Оптимизация интегро-дифференциальных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Букина, Анна Викторовна

• Букина, Анна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Букина, Анна Викторовна

Введение

Глава 1. Существование, единственность и свойства обобщенных решений

§1. Постановки задач

§2. Понятия обобщенных решений.

§3. Существование обобщенных решений. и. 1. Задача А. п. 2. Задача В. п. 3. Задача С.

§4. Единственность и свойства обобщенных решений

Глава 2. Условия оптимальности управлений в системах интегро-дифференциальных уравнений

§1. Оптимальное управление системой интегродифференциальных уравнений с невозрастной структурой п. 1. Вариационный принцип максимума п. 2. Конечномерный принцип максимума и его сравнение с вариационным п. 3. Дифференциальный принцип максимума. п. 4. Достаточность необходимых условий оптимальности

§2. Оптимальное управление системой интегродифференциальных уравнений с возрастной структурой п. 1. Вариационный принцип максимума п. 2. Конечномерный принцип максимума и его сравнение с вариационным п. 3. Дифференциальный принцип максимума. п. 4. Достаточность необходимых условий оптимальности п. 5. Замечание.

Глава 3. Численные методы

§ 1. Задача с невозрастной структурой п. 1. Алгоритм вариационного принципа максимума п. 2. Алгоритм конечномерного принципа максимума п. 3. Градиентный и комбинированный алгоритмы.

§ 2. Задача с возрастной структурой. п. 1. Алгоритм вариационного принципа максимума п. 2. Алгоритм конечномерного принципа максимума п. 3. Градиентный и комбинированный алгоритмы.

Глава 4. Прикладные задачи

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация интегро-дифференциальных систем»

Во многих природных и технических процессах состояние объекта помимо времени зависит от возраста, местонахождения в пространстве или каких-либо других характеристик. Это приводит к возникновению задач оптимального управления системами уравнений с распределенными параметрами.

Уравнения с частными производными, а также начально-граничные условия обладают разнообразием и специфичностью. Поэтому, как правило, исследуются отдельные классы распределенных систем и соответствующие задачи оптимального управления [2, 5, 7, 11, 13, 20, 30, 31, 40, 46, 50, 51, 56].

Процессы, на динамику которых в каждой точки области их определения влияет общее состояние объекта по всему распределению характеристических признаков, возможно описать с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена задачам оптимального управления интегро-дифференциальными системами гиперболических уравнений. Актуальность темы определяется, во-первых, наличием прикладных моделей в экологии, биологии, медицине, экономике [17, 22, 23, 26, 44, 55, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 71, 74], во-вторых, недостаточной изученностью интегро-дифференциальных систем и задач управления ими.

Распространенными методами численного решения распределенных задач оптимального управления являются методы, ориентированные на необходимые условия оптимальности. В работах [5, 7, 8, 11, 13, 15, 20, 40, 46, 50, 51, 64] эти условия получены в формах поточечных условий максимума некоторых аналогов функций Понтрягина. Наиболее полно исследованы управляемые системы Гурса-Дарбу, канонические и полулинейные системы. По аналогии с обыкновенными задачами оптимального управления в дополнительном предположении о дифференцируемое™ параметров по управлениям и выпуклости множеств допустимых управлений для распределенных задач справедлив дифференциальный принцип максимума. Необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума впервые было получено В.А. Срочко

50] для задач оптимального управления каноническими системами гиперболических уравнений. Исследования [2, 6, 11, 19, 53] распространили этот результат на системы Гурса-Дарбу и полулинейные системы. Данное условие является более сильным, чем конечномерный принцип максимума, и согласно ему оптимальные управления должны доставлять максимум обыкновенным задачам оптимального управления, построенным вдоль семейств характеристик фазовых систем.

Необходимые условия оптимальности, а точнее соответствующие им формулы приращений целевых функционалов и вариации управлений, служат основой построения численных алгоритмов улучшения допустимых управлений. Принцип максимума Понтрягина порождает метод последовательных приближений. Впервые этот метод был предложен в работе [27] для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшие исследования [2, 8, 9, 10, 11, 24, 28, 32, 33, 34, 39, 52] обосновали его релаксацион-ность и сходимость по невязке конечномерного принципа максимума, а также распространили алгоритм на распределенные задачи оптимального управления. Градиентные процедуры основываются на классических (слабых) вариациях управлений и сходятся по невязке дифференциального принципа максимума. Зачастую более эффективно применение алгоритмов, рассмотренных, например в [11], являющихся комбинациями метода последовательных приближений и градиентных методов. В статье [6] был построен метод, основанный на вариационном принципе максимума для задач управления системами Гурса-Дарбу. В некоторых работах [2, 21, 36] вводилась внутренняя вариация, применимая для исследования специфичных задач с допустимыми управлениями в классе гладких функций. Так, в работе [2] были предложены необходимое условие оптимальности и численный метод для оптимизации гиперболических систем с гладкими граничными и стартовыми управлениями.

Теперь рассмотрим имеющиеся результаты, полученные для интегро-дифференциальных задач оптимального управления, близких к изучаемым в данной диссертации. В [64] исследовалась задача, которая в обозначениях этой работы имеет следующий вид

J(u) = I (p(x(s,ti),s)ds + JJ Ф(х,у1,у2,и, v,s,t)dsdt —> min, 's n xt + xs = f(x,yi,y2iu,s,t), mM)= f (1)

2/2(i) = J g2{x{s,t),yi(s,t),y2(t),u(s,t),s,t)ds, s x(s,t0) = x0(iu(s),s), a;(so,t) = l{y2{t),v(t),t), s,t) € n = SxT= (so,Si) X (to.il), ®(M) € Ä^*, 2/1 (s,i) 6

У2 (¿) G Ä^2; г-я компонента g2 не зависит от y2j для каждого г = 1,., Ny2 и j > i. Допустимые управления принадлежат множествам функции и = {и е L»u(П) : «(р, 5, i) 6 tf}, V = {w 6 ¿£"(П) : v(p, i) e V}, V, W - подпространства линейных нормированных пространств конечной размерности, U - компакт, V, W - выпуклые компакты. В статье вводится определение решения фазовой системы через ее интегральный эквивалент. Для доказательства существования единственного решения при любых допустимых управлениях авторы прибегают к принципу сжатых отображений. Затем на основе леммы Гронуолла-Беллмана получают оценки приращений состояний относительно приращений управлений. Далее путем преобразований произведения решений фазовой и сопряженной систем выводится формула приращений целевого функционала. Ее анализ на игольчатой вариации управления и и на вариациях начально-граничных управлений, являющихся комбинациями игольчатой и слабой вариаций, приводит к необходимому условию оптимальности. Это условие представляет собой конечномерный принцип максимума в отношении управления и и дифференциальный принцип максимума в отношении начально-граничных управлений.

В статьях [22, 61] рассматривались частные случаи (1). Например, в задаче из [22] не содержатся начально-граничные управления, в правую часть фазовой системы управление входит линейно. Результатом работы является конечномерный принцип максимума, выведенный методом приращений.

Помимо этого существуют работы [46, 59], в которых также исследовались задачи оптимального управления динамическими системами с интегральными компонентами, но с параболическими дифференциальными операторами. В [46] решение получено на основе метода динамического программирования. В [59] для задачи линейной относительно управления выведено необходимое условие оптимальности в виде аналога конечномерного принципа максимума.

Объектом исследования в данной диссертации являются две задачи оптимального управления интегро-дифференциальными системами гиперболических уравнений, с невозрастной и возрастной структурами. В первой из них две независимые переменные: время и признак. Дифференциальный оператор фазовой системы представляет собой частную производную состояния по времени. Правая часть системы содержит интеграл по области определения признака. Управлениями служат измеримые и существенно ограниченные вектор-функция от обеих независимых переменных в правой части фазовой системы и вектор-функция от переменной признака в начальном условии.

Вторая задача, с возрастной структурой, является некоторым обобщением задачи (1). В ней параметры помимо времени и возраста распределены также по признаку. Дифференциальным оператором как и в (1) служит сумма частных производных состояния по времени и возрасту. Правая часть фазовой системы содержит интегралы по переменным возраста, признака и по ним обеим. Граничное условие является интегралом по области определения возраста. Управляющие измеримые и существенно ограниченные вектор-функции входят в правую часть фазовой системы, а также в начальное и граничное условия.

Целью работы является построение эффективных методов улучшения допустимых управлений для двух исследуемых интегродифференциальных задач. Основные задачи диссертации - это изучение свойств обобщенных решений интегро-дифференциальных систем в условиях разрывности допустимых управлений, построение условий оптимальности управлений и разработка итерационных процедур, обладающих свойствами релаксации и сходимости.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. В первой главе вводятся определения обобщенных решений интегро-дифференциальных систем с начальными и граничными условиями с использованием понятий характеристик систем. Эти решения удовлетворяют интегральным системам уравнений, которые, если решения являются гладкими, полностью эквивалентны интегро-дифференциальным системам. Доказываются существование и единственность обобщенных решений методом последовательных приближений, обосновываются их некоторые свойства решений. Аналогичным образом исследуется третья система интегро-дифференциальных уравнений, возникающая в дальнейшем при выводе необходимых условий оптимальности как сопряженная системе с возрастной структурой. В ходе доказательства существования решений получаются точные оценки скорости их роста относительно входных данных, таких как правые части систем и начально-граничные условия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Букина, Анна Викторовна, 2010 год

1. Абакумов А.И. Пространственная модель сообщества видов / А.И. Абакумов, М.Г. Казакова // Дальневосточный мат. журн. - 2002. -Т. 3. - № 1. - С. 102-107.

2. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление гиперболическими системами / A.B. Аргучинцев. М.: Физматлит, 2007. - 168 с.

3. Афанасьев А.П. Необходимое условие в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, С.А. Чуканов.- М.: Наука, 1990. 320 с.

4. Ащепков JI.T. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления / JI.T. Ащепков, Б.И. Белов, В.П. Булатов, О.В. Васильев, В.А. Срочко.- Новосибирск: Наука, 1984. 233 с.

5. Бокмельдер Е.П. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Е.П. Бокмельдер, В.А. Дыхта, А.И. Москаленко.- Новосибирск.: ВО Наука, 1993. 197 с.

6. Бурдуковский А.Н. Исследование управляемой задачи Гурса-Дарбу на пакете вариаций / А.Н. Бурдуковский, В.А. Срочко.- Новосибирск.: Ред. журн. «Сиб. мат. журн.», 1984. 19 с.

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. - 474 с.

8. Васильев O.B. Методы оптимизации в функциональных пространствах / О.В. Васильев Иркутск: Иркут. ун-т, 1979. - 117 с.

9. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимуме Поитрягина О.В. Васильев // Проблемы оптимального управления. 1981. -С. 264-277.

10. Васильев О.В. Опыт решения задач оптимального управления на основе необходимых условий оптимальности типа принципа максимума JI.C. Понтрягина / О.В. Васильев, А.И. Тятюшкин // Вопр. устойчив, и оптим. динам, систем. 1983. - С. 43-64.

11. Васильев О.В. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление/ О.В. Васильев, В.А. Срочко, В.А. Терлецкий.- Новосибирск: Наука, 1990. 151 с.

12. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1980. -520 с.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1981. -400 с.

14. Варга Дж. Оптимальное управление диффферепциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М.: Наука, 1977. -624 с.

15. Габасов Р. Принцип максимума в теории оптимального управления / Р. Габасов, Кирилова Ф.М. Минск: Наука и техника, 1974. -272 с.

16. Годунов С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. -М.: Наука, 1979. 392 с.

17. Грант В. Эволюционный процесс / В. Грант. М.: Мир, 1991. - 488 с.

18. Динамическая теория биологических популяций / A.A. Гимель-фарб и др.]; под ред. P.A. Полуэктова. М.: Наука, 1974. - 456 с.

19. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления / В.А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 4. - С. 47-54.

20. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. М.: Наука, 1978. - 463 с.

21. Забелло J1.E. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // JT.E. Забелло // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, №8. - С. 1309-1315.

22. Ильин О.И. Об одной задаче оптимального управления биологическим сообществом / О.И. Ильин // Сибирский журн. индустриальной математики. 2006. - T. IX, № 4(28). - С. 75-81.

23. Ильин О.И. Об оптимальной эксплуатации популяций рыб с возрастной структурой / О.И. Ильин // Сибирский журн. индустриальной математики. 2007. - T. X, № 3(31). - С. 43-57.

24. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем / Н.Е. Кирин. Л.: ЛГУ, 1975. - 160 с.

25. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.- М.: Наука, 1976. 544 с.

26. Колобов А.Н. Моделирование процессов динамической самоорганизации в пространственно распределенных растительных сообществах/ А.Н. Колобов, Е.А. Фрисман // Мат. биология и биоинформатика. 2008. - Т. 3. - № 2. - С. 85-102.

27. Крылов И.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления / И.А. Крылов, Черноусько Ф.Л. //Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1962. - Т. 2. -№ 6. - С. 1132-1139.

28. Крылов И.А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления /И.А. Крылов, ЧерноуськоФ.Л. //Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. - № 1. -С. 14-34.

29. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 / Л.Д. Кудрявцев.'- М.: Высш. школа, 1981. 687 с.

30. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 414 с.

31. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье,- М.: Наука, 1975. 480 с.

32. Любушин А.А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления / А.А. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1979. - Т. 19. - № 6. - С. 1414-1421.

33. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления / А.А. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. -1982. Т. 22. - № 1. - С. 30-35.

34. Любушин А.А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А.А. Любушин, Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2. - С. 147-159.

35. Максимова Н.В. Размеры, возраст и половая структура Ма-ackia herderianu (Gerstfeldt, 1859) (Gastropoda: Caenogastropoda: Baicaliidae) из Южного Байкала / Н.В. Максимова, Т.Я. Ситнико-ва // Ruthenica. 2006. -V. 16 - № 1. - С. 97-104.

36. Морозов С.Ф. О задачах быстродействия в теоии оптимального управления процессами переноса // С.Ф. Морозов, И.В. Сумин // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. И, №4. - С. 726-740.

37. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон.- М.: Наука, 1974. 480 с.

38. Новоженов M.M. Методы оптимального управления системами математической физики / М.М. Новоженов, В.И. Сумин, М.И. Сумин Горький: Изд-во Горьковского университета, 1986. - 87 с.

39. Новоженов М.М. Об одном подходе к численному решению задач оптимального управления, основанном на принципе максимума / М.М. Новоженов, М.И. Сумин //В Сб. "Исследования по теории функций". 1987. - № 8122-В87. - С. 76-93.

40. Островский Г.М. Методы оптимизации слоэ/сных химико-технологических схем / Г.М. Островский, Ю.М. Волин.- М.: Химия, 1970. 328 с.

41. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

42. Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамики / Б.Л. Рождествнский, H.H. Яненко-М.: Наука, 1978. 686 с.

43. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем / Л.И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика. 1959 - Т. 20. - № 11. - С. 1441-1458.

44. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет.- М.: Наука, 1978. 352 с.

45. Семовский C.B. Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция / C.B. Семовский, Ю.С. Букин, Д.Ю. Щербаков// Исследовано в России. 2002 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/125.pdf]).

46. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов. М.: Наука, 1977. - 480 с.

47. Ситникова Т.Я. О глубоководных 'карликах' и 'гигантах' среди байкальских эндемичных гастропод / Т.Я. Ситникова, М.Н. Шимара-ев // Журн. общей биологии. 2001. - Т. 62 - № 3. - С. 226-238.

48. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В.А. Срочко. М.: Физматлит, 2000. - 160 с.

49. Срочко В.А. Численные методы: Курс лекций / В.А. Срочко. Иркутск: Иркут. ун-т, 2004. - 205 с.

50. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами / В.А. Срочко // Вопр. устойчив, и оптим. динам, систем. 1983. - С. 170-182.

51. Терлецкий В.А. К оптимизации полулинейных гиперболических систем первого порядка с начальным условием Коши // Управляемые системы. 1982. - №22. - С. 70-79.

52. Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума / В.А. Терлецкий // Методы оптимизации и их приложения. 1983. - С. 58-69.

53. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений / В.А. Терлецкий // Изв. вузов. Математика. 2001. - №12,- С. 68-76.

54. Тихонова E.H. Морфологический анализ байкальских амфипод Pallasea Cancellus из реки Ангары / E.H. Тихонова, P.M. Камал-тынов // Бюллетень ВСНЦ СО РАМН. 2007. -№ 1. - С. 108-112.

55. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 352 с.

56. Чернышенко С.В. Оптимальное управление одномерной моделью лесной рекультивации с учетом возрастной неоднородности посадок / С.В. Чернышенко С.В. // Вестник ДНУ. 2003. - № 2. -С. 196-205.

57. Широкая А.А. Распределение моллюсков семейства ACROLOXIDAE (GASTROPODA, PULMONATA) в озере Байкал / А.А. Широкая, Н.В. Максимова, Т.Я. Ситникова // Зоологический журнал. 2008. - Т. 87, № 5. - С. 532-546.

58. Ainseba В. Optimal control for a nonlinear age-structed population dynamics model / B. Ainseba, S. Anita, M. Langlais // Electronic Journal of Differential Equations. 2002. - no. 28. - Pp. 1-9.

59. Almeder C. Solution methods for age-structured optimal control models with feedback / C. Almeder // LSSC. 2007. - V 28. - Pp. 197-203.

60. Brokate M. Pontryagin's principle for control problems in age-depent population dynamics / M. Brokate // Journ. Math. Biol. 1985. -V 23. - Pp. 75-101.

61. Dieckmann U. On the origin of species by sympatric speciation / U. Dieckmann, M. Doebeli // Nature. 1999. - no. 400. - Pp. 354-357.

62. Doebeli M. Evolutionary branching and sympatric speciation caused by different types of ecological interactions / M. Doebeli, U. Dieckmann // Am. Nat. 1999. - no. 156. - Pp. 77-101.

63. Feichtinger G. Optimality conditions for age-structured control systems / G. Feichtinger, G. TYagler, V.M. Veliov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. - V. 288. - no. 1. - Pp. 47-68.

64. Goetz R.U. The economics of competition between individuals in biological populations / R.U. Goetz, A. Xabadia // Journal of Vienna Institute of Demography. -2004.-http://are.berkeley.edu/courses/envresseminar/f2004/SeminarGoetz.pdf.

65. Gurtin M.E. On the optimal harvesting of age-structured populations: some simple models / M.E. Gurtin, L.F. Murphy // Journal of Mathematical Biosciences. 1981. - no. 55. - Pp. 115-136.

66. E. Hernandez-GarciaSpedes competition: coexistence, exclusion and clustering / E. Hernandez-Garcia, C. Lopez, S. Pigolotti, K.H. Andersen // Phil. Trans. R. Soc. A. 2009. - V. 367. -no 1901. - Pp. 3183-3195.

67. Kuhn M. Health, survival and consumption over the life cycle: an optimal control approach / M. Kuhn , A. Prskawetz, S. Wrzaczek, G. Feichtinger // Rostock Center-Discussion Paper. 2007. no. 16.

68. Mayne D.Q. First oder strong vatiation algotithms for optimal control / D.Q. Mayne, E. Polak // J. Optim. Theory Appl. 1975. - V. 16. -no. 3-4. - Pp. 277-301.

69. Muller J. Optimal vaccination patterns in age-structured population / J. Muller // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1999. - V. 59. -№ 1. - Pp. 222-241.

70. Semovski S.V. Speciation and neutral molecular evolution in one-dimensional closed population / S.V. Semovski, Y.S. Bukin, D.Y. Sherbakov // Int. J of Modern Physics. 2003. - no. 14. - Pp. 973-983.

71. Shorish J. Welfare analysis of HIV/AIDS J. Shorish // The University of Manchester Economics Discussion Paper. 2007. http://www.socialsciences.manchester.ac.uk/disciplines/economics/ research/discuss.htm.

72. Veliov V.M. On the effect of population heterogeneity on dynamics of epidemic diseases / V.M. Veliov // J. Math. Boiol. 2005. - №51. -Pp. 123-143.

73. Wrzaczek S. The reproductive value in distributed optimal control models / S. Wrzaczek, M. Kuhn, A. Prskawetz, G. Feichtinger // VID Working Papers. 2009. http://www.oeaw.ac.at/vid/download/WP200904.pdf.