ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ПРИ ТЕЧЕНИИ ГАЗОВЗВЕСИ В ОБЛАСТЯХ С ПОРИСТЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Соловьева Ольга Викторовна

• Соловьева Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Соловьева Ольга Викторовна

Введение

Глава 1. Математическая модель течения газовзвеси в однородной и пористой областях

1.1. Уравнения ламинарного течения газовой среды в однородной области

1.2. Уравнения движения газовой среды в пористой области

1.3. Ячеечная модель Кувабара

1.4. Лагранжевы уравнения движения взвешенных частиц

1.5. Эйлеровы уравнения переноса взвеси

1.6. Полный лагранжев метод расчета траекторий и концентрации частиц

Глава 2. Обтекание одиночного пористого цилиндра потоком газовзвеси

2.1. Постановка задачи

2.2. Результаты расчетов

2.3. Выводы

Глава 3. Обтекание периодического ряда пористых цилиндров

3.1. Постановка задачи

3.2. Результаты расчетов

3.3. Выводы

Глава 4. Расчет полей концентрации взвешенных частиц при обтекании периодического ряда цилиндров

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод решения

4.3. Результаты расчетов

4.4. Выводы

Глава 5. Осаждение аэрозольных частиц в канале внутри пористой

среды

5.1. Постановка задачи о течении газа

5.2. Задача о переносе дисперсной фазы

5.3. Расчет коэффициента пропуска аэрозольных частиц

5.4. Выводы

Заключение

Литература

Используемые обозначения

В радиус ячейки в аналитической модели Кувабара;

С концентрация частиц;

^ коэффициент сопротивления частицы;

Б коэффициент диффузии;

Ба число Дарси;

й диаметр частицы;

Е эффективность осаждения частиц;

Е эффективность осаждения частиц достигших поверхности цилиндра;

Е эффективность осаждения частиц внутри пористого цилиндра;

Е эффективность осаждения частиц за счет зацепления;

е, г индексы, обозначающие внешнюю и внутреннюю область;

Е сила сопротивления среды;

Н высота периодической ячейки;

3 компоненты якобиана перехода от лагранжевых координат к эйлеровым;

к проницаемость пористой среды;

Ки параметр Кувабара;

Ь длина периодической ячейки;

^ число частиц достигших поверхности цилиндра;

П общее число стартующих частиц;

Р давление воздуха;

Р (х) коэффициент пропуска аэрозольных частиц;

Яс радиус пористого цилиндра;

Яе число Рейнольдса течения несущей среды;

Яе^ число Рейнольдса частицы;

модифицированное число Стокса; число Стокса;

и скорость газа;

и / скорость фильтрации;

и скорость на бесконечности;

V скорость частицы;

а плотность упаковки цилиндров в ряду;

а 3 коэффициент трения скольжения;

3 безразмерный коэффициент диффузии;

Д, отношение коэффициента сопротивления пористого цилиндра к коэффициенту сопротивления сплошного цилиндра;

д параметр зацепления;

£г пористость;

в, г полярные координаты;

¡и коэффициент динамической вязкости;

у коэффициент кинематической вязкости газа,

р плотность воздуха;

рр плотность частицы;

т время релаксации сферической частицы;

у функция тока;

с скорости изменения компонентов якобиана.

у

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ПРИ ТЕЧЕНИИ ГАЗОВЗВЕСИ В ОБЛАСТЯХ С ПОРИСТЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ»

Введение

Газовзвеси - это двухфазные среды, в которых несущей фазой является газ, а вторичной дисперсной (твердой или жидкой) фазой - взвешенные частицы. Различные течения газовзвесей широко встречаются в природе и технических устройствах. Прогнозирование характеристик таких течений относится к одному из важных направлений исследований механики многофазных сред. В настоящее время в целом сформулированы базовые физико-математические модели течений двухфазных сред. Вместе с тем в связи с разнообразием и сложностью многофазных течений остается множество нерешенных задач, и появляются новые, имеющие теоретическое и практическое значение. Относительно малоисследованными являются задачи, посвященные моделированию течений газовзвесей в однородно-пористых областях, характеризующиеся тем, что в них необходимо рассматривать перенос дисперсной фазы в комбинированных областях или на их границе. Подобные задачи важны в фильтрации дисперсных воздушных загрязнений или аэрозолей. Системы очистки воздуха на основе аэрозольных фильтров широко встречаются в промышленности и бытовых условиях вокруг человека. Механизмы фильтрации взвешенных частиц проявляются также в различных природных системах.

Фильтрация аэрозолей (газовзвеси) может быть определена как процесс отделения взвешенных частиц из потока газа (обычно воздуха) при прохождении газовзвеси через пористый материал. Для фильтрации аэрозолей используют различные типы пористых материалов. Широкое распространение получили так называемые волокнистые фильтры, составленные случайной упаковкой тонких волокон. К волокнистым фильтрам относятся широко известный фильтр Петрянова [32], а также фильтры HEPA (High Efficiency Particulate Arresting) [148], предназначенные для очистки запыленного воздуха. Упомянутые фильтры активно используются в системах вентиляции, кондиционирования, а также во всех

современных пылесосах на последней ступени доочистки воздуха. Фильтры Петрянова составляют также основу индивидуальных средств защиты дыхания человека, применяемых для улавливания вирусов и радиоактивных частиц. Также фильтры используются в системах мониторинга окружающей среды, где целью является осаждение частиц в пробоотборниках для корректного анализа концентрации веществ. Проблемы мониторинга атмосферных аэрозолей исследовались, например, в работах Лушникова А.А., Загайнова В.А., Любовцевой Ю.С. [117], Загайнова В.А. [175], Тимашева С.Ф., Загайнова В.А., Лушникова А.А., Бирюкова Ю.Г., Аграновского И.Е., Ламухина Е.М. [153].

Различают два основных вида фильтрации аэрозолей: поверхностная и глубокая фильтрация. В поверхностной фильтрации частицы собираются на какой-либо проницаемой поверхности, при этом образование осадка на поверхности влияет на аэродинамическое сопротивление потоку. При глубокой фильтрации частицы перемещаются как к поверхности, так и к внутренней структуре вещества. Волокнистые фильтры - разновидность фильтров глубокой фильтрации. Такие фильтры состоят из волокнистых слоев в трехмерной системе. Пористость волокнистых фильтров высока, как правило, от 70% до 99%. Благодаря высокой пористости они имеют низкий коэффициент аэродинамического сопротивления. Газ протекает через открытую структуру фильтра и частицы захватываются волокнами. При малой концентрации пыли фильтрация аэрозоля через волокнистый фильтр является наиболее экономичным средством для высокоэффективного улавливании частиц из газового потока с относительно низким перепадом давления.

Помимо волокнистых фильтров широко применяются гранульные, тканевые и мембранные фильтры. Гранульные состоят из утрамбованного слоя частиц Tien C.V, Ramarao B.V. [152]. Тканевые фильтры создаются из текстильных волокон, которые перерабатывают в относительно компактные формы. Большая часть пыли не проникает внутрь материала, но скапливается

на поверхности. Мембранные фильтры представляют собой перфорированный или сильно спрессованный волокнистый материалы с более низкой пористостью, чем у волокнистых фильтров, и предназначены в первую очередь для поверхностной фильтрации.

Для оценки эффективности работы фильтров используются интегральные характеристики, например, эффективность осаждения частиц и качество фильтров. Общая эффективность Ет осаждения частиц в фильтре при прохождении газовзвеси через пористый слой зависит от эффективности осаждения на отдельном волокне Е .

Эффективность осаждения определяется из отношения концентраций частиц С0 на входе и С выходе фильтра в следующем виде (Кирш В.А. [19], Hellou M., Martinez J., El Yazidi M. [91]):

С

Е = 1--= 1 - exp (-2rflHE), (1)

С0

где H - толщина фильтра, l = а/7irj - длина волокон в единице объема, rf -

радиус волокон, а - плотность упаковки волокон. Определение общей эффективности Е сводится к расчету эффективности отдельного волокна и зависит от геометрических параметров фильтра и гидродинамических свойств течения газовзвеси.

Эффективность осаждения частиц на отдельном волокне в общем случае зависит от ряда параметров, которые могут быть представлены безразмерными комплексами:

Е = Е(Re,Kn,Pe,R, St, G,Ft ,а,е), (2)

где Re = 2rfU^ - число Рейнольдса, U0 - скорость набегающего потока, v

- коэффициент кинематической вязкости газа, Kn = Л/rf - число Кнудсена,

Л - средняя длина свободного пробега молекул несущей среды. Диффузионное осаждение частиц определяется числом Пекле Pe = 2rfU0/D,

где D - коэффициент диффузии. Параметр R = d /2rf характеризует осаждение за счет зацепления, где dp - диаметр частиц. Инерционное осаждение частиц характеризуется числом Стокса St=2Cdr2pU0¡9/rf, где Cc - поправка Каннингема, / - коэффициент динамической вязкости газа. Гравитационное осаждение частиц учитывается седиментационным параметром G = , где vg - скорость седиментации частицы. На

осаждение аэрозольных частиц также могут влиять внешние силы (например, электростатические) Fi [19].

Сопротивление фильтра определяется перепадом давления на входе и выходе и рассчитывается как сумма сил сопротивления волокон:

Ap = U0 /lHF, (3)

где F - безразмерная сила сопротивления, отнесенная к единице длины волокна. При малых числах Re соотношение (3) представляет собой закон Дарси.

Кроме эффективности улавливания частиц фильтра, важной характеристикой является его качество, которое определяется как отношение логарифма коэффициента пропуска частиц к перепаду давления Ap (см., например, Кирш А.А., Стечкина И.В. [102])

Q = - ln (C/C0 )/(Ap/U0/). (4)

При одном и том же значении эффективности улавливания взвешенных частиц качество фильтров с различными перепадами давления отличается.

Одной из проблем при моделировании волокнистых фильтров является описание сложной структуры этих сред. Волокнистый фильтр состоит из множества случайно расположенных цилиндрических волокон, на которых происходит улавливание взвешенных частиц в результате инерционной импакции или диффузионного оседания. Для математического описания процесса фильтрации часто выбирают идеализированную геометрию для упрощения расчетной модели. Как правило, рассматривают единичное

волокно перпендикулярное потоку и не принимают во внимание влияние соседних волокон, способных изменить течение несущей среды. Одной из широко применяемых моделей течения в аэрозольных фильтрах является так называемая ячеечная модель, представляющая собой идеализацию течения несжимаемой жидкости в периодической упаковке цилиндрических волокон. Эта модель впервые была предложена Kuwabara S. [110] и носит название автора - модель Кувабара. Поле течения в периодической ячейке при небольших числах Рейнольдса в приближении течения Стокса получается в аналитическом виде. Позже были развиты ячеечные модели с различными граничными условиями на внешней границе рассматриваемой ячейки (модель Хаппеля и т.п. [88]).

Приближение ячеечной модели в силу простоты до сих пор широко используется в теории фильтрации; например, в работах Asgharian B., Cheng Y.S. [53], Кирша В.А. [104], Raynor P.C. [144], Dunnett S.J., Clement C.F. [76], Чернякова А.Л., Кирша А.А., Кирша В.А. [70].

В последние годы в связи c развитием детальных моделей вычислительной гидродинамики (Computational Fluid Dynamics - CFD) и быстродействия компьютеров появилось множество работ, основанных на моделировании вязкого течения в пористой структуре фильтров с учетом реальной геометрии, в том числе неупорядоченной.

В работе Li S.Q., Marshall J.S. [114] моделировалось течение через ряд цилиндрических волокон в двумерной постановке для конечных чисел Рейнольдса. Шахматные упаковки цилиндрических и эллиптических волокон с различной плотностью упаковки исследованы в работах Wang J., Pui D.Y.H. [166], Qian F., Zhang J., Huang Z. [143]. Рассмотрены также пористые упаковки с пространственными элементами различной формы.

В работе Wang Q., Maze B., Tafreshi H.V., Pourdeyhimi B. [165] рассчитано поле течения в фильтре, трехмерная геометрическая модель которого создана на основе оцифровки микроскопических изображений различных сечений фильтрующего материала. Расчетные данные по

эффективности инерционного осаждения частиц хорошо согласуются с экспериментальными данными, приведенными в той же работе. В статье Maze B., Tafreshi H.V., Wang Q., Pourdeyhimi B. [121] аналогичный подход был принят для того, чтобы изучить качество составленных из нановолокон фильтров, работающих при пониженных давлениях. Реальные двумерные и трехмерные пористые системы были рассмотрены также в работах Jaganathan S., Tafreshi H.V., Pourdeyhimi B. [96], Hosseini S.A., Tafreshi H.V. [92]. Несмотря на то что вычислительные мощности значительно возросли за последние годы, затраты на детальное трехмерное моделирование по-прежнему велики, что препятствует проведению обширных параметрических исследований.

Для моделирования течений в сложных пористых структурах при низких числах Рейнольдса применяется также метод решеточных уравнений Больцмана, представляющий собой дискретный метод решения уравнения Больцмана (Filippova O., Hanel D. [79]). В работе Przekop R., Moskal A., Gradon L. [142] это метод был использован для описания структуры нароста осевших частиц в фильтрах, а также фильтрации наночастиц.

Основным направлением исследований фильтрации газовзвесей является изучение эффективности различных механизмов улавливания взвешенных частиц. В общем случае несколько различных механизмов действует на стремление частицы прикрепиться к поверхности волокон. Вклад того или иного механизма в оседание частиц на элементах пористой структуры определяется, в первую очередь, размерами частиц и скоростью течения несущей среды. Для грубодисперсных аэрозолей, содержащих частицы с диаметрами больше несколько микрон, инерционное соударение и гравитационное осаждение являются основными причинами улавливания частиц. В области размеров частиц в диапазоне нанометров преобладающим является диффузионное оседание. Частицы средних размеров могут удерживаться волокнистыми фильтрами за счет эффекта зацепления. Частицы с диаметрами в микронном диапазоне характеризуются слабым

проявлением инерционности и диффузионного оседания. Для улавливания таких частиц обычно применяется их зарядка или зарядка элементов пористой структуры. Наряду с указанными механизмами, при фильтрации аэрозолей могут проявляться такие механизмы как термофорез и диффузиофорез в неоднородных температурных и концентрационных полях, роль которых, однако, в большинстве фильтров незначительна. Ключевыми механизмами удаления аэрозольных частиц при фильтрации являются диффузия, зацепление, инерционное и гравитационное осаждение, а также электростатическое притяжение.

Теоретический анализ основных механизмов осаждения взвешенных частиц в аэрозольных фильтрах приводится, например, в работах Brown R.C. [64],Wang C.S. [164], Williams M.M.R., Loyalka S.K. [168]. Фукс Н.А., Левин [32].

Одним из наиболее исследованных является инерционное осаждение частиц в пористых средах (Фукс Н.А. [45], Davies C.N. [74], Friedlander S.K. [80], Israel R., Rosner D.E. [95]). Ранние работы по инерционному осаждению были посвящены задаче обтекания потоком газовзвеси и осаждения частиц на одиночном цилиндре. Основным параметром, влияющим на инерционное осаждение, является число Стокса, поэтому во всех работах исследуется зависимость эффективности инерционного осаждения взвешенных частиц от числа Стокса (May K., Clifford R. [120] , Israel R., Rosner D.E. [95]. В работах Wang H.C. [163], Israel R., Rosner D.E. [95] введено понятие "эффективное число Стокса" Stef. Это позволило свести ^-образные кривые эффективности инерционного захвата для сферы и цилиндра в одну универсальную кривую в терминах эффективного числа Стокса. Wessel R.A., Righi J. [167] получили расширенные зависимости не только для эффективности инерционного захвата цилиндра в потенциальном потоке, но также для скоростей оседания, концентрации частиц на поверхности цилиндра и распределения по углу величин, представляющих интерес. Кривые численных расчетов для эффективности захвата в случае инерционного оседания из вязкого потока

(30<Re<40000) обтекающего одиночный цилиндр приведены в работе Ilias S., Douglas P.L. [93].

Помимо инерционного осаждения большую роль играет также эффект зацепления частиц (прямого касания), при котором соприкосновение с препятствием определяется геометрическим размером частицы и не требуется, чтобы траектория движения центра частицы пересекала поверхность препятствия. Осаждение частиц за счет зацепления исследовано в работах Brown R.C. [64], Nguyen X., Beeckmans J.M. [128], J. Wang, D.Y.H. Pui [166], Zhu C., Lin C.H., Cheung C.S. [179], Liu G.Z., Wang P.K. [116], Raynor P.C. [144], Asgharian B., Cheng Y.S. [53].

Влияние механизма гравитационного оседания исследовалось в работе Кирша ВА. [108].

Для малых частиц или в области наноразмеров растет вклад диффузионного оседания, интенсивность которого определяется коэффициентом броуновской диффузии. Исследованию диффузинного осаждения посвящены работы Стечкиной И.Б., Фукса H.A. [149], Dunnett S.J., Clement C.F. [76]. В работе Qian F., Zhang J., Huang Z. [143] показано, что броуновская диффузия играет определяющую роль для частиц диаметром dp<0.2 мкм. Для задачи о диффузионном осаждении полидисперсных аэрозольных частиц Kwon S.B., Kim H.T., Lee K.W. [111] получены аналитические формулы для эффективности осаждения.

Наряду с типичной для фильтров круговой формой сечения исследовались и волокна некругового сечения. Численное моделирование течения газовзвеси и расчет эффективности улавливания частиц эллиптическими волокнами проведено в работе Wang J., Pui D.Y.H. [166]. Показано, что эллиптические волокна дают преимущество в эффективности захвата частиц, оседающих в результате диффузионного механизма. В работе Boskovic L., Agranovski I.E., Altman I.S., Braddock R.D. [63] показано, что для частиц в диапазоне размеров 50-300 нм форма волокна важна при низкой скорости фильтрации, но ее влияние снижается с увеличением скорости.

Фильтры, как правило, содержат элементы различных размеров, и развитые математические модели течений аэрозолей в пористых структурах с волокнами одинаковых размеров не всегда удовлетворительно описывают эффективность реальных фильтров. Эффективность фильтрации наночастиц в случае фильтров с элементами различных размеров изучена в работах Podgorski A. [140], Podgorski A., Maisser A., Wladyslaw S.W. [141], Yamada S., Takafumi S., Yoshio O. [170]. Обнаружено, что классическая теория волокон равного размера значительно недооценивает проникновение частиц в этом случае.

В случае субмикронных размеров частиц инерционный и диффузионный механизмы слабо сказываются на их движении, и, следовательно, на осаждении. В этом диапазоне применяется электрическая зарядка улавливаемых частиц или волокон фильтра. Как результат на движение частиц начинают влиять электростатические силы взаимодействия между заряженной частицей и нейтральным волокном, между нейтральной частицей и заряженным волокном или между заряженной частицей и заряженным волокном [32]. Электростатическое осаждение в зависимости от силы заряда, скорости течения и глубины пористой упаковки обеспечивает высокую эффективность улавливания частиц в соответствующих фильтрах.

Фильтры, состоящие из постоянно заряженных волокон, получили название «электреты» и широко используются в приложениях очистки воздуха с высоким требованием к эффективности очистки, работающие при низком перепаде давления (Romay F.J., Liu B.Y.H., Chae S.J. [145]). Осаждение частиц в фильтрах с биполярной зарядкой волокон исследовано Podgorski A., Balazy A. [139].

В процессе работы фильтра и улавливания частиц на поверхности волокон формируется слой оседаемых частиц, который на начальной стадии представляет собой дендритную структуру. При дальнейшем оседании частиц слой уплотняется и стремится к плотной пористой упаковке. Изменение формы улавливающего элемента фильтра сказывается на

гидродинамике течения между волокнами и на осаждении частиц. Есть также работы, касающиеся исследований изменения характеристик фильтров, в процессе его работы за счет изменения формы улавливающих элементов. Такие работы, учитывают фрактальную форму оседаемого слоя, характерную для начального периода работы фильтров (Kasper G., Schollmeier S., Meyer J. [100]), или основаны на предположении о равномерном по поверхности элемента пористом слое оседаемых частиц (Кирш В.А. [20]). Вместе с тем, известно, что форма оседаемого слоя может значительно варьироваться в зависимости от механизма осаждения и в зависимости от гидродинамики течения в фильтре и параметров фазы частиц (число Пекле, число Стокса) (Kasper G., Schollmeier S., Meyer J. [100]).

В случае диффузионного осаждения дендриты образуются по всей поверхности волокна, а для механизма зацепления они располагаются на фронтальной поверхности волокна. В случае инерционного соударения частицы будут в основном оседать вблизи передней критической точки. Электростатические силы имеют тенденцию вызывать осаждение в любой точке на поверхности волокна, так же как для диффузионного осаждения (Oh Y.W., Jeon K.J., Jung A.I., Jung Y.W. [133]). В случае, когда диффузионное осаждение является доминирующим механизмом, частицы будут равномерно распределены вокруг волокна с относительно открытой структурой пор. При включении механизма зацепления основное распределение местоположения частиц останется тем же, но структура станет более открытой. Для больших чисел Стокса, когда инерционное осаждение является доминирующим, осаждение будет наблюдаться исключительно на передней части волокна, близко к критической точке. Численное моделирование формирования дендритов на волокнах проводилось в работах Li S.Q., Marshall J.S. [114], Przekop R., Moskal A., Gradon L. [142], Karadimos A., Ocone R. [98].

Одним из направлений исследований фильтрации газовзвесей является моделирование двухфазных течений в пористых структурах с пористыми элементами - волокнами или сферами или элементами с пористыми слоями.

Пористые волокна или сферы могут выступать отдельными элементами фильтра, а пористые слои моделируют возможное оседание частиц.

Большой цикл исследований, посвященный фильтрации аэрозолей пористыми волокнами, обобщен в докторской диссертации Кирша В.А. [20]. Численное моделирование осаждение субмикронных частиц в модели фильтра с волокнами, покрытыми пористым слоем проведено Киршем В.А. [107, 108]. В качестве результатов исследований Кирша В.А. можно принять вывод о возможности повышения эффективности диффузионного оседания при использовании пористых волокон.

Кроме исследования эффективности осаждения на элементах фильтра, представляет интерес также задача о движении и концентрации взвешенных частиц в окрестности цилиндрических волокон при изменении режима газодинамического течения и проявлении тепловых процессов. В работе Волкова А.М., Циркунова Ю.М. [4] исследуется влияние примеси на структуру следа за обтекаемым цилиндром, а в работах Моренко И.В., Федяева В.А. [29, 30] проведен анализ влияния частиц примеси на гидродинамику и теплоотдачу кругового цилиндра, обтекаемого вязкой жидкостью.

Одной из проблем фильтрации аэрозолей является возможное повреждение пористого слоя c образованием в нем отверстий различных размеров (Mouret G., Thomas D., Chazelet S., Appert-Collin J.-C., Berner D. [123]). Кроме того, при работе аэрозольных респираторов, представляющих собой пористые маски, возможно появление зазоров между лицом и маской во время дыхания человека Chen C.C., Willeke K. [69]. В результате характеристики фильтров и защитных масок будут меняться в связи с дополнительным движением аэрозоля через отверстия и зазоры вместо движения через пористую среду. Экспериментальные исследования проникновения наночастиц размера 4-30 нм через стекловолокнистые фильтры, перфорированные с определенным размером отверстий, проводились Mouret G., Thomas D., Chazelet S., Appert-Collin J.-C., Bemer D.

[123]. Получены зависимости изменения эффективности пористого слоя при появлении отверстий. Для теоретической оценки общей эффективности фильтрации поврежденных фильтров необходимо знать эффективность проникновения аэрозольных частиц через фильтрующий слой и отверстия в пористой среде. Существует много работ, посвященных движению газовзвесей в каналах с твердыми стенками (Gormley P.G., Kennedy M. [83], Davies C.N. [75], Ingham D.B. [94], Lee K.W., Gieseke J.A. [113], Clement C.F. [72], Alonso M., Alguacil F.J. [51], Alonso M., Alguacil F.J., Huang C.-H. [52] и другие).

В целом, задачи гидродинамики течений через комбинированные однородно-пористые среды наряду с фильтрацией аэрозолей имеют много других практических приложений. Остановимся на обзоре некоторых теоретических работ, где развиты математические модели течений через пористые тела.

Задача обтекания кругового пористого цилиндра в приближении стационарного потенциального течения несжимаемой жидкости решена в Baicorov (Wolfersdorf L. Von, Mönch W. [162], Wolfersdorf L. Von [161], Heier K., Wolfersdorf L. Von [90]).

Вязкое обтекание изолированных пористых цилиндра и сферы изучено в работах Masliyah J.H. , Polikar M. [118], Nandakumar K., Masliyah J.H. [126], Adler P.M. [50], Noymer P.D., Glicksman L.R., Devendran A. [130], Vanni M. [159], Vainshtein P., Shapiro M., Gutfinger C. [157, 158]. Поле течения описывается уравнением Дарси внутри пористых тел и уравнениями Стокса или Навье-Стокса вне пористого тела. В ряде работ модель Дарси в пористой области заменяется уравнением Бринкмана.

Краевая задача для уравнений вне и внутри пористого тела включает в себя условия на границе раздела пористое тело - однородная область. В зависимости от выбранных моделей течения в однородной и пористой областях рассматривается различное число граничных условий. Одним из распространенных условий наряду с равенством давлений и нормальных

скоростей выбирается условие, предложенное в работе Beavers G.S., Joseph D.D. [59]. Beavers and Joseph предположили, что нормальная производная скорости течения в однородной области линейно пропорциональна разности скоростей в однородной и пористой областях

где uf - скорость течения в однородной области, Um - скорость фильтрации,

которая измеряется на небольшом расстоянии за пределами границы, в предположении существования тонкого слоя только внутри пористой среды, в котором происходит непрерывный переход скоростей, к - проницаемость среды. Безразмерный коэффициент скольжения as зависит от вязкости

жидкости и геометрических свойств пористой среды. Вслед за Beavers G.S. , Joseph D.D. [59] различные модификации условий на границах в комбинированных однороднопористых средах предложены авторами Saffman P.G. [146], Jones I.P. [97], Neale G., Nader W. [127], Haber S., Mauri R. [86], K. Vafai, Thiyagaraja R. [155], Sahraoui M. , Kaviany M. [147], Ochoa-Tapia J.A., Whitaker S. [131, 132].

Вместе с раздельным решением уравнений течения в однородной и пористой областях используются также единые уравнения движения несущей фазы, а именно, уравнения Навье-Стокса с дополнительными слагаемыми Дарси и Форхгеймера, учитывающими сопротивление в пористой зоне ( Beckermann C., Viskanta R. [60], Vafai K., Kim S. [156], Basu A.J., Khalili A. [58], Bhattacharyya S. [62]).

В работах Berman A.S. [61], Yuan S.W., Finkelstein A.B. [174], Durlofski L., Brady J.F. [78] решались задачи о плоском и осесимметричном течении в каналах, имеющих пористые стенки. Подробный обзор математических моделей, связанных с ламинарным течением жидкости в канале с проницаемыми стенками дан Chatterjee S.G., Belfort G. [68].

(5)

В ряде работ были рассмотрены математические модели течения жидкости в трубах с пористыми стенками. Аналитические решения течения аэрозоля в каналах с впрыском и всасыванием через пористые стенки были получены Berman A.S. [61], Yuan S.W., Funkelstein A.B. [174], Karode S.K. [99], а также Munson-McGee S.H. [125]. Численные модели течения жидкости в пористых трубках были разработаны, например, Damak K., Ayadi A., Zeghmati B., Schmitz P. [73], Pak A., Mohammadi T., Hosseinalipour S.M., Allahdini V. [138].

Таким образом, в настоящее время остаются актуальными развитие математических моделей двухфазных течений в смешанных однородно-пористых областях применительно к фильтрации газовзвесей с учетом влияния пористости обтекаемого элемента фильтра на течение несущей среды и расчет на их основе интегральных характеристик фильтров с пористыми элементами и при наличии нарушения фильтровального слоя. Этому и посвящена настоящая диссертационная работа.

Целью работы является развитие математических моделей течения газовзвеси в областях с пористыми включениями применительно к задачам фильтрации аэрозолей, расчет интегральных характеристик (эффективности осаждения и пропуска) в зависимости от геометрических параметров и свойств несущей среды и дисперсной фазы.

Методом исследования является математическое моделирование движения газовзвеси с использованием аналитических и численных полей течений несущей среды. При предположении малых концентраций дисперсной фазы моделирование дисперсных воздушных течений сводится к решению задач о течении несущей среды и движении взвешенных частиц в найденном поле скоростей. Течение в однородной области описывается в приближении уравнений Навье-Стокса, осредненное течение в пористой области рассчитывается в приближении модели Дарси или уравнений Бринкмана. Для моделирования движения дисперсной фазы используются траекторный метод Лагранжа и эйлеровы уравнения переноса. Численная

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соловьева Ольга Викторовна, 2016 год

Литература

1. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен, Т.1. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

2. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

3. Беляев С.П. Корректирование ошибок отбора проб аэрозолей / С.П. Беляев, Л.М. Левин // Физика атмосферы и океана. - 1974. - Т. 10, № 5. - С. 512-518.

4. Волков А.Н. Влияние дисперсной примеси на структуру нестационарного двухфазного следа за поперечно обтекаепмым цилиндром при умеренных числах Рейнольдса / А.Н. Волков, Ю.М. Циркунов // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15, № 7. - С. 98-110.

5. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. - Л.: Гидро-метеоиздат, 1971. - 208 с.

6. Волощук В.М. Некоторые вопросы теории аспирации аэрозолей / В.М. Волощук, Л.М. Левин // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. - 1968.- Т. 4, № 4. - С. 426-443.

7. Григорьева О.В. Осаждение малых аэрозольных частиц на препятствиях простой формы / О.В. Григорьева, Ш.Х. Зарипов // Материалы докладов 1У-й молодежной международной научной конференции «Тинчуринские чтения», КГЭУ, Казань, т.2, - 2009.

8. Григорьева О.В. Моделирование осаждения малых аэрозольных частиц в упаковке цилиндров / О.В. Григорьева, Ш.Х. Зарипов // Тезисы докладов XIV международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: МЭИ, - 2010.

9. Григорьева О.В. Эффективность инерционного осаждения аэрозольных частиц при обтекании пористого цилиндра / О.В. Григорьева,

Ш.Х. Зарипов // Материалы докладов ХХ1У-ая научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» 20 - 24 сентября 2010 года, Одесса, Украина, - 2010.

10. Григорьева О.В. Инерционное осаждение аэрозольных частиц при обтекании пористого цилиндра / О.В. Григорьева, Ш.Х. Зарипов // Материалы докладов УП-й Международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли - 2010», Санкт-Петербург, -2010.

11. Григорьева О.В. Моделирование осаждения пылевых частиц при обтекании пористых тел // Материалы докладов научно-практической конференции студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города», Казань, 2010.

12. Григорьева О.В. Повышение эффективности осаждения частиц в волокнистых фильтрах // Материалы докладов У-й молодежной международной научной конференции «Тинчуринские чтения», КГЭУ, Казань, 2010.

13. Григорьева О.В. Инерционное осаждение взвешенных частиц при обтекании пористого цилиндра / О.В. Григорьева, Ш.Х. Зарипов // Известия вузов. Авиационная техника. - 2012. - № 1. - С. 17-20.

14. Григорьева О.В. Инерционное осаждение взвешенных частиц при обтекании ряда пористых цилиндров / О.В. Григорьева, Ш.Х. Зарипов, С.А. Соловьев // Девятые Петряновские чтения. Москва, 18 - 20 июня 2013 г.: Тезисы докладов. - М.: МГИУ. - 2013. - С. 37-39.

15. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. -Казань: Казанское математическое общество, 1998. - 154 с.

16. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979. -536 с.

17. Зарипов Ш.Х. Решение задачи Стокса в приближении бигармонического уравнения методом мультиквадратичных функций / Ш.Х. Зарипов, Р.Ф. Марданов // Обратные краевые задачи и их

приложения (ОКЗ и их приложения): материалы конференции (г. Казань, 20-24 октября, metricconverterProductID2014 г2014 г.) [Электронный ресурс]: (тексто-графические материалы). - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - 1 элек-трон. опт. диск (CD-ROM). (объем ЭИ: 51 Мб).

18. Ивлев Л.С. Физика атмосферных аэрозольных систем / Л.С. Ивлев, Ю.А. Довгалюк. - СПБ.: НИИХ СПбГУ, 1999. - 258 с.

19. Кирш В.А. Моделирование аэрозольных волокнистых фильтров при накоплении частиц: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 00.02.04 / Кирш Василий Александрович. - М., 2001.

20. Кирш В.А. Фильтрация субмикронных аэрозолей волокнистыми фильтрами: дисс. ... д-ра. физ.-мат. наук: 00.02.04 / Кирш Василий Александрович. - М., 2012.

21. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика, Часть 1 / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М.: Технико-теоретическая лит., 1955. -560 с.

22. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика, Часть 2 (4-е издание) / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М.: Физматлит, 1963. - 727 с.

23. Ламб Г. Гидродинамика. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 928 с.

24. Левин Л.М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей. - М.: АН СССР, 1961. - 268 с.

25. Леонтьев Н.Е. Основы теории фильтрации: учебное пособие. - М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2009. - 88 с.

26. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа (6-е издание). - М.: Наука, 1987, - 840 с.

27. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. - М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

28. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. - М: Изд. Мир,1964.

29. Моренко И.В. О влиянии частиц примеси на сопротивление и теплоотдачу кругового цилиндра, обтекаемого вязкой жидкостью / И.В. Моренко, В.Л. Федяев // Вестник технологического университета. - 2014. - Т. 17, № 6. - С. 120-125.

30. Моренко И.В. Гидродинамика и теплообмен кругового цилиндра в ограниченном ламинарном потоке вязкой жидкости с частицами примеси / И.В. Моренко, В.Л. Федяев // Теоретические основы химической технологии. - 2015. - Т. 49, № 6. - С. 708-720.

31. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1,11. - М.: Наука, 1987. - 824 с.

32. Петрянов-Соколов И.В. Избранные труды: к 100-летию со дня рождения / И.В. Петрянов-Соколов; [отв. ред. А.К. Будыка, Б.И. Огородников]; Науч. Совет Программы фундамент. Исслед. Президиума РАН «Изд. тр. Выдающихся ученых»; ГНЦ РФ. ФГУП «Науч. Исслед. Физ. - хим. ин-т им. Л.Я. Карпова». - М.: Наука, 2007. -453 с.

33. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. - М.: Мир, 1975. стр. 108109.

34. Райст П. Аэрозоли. Введение в теорию. - М.: Мир, 1987. - 278 с.

35. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 616 с.

36. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. - М.: Наука, 1983. - 528 с.

37. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. - М.: Наука, 1973. - 584с.

38. Соловьева О.В. Движение аэрозольных частиц в канале внутри пористой среды / О.В. Соловьева, Ш.Х. Зарипов, Э.В. Скворцов // Труды Второй Всероссийской научной конференции с международным участием «Окружающая среда и устойчивое развитие регионов». Том I: Теория и методы изучения и охраны окружающей среды. Экологические основы природопользования. - 2013.

39. Соловьева О.В. Осаждение взвешенных частиц в канале внутри пористой среды / О.В. Соловьева, Ш.Х. Зарипов, Э.В. Скворцов //

Обратные краевые задачи и их приложения (ОКЗ и их приложения): материалы конференции (г. Казань, 20-24 октября, 2014 г.) [Электронный ресурс]: (тексто-графические материалы). - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). (объем ЭИ: 51 Мб)

40. Соловьева О.В. Осаждение аэрозольных частиц в канале внутри пористой среды / О.В. Соловьева, Ш.Х. Зарипов, Э.В. Скворцов // Десятые Петряновские и Первые Фуксовские Чтения. НИФХИ им. Л.Я. Карпова, Москва, 2015 г. Тезисы докладов. - М.: МГИУ. - 2015. - C. 115-116.

41. Соловьева О.В. Инерционное осаждение аэрозольных частиц при обтекании периодического ряда пористых цилиндров // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20-24 августа 2015 г.: материалы конференции [Электронный ресурс]. - 2015. - С. 3569-3570.

42. Соловьева О.В. Течение газовзвеси в периодическом ряду цилиндров: расчет полей концентраций частиц / О.В. Соловьева // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физ-мат. науки. - 2015. - Т. 157, Кн. 4. -С.149-157.

43. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. - М.: Мир, 1971. - 536 с.

44. Филиппов А.Н. Течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале с покрытым пористым слоем поверхностью / А.Н. Филиппов, Д.Ю. Ханукаева, В.В. Калинин // Труды РГУ Нефти и Газа имени И.М. Губкина. - 2012. - Т. 268, № 3.

45. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. - М.: Изд-во АН СССР, 1955. - 351 с.

46. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. - М.: АН СССР, 1958. - 92 с.

47. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. Перевод с англ. / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М.: Мир, 1976. - 630 с.

48. Черный Г.Г. Газовая динамика. - М.: Наука, 1988. - 424 с.

49. Яламов Ю.И. Динамика капель в неоднородных вязких средах / Ю.И. Яламов, В.С. Галоян. - Ереван: Луйс, 1985. - 207 с.

50. Adler P.M. Porous Media: Geometry and Transports. - Stoneham, MA: Butterworth-Heinemann, 1992.

51. Alonso M. Penetration of aerosol undergoing combined electrostatic dispersion and diffusion in a cylindrical tube / M. Alonso, F.J. Alguacil // J. Aerosol. Sci. - 2007. - Vol. 38. - P. 481-493.

52. Alonso M. Analytical approximation to the fully developed concentration profile of diffusive aerosol particles in laminar flow in a circular tube./ M. Alonso, F.J. Alguacil, C. Huang, // Journal of Aerosol Science. - 2010. -Vol. 41. - P. 413-417.

53. Asgharian B. The filtration of fibrous aerosol / B. Asgharian, Y.S. Chenh // Aerosol Sci Tech. - 2002. - Vol. 36. - P. 10-17.

54. Araujo A.D. Critical role of gravity in filters / A.D. Araujo, J.S. Andrade, H.J. Herrmann // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 97, 138001. - P. 14.

55. Auriault J.L. About the Beavers and Joseph boundary condition // Transp. Porous Media. - 2010. - Vol. 83. - P. 257-266.

56. Banks D.O. Inertial Efficiency of Cylindrical Collectors at an Angle to the Mean Direction of Flow / D. O. Banks & G. J. Kurowski // Aerosol Science and Technology. - 1990. - Vol. 12 (2). - P. 312-318.

57. Basset A.B. On the motion of a sphere in a viscous liquid // Phil.Trans.Roy.

- 1888. - Vol. A179. - P. 43-69.

58. Basu A.J. Computation of flow through a fluid-sediment interface in a benthic chamber / A.J. Basu, A. Khalili // Phys. Fluids. - 1999. - Vol. 11 (6). - P. 1395-1405.

59. Beavers G.S. Boundary condition at a naturally permeable wall / G.S. Beavers, D.D. Joseph // Journal of Fluid Mechanics. - 1967. - Vol. 30.

- P. 197-207.

60. Beckermann C. Double diffusive convection during dendritic solidification of a binary mixture / C. Beckermann, R. Viskanta // Physicochemical Hydrodynamics. - 1988. - Vol. 10. - P. 195-213.

61. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls // J. Appl. Phys. -1953. - Vol. 24 (9). - P. 1232-1235.

62. Bhattacharyya S. Fluid motion around and through a porous cylinder / S. Bhattacharyya, S. Dhinakazan, A. Khalili // Chemical Engineering Science, - 2006. - Vol. 61. - P. 4451-4461.

63. Boskovic L. Filter efficiency as a function of nanoparticle velocity and shape / L. Boskovic, I.E. Agranovski, I.S. Altman, R.D. Braddock // Journal of Aerosol Science. - 2008. - Vol. 39. - P. 635-644.

64. Brown R.C. Air filtration. An integrated approach theory and applications of fibrous filters. - Oxford: Pergamon Press, 1993.

65. Chandesris M. Boundary conditions at a planar fluid-porous interface for a Poiseuille flow / M. Chandesris, D. Jamet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2006. - Vol. 49. - P. 2137-2150.

66. Chantasiriwan S. Cartesian grid methods using radial basis functions for solving Poisson, Helmholtz, and diffusion-convection equations // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2004. - Vol. 28. - P. 1417-1425.

67. Chantasiriwan S. Solutions to harmonic and biharmonic problems with discontinuous boundary conditions by collocation methods using multiquadrics as basis functions // International Communications in Heat and Mass Transfer. - 2007. - Vol. 34. - P. 313-320.

68. Chatterjee S.G. Fluid flow in idealised spiral wound membrane module / S.G. Chatterjee, G. Belfort // Journal of Membrane Science. - 1986. - Vol. 28. - P. 191-200.

69. Chen C.C. Characteristics of face seal leakage in filtering facepieces / C.C. Chen, K. Willeke // Adv. Ind. Environ. Hyg. - 1992. - Vol. 53 (9). - P. 533-539.

70. Chernyakov A.L. Efficiency of inertial deposition of aerosol particles in fibrous filters with regard to particle rebounds from fibers /

A.L. Chernyakov, A.A. Kirsh, V.A. Kirsh, // Colloid Journal. - 2011. - Vol. 73 (3). - P. 389-393.

71. Choo C.-U. Analysis of transient behavior of deep bed filtration / C.-U. Choo, C. Tien // J. Colloid Interface Sci. - 1995. - Vol. 169 (1). - P. 1333.

72. Clement C.F. Aerosol penetration through capillaries and leaks: Theory // J. of Aerosol Science. - 1995. - V. 26 (3). - P. 369-385.

73. Damak K. A new Navier-Stokes and Darcy's law combined model for fluid flow in crossflow filtration tubular membranes / K. Damak, A. Ayadi,

B. Zeghmati, P. Schmitz, // Desalination. - 2004. - Vol. 161. - P. 67-77.

74. Davies C.N. Aerosol Science. - N-Y: Academic Press, 1966.

75. Davies C.N. Diffusion and sedimentation of aerosol particles from Poiseuille flow in pipes // J. Aerosol Sci. - 1973. - Vol. 4. - P. 317-328.

76. Dunnett S.J. A numerical model of fibrous filters containing deposit / S.J. Dunnett, C.F. Clement // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2009. - Vol. 33. - P. 601-610.

77. Dunnett S.J. A numerical study of the effects of loading from diffusive deposition on the efficiency of fibrous filters / S.J. Dunnett, C.F. Clement // J. Aerosol Science. - 2006. - V. 37. - P. 1116-1139.

78. Durlofski L. Analysis of the Brinkman equation as a model for flow in porous media / L. Durlofski, J.F. Brady // Physics of Fluids. - 1987. - Vol. 30. - P. 3329-3341.

79. Filippova O. Lattice-Boltzmann simulation of gas-particle flow in filters / O. Filippova, D. Hanel // Computers and Fluids. - 1997. - Vol. 26 (7). - P. 697-712.

80. Friedlander S.K. Smoke Dust and Haze: Fundamentals of Aerosol Behavior. - N-Y: Wiley, 1977.

81. Friedlander S.K. Smoke, Dust, and Haze Fundamentals of Aerosol Dynamics. - Oxford: University Press, 2000. 432 p.

82. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Communications of the ACM. - 1971. - Vol. 14(3). - P. 176-179.

83. Gormley P.G. Diffusion from a stream flowing trhough a cylindrical tube / P.G. Gormley, M. Kennedy // Proceedings of the Royal Irish Academy. -1949. - Vol. 52A. - P. 163-169.

84. Grigorieva O.V. The efficiency of inertial deposition of suspended particles in the flow around a porous cylinder / S.K. Zaripov, E.A. Kosterina, E.V. Skvortsov // Abstracts of International conference on the methods of aerophysical research, August 19 - 25, 2012, Kazan, Russia, Part I.

85. Grigorieva O.V. Inertial deposition of aerosol particles on a porous cylinder / O.V. Grigoryeva, S.K. Zaripov // European Aerosol Conference -2012, Granada, 2-7 Sept., 2012. Abstracts [Electronic resource]. - 2012. - 1 USB flash. - C-WG10S1P21.

86. Haber S. Boundary conditions for Darcy's flow through porous medium / S. Haber, R. Mauri // Int. J. Multiphase Flow. - 1983. - Vol. 9 (5). - P. 561574.

87. Han T. Aerosol deposition on electroformed wire screens / T. Han, J.S. Haglund, S. Hari, R. McFarland // Aerosol Science and Technology. -2009. - Vol. 43. - P. 112-119.

88. Happel J. Low Reynolds Number Hydrodynamics with Special Application to Particulate Media / J. Happel, H. Brenner // - Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965.

89. Healy D. B. Full Lagrangian methods for calculating particle concentration fields in dilute gas-particle flows / D. P. Healy, J.B. Young // Proc. R. Soc. A. - 2005. - Vol. 461. - P. 2197-2225.

90. Heier K. Numerical evaluation of potential flow past a circular cylinder with porous surface / K. Heier, L. Von Wolfersdorf // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1990. - Vol. 70. - P. 65-66.

91. Hinds W.C. Aerosol Technology: Properties, Behaviour, and Measurement of Airborne Particles. - New-York: John Wiley & Sons Inc., 1999.

92. Hosseini S.A. Modeling particle filtration in disordered 2-D domains: a comparison with cell models / S.A. Hosseini, H.V. Tafreshi, // Separation and Purification Technology. - 2010. - Vol. 74. - P. 160-169.

93. Ilias S. Inertial Impaction of Aerosol Particles on Cylinders at Intermediate and High Reynolds Numbers / S. Ilias, P.L. Douglas // Chem. Engng. Sci., -1989. - Vol. 44. - P. 81-99.

94. Ingham D.B. Diffusion of aerosols from a stream flowing through a cylindrical tube // J. Aerosol Sci. - 1975. - Vol. 6. - P. 125-132.

95. Israel R. Use of a generalized Stokes number to determine the aerodynamic capture efficiency of non-stokesian particles from a compressible gas flow / R. Israel, D.E. Rosner // Aerosol Sci. Technol. - 1983. - Vol. 9. - P. 29-60.

96. Jaganathan S. A realistic approach for modelling permeability of fibrous media: 3-D imaging coupled with CFD simulation / S. Jaganathan, H.V. Tafreshi, B. Pourdeyhimi // Chemical Engineering and Technology. -2008. - Vol. 63. - P. 244-252.

97. Jones I.P. Low Reynolds Number Flow Past a Porous Spherical Shell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1973. - Vol. 73. - P. 231-238.

98. Karadimos A. The effect of the flow field recalculation on fibrous filter loading: a numerical simulation / A. Karadimos, R. Ocone // Powder Technology. - 2003. - Vol. 137. - P. 109-119.

99. Karode S.K. Laminar flow in channels porous walls // J. Membr. Sci. -2001. - Vol. 191. - P. 237-241.

100. Kasper G. Structure and density of deposits formed on filter fibers by inertial particle deposition and bounce / G. Kasper, S. Schollmeier, J. Meyer // Journal of Aerosol Science. - 2010. - Vol. 41. - P. 1167-1182.

101. Kirsch A.A. The fluid flow in a system of parallel cylinders perpendicular to the flow direction at small Reynolds number / Kirsch, A.A. and Fuchs, N.A.

// Journal of the Physical Society of Japan. - 1967. - Vol. 22 (5). - P. 12511255.

102. Kirsh A.A., Stechkina I.B. The theory of aerosol filtration with fibrous filters, in "Fundamentals of Aerosol Science" / A.A. Kirsh, I.B. Stechkina, Ed. Shaw D.T.. - N.-Y.: Wiley-Interscience, 1978. - P. 165-256.

103. Kirsch V.A. Aerosol filters with porous fibers. Deposition of inertialess particles // The Journal of the filtration Society. Colloid Journal. - 1997. -Vol. 59 (2). - P. 287-288.

104. Kirsch V.A. Diffusional deposition of heavy submicron aerosol particles on fibrous filters // Colloid Journal. - 2005. - Vol. 67 (3). - P. 313-317.

105. Kirsh V.A. Stokes flow in periodic systems of parallel cylinders with porous permeable shells // Colloid Journal. - 2006. - Vol. 68 (2). - P. 173-181.

106. Kirsch V.A. Stokes flow past periodic rows of porous cylinders // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. - 2006. - Vol. 40 (5). -P. 465-471.

107. Kirsh V.A. Deposition of aerosol nanoparticles in filters composed of fibres with porous shells // Colloid Journal. - 2007. - Vol. 69 (5). - P. 655-660.

108. Kirsh V.A. Diffusional deposition of nanoparticles in 3D model fibre filter // Russian Journal of Physical Chemistry A. - 2011. - Vol. 85 (11). - P. 20892093.

109. Kuo Y.-M. Filtration and loading characteristics of granular bed filters / Y.-M. Kuo, S.-H. Huang, W.-Y. Lin, M.-F. Hsiao, C.-C. Chen // Journal of Aerosol Science. - 2010. - Vol. 41. - P. 223-229.

110. Kuwabara S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at small Reynolds numbers // Journal of Physical Society of Japan. - 1959. - Vol. 14 (4) - P. 527-532.

111. Kwon S.B. Analytical solutions to diffusional deposition of poly disperse aerosols in fibrous filters / S.B. Kwon, H.T. Kim, K.W. Lee // Aerosol Science and Technology. - 2002. - Vol. 36 (6). - P. 742-747.

112. Landau L.D. Fluid Mechanics / L.D. Landau, E.M. Lifshitz. - Oxford: Pergamon, 1987.

113. Lee K.W. Simplified calculation of aerosol penetration through channels and tubes / K.W. Lee, J.A. Gieseke // Atmos. Environ. - 1980. - Vol. 14. - P. 1089-1094.

114. Li S.Q. Discrete element simulation of micro-particle deposition on a cylindrical fiber in an array / S.Q. Li, J.S. Marshall // Journal of Aerosol Science. - 2007. - Vol. 38. - P. 1031-1046.

115. Liu B.Y. Respirator leak detection by ultrafine aerosols: a predictive model and experimental study / B.Y. Liu, J. Lee, H. Mullinsb, S. Danisch // Aerosol Sci. Technol. - 1993. - Vol. 19 (1). - P. 15-26.

116. Liu G.Z. Pressure drop and interception efficiency of multifibre filters / G.Z. Liu,P.K. Wang // Aerosol Science and Technology. - 1997. - Vol. 26 (4). - P. 313-325.

117. Lushnikov A.A. Fomation of aerosols in the atmosphere in The Atmosphere and Ionosphere: Dynamics, Processes and Monitoring (Physics of Earth and Space Environments) / A.A. Lushnikov, V.A. Zagaynov, Yu. S. Lyubovtseva. Springer, 2010. - pp. 69-96.

118. Masliyah J.H. Terminal velocity of porous spheres / J.H. Masliyah, M. Polikar // Canadian Journal of Chemical Engineering. - 1980. - Vol. 58. - P. 299-302.

119. Maxey M.R. Equation of motion for a small rigid sphere in a nonuniform flow / M.R. Maxey, J.J. Riley // Phys. of Fluids. - 1983. - Vol. 26. - P. 883889.

120. May K. The impaction of aerosol particles on cylinders, spheres, ribbons and disks / K. May, R. Clifford // Ann. Occup. Hyg. - 1967. - Vol. 10. - P. 8395.

121. Maze B. A simulation of unsteadystate filtration via nanofiber media at reduced operating pressures / B. Maze, H.V. Tafreshi, Q. Wang,

B. Pourdeyhimi // Journal of Aerosol Science. - 2007. - Vol. 38. - P. 550571.

122. Mosina E.A. Slip condition on the surface of a model fibrous porous medium / E.A. Mosina, I.V. Chernyshev // Tech. Phys. Lett. - 2009. - Vol. 35 (3). - P. 245-248.

123. Mouret G. Penetration of nanoparticles through fibrous filters perforated with defined pinholes / G. Mouret, D. Thomas, S. Chazelet, J-C. Appert-Collin, D. Bemer // J. of Aerosol Science. - 2009. - Vol. 40 (9). - P. 762775.

124. Müller T. Low Reynolds number drag and particle collision efficiency of a cylindrical fiber within a parallel array / T. Müller, J. Meyer, G. Kasper // J. of Aerosol Sci. - 2014. - Vol. 77. - P. 50-66.

125. Munson-McGee S.H. An approximate analytical solution for the fluid dynamics of laminar flow in a porous tube // J. Membr. Sci. - 2002. - Vol. 197. - P. 230-233.

126. Nandakumar K. Laminar flow past a permeable sphere / K. Nandakumar, J.H. Masliyah // Canadian Journal of Chemical Engineering. - 1982. - Vol. 60. - P. 202-211.

127. Neale G. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's Law: coupled parallel flows within a channel and a bounding porous medium / G. Neale, W. Nader // Canadian Journal of Chemical Engineering. - 1974. -Vol. 52. - P. 475-478.

128. Nguyen X. Single fibre capture efficiency of aerosol particles in real and model filters in the inertial interception domain / X. Nguyen, J.M. Beeckmans // J. Aerosol. Sci. - 1975. - Vol. 6. - P. 205.

129. Nield D.A. Convection in porous media / D.A. Nield, A. Bejan. - New York: Springer, 1992.

130. Noymer P.D. Drag on a permeable cylinder in steady flow at moderate Reynolds numbers / P.D. Noymer, L.R. Glicksman, A. Devendran // Chemical Engineering Science. - 1998. - Vol. 53 (16). - P. 2859-2869.

131. Ochoa-Tapia J.A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid-1. Theoretical development / J.A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // International Journal of Heat and Mass Transfer. -1995. - Vol. 38 (14). - P. 2635-2646.

132. Ochoa-Tapia J.A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid-II. Comparison with experiment / J.A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38 (14). - P. 2647-2655.

133. Oh Y.W. A simulation study on the collection of submicron particles in a unipolar charged fibre / Y.W. Oh, K.J. Jeon, A.I. Jung, Y.W. Jung // Aerosol Science and Technology. - 2002. - Vol. 36. - P. 573-582.

134. Osiptsov A.N. Mathematical modeling of dusty-gas boundary layers // Appl.Mech.Rev. - 1997. - Vol. 50 (6). - P. 357-370.

135. Osiptsov A.N. Modified Lagrangian method for calculating the particle concentration in dusty-gas flows with intersecting particles trajectories // Proc. 3d Int. Conf. Multiphase Flow, ICMF'98, Lyon, France. - 1998. - P. 236.

136. Osiptsov A.N. Lagrangian modeling of dust admixture in gas flows // Astrophys. Space Sci. - 2000. - Vol. 274. - P. 377-386.

137. Oseen C.W. Hydromechanik, Akademische Verlagsgem. - Leipzig, 1927.

138. Pak A. CFD modeling of porous membranes / A. Pak, T. Mohammadi, S.M. Hosseinalipour, V. Allahdini // Desalination. - 2008. - Vol. 222. - P. 482-488.

139. Podgorski A. Novel formulae for deposition efficiency of electrically neutral, submicron aerosol particles in bipolarly charged fibrous filters derived using Brownian dynamics approach / A. Podgorski, A. Balazy // Aerosol Science and Technology. - 2008. - Vol. 42 (2). - P. 123-133.

140. Podgorski A. Estimation of the upper limit of aerosol nanoparticles penetration through inhomogeneous fibrous filters // Journal of Nanoparticle Research. - 2009. - Vol. 11. - P. 197-207.

141. Podgorski A. Penetration of monodisperse, singly charged nanoparticles through polydisperse filters / A. Podgorski, A. Maisser, S.W. Wladyslaw // Aerosol Science and Technology. - 2011. - Vol. 45 (2). - P. 215-233.

142. Przekop R. Lattice-Boltzmann approach for description of the structure of deposited particulate matter in fibrous filters / R. Przekop, A. Moskal, L. Gradon // Journal of Aerosol Science. - 2003. - Vol. 34. - P. 133-147.

143. Qian F. Effects of the operating conditions and geometry parameter on the filtration performance of a fibrous filter / F. Qian, J. Zhang, Z. Huang // Chemical Engineering and Technology. - 2009. - Vol. 32 (5). - P. 789-797.

144. Raynor P.C. Single-fiber interception efficiency for elliptical fibers // Aerosol Science and Technology. - 2008. - Vol. 42 (5). - P. 347-368.

145. Romay F.J. Experimental study of electrostatic capture mechanisms in commercial electret filters / F.J. Romay, B.Y.H. Liu, S.J. Chae // Aerosol Science and Technology. - 1998. - Vol. 28 (3). - P. 224-234.

146. Saffman P.G. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Studies in Applied Mathematics. - 1971. - Vol. 1. - P. 93-101.

147. Sahraoui M. Slip and no-slip velocity boundary conditions at inter face of porous, plain media / M. Sahraoui, M. Kaviany // Int. J. Heat Mass Transf. -1992. - Vol. 35 (4). - P. 927-943.

148. Sinclair D. Penetration of hepa filters by submicron aerosols // Journal of Aerosol Science. - 1976. - Vol. 7 (2). - P. 175-179.

149. Stechkina I.B. Studies in fibrous aerosol filters - I. Calculation of diffusional deposition of aerosols in fibrous filters / I.B. Stechkina, N.A. Fuchs // Annals of Occupational Hygiene. - 1966. - Vol. 9. - P. 59-64.

150. Stechkina I.B. Drag of porous cylinders in a viscous fluid at low Reynolds numbers // Fluid Dyn. - 1979. - Vol. 14(6). - P. 912-915.

151. Tarasova N.V. Full Lagrangian approach for numerical modelling of collisionless particle-phase flow field in the non-isothermal two-phase boundary layer / N.V. Tarasova, Yu.M. Tsirkunov // Proc. 4th Summer Conf. "Numerical Modellimg in Continuum Mechanics" 31 July - 4 August,

2000, Prague, Czech (Republic, Eds.: M. Feistauer, R. Rannacher and K. Kozel). - MATFYZPRESS, 2001. - P. 283-294.

152. Tien C.V. Granular Filtration of Aerosols and Hydrosols / C.V. Tien, B.V. Ramarao. - New York: Elsevier, 2007.

153. Timashev S.F. Flicker Noise Spectroscopy in an Analysis of the Dynamics of Atmospheric Aerosol / S.F. Timashev, V.A. Zagaynov, A.A. Lushnikov, Yu.G. Biryukov, I.E. Agranovskii, E.M. Lamukhin // Russian Journal of Physical Chemistry A. - 2008. - Vol. 82, No. 10. - P. 1756-1768.

154. Tsirkunov Yu.M. Full Lagrangian approach to the calculation of dilute dispersed phase flows: advantages and applications / Yu.M. Tsirkunov, A.N. Volkov, N.V. Tarasova // Proc. ASME FEDSM'2002. paper No. 31224, 14 p.

155. Vafai K. Analysis of flow and heat transfer at the interface region of a porous medium / K. Vafai, R. Thiyagaraja // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1987. - Vol. 30. - P. 1391-1405.

156. Vafai K. Forced convection in a channel filled with porous medium: an exact solution / K. Vafai, S. Kim // ASME Journal of Heat Transfer. - 1989. - Vol. 111 (4). - P. 1103-1106.

157. Vainshtein P. Creeping flow past and within a permeable spheroid / P. Vainshtein, M. Shapiro, C. Gutfinger // International Journal of Multiphase Flow. - 2002. - Vol. 28 (12). - P. 1945-1963.

158. Vainshtein P. Mobility of permeable aggregates: effects of shape and porosity / P. Vainshtein, M. Shapiro, C. Gutfinger // Journal of Aerosol Science - 2004. - Vol. 35 (3). - P. 383-404.

159. Vanni M. Creeping flow over spherical permeable aggregates // Chemical Engineering Science. - 2000. - Vol. 55 (3). - P. 685-698.

160. Vincent J.H. Aerosol sampling: science and practice. - London: Wiley and Sons, 1989. - 416 p.

161. Von Wolfersdorf L. Potential flow past a circular cylinder with porous surface // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1988. -Vol. 68. - P. 11-19.

162. Von Wolfersdorf L. Potential flow past a porous circular cylinder / L. Von Wolfersdorf, W. Mönch // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. - 2000. - Vol. 80. - P. 457-471.

163. Wang H.C. Theoretical adhesion efficiency for particles impacting a cylinder at high Reynolds number // J. Aerosol Sci. - 1986. - Vol. 17. - P. 827-837.

164. Wang C.S. Electrostatic forces in fibrous filters - a review // Powder Technology. - 2001. - Vol. 118. - P. 166-170.

165. Wang Q. A case study of simulating submicron aerosol filtration via lightweight spun-bonded filter media / Q. Wang, B. Maze, H.V. Tafreshi, B. Pourdeyhimi // Chemical Engineering Science. - 2006. - Vol. 61. - P. 4871-4883.

166. Wang J. Filtration of aerosol particles by elliptical fibers: a numerical study / J. Wang, D.Y.H. Pui // Journal of Nanoparticle Research. - 2009. - Vol. 11.

- P. 185-196.

167. Wessel R.A. Generalized correlations for inertial impaction of particles on a circular cylinder / R.A. Wessel, J. Righi // Aerosol Science and Technology.

- 1988. - Vol. 9. - P. 29-60.

168. Williams M.M.R. Particle deposition and resuspension. Aerosol Science: Theory and Practice, Chapter 7. / M.M.R. Williams, S.K. Loyalka. - Oxford: Pergamon, 1991. - P. 326-374.

169. Wong J.B. Inertial impaction of aerosol particles on cylinders / J.B. Wong, W.E. Ranz, H.F. Johnstone // Journal of Applied Physics. - 1955. - Vol. 2. -P. 26.

170. Yamada S. Influence of filter inhomogeneity on air filtration of nanoparticles / S. Yamada, S. Takafumi, O. Yoshio // Aerosol and Air Quality Research. - 2011. - Vol. 11. - P. 155-160.

171. Young D. Solutions of 2d and 3d stokes laws using multiquadrics method /

D. Young, S. Jane, C. Lin, C. Chiu, K. Chen // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2004. - Vol. 28(10). - P. 1233-1243.

172. Yu P. A numerical method for flows in porous and homogenous fluid domains coupled at the interface by stress jump / P. Yu, T.S. Lee, Y. Zeng, H.T. Low // International journal for numerical methods in fluids. - 2007. -Vol. 53, I. 11. - P. 1755-1775.

173. Yu P. Wake structure for flow past and through a porous square cylinder / P. Yu, Y. Zeng, T.S. Lee, H.X. Bai, H.T. Low // Int. J. of Heat and Fluid Flow. - 2010. - Vol. 31. - P. 141-153.

174. Yuan S.W. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall / S.W. Yuan, A.B. Funkelstein // Trans. ASME. - 1956. - Vol. 78. - P. 719-724.

175. Zagaynov V. A. The inverse problem and aerosol measurements, in Aerosols -Science and Technology, ed. by Igor Agranovski. Wiley-VCH Verlag GmbH and Co.KGaA, 2010. - pp.241-272.

176. Zaripov S.K. Efficiency of inertial capture of aerosol particles by porous fiber in cylinder array / S.K. Zaripov, O.V. Grigorieva, S.A. Soloviev // European Aerosol Conference - 2013. 1-5 Sept., 2013, Prague, Czech Republic. Abstracts [Electronic resource]. - 2013. - 1 USB flash. - B125.

177. Zaripov S.K. Analytical Model of the Transport of Aerosol Particles in a Circular Hole Inside a Porous Medium / S.K. Zaripov, O.V. Soloveva,

E.V. Skvortsov // Transport in Porous Media. - 2015. - Vol. 107 (1). - P. 141-151.

178. Zaripov S.K. Inertial Deposition of Aerosol Particles in a Periodic Row of Porous Cylinders / S.K. Zaripov, O.V. Solov'eva, S.A. Solov'ev // Aerosol Science and Technology. - 2015. - Vol. 49 (6). - P. 400-408.

179. Zhu C. Inertial impaction-dominated fibrous filtration with rectangular or cylindrical fibers / C. Zhu, C.H. Lin, C.S. Cheung // Powder Technology. -2000. - Vol. 112. - P. 149-162.