Оптимизация управляемого спуска и обобщенные задачи о брахистохроне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Зароднюк, Алёна Владимировна

• Зароднюк, Алёна Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Зароднюк, Алёна Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ----------------------------------3

ГЛАВА 1.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МАКСИМИЗАЦИЯ ДАЛЬНОСТИ В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ------24

1.1. Постановка общей задачи------------------------------25

1.2. Задача максимизации дальности для вязкого трения общего вида -

1.3. Функция сопротивления, пропорциональная уп---------------39

1.4. Определение знака реакции опорной кривой----------------44

1.5 Задача с фиксированной конечной высотой-----------------51

Выводы к первой главе----------------------------------58

ГЛАВА 2.

МАКСИМИЗАЦИЯ ДАЛЬНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗГОНЯЮЩЕЙ СИЛЫ-------------------------61

2.1. Максимизация дальности при разгоняющей силе, пропорциональной скорости---------------------------------------------61

2.2. Задача максимизации дальности при наличии постоянной тяги---64

2.3. Максимизация дальности и минимизация энергетических затрат - - 70 Выводы ко второй главе ---------------------------------

ГЛАВА 3.

МАКСИМИЗАЦИЯ ДАЛЬНОСТИ С УЧЕТОМ СУХОГО ТРЕНИЯ--------------------------------------86

3.1. Максимизация дальности при действии сухого трения---------86

3.2. Максимизация дальности при наличии сухого и вязкого трения - - -

Выводы к третьей главе---------------------------------105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ-------------------------------106

Литература-----------------------------------112

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация управляемого спуска и обобщенные задачи о брахистохроне»

ВВЕДЕНИЕ

В начале XVII века в своих опытах Галилео Галилей показал, что движение шара по дуге окружности, соединяющей две точки, будет всегда быстрее, чем движение по прямой. Так начала зарождаться идея о нахождении кривой наискорейшего спуска, названная в последствии задачей о брахистохроне (от греч."врахьо'тоя" — кратчайший и "хро^оя" — время). Классическая постановка задачи о брахистохроне и одно из ее первых решений принадлежат Иоганну Бернулли. В 1696 он предложил в качестве соревнования геометрам решить задачу о кривой наибыстрейшего спуска. Задача была сформулирована следующим образом: из некоторой точки А отпущено тело М (материальная точка) без начальной скорости; требуется найти по какой траектории оно должно двигаться, чтобы под действием силы тяжести прибыть наискорейшим образом в некоторую заданную точку В.

JB

Рис. 1: Оригинальный рисунок к постановке задаче в журнале Acta Eruditorum 1696 г.

Через несколько месяцев почти одновременно было получено несколько решений задачи. Задача была решена самим Бернулли, его братом Яковом Бернулли, Ньютоном, Лейбницем, Чирнхаусом и Лопиталем. Решения

отличались друг от друга, но приводили к одному и тому же выводу: траектория наискорейшего спуска — выпуклая вниз циклоида, наивысшая точка которой находится в верхней из данных двух точек [1, 2]. Позднее Эйлер поставил задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде и показал, что циклоида не является ее решением [3], и что уравнения брахистохроны в сопротивляющейся среде интегрируемы в квадратурах [4, 5, 6]. Задача о брахистохроне положила начало вариационному исчислению, которое в своем решении использовал Ньютон и стала одной из первых задач оптимального управления.

Во второй половине XX века методы теории управления были применены к различным задачам оптимизации движения летательных аппаратов. Решение конкретных задач, в свою очередь, привело к дальнейшему развитию и конструктивных методов оптимального управления, и самой теории. Основополагающими работами в этой области явились труды советских ученых [7, 8, 9, 10].

Довольно быстро была развита теория линейных управляемых систем с терминальным или квадратичным функционалом. В первом случае управление принимало граничные значения из допустимой области, во втором - вычислялось с помощью решений уравнения Риккати. Для задач оптимального управления нелинейными системами оказалось, что оптимальное управление зачастую лежит внутри области допустимых управлений, а оптимальная траектория содержит комбинацию регулярных и сингулярных (особых) дуг. Такие задачи принято называть вырожденными задачами оптимального управления, и их решение представляет существенные трудности, поскольку на участке особого управления необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина выполняются тривиальным образом. Один из распространенных подходов к исследованию таких задач состоит в том, чтобы вырожденную задачу, нерегулярную с точки зрения общих методов, заменить регулярной задачей, решение которой содержит все элементы для последующего построения искомого решения. Для реализации такого подхода используется метод преобразования в пространстве состояний, независимо друг от друга разработанный в [11] и [12]. Идея метода заключается в преобразовании системы, содержащей

управления линейно, к системе, в которой управление входит в правую часть только одного уравнения. Далее производится редукция к системе меньшего порядка с нелинейно входящим управлением. Задача оптимального управления для редуцированной системы является регулярной и может быть исследована с помощью принципа максимума. Описанный подход особенно конструктивен в случае, когда исходная задача может быть заменена редуцированной на всем отрезке времени управления. Отметим, что из-за понижения размерности решение редуцированной задачи в общем случае может не удовлетворять всем граничным условиям исходной задачи. Наличие или отсутствие особого управления в задаче определяется свойствами нелинейной системы, а включение особой дуги в состав оптимальной траектории — видом функционала и краевыми условиями.

Решение редуцированной задачи принято называть магистральным решением [12] для исходной задачи, поскольку оно инвариантно по отношению ко подмножеству граничных условий. Наличие магистрального решения является «грубым», робастным свойством задач оптимального управления в случае, если экстремальная траектория проводит избыток времени в подпространстве состояний. При изменении краевых условий задачи магистральное решение остается прежним. Практика исследования прикладных задач оптимального управления показала, что часто особые экстремали являются оптимальными и, более того, выступают в качестве магистралей: любая неособая траектория из их окрестности выходит на особую за конечное время [13].

Важность выявления и исследования особых режимов в задачах оптимального управления объясняется также следующим свойством: если оптимальная траектория, исходящая из некоторой точки, содержит участок особого управления, то этим же свойством обладают все оптимальные траектории, исходящие из близких точек.

Представляется уместной следующая аналогия. Магистральные решения и особые дуги играют такую же роль в решении задачи оптимального управления, как нахождение стационарных решений и определение их типа в задаче построения глобального фазового портрета динамической системы.

Известно, что при исследовании задач оптимального управления конструктивным является построение управления в виде функции исходных переменных, или, иначе говоря, решение задачи оптимального синтеза. Такой синтез первоначально был построен в примерах оптимального быстродействия, оптимальной стабилизации линеаризованной модели математического маятника в [9] и [14], а также для линейных систем с квадратичным критерием. В задачах оптимизации нелинейных систем насчитывается немного примеров оптимального синтеза. Назовем задачу о подъеме ракеты-зонда на максимальную высоту [8, 15, 16, 17] и простейшие постановки задачи Маркова-Дуббинса [18] планирования траекторий. Задача оптимального синтеза значительно усложняется в случае особого управления более высокого порядка, чем первый. Примеры решния таких задач приведены в [19].

В случае, когда ограничениями на управление можно пренебречь и рассматривать только магистральные решения, возможность построить экстремальный синтез существенно возрастает. Примерами могут служить навигационная задача Цермело [20, 21] и задача оптимального отрыва от преследователя, наводящегося методом пропорциональной навигации [22].

Движение в магистральном режиме составляет основную часть оптимального процесса по длительности и по приращению функционала, а магистраль определяется независимо от граничных участков траектории. Оказывается возможной декомпозиция задачи оптимального управления на более простые задачи определения магистрали и траекторий перехода на магистраль и с магистрали. Поскольку вклад участков перехода в общее приращение функционала относительно невелик, то их можно определить из рациональных соображений достаточно быстрого выхода на магистраль, что позволяет эффективно строить квазиоптимальные режимы [23].

Указанная декомпозиция дает возможность синтезировать оптимальные системы как системы трехэтапного движения: переход на магистраль, движение по магистрали, переход в конечную точку. Реализация управления особенно удобна, если магистрали удается найти аналитически. Следуя работе [23], будем различать два типа оптимальных задач. В первом случае избыток времени фазовая траектория проводит в некоторой ограниченной

области подпространства состояний. Этот случай иллюстрирует задача о брахистохроне при наличии вязкого сопротивления. Во втором случае фазовая траектория в оптимальном процессе проводит избыток времени как можно дальше от начала координат. Примером является задача о брахистохроне при отсутствии сопротивления или с кулоновым трением.

Магистральное решение может быть использовано в качестве начального приближения при использовании итерационных численных процедур решения соответствующих краевых задач.

В данной диссертационной работе рассматривается движение центра масс твердого тела в сопротивляющейся среде, в однородном поле силы тяжести, при наличии сил вязкого и сухого трения и разгоняющей силы (тяги). Предполагается, что движение вокруг центра масс не влияет на движение центра масс. Процесс происходит в вертикальной плоскости. Исследуется ряд задач максимизации горизонтальной координаты за фиксированное время. Наряду с задачей максимизации горизонтальной дальности рассматривается задача быстродействия, или модифицированная задача о брахистохроне — задача выбора формы траектории, соединяющей заданные начальную точку и конечную вертикальную прямую в плоскости, время движения по которой будет минимальным. Предполагается, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Тогда, при соответствующем выборе параметров «конечная дальность» — «время процесса» указанные задачи являются взаимными, а оптимальные управления и траектории задачи максимизации дальности и задачи быстродействия совпадают.

При наличии опорной кривой в качестве управляющего воздействия принимается сила реакции этой кривой, а при нестесненном движении центра масс тела в атмосфере в качестве управления выступает подъемная сила.

Во всех примерах задач оптимизации управляемого спуска, рассмотренных в данной работе, удается выразить управления, как функцию переменных, входящих в исходную динамическую систему, иначе говоря, построить синтез экстремального управления. Это касается случаев как вязкого, так

и сухого трения.

В задачах с вязким сопротивлением проводится редукция к системе с нелинейно входящим управлением, а затем, с помощью принципа максимума Понтрягина, задача оптимального управления сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений для исходных переменных и управления. Структуру оптимального синтеза и поведение особых оптимальных траекторий в таком случае можно исследовать с помощью методов теории динамических систем, которая на текущий момент получила очень глубокое и серьезное развитие [24]. Как отмечено в работе [25], «вплоть до конца XIX века основные усилия математиков, механиков и физиков были направлены на получение явных решений уравнений динамики. Переворот в понимании подходов и приоритетов произвел А. Пуанкаре, который, с одной стороны, объяснил, что в общей ситуации получение явных формул для решений дифференциальных уравнений — дело безнадежное, а с другой стороны предложил ряд методов качественного исследования димических систем». Качественный анализ экстремальных траекторий позволяет получить целостное представление о них, выявить и обосновать характерные свойства, которые другими авторами были сформулированы в виде гипотез или получены как результаты численного моделирования. Численное интегрирование для конкретных краевых условий или построение траекторий в соответствии с полученными формулами без качественного анализа не позволяет представить полную картину движений, так же, как построение графика функции по точкам без ее полного анализа не дает полного понимания поведения всей кривой.

Рассмотренные задачи оптимального управления сводятся к краевым задачам для нелинейных динамических систем. Установлено, что в случае вязкого трения эти системы имеют стационарное решение типа седла, отвечающее наивыгоднейшему углу спуска. Характерно, что тип особой точки не меняется при использовании различных моделей сопротивления среды, а также при учете разгоняющей силы. Наличие седловой точки является иллюстрацией разноустойчивости исходной и сопряженной систем, и является качественным и «грубым», робастным свойством краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления, если траектория проводит из-

быток времени в ограниченной области подпространства состояний. Иначе говоря, в случае вязкого сопротивления, описанного ниже вида, система является структурно устойчивой. При незначительных изменениях системы ее фазовые портреты оказываются топологически эквивалентными.

Известно, что трудности, связанные с решением краевых задач для систем разноустойчивых уравнений, являются ограничением для применения теории оптимального управления в механике. Тот факт, что в настоящее время не существует общего алгоритма и нет соответствующей программы для решения двухточечных краевых задач принципа максимума, делает каждую успешно разрешенную задачу такого рода ценной.

Оказывается, что при достаточно больших временах процесса движение происходит в окрестности этой седловой точки, которая представляет собой асимптотическое магистральное решение. Тип этого стационарного решения - седло, сохраняется при изменении не только краевых условий, но и при изменении параметров исходной динамической системы. В системах второго порядка именно седло (или седло-узел) могут быть асимптотическими магистралями, лежащими в ограниченной области фазового пространства, поскольку из окрестности особой точки другого типа траектория не сможет выйти для выполнения краевых условий. При больших временах процесса экстремальная траектория может быть разделена на три участка. Первый соответствует быстрому выходу в окрестность седловой точки, второй, относительно долгий, представляет собой «дрейф» точки в фазовой плоскости в окрестности седла, и третий отвечает быстрому выходу из окрестности седла на краевое условие. Следовательно, наличие сед-ловой точки позволяет построить легко реализуемый квазиоптимальный алгоритм управления.

Движению в окрестности седловой точки в фазовой плоскости соответствует квазипрямолинейный участок в вертикальной плоскости движения материальной точки. Ранее наличие такого участка было сформулировано в виде гипотезы в работе [26], или проявлялось, как результаты численного моделирования в статьях [27, 28, 29]. Для случая квадратичного сопротивления среды существование седловой точки и квазипрямолинейного участка было установлено [30, 31].

В случае одновременного влияния вязкого и сухого трения найдено особое управление, выражающееся через исходные переменные задачи. Структуру оптимального синтеза и поведение особых оптимальных траекторий в таком случае также можно исследовать с помощью методов теории динамических систем. Установлена область переменных, для которых модуль реакции опоры раскрывается однозначно. При одновременном действии сухого трения и вязкого сопротивления в системе сохраняется магистральное решение.

Исследована также задача при наличии только сухого трения. Доказано, что модуль реакции опоры раскрывается однозначно. При этом структура фазового портрета меняется радикально, и седловая точка, отвечающая асимптотическому магистральному решению, исчезает при отсутствии вязкого сопротивления. При избытке времени траектория в фазовой плоскости может сколь угодно удаляться от начала координат и стационарной магистрали в этой задаче не существует. Аналогичная ситуация имеет место и при отсутствии любого трения, когда рассматривается только влияние силы тяжести.

Отметим, что принадлежность управления открытому множеству, а также гладкость полученных в работе решений, позволили сравнительно эффективно применить численные методы в рассмотренных задачах.

В середине прошлого века внедрение методов автоматического регулирования и оптимизации в задачах управления летательными аппаратами стимулировало не только развитие соответствующей теории, но и привело к новым постановкам задач оптимального управления. Среди таких задач отметим задачи максимизации дальности полета, быстродействия перевода объекта из начального положения в конечное, подъема ракеты на максимальную высоту [8, 15], оптимизации управляемого спуска и т.д. [30, 32]. Обобщения затронули и классическая задачу о брахистохроне. Появились работы, в которых рассматривались минимальные по времени траектории движения в вертикальной плоскости при наличии вязкого сопротивления, сухого трения и разгоняющей силы. В работах [32, 33] для исследования задач оптимизации траекторий летательного аппарата была предложена «промежуточная» модель, в которой в качестве управлений рассматрива-

лись угол наклона траектории и сила тяги, в дальнейшем эта модель использовалась в различных постановках задач оптимального управления, например, см. [34]. Управление углом наклона траектории означает возможность менять подъемную силу, не изменяя при этом силу сопротивления. В задаче о брахистохроне роль подъемной силы для «промежуточной» модели летательного аппарата играет нормальная реакция силы реакции опорной кривой, по которой должна двигаться соскальзывающая материальная точка. С некоторой степенью приближения к таким летательным аппаратам относятся: вращающийся цилиндр, для которого роль подъемной силы играет сила Магнуса [35]; конвертоплан.

В работе [36] рассматривалась задача о брахистохроне и задача максимизации дальности при наличии сопротивления, пропорционального второй степени скорости, а также при постоянной силе тяги при отсутствии сопротивления. Эти задачи представлялись в качестве простейших аппроксимаций для моделирования движения ракет различного назначения. Полученные уравнения, описывающие экстремальное движение, моделировались при помощи аналоговых вычислительных машин. В [38] исследовалась задача при наличии постоянной разгоняющей силы и линейного вязкого сопротивления с целью выбора оптимальной формы беговой дорожки. В [27] рассмотрен случай разгоняющей силы, пропорциональной первой степени скорости. Для решения соответствующих краевых задач использовался метод стрельбы, реализованный на электронно-вычислительных машинах. Более общие случаи вязкого сопротивления анализировались в статьях [26, 27, 39]. В [5] рассматривалась задача о брахистохроне в сопротивляющейся среде в предположении, что скорость вдоль траектории монотонно возрастает, что позволило принять эту скорость в качестве независимой переменной и выразить через нее координаты движущейся точки. В работах [40, 41] практически одновременно исследовалась задача о брахистохроне с сухим трением. Исследованию задачи при наличии сухого трения посвящены также работы [6, 27, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. В работе [48] задача о брахистохроне при наличии вязкого сопротивления и сухого трения рассматривалась для специального класса траекторий, такого, что скорость движения по этим траекториям ненулевая и время движения до каждой

внутренней точки минимально для этой точки. В общем случае такое ограничение приводит к сужению множества, на котором ищется экстремум функционала. В работе [50] задача о брахистохроне была рассмотрена в предположении, что точка может терять контакт с кривой, по которой соскальзывает — случай односторонней связи. В этом случае показано, что при ненулевой начальной скорости движению по циклоиде предшествует дуга движения по параболе свободного падения.

Обобщения классической задачи о брахистохроне с учетом разгоняющей силы рассматривались в работах [27, 29, 38, 49, 51, 52]. Например, в работе [27] рассматривалось движение тяжелой частицы в вертикальной плоскости для разгоняющей силы общего вида зависимости от скорости. В результате исследования были получены уравнения движения в квадратурах. Там же приведены результаты моделирования для случая разгоняющей силы, пропорциональной скорости, а в [29] такая же задача решалась при помощи генетического алгоритма. В [52] случай разгоняющей силы, пропорциональной первой степени скорости, исследован методом фазовой плоскости, установлены качественные свойства траекторий, подтверждающие численные решения работ [27], [29]. В диссертации [36] представлена задача о брахистохроне с постоянной разгоняющей силой, но при отсутствии сопротивления. В работе [38] в задаче учитывалось наличие постоянной разгоняющей силы и силы линейного вязкого трения. В статьях [49, 51] изучен случай квазипостоянной разгоняющей силы. При этом задача решалась на классе оптимальных траекторий, для которых время прохождения каждой её внутренней точки минимально для этой точки. Аналитически установлены свойства траекторий с квазипостоянной разгоняющей силой без трения. Были получены уравнения движения в квадратурах; приведены результаты численного моделирования; так как задача решалась для нулевой начальной скорости, то был предложен путь устранения особенности в нуле при нулевой начальной скорости.

Первые работы, посвященные программированию тяги вдоль заданной траектории, появились в середине XX века в связи с развитием реактивной техники. В [8, 15, 53] работах приведено решение задачи Годдарда о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту. Было установле-

но наличие участка промежуточной тяги и программа чередования особых и неособых дуг. Аналогичные задачи оптимизации тяги при одномерном движении опубликованы для случая горизонтального полета [54] или движения тележки при наличии сопротивления, нелинейно зависящего от скорости [55]. Анализ задач для более сложных моделей атмосферы для одномерного движения изучен в работах [56, 57]. В статье [58] задача Годдарда обобщена для случая плоского движения. Оптимизация траекторий летательного аппарата в случае, когда наряду с тягой в качестве управления принят угол наклона траектории, рассмотрена в работах [33, 34, 59, 60].

Постановка задачи актуальна для проектирования оптимального профиля перемещения колонны бурильных и обсадных труб в скважины с заданными начальной и конечной точками, при определении формы лотков для различных сыпучих материалов, при построении профиля железнодорожных сортировочных горок, выборе формы эвакуационных трапов, аттракционов типа «американские горки» и т.д. [43, 62, 63, 64, 65, 66]. Различные обобщения задачи о брахистохроне, находящие свое отражение в учебных курсах и практикумах по теории управления, имеют не только безусловный методический интерес. В задачах оптимизации движения после нахождения программной траектории важно определить перегрузки, действующие на движущийся объект и на находящегося на нем человека. Одной из задач пилота является управление движущимся объектом по желаемой траектории движения. Найденные перегрузки, как функции времени, подлежат воспроизведению на тренажёре в процессе динамической имитации движения. При активном участии пилота в управлении объектом вычислитель тренажёра, используя информацию от органов управления, интегрирует уравнения движения объекта, получая программную траекторию, и по параметрам этой траектории затем формируются управляющие сигналы на исполнительные механизмы тренажёрного стенда, воспроизводящие перегрузки [67].

Одним из обобщений задачи о брахистохроне явилось рассмотрение движения не в однородном, а центральном поле силы тяжести. В статье [68] получены необходимые условия оптимальности для такой постановки, а в [69] дополнительно приведены результаты расчетов. В работе [70] предлага-

ется алгоритм численного решения задачи о брахистохроне в центральном поле. Анализ задачи в центральном поле также проводится в работе [71]. Работа [72] посвящена траекториям наименьшего времени при учете релятивистских эффектов.

Задача о брахистохроне для твердого тела исследовалась в работах [73, 74, 75, 76]. В [73] рассматривалась задача о брахистохроне для диска, катящегося без проскальзывания по опорной кривой. В [74] рассматривали постановку задачи о брахистохроне в горизонтальной плоскости, проанализировав модифицированную математическую модель машины Маркова-Дуббинса. В работе изучалось брахистохронное движение колесного экипажа в горизонтальной плоскости при наличии сухого трения и без бокового проскальзывания колес. Задача оптимального управления была сведена к краевой задаче, которая решалась методом стрельбы. Структура оптимальной траектории, комбинация регулярных и сингулярных дуг определялась из условий выполнения или нарушения ограничений на управление. В [75] применен метод Охоцимского-Понтрягина для анализа задачи о брахистохроне для абсолютно твердого тела типа конька Чаплыгина, соскальзывающего в вертикальной плоскости вдоль опорной кривой и получены условия экстремальности. В [76] исследовали брахистохронные траектории для саней Чаплыгина. Было показано, что в общем случае оптимальная траектория состоит из комбинации регулярных и сингулярных дуг.

Задача о брахистохроне при наличии сопротивления или разгоняющей силы использовалась для демонстрации эффективности и возможностей различных методов решения краевых задач, как в [29], в качестве примера хорошей работы генетического алгоритма.

В статье [26] рассматривалось движение материальной точки в вертикальной плоскости под действием линейного вязкого трения, и под действием сухого. При этом соотношения для движения при наличии сухого трения выводятся из закона Снеллиуса, использование которого в этом случае, вообще говоря, некорректно [47]. Задача решалась в предположении, что для сухого трения реакция опоры и центростремительная силы сона-правлены и кривая выпукла вниз. На основе этого не строго обоснованного предположения были получены уравнения движения точки в квадратурах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зароднюк, Алёна Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Sussmann H.J., Willems J.C. 300 Years of optimal control: From the brachystochrone to the maximum principle// IEEE Control Systems. —1997. — P.32-44.

[2] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. — 1979.

[3] Goldstine H.H. A history of Calculus of variations from the 17th through the 19th century// Springer-Verlag, New York. —1981.

[4] Гриффитс Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление// Изд.: Москва. Мир. —1986. — 360 С.

[5] Pars L.A. An introduction to the calculus of variations// Dover Publications. — 2013. — 368 P.

[6] Сумбатов А.С. Задача о брахистохроне (классификация обощений и некоторые последние результаты)// Труды МФТИ. —2017. — Т. 9. — №3. — С.66-74.

[7] Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами// ДАН СССР. —1946. — Т. 51.

- №5. - С.339-342.

[8] Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет// Прикладная математика и механика. -1946. -Т.10. -№2. -С.251-272.

[9] Фельдбаум А.А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования// Автомат. и телемех. — 1953. — Т.14. - № 6. -С.712-728.

[10] Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования// УМН. -1959. - Т. 14. - №1. - С.3-20.

[11] Kelley H.J. A transformation approach to singular subarcs in optimal trajectory and control problems // SIAM J. Control. - 1964. - 2. - P. 234-240.

[12] Гурман В.И., Ни Минь Кань. Вырожденные задачи оптимального управления. I // Автомат. и телемех. - 2011. - 3. - С. 36-50.

[13] Локуциевский Л. В. Особые экстремали в задачах с многомерным управлением. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва -2015.

[14] Bushaw D.W. Optimal discontinuous forcing terms// in S. Lefschetz (ed.), Contributions to the theory of nonlinear oscillations. - Vol. 4. - 1961. -P. 82-102.

[15] Tsien H.S., and Evans R.C. Optimum thrust programming for a sounding rocket// J. of American rocket society. —1951. —Vol.21. —№5. — P. 99-107.

[16] Leitmann G. Optimum thrust programming for high altitude rockets// Aeronautical engineering review. —1957. —Vol.16. —№6. —P.63-66.

[17] Miele A. On brachistochronic thrust program for a rocket powered missile traveling in an isothermal medium

Jet propulsion. —1958. —Vol.28. —№10. —P.675-684.

[18] Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents// Am. J. Math. — Vol.79. — № 3. — 1957. — P. 497-516.

[19] Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления, Некоторые вопросы теории колебаний и теории оптимального управления // Труды МИАН СССР — 1991. — T. 197. — C. 85-166.

[20] Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления// М.: Мир. — 1972. — 544 С.

[21] Bakolas E., Tsiotras P. Optimal Synthesis of the Zermelo-Markov-Dubins Problem in a Constant Drift Field// JOTA. —2013. — V. 156. — P. 469—492. DOI 10.1007/s10957-012-0128-0.

[22] Cherkasov O. Yu., Yakushev A.G. Singular arcs in the optimal evasion against a proportional navigation vehicle// JOTA. —2002. — V. 113. — № 2. — P. 211—226.

[23] Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем // Минск, "Наука и техника—1986. — С. 296.

[24] Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике// Часть 2. -М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований. — 2009. — С. 548.

[25] Трещев Д. В. Хаос в динамических системах классической механики// Всероссийская конференция молодых ученых-механиков (YSM-2018), Сочи, 4-14 сентября.

[26] Parnovsky A.S. Some Generalisations of Brachistochrone Problem// Acta Physica Polonica. — 1998. — V. 93. — P. 55-64.

[27] Vratanar B., Saje. M. On the analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field // Int. J. Non-Linear Mechanics. — 1998. — V. 33. — P. 489-505.

[28] Archishman Raju A simple way to solve the brachistochrone problem with resistance// Physics Education. — Vol.28. — № 3. — 2012. — P. 1-6.

[29] Chen D., Liao G., Wang J. The Solution of Brachistochrone Problem Based on the Genetic Algorithm // Intern. J. Mechanics Research. 2015. V. 4. № 4. P. 76-88.

[30] Абуладзе М.В. О пассивном полете на максимальную дальность// Вест. Моск. ун-та, Серия 1. Математика. Механика. — №2. — 1986. —

С. 102-105.

[31] Локшин Б.Я., Черкасов О.Ю. О структуре оптимальных траекторий движения вращающегося тела в сопротивляющейся среде // Вестник МГУ. Сер. 1, Матем., мех. — 1990. — № 2. — С. 63-67.

[32] Kelley, H.J. An Investigation by Variational Methods of Flight Paths for Optimum Performance// Sc. D. Dissertation. New York University. — 1958.

[33] Menon P.K.A., Kelley H.J, and Cliff E.M. Optimal Symmetric Flight with an Intermediate Vehicle Model, J. Guidance. —Vol. 8. — № 3. — 1985. — P. 312-319.

[34] Гревцов Н.М., Ефимов О.Е., Мельц И.О. Оптимизация траекторий снижения самолета в вертикальной плоскости// Ученые записки ЦАГИ. —1995. — Т. XXVI. — № 3-4. — C. 98-110.

[35] Локшин Б.Я. Об одном движении быстровращающегося тела в воздухе// Вест. Моск. ун-та, Серия 1. Математика. Механика. — №6. — 1970. — С. 93-98.

[36] Vincent T. L. The use of variational techniques in the optimization of flight trajectories // Ph.D.Dissertation. University of Arizona. Engineering, aeronautical. — 1963.

[37] Pachter M., Yavin Y. Simple-motion pursuit-evasion differential games, Part 2: optimal evasion from proportional navigation guidance in the deterministic and stochastic cases// JOTA. — 1986. — Vol. 51. — No. 1. — P. 129-159.

[38] Drummond J. E, Downes G.L. The Brachistochrone with Acceleration: A Running Track //J. Optimization Theory and Applications. 1971. V. 7. № 6. P. 444-449.

[39] Lipp. S. C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. 35, № 2. 562-584.

[40] Гершман М.Д., Нагаев М.Д. О фрикционной брахистохроне// МТТ. -1976. - № 4. - C. 85-88.

[41] Van Der Heijden A.M.A, Diepstraten J.D. On the brachystochrone with dry friction// Int. J. Non-Linear Mechanics. -1975. — V. 10. — P. 97-112. (ERRATA) On the brachystochrone with dry friction// Int. J. Non-Linear Mechanics. -1975. - V. 10. - P. 346-346.

[42] Ashby N., Brittin W.E., Love W.F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction// Amer. J. of Phys. - Vol. 43. - № 10. - 1975. - P. 902-905.

[43] Slavisa Salinic. Contribution to the brachistochrone problem with Coulomb friction // Acta Mech. - 2009. -208. - P. 97-115.

[44] Negron-Marrero P.V., Santiago-Figueroa B.L. The Nonlinear Brachistohrone Problem with Friction//Dept.of Mathematics University Puerto Rico Humacao, PR 00791-4300. Technical Report. - 2005. - 23p.

[45] C.M. Wensrich Evolutionary solutions to the brachistochrone problem with Coulomb friction// Mechanics Research Communications. - V. 31. - 2004. - P.151-159.

[46] Jeffrey C. Hayen. Brachistochrone with Coulomb friction// Int. J. of Non-Linear Mechanics. -Vol. 40. — 2005. - P. 1057 - 1075.

[47] Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the solution of an isoperimetrical variational problem// Int. J. of Non-Linear Mechanics.

- Vol. 88. - 2017. - P. 135-141.

[48] Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением// Изв РАН. Теор. и сис. упр.

- 2010. - № 5. - С. 41-52.

[49] Вондрухов А.С., Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с разгоняющей силой// Изв. РАН. ТиСУ. -2014. - № 6. - C. 42-57.

[50] Stork D.J., Yang J., Stover C. The unrestrained brachistochrone// American Journal of Physics. - 1986. - V. 54. - P. 992-997.

[51] Вондрухов А.С., Голубев Ю.Ф. Оптимальные траектории в задаче о брахистохроне с разгоняющей силой // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 4. C. 13-23.

[52] Cherkasov O. Yu., Zarodnyuk A.V. Brachistochrone Problem with Linear and Quadratic Drag and Accelerating Force // Mathematics in Engineering, Science and Aerospace (MESA). - 2015. - V. 6. - № 1. -P. 35-44.

[53] Miele A. Optimum Climbing Technique for a Rocket-Powered Aircraft// Jet Propulsion. - V. 25. - № 8. - 1955. P. 385-391.

[54] Miele A. Extremization of Linear Integrals by Green's Theorem// Optimization Techniques with Applications to Aerospace Systems. Academic, New York. — 1962. — P. 69-98.

[55] Dmitruk A., Samylovskiy I. A simple trolley-like model in the presence of a nonlinear friction and a bounded fuel expenditure // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, control and optimization. — 2013.

— V. 33. — № 2. — P. 135-147.

[56] Tsiotras P. and Kelley H. J. Goddard Problem with Constrained Time of Flight// Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — V. 15, — № 2.

— March-April 1992. — P. 289-296.

[57] Tsiotras P. and Kelley H. J. Drag-law Effects in the Goddard Problem// Automatica. — V. 27. — № 3. — 1991. — P. 481-490.

[58] Bonnans F., Martinon P., Trelat E. Singular Arcs in the Generalized Goddard's Problem// J Optim. Theory Appl. — 2008. — V. 139. — P. 439-461.

[59] Исаев В.К. Принцип максимума Л.С. Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет// Автомат. и телемех. — 1961. — Т. 22.

— № 8. — P. 986-1001.

[60] Craifaleanu A., Petra R.A.Influence of drag force upon the shortest time trajectory of an aircraft //INCAS BULLETIN. — 2015. — Vol. 7. — № 2. —P. 63 - 70

[61] Локшин Б.Я., Самсонов В.А. Задача о движении тела в сопротивляющейся среде // Изд. Моск. Универ. —2012.

[62] Оганов Г.С., Прохоренко В.В., Ширин-Заде С.А., Сароян А.Е. Энергосберегающий профиль направленной скважины - новое проектное решение НПО "Буровая техника" - ВНИИБТ // Наука и техника в газовой промышленности. 2010. № 1(41).

[63] Зароднюк А. В., Черкасов О. Ю. О максимизации горизонтальной дальности и брахистохроне с разгоняющей силой и вязким трением // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2017. — Т. 4. — С. 3-10.

[64] Архангельский Е.В. Расчет и проектирование сортировочных горок повышенной, большой и средней мощности: учебное пособие / Е.В. Архангельский, А.Н. Сухомятин. - Рос. Открытый Ун-т путей сообщения. - М.:Изд. РГОТУПС. 2003. - 83 с.

[65] Gulyayev V.I. , Hudoly S.N., Glovach L.V. The computer simulation of drill column dragging in inclined bore-holes with geometrical imperfections// Int. J. of Solids and Structures. — №48. —2011. — P. 110—118

[66] Медников В.Н. Динамика полета и пилотирование самолетов. Монино: Изд-во ВВА, 1976. 386 с.

[67] Александров В. В., Воронин Л. И., Глазков Ю. Н., Ишлинский А. Ю., Садовничий В. А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов // М.: Изд-во МГУ. — 1995. — 160 С.

[68] Dj. Djukic, T.M. Atanackovic A note on the classical brachistochrone// Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), vol. 27 (1976), P. 677-681.

[69] B. Singh, R. Kumar. Brachistochrone problem in nonuniform gravity// Indian J. Pure Appl. Math., 19 (6) (1988), P. 575-585.

[70] Иванов А. Г. Задачи о брахистохроне в центральном поле тяготения // Алгоритмы и прогр. средства парал. вычислений. — 1998. — С. 95—109.

[71] Shevchenko K.N. Time-optimal motion of a point acted upon by a system of central forces// Mech. Solids.— 1984.— V. 19. — № 6. — P. 25-31.

[72] Goldstein H.F., Bender C.M. Relativistic brachistochrone// Am. Inst. of Physics.— 1986. — P. 507.

[73] Акуленко Л.Д. Аналог классической брахистохроны для диска//ДАН. — 2008. — Т.419. — №2. — С. 193-196.

[74] Radulovic , Obradovic A.,Salinic S., Mitrovic Z. The brachistochronic motion of a wheeled vehicle // Nonlinear Dyn. —2017. — V.87. — P. 191--205

[75] Голубев Ю. Ф. Брахистохрона для твердого тела, скользящего по кривой // Изв. РАН. ТиСУ. — 2013. — № 4. — С. 71-87.

[76] Salinic S., Obradovic A., Mitrivic Z., Rusov S. On the brachystochronic motion of the Chaplygin sleigh// Acta. Mech. — 2013. — V. 224. — P.

2127-2141.

[77] Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с сухим и произвольным вязким трением// Изв. РАН. ТиСУ. — 2012. — № 1. — С. 24-39.

[78] Cherkasov O. Y, Zarodnyuk A. V. Brachistochrone problem with linear and quadratic drag // AIP Conference Proceedings. — 2014. — Vol. 1637.

— P. 195-200.

[79] Зароднюк А. В., Черкасов О. Ю. К задаче о брахистохроне с линейным вязким трением // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2015. — № 3. — С. 65-69.

[80] Zarodnyuk A. V., Cherkasov O. Y, Bugrov D. I. Range maximization and brachistochrone problem with coulomb friction, viscous drag and accelerating force // AIP Conference Proceedings. — 2017. — Vol. 1798.

— P. 0200401-02004010.

[81] Zarodnyuk A. V., Bugrov D. I., Cherkasov O. Y. Features of the support reaction in the brachistochrone problem in a resistant medium // Journal of Mathematical Sciences, Plenum Publishers. — 2018. — Vol. 22, no. 2. — P. с.---с. —.

[82] Зароднюк А.В., Черкасов О.Ю. Качественный анализ оптимальных траекторий движения материальной точки в сопротивляющейся среде и задача о брахистохроне // Известия РАН. Теор. и сис. упр. — 2015.

— № 1. — С. 41-49.

[83] Cherkasov O.Yu., Zarodnyuk A.V. Optimal Controlled Descent in the Atmosphere and the Modified Brachistochrone Problem

Proceedings of the 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, Yekaterinburg, Russia, October 15-19, 2018.

[84] Zarodnyuk A.V., Cherkasov O.Yu. Support reaction in the brachistochrone problem in a resistant medium // Dynamical Systems in Applications. — Vol. 249 of Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. — Lodz, Poland, 2018. — P. 451-460.

[85] Zarodnyuk A. V., Cherkasov O. Y. Optimal thrust programming along the brachistochronic trajectory with drag // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical Systems Analysis. Proceedings of 14th International Conference on "Dynamical Systems — Theory and Applications". — Lodz, Poland, 2017. — P. 591-598.

[86] Зароднюк А. В., Закиров А. Н., Черкасов О. Ю. Управление тягой вдоль брахистохроны при наличии вязкого трения // Инженерный журнал: наука и инновации. — 2018. - T. 76. — № 4. — С. 1-14.

[87] Зароднюк А. В., Черкасов О. Ю. Качественный анализ задачи о брахистохроне сухим трением и максимизация горизонтальной дальности // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2016. — № 4. — С. 54-59.

[88] Jeremic O. , Salinic S., Obradovic A., Mitrovic Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields // Mathem. and Comp. Modelling. — 2011. — 54. — P. 2900-2912.

[89] Cherkasov O.Yu, Zarodnyuk A.V. Brachistochrone problem with Coulomb friction and viscouse drag: qualitative analysis // Preprints 1st Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear System, MICNON

2015, IFAC. - 2015. - V. 48. - № 11. - P. 1018-1023.

[90] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов, 4-е изд. М.:Наука, 1983.

[91] Cherkasov O.Yu., Zarodnyuk A.V. Range maximization and brachistochrone problem with friction and thrust // Mathematics in Engineering, Science and Aerospace (MESA). -2017. — V. 8. — № 3. — P. 265-274.