Оптимизация атмосферных маневров аэрокосмического аппарата с учетом влияния процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат наук Елисов Николай Алексеевич

• Елисов Николай Алексеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Елисов Николай Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ АТМОСФЕРНЫХ МАНЁВРОВ

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

1.1 Обзор подходов формирования структуры оптимального управления

1.2 Математическая постановка задачи

1.3 Алгоритм синтеза оптимального управления

1.4 Исходные условия

1.5 Аэродинамические характеристики аппарата

1.5.1 Определение аэродинамических характеристик

1.5.2 Результаты расчётов

1.6 Выводы по главе

2 ПЛАНИРУЮЩИЙ СПУСК С ОРБИТЫ

2.1 Постановка задач планирующего спуска на максимальную продольную и боковую дальности

2.2 Решение задачи планирующего спуска на максимальную продольную дальность

2.2.1 Решение задачи без учёта ограничений

2.2.2 Решение задачи с учётом ограничения на температуру

2.2.3 Решение задачи с учётом ограничений на температуру и наклон траектории

2.3 Решение задачи планирующего спуска на максимальную боковую дальность

2.3.1 Решение задачи без учёта ограничений

2.3.2 Решение задачи с учётом ограничения на температуру

2.4 Выводы по главе

3 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ

3.1 Постановка задачи атмосферного поворота плоскости орбиты

3.2 Решение задачи поворота плоскости орбиты с использованием двухканального

управления

3.2.1 Решение задачи без учёта ограничений

3.2.2 Решение задачи с учётом ограничения на температуру

3.3 Решение задачи поворота плоскости орбиты с использованием трёхканального управления

3.3.1 Решение задачи без учёта ограничений

3.3.2 Решение задачи с учётом ограничения на температуру

3.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Параметры уравнения Аррениуса в соответствии с моделью

Парка

Приложение Б. Массовое распределение компонентов воздуха

Приложение В. Составляющие коэффициента лобового сопротивления

Приложение Г. Коэффициент лобового сопротивления Сха

Приложение Д. Коэффициент подъёмной силы Суа

Приложение Е. Аэродинамическое качество К

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация атмосферных маневров аэрокосмического аппарата с учетом влияния процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. При становлении космонавтики первым этапом решения задачи возвращения спускаемых аппаратов с орбиты был баллистический спуск, который реализовывался для аппаратов типа «Восток» и «Меркурий», имевших аэродинамическое качество К ~ 0. Главным преимуществом данного спуска является простота его реализации. Однако, в ходе баллистического спуска спускаемый аппарат испытывает большие перегрузки даже при малых значениях угла входа. Кроме этого, в ходе данного спуска аппарат испытывает также большие тепловые нагрузки.

В ходе дальнейшего развития спускаемых аппаратов с целью устранения вышеописанных недостатков, широкое распространение получили аппараты с осесимметричными сегментально-коническими формами, реализованные на аппаратах типа «Союз», «Джемини» и «Аполлон». За счёт смещения центра масс от оси симметрии обеспечивалось малое аэродинамическое качество К ~ 0,3. Небольшое аэродинамическое качество позволяет снизить максимальное значение перегрузок в 2-3 раза и несколько уменьшить тепловые потоки. Кроме этого, стало возможным управление в боковом направлении при повороте спускаемого аппарата относительно вектора скорости на заданное значение скоростного угла крена, за счёт чего повысилась точность посадки в заданный район. Такой тип спуска получил название скользящего.

Параллельно с разработкой и совершенствованием спускаемых аппаратов, также проводились исследования возможности создания многоразовых аэрокосмических аппаратов, итогом которых стали космические программы «Спейс Шаттл» и «Энергия-Буран». Под аэрокосмическими аппаратами в дальнейшем понимаются орбитальные самолёты (ОС). Интерес к данному классу аппаратов был обусловлен их большими манёвренными возможностями (К > 1) по сравнению со спускаемыми аппаратами, которые достигались за счёт удобообтекаемой формы и наличия крыла. Большое аэродинамическое качество привело к существенному увеличению достигаемых значений продольной дальности и боковой дальности при возвращении аппарата на Землю. Также стало

возможным существенное снижение значений теплового потока, набегающего потока и перегрузок за счёт управления углом атаки и скоростным углом крена. Кроме этого, ОС может осуществлять манёвр атмосферного поворота плоскости орбиты с помощью аэродинамических сил и сил тяги двигателя, что позволяет существенно сократить энергетические затраты по сравнению с некомпланарным переходом между орбитами.

Несмотря на закрытие программ «Буран» в 1993 году и «Спейс Шаттл» в 2011 году, в настоящее время во многих странах ведётся активная разработка ОС. На данный момент американская корпорация «Sierra Nevada» завершает разработку «Dream Chaser», целью которого является доставка грузов с международной космической станции на Землю. Первый запуск «Dream Chaser» запланирован в 2022 году. Странами Европейского союза также планируется проведение лётных испытаний ОС «Space RIDER», в случае успеха которых, планируется его вывод на орбиту. В сентябре 2020 года был осуществлён первый запуск китайского ОС «Шэньлун», который сделал несколько витков и успешно вернулся на Землю. В настоящее время существует только один эксплуатируемый ОС - Boeing X-37B, который совершает свой шестой полёт.

Классическими задачами, присущих только классу ОС, являются планирующий спуск и атмосферный поворот плоскости орбиты. Синтез оптимального управления в задачах планирующего спуска отражены в работах В.Г. Коняева, Ю.М. Копнина, Г. Сейферта, Р.А. Уоллеса, В.А. Грея, A.E. Bryson, K. Mikami, C.T. Battle, W.E. Wagner, A.H. Yazwinski, W.S. Yachson и др.

Основной вклад в развитие задачи атмосферного поворота плоскости орбиты был внесён такими учёными, как И.И. Мельц, В.И. Гурман, В.М. Шершнёв, В.Л. Балакин, Ю.Н. Лазарев, Л.М. Шкадов, Р.С. Буханова, В.Ф. Илларионов, В.П. Плохих, P.D. Arthur, B.E. Baxter, L.J. Bonin, R.W. Bruce, Cuadra Elizabeth, H.S. London, F.S. Nyland и др.

Анализ работ показал, что решение задач маневрирования проводилось с использованием моделей аэродинамических характеристик, не учитывающих неравновесные химические реакции, которые протекают в скачке уплотнения, при

движении ОС на гиперзвуковых скоростях. Как показывают работы Chul Park, Г.В. Шоева, Е.В. Кустовой, О.В. Куновой, В.А. Истомина и др. возникновение неравновесных химических реакций оказывает заметное влияние на аэродинамические характеристики аппаратов, вследствие изменения физико-химических свойств воздуха, и, как следствие, оказывает влияние на движение ОС.

Целью работы является исследование влияния процессов диссоциации воздуха на синтез оптимальных программ управления в задачах планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты ОС.

Объектом исследования является динамика номинального движения ОС при совершении манёвров планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты.

Предметом исследования являются программы управления и траектории движения ОС.

Для достижения цели работы решаются следующие задачи:

1. Сравнительный анализ подходов к формированию оптимального управления при решении задач планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты.

2. Разработка комплексной математической модели управляемого движения, учитывающая влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

3. Разработка алгоритма синтеза оптимальных программ управления на основе параметризации каналов управления углом атаки и скоростным углом крена, и прямых методов оптимизации.

4. Формирование и исследование параметрических оптимальных программ управления в задачах планирующего спуска на максимальную продольную и боковую дальности с учётом ограничений на температуру в передней критической точке и наклон траектории, и с использованием моделей совершенного газа (СГ) и неравновесного газа (НГ).

5. Формирование и исследование параметрических оптимальных программ управления в задачах атмосферного поворота плоскости орбиты с минимальными

затратами топлива с учётом ограничения на температуру в передней критической точке ОС и с использованием моделей СГ и НГ.

6. Исследование возможности выполнения поставленных задач ОС на основе управления, не учитывающего влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследований: методы оптимального управления, методы численной оптимизации, методы многомерной интерполяции, методы вычислительной гидродинамики.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм синтеза оптимальных программ управления, предполагающий переход к многопараметрической задаче, отличающийся от существующих представлением программ управления углом атаки и скоростным углом крена в виде рядов Фурье.

2. На базе разработанного алгоритма получены и исследованы оптимальные программы управления в задачах планирующего спуска, обеспечивающие максимальную продольную и боковую дальности, учитывающие влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики ОС, с учётом ограничений на температуру в передней критической точке и наклон траектории.

3. На основе предложенного алгоритма получены и исследованы оптимальные программы управления в задачах атмосферного поворота плоскости орбиты, обеспечивающие минимальные функционал, учитывающие влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики ОС, с учётом ограничения на температуру.

4. С помощью метода дифференциальной эволюции показана необходимость учёта влияния процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики при синтезе оптимальных программ управления.

Достоверность результатов обеспечивается применением известных численных методов при проведении математического моделирования;

согласованностью результатов, полученных с использованием известных методов оптимизации и предложенного алгоритма; согласованностью аэродинамических результатов, полученных численными методами, и результатов известных экспериментов; применением известных способов верификации получаемых сеточными методами численных решений задач механики сплошной среды.

Теоретическая значимость. Разработан и исследован алгоритм решения задач оптимизации планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты, который учитывает влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

Практическая значимость. Разработанный алгоритм может быть применён для синтеза оптимальных программ управления в задачах планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты с учётом ограничений на фазовые переменные. Полученные программы управления могут использоваться при проектировании перспективных ОС и формирования контура обратной связи.

Апробация работы и публикации. Основные положения работы докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе на V Всероссийской научно-технической конференции с международным участием по актуальным проблемам ракетно-космической техники (г. Самара, 2017 г.), на 12-й Международной конференции по математическим проблемам в инженерных и аэрокосмических науках (г. Ереван, Армения, 2018 г.), на 9-й Международной конференции по недавним достижениям в космической технике (г. Стамбул, Турция, 2019 г.), в Международном семинаре «Навигация и управления движением» (NMC-2020; г. Самара, 2020 г.).

Результаты работы опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК (2 статьи), и в изданиях, индексируемых в базах Scopus/Web of Science (5 статей).

Положения, выносимые на защиту:

1. Комплексная математическая модель управляемого номинального движения ОС, учитывающая влияние процессов диссоциации воздуха.

2. Алгоритм синтеза оптимальных программ управления на основе параметризации каналов управления углом атаки и скоростным углом крена в виде

рядов Фурье и поиска оптимальных значений с помощью метода дифференциальной эволюции.

3. Результаты численных расчётов планирующего спуска на максимальную продольную и боковую дальности с учётом ограничений на температуру и наклон траектории и влияния процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

4. Результаты численных расчётов атмосферного поворота плоскости орбиты с учётом ограничения на температуру в передней критической точке и влияния процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 72 наименований и шести приложений. Общий объём диссертации составляет 112 страниц.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ АТМОСФЕРНЫХ МАНЁВРОВ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Проведён анализ основных результатов исследований, как отечественных, так и зарубежных специалистов, при решении задач планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты. Показаны подходы к формированию оптимального управления, среди которых принцип максимума Понтрягина, метод последовательной линеаризации, псевдоспектральные методы и генетические алгоритмы. Выделены их преимущества и недостатки.

В ходе анализа было установлено, что при формировании программ оптимального управления не учитывалось влияние процессов диссоциации воздуха на аэродинамические характеристики.

Приведена комплексная математическая модель движения ОС в траекторной системе координат, включающая уточнённую модель аэродинамических характеристик. Представлен и обоснован выбор параметризации каналов управления углом атаки и скоростным углом крена. Приведены математические постановки задач планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты.

На основе анализа существующих подходов выбран основной инструмент оптимизации. Приведён алгоритм синтеза программ оптимального управления на основе предложенной параметризации и выбранного метода оптимизации.

Определены аэродинамические характеристики прототипа ОС с использованием известных численных методов. Представлено сравнение аэродинамических характеристик ОС, полученных при использовании моделей СГ и НГ.

Результаты исследования, полученные в рамках данной главы, изложены в работах [51; 67; 68].

1.1 Обзор подходов формирования структуры оптимального управления

Среди отечественных исследователей наиболее популярным подходом по формированию структуры оптимального управления является принцип максимума Понтрягина [9], который использовался при решении данных задач. Основными достоинствами численной реализации принципа максимума является хорошая сходимость решения и высокая точность вычислений.

В работах [7; 10; 11] приведено оптимальное управление, обеспечивающее максимальную боковую дальность ОС при совершении манёвра планирующего спуска. Как показано в работе [7], для обеспечения максимальной боковой дальности ОС должен двигаться на значениях углах атаки, соответствующих максимальному аэродинамическому качеству, и с большим значением скоростного угла крена на начальных участках полёта. Наличие ограничения на температуру в передней критической точке приводит к появлению ярко выраженного минимума в программе управления скоростным углом крена при использовании гипотезы квазистационарного движения [7]. В ходе решения задачи с полной системой уравнения было установлено, что оптимальная траектория движения ОС должна проходить по ограничению по температуре в передней критической точке для достижения максимальной боковой дальности.

В работе [10] было получено оптимальное управление при решении задачи посадки в заданном районе. Также проводилось исследование влияния максимального аэродинамического качества ОС при фиксированном коэффициенте подъёмной силы на недолёт до посадки в заданном районе. Результатом работы является доказательство утверждения, что существует хотя бы одно значение аэродинамического качества при фиксированном коэффициенте подъёмной силы, при котором будет недолёт.

В работе [11] были определены области достижимости ОС в зависимости от его манёвренных возможностей: располагаемого пути и располагаемого скоростного угла крена. В связи с тем, что принцип максимума в системе нелинейных уравнений даёт только необходимое условие, то был предложен приём, заключающийся в уменьшении начального располагаемого угла разворота

по курсу при постоянном значении начального располагаемого угла пути. Данный приём позволил преодолеть проблемы, связанные с локальными экстремумами.

В работах [7; 12-15] была решена задача атмосферного поворота плоскости орбиты с использованием двухканального управления в ходе которого было установлено, что для изменения наклонения плоскости орбиты ОС в начальный момент времени должен двигаться с большими значениями скоростного угла крена. В работе [14] было получено решение данной задачи с учётом ограничения на тепловой поток, однако, для учёта ограничения математическая модель, описывающая движение центра масс, была упрощена.

Решение задачи атмосферного поворота плоскости орбиты с трёхканальным управлением на минимизацию затрат топлива приведено в работе [15]. Было установлено, что для изменения наклонения орбиты на большие величины необходимо осуществлять два включения двигателя: перед рикошетом для увеличения рикошетирующей энергии и дальнейшего выхода за пределы атмосферы и в конце участка для обеспечения требуемой конечной орбитальной скорости.

Одним из основных недостатков численной реализации принципа максимума является ограниченная область сходимости, ввиду чего необходим выбор хорошего начального приближения для сопряжённых множителей. При этом оптимальная траектория имеет высокую чувствительность к вариациям сопряжённых множителей. Кроме этого, наличие ограничений на фазовые переменные приводит к существенному усложнению численной реализации применения принципа максимума, связанной с необходимостью дополнительного введения сложных математических зависимостей [7]. Другим способом учёта ограничений на фазовые переменные является значительное упрощение математической модели, как было показано в работе [14].

С целью устранения некоторых ограничений численной реализации принципа максимума было предложено использование метода последовательной линеаризации [16]. Решение задачи планирующего спуска на максимальную боковую дальность без учёта ограничений с помощью метода последовательной

линеаризации [8; 17; 18] показало хорошую согласованность с результатами, полученными принципом максимума [7]. Кроме этого, в работе [8] представлено оптимальное управление, полученное при учёте ограничений на тепловой поток и высоту первого рикошета.

Методом последовательной линеаризации также были решены задачи атмосферного поворота плоскости орбиты [19-21], результаты которых хорошо согласуются с решениями, полученными в работе [7]. Решение задач с учётом ограничения на тепловой поток показало, что оптимальной траекторией полёта ОС является движение вдоль ограничения [7].

В работе [21] было установлено, что при увеличении значения угла поворота плоскости орбиты и при наличии ограничения на температуру, роль канала управления тягой двигателя возрастает.

Несмотря на более простой учёт ограничений на фазовые переменные метод последовательной линеаризации имеет ограничение, связанное с размещением узлов аппроксимации. Наиболее простым способом является равномерное размещение узлов по времени на отрезке [0, {]. Однако, равномерное размещение по времени может привести к существенному увеличению размерности задачи линейного программирования, в связи с чем возможно снижение сходимости решения [8]. Для уменьшения размерности линейной задачи были предложены способ равномерного размещения узлов по характеристической скорости и метод плавающих узлов, которые описаны в работе [8].

Суть первого способа заключается в размещении узлов в зависимости от ускорений от аэродинамических сил, силы тяги двигателя и свободного падения, а также в подборе весовых коэффициентов, которые обеспечивают необходимое количество узлов [8]. Использование данного способа разбиения не приводит к увеличению размерности задачи линейного программирования и, следовательно, не ухудшает сходимость решения задачи. Стоит отметить, что при использовании метода последовательной линеаризации в процессе поиска улучшенного управления при формировании её структуры, может происходить качественное изменение траектории движения ОС (появление или исчезновение рикошетов).

Данное обстоятельство может привести к снижению эффективности процесса поиска улучшенного управления.

Для увеличения эффективности процесса поиска улучшенного управления был предложен метод плавающих узлов. Суть метода плавающих узлов заключается в нормировке отрезка времени [0, ?] и привидения его к отрезку вида [0, 1]. Для проведения данной операции вводится дополнительная функция, которая должна обеспечивать условие монотонности, являющаяся дополнительным управлением по расположению узлов аппроксимации. Такой подход позволяет формировать как непрерывное, так и разрывное кусочно-линейное управление [8]. Однако, использование метода плавающих узлов приводит к заметному увеличению времени расчётов ввиду необходимости численного решения основной и сопряжённой систем дифференциальных уравнений.

Среди зарубежных исследователей наибольшую популярность имеют псевдоспектральные методы, являющиеся косвенными методами оптимизации [22]. Данные методы основываются на сопоставлении рассчитываемых значений целевой функции и постепенному приближению к оптимуму. Достоинствами этих методов является отсутствие необходимости в нахождении производных и высокая сходимость решения.

Суть псевдоспектральных методов заключается в дискретизации моделей движения - представления их в виде полиномов Чебышева, Гаусса или Лежандра и сведению к решению задачи нелинейного программирования. При этом данные методы идейно схожи с принципом максимума Понтрягина, однако, они имеют два существенных отличия: сопряжённые множители представляются в виде матрицы дискретных значений и выбор начального приближения имеет дискретный характер. Таким образом, задача сводится к решению системы линейной алгебраических уравнений. Такой подход приводит к высокой скорости сходимости решения в случае достаточной степени гладкости и может иметь экспоненциальный вид.

Псевдоспектральные методы нашли своё применение в задачах по планирующему спуску с учётом ограничения на запретные зоны. В работе [23] проводилось сравнение псевдоспектрального метода Гаусса и многофазового псевдоспектрального метода Гаусса при решении аналогичной задачи. В ходе сравнительного анализа было выявлено, что многофазовый псевдоспектральный метод Гаусса имеет более высокую скорость сходимости решения.

В работах [24; 25] псевдоспектральные методы использовались для получения оптимального управления в задаче атмосферного поворота плоскости орбиты с использованием двухканального и трёхканального управления для малых космических аппаратов. Кроме этого, решалась совместная задача поворота плоскости орбиты орбитального корабля с дальнейшей встречей с другим космическим аппаратом с использованием псевдоспектральных методов [26].

Среди ограничений данных методов является отображение полученного управления и параметров в виде дискретных точек ввиду представления уравнений, как матриц дискретных чисел. В связи с этим определение вида управления между дискретными точками осложняется, что приводит к отсутствию информации о возможно лучшем решении. Кроме этого, псевдоспектральным методам необходим выбор хорошего начального приближения для получения лучшего решения [22].

Кроме псевдоспектральных методов не менее популярными являются генетические алгоритмы при решении задач оптимизации. В работе [27] проводилось исследование возможности применения генетических алгоритмов в задаче планирующего спуска ОС. Сравнение решений задач планирующего спуска генетическими алгоритмами и градиентными методами показало хорошую согласованность между двумя методами оптимизации. В работе [28] приводится сравнительный анализ между градиентными методами и генетическими алгоритмами при решении задач планирующего спуска. Сравнении показало, что генетические алгоритмы позволяют более просто учитывать ограничения. В работе [29] приведена модификация генетического алгоритма, которая позволила снизить чувствительность к начальными приближениям и увеличить время поиска глобального экстремума в задаче планирующего спуска.

Одним из главных недостатков генетических алгоритмов является уникальность критерия выбора наилучшего решения для каждой рассматриваемой задачи. Другой их недостаток заключается в чрезмерных вычислительных и, следовательно, временных затратах при решении задач оптимизации [22].

В ходе анализа работ было установлено, что формирование оптимальных программ управления в задачах планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты проводилось с использованием моделей аэродинамических характеристик ОС, не учитывающих протекание физико-химических процессов при движении на гиперзвуковых скоростях. Таким образом, главным отличием данной работы от предыдущих является решение задач планирующего спуска и атмосферного поворота плоскости орбиты с использованием уточнённых моделей аэродинамических характеристик.

1.2 Математическая постановка задачи

Движение центра масс ОС относительно Земли, имеющей форму эллипсоида

Красовского [30], в траекторной системе координат [8] имеет вид:

р

V = -CJxpV2 - gr sin в + g sin X COS в+ — + Rco2e cos cp (sin в COS (p - cos в sin (p sin X )

m

fv ~ л g p

У'

2

^ _ g V R V у

в = <JvpV COS Ya + —--77 COs6'--^-SÍn/SÍn6' + 77L + 2¿y^COS^COS/ +

V Vm

+ R®e cosp(cosecosp + sinesinpsinx),

<JvpV . Veos в COS 7 P

X = —--—- tandeos/ + g -----—s—-

cosu R V cos в mv cosu

_2cE (sin p _ cos (p sin x tan в) —Rc°E sin (pcos (p cos x,

Feos в

R = V sin <9, . Veos в .

(p = ——sin я,

R

• Vcos0cosx

A =--.

Р

т =--

ь = ляЕ,

4ж = ФКЕ-

где V- воздушная скорость ОС; в - наклон траектории; х - угол пути, являющийся углом между проекцией вектора скорости на местную горизонтальную плоскость и местной параллели в направлении с запада на восток; Я - радиус-вектор центра масс ОС; ф - геоцентрическая широта; т - масса ОС; Ь - продольная дальность; Ьбок - боковая дальность; ох, оу - баллистические коэффициенты; р - плотность воздуха на заданной высоте Н; gr, gф - радиальная и меридиональная составляющие гравитационного ускорения соответственно; Рх, Ру, Рг - проекции вектора тяги на соответствующие оси; - угловая скорость вращения Земли; уа - скоростной угол крена; Р - тяга двигателя; 1у - удельный импульс; go - среднее гравитационное ускорение у поверхности Земли; X - геоцентрическая долгота; ЯЕ - радиус поверхности Земли на заданной широте;

Плотность воздуха р представляется в экспоненциальном виде [4]:

где Н - высота полёта; Хр - логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.

Высота полёта Н над поверхностью Земли, имеющей форму эллипсоида Красовского [30], рассчитывается в соответствии с соотношением:

Радиус поверхности Земли ЯЕ на заданной широте определяется по формуле:

р(Н) = р(Н = 45)ехр[~Ар (Н - 45)],

Н = Я - ЯЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елисов Николай Алексеевич, 2021 год

- -

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок В.3 - Коэффициент сопротивления давления Схдавл в зависимости от угла

атаки для высоты полёта Н = 70 км

Приложение Г. Коэффициент лобового сопротивления Сх

Рисунок Г.1 - Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки и числа Маха для модели СГ на высоте Н = 20 км

1.2

с

0,8

0.6

0.4

0.2

М = 25

_____ М=10

10 15 20 25

а, град

30 35

40

Рисунок Г.3 - Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки и числа Маха для модели СГ на высоте Н = 30 км

с

ха

0.8

0.6

0.4

0.2

м =10

____ гч II

10 15 20 25 30 35 40

а, град

1.8

С

ха 1,6

1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

II О,

<-! II

М= 1

чМ = 25

чА/= 10

О 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Г.5 - Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 40 км

1,2

с

ха

0,8

0.6

0,4

0,2

м-- = 10

\М = 2. )

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Г.7 - Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 50 км

II

II

М = 1

М = 25

ЧМ= 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Г.9 - Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 60 км

М = 10

\м = 25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Приложение Д. Коэффициент подъёмной силы Су

уа

С

1,5

0.5

-0,5

М = 2 М = 5

М = 1

М = 25

\М=10

10

15 20

а, град

25

30

35

40

Рисунок Д.1 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 20 км

с

1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

-О.'1

М= 10

М = 25

о

10 15 20 25

а, град

30 35

40

Рисунок Д.3 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 30 км

1.4

с

УЯ

1,2

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

/ ■I; II ¡3

ч М = 25

0

10 15 20 25

а, град

30

35

40

Рисунок Д.5 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 40 км

1.4

уа 1.2

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

II

^ М = 25

0

10 15 20 25 а, град

30

35

40

Рисунок Д.7 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 50 км

1.4

С

уа 1,2

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0,2

ii

\ а/ = 25

0

10 15 20 25 Си, град

30

35

40

М = 5

М = I М = 2

ч М = 10 \м= 25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Д.9 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 60 км

М= 10

^ Ч М = 25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

СУ, град

Приложение Е. Аэродинамическое качество К

<-! II 1

м = ^ М = 25 0

М = 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Е.1 - Зависимость аэродинамического качества от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 20 км

М = 25

\м=ю

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

М=1 -----.

М = 2 5

\ М = 10

\М = 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Е.3 - Зависимость аэродинамического качества от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 30 км

II 5

\М= 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

М = I _ _ 1

М = 2 М = 25

/у\ М '=10

\ М = 5

1

О 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Е.5 - Зависимость коэффициента подъёмной силы от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 40 км

М= 10 А

у\м = 25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

О 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Е.7 - Зависимость аэродинамического качества от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 50 км

2

к

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

М = 1

М = 2 / \ М = 25

гЕ II

■ч^ М = 5

О 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град

Рисунок Е.9 - Зависимость аэродинамического качества от угла атаки при разных числах Маха в модели СГ на высоте Н = 60 км

м '=10

ч М = 25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

а, град