Оптимизация распределенного воздействия на стационарный поток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Петренко, Ирина Анатольевна

• Петренко, Ирина Анатольевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Петренко, Ирина Анатольевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение

ГЛАВА 1. Постановка задач оптимизации

1.1. Формулировка задач оптимизации

1.1.1. Разрешимость задачи Рх

1.1.2. Разрешимость задачи Р2

ГЛАВА 2. Оптимизация выброса в одномерный поток

2.1. Модель реакции-адвекции-диффузии

2.1.1. Оптимальное постоянное управление

2.1.2. Оптимальное измеримое управление

2.1.3. Оптимальное обобщенное управление

2.2. Модель реакции-адвекции

2.2.1. Оптимальное постоянное управление

2.2.2. Оптимальное измеримое управление

ГЛАВА 3. Оптимизация отбора из одномерного потока

3.1. Модель билинейной реакции-диффузии

3.1.1. Оптимальное постоянное управление

3.1.2. Оптимальное измеримое управление

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация распределенного воздействия на стационарный поток»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена задачам моделирования и оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с диффузией, течением и реакцией, возникающими в различных областях науки и техники. Круг таких систем достаточно обширен. Так, в работе [27] исследуется модель переноса загрязняющего вещества в потоке, приведены аналитические и численные подходы к решению поставленных модельных уравнений, а также примеры приложений построенных численных решений. В работе [38] модель Фишера, которая представляет собой уравнение диффузии-реакции с нелинейной (логистической) функцией роста, изучается для моделирования популяцион-ной экологии, в которой организмы предполагаются движущимися согласно броуновскому закону. В этой же работе рассмотрено уравнение с диффузией и линейной функцией роста, представляющее собой модель KISS изменения размера ареала питания фитопланктона, необходимого для поддержания его цветения. Для обеих моделей построены фазовые траектории и выявлено их асимптотическое поведение при больших временах. Ранее изучались также и подобные модели систем с управлением. Попытки численной оптимизации таких управляемых систем были сделаны достаточно давно (см., например, [24,26]) и вполне успешно. Также активное развитие получили методы симуляции поведения системы при тех или иных параметрах для выработки системы ограничений и методов управления для достижения поставленных целей [25,33]).

В настоящей работе проводится качественный анализ таких моделей и в ряде случасв строится аналитическое решение задач оптимального управления. В конкретных прикладных задачах практическое применение методов теории оптимального управления (см., например, [4,20,31])наталкивается на ряд трудностей. Например, в случае минимаксного функционала встает вопрос о существовании оптимального управления и только после этого - о его

структуре.

Более сложными оказываются системы, описываемые уравнениями в многомерном пространстве с диффузией, течением и реакцией. В этом случае нами рассмотрена модель, имеющая распределенное на некотором конечном участке управление, для которой доказано существование оптимального решения в случаях интегрального и минимаксного функционалов ири наличии ограничений (технологических и/или ёмкостных) как на управляющее воздействие, так и на параметры среды.

В диссертации рассматривается задача оптимизации распределенного воздействия на однородную сплошную среду, движущуюся с постоянной скоростью. Под воздействием мы понимаем или насыщение среды некоторым веществом (например, выброс загрязнения) или отбор какой-либо ее компоненты (например, фильтрация фитопланктона аквакультурой) с помощью размещения имеющегося ресурса в заданной ограниченной области В потока с гладкой или кусочно-гладкой границей.

Обозначая через т концентрацию изучаемого вещества в потоке, а через V - постоянную положительную скорость течения, которую считаем направленной вдоль оси Ожх, получим следующее уравнение изменения этой концентрации

дт дш 9л

—^ у я— = а ~ 1\и} — 1) — и]_ги + Ч2-иЬ ОХ\

Здесь Ь - время, а2 - коэффициент диффузии, Д - оператор Лапласа по пространственным переменным х, х = (хх,..., х^), 7 - коэффициент, характеризующий скорость естественного восстановления фонового значения концентрации У, а, щ п щ - измеримые компоненты вектора управления и, характеризующие распределённые ресурсы отбора и выброса вещества, соответственно.

Предполагается, что среда совпадает со всем пространством К6*, где и контролируются ее показатели.

Начальная концентрация вещества в потоке задана функцией

ъи(х, 0) — гпо(х),

у которой отклонение от фонового (постоянного) значения У, У ^ 0, предполагается ограниченным в норме Ь-2(Мсг).

Поставленная задача заменой го = т — У (и, соответственно, Ниц = иио~У, для начальной концентрации) сводится к задаче

дш ди) о. , ,

— + V-— = а Аш - (7 + щ)™ + и2 - щУ, (1)

ОТ О:Х\

гу(ж,0) = и)0(х), (2)

где знак «тильда» у новой переменной опущен.

Компоненты управления мы предполагаем зависящими лишь от пространственной переменной х, измеримыми и ограниченными, то есть такими, что выполнены неравенства

0 ^ щ(х) ^ щ, 0 < и2(х) ^ й2. (3)

Такие управления будем называть допустимыми.

Теорема (см. теорему 1.1). Задача Коши (1), (2) однозначно разрешима для любого допустимого управления и любой начальной функции и)о £ Ь2(Ш.с1). Более того, при £ —»■ оо её решение стабилизируется на решении у соответствующего стационарного уравнения

ду

а2Ау - у---(7 + щ)у = -и2 + щУ. (4)

Это решение принадлежит пространству И/21(Ксг)ПЬ00(Мсг) и удовлетворяет неравенствам ||?у||идо) < СЦ/Ць^) и 1Мк^) < тах {^Ц/Ц^^), 1} с некоторой константой С, где / = — и2 + щУ.

В силу данной теоремы разумно решать оптимизационные задачи для предельного распределения вещества в среде, удовлетворяющего эллиптическому уравнению (4). Это распределение мы и будем понимать всюду далее

под состоянием среды. Для него формулируются две оптимизационные задачи, отличающиеся по своему прикладному содержанию.

Задача Р1: Найти управляющее воздействие с заданной ¿¡-нормой (ёмкостью) компонент управления

\

, 2=1,2,

Ci = J u.,dx I = I utdx

D \ R<i )

удовлетворяющей (технологическому) ограничению по размещению управления

Ci^üi j dx, i = 1, 2,

D

вытекающему из (3), для которого максимальное значение абсолютной величины соответствующего решения у будет минимальным. Это приводит к следующей задаче оптимизации

1(и, у) —> min,

где

I(u}y) = rriax \у{х)\.

x<=Rd

Прикладной смысл данной задачи заключается в минимизации максимума изменения естественного состояния среды (показателя у) за счет распределения заданных ёмкостей выброса и отбора С\. Задача Р2: В этой задаче разрешены лишь управляющие воздействия, при которых соответствующее решение у отклоняется от нуля не более, чем на заданное значение у ^ 0, то есть

Ы < У-

Целью же оптимизации является максимизация функционала J(u,y) = kl\\u1\\Ll(цd) + k2\\u2\\L^Rd) = I {куиг 4- к2и2) йх.

При заданных значениях констант к^ и к2 (каждая из которых, вообще говоря, может быть и положительной - в случае, если соответствующая компонента управления приносит прибыль - и неположительной - в противном случае) получаем следующую задачу оптимизации

Прикладной смысл этой задачи следующий: необходимо максимизировать доход - результат выброса и отбора, - при наличии ограничения на предельную допустимую концентрацию исследуемого вещества в потоке. При этом доход является линейной функцией от объёма управления, заданного нормой в пространстве Ь^Ш1), а знаки коэффициентов к\ и к2 отвечают за то, приносят соответственно отбор и выброс доход или расходы. В частности, известны примеры, когда в прикладных задачах

один из этих коэффициентов положителен, а другой - нет.

Управления, удовлетворяющие ограничениям той или иной задачи, будем

называть допустимыми для этой задачи.

Основным результатом первой главы является следующая Теорема (см. теоремы 1.2 и 1.3). Для каэ/сдой из задач Р^ и Р2 суи^ествует

допустимое управление, доставляют,ее ее релиение.

Во второй главе для задач Рх и Р2 дано аналитическое решение в одномерном случае при отсутствии отбора, то есть при щ ~ — = 0. При этом в качестве области В выбран отрезок [х\,х2], а уравнение имеет вид

Вне интервала [^ь^г] это уравнение является однородным и его решение имеет вид

где А\ и Ач ~ произвольные постоянные, - корни характеристического уравнения:

Ли, у) —> шах.

а2 у" — уу' — 7 у — —и.

у{х) = А^* + А2е^х

которые в силу положительности г» и 7 имеют разный знак. Мы упорядочим их следующим образом

</?1 < 0 < (р2.

При таком порядке, в силу ограниченности решения на бесконечности и знаков собственных чисел, получим

( А2е^х, х^хъ у(х) = <

Ах ^ х2, и, следовательно, выполнены равенства

у'{х{) = ч>2УЫ), у'{х2) = ч>1у{х2).

Для задач Рх и Р2 найдена структура оптимального решения в классах постоянных, измеримых и обобщенных управлений при наличии либо отсутствии диффузии.

Для задачи Рх постоянное управление определяется однозначно и имеет вид

(о, х £ [хьх2],

ЩХ) = <

1 ¿7? Х£[хъх2].

В частности, решение задачи Рх в классе постоянных управлений существует лишь при С ^ 2иЬ и совпадает с единственным допустимым управлением из этого класса.

Теорема (см. теорему 2.1). В классе постоянных управлений оптимальным в задаче Р2 является управление, задаваемое формулой

| 0, х ф [жх,х2], и{х) = < (5)

и, х Е [хъх2],

- - / ( , N \

с и равным —У1У2 , -т, если у ^ - (1 — еп-^11' х'2>), и й в противном

\--еУ\-Ч=2{Х1 х2> 7 V /

случае.

Если постоянное управление с максимальной плотностью й недопустимо, то значение функционала можно увеличить, отказавшись от постоянства управления.

Теорема (см. теорему 2.4). Оптимальным в задаче Рц является управление

О, х£[хих2], и(х)={й, x€[xi,oc)\j(p,x2], (6)

7& х € [а,/3],

где

и / (р-2 \ и У

а величина у, задающая оптимальное значение функционала этой задачи,

а = х i -j--ln 1

(р i v

(7)

вычисляется как

У

и

7

/

\

а2(<Р 2 ¥>i)

-IlZga-í^-Vl)

w

где IV IV-функция Ламберта.

Теорема (см. теорему 2.2). Оптимальное управление в задаче Р2 кусочно-

постоянно и имеет вид (6), (7).

Заметим, что при ослаблении ограничения (3), то есть при увеличении й, отрезки [х'1, а) и {(3,х2] уменьшаются, превращаясь в точки при й —» -1-со, а объём управления, распределенного на этих отрезках, равен

,______П_ ,-;-

ууу2 + 4а271п (1 — что при и +оо стремится к ууи2 + 4а27. Пр

и

этом внутри интервала (а, /3) управление и но-прежнему принимает значение 7у. Таким образом, при снятии ограничений! (3), получаем оптимальные управления из класса обобщенных функций, которые определяются следующим утверждением (здесь обозначает дельта-функцию, сосредоточенную

в точке а Х[хих2] ~ характеристическую функцию отрезка [Х1,Х2])' Теорема (см. теорему 2.5). Управление и = — + + 7УХ[ж1,х2] является оптимальным в классе обобщенных управлений в задаче Р2. Теорема (см. теорему 2.6). Управление

С

и

Х2 - Х\ +

yj v2+4ja2

UX2

.<Р2

_1 V7!

+ Х[хьх2]

является оптимальным в классе обобщенных управлений в задаче Р1.

Аналогичные теоремы доказаны для случая отсутствия диффузии.

Наконец, в последней, третьей главе для задач Рх и Р2 дано аналитическое решение в одномерном случае при отсутствии выброса и течения, то есть при й2 — С'2 = к2 = 0 и и = 0. При этом в качестве области И выбран отрезок [—6, 6], а уравнение и граничные условия имеет вид

а2 у" - (7 + и) у = и¥, у'(-Ъ) = у'(Ь) = ^у{Ъ).

(2 СЬ

Для этих задач найдена структура оптимального решения в классах постоянных и измеримых управлений.

Для задачи Рх постоянное управление определяется однозначно и имеет вид

0, х<£[-Ь,Ь],

§. хе[-Ь,Ъ].

и(х)

2Ъ'

Значит, решение задачи Рх в классе постоянных управлений существует лишь при С ^ 2йЪ и совпадает с единственным допустимым управлением из этого класса.

Теорема (см. теорему 3.1). Оптимальным в классе постоянных управлений в задаче Р<> является управление, задаваемое формулой

, , /о, х<£[-Ь,Ъ], и{х) = <

I и, х е [—6, ь].

где и корень уравнения

ЪУ ( \/7

7 + и

уусЬ (^ь) + ^Т+ЪЛ (¿Шь)

-1 = -у,

если

иУ / «/у

7 + и

уусЬ + (^б)

1 < -у,

и и в противном случае.

Теорема (см. теорему 3.4). Оптимальным в классе измеримых управлений в задаче Р1 является управление

и(х) = <

О,

щ х е [—Ь, а) и (/3, Ь].

(8)

I у-у

где

а

-6 +

а

агсзЬ-

л/уиУ

агевк 1

— / ' и /

Р

-а,

(9)

л/7 + и V и(У ~ У) - 1У

а величина у, задаюищя оптимальное значение функционала этой задачи вычисляется согласно равенству

2а

\ПТи

и —

1У

У — у

у/гйУ Гу агейп——-—-г — агашд/ —

ЩУ -У)~1У V и.

+

267 У

У-у

с.

Теорема (см. теорему 3.2). В случае у < \ оптимальное измеримое управ ление в задаче Р2 кусочно-постоянно и имеет вид (8), (9).

ГЛАВА 1

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

Основная задача, рассматриваемая в данной работе, - это оптимизация распределенного воздействия на однородную сплошную среду, движущуюся с постоянной скоростью. Под воздействием понимаем или насыщение среды некоторым веществом (например, выброс загрязнения) или отбор какой-либо ее компоненты (например, фильтрация фитопланктона аквакультурой) с помощью размещения имеющегося ресурса в заданной ограниченной области О потока с гладкой или кусочно-гладкой границей. Такая область в приложениях может быть, например, территорией аквафермы или областью, доступной для выброса очищающего реагента.

Обозначив через и> концентрацию изучаемого вещества в потоке, а через и - постоянную положительную скорость течения, которую считаем направленной вдоль оси Ох 1, получим следующее уравнение изменения этой концентрации

дги ди) о , _

—I- у-— = а¿ли) — 7(и> — У) — и\и> + Щ-

иЬ иХ\

Здесь Ь - время, а2 - коэффициент диффузии, А - оператор Лапласа но пространственным переменным х, х = (0^1, 7 - коэффициент, харак-

теризующий скорость естественного распада или восстановления вещества, У - фоновое; значение его концентрации, а щ и щ - измеримые компоненты управления и, характеризующие распределённые ресурсы отбора и выброса вещества, соответственно. Данная модель, описывающая состояние среды, была предложена, например, в [21,29,30,34], а ее анализ представлен в работах [14-18,39].

Предполагается, что среда совпадает со всем пространством М^, где и контролируются ее показатели.

Начальная концентрация вещества в потоке задана функцией

у)(х,0) = У)0(х),

у которой отклонение от фонового (постоянного) значения У, У ^ 0, предполагается ограниченным в норме Ь2(КЙ), то есть

то-УеЫШ'1),

где 1/2(Мй) - пространство Лебега с нормой // у2(х)(1х.

Поставленная задача заменой гЬ = ги — У (и, соответственно, гйо — и>о ~~ сводится к задаче

дт ди) ь . .

— + V-— = а Ат - (7 + и^ги + и2 - и\У, (1.1)

д1 ОХ1

т(х,0) = и)о(х), (1.2)

где знак «тильда» опущен.

Измеримые компоненты управления, как и в работах [13,37], будем считать зависящими лишь от пространственной переменной х и ограниченными, то есть такими, что выполнены неравенства

О ^ щ(х) ^ 0 ^ и2(х) < й2, (1-3)

которые в прикладных задачах отражают ограничения на технологические возможности принудительной очистки и выброса, соответственно. Кроме того, предполагается, что управления могут отличаться от нуля лишь в заданной ограниченной области I).

Решение задачи (1.1), (1.2) разложим в сумму функций у, у = у(х), и г = которые являются решениями стационарного уравнения

у € И^К*), а2Ау - ур- - (7 + щ)у = -и2 + щУ е (1.4)

ОХ\

и задачи Коши

дг дг дх\ дЬ

13

г € Ж?'0^1), а2Ах - - ££ - (7 + и1)г = 0, (1.5)

г(ж,0) = т0(х) - у(х) <Е Ы^),

соответственно. Здесь

- ^(Е^) - это соболевское пространство, определяемое как замыкание

множества С0СО(М^) по норме < / Цг/Ц^^) + Е

ду

дх.

П/21,0(М^1"1) - это соболевское пространство, определяемое как замыкание

множества по норме

и

г=1

ду

дхг

Решения уравнения (1.4) и задачи Коши (1.5) понимаются в смысле выполнения интегральных тождеств

а2 (\7?у, Х7г]) + 7] + (7 + щ)у

(1х = j /Т]с1х,

У Г] е С^(Шс1)

(1.6)

и

а2 (У2, Уту) + г] (у-^- + (7 + их)И -

с1х(И =

- г/М) 77(ж, 0)с1х, Уту € С0°°(К1+1)

соответственно, где оператор V задает вектор частных производных ^ ~ (ш7> Ш~2'>'"' <9^7 )' ~~ скалярное произведение векторов \7?у и

У?7, а / = г¿2 —

В силу того, что оператор

о . дг , .

Ьг = — - а'Аг + г;---Ь (7 + г^Ог

ОТ (7.Т1

является равномерно параболическим с ограниченными коэффициентами, решение задачи Коши (1.5) существует и единственно для любой начальной функции гуо(ж) — у(х) € 1/2(Л^) (см., например, [23], [8]). Более того (см.,

например, [23]), для любого Т > 0 найдется неотрицательное число Л такое, что выполнено неравенство

г

/ / е~х№2г(х,1)(1хсИ < оо.

и решение г(х,1) равномерно сходится к нулю при £ —> оо (см., например, [3]). Значит, решение параболического уравнения (1.1) стабилизируется на решении уравнения (1.4).

Докажем теперь разрешимость задачи (1.4). Для этого отметим, что в силу ограниченности компонент управления билинейная форма В[у,т]},

вы

а2 (V?/, V??) + г] Си^- + (7 + щ)у

с1х,

01

раничена в И^О^), то ее

ть

с некоторой константой с.

Действительно, в силу неравенства Гёльдера

(Ут/, Ут/Шж^ |||Ут/|

\Щ\

L2{Rd),

V

ду

дх\

<1Х ^ \\7]\\г

ду

дхл

С

т\и

и

I и

|(7 + щ)г]у\с1х ^ (7 + щ) Ы\ь,

где |\7у| = лДУуТ^у). В итоге

\В[у,г}]\ < (а2 4- у + 7 + щ) Ц^Цж^м^И^И^Ч^)-

Для любой функции у Е W^Q^) выполнено

1 2 f Зу f

В[у,у] = a2||lv2/l|L2(Rd) + v y~fardx + / + Ui)y2dx =

Rd kd

= a2||lV^llL(R-) + /(7 + «i)y2^^a2|||V^|||¿a(RÍ)+7lMIÍa(R^ ^

Rd

^ miii{a2, т} 11У11 ?v2i(к-), (1.7)

и, значит билинейная форма B[y,rj] коэрцитивна. По лемме Лакса-Мильграма [1] решение уравнения (1.4) существует и единственно.

Полагая теперь в интегральном тождестве (1.6) пробную функцию r¡ равной решению у

B[y,y] = (f,y),

и, используя элементарное неравенство

\аВ\ ^ еа2 4 32, | 4 г

которое справедливо для любых чисел а и /3 и любого е > 0, получим оценку

В[У,У] < £1Ы1£2^) + ¿ll/lli2(R").

из которой совместно с оценкой (1.7) сразу следует энергетическое неравенство

°2||IV2/I|Il2(R<0 +7||2/IU2(r") ^ Ф\\12(ш*) + ¿ll/lli2(R").

где е - произвольное положительное число. Данное неравенство дает возможность оценить И^М^-норму решения через Z/2(Kd)-норму правой части:

^ c\\f\\L2(Rd)- (1-8)

Для получения оценки решения в Loc(M.d) определим функцию д, д = д(х), как срезку [41]

/

у-к, у> к, д = { 0, \у\ < к: у + к, у < -к.

Согласно следствию А.5 из [6] она принадлежит пространству И7^!^), и, значит сё можно использовать в качестве пробной функции в (1.6). Для этого заметим, что обобщенные частные производные первого порядка функции д совпадают с соответствующими производными функции у на множестве Ак = {ж е М^ : у(х) ^ и равны нулю в Мсг \ Ак- Подставим эту функцию в уравнение (1.6) и оценим снизу модуль суммы первого и третьего слагаемых в его левой части:

[а2 (V?/, Уд) + (7 + и^уд] <1х

= / (а2(Ут/, Уд) (7 + щ)уд) (1х ^

^ + 7 / \y\Wx,

Второе слагаемое перенесем вправо и оценим модуль полученной правой части оценим сверху:

/ — у~~) дйх Охг )

< / |/|\д\(1х+у / \Чу\\д\йх= / \П\д\с1х+у / \VgWg\dx.

Из неравенства Юнга следует

2

у ,, ,, а

у I \Vg\lg\dx < + уЩ^Щ^

В результате получим

а

9 (' (' у2 а2

/ \yWs\dx ^ / \/\\я№х + + —\\\Уд\\\ь^шау,

или, что то же самое

,2 г

а

12

£

у

1/1 + 2-2^1 "7Ы)Ы^

V

1/1+ 71^1-7*;) \9\dx

Подынтегральная функция в правой части отлична от пуля лишь в области Ак, где \у\ ^ к. Выбирая число к так, чтобы было выполнено неравенство НЛи^м«*) ^ добьёмся того, что при 7 > ^ правая часть будет неиоло-

и 112

жительной и, значит || = 0.

Проведём аналогичные вычисления для получения неравенства

[ (1/1-74 \9\dx,

К''

в котором правая часть также неположительна и, значит, ~ ^ т0

есть функция д равна нулю почти всюду в Получили оценку

ЬЛь^) ^ ^Н/И^)- (1-9)

Мы доказали следующую теорему. Теорема 1.1. Задача Коши (1.1), (1.2) однозначно разрешима для любых стационарных ограниченных измеримых функций щ, щ с финитным.; носителем В и любой начальной функции и)о Е Ь2(Шс1). Более того, при Ь —> оо

ее решение стабилизируется на решении соответствующего стационар-

2

ного уравнения (1.4), которое при 7 > принадлежит пространству И^С^) ПЬоо(Егг) и удовлетворяет неравенствам (1.8) и (1.9).

В силу данной теоремы разумно решать оптимизационные задачи для предельного распределения вещества в среде, удовлетворяющего эллиптическому уравнению (1.4). Это распределение мы и будем понимать всюду далее под состоянием среды.

1.1. Формулировка задач оптимизации

В этом параграфе мы сформулируем две оптимизационные задачи, отличающиеся но своему прикладному содержанию.

Задача Рх: Найти управляющее воздействие на среду с заданной ^-нормой (ёмкостью) компонент управления

Сг = У щйх (= I щйх ) , г = 1,2, (1.10)

удовлетворяющей (технологическому) ограничению по размещению управления

Q < щ J dx, г = 1,2,

D

вытекающему из (3), для которого максимальное значение абсолютной величины соответствующего решения у будет минимальным. Это приводит к следующей задаче оптимизации

1(и, у) min,

где

1(и,у) = шах \у(х)\.

Прикладной смысл данной задачи заключается в минимизации максимума изменения естественного состояния среды (показателя у) за счет распределения заданных ёмкостей выброса С2 и отбора С\. Задача Р2: Во этой задаче разрешены лишь управляющие воздействия, для которых соответствующее решение у отклоняется от нуля не более чем на заданное значение у ^ 0, то есть

Ы^У- (1.П)

Целью же оптимизации является максимизация функционала

J(u,y) = /ci|hii||Ll(Ed) + ЫЫ\ьгт = J (hui + к2и2) dx.

D

При заданных значениях констант к\ и к2 (каждая из которых, вообще говоря, может быть и положительной - в случае, если соответствующая

компонента управления приносит прибыль - и неположительной - в противном случае) получаем следующую задачу оптимизации

у) —> шах.

Прикладной смысл этой задачи следующий: необходимо максимизировать доход - результат выброса и отбора, - при наличии ограничения на предельную допустимую концентрацию исследуемого вещества в потоке. При этом доход является линейной функцией от объёма управления, заданного нормой в пространстве Ь\{Ка знаки коэффициентов к\ и к2 отвечают за то, приносят соответственно отбор и выброс доход или расходы.

1.1.1. Разрешимость задачи Рх Прежде чем исследовать разрешимость задачи Рх отметим, что и компоненты управления и, и решение у далее будут рассматриваются нами как функции рефлексивного банахова пространства Ь2(ШЛ), а функционал I, 1(и,у) = 1(у) = тахЫ, - как отображение из пространства Ь2{в К.

Определение 1. Допустимым управлением и задачи Р\ будем называть такую пару измеримых функций (и1,и2), что выполнены условия (1.3), (1.10). Множество решений у уравнения (1.4), соответствующих допустимым управлениям, будем обозначать как У.

Теорема 1.2. Существует допустимое управление, доставляюш,ее решение задачи Р1.

Доказательство теоремы основано на существенных свойствах множества допустимых решений У и функционала / и проводится как в работе |19].

Покажем, что множество У непусто и ограничено. Для этого заметим, что множество допустимых управлений и, и = (и\_,и2), ограничено в пространстве Ь2(Ш(1) х Ь2(1^). В частности, оно вложено в ограниченное в

Ь2(Шс1) хЬ2(Ш(1) множество и2) : Ц^гЦ^к^) ^ гг^/с/х, г — 1, 2 Из этого факта, а также неравенства (1.8), следует, что

1Ыи2(к<*) < Иг/Ни^к«) < к>

где величина К задается равенством К = (и2 + и{У) ■ /J (1х и конечна. Значит, множество У и, тем более, любое его подмножество ограничено в

L2(Rd) и Wjl

Покажем теперь, что предел любой слабо сходящейся последовательности уп Е У принадлежит У. Функции уп являются решениями уравнения (1.4) с некоторыми допустимыми управлениями и'1, и7' = (и^и^). Так как для множеств г = 1,2, выполнены неравенства ^ щ ■ j dx,

уъ

то из них можно выбрать подпоследовательности {V^}, сходящиеся слабо к ич Е L2(R.d). Представим, что предельное управление недопустимо, т.е. либо

на некотором множестве Ü ненулевой меры иг < 0 или щ > щ, либо J uldx ^

rd

С[. В этом случае либо

0> / utdx = / UiXndx = lim / u'-hxo,d>x = lim / u^dx^ 0,

/ / rifc-»00 / r?A-*00 /

либо

либо

fi М'г fi

щ dx < / UiXndx = lim / u^xndx dx,

J J nk~*0O J J

il rd rd п

Ci ^ Uidx = / UiXodx = lim / u^Xüdx = lim / = C;,

у J Tlk-*O0 J пк->оо J

rd rd rd kd

чего не может быть. Следовательно, предельное управление и, и = {и\,и2), является допустимым.

Из неравенства H^Hw^Rd) ^ К следует равномерная ограниченность множества {уПк} в W^R**). Вложение в L2(Ü) по теореме Реллиха

компактно для любой ограниченной области П в M.d (см., например, [10], [40]).

Выберем эту область совпадающей с носителем управлений D. После выделения подпоследовательности (не изменяя нумерации) получим сильную в L2(D) сходимость у11к к своему слабому пределу у.

Известно (см., например, [22], [32]), что если сходится слабо к щ в L2(D), а уПк сходится сильно к у в L2(D), то произведение и'{ку"к сходится слабо к щу в Li(i^), то есть для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции г] выполнено равенство

lim / uTlkynkr]dx = lim / u™kynkridx — / uiyrjdx = / u\,yr]dx.

rifc—>■ OO J пк-too J J J

M<* DD Rd

Используя данный факт и слабую сходимость функций уПк и и?2к в Z/2(Md) получим, что для предельных функций у, щ и и2 выполнено равенство (1.6) и, значит, функция у является решением уравнения (1.4) с допустимым управлением и = {и\,и2), то есть принадлежит множеству У.

Пусть теперь

ß = infI(y).

уеУ

Согласно определению точной нижней грани существует такая последовательность уп £ У, что

lim /(!/") = /х.

П—>00

В силу ограниченности множества уп из него можно выбрать слабо сходящуюся в 1/2 (Rd) подпоследовательность, а из доказанного выше следует, что функция у, которая является слабым пределом этой подпоследовательности (будем обозначать ее уп, не изменяя нумерации), принадлежит множеству допустимых решений у. Для того, чтобы показать, что на предельной функции у достигается искомый минимум функционала /¿, предположим обратное. А именно, что 1{у) > /х. Это значит, что существует множество Q ненулевой меры такое, что \у\ > ß на этом множестве. Следовательно,

ßj dx < J \y\dx = j \y\xndx ^ Hm J \yn\xndx <

0 fl Rd Rrf

^ lim sup|yn| / Xudx da7,

«^00 Rd J J

Rd n

где xn ~ эт° характеристическая функция области Q. Получили противоречие. И, значит, I(y) ^ (I.

Так как I - это норма в пространстве Loo(Md), то 1{у) ^ 0 > —со для всех у 6 Ь2(Шс1) и, значит, величина /х конечна и 1(у) = /х, то есть предельная функция у минимизирующей последовательности есть точка абсолютного минимума функционала I на множестве допустимых решений У. Ш

1.1.2. Разрешимость задачи Р2 Отметим, что, как и ранее, и компоненты управления и, и решение у рассматриваются нами как функции про-

странства L2(M.d). Функционал 3, 3(и/у) = 3{и) = + к2\\и2

IL

является отображением из рефлексивного банахова пространства Ь2 (М^) х Ь2{ЖЛ) в М.

Определение 2. Допустимым управлением и задачи Р2 будем называть такую пару измеримых функций (щ, и2), что выполнены условия (1.3), (1.11). Множество допустимых управлений и будем обозначать как Ы. Теорема 1.3. Существует допустимое управление, доставляющее решение задачи Р2.

Доказательство теоремы осуществляется аналогичным с предыдущим параграфом способом и основано на существенных свойствах множества допустимых управлений Ы и функционала 3.

Покажем сначала, что множество допустимых управлений Ы непусто и ограничено. Для этого заметим, что оно вложено в ограниченное в ¿^(М^) х

Ь2(Ш(1) множество ^(и^иа) : Н^гЦ^К1') ^ иг ' = 1,2|, и, значит, яв-

ляется ограниченным, как и любое его подмножество.

Отметим теперь, что множество допустимых управлений Ы непусто, т.к. содержит как минимум один элемент и, и(х) = (0, 0).

Покажем теперь, что предел любой слабо сходящейся в L2(Rd) х L2(Rd) последовательности ип <Е U принадлежит Ы. Для этого рассмотрим слабо сходящиеся к функциям щ и и2 последовательности и™, ur- G L2(Rd), ип =■ (и", и2) и соответствующие им решения уп уравнения (1.4). Так как для функций уп выполнено неравенство \yn\wq(Rd) ^ К, т0 множество {уп} равномерно ограничено в W.j (Rd), и, как и ранее, из него можно выбрать подпоследовательность {уПк}, сходящуюся сильно к своему слабому пределу на ограниченной области Q (которую мы выберем совпадающей с носителем управлений D). Известно, что если и'{к сходится слабо к в L2{D), а у11к сходится сильно к у в L2(D), то произведение и1куПк сходится слабо к щу в Ь\(1У), то есть для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции 'ц выполнено равенство (1.6) и, значит, функция у является решением уравнения (1.4) с управлением и — (щ,и2), то есть принадлежит множеству у.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петренко, Ирина Анатольевна, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966.

2. Давыдов A.A., Пастрсс Р., Петренко И.А. Одномерное распределение выброса загрязнения в одномерный поток // Труды Института математики и механики. - 2010. - Т. 16, № 5. - С. 30-35.

3. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи математических паук. — 1962,- Т. 17.-С. 3 - 146.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). — М.: Наука, 1971.

6. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. — М.: Мир, 1983.

7. Кукшипа Е.О., Цслоусова И.А. Алгоритм и программный продукт для усредненной оптимизации распределенных систем // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль. — 2007. — С. 36.

8. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического тина, — М.: Паука, 1967.

9. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, ВТ. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.— М.: Наука, 1983.

10. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева (теоремы вложения).— 2010.

11. Петренко И.А. Оптимизация емкости завода аквакультуры при наличии экологических ограничений // Международная конференция Дифференциальные уравнения и топология, посвященная 100-летию со дня

рождения Льна Семеновича Понтрягина. Тезисы докладов. — 2008. — С. 384-385.

12. Петренко И.А. Минимизация воздействия загрязняющих выбросов путем перераспределния их источников // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль. — 2009. — С. 187.

13. Петренко И.А. Оптимизация распределенного выброса загрязняющего вещества в поток воды // Вооружение. Технология. Безопасность. Управление. Материалы IV межотраслевой кнференции с международным участием. Часть 1. — 2009,- Р. 229-239.

14. Петренко И.А. Теорема существования и система оптимальности для задачи, описываемой уравнением эллиптического типа с интегральным функционалом // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль. — 2011. — С. 166167.

15. Петренко И.А. Разрешимость задачи оптимального управления для транспортного уравнения с минимаксным функционалом // Международная конференция «АНАЛИЗ и ОСОБЕННОСТИ», посвященная 75-лстию Владимира Игоревича Арнольда: Тезисы докладов, Москва. — 2012. - С. 87-89.

16. Петренко И.А. Теорема существования решения задачи оптимального управления для транспортного уравнения с интегральным функционалом // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов, Суздаль. — 2012. — С. 138.

17. Петренко И.А. Модель изменения концентрации вещества в потоке жидкости // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль. — 2013. — С. 188-189.

18. Петренко PI.А., Тимофеева В.А. Решение задачи оптимизации, описываемой уравнением эллиптического типа с интегральным функционалом / / Международная конференция «Управление и оптимизация неголоном-ных систем»: Тезисы докладов, Переславль-Залесский. —- '2011.— С. 2930.

19. Тихомиров В.М., Фурсиков А.В.. Существование решения экстремальных задач. — 2003.

20. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения, — Новосибирск: Научная книга, 1999.

21. An advection-diffusion-reaction model for the estimation of fish movement parameters from tagging data, with application to skipjack tuna (katsuwonus pelamis) / J.R. Silbert, ,J. Hampton, D.A. Fournier, P.J. Bills // Canadian Journal of Fisheries and Aquatic Sciences. - 1999,— Vol. 56.— P. 925-938.

22. Allaire G. Shape Optimization by the Homogenization Method. - Springer, 2002. — ISBN: 9780387952987.

23. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations / / Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. - 1968. - Vol. 22. - P. 607-694.

24. Beck M.B. Real-time Control of Water Quality and Quantity. — IIASA, 1978.

25. Beck M.B., Latten A., Tong R.M. Modelling and Operational Control of the Activated Sludge Process in Wastewater Treatment. — IIASA, 1978.

26. Bogobowicz A., Sokolowski J. Modelling and control of water quality in a river section // System Modelling and Optimization.— 1984,— Vol. 59.— P. 403-414.

27. Domenico P.A., Schwartz F.W. Physical and Chemical Hydrogeology.— Wiley, 1997.

28. Existence of bounded solutions for nonlinear elliptic equations in unbounded domains / A. DallAglio, V. De Cicco, D. Giachetti, J.-P. Puel // Nonlinear Differential Equations and Applications. — 2004.

29. Ferreira J.G. Ecowin—an object-oriented ecological model for aquatic ecosystems // Ecological Modelling. — 1995. — Vol. 79. — P. 21-34.

30. Ferreira J.G., Hawkins A.J.S., Bricker S.B. Management of productivity, environmental effects and profitability of shellfish aquaculture—the farm aquaculture resource management (farm) model // Aquaculture. — 2007. — Vol. 264.-P. 160-174.

31. Hartl R.F., Sethi S.P., Vickson R.G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints // Society for Industrial and Applied Mathematics. - 1995. - Vol. 37. - P. 181-218.

32. Karlsen K.II. Notes on weak convergence. — 2006.

33. Loucks D.P., van Beek E. Water Resources Systems Planning and Management. An Introduction to Methods, Models and Applications. - -UNESCO Publishing, 2005.

34. Mathematical modelling to assess the carrying capacity for multi-species culture within coastal waters / P. Duarte, R. Mencses, A.J.S. Hawkins et al. // Ecological Modelling. - 2003. - Vol. 168. - P. 109-143.

35. Maurer H., Zowc J. First and second-order necessary and sufficient conditions for infinite-dimensional programming problems // Mathematical Programming. - 1979. - Vol. 16. - P. 90-110.

36. On the larnbert w function / R. Corless, G. Gonnet, D. Hare et al. // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Vol. 5. — P. 329—359.

37. Optimization of shellfish production carrying capacity at a farm scale. / D. Brigolin, A. Davydov, R. Pastres, I. Petrenko // Applied Mathematics and Computation. - 2008. — Vol. 204. - P. 532-540.

38. Partial differential equations in ecology: Spatial interactions and population dynamics / E.E Holmes, M.A Lewis, J.E Banks, R.R Veit // Ecology.— 1994,-Vol. 75(1).-P. 17-29.

39. Petrcnko I.A. Aquaculture and water quality: modeling and control // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов, Суздаль. — 2010. — С. 231-232.

40. Reilich F. Ein satz über mittlere konvergenz // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - 1930. - Vol. 1930. - P. 30-35.

41. Stampacchia G. Equations elliptiques du second order à coefficients discontinus // Les Presses de l'Université de Montréal. — 1966. — no. 16.