ Н

1) г

2 к ■ — V Я

4.5 + 2.5соз

Ч V Н;;

-$т(г) г г -г ^т(г)

ГЛ2)=1>

Графики изменения модулей сдвига по глубине для законов 15-19, изображены на рисунках 23, 24.

2 -0.5'

-1

I 1 с* / ^15

Рисунок 23. Графики изменения >модулей сдвига по глубине для законов 15-18.

Рисунок 24. График изменения модулей сдвига по глубине для закона 19.

В законах 15-18 один из модулей сдвига изменяется немонотонно, а другой является постоянной величиной. В законе 19 оба модуля сдвига изменяются по немонотонным законам, один вначале убывает, а другой -возрастает. В законе 19 используется показательная функция от синусоиды, что обеспечивает выполнение условия (1.55).

Чтобы оценить влияние анизотропии, будем сравнивать результаты с изотропными средами, описываемыми законами 5, 6 (см. §3.1) при/¿=3,5 и к= 1.

На рисунке 25 изображены трансформанты ядер законов 15-19. Графики модулей сдвига для законов 15, 17 и 16, 18 симметричны относительно прямой Ф=1, но соответствующие им трансформанты ядер не симметричны. Более того, симметричными относительно прямой у= 1 оказываются трансформанты ядер для законов 15, 18 и 16, 17.

1.4 1.2

Ця) 1.0 0.8 0.6

0.01 0.1 1 10

11

Рисунок 25. Трансформанты ядер законов 15-19, 5,6.

На рисунке видно, что численно построенная трансформанта ядра для закона 19 практически тождественно равна 1, что подтверждает результаты, описанные в параграфе §1.7.

В таблице 4 приведена погрешность аппроксимации трансформанты ядра выражениями вида (1.46) для законов 15-18. Погрешность считалась по формуле (3.1). Для аппроксимации использовался алгоритм аппроксимации полиномами Бернштейна (см. §2.1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты данной работы:

1) Сформулирована постановка и построено приближенное аналитическое решение контактной задачи о кручении цилиндрически анизотропного упругого полупространства с неоднородным покрытием. Доказано, что в случае, когда для модулей сдвига выполнено о

Gr(p (z)G(pz (z) = c = const, контактные напряжения под штампом совпадают с контактными напряжениями для однородного изотропного полупространства с модулем сдвига равным с.

2) Построено приближенное аналитическое решение малой погрешности контактной задачи о кручении неоднородного слоя, лежащего на существенно более жестком основании.

3) Построено приближенное аналитическое решение малой погрешности задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием периодической структуры, градиент изменения упругих свойств которого многократно меняет знак.

4) Разработан алгоритм аппроксимации транс форманты ядра интегрального уравнения функциями специального вида. Алгоритм позволяет с малой погрешностью построить аппроксимации трансформант ядер, соответствующих сложным неоднородным покрытиям, и может быть использован при построении приближенных аналитических решений широкого класса смешанных задач математической физики, решение которых строится с использованием метода интегральных преобразований.

5) Произведен детальный анализ точности приближенных аналитических решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом. Отмечены характерные особенности решений, построенных различными алгоритмами аппроксимации. Экспериментально установлена важная зависимость между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра и погрешностью построенного решения при использовании алгоритма аппроксимации полиномами Бернштейна. Даны практические советы по оценки точности решений контактных задач, построенных двухсторонне асимптотическим методом.

6) Проанализирован диапазон применимости приближенных аналитических формул решения задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием, построенных на основе простейшей одночленной аппроксимации трансформант ядер.

Работа выполнена при поддержке ГК №11.519.11.3028, №11.519.11.3015, №02.740.11.0813, АВЦП2.1.2/10063.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Андрей Сергеевич, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Механика контактных взаимодействий (под ред. Воровича И.И., Александрова В.М.) . - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 672 с.

2. Развитие теории контактных задач в СССР. - М.: Наука, 1976. 493с.

3. Абрамян Б.Л. Обзор результатов, полученных по контактным задачам в Академии Наук Армянской ССР // В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М. 1969. С. 3-7.

4. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости // В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. М.: Наука, 1966. С. 7-37.

5. Айзикович С.М., Александров В.М., Васильев A.C., Кренев Л.И., Трубчик КС. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред. М. ФИЗМАТЛИТ. 2011. 192 с.

6. Айзикович С.М., Васильев A.C., Волков С.С. Аналитические решения осесимметричных контактных задач для слоя // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. 2011. Т.4, № 5. С. 1947-1948.

7. Айзикович С.М., Васильев A.C. Аналитическое решение задачи о кручении круговым штампом упругого полупространства с неоднородным приповерхностным слоем // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г. Издательство Южного федерального университета. 2009. Т.Н. С. 6-10.

8. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т.46, вып.1. С.148-158.

9. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений // ПММ. 1990. Т. 54. С.872-877.

10. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №5. С. 1037-1041.

11. Айзикович СМ. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при малых значениях параметра // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, №1, С.48-52.

12. Айзикович СМ. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием // ПММ. 1995. Т. 59, №4. С. 688-697.

13. Айзикович СМ., Кренев Л.И., Трубчик КС. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферического индентора в неоднородное по глубине полупространство // Изв. РАН, МТТ. 2000. №5. С. 107-117.

14. Айзикович СМ., Кренев Л.И. Внедрение конического штампа в неоднородное по глубине полупространство. Труды VII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2001. Изд. СКНЦ ВШ. Т.2. С.5-8.

15. Айзикович СМ., Васильев A.C., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи для материалов с градиентными покрытиями // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды IV Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 2-6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону, Терра Принт. 2008. С. 9-10.

16. Айзикович СМ., Васильев A.C., Кренев Л.И., Кречко Л.М., Кузнецова Т.А. Контактные задачи для материалов с покрытиями сложной структуры с учетом изменения модуля Юнга и коэффициента Пуассона // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 1-5 июня 2009 г. Издательство Южного федерального университета. 2009. С. 6.

17. Айзикович СМ., Васильев A.C., Кренев Л.И., Трубчик И.С., Селезнев Н.М. Контактные задачи для функционально-градиентных материалов сложной структуры // Механика композитных материалов. 2011. Т.47, № 5. С. 1-12.

18. Айзикович С.М. Кручение круглым штампом неоднородного полупространства // Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону: РИСИ. 1978. С. 156-169.

19. Айзикович С.М., Андреева З.В., Васильев A.C., Галыбин А.Н. Математическое моделирование задачи о кручении круговым штампом упругой среды сложной структуры // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 30 мая - 2 июня 2011г. Издательство Южного федерального университета. 2011. С. 8-9.

20. Айзикович С.М., Кренев Л. И., Staedler Т. Определение механических характеристик тонкого покрытия по результатам наноиндентирования. Труды VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2000. Изд. СКНЦ ВШ. Т. 2. С. 3-7.

21. Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство // Изв.АН СССР, МТТ. 1984. Т.39, №2. С.73-82.

22. Айзикович С.М., Васильев A.C., Волков С.С., Цветкова И.В. Осесимметричные контактные задачи для функционально-градиентных покрытий сложной структуры и их аналитические решения // V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела. Тезисы докладов Всероссийской конференции. Астрахань, 31 мая - 5 июня 2011 г. Издательство АГТУ. 2011. С. 50.

23. Айзикович С.М., Васильев A.C., Кренев Л.И. Особенности деформирования покрытий из функционально-градиентных материалов сложной структуры // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции. Дилижан, Армения, 4-8 октября 2010г. Ереван: ЕГУАС. 2010. T.l. С.48-52.

24. Айзикович С.М., Васильев A.C., Погоцкая И.В. Оценка модуля сдвига неоднородной среды методом кручения // Методологические аспекты

сканирующей зондовой микроскопии. Сборник докладов IX международной конференции. Минск, 12-15 октября 2010г. Минск, Беларуская навука. 2010. С. 232-237.

25. Айзикоеич СМ. О разрешимости динамической задачи, связанной термовязкоупругости// "Изв.СКНЦВШ". 1975. №4. серия естеств. наук. С. 3-7.

26. Айзикоеич СМ., Трубчик И.С., Кренев Л.И., Соболь Б.В. Равновесная дисковая трещина в неоднородной упругой среде // ПММ. 2010. Т. 74. вып. 2, С. 355-367.

27. Александров В. М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя // ПММ, 1969, 33, вып. 1.

28. Александров В. М., Белоконъ А. В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических тел // ПММ, 1967, 31, вып. 4.

29. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями // М.: Наука, 1986. 336с.

30. Александров В. М. К решению некоторых контактных задач теории упругости // ПММ, 1963, 27, вып. 5.

31. Александров В. М. Контактные задачи для упругого клина // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1967, № 2.

32. Александров В. М., Бабешко В. А., Кучеров В. А. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины // ПММ, 1966, 30, вып. 1.

33. Александров В. М., Бабешко В. А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины // Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 2.

34. Александров В. М. Сметанин Б. И. Об одном эффективном методе решения неклассических смешанных задач теории упругости // ПММ, 1971,35, вып. 1.

35. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210, №1. С. 55-58.

36. Алифанов О.M., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988.

37. Алъперин И.Г. Напряжения в бесконечной полосе, равномерно сжатой по половине длины // Зап. Научно-исслед. ин-та мат. и мех. Харьк. гос. ун-та и Харьк. мат. общ. 1950. № 20. С. 107-113.

38. Ананьев КВ., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 1.С. 64-69.

39. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями // ПММ. 1983. Т. 47, вып. 3. С. 483^189.

40. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решений некоторых двумерных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206. № 5. С.1074-1077.

41. Бабешко В. А. Интегральные уравнения свертки первого рода на системе отрезков, возникающие в теории упругости и математической физике // ПММ, 1971, 35, вып. 1.

42. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства // Журнал вычислительной математики и матем. физики. 1987. Т. 27, № 1. С. 93-101.

43. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения контактных задач // Доклады АН СССР, 1974. Т. 217, № 4. С. 111-Ш.

44. Бирман С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 791-794.

45. Васильев A.C. Айзикович С.М. Математическое моделирование задачи о кручении жестким круглым штампом функционально-градиентного композитного материала // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. Вып. 2. С. 33-41.

46. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007, 224 с.

47. Ватульян А.О, Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин в анизотропном упругом теле // ПММ. 2005. 3. С.552-661.

48. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456с.

49. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ. 1959. Т. 23, вып.З. С. 445-455.

50. Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований сложной структуры // Докл. АН УССР. Сер .А. 1979. № 6. С.434-438.

51. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953.

52. Гудъер Дж.К, Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность. ИЛ, 1960.

53. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы: Учебное пособие — 2-е изд. — М: Физматлит, 2006. — С. 320.

54. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Плоская задача о колебании штампа на слое // Изд. СКНШ ВШ. 1969. № 1. С. 23-25.

55. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М., «Наука», 1967.

56. Грилицкий Д.В. Кручение двухслойной упругой среды// Прикладная механика. 1961. Т.7. Вып.1. С. 89-94.

57. Илъман В.М., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. О характере взаимодействия штмпа с упругим многослойным основанием // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5. С. 134-138.

58. Ишкова А.Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве // Инж. сборник. 1960. Т.23. С.171-181.

59. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 393с.

60. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. 576с.

61. Керчман В.И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства // Изв. АН ССР. МТТ. 1976. №1. С. 45-47.

62. Килъчевский Н. А., Костюк Э. Н. О развитии в XX веке теории контактных взаимодействий между твердыми телами. ПМ, 1966, т. 2.

63. Клубим П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании // Инж. сборник. 1952. Т. 12. С. 95-125.

64. Коган Б.И. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости // Труды Харьковского автомоб.-дор. инст-та. 1957. вып. 19. С. 53-66.

65. Коган Б.И., Зшченко В.Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. 1969. №3.

66. Крагелъский И.В., Михин Н.М. Узлы трения машин. Справ. // М.: Машиностроение, 1984. 280 с.

67. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Усп. мат. наук, 1958, 13, вып. 5(83).

68. Крейн М. Г. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений первого и второго рода // Докл. АН СССР, 1955, 100, № 3.

69. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

70. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953-1

71. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

72. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Физматгиз, 1966.

73. Никишин B.C., Шапиро Г. С. Задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Наука, 1973.

74. Попов Г. Я. Вдавливание полубесконечного штампа в упругое полупространство // Теорет. и прикл. мат., 1968, № 1.

75. Попов Г. Я. Изгиб полубесконечной плиты на комбинированном упругом основании // Докл. АН СССР, 1959, 126, № 3.

76. Попов Г.Я., Ростовцев H.A. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. М.: Наука, 1966. С. 235-252.

77. Попов Г. Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // ПММ, 1969, 33, вып. 3.

78. Попов Г. Я. Применение методов Винера-Хопфа и ортогональных многочленов к контактным задачам // В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М., изд. НИИмаш, 1969.

79. Рапопорт И. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР, 1948, 59, №8.

80. Рвачев В.Л. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости // Прикладная механика. 1967. Т. 3. № 10. С. 109116.

81. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 235с.

82. Ростовцев H.A. К задаче о кручении упругого полупространства // ПММ. 1955, т. XIX, вып. 1, С. 55-60.

83. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984.

84. Самарский A.A., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

85. СнеддонИ. Преобразования Фурье. ИЛ, 1955.

86. Сумбатян М.А., Боев HB. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде // ДАН СССР. 1991. Т. 318, №4. С. 880-882.

87. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.

88. Травуш В. И. К задаче об изгибе полубесконечной плиты, лежащей на упругом основании // Изв. АН СССР. Механика, 1985, №2.

89. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 404 с.

90. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики// Мат. сб. 1944, 14(56), № 1-2.

91. Чаплыгин С. А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собрание сочинений, т. 3, Гостехиздат, 1950.

92. Чебаков М.И. К задаче Рейснера-Сагочи. Прикладная механика. 1973. Т. 9. Вып. 2. С. 58-63.

93. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских пространственных задачах статической теории упругости // Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. «Наука», 1962.

94. Шерман Д.И. Основные плоские контактные задачи (смешанные задачи) статической теории упругости // В сб. «Механика в СССР за 30 лет». Гостехиздат, 1950.

95. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. Гостехиздат, 1949.

96. Ai X., Zhao J., Huang С., Zhang J. Development of an advanced ceramic tool material functionally gradient cutting ceramics // Materials Science and Engineering A248, 1998, P. 125-131.

97. Aizikovich S., Vasiliev A., Sevostianov I., Trubchik L, Evich L., and Ambalova E. Analytical Solution for the Bending of a Plate on a Functionally Graded Layer of Complex Structure // EUROMECH Colloquium 527 Shelllike structures Nonclassical theories and applications, August 22nd-26th, 2011, Leucorea, Lutherstadt Wittenberg, Germany, Book of abstracts, P. 2-4.

98. Aizikovich S., Trubchik L, Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M. Analytical solutions of the contacts problems for the functionally graded coatings of complicated structure // Mechanics of composite materials. Book of abstracts of XVI th international conference. Riga (Jurmala), Latvia, May 24-28 2010. P. 22.

99. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Vasiliev A.S., Trubchik I.S., Seleznev M.G. Computation analyze of contact problems for graded elastic coatings of complicated structure // Book of abstracts of 1st African International Conference on Computational Mechanics. Sun City, South Africa, Jan. 7-11 2009. P. 123.

100. Aizikovich S.M., Vasiliev A.S., Seleznev N.M. Inverse analysis for evaluation of the shear modulus of inhomogeneous media by torsion experiments // International Journal of Engineering Science. 2010. Vol. 48. P. 936-942.

101. Aizikovich S., Trubchik I., Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M. Mechanical and tribological characterisation of functionally graded coatings of complicated structure // Book of abstracts of 11th Pan-American Congress of Applied Mechanics. Foz do Iguaçu, Brazil, January 04-08 2010. P. 35-36.

102. Antunes J.M., Fernandes J.M., Sakharova N.A., Menezes L.F. Reverse analysis in depth-sensing indentation for evaluation of the Young's modulus of thin films // Philosophical Magazine 88 (3) (2008) 313-325.

103. Awojobi A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non-homogeneous stratum //Intern. J. Solids Struct. (1976) Vol. 2, No. 11, pp. 639748.

104. Boussinesque J. Applications des potentiels a F etude de l'équilibré et du mouvement des solides élastiques. Paris, 1885.

105. Brzoza A., Pauk V. Torsion of rough elastic half-space by rigid punch // Arch Appl Mech 78 (2008), 531-542.

106. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction . -CRC-Press, Boca Raton, FL, 1994.

107. Carleman T. Sur la resolution de certain equations integrates // Arkiv mat., astron. och fys., 1922, 16. № 26.

108. Choi H. J., Paulino G. H. Thermoelastic contact mechanics for a flat punch sliding over a graded coating/substrate system with frictional heat generation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids 56 (2008), 1673-1692.

109. Dayal P., Savvides N., Hoffman M. Characterisation of nanolayered aluminium/palladium thin films using nanoindentation // Thin Solid Films 517, 2009, p. 3698-370.

110. Dhaliwal R.S., Singh B.M. Torsion by a circular die of a nonhomogeneous elastic layer bonded to a nonhomogeneous half-space // Int. J. Engng Sci. 16 ,1978, p. 649-658.

111. Erguven M. E. Torsion of a transversely isotropic elastic layer bonded to a transversely isotropic half-space // Int. J. Engng .Sci. Vol. 24, No. 9, 1986, p. 1501-1509.

112. Gibson R.E., Sills Gilliane C. Settlement of a Strip Load on a Non-homogeneous Ortotropic Incompressible Elastic Half-Space // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1975. Vol. 28, No. 2. pp. 233-243.

113. Gibson R.E. Some Results Concerning Displacements and Stresses in a Nonhomogeneous Elastic Half-space // Geotechnique. Vol. 17. (1967). pp. 5867.

114. Gibson R.E., Brown P.T., and Andrews K.R.F. Some Results Concerning Displacements in a Non-homogeneous Elastic Layer // Z.Angew. Math, und Phys. 1971. Vol. 22, No. 5, pp. 855-868.

115. Gibson R.E., Kalsi G.S. The Surface Settlement of a Linearly Inhomogeneous Cross-anisotropic Elastic Half-Space // Z.Angew.Math. und Phys. 1974. Vol. 25, No. 6. pp.843-847.

116. Guler M.A., Erdogan F. Contact mechanics of graded coatings // Int. J. Solids Struct. №41. 2004. P. 3865-3889.

117. Guler M.A., Erdogan F. Contact mechanics of two deformable elastic solids with graded coatings // Mech. Mater. №38. 2006. P. 633-647.

118. Guler M.A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings // Int. J. Mech. Sci. №49 2007. P. 161-182.

119. Hertz H Gesammelts Werks; t. 1, 1895.

120. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastischer Korper. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Grelle, 92, 1882.

121. Isakov V. Inverse problems for PDE. -Springier-Velag, 2005.

122. Kassir M.K. The Reissner-Sagoci problem for a non-homogeneous solid // Int.J. Engng Sci. 8, 1970, p. 875-885.

123. Kawasaki A., Watanabe. R. Thermal fracture behavior of metal/ceramic functionally graded materials. Engineering Fracture Mechanics 69, 2002, P. 1713-1728.

124. Ke L.L., Wang Y.S. Fretting contact of two dissimilar elastic bodies with functionally graded coatings // Mech. Adv. Mater. Struct. 17 (2001), P. 433447.

125. Ke L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional contact mechanics of functionally graded materials with arbitrary spatial variations of material properties // Int. J. Solids Struct. 43 (2006) 5779-5798.

126. Ke L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials // Eur. J. Mech. A/Solids 26 (2007) 171-188.

127. Krenk S. On quadrature formulas for singular integral equations of the first and the second kind // Quart. Appl. Math. 33 (3), 1975, 225-232.

128. Kulchytsky-Zhyhailo R.D., Yevtushenko A.A. Determination of limiting radii of the contact area in axi-symmetric contact problems with frictional heat generation // J. Mech. Phys. Solids 43 (1995) 599-604.

129. Kulchytsky-Zhyhailo R.D., Yevtushenko A.A. Approximate method for analysis of the contact temperature and pressure due to frictional load in an elastic layered medium // Int. J. Solids Struct. 35 (1998) 319-329.

130. Kulchytsky-Zhyhailo R.D. A simplified solution for three-dimensional contact problem with heat generation // Int. J. Eng. Sci. 39 (2001) 303-315.

131. Liu T.-J., Wang Y.-S. Reissner-Sagoci problem for functionally graded materials with arbitrary spatial variation of material properties // Mechanics Research Communications 36, 2009, p. 322-329.

132. Nakamura T., Wang T., Sampath S. Determination of properties of graded materials by inverse analysis and instrumented indentation // Acta Materialia 48 (2000) 4293-4306.

133. Oliver W.C., Pharr G.M. An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments. // J.Mater. Res. Jun 1992. Vol. 7, No. 6. P. 1564-1583.

134. Park K„ Paulino G. H. Parallel computing of wave propagation in three dimensional functionally graded media // Mechanics Research Communications 38 (2011) 431- 436

135. Reissner E., Sagoci H. F. Forced torsional oscillations of an elastic halfspace // J. Appl. Phys. 15, 1944, P. 652-654.

136. Selvadurai A.P.S., Singh B.M., Vrbik. J. A Reissner-Sagoci problem for a non-homogeneous elastic solid // J. Elasticity, 16, 1986, 383-391.

137. Selvadurai A.P.S. The statical Reissner-Sagoci problem for an internally loaded transversely isotropic halfspace // Lnt. Appl. Engng Sri. Vol. 20, No. 12, 1982, p. 1365-1372.

138. Singh B.M., Danyluk H.T., Vrbik JRokne J., Dhaliwal R.S. The Reissner-Sagoci Problem for a Non-homogeneous Half-space with a Surface Constraint // Meccanica, 38, 2003, 453-465.

139. Sneddon IN. Note on a boundary value problem of Reissner and Sagoci // J. Appl. Phys. 18, 1947, P. 130-132.

140. Sneddon I.N. The Reissner-Sagoci problem // Proc. Glasgow Math. Assoc., 7, 1966, P. 136-144.

141. Stephens L.S., Liu Y., Meletis E.I. Finite element analysis of the initial yielding behavior of a hard coating/substrate system with functionally graded interface under indentation and friction // ASME J. Tribol. 122 (2000) 381— 387.

142. Tang R.C. Torsion of an anisotropic layer // Fibre Science and Technology. 12, 1979, p. 187-200.

143. Wiener N., Hopf E. Ober eine Klasse singularer Integralgleichungen // Sitzungsber, Akad. Wiss. Berlin, 1931.

144. Xiong Su-ming, Ni Guang-zheng, Hou Peng-fei. The Reissner-Sagoci problem for transversely isotropic piezoelectric half-space // Journal of Zhejiang University SCIENCE A. Vol. 6, Iss. 9, 2005, p. 986-989.

145. Yu H.Y. Forced torsional oscillations of multilayered solids// International Journal of Engineering Science 46, 2008, 250-259.

146. Zhao, J., Ai, X., Deng, J., Wang, J. Thermal shock behavior of functionally graded ceramic tool materials. Journal of the European Ceramic Society 24, 2004, P. 847-854.