Оптимизация железобетонных плит перекрытий по критерию минимальной стоимости и ограничениям с учетом анализа риска тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.01, кандидат наук Филимонова, Екатерина Александровна

• Филимонова, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Филимонова, Екатерина Александровна

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................4

ГЛАВА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОДАМ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ...........8

1.1 Обзор исследований в области оптимизации железобетонных конструкций..............8

1.2 Обзор теоретических и экспериментальных исследований работы железобетонных плит...................................................................................18

1.2.1 Основные методы расчета изгибаемых железобетонных плит..................18

1.2.2 Особенности работы изгибаемых железобетонных плит

с учетом физической нелинейности......................................................22

1.3 Обзор исследований работы железобетонных конструкций при аварийных динамических воздействиях..........................................................................30

1.4 Обзор исследований в области теории надежности конструкций............................35

1.5 Обзор исследований в области теории риска и обеспечения безопасности...............42

1.6 Выводы по главе I .....................................................................................51

ГЛАВА И. РАЗРАБОТКА РАСЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ ПЕРЕКРЫТИЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ..............................52

2.1 Общий подход к формированию расчетной модели железобетонных плит..............52

2.2 Расчет железобетонных плит перекрытий в эксплуатационной стадии....................53

2.2.1 Расчетная модель плит, опертых по контуру........................................53

2.2.2 Расчетная модель безбалочных плит перекрытий с учетом особенностей узловых сопряжений.........................................................................80

2.3 Работа безбалочной плиты перекрытия при отказе несущей конструкции..............94

2.3.1 Критерии предельного состояния при расчете конструкции на кратковременные динамические нагрузки...............................................94

2.3.2 Расчет безбалочных плит перекрытий с учетом динамических эффектов, вызванных внезапным отказом несущей опорной конструкции...............96

2.4 Выводы по главе II.....................................................................................101

ГЛАВА III. ПОСТРОЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ОПТИМИЗАЦИИ И ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ С УЧЕТОМ АНАЛИЗА РИСКА...............................................................................................................102

3.1 Построение целевой функции с учетом экономичности и технологичности.............102

3.2 Оптимизация конструкций с учетом надежности и безопасности..........................105

3.2.1 Определение и учет эксплуатационных затрат, связанных с варьируемыми параметрами...........................................................105

3.2.2 Расчет показателей начальной и эксплуатационной надежности железобетонных конструкций.........................................................107

3.3 Формирование структуры целевой функции с учетом анализа риска...................120

3.3.1 Идентификация и ранжирование сценариев развития риска...................121

3.3.2 Качественные методы анализа и оценки риска аварий.............................124

3.3.3 Количественные методы анализа и оценки риска обрушения плиты перекрытия в случае отказа несущих конструкций...............................127

3.4 Выводы по главе III...................................................................................139

ГЛАВА IV. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПОИСКОВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ ПЕРЕКРЫТИЙ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ......................................................................................................140

4.1. Формулировка критерия оптимальности и комплекса ограничений параметров с

учетом совокупности требований, предъявляемых к конструкции.......................140

4.1.1 Критерии оптимизации и виды целевых функций................................141

4.1.2 Формирование граничных условий плиты на основе расчетной

модели.....................................................................................142

4.2 Разработка поисковой процедуры, ускоряющей сходимость у границы допустимой области.................................................................................................145

4.3. Общий алгоритм оптимизации изгибаемых железобетонных плит........................161

4.4. Численные примеры оптимизации железобетонных плит..................................178

4.5. Выводы по главе IV...................................................................................194

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ..................................................................195

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................................197

Приложение А. Программа оптимизации железобетонных плит «OPTIMIZATION» на алгоритмическом языке Python 3.3.............................................................................211

Приложение Б. Нормативы амортизационных отчислений на реновацию конструкции.....230

Приложение В. Характерные точки процедуры поиска оптимальных параметров безбалочной плиты перекрытия................................................................................232

Приложение Г. Справки о внедрении, свидетельство о регистрации программы, дипломы....234

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация железобетонных плит перекрытий по критерию минимальной стоимости и ограничениям с учетом анализа риска»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Проблема надежности и экономичности строительных конструкций относится к числу основных проблем, выдвинутых на первый план непрерывно увеличивающимся объемом строительства и возрастающими требованиями к его качеству. Полноценное решение может быть достигнуто при комплексном осуществлении необходимых мероприятий на всех стадиях возведения и эксплуатации строительных конструкций.

Важнейшими элементами здания являются междуэтажные перекрытия, на которые расходуется 20-25% стали и 20% бетона от общей потребности в этих материалах для всего здания. Очевидно, что даже небольшая экономия затрат может дать огромный экономический эффект, поэтому научные исследования, направленные на уточнение действительной работы перекрытий, совершенствование методов расчета и оптимизации параметров конструкции, являются актуальными.

Целью оптимизации железобетонных плит является нахождение рационального решения, которое удовлетворяло бы таким основным требованиям как прочность, надежность, безопасность. Стремление наиболее полно удовлетворить одному из этих требований часто приводит к недовыполнению требования экономичности, что обуславливает главную трудность проектирования.

Важным моментом при оптимальном проектировании конструкций является разработка методики расчета плит перекрытий в условиях нормальной эксплуатации и при возможной аварийной ситуации. Современными российскими и зарубежными нормами предписывается выполнять расчет и конструирование элементов с учетом риска возникновения отказа конструкций.

Традиционные методы проектирования с учетом аварийных воздействий вызывают необходимость существенно увеличивать запасы материалов. Выявление резервов экономии материалов конструкций в такой ситуации является актуальной задачей. Реализация возможна за счет уточнения расчетной модели и оптимизации параметров конструкций, а также учета при проектировании риска отказа и возможного ущерба. Важным фактором в уточнении моделей исследуемых конструкций является учет вероятностных свойств нагрузок, а также- свойств и характеристик конструкций. Внедрение вероятностных методов расчета в практику проектирования даст возможность более полно учитывать реальные свойства материалов и конструкции, что приведет к экономии материальных ресурсов при обеспечении их допустимой надежности. Оптимальное проектирование непосредственно связано с созданием и внедрением

эффективных алгоритмов и автоматизированных комплексов расчета, базирующихся на уточненных расчетных моделях.

Таким образом, возникает объективная необходимость разработки методики, которая позволит на основе реальной работы плит, комплекса затрат, а также с учетом надежности и риска отказа конструкций отыскивать кратчайшим путем оптимальное решение.

Научно - техническая гипотеза диссертации состоит в объективной возможности совершенствования теории оптимизации на основе поискового алгоритма применительно к изгибаемым железобетонным плитам и построения расчетной модели, учитывающей нелинейные свойства железобетона.

Целью работы является разработка методики расчета и оптимизации железобетонных плит перекрытий по стоимостному критерию и ограничениям с учетом технологичности, надежности и анализа риска возникновения аварийных ситуаций.

Для достижения обозначенной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- проведен сравнительный анализ результатов численного и аналитического решения задачи определения усилий в железобетонной плите, а также подтверждена достаточная точность расчетных моделей сравнением с экспериментальными данными других авторов;

- разработана методика расчета железобетонных плит, опертых по контуру, и безбалочных плит при нормальных условиях эксплуатации и в случае отказа опорной конструкции;

- получены коэффициенты для учета неупругих деформаций в безбалочных железобетонных плитах как отношение значений моментов с учетом трещинообразования к моментам, полученным по упругой схеме;

- выполнена оценка надежности железобетонных плит с учетом эксплуатационных повреждений применительно к задачам оптимизации;

- разработана методика количественного определения риска обрушения перекрытия в случае отказа опорной конструкции на основе вероятностных методов расчета;

- впервые сформирована структура целевой функции с учетом надежности и анализа риска;

- разработана усовершенствованная поисковая процедура с шестью варьируемыми параметрами, ускоряющая сходимость у границы допустимой области;

- разработана математическая модель оптимизации железобетонных плит перекрытий с учетом новых типов целевой функции;

- создан пакет прикладных программ, реализующий поисковый алгоритм, для применения в реальном проектировании;

- проиллюстрирована работоспособность предлагаемых алгоритмов на примерах оптимизации железобетонных плит.

Объектом исследования являются железобетонные плиты перекрытий при нормальных условиях эксплуатации и в случае отказа опорной конструкции.

Предметом исследования является метод оптимизации железобетонных плит по критерию минимальной стоимости.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

- впервые получены коэффициенты для учета неупругих деформаций в железобетонных безбалочных плитах как отношение значений моментов с учетом трещинообразования к моментам, полученным по упругой схеме;

- выполнена оценка надежности железобетонных плит перекрытий, учитывающей эксплуатационные повреждения и адаптированная к методу поиска;

- разработана методика определения риска отказа с учетом вероятностного представления композиции нагрузки и прочности, и выявлены аппроксимирующие зависимости риск-ущерб «R-S», определяемые степенью (площадью) обрушения плит перекрытий в здании;

- впервые сформированы три типа целевой функции, учитывающие стоимость материалов и технологичность, надежность и анализ риска, и связывающие ее составляющие с варьируемыми параметрами плиты перекрытия;

- усовершенствована поисковая процедура, ускоряющая сходимость у границы допустимой области. Уточнение поиска вблизи точки оптимума производится на основе одновременного приращения по нескольким варьируемым параметрам;

- для реализации методики расчета и оптимизации железобетонных плит создана вычислительная программа «OPTIMIZATION» на алгоритмическом языке Pithon 3.3, предназначенная для применения в реальном проектировании;

- впервые получены результаты оптимизации безбалочной плиты перекрытия для типов целевой функции с учетом надежности и анализа риска.

Практическая значимость и реализация результатов работы:

- разработанная методика расчета дает возможность оптимизировать варьируемые параметры железобетонных плит с учетом неупругого деформирования при нормальных условиях эксплуатации и с учетом риска отказа опорной конструкции;

- развиваемая в работе методика расчета позволяет получить оценку надежности железобетонных плит перекрвггий как на этапе проектирования, так и эксплуатации;

- внедрение в практику проектирования разработанной вычислительной программы оптимизации железобетонных плит позволяет определить оптимальные параметры конструкции и уменьшить риск обрушения плиты при выходе из строя опорной конструкций.

Личный вклад автора заключается в постановке данного исследования; разработке основных положений, определяющих научную новизну и практическую значимость работы; создании расчетных моделей плит и процедуры поисковой оптимизации.

Внедрение результатов работы. Результаты настоящей работы использованы в ООО «РУСЬ-К» при разработке рабочей документации плит перекрытий и покрытий объекта "Общеобразовательная школа на 1100 мест" по адресу: МО, Красногорский район, с/п Отрадненское, д. Марьино.

Достоверность и обоснованность научных предположений, выводов и рекомендаций диссертации подтверждается следующими положениями: использованием гипотез и допущений, принятых в строительной механике, механике железобетона, теории анизотропных пластин, теории надежности и теории оптимизации; применением современных аналитических и численных методов расчета строительных конструкций; удовлетворительным совпадением полученных результатов с экспериментальными данными других авторов, а также результатов методики поиска с аналитическим решением задачи; обязательной сходимостью поисковой процедуры к оптимуму.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- корректирующие коэффициенты жесткости для учета физической нелинейности работы плиты при нормальной эксплуатации и аварийной ситуации;

- методика определения риска отказа с учетом вероятностного представления различных распределений нагрузки и прочности;

- структура трех типов целевой функции с учетом стоимости материалов и технологичности, надежности и анализа риска;

- методика расчета и усовершенствованная итерационная процедура оптимизации железобетонных плит на основе поискового алгоритма по критерию минимальной стоимости с учетом ограничений в условиях нормальной эксплуатации и с учетом риска отказа опорной конструкции;

- результаты оптимизационного расчета рассматриваемых железобетонных плит перекрытий.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы представлены на международном симпозиуме «Современные строительные конструкции из металла и древесины» (Одесса, 2011); XV международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2012); Международной научно-методической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.Н. Байкова (Москва, 2012); международной молодежной конференции «Оценка рисков и безопасность строительстве.

Новое качество и надежность строительных материалов и конструкций на основе высоких технологий» (Москва, 2012); международной молодежной научной конференции «Поколение будущего — 2012: взгляд молодых ученых» (Курск, 2012); XVI Международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов «Строительство — формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2013); Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Ф. Дроздова «Современные проблемы расчета и проектирования железобетонных конструкций многоэтажных зданий» (Москва, 2013).

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре кафедры Железобетонных и каменных конструкций ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (Москва, 2013).

В результате выполнения диссертационной работы автором (в составе авторского коллектива) разработана Программа оптимизации железобетонных плит «OPTIMIZATION» и получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№2013660001).

Публикация работы. Материалы диссертации изложены в 14 опубликованных работах, из них 7 опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы из 174 наименований и четырех Приложений. Содержит 210 страниц машинописного текста, 41 таблицу и 72 рисунка.

Содержание диссертации соответствует п.п. 2, 3, 4 Паспорта специальности 05.23.01 -Строительные конструкции, здания и сооружения.

Работа выполнена в соответствии с федеральной целевой программой "Жилище" на 20112015 годы на кафедре Железобетонных и каменных конструкций ФГБОУ ВПО «МГСУ» под руководством доктора технических наук А. Г. Тамразяна.

ГЛАВА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА П ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОДАМ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1 Обзор исследований в области оптимизации железобетонных конструкций

Один из экономических аспектов проектирования, рассмотренных в данной работе -проектирование конструкций минимальной стоимости. Необходимо отметить, что проектирование по минимуму стоимости не всегда приводит к наилучшему проекту, и далее будут рассмотрены ситуации, когда более затратные конструкции в долгосрочной перспективе

будут наиболее экономичными. Данное утверждение справедливо, в первую очередь, при проектировании конструкций с учетом анализа риска.

Постановка данной задачи включает формирование целевой функции, определяемой как функция параметров проектирования, которая лежит в основе выбора конструкций из альтернативных приемлемых решений; определение оптимизируемых параметров и формулировка критерия оптимальности, который служит условие максимума или минимума целевой функции.

Для решения задач оптимизации деформируемых элементов конструкций в приведенных ниже работах применяются как методы, основанные на математической теории оптимального управления, так и методы параметрической оптимизации, основанные на приведении задачи оптимального проектирования к задаче математического программирования. Среди отечественных ученых наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкции рассмотрены в работах Н. В. Баничука и его учеников [9]. Соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов при вариации формы упругих тел впервые выведены именно им.

Исторически сложилось, что работам по оптимизации стержневых и балочных конструкций уделялось больше внимания, как в силу широкого распространения такого рода конструкций, так и относительной простоты расчета, по сравнению с пластинами.

Применению методов параметрической оптимизации посвящены работы В. П. Малкова, В. Г. Кисилева [78], позже этим вопросом занимался А. И. Бохонский [17]. Оптимальное проектирование стержневых конструкций получило развитие в работах [55, 76].

Первые работы по исследованию задач оптимального проектирования пластин и оболочек появились в 50-х годах XX века. Основное противоречие, с которым столкнулись ученые, заключалось в желании создать прямое оптимизационное решение с одной стороны, но при этом возникала сложность аналитической записи заданных условий при большом числе независимых переменных проектирования. Кроме того, существовали несколько оптимальных решений. Это привело к необходимости разделения общей задачи оптимизации проектирования на ряд подзадач меньшей размерности и переходу к поэтапной оптимизации, а в случае оптимизации очень сложных систем - применению итерационных алгоритмов. Существующие способы оптимизации можно разделить на два основных направления.

Первое направление оптимизации основывается на теоретическом анализе функции цели. Задача выбора наилучшей системы или ее параметров решается аналитическими методами оптимизации с помощью традиционных методов строительной механики и математики с учетом действующих нагрузок, условий прочности материалов, жесткостных, конструктивных и технологических требований. Таким образом, это направление базируется на методе прямого

оптимизационного расчета, согласно которому сначала на поведение конструкции накладываются определенные требования, а затем выбираются такие геометрические и физические параметры этих элементов, при которых находится оптимальный критерий качества конструкции с учетом удовлетворения всех наложенных требований. Данное направление подразумевает выбор из бесконечного множества возможных решений объективно наилучшего. В этом направлении наибольшее значение имеют методы дифференциального и вариационного исчисления, а также принцип минимума потенциальной энергии или максимум дополнительной работы, на основе которых выводятся различные условия оптимальности, например, равнопрочность, постоянство потенциальной энергии.

Во втором направлении используется статический расчет, реализуемый на ЭВМ, с дополнением блоков конструирования и варьирования геометрическими и физическими параметрами. Простейшим способом решения задач второго направления является перебор. Его преимуществом являются универсальность и простота, но при большом количестве вариантов, возникающих при проектировании, сравнение становится невозможным.

Известно, что целевая функция отображает выбранный критерий оптимальности, а ограничения - условия, включенные в математическую модель. Характером зависимостей этих выражений от переменных проектирования - линейных или нелинейных - определяется метод решения задачи.

Первоначально наибольшее распространение получил метод линейного программирования [103], [167]. Использование аппарата линейного программирования позволило существенно увеличить количество параметров, описывающих возможный механизм разрушения конструкции.

К задачам линейного программирования относятся задачи, в которых целевая функция и ограничения - линейны:

/(х) = |£сЛ.|-> шт, (1.1)

п - -

при <Ьк; к = 1 ,т, г = \,п, (1.2) <=1

где с — вектор оценок; х - вектор переменных; Ъ — вектор ресурсов; - элементы матрицы коэффициентов; х,- > 0.

Каноническая форма задачи линейного программирования имеет вид:

/(х) = сх-»тт, Ах = Ь, х>0. (1.3)

и

Методы линейного программирования широко применяются в связи с доступностью программного обеспечения для решения задач такого типа высокой размерности и возможности анализа решений при вариантности исходных данных.

Для решения задач линейного программирования широко применялся симплекс-метод [77, 98]. Однако, для решения задач симплекс-методом ее сначала надо линеаризовать. Решение линеаризованной задачи редко приводит к глобальному экстремуму.

В работе [174] представлено решение задач предельного равновесия с применением линейного программирования, которое основано на определении действительных механизмов разрушения. Отмечается, что использование оптимизационных процессов позволяет определить наиболее близкую к экспериментальным данным форму разрушения, которая будет соответствовать наименьшей предельной нагрузке.

В работе [171] разработана программа для расчета железобетонных плит с комбинированными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. В основу алгоритма программы заложены решения, полученные с использованием кинематического метода предельного равновесия.

Однако в практике проектирования редко встречаются задачи такого плана. Более распространенным является метод нелинейного программирования. Задача программирования становится нелинейной, когда в ней появляются произведения, обратные величины или высшие порядки нескольких или всех переменных.

Задача оптимизации железобетонных плит по форме сводится к задачам нелинейного программирования, которые можно разделить по нескольким характерным способам решений: использующие производные или поисковые методы, последние, в свою очередь, делятся на детерминированный поиск или случайный; градиентные методы, в частности, метод наискорейшего спуска или метод Гаусса-Зейделя.

В задачах нелинейного программирования ставится целью определение минимума или максимума функции Ф(х) при ограничениях вида:

<р, (х) < 0,(г = 1,2,...,г),(Р] (х) = 0,(у = г, +1.....и). (1.4)

Пусть требуется найти минимум нелинейной выпуклой функции Ф(х1), /=1,2... при наличии группы ограничений в виде неравенств:

/(**) < [/,],! =1,2... (1.5)

Наиболее полно в нелинейном программировании разработаны приемы решения задач методами безусловной оптимизации [29], не учитывающие ограничения (1.5).

Явное решение уравнений (1.4) в некоторых случаях может оказаться невозможным. Для усиления методов безусловной оптимизации к ним подключают методы штрафных функций.

Идея данных методов заключается в следующем: при нарушении ограничения исходную целевую функцию Ф(х) увеличивают на величину:

С,(Х) = 0,1 = 1,2,...,т, (1.6)

где ш — количество ограничений-равенств.

Функция вида (Ф + С) свободна от ограничений. Однако новая целевая функция носит явно выраженный "овражный" характер. Поэтому этот метод применим только при небольшом числе переменных.

Среди методов нелинейного программирования следует выделить группу градиентных методов. Из них самым известным является метод наискорейшего спуска, в котором переход в новую точку осуществляется в направлении антиградиента по формуле [49]:

= х(г+2) + Я^Ф1 (х,), (1.7)

Х = ^Е(Ф1(х1-))2,/ = 1,2,..,п. (1.8)

Значения функции Ф(х/) определяются в окрестности данной точки, и по ним строится аппроксимирующая гиперповерхность вида:

/ \ п _1 т Ф (х,-) = а0 + I а ¿х-а; = N £ КуФ], (1.9)

¡=1 у=1

где у - номера проб, Фу - соответствующее значение целевой функции, Ку -коэффициент матрицы планирования (+1 или -1). Для движения по антиградиенту гиперплоскости следует давать приращения координатам в сторону увеличения, если а, < 0, в сторону уменьшения, если а, > 0.

Поиск оптимального решения начинается с допустимого решения и продолжается в направлении антиградиента целевой функции до тех пор, пока не будет достигнута точка границы допустимой области, в которой направление поиска меняется по определенным правилам. Развитие градиентного метода получило в работе [49].

В практике большое количество задач оптимизационного характера имеет дело с выпуклыми целевыми функциями при выпуклых ограничениях, но при оптимизации ряда систем целевая функция может обладать сложным характером — иметь местные углубления или быть «"овражного типа», т.е. задача оптимизации может стйть многоэкстремальной. Применение методов нелинейного программирования в этих условиях малоэффективно, так как решением задачи может стать локальный минимум, если начальная точка выбрана неудачно. Для решения такого типа задач предпочтительно использовать поисковые методы.

Алгоритм случайного поиска основывается на перемещении от начальной точки на случайный вектор. Если этот шаг уменьшает значение целевой функции, то по этому

направлению происходит дальнейшее перемещение, если нет, то выбирается новый вектор перемещения. С ростом размерности задачи этот метод становится эффективнее метода градиентного спуска с точки зрения приближения к экстремуму, однако, практически вблизи экстремума возникают сложности. Тем не менее, данный метод успешно использовался многими авторами.

Изучению возможностей алгоритмов случайного поиска для оптимизации железобетонных конструкций посвящен ряд работ. В частности, исследования в данной области отражены в трудах Г. А. Гениева [25], В. И. Колчунова [62], А. Н. Дехтяря [35]. При этом в работе [35] рассматривались вопросы оптимизации с учетом запроектных воздействий с рассмотрением в качестве предельного состояния - условия разрушения конструкции.

Ю. М. Почтман и Г. В. Филатов [90] применяли метод случайного поиска при оптимизации формы двутавровых поперечных сечений элементов конструкций. Отметим работы А. Ф. Чипиги, Д. А. Колкова [150] и других.

Если сложную задачу трудно решить в замкнутом виде, но можно разбить на ряд мелких легко решаемых задач, связанных в естественную последовательность, то можно воспользоваться методом динамического программирования.

Динамическое программирование в задачах оптимизации реализуется в три этапа:

- разбиение процесса оптимизации на шаги;

- определение параметров, которые могут однозначно характеризовать состояние системы перед /-ым шагом;

- определение всех возможных решений на i-ом шаге.

Наиболее сложным является выбор параметров, характеризующих состояние системы, т.е. представить целевую функцию в виде суммы функций, каждая из которых выражается через одну переменную:

z = g\i.x0,x{) + g2(xhx2) +...+gn(xn_bxn), (1.10)

где g¡ — заданные функции лишь двух независимых переменных х,.¡, х}.

Решение можно найти раскрытием уравнения Беллмана:

«/(*/) {ft(*M.*í) + <»,--i(*m)}- (1.11)

.Рассмотренное рекуррентное состояние основано на принципе: любой подпуть оптимального пути является также оптимальным путем.

На каждом этапе формируется решение, которое в свою очередь оказывает влияние на процесс проектирования на следующем этапе, и результаты, полученные в предыдущем, будут использованы в последующем. При этом каждый этап представляет собой изолированную задачу, так как условия для решения на каждой стадии зависят от исходных данных

конкретного шага. Оптимизация проекта проводится на каждой стадии, при этом могут использоваться как методы линейного, так и нелинейного программирования в зависимости от условий на рассматриваемой стадии, но окончательный проект является совокупностью процесса оптимизации. Аппарат динамического программирования применим и в случае непрерывных множеств значений проектных параметров. Существенный недостаток — громоздкость, так как возникает сложность при формулировке задачи в пригодном для динамического программирования виде.

В [4] рассматривается вопрос оптимизации осесимметрично нагруженных бетонных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек, а также железобетонного цилиндра. Разработаны методы оптимизации оболочек такого типа, проведен анализ влияния неоднородности конструкций на их напряженно-деформированное состояние, предложены рекомендации по проектированию данных систем. Оптимальное проектирование выполняется на основе решения обратных задач теории упругости при условии создания равнонапряженных конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Филимонова, Екатерина Александровна, 2013 год

/ / / /

/ / * / / /

/ У /

Зона С Без трещин 12 с 12 с

Л

Ккр =№1*22 К\6 =К26=0

ЗонаЭ N. Нормальные трещины, параллельные сторонам пластины 12 с Ккр~ 6^/ср +ккр > ^16 =К26=0

2- м [

1—

Коэффициенты^,^ равны: К^ = 0,3 - при кратковременной нагрузке, Кь = 0,1 - при длительной нагрузке, К5 = 1,1 - при кратковременной нагрузке, К5= 1 - при длительной нагрузке.

т

т =

.

Ъ

^72

£с/7 = л/^Ж'

Пер \

(2.14)

(2.15)

(2.16)

. 4 4

где ца = их 81П ат+ Ц2 соб

Задача интегрирования уравнения (2.12) заключается в том, чтобы найти функцию }¥=/((, ц), которая удовлетворяла бы этому уравнению, а также условиям на опорном контуре.

Рассмотрим вид этих условий для пластины, стороны которой параллельны осям ОХ и ОУ, с различными краевыми условиями.

Жестко защемленный край. Для этого случая граничных условий прогиб вдоль защемленного края равен нулю, а касательная плоскость к изогнутой срединной поверхности совпадает с положением срединной плоскости до деформации пластинки, то есть угол поворота сечения на опоре равен нулю. Если ось ОХ совпадает с защемленным краем, то указанные граничные условия можно записать следующим образом:

I Л ^

Щ л 0, —

1у=° ду

= 0.

7=0

(2.17)

Свободно (шарнирно) опертый край. Для этого случая граничных условий прогиб вдоль свободно опертого края равен нулю, а сечения вдоль этого края могут свободно поворачиваться. Это означает, что изгибающий момент, перпендикулярный свободно опертому краю, равен нулю. Если ось ОХ совпадает со свободно опертым краем, то указанные граничные условия можно записать следующим образом:

М п = °>

1_у=0

^ 7

д2ч?

- + У-

= 0.

у=0

(2.18)

% дх'

Кроме того, на свободно опертом крае обращается в нуль также значение с?\vZdx2. Поэтому можно записать эквивалентные уравнения:

Ч л = о,

д2™

ду2

= 0.

у=0

(2.19)

Свободный край. В этом случае вдоль свободного края отсутствуют изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы, то есть если свободный край совпадает с осью ОХ, то

М

у

у=О

= 0,

м

ух

у=0

=0, а

7=0

= 0.

(2.20)

Выражая изгибающий и крутящий моменты, а также поперечную силу через прогиб, запишем условия свободного края в другом виде:

Г я2 д2 ^

О м> о м> —+ V——

'д3м>

дх

У

= 0,

+ (2-у)

у=0

N

(2.21)

у=0

ду3 дудх

Комбинируя эти краевые условия, можно получить все встречающиеся типы пластин.

Однако, в большинстве случае привести точное решение для заданного вида краевых условий не представляется возможным. В связи с чем, широкое применение получили такие приближенные аналитические методы, как метод Ритца, метод взвешенных невязок, Бубнова-Галеркина, Треффца, метод коллокаций, метод наименьших квадратов и т.д.

Для решения уравнения (2.12) используется метод Бубнова-Галеркина, который является частным случаем метода взвешенных невязок и состоит в том, что решение исходного дифференциального уравнения (2.12) заменяется разрешением условия ортогональности этого уравнения, преобразованного в соответствии с выбранным представлением для исходной функции к самой функции.

Функция прогибов аппроксимируется суммой функций независимых переменных вида:

п

= (2.22)

/=1

где (р1 - наперед задаваемые функции;

А}- коэффициенты, определяемые из условия Бубнова-Галеркина, вида:

/= 0, (2.23)

где Х{£,п)~ дифференциальный оператор уравнения (2.12); область интегрирования (вся поверхность плиты).

Для вычисления интеграла (2.23) разобьём область £ на 64 зоны (8x8), делением каждой стороны пластины на 8 равных частей, как это показано на рисунке 2.4, и будем определять как:

/ = (2.24)

где значение подынтегрального выражения (2.23) в центрах зон;

/ аб ч

со0- площадь элементарного прямоугольника (со0 = —).

64

32

28

24

20

36

40

44

№

31

27

23

19

35

39

43

47

/к

у П=у/Ь

30

26

22

18

34

38

42

46

29

25

21

17

33

37

41

45

а

13

49

53

57

61

14

10

50

54

58

62

15

11

51

55

59

63

а

16

12

52

56

60

64

Рисунок 2.4. План расположения 64 зон пластин

(2.25)

(2.26)

Такой подход к решению задачи открывает принципиальную возможность учитывать свои жесткости и другие конкретные условия в каждой зоне пластины.

В случаях, при которых задача распадается на симметричную и кососимметричную составляющие, функцию прогиба можно подобрать в виде:

/ = 1,2,...;/= 1,2,...

- функция прогиба пластины при симметричной нагрузке:

т = 1,3,5,7;и = 2,4,6,8.

- функция прогиба пластины при кососимметричной нагрузке:

Ф?с)=йкс\0-Лкс)ш

£ = 1,3,5,7;/ = 2,4,6,8.

Выражения единичных функций /т, £„ /к, /} должны точно отвечать соответствующий граничным условиям. Их выражения для симметричной нагрузки приведены в таблице 2.2, а для кососимметричной составляющей, появляющейся при неравномерном нагружении - в таблице 2.3. Заметим, что все они нормированы, наибольшее значение каждой из них равно единице. При определении вида функций в таблицах 2.2 и 2.3 каждая из них искалась в виде полинома:

(2.27)

/ = 2(2-28) /=1

коэффициенты которого подобраны так, чтобы соответствовали краевым условиям (жестко защемленный край, шарнирное опирание, свободный край и их сочетания), показанным в таблице 2.2. Степень полинома п подбиралась в зависимости от количества условий на контуре.

Рассмотрим плиту, защемленную по контуру и загруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д.

Форму прогибов для данной пластины будем искать в виде полинома:

ДО = аъ+а^ + а^2 +а3С3 + а4£4+а5С5 +а6С6. (2.29)

Граничными условиями будут:

1) £ = 0,Г(0 = 0 5К = .1Г(0== 0

2) С = 0Д(О=1 6К=1Д(0 = 0

3) С = 0,Г"(О = 0 7)С=1,ПО = 0 (2.30)

4) £ = -1Д(0 = 0

Решая систему уравнений (2.30) получим коэффициенты а,. Форма изогнутой поверхности данной пластины будет иметь вид:

ф(с) = (£4 _ 2£2 +1) • (ту4 - 2т;2 +1). (2.31)

То же самое можно найти из таблицы 2.2, задавая т=3, п=4.

Таким образом, задавая набор индексов т, п, к, I, мы однозначно определяем краевые условия пластины. Комбинируя значения функций / таблиц 2.2 и 2.3, можно получить все практически встречающиеся схемы пластин с различными краевыми условиями и загружениями. Подставляя выражение (2.25) в условие (2.23), приходим к системе уравнений:

,г (2-32)

где

д£4 д^дт] р д£2дг!2 дфт]3 дт]4

Решая уравнение (2.23), получаем значение неизвестных параметров А\, А^ в виде:

I , (2.33)

ы А =ш

[</] ' ' \Л] где [д], [¿/] — обобщенные характеристики нагрузки и жесткости.

Таблица 2.2

Виды функций прогибов в зависимости от краевых условий

Краевые условия т п Функция прогибов в виде ряда

/т) ~~~----—- 1 i(C4-6C2+5) 2 1(774 -6Т72+5) ^ mux пу 2L Ь am«cos C0S" L »1=1,3,5 .«=1,3,5 а 0

А 3 4 774 -2r¡2 +1 2 7VX ?ЛУ cos —cos —— 2 a 2b

; 5 ||(С4-4Г3-ЗС2+С+2) 6 |l(^_77 3 _37?2+J7+2) A „ . mnx 0)=lJYm sin i a m=l

3 ~ — — ^ . 7 -J-(C5-4C4+6C3+28C2+170 48 8 -Lfo'-V+fc/3 +28^+17/7) 48 C0 = 0)i+6)2

Таблица 2.3

Краевые условия к /ГЮ / /Г (л) Функция прогибов в виде ряда

А \ 1 2 |(^5-б773 + 577) ■A -A mnx пу

777 " " XXV ZJ ZJ , m=l,3,5 . »=1,3,5 a b

/ ^ ...... - 3 4 yfo3-2i7s+i7) 2 7tX 2 ЛУ cos —cos —— 2 a 2b

d 5 2Ж5-С4-ЗС3+С2+20 6 2,5(^5 -774 -З773 +Т]2 + 2т]) Д .. . mnx °>=LYm sin i a m=\

—— ^ 7 ^(С5-4С4+6С3+28С2+170 8 -L(4s-V+6i7s+28i72+17i7) 48 0)=0) \+0)2

л 4 оо 1 со

„ _ _ _ _ 4аа -г-. 1 . тпх ^ тл . тих

В таблицах 2.2 и 2.3 «1 =—-— > —-вт-, о>2 = X ^т 81П-

КЪПт=\,Ъ,Ь™Ъ а „=1,3,5 в

<7Д4 ( . . тих _ тпх . тпх „ , _ /яягх , тпх\

ут =^7" Атск-+ Вт-$к-+Стзк-+ От-ск- .

£) V а а а а а а )

Далее, по известным соотношениям из теории анизотропных пластин определяем внутренние усилия:

д2}Г „ д2Ж „„ К = -(А, —5- + А2 —у + 2 Д6 —),

дх£ ду дхду

г, лп

^ = "(^21 -ТТ + С>22^Т + 2£>2б 7Т-), (2.34)

Эх ду дхду

дг» ^

5х ох ду дхду ду

,тл д^ п дгл

Рассмотрим работу плиты в упругой стадии. Размеры пластины в плане 2а х 2Ъ, высота -к

(рисунок 2.4). Плита жестко защемлена по контуру.

Для рассматриваемой пластины, подставляя полученное значение (2.31) в условие Бубнова-Галеркина вида (2.32) и принимая ФуАС) = 0, получим:

П дС д^дт] у дг] дСдтГ

+с122 ^ШОкШ^ч- = о.

дг)

Дифференцируя это выражение, получаем:

А.

34

С/п24(/74-2^2+1) + 4£/16(24С)(4/73-4/7)4-2^(12^-4)(12^2-4) +

+4^(2477X4^ -4^) + с/2224(^4 -2С2 +1)]-(С4 -2С2 -2ц1+ ■

- \\ч<£,Ш* ~ 2С2 +1) ■■ (ЛУ- 2г12+= о.

Определяем жесткости с1,к по всем зонам (таблица 2.4):

К ] = 24 • (т?4 - 2ц1 + 1)(С4 - 2С2 +1) • (>74" 2/?2 +1), [«/„] = 4. (240(4/?3 - 4^)(С4 - 2С2 +1) • О?4 - 2/72 +1),

] = 2 • (12С2 - 4)(12772 - 4)(С4 - 2<Г 2 +1) ■■ (174 - 2П2 +1), [¿26] = 4-(24^3 -4£)(Г "2С2 + 1)-(174 -V +0, [с/22] = 24(£4 -2£2 + 1)(£ 4 - 2С2 +1) • (П* ~ 2^ + IX ] = (£4 - 2£2 +1) • (п* -2Т]2+ 1).

Жесткости dik в зависимости от зоны

ч С fdllj [dl6] [dap] [d26] d22] fq1

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 24 0 32 0 24 1

0,333333 0 14,98308 0 16,85597 25,28395 18,96296 0,790123

0,666667 0 2,286237 0 -3,29218 19,75309 7,407407 0,308642

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0,333333 18,96296 25,28395 16,85597 0 14,98308 0,790123

0,333333 0,333333 11,83848 19,97744 8,878863 19,97744 11,83848 0,624295

0,666667 0,333333 1,806409 7,803688 -1,73415 15,60738 4,624408 0,243865

1 0,333333 0 0 0 0 0 0

0 0,666667 7,407407 19,75309 -3,29218 0 2,286237 0,308642

0,333333 0,666667 4,624408 15,60738 -1,73415 7,803688 1,806409 0,243865

0,666667 0,666667 0,705629 6,096632 0,338702 6,096632 0,705629 0,09526

1 0,666667 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0,333333 0 0 0 0 0 0

0,666667 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

XI 86,61462 94,52218 64,87683 94,52218 86,61462 4,404816

0 -0,33333 18,96296 -25,284 16,85597 0 14,98308 0,790123

0,333333 -0,33333 11,83848 -19,9774 8,878863 19,97744 11,83848 0,624295

0,666667 -0,33333 1,806409 -7,80369 -1,73415 15,60738 4,624408 0,243865

1 -0,33333 0 0 0 0 0 0

0 -0,66667 7,407407 -19,7531 -3,29218 0 2,286237 0,308642

0,333333 -0,66667 4,624408 -15,6074 -1,73415 7,803688 1,806409 0,243865

0,666667 -0,66667 0,705629 -6,09663 0,338702 6,096632 0,705629 0,09526

1 -0,66667 0 0. 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0 0 0

0,333333 -1 0 0 0 0 0 0

0,666667 -1 0 0 0 0 0 0

1 -1 0 0 0 0 0 0

12 45,3453 -94,5222 19,31305 49,48514 36,24425 2,306051

1 2 3 4 5 6 7 8

-0,33333 0 14,98308 0 16,85597 -25,284 18,96296 0,790123

-0,66667 0 2,286237 0 -3,29218 -19,7531 7,407407 0,308642

-1 0 0 0 0 0 0 0

-0,33333 -0,33333 11,83848 -19,9774 8,878863 -19,9774 11,83848 0,624295

-0,66667 -0,33333 1,806409 -7,80369 -1,73415 -15,6074 4,624408 0,243865

-1 -0,33333 0 0 0 0 0 0

-0,33333 -0,66667 4,624408 -15,6074 -1,73415 -7,80369 1,806409 0,243865

-0,66667 -0,66667 0,705629 -6,09663 0,338702 -6,09663 0,705629 0,09526

-1 -0,66667 0 0 0 0 0 0

-0,33333 -1 0 0 0 0 0 0

-0,66667 -1 0 0 0 0 0 0

-1 -1 0 0 0 0 0 0

ЕЗ 36,24425 -49,4851 19,31305 -94,5222 45,3453 2,306051

-0,33333 0,333333 11,83848 19,97744 8,878863 -19,9774 11,83848 0,624295

-0,66667 0,333333 1,806409 7,803688 -1,73415 -15,6074 4,624408 0,243865

-1 0,333333 0 0 0 0 0 0

-0,33333 0,666667 4,624408 15,60738 -1,73415 -7,80369 1,806409 0,243865

-0,66667 0,666667 0,705629 6,096632 0,338702 -6,09663 0,705629 0,09526

-1 0,666667 0 0 0 0 0 0

-0,33333 1 0 0 0 0 0 0

-0,66667 1 0 0 0 0 0 0

-1 1 0 0 0 0 0 0

14 18,97493 49,48514 5,749259 -49,4851 18,97493 1,207285

£ 187,1791 0 109,2522 0 187,1791 10,224

Находим обобщенные жесткости и обобщенную нагрузку:

[с1\ =187,18 а и + 109,25^+ 187,18^, [?] = 10,224?. В частном случае, для изотропной, упругой, квадратной плиты со сторонами 2а получим:

й -я -и -2.

а\ 1 — акр ~ 22 — 4 '

а

л16 = ^26 =

10,224^

---— = 0,0211-^-

(187,18 + 109,25 + 187, Щс1 В

Максимальный прогиб в центре пластины при = 0, г] = 0 равен:

44 = ^зТ™ = 2,11 • 10-2

Следует учесть, что при задании формы прогибов в виде (2.25) удерживался всего один член ряда. Подставляя значения А34 в (2.34), получим значения внутренних усилий в различных зонах данной пластины.

Внутренние усилия Мх,Му,Мху функции прогибов при т=3,17=4:

X у

Ф<Г = (С4-2С2 + 1)-074-2772+1); £=-; 17 = £

а Ь

{ * ч 4 ^ ч ? 'Л2 ^

+1

ф£>=

а

+ 1

ч

-2*

и

М. = -А

34

д

12х2 12 а4 а2

Ъ

ч^у

+ 1

\и J

+ Д

12

Г л4 х 4

а

+2Д

16

~4х3 4х Г4/ 4 у'

а а У Ъ2 _

Му=-А3 4

Д

12

~12х2 12]

а2]

'¿О*-2^'

ъ

ч*>у

+1

ч^у

+ Д

22

/-„V

-2

х

+ 1

12/ 12

ЬА Ъ2

-I \ +

12/ 12

Ъ" Ъ2

у

-, N

+2Д

26

4х3 4х а4 а2

4/ 4у

V1 б2

МХ)=~Ам

Д

16

~12х2 121

д2]

/ \4 / \2 Ч^У Ч^У

+1

+д

26

+1

'12/ 12 б4 Ъ2

34

д

+2Д 24х

\4

Д

»р

а=4

34

д,

д

ч>