Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Плиев, Марат Амурханович

• Плиев, Марат Амурханович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах»

К традиционным методам функционального анализа относится построение аналитических представлений различных абстрактных пространств (векторных решеток, нормированных алгебр и др.) и действующих в них операторов (линейных, нелинейных, монотонных и т.п.). Это обусловлено прежде всего тем, что наличие у объекта того или иного аналитического представления значительно облегчает работу с ним. Например, вместо списка абстрактных свойств оператора мы получаем его выражение в виде конкретной формулы, в которую автоматически заложены все эти свойства. (Такой формой может быть матрица, интеграл с ядром и т.п.).

§1. История вопроса

0.1.1. Функциональный анализ, зародившийся в конце 19, начале 20 века, как синтетическая дисциплина, объединяющая принципы алгебры, геометрии и анализа, получил свое название из-за простейшего оператора — функционала. Именно функционалы и операторы, а также различные пространства, составленные из них, стали основным объектом исследований в этой новой дисциплине. Ясно, что поэтому поиск общей формы различных классов линейных и нелинейных операторов является всегда важной и актуальной задачей анализа. Эта задача привлекала математиков в начале двадцатого столетия — на заре становления функционального анализа, и сейчас ею занимаются крупные и известные ученые. Это направление начинается с основополагающих работ Ф. Рисса, М. Фреше, Г. Штейнгауза. изучавших линейные непрерывные функционалы в классических банаховых пространствах. Поиску аналитического представления линейных операторов со значениями в банаховых пространствах начинается в 1930-х годах с работ И.М. Гельфанда, Н. Дан-форда, С. Бохнера, Б. Петтиса и других. С именем Л. В. Канторовича связано фундаментальное понятие частично упорядоченного векторного пространства. Л. В. Канторович и его ученики развили функциональный анализ в этих пространствах. Одним из важных вопросов, рассматриваемых в рамках этой идеологии, также было аналитическое представление операторов и функционалов, действующих в этих пространствах. Примером такого представления является, например, спектральная теорема, описывающая строение нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

0.1.2. Для приложений большое значение имеет возможность представить оператор в виде некоторого интеграла от параметра. Важность такого представления обусловлена тем, что интегральный оператор во многих классических пространствах обладает хорошими свойствами: непрерывностью, компактностью и др. Возникающие же в приложениях дифференциальные уравнения при некоторых условиях могут быть сведены к интегральным и ввиду хороших свойств интегрального оператора облегчается изучение исходного оператора. В 1935 году Джон фон Нейман поставил проблему характеризации линейного оператора в Ъч. Эта проблема была решена в 1974 году советским математиком А. В. Бухва-ловым на основе исчисления порядково ограниченных линейных операторов в векторных решетках. Независимое доказательство этого же результата было представлено также нидерландским математиком А. Ше-пом. Для решения этой задачи в более общих пространствах измеримых вектор-функций потребовались более изощренные средства — методы теории мажорируемых операторов. Это проблему решил в 1987 году советский математик А. Г. Кусраев. Для нелинейных операторов аналогичные исследования появились позже. Лишь в конце 60-х годов польскими математиками Л. Дреновским и В. Орличем были указаны условия интегрального представления для нелинейных, ортогонально-аддитивных функционалов, определенных на идеалах пространства измеримых, почти всюду конечных функций. Для распространения этого результата на операторы вновь оказалась плодотворной техника векторных решеток. Для широкого класса нелинейных операторов удалось построить порядковое исчисление, аналогичное линейному случаю. Развивая идеи А. В. Бухвалова, испанский математик Сегура де Леон в [96] получил критерий интегрального представления для нелинейных ортогонально аддитивных операторов вида Т : Е —> F, где Е и ^ — порядковые идеалы в пространстве измеримых почти всюду конечных функций.

0.1.3. В настоящее время в вопросах представления операторов со значениями в абстрактных пространствах выделяются два направления. Первое направление — изучение операторов со значениями в нормированных пространствах. Второе направление — изучение операторов со значениями в К-пространствах. Синтез идей и методов этих двух направлений приводит к новым возможностям. Технически это осуществляется с помощью теории решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов. В основе понятия мажорируемого (доминиро-ванного) оператора лежит простая идея, восходящая, по крайней мере, к методу мажорант Коши. Грубо говоря, ее можно выразить следующим образом. Если рассматриваемый оператор (уравнение) мажорируется другим оператором (уравнением), называемым мажорантой или доминантой, то свойства последнего существенно влияют на свойства первого. Таким образом, оператор (или уравнение) с "хорошей" мажорантой должен обладать "хорошими" свойствами. Математический аппарат в рамках которого идея мажорирования принимает законченную и естественную форму, был предложен Л. В. Канторовичем в 1935 - б г., который ввел фундаментальные понятия векторного пространства, нормированного элементами векторной решетки, и линейного оператора в таких пространствах, мажорируемого линейным положительным или сублинейным возрастающим оператором. Он также применил эти понятия к решению функциональных уравнений.

0.1. 4. В последующие годы многие авторы изучали различные частные случаи решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов в них. Однако эти исследования проводились в рамках и духе теории векторных и нормированных решеток. Мажорируемые операторы как объект самостоятельного исследования оформились лишь в конце 80-х годов. В настоящее время теория мажорируемых операторов находится в состоянии бурпшо развития, углубляются связи с другими разделами математики. Современное развитие теории решеточно нормированных пространств связано с работами А. Г. Кусраева и его учеников: А. Е. Гутмана, Э. Ю. Емельянова, Е. В. Колесникова, С. А. Малюгина, В. 3. Стрижевского, К. Т. Тибилова, Г. Н. Шотаева и других. В этих работах установлены многие важные свойства решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов и исследованы интересные конкретные случаи. В процессе развития теории выявились интересные связи с другими разделами математики, в частности, с нестандартными моделями теории множеств и теорией банаховых пространств. Многие вопросы геометрии банаховых пространств, теории операторов оказались более ясными в общем контексте решеточно нормированных пространств. Теория мажорируемых операторов с многочисленными приложениями в разных разделах анализа изложена в итоговой монографии

А. Г. Кусраева "Мажорируемые операторы", Москва, Наука, 2003. Цель настоящей работы — продолжить этот круг исследований: ввести новый класс — ортогонально аддитивных операторов, действующих в реше-точно нормированных пространствах, изучить их общие свойства. Для случая операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, получить критерий слабого интегрального представления.

§2. Обзор литературы

0.2.1. Если обратиться к истокам, то задача об аналитическом представлении оператора начинается с нахождения сопряженного к классическим банаховым пространствам: С[0,1], Ьр[0,1], 1Р, с, со и другим. Интегральное представление непрерывных линейных функционалов наС[0,1] было получено Ф. Риссом [105]. В дальнейшем были получены различные обобщения теоремы Ф. Рисса. В частности, А. А. Марков [58] и С. Каку-тани [85] доказали теорему Ф. Рисса для непрерывных линейных функционалов на С(<5), где ф — компакт. Аналогичным вопросом занимался и А. Д. Александров [3], исследовавший пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости нормального пространства, однако, такие в которых несчетные суммы открытых множеств не обязательно открыты. Общая форма линейных непрерывных функционалов на 1/2 (0,1) была получена М. Фреше. Эта же теорема для Ьр{0,1), (1 < р < оо) была доказана Ф. Риссом. Для случая пространств с конечной мерой последняя теорема была установлена О. Никодимом [98] и, позднее, Н. Данфордом [16].

0.2.2. Приблизительно с середины 30-х годов различными авторами стали рассматриваться операторы со значениями в банаховом пространстве. Общая форма линейного непрерывного оператора из Ьр{0,1) в банахово пространство была получена в 1938 году И. М. Гельфандом [84] и Н. Данфордом [17]. Этот результат был обобщен Данфордом и Пет-тисом на пространства с мерой [83]. Представлением некоторых классов операторов из ЬР(А, /и) в банахово пространство в середине 50-х годов занимался Н. Динкуляну [78]. Представление операторов из С(С2) в банахово пространство при различных условиях на <3 рассматривали И. М. Гельфанд [84] и Н. Динкуляну [78]. Основы теории функции вещественного переменного со значениями, принадлежащими полуупорядоченному линейному пространству, были заложены Л. В. Канторовичем и его учениками [21,23,24,27,28]. В работе [28] Л. В. Канторович пишет.

Функции вещественного переменного, значения которых суть элементы ВапасЬ'ского пространства изучались различными авторами. Однако теория таких функций является гораздо более бедной, чем теория функций с вещественными значениями. Здесь я хочу дать набросок тесь рии функций значения которых принадлежат некоторому линейному полуупорядоченному пространству. В этой теории находят отражение все основные теоремы классической теории функций, однако построение этой теории приходится вести иным способом."

В упомянутой серии работ обзор [24] полностью посвящен задачам представления различных классов операторов со значениями в /^-пространствах. Здесь, в частности, получены представления операторов рз С(0,1),£р(0,1) в ^-пространство с помощью абстрактных интегралов Стильтьеса и Хеллингера. В этой же работе даны многочисленные приложения полученных представлений к различным задачам анализа. В работах [25,26] были рассмотрены приложения абстрактной теории к задачам функциональных уравнений. Ряд работ о представлении операторов со значениями в ^-пространстве был выполнен Б. 3. Вулихом и Г. Я. Лозановским [13, 14].

Теорема о представлении положительного оператора из C(Q) в К-пространство, где Q — компакт, была получена, с использованием аппарата борелевских векторнозначных мер М. Райтом [106]. Обобщение теоремы Райта на операторы из C(Q) в решеточно нормированное пространство принадлежит А. Г. Кусраеву и С. А. Малюгину [47].

0.2.3. Интегральные операторы являются важным и часто встречающимся классом операторов. Вопрос о разрешимости того или иного дифференциального уравнения часто зависит от свойства, соответствующего интегрального оператора. Кроме того многие задачи математической физики формулируются на языке интегро-дифференциальных уравнений. Интегральные операторы в пространствах L2, в связи с задачами квантовой механики, изучались Джоном фон Нейманом [97][97]. Критерий интегрального представления линейных операторов, действующих, в этих пространствах, вывел А. В. Бухвалов [8]. Другие критерии интегральной представимости были получены С. И. Ждановым [18] и JT. Лес-снером [89]. Наряду с задачей о представимости линейного оператора в интегральной форме с измеримым ядром значительный интерес представляет задача о представимости линейных операторов в интегральной форме с ядрами, удовлетворяющими различным условиям. Первые важные результаты в этом направлении были получены в 1930-х годах Л. В. Канторовичем, И. М. Гельфандом, Н. Данфордом [75,84,29]. Результаты этих авторов получили дальнейшее развитие в работах Д. А. Владимирова [11]. В.Б. Короткова [31-38], A.B. Бухвалова [4-10], А Ше-па [101,102] и др. В середине 70-х годов в работах Арвесона и Сурура [73,74,103,104] изучались псевдоинтегральные операторы.

0.2.4. Результаты об интегральной представимости носят порядковый характер и их доказательство существенно опирается на исчисление порядково ограниченных операторов. В работах [43,44,45,48] А. Г. Ку-сраев показал, что аналогичные вопросы для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, могут успешно решаться на основе теории мажорируемых операторов. Ряд результатов в этом направлении был получен В. Г. Наводным [58,59], Ю.Г. Кузьминым [39] и Т. Кевином [86, 87]. Оригинальный метод изучения положительных операторов в порядковых структурах был рассмотрен в работах Д. Магарам [91-95]. Указанные выше методы привели, в частности, к решению задачи интегрального представления мажорируемых операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, а также аналитического представления операторов, действующих в пространствах Банаха-Канторовича. В монографии [48] А. Г. Кусраев и С. А. Малюгин приводят теорему о представлении мажорируемого оператора, действующего из С((д) (<2 — компакт) в пространство Банаха-Канторовича с помощью регулярных борелевских мер. В серии работ [43, 44, 45] А. Г. Кусраев вводит для линейных операторов в идеальных пространствах измеримых вектор-функций понятие слабого и сильного интегрального оператора. Там же, обобщая результаты А. В. Бухвалова, доказываются критерии сильного и слабого представления для линейных мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

0.2.5. Если теория линейных интегральных уравнений является достаточно разработанным разделом анализа, то для нелинейных уравнений ситуация оказалась сложнее. Нелинейными интегральными уравнениями и операторами занимались многие математики. Важные элементы этой теории рассматривались в работах М. А. Красносельского и его учеников [19,20]. В середине 60-годов польскими математиками — Л. Дреновским и В. Орличем был выполнен цикл работ, посвященный нелинейным ортогонально аддитивным функционалам [79-81]. Был дан критерий представления такого функционала в интегральной форме. В конце 80-годов испанскими математиками — Ж. Мазоном и С. Сегу-рой де Леоном этот результат был обобщен на случай операторов, действующих в пространствах измеримых функций [96,99]. Таким образом возникла задача — перенести результаты Ж. Мазона и С. Сегуры де Леона, с использованием техники мажорируемых операторов, на операторы, действующие в пространствах измеримых вектор-функций. Этой теме посвящена настоящая диссертационная работа.

§3. Основные результаты

0.3.1. Коротко изложим основные положения диссертации, вынесенные на защиту. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения о векторных решетках, булевых алгебрах, решеточно нормированных пространствах и ортогонально аддитивных операторах. Вторая и третья глава посвящены результатам автора. Во второй главе изучаются ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах. Первый параграф носит технический характер — в нем собраны основные используемые в работе определения, обозначения, вспомогательные факты. Здесь же вводятся понятия ортогонально аддитивного оператора, действующего в решеточно нормированных пространствах, рассматриваются конкретные примеры таких операторов и некоторые их свойства. Во втором параграфе выясняются условия существования точной мажоранты ортогонально аддитивного оператора, приводятся формулы по которым вычисляется точная мажоранта. Кроме того вводятся два класса операторов: латерально непрерывные и вполне аддитивные операторы. Доказывается теорема, что оператор латерально непрерывен (вполне аддитивен) тогда и только тогда, когда латерально непрерывна (вполне аддитивна) его точная мажоранта. Приведем точные формулировки.

0.3.2. Теорема[2.1.3]. Пусть Т : V —► V — мажорируемый ортогонально аддитивный оператор, действующий из РНП (V, Е) в ПБК (ТУ, Р), и кроме того норма в V разложима, а решетка Р порядков а полна. Тогда оператор Т имеет наименьшую мажоранту.

Пусть выполняются условия теоремы 0.3.2. Тогда точная мажоранта оператора Т может быть вычислена по формулам: п п

Г|(е)=8ир{^|Г«4| \щ\ <е;\щ\ ± |и,-| ; е е Е+} (1) ¿=1 ¿=1

Т\(е)=\Т\(е+)+\Т\(е~);ееЕ. (2)

Во втором параграфе изучаются вопросы разложимости мажорантной нормы. Модифицируя технику, использованную в случае линейных операторов, удается получить некоторый частичный вариант разложимости нормы оператора. Сформулируем точный результат.

0.3.3. Теорема [2.2.9]. Пусть (У,Е) — рептеточно нормированное пространство, (ТУ, Р) — пространство Банаха-Канторовича, и в К-пространстве Р есть слабая порядковая единица. Тогда для любыхТ £ Му(У, ТУ), 5, Ре ¿4/ш (Е, F), таких что

0 <5< \Т\ ,0 <Р< \Т\ + \Т\ , (3) существуют операторы Рт, Бт С ТУ), такие что

Т = 5т + Рг; |5г| =5; =Р\ |Г| = |5г| + \РТ\ . (4)

В третьем параграфе вводятся латерально непрерывные и вполне аддитивные операторы. Доказываются следующие теоремы.

0.3.4. Теорема [2.3.2]. Мажорируемый операторТ латерально непрерывен (вполне аддитивен) тогда и только тогда, когда латерально непрерывна (вполне аддитивна) его точная мажоранта.

Доказано,, что множества вполне ст-аддитивных и латерально ст-непре-рывных операторов совпадают.

0.3.5. Теорема [2.3.5]. Множества латерально непрерывных и вполне аддитивных операторов образуют полосы в пространствеМ(/(У, IV).

Третья глава посвящена ортогонально аддитивным операторам в пространствах измеримых вектор-функций. Рассматриваются слабые интегральные операторы Урысона, действующие в таких пространствах:

За

На протяжении всей третьей главы на банаховы пространствах и У на- • кладываются следующие ограничения: X — сепарабельное банахово пространство, а банаховом пространстве У найдется счетное, всюду плотное подмножество С Z, где Z с У* — нормирующее подпространство в У*.

В первом параграфе даются необходимые определения. Выясняются необходимые и достаточные условия мажорируемости слабого интегрального оператора. Доказывается важная теорема.

0.3.6. Теорема [3.1.5]. Пусть Т : Е(Х) ^(У, 2) - слабый интегральный оператор с ядром С/. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — мажорируемый оператор;

2) из Е в Г определен интегральный оператор Урысона 5 с ядром

Щ.

Кроме того 5 будет точной мажорантой оператора Т.

В этом же параграфе строится слабое интегральное представление мажорируемого оператора Урысона с определенного на Е1(Х) — пространстве ступенчатых вектор-функций. Доказываются две теоремы.

0.3. 7. Теорема [3.1.6]. Пусть Т : Е1{Х) г) это мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор Урысона;

2) для любой ограниченной последовательности /п € Е1(Х) такой, что 0(1/), выполняется | Т¡п| —> (0)(п.в.).

Во втором параграфе доказывается основной результат работы - критерий слабого интегрального представления мажорируемого оператора, определенного на всем пространстве вектор-функций. Предварительно получается важная теорема о ядре.

0.3.8. Теорема [3.2.1]. Пусть Т : Е{Х) -> это мажори- 4 руемый оператор Урысона, такой что ~ слабый интегральный оператор с ядром и и для любых ограниченных последовательностей /п, дп е Е(Х), \и~дп\ 0(1/), выполняется \Тдп-Т/п\ 0(п.в.) Тогда и будет Z-слабо равномерно непрерывна на множестве АП В (с). Где

В(с) :={хеХ: |М| < с; с е О}- (5)

Следующая теорема характеризует слабые интегральные операторы Урысона.

0.3. 9. Теорема [3.2.2]. Пусть Т : Е(Х) -> г) - мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор Урысона;

2) для любых двух ограниченных последовательностей вектор-функций /п, 9п, | /п ~ 9п\ 0{и) выполняется | Т/п - Тдп| 0 (п.в.).

Часть публикаций выполнена совместно с А. Г. Кусраевым. В полученных результатах научному руководителю профессору А. Г. Кусраеву принадлежит постановка задачи и общие рекомендации к их решению, а автору диссертации — реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений. Автор выражает искреннюю благодарность Анатолию Георгиевичу Кусраеву и Иллариону Давидовичу Музаеву за многолетнюю моральную поддержку, внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плиев, Марат Амурханович, 2004 год

1. Акилов Г. П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Александров А. Д. Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах // Мат. сборник. 1940. Т. 50, № 8. С. 307-348.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование, меры Ха-ара, свертка и представления. М.: Мир, 1970.

5. БухваловА. В. Об интегральном представлении линейных операторов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1974. Т. 47. С. 5-14.

6. БухваловА. В. Критерий интегральной представимости линейных операторов // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 1. С. 51.

7. БухваловА. В. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой // Изв. вузов. Математика. 1975. № 11. С. 21-32.

8. БухваловА. В. Приложения теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах I/ // Успехи математических наук, 1983, Т. 38, № 6. С. 37-38.

9. БухваловА. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций. В кн. Математический анализ. Изд. ВИНИТИ. 1988. С. 3-4.

10. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969.

11. ВулихБ. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., Физматгиз, 1961.

12. Вулих Б. 3., Лозановский Г. Я. О представлении вполне линейных и регулярных функционалов в полуупорядоченных пространствах// Мат. сборник. 1971. Т. 84, № 3. С. 331-352.

13. Гутман А. Е. О представлении решеточно нормированных пространств // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 41-54.

14. ДанфордН., Шварц Д. Линейные операторы. Общая теория. М., Изд-во иностр. лит., 1962.

15. ДанфордН., ШварцД. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1974.

16. ЖдановС. И. О некоторых вопросах общей теории линейных систем // Оптимизация. 1973. № 12. С. 52-76.

17. ЗабрейкоП. П., КошелевА. И., КрасносельскийМ. А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

18. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

19. Канторович Л. В. О полуупорядоченных линейных пространствах и их применении к теории линейных операций // Докл. АН СССР. 1935. Т. 4, № 1-2. С. 11-14.

20. Канторович Л. В. К общей теории операций в полуупорядоченных пространствах // Докл. АН СССР. 1936. Т. 1, № 7. С. 211-214.

21. Канторович Л. В. О некоторых классах линейных операций // Докл. АН СССР. 1936. Т. 3, № 1. С. 9-13.

22. Канторович Л. В. Общие формы некоторых классов линейных операций // Докл. АН СССР. 1936. Т. 3, № 9. С. 101-106.

23. Канторович Л. В. Об одном классе функциональных уравнений // Докл. АН СССР. 1936. Т. 4, № 5. С. 211-216.

24. Канторович Л. В. О функциональных уравнениях // Тр. ЛГУ. 1937. Т. 3, №.7. С. 17-33.

25. Канторович Л. В. Основы теории функций вещественного переменного со значениями, принадлежащими полуупорядоченному линейному пространству // Докл. АН СССР. 1936. Т. 2,№ 9. С. 359-364.

26. Канторович Л. В., АкиловГ. П. Функциональный анализ. М., Наука, 1984, 742 с.

27. Канторович Л. В., ВулихБ. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядочнных пространствах. М.; Л.: Гостехиздат, 1950, 548 с.

28. КолесниковЕ. В., Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О мажорируемых операторах. Новосибирск. 1988. 32 с. (Препринт/ АН СССР. Сиб. отделение. Инс-т математики; № 26.)

29. Короткое В. Б. О сильных интегральных операторах // Мат. заметки. 1974. Т. 16,' № 6, С. 907-912.

30. Коротков В. Б. О некоторых свойствах частично интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 4, С. 752-754.

31. Коротков В. Б. Интегральные и частично интегральные операторы .// Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 1, С. 70-90.

32. Коротков В. Б. О некоторых свойствах интегральных и частично интегральных операторов в Д // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 1, С. 98-105.

33. Коротков В. Б. К задачам Халмоша — Сандера об интегральных операторах в Ь2 // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 3, С. 214-216.

34. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1983.

35. Коротков В. Б. Некоторые вопросы теории интегральных операторов. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.

36. Коротков В. Б. О частично интегральных операторах // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5, С. 80-83.

37. Кузьмин Ю. Н. Совершенные пространства измеримых вектор-нозначных функций и интегральные операторы. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. 01.01.01. Казань, 1984. 16 с.

38. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.

39. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1985, 254 с.

40. Кусраев А. Г. О пространствах Банаха-Канторовича // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2, С. 119-124.

41. Кусраев А. Г. Об интегральном представлении мажорированных операторов в пространствах вектор-функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, № 4, С. 788-792.

42. Кусраев А. Г. Об аналитическом представлении мажорируемых операторов // Докл. АН СССР. 1987. Т. 94, С. 1055-1058.

43. Кусраев А. Г. Линейные операторы в решеточно нормированных пространствах // Исследования по геометрии в целом и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 84-123.

44. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. Москва. Наука, 2003.

45. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О порядково непрерывной составляющей мажорированного оператора // Сиб. мат. журн. 1987, Т. 28. № 4, С. 127-139.

46. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. некоторые вопросы теории векторных мер. Новосибирск: Ин-т математики. 1988. 182 с.

47. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавказский, мат. журн, 1999. Том 1, вып. 3, С. 33-43.

48. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Слабое интегральное представление мажорируемых ортогонально аддитивных операторов // Владикавказский. мат. журн, 1999. Том 1, вып 4, С. 22-39.

49. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Доклады Академии Наук, 2000. Том 372, № 3, С. 305-307.

50. Кусраев А. Г. СтрижевскийВ. 3. Решеточно нормируемые пространства и мажорируемые операторы // Исследования по геометрии и функциональному анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 132157.

51. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы, согласованные с порядком. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. (Тр. РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики т. 29. 1995 г.)

52. КутателадзеС. С. Основы функционального анализа. Новосибирск: Наука, 1983.

53. Лозановский Г. Я. О почти интегральных операторах // Вестн. ЛГУ. Математика, механика и астрономия. 1966. № 7. с. 35 44.

54. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применения в математической экономике. М.: Наука, 1985. '

55. Марков А. А. Средние значения и внешние плотности // Мат. сб. 1938. Т. 46. № 4. С. 165-191.

56. НаводновВ. Г. Об интегральном представлении операторов, действующих из банахова пространства измеримых вектор функций в банахово пространство / Изв. вузов. Математика. 1983. № 3, С. 82-84.

57. НаводновВ. Г. Пространства векторнозначных и операторнознач-ных функций и их применение к аналитическому представлению операторов. Автореф. диис. канд. физ. мат. наук. 01.01.01. Казань. 1984. 16 с.

58. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

59. ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивые мажорированные операторы // Проблемы математического анализа. Тезисы докладов. Владикавказ 1994. С. 41-42.

60. ПлиевМ. А. Слабое интегральное предствление мажорированных операторов Урысона // Проблемы математического анализа. Тезисы докладов. Владикавказ 1995. С. 16.

61. РиссФ. Секефальви-НадьБ. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

62. СикорскийР. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969.

63. ТибиловК. Т. О псевдоинтегральных операторах в пространствах измеримых вектор-функций /'/ Сиб. мат. журн. 1988. Т. 31, № 5, С. 149-156.

64. ШотаевГ. Н. О билинейных функционалах в решеточно нормированных пространствах // Оптимизация. 1986. Вып. 37. С. 38-50.

65. ШотаевГ. Н. О тензорном произведении решеточно нормированных пространств // Сиб. мат. журп. 1988. Т. 29, № 4, С. 195-202.

66. ХалмошП. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

67. ХалмошП. Сандер В. Ограниченные линейные операторы в пространствах L2. М.: Мир, 1985.

68. ШеферХ. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

69. AliprantisC. D., BurkinshawO. Positive operators. New York: Acad. Press, 1985.

70. AliprantisC. D. BurkinshawO. The components of positive operator // Math. Z. 1987. V. 184. P. 245-257.

71. ArwesonW. Operators algabras and invariant subspases // Ann. of Math. 1974. V. 100, № 2. P. 433-532.

72. ArwesonW. An invitation to C* algebras. Berlin a.o. Springer, 1976. 106 p.

73. DunfordN. Uniformity in linear spases // Trans. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 305-356.

74. DiedonneJ. History of functional analysis. Amsterdam, New York, Oxford: Noth Holland, 1981.

75. Diestel J., Uhl J. J. Vector Measure. Providence, RL: Amer. Math. Soc. 1977, 322 p.

76. DinculeknuN. Vector Measure. Berlin: VEB Deutscher der Wissenschaften, 1966, 432 p.

77. DrewnoskiL., OrlichW. On ortogonally additive functionals. Bull. Acad. Polon. Sei. Scr. Sei. Math. Astronom, rhys. 1968. V. 16. P. 883888.

78. DrewnoskiL., OrlichW. On representation of ortogonally additive functionals // ibid. 1969. V. 17. P. 167-173.

79. Drewnoski L. Orlicz W. Continuity and representation of orthogonally additive functionals // Bull. Acad. Pol. Sei., Ser. sei. math. astr. et phys. 1969. V. 17. № 10. P. 647-653.

80. DunfordN. Uniformity in linear spases // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 305-356.

81. DunfordN., PettisB. Linear operations of summable functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. V. 47. P. 323-392.

82. Gelfandl. Abstrakte Funktionen and lineare Operatoren // Mat. sb. 1938. V. 4, № 2. P. 235-286.

83. KakutaniS. Concrete representation of abstract (M) spases // Ann. of Math. 1-941. V. 42, № 2. P. 994-1024.

84. Kevin T. A. Representation compact and weakly compact operators on the spase of Bochner integrable functions // Pasif. J. Math. 1981. V. 92, № 2. P. 257-267.

85. Kevin T. A. The Radon-Nicodim property for the spase of operators // J. London. Math. Soc. 1983. V. 28, № 1. P. 113-122.

86. KusraevA. G. Dominated operators. I // Siberian Adv. Math. 1994. V. 4, № 3, P. 51-82.

87. LessnerL. A lattice theoretic charakterisation of an integral operator // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 53, № 2. P. 391-395.

88. Luxemburg W. A. J.; ZaarienA. C. Riesis Spases. 1. Amsterdam: Noth Holland, 1971. 514 p.

89. MaharamD. Deeomnositions of measure algebras integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V.69. № 1. P.142-160.

90. MaharamD. The representation abstract integrals // Trans. Math. Soc. 1953. V. 75. № 1. P. 154-184.

91. MaharamD. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V. 79. № 1. P. 229-255.

92. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math. 1984. V. 26. P. 263-267.

93. MaharamD. The representation abstract measure function // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65, № 2. P. 279-330.

94. Mazon J. M., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl. 1990. V. 35, № 4. P. 329-353.

95. Neumann J. Charakterisirung des Spectrums eines Integraloperators // Act. Sei. et Ind. Paris. 1935. № 229.

96. Nikodim O. M. Contribution a la theorie des fonctionnelles de la mesure des ensembles abstraits // Mathematica. Cluj. 1931. V. 5. P. 130-141.

97. Segura de LeonS. Bukhvalov type characterization of Uryson operators // Studia Math. 1991. V. 99. P. 199-220.

98. SchaeferH. H. Banach Lattices and Positive Operators. Berlin etc.: Springer, 1974, 376 p.

99. Schep A. Kernels operators // Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 1979. V. A82, № 1. P. 39-53.

100. Schep A. Generalized Carleman operators // Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 1980. V. A83 .Y" 1. P. 49-59.

101. SourourA. R. Pseudo-integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 253. P. 339-363.

102. SourourA. R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators // Pasific J. Math. 1982. V. 99, № 1. P. 145-158.

103. RieszF. Sur les operations fonctionneles lineaires // C.R. Acad. Sci. 1909. V. 149. P. 974-977.

104. Wright J. D. M. Stone-algebra valued measures and integrals / / Proc. London. Math. Soc. 1969. V. 19, № 1. P. 107-122.

105. Zaanen A. C. Riesz spases. Amsterdam e.a. Noth. Holl/ Publ. Co. 1983. 720 p.