Оптимальные процедуры и адаптивные алгоритмы измерения параметров низкочастотного шума полупроводниковых приборов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Резчиков Сергей Евгеньевич

• Резчиков Сергей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Резчиков Сергей Евгеньевич

Введение

ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ШУМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ: ВИДЫ, ПАРАМЕТРЫ И СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ

1.1 Виды электрических шумов полупроводниковых приборов

1.2 Использование параметров НЧ-шума для диагностики ППП

1.3 Методы измерения параметров НЧ-шума ППП

1.3.1 Общие особенности измерения параметров шума

1.3.2 Погрешность измерения СПМ НЧ-шума методом непосредственной оценки

1.3.3 Измерение СПМ шума методом сравнения

1.3.4 Корреляционный метод

1.3.5 Методы измерения показателя формы спектра НЧ-шума

1.4 Современные средства измерения параметров НЧ-шума

1.5 Способы и устройства генерирования электрического шума

1.6 Проблемы шумовых измерений в условиях массового контроля

1.6.1 Проблема оценки погрешности в условиях отсутствия априорных данных и ограниченного времени измерения

1.6.2 Факторы, определяющие погрешность нахождения у

1.7 Выводы

ГЛАВА 2. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ НЧ-ШУМА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ

2.1 Оценка погрешности определения показателя спектра НЧ-шума ППП по результатам измерений СПМ на двух частотах

2.1.1 Факторы, определяющие погрешность измерения показателя спектра НЧ-шума

2.1.2 Случайная погрешность определения показателя спектра

2.1.3 Систематическая погрешность измерения показателя спектра

2.1.4 Суммарная погрешность определения показателя спектра

2.2 Определение показателя спектра по значениям СПМ на трёх частотах

2.2.1 Метод определения показателя спектра по значениям СПМ на трёх частотах

2.2.2 Погрешность измерения показателя спектра по значениям СПМ на трёх частотах

2.2.3 Оценка частоты перегиба спектра шума

2.3 Проверка выражений для оценки погрешности определения показателя спектра НЧ-шума моделированием в частотной области

2.4 Выводы

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЧ-ШУМА

3.1 Оптимальные процедуры измерения показателя спектра по СПМ на двух частотах

3.1.1 Оптимальные процедуры с последовательной фильтрацией

3.1.2 Оптимальные процедуры с параллельной фильтрацией

3.1.3 Влияние уровня белого шума на погрешность измерения показателя спектра по значениям СПМ на двух частотах

3.2 Оптимальные процедуры измерения показателя спектра по СПМ на трёх частотах

3.2.1 Оптимальное распределение времени при последовательной фильтрации

3.2.2 Оптимальное распределение частот при параллельной фильтрации

3.3 Выводы

ГЛАВА 4. АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЧ-ШУМА

4.1 Возможности адаптивного измерения параметров НЧ-шума

4.1.1 Методические основы адаптивного измерения параметров НЧ-шума

4.1.2 Исходные соотношения для оценки эффективности адаптивных алгоритмов

4.2 Адаптивный алгоритм измерения параметров НЧ-шума при заданной допустимой погрешности измерения СПМ

4.3 Адаптивный алгоритм измерения параметров НЧ-шума при заданном полном времени измерения

4.4 Адаптивный алгоритм оценки СПМ НЧ-шума с использованием ДПФ

4.5 Реализация алгоритма в условиях массового контроля

4.6 Выводы

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЧ-ШУМА

5.1 Генератор НЧ-шума с регулируемым показателем спектра

5.1.1 Синтез структурной схемы генератора НЧ-шума

5.1.2 Разработка перестраиваемого фильтра

5.2 Экспериментальный образец генератора и его характеристики

5.2.1 Изготовление экспериментального образца генератора

5.2.2 Экспериментальная оценка характеристик генератора НЧ-шума

5.3 Алгоритмы цифровой генерации НЧ-шума

5.4 Компьютерная программа «Spectraffixp 0.5»

5.5 Описание эксперимента

5.6 Применение разработанных методов для обработки НЧ-шумов ППП

5.6.1 Измерение показателя спектра НЧ-шума оптопар методом определения по значениям СПМ на трёх частотах

5.6.2 Тестирование ПО «SpectralExp 0.5» на временных рядах шумового напряжения светодиодов

5.7 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Спектральные диаграммы НЧ-шума СИД

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Акт о внедрении результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные процедуры и адаптивные алгоритмы измерения параметров низкочастотного шума полупроводниковых приборов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Для неразрушающего контроля качества и диагностики надежности полупроводниковых приборов (ППП) широко используются параметры их собственного низкочастотного (НЧ) шума. Спектр

НЧ-шума имеет вид G( f) ~ l/ f7 , где G(f) - спектральная плотность мощности (СПМ) на частоте f у - показатель формы спектра. Параметры НЧ-шума широко используются не только в качестве диагностических параметров, но и для оценки функциональных возможностей ППП. Эффективность контроля качества и адекватность оценок надежности ППП, очевидно, определяются точностью измерения параметров НЧ-шума.

Теория и техника измерения НЧ-шумов ППП для целей диагностического контроля их качества развиты в работах А. Ван дер Зила (A. Van der Ziel), Н.Б. Лукьянчиковой, А.К. Нарышкина, А.В. Якимова, В.С. Пряникова, М.И. Горлова, Г.П. Жигальского и др. К вопросу оценки погрешностей измерения параметров НЧ-шума и оптимизации анализа соответствующих спектров обращался ряд исследователей: Фолайфер (W. Forlifer), Пирсол (A. Piersol), Слайдиньш (I. Slaidins), Скандурра (G. Scandurra), Джузи (G. Giusi), Я.В. Мирский, В.А. Сергеев, Т.А. Холомина, С.С. Гоц и др. При этом анализ возможностей снижения погрешности измерения параметров НЧ-шума путём оптимизации измерительных процедур с учетом влияния белого шума и значения показателя у формы спектра в научной литературе отсутствует.

Значение показателя у формы спектра НЧ-шума, также используемое в качестве диагностического параметра, может изменяться в широких пределах: от 0,5 до 3 и более и сильно влияет на погрешность измерения СПМ НЧ-шума. Однако оценок погрешности измерения параметра у с учетом влияния белого шума ППП, и рекомендаций по выбору оптимальных условий измерения параметра у и СПМ ППП для целей контроля их качества в литературе не приводится.

При использовании диагностики ППП по параметрам НЧ-шума в промышленных условиях необходимо также обеспечить высокую

производительность измерений указанных параметров при сохранении приемлемой точности измерений, однако автоматизированные измерители электрических шумов ППП в России не производятся. Измерительные системы для шумовых измерений, производимые за рубежом, являются уникальными и дорогостоящими, при этом нет никаких сведений об оптимизации реализуемых в этих системах измерительных процедур.

Цель работы - разработка методов и алгоритмов, обеспечивающих повышение точности измерения параметров НЧ-шума ППП за счёт оптимизации измерительных процедур.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- анализ составляющих полных погрешностей измерения параметров НЧ-шума ППП при различных методах и условиях измерения;

- анализ и оценка составляющих погрешности измерения параметров НЧ-шума ППП методом непосредственной оценки с учетом влияния дробового и теплового шумов;

- разработка оптимальных процедур измерения показателя формы спектра НЧ-шума, минимизирующих суммарную погрешность измерения;

- разработка адаптивных алгоритмов измерения показателя формы спектра НЧ-шума при заданных ограничениях;

- экспериментальная апробация предложенных способов и алгоритмов на образцовом сигнале генератора НЧ-шума с регулируемым показателем спектра;

- экспериментальное применение разработанных алгоритмов к оценке параметров НЧ-шума светодиодов.

Научная новизна работы 1. Впервые получены аналитические выражения для методических погрешностей измерения СПМ и показателя формы спектра НЧ-шума ППП различными методами с учетом влияния составляющей белого шума, позволяющие определить оптимальные условия измерения указанных параметров в зависимости от частоты перегиба шумовой смеси и значения

показателя формы спектра НЧ-шума, минимизирующие суммарную методическую погрешность измерения.

2. Получены аналитические выражения для оценки суммарной методической погрешности измерения показателя формы спектра НЧ-шума по значениям СПМ, измеренным на 3-х частотах, позволяющие определить оптимальные условия измерения показателя формы спектра НЧ-шума в зависимости от частоты перегиба шумовой смеси и значения показателя формы спектра НЧ-шума, минимизирующие суммарную методическую погрешность измерения.

3. Разработаны оптимальные процедуры определения показателя у формы спектра НЧ-шума по значениям СПМ, измеренным на 2-х и на 3-х частотах, позволяющие в некоторых случаях снизить погрешность измерения на 3040%.

4. Разработаны адаптивные алгоритмы измерения параметров НЧ-шума ППП в условиях массового контроля, позволяющие при заданном времени измерения снизить в среднем по совокупности контролируемых изделий, погрешность измерения СПМ на 20%, а при заданной предельной погрешности измерения - снизить общее время контроля примерно на 30%.

5. Показана возможность построения генератора НЧ-шума с перестраиваемым показателем формы спектра в пределах 0,5-3 и отклонением зависимости СПМ от степенной в диапазоне 20 Гц - 100 кГц не более ±1 дБ, а в диапазоне 10 Гц - 100 кГц не более ±1,5 дБ с использованием источника белого шума и интегрирующих ЛС-звеньев с потенциометрической регулировкой сопротивления.

Теоретическая и практическая значимость работы

Выражения, полученные для оценки полной погрешности измерения параметров НЧ-шума, существенно дополняют известные теоретические модели различных способов измерения шумовых параметров.

1. Разработан и построен генератор НЧ-шума с регулируемым показателем формы спектра, который может быть использован для контроля метрологических

характеристик измерителей НЧ-шума, используемых в исследовательской и производственной практике.

2. Разработана и используется в УФИРЭ им. В. А. Котельникова РАН компьютерная программа оценки параметров НЧ-шума и их погрешности по результатам измерения СПМ на нескольких частотах.

Методы исследования

При проведении диссертационного исследования использовались методы теории погрешностей, теории радиотехнических цепей и сигналов, метод анализа, метод синтеза, метод дискретного преобразования Фурье. Для подтверждения полученных результатов использовалось моделирование: аналитическое в частотной области, статистическое в частотной области, компьютерное во временной области, физическое (генератор как физическая модель источника НЧ-шума).

При проведении эксперимента использовались методы: непосредственной оценки, сравнения, дискретных выборок. Для разработки программного обеспечения использовался язык программирования Object Pascal.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Существует оптимальное соотношение длительностей измерения СПМ на каждой из частот, характеризующееся минимумом погрешности измерения показателя спектра НЧ-шума, при его определении по значениям СПМ, измеренным последовательной фильтрацией на двух частотах, при заданном полном времени измерения.

2. Существует оптимальное соотношение частот измерения СПМ, характеризующееся минимумом погрешности измерения показателя спектра НЧ-шума, при его определении по значениям СПМ, измеренным параллельной фильтрацией на двух частотах, при заданном значении верхней частоты f2.

3. Существует оптимальное соотношение длительностей измерения СПМ на каждой из частот, характеризующееся минимумом погрешности измерения показателя спектра НЧ-шума, при его определении по значениям СПМ,

измеренным последовательной фильтрацией на трёх частотах, при заданном полном времени измерения.

4. Существует оптимальное соотношение частот измерения СПМ, характеризующееся минимумом погрешности измерения показателя спектра НЧ-шума, при его определении по значениям СПМ, измеренным параллельной фильтрацией на трёх частотах.

5. Структурная схема генератора НЧ-шума с показателем спектра, регулируемым в интервале от 0,5 до 3 в диапазоне частот 10 Гц - 100 кГц.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской молодежной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2014-2016 гг.), 19-м и 20-м Международном молодежном форуме «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (г. Харьков, ХНУРЭ, 2015, 2016 гг.), XV, XVI Конференции «International Young Scientists' Conference on Applied Physics» (г. Киев, КНУ им. Тараса Шевченко, 2015, 2016 гг.), Конференции молодых ученых по физике полупроводников «Лашкаревские чтения» с международным участием (г. Киев, ИФП им. В. Е. Лашкарева НАН Украины, 2016, 2017, 2019 гг.), Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (г. Саратов, 2016, 2018 гг.), Конференции молодых учёных «Problems of Theoretical Physics» (г. Киев, ИТФ им. Н. Н. Боголюбова НАН Украины, 2016, 2017 гг.), Научно-технической конференции «Физика, Электроника, Электротехника - 2017» (г. Сумы, СумГУ, 2017 г.), V Всеукраинской научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Физика и химия твердого тела: состояние, достижения и перспективы» (г. Луцк, ЛНТУ, 2018 г.).

Личный вклад автора. Основные научные результаты получены автором лично. Работы по внедрению результатов исследований проводились при личном участии автора.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 66 работ, из них 47 основных, в том числе 8 работ в изданиях из перечня ВАК и приравненных к ним, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 175 наименований, и приложений. Общий объём диссертации составляет 142 страницы и содержит 72 рисунка.

ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ШУМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ: ВИДЫ, ПАРАМЕТРЫ И

СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ

1.1 Виды электрических шумов полупроводниковых приборов

В различных областях структуры и конструкции ППП постоянно происходят случайные изменения локальной концентрации и скорости движения носителей зарядов, которые во внешних по отношению к ППП электрических цепях проявляются в виде электрических шумов, то есть случайных колебаний (флуктуаций) потенциалов и токов. Для описания и анализа электрических шумов ППП используется стандартный математический аппарат описания случайных процессов. Как правило, средние значения флуктуаций тока ¡иО и напряжения иш(?) в ППП равны нулю и характеристики этих процессов не изменяются во времени, то есть электрические шумы ППП являются стационарными процессами с нулевым средним. Интенсивность этих флуктуации принято характеризовать спектральной плотностью мощности (СПМ) напряжения SU(f) или тока SI(f), соответственно. Эти величины определяются как мощность, выделяющаяся в нагрузке 1 Ом в узкой полосе частот А/ со средней частотой f при протекании через нагрузку шумового тока ¡ш(;) или приложении к нагрузке шумового напряжения иш(;). Исходя из этого определения, интенсивность шума может описываться источником шумового тока, средний квадрат которого в узкой

полосе частот А/ со средней частотой / определяется выражением ¡Ш = SI (/) А/,

или источником шумового напряжения, для которого иШ = SU (/ )А/.

Различают несколько фундаментальных причин возникновения флуктуаций токов и напряжений в структурах ППП и их электрические шумы по физической природе возникновения и характеру проявления разделяют на тепловые, дробовые и низкочастотные. На рисунке 1.1. схематично показана СПМ шумового напряжения ППП, включающая эти три составляющие полного шума.

cu О С;

о

CD

£ OQ

С О

\ \

\ ^—-___

тепловой шум / Х^ 1/Г-шум

дробовой шум --

I I

/о

частота, Гц (масштаб логарифмический)

Рисунок 1.1 - Спектральная диаграмма шумового напряжения

Дробовой шум. Возникает по причине дискретности заряда электрона, при перемещении носителей заряда через потенциальный барьер. Впервые был рассмотрен Шоттки в 1918 [121]. В первом приближении дробовой шум можно считать белым [47]. Средний квадрат шумового тока определяется известной формулой

^ (1.1)

iДР = 2eI А/,

где e - заряд электрона;

I - сила тока, текущего через прибор;

А/ - ширина полосы частот.

Тепловой шум. Представляет собой флуктуации напряжения, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в полупроводниках (и проводниках). Тепловой шум, так же, как и дробовой, первым рассмотрел Шоттки в 1918. Первые фундаментальные экспериментальные исследования этого шума провёл Джонсон, а в 1928 он и Найквист опубликовали свои работы, посвящённые тепловому шуму [121].

СПМ теплового шума не зависит от частоты. Средний квадрат напряжения теплового шума:

иШ = 4kTRA/,

(1.2)

13

_23

где k - постоянная Больцмана (1,38 -10 Дж/К);

Т - термодинамическая температура;

R - сопротивление;

А/ - ширина полосы частот.

СПМ теплового шума определяется только температурой и сопротивлением шумящего элемента, поэтому измерение его уровня применимо для оценки температуры. Основной проблемой шумового термометра является сложность сверхточного измерения слабого тока в проводнике.

В отдельных режимах работы ППП проявляются особые виды шума: генерационно-рекомбинационные, лавинные, взрывные и др. Эти виды шума являются следствием шумов фундаментальной природы и определяются особенностями механизмов протекания тока в различных областях ППП.

Взрывной шум. Взрывной шум возникает из-за локальных обратимых микропробоев, например, в областях, где присутствуют дефекты структуры. Обычно взрывной шум представляет собой двухуровневый случайный процесс, который иногда называют случайным телеграфным процессом (СТП). Многоуровневый взрывной шум объясняют суперпозицией нескольких СТП [114]. Спектр «взрывных» флуктуаций сопротивления можно описать выражением [114]:

=--2АЯ, (1.3)

1 + (2л / т0)

где т0 - время релаксации; / - частота;

2

АЯ - дисперсия флуктуаций сопротивления.

Генерационно-рекомбинационный шум присутствует в ППП и обусловлен тем, что процессы генерации и рекомбинации носителей заряда имеют случайный характер. Его спектр с точностью до обозначений совпадает со спектром взрывного шума [114].

Низкочастотный шум. Этот вид шума имеет также другие названия: избыточный шум, l/f-шум, фликкер-шум (от англ. flicker - мерцание). Фликкер-шум был обнаружен в 1925 году Джонсоном в виде флуктуаций тока термоэлектронной эмиссии. В 40-50-х годах этот вид шума был обнаружен в полупроводниках и ППП [47]. Наиболее распространенным является термин «низкочастотный шум» (НЧ-шум), поскольку этот вид электрического шума наблюдается в низкочастотной области спектра. Частотная зависимость СПМ таких шумов описывается выражением

GH4 (f )=у, а4)

где A - параметр, зависящий типа ППП и режима его работы, в частности от силы тока, протекающего в структуре ППП;

у - безразмерный коэффициент, характеризующий вид спектра (как правило, 0,5<у<1,5 или 0,5<у<3,0), называемый показателем формы спектра.

НЧ-шумы в ППП объясняются различными физическими процессами: захватом носителей заряда так называемыми медленными ловушками в полупроводниках, присутствием системы с нелинейным откликом, не имеющим памяти [175], действием поверхностных дефектов в ППП, флуктуациями числа свободных носителей заряда вблизи поверхности полупроводника [18] и т. д. Кроме того, НЧ-шум может формироваться при наложении генерационно-рекомбинационных случайных процессов с различными временами жизни носителей заряда [30] - так называемых лоренцианов.

Характерный для НЧ-шума вид частотной зависимости СПМ обусловливает то, что этот шум проявляется на низких частотах и с возрастанием частоты СПМ НЧ-шума уменьшается. В [46] приведены типичные для биполярных транзисторов зависимости СПМ шума от частоты (рисунок 1.2).

В

%

10

10

г 15

Ю

10

г 16

■17

20

100

1000

ГЦ,

Рисунок 1.2 - Усредненные по типам транзисторов графики СПМ НЧ-шумов [46]

На рисунке 1.3 спектральные плотности НЧ-шума базового тока гетеропереходных биполярных транзисторов (ГБТ) трёх типов: А - с высокой концентрацией углерода, В - с низкой концентрацией, С - безуглеродные [136].

Рисунок 1.3 - Спектры шума для трёх типов ГБТ [136]

Поскольку спектры теплового и дробового шумов ППП не ограничены по частоте снизу, то составляющие этих шумов будут присутствовать в низкочастотной области шумового спектра вместе с НЧ-шумом, и полная СПМ шума ППП, будет равна сумме СПМ трёх составляющих:

Gшc (/) = -у + Go, (1.5)

где G0 = GдШ + GТШ - суммарная СПМ теплового и дробового шумов, имеющих «белый» спектр.

Из характера изменения СПМ НЧ-шума следует, что при определенной частоте / она становится равной сумме СПМ теплового и дробового шумов G0, а полная СПМ смеси шумов будет равна 2 - G0. Значения частоты /0, которую можно назвать частотой перегиба, обычно лежат в диапазоне от единиц или десятков килогерц. Таким образом, более полно шумовые свойства ППП при заданном тока определяются параметрами А, у и G0, либо А, у и _/0. При известных А и /0, можно рассчитать параметр у и построить частотную зависимость 0ШС (/) = F(/). Очевидно, что при /<< /0 влиянием теплового и дробового шумов можно пренебречь.

Зависимость СПМ НЧ-шума от силы тока I можно аппроксимировать степенной функцией [19]:

^/, I) = А1а / / у. (1.6)

Свойства конкретного ППП определяют значения параметров, входящих в выражение (1.6): постоянного коэффициента А, показателя степени а в токовой зависимости и показателя формы спектра у. Эти характеристики НЧ-шума используется как для анализа физических процессов в структурах ППП, так и для диагностики различного рода дефектов этих структур. Следует отметить, что и показатель степени токовой зависимости а и показатель формы спектра у в общем случае зависят от силы тока, протекающего в ППП. Эти зависимости служат дополнительной информацией при анализе физических процессов в ППП. Так при токах, не приводящих к локальным перегревам в структуре ППП, показатель степени токовой зависимости а обычно имеет значение близкое к двум (а « 2), а показатель формы спектра у значение близкое к единице (у ~ 1). В различных режимах работы ППП и внешних условий, при которых измеряется спектр НЧ-шума, значение у может существенно отличаться от 1.

Зависимость СПМ НЧ-шума от частоты, описываемая выражением (1.5), построенная в логарифмических координатах, в диапазоне частот /<</0 представляет собой прямую линию, тангенс угла которой дает значение показателя формы спектра: у = А^ G / А^ /. Измерив СПМ НЧ-шума при одном и том же значении силы тока на двух частотах, значение у можно найти по формуле:

Коэффициент а согласно формуле (1.6) определяется отношением СПМ G1( 11) и G2(12), измеренных при двух значениях тока 1\ и 12 через прибор на одной и той же частоте:

Заметим, что точность определения параметров у и а зависит в первую очередь от точности измерения СПМ, поскольку частота и сила тока, входящие в (1.7) и (1.8) являются детерминированными величинами и могут быть заданы с заведомо меньшей погрешностью, чем погрешность измерения СПМ.

1.2 Использование параметров НЧ-шума для диагностики ППП

Многочисленные исследования показывают, что различного рода дефекты в структуре ППП (вакансии, дислокации, микротрещины, протяженные включения, подвижные ионы и т.п.) приводят к появлению дополнительных механизмов токопротекания, что проявляется на характеристиках НЧ-шума. Поэтому параметры НЧ-шума широко и активно используются в исследовательской и производственной практике для диагностического контроля качества и отбраковки дефектных и потенциально ненадёжных ППП.

Неразрушающие методы экспресс-оценки надёжности ППП востребованы в сфере производства, поскольку стандартные испытания на надёжность энергоёмки и требуют много времени. Преимуществами методов оценки качества

У =

^ /р/о2{ /2)]

^ (А/ /2 )

(1.7)

(1.8)

и надёжности ППП по электрическим шумам являются относительно малые затраты времени, неразрушающий характер, универсальность.

Неразрушающие методы оценки качества и надёжности ППП по параметрам НЧ-шума развиты в работах Пряникова В. С., Горлова М. И., Смирнова Д. Ю., Холоминой Т. А., Жигальского А. Г., Левинштейна М. Е., Широкова А. А., Дулова О. А., Сергеева В. А. и др. [9-10, 13, 18-20, 28, 38, 43, 46, 84, 90-91, 94, 98-99, 111]. Многие авторы отмечали, что дефектные и потенциально ненадёжные ППП, как правило, имеют аномально высокий уровень НЧ-шума на некоторой фиксированной частоте и попадают в хвосты распределения изделий по этому параметру. У некоторых классов изделий сильно шумящие приборы в определенных режимах работы образуют вторую моду в распределении по уровню шума. Интенсивность отказов приборов, относящихся к области второй моды, на порядок выше в сравнении с приборами из первой. Для дефектных приборов характерно также и аномально большое отклонение других шумовых параметров от среднестатистических значений.

Исследования Широкова А. А., Дулова О. А и др. [13, 111], проведенные на мощных биполярных транзисторах, показали, что по шумовым характеристикам можно выявлять многие виды дефектов в приборах этого класса. У транзисторов с дефектами эмиттерного перехода и контактных соединений уровень шума на 2-3 порядка выше среднестатистического (для измерений на частоте 1 кГц при низком коллекторном напряжении и большом токе эмиттера). Такие приборы потенциально ненадёжны и могут подвергаться отбраковке. Выявить дефекты коллекторного перехода можно по уровню шума на той же частоте 1 кГц при малом коллекторном токе и напряжении на коллекторном переходе порядка 0,750,9 от предельно допустимого. По отношению напряжения шума, измеренного при двух значениях сопротивления генератора на входе транзистора можно оценить значение сопротивления базы транзистора. Степень локализации тока в структуре биполярного транзистора выявляется по отношению уровней шума, измеренных при двух фиксированных для данного типа транзистора токах.

Как показано в [94], на выборках кремниевых стабилитронов нескольких типов наблюдались две моды в распределении по уровню шума, измеренному в начале пробоя на частоте 1 кГц. При этом разброс значений показателя степени а в токовой зависимости спектральной плотности шумового тока относительно теоретического значения (равного 2) был значителен. Результаты ускоренных испытаний на надёжность, которым были подвергнуты стабилитроны, показали чёткую корреляционную связь между деградацией обратного напряжения Аи100 (при токе 100 мкА) и отклонением показателя а от теоретического значения.

В [43] предложен способ для отбраковки мощных светодиодов, на гетероструктурах InGaN/GaN, со сроком службы менее 50000 часов. В качестве информативного параметра используется СПМ НЧ-шума и крутизна её зависимости от плотности тока. Измерение СПМ проводилось в диапазоне частот 1-10 кГц, где вклад в шум вносят все типы дефектов. Отбраковка потенциально ненадёжных приборов производится по отношению значений СПМ НЧ-шума до и после 50-часовой термотоковой тренировки. О коротком сроке службы свидетельствует увеличение СПМ более чем на порядок [43].

Ряд защищенных патентами на изобретения методик прогнозирования надёжности ППП по параметрам НЧ-шума описан в [98]. Эти методики объединяет то, что они предполагают сравнение параметров НЧ-шума при разных условиях измерения. Во всех описанных способах оценка СПМ осуществляется посредством измерения среднеквадратического напряжения шума на частоте 1 кГц при относительной полосе фильтра 0,2.

Способ 1 основан на зависимости иШ между выводами «питание» и «общий» от величины поданного напряжения питания. Измерения проводились на ИС типа К137ЛЕ2 при напряжениях питания 2 В и 5 В. Длительность усреднения ТИ = 2 с. Относительное увеличение К интенсивности шума

2 2

рассчитывалось по формуле К = иШ5 / иШ2 . Партию оказалось возможно разделить по потенциальной надёжности на три группы: ИС с повышенной

надёжностью (К < 2); ИС нормальной надёжности (2 < К < 2,8) и потенциально ненадёжные ИС (К > 2,8) [98].

Способ 2 основан на зависимости СПМ шума, измеренного по выводам «питание-общая точка», от температуры [98]. Этот способ более трудоемкий.

Способ 3 основан на измерении показателя формы спектра. Исследовались статические КМОП ОЗУ КР537РУ13 (затем опробован на ИС типа ОР37, ОРА735, К137ЛЕ2). СПМ определялась для НЧ-шума, измеренного между выводами «питание» и «общий» на частотах 200 Гц и 1 кГц; в полосе частот Af = 200 Гц, длительность усреднения ТИ = 2 с. Исследователи разделили партию ИС по их потенциальной надёжности на три группы: ИС повышенной надёжности (у < 1); ИС с нормальной надёжностью (1 < у < 1,3) и потенциально ненадёжные ИС (у > 1,3) [98].

Способ 4 предусматривает измерение показателя формы спектра для разных температур. ИС типа КР537РУ13 исследовались при трёх разных температурах. Было вычислено среднее значение у для разных температур. Исследователи сделали вывод, что данную партию ИС можно разделить на три группы: повышенной надёжности (у < 1,1), с нормальной надёжностью (у < 1,4) и потенциально ненадёжные ИС (у > 1,4) [98].

Способ 5 позволяет оценить устойчивость к вторичному пробою мощных МДП-транзисторов (КП723Г). Существуют данные о росте устойчивости транзисторов к вторичному пробою с ростом уровня НЧ-шума. Информационным

параметром при этом является значение показателя степени а при 1И в

соотношении ¡Ш = А ■ ¡ИИ, где 1И - постоянный прямой ток истока, А -некоторый коэффициент. На выводах сток-исток измеряется СПМ НЧ-шума при двух прямых рабочих токах. Затем вычисляется коэффициент а [98].

Правильность разделения партий ППП (ИС и транзисторов) на надёжные и ненадёжные в каждом случае экспериментально подтверждалась путём их испытаний на безотказность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Резчиков Сергей Евгеньевич, 2021 год

У ист

Рисунок 2.4 - Зависимость отношения /2°пт// от уИст при различных

4/4<ф/ А

Для оценки показателя спектра НЧ-шума в условиях неопределенности можно рекомендовать измерение СПМ с постоянной относительной полосой фильтра [92].

2.1.4 Суммарная погрешность определения показателя спектра

Полную погрешность определения у можно найти, суммировав случайную и систематическую составляющие геометрически [73]:

«П^К")2 + (<Ш)2 , (2-15)

где ду Ш - случайная погрешность;

- систематическая погрешность [73].

Для оценки предельной полной погрешности определения у можно использовать арифметическую суммы систематической и средней квадратической случайной погрешностей:

г

SyZ

У ИСТln (/2//1)

ln

V

1 + %Ч1 + i]

1 + %Ч2 + |2

±V(1 + I )2 ^G12 +(1 + I2 )2 S g22

Л

(2.16)

у

2.2 Определение показателя спектра по значениям СПМ на трёх частотах

2.2.1 Метод определения показателя спектра по значениям СПМ на трёх

частотах

Как уже отмечалось, выражение (2.1) для нахождения у по значениям СПМ, измеренным на двух частотах, справедливо, если при измерении СПМ выполняются условия /1 << /2 << /о. Оценить значение частоты перегиба по измерениям СПМ только лишь на двух частотах невозможно.

Чтобы методически верно учесть влияние белого шума и найти значение показателя у НЧ-шума в шумовой смеси со спектром, описываемым выражением (1.4), содержащим 3 неизвестных, необходимо измерить СПМ на трёх частотах. На основе модели НЧ-шума заданной (1.4) т. е. в предположении, что у = const нами получена формула для определения показателя у НЧ-шума как решение системы из трёх уравнений вида (1.4) [69]:

G — G Д

У = log а-^Д, (2.17)

GM — G2

где G1, G2, Gд - СПМ шумовой смеси на первой, второй и дополнительной

частоте соответственно;

а - постоянный коэффициент деления диапазона.

Дополнительная частота лежит между 1-ой и 2-ой, причём так, что [69]

^/д-/2

/1 /д v

4 и /д =//2 . (2.18)

f1

При таком выборе /д значительно упрощается решение показательного уравнения, необходимое для вывода выражения (2.17). СПМ белого шума G0

можно рассматривать как постоянную абсолютную систематическую погрешность.

72 У

Кроме того, при измерении составляющих НЧ-шума присутствует систематическая погрешность, зависящая от ширины ПП АФ [69]. Из (2.17) следует, что при одинаковых относительных ПП АФ при измерениях на всех трёх частотах относительные систематические погрешности £ при измерении Оъ G2, Gд будут одинаковыми, и исключаются из результата измерения [69]:

= | о, (£+1)+О0 -(Од (£+1)+о0) = | о, - вдл

Ути ~0Ъ "Од (£ +1) + Оо-(О2 ( £ +1) + Оо)- 08 " У^ ■ Од - О2

Это особенно важно, учитывая неточность оценки систематической погрешности измерения СПМ по формуле (1.12) при достаточно широкой полосе пропускания АФ [69, 156].

Одним из недостатков предложенного способа является то, что частота /д

полностью определяется значениями частот /1 и /2 [68]. Еще один недостаток данного способа - предлагаемая формула имеет смысл только при Од > О2, поскольку в случае Од<О2 в формуле (2.17) будет логарифм отрицательного числа [69]. Поэтому нужно учитывать, что при /д / /0 > 1 выше /0 лежат частоты, соответствующие как минимум двум точкам измерения СПМ. При /д / /0 > а все три точки лежат выше /0 [69].

Одним из решений данной проблемы может стать применение в измерительном алгоритме метода наименьших квадратов. Особенно это будет удобно в случае использования для нахождения СПМ ДПФ [68].

Простой анализ показывает, что при отсутствии белого шума, формула (2.17) сводится к формуле (1.7).

Использовать предложенный способ можно в следующем порядке:

1) Задание диапазона частот, для которого определяется у;

2) Задание допустимой погрешности определения у;

3) Расчёт коэффициента а и дополнительной частоты /д;

4) Расчёт необходимого времени усреднения при измерении СПМ;

5) Измерение значений О1, О2 и Од;

6) Вычисление у по формуле (2.17);

7) Вывод полученного значения у и оценки его погрешности [68].

На практике предлагаемый способ нахождения значения у может быть реализован как с помощью простого неавтоматизированного измерения СПМ НЧ-шума на трёх заданных частотах селективным вольтметром с квадратичным детектором, так и с помощью автоматизированной установки, использующей аналоговую фильтрацию [69]. Реализация способа возможна и с применением ДПФ [150].

2.2.2 Погрешность измерения показателя спектра по значениям СПМ на трёх

частотах

Оценим погрешность. Основным источником погрешности определения у по формуле (2.17) будут погрешности измерения СПМ шумовой смеси. По известной формуле для погрешности косвенных измерений, продифференцировав (2.17) по переменным Оъ 02, Од , получим [72]:

$ =

1

г 01 - ОдЛ

X

1п

0Д - 02

(2.19)

1

01 • 801 О - О

Д

+

од • 80д

О - О

Д

02 - 01 02 - 0Д у

+

2

02•802 02 - 0Д у

где 8

2 - среднеквадратические погрешности измерения соответствую-

ОЬ иод' ио 2

щих СПМ, которые можно оценить по формуле (1.9).

Преобразуя (2.19) с учетом (1.4), выражение для погрешности определения у, зависящей от значения у, частоты перегиба /0 и соответствующих среднеквадратических погрешностей:

2

2

8 =

Л

(1 - а') 1п (а'

2 =

ау +

(/д//> )'

(1 + ^см)

л

ЧЧ

л

2

•8

'о\ У У

+

+

1 , (/д//о)'

(1 + ^СМ)

ЧЧ

2

•(1 + аг )• 8(

,

1 , (/д//о)'

л

а'

(1 + ^СМ)

ЧЧ

л

2

(2.20)

•8

'О 2 У У

Например, для / = 100; /д = 500; /2 = 2500; 8О1 = 8Од = 8О2 = 0,1; ' = 1 и

/о = 2000 - 8г = 0,146. Погрешность зависит, главным образом, от случайных

погрешностей аргументов и положения частоты перегиба.

Рассмотрим обратную задачу оценки требуемого времени измерения при заданной максимальной среднеквадратическая случайная погрешность 8у.

Подставив (1.9) в (2.20) и выразив из полученного выражения Т получим

а' +

( /д//о )'

(1 + ^СМ)

Т =

_ Ч

а +

! , (/д//>)'

(1 + «СМ)

(1 + а' )" +

1 , (/д//о)'

а'

(1 + ^СМ)

1 а

(2.21)

Уотн • /д-(8'(1 - а') 1п(а')) где А/отн - относительная ширина 1111 АФ, одинаковая для всех частот измерения.

2.2.3 Оценка частоты перегиба спектра шума

По значениям СПМ НЧ-шума на трёх частотах можно оценить не только показатель спектра, но и значение частоты перегиба. Для этой цели мы вывели

выражение

/о = /\

'изм м

О2 - °

О •

а

о--О2

'изм 2

(2.22)

где 'ИЗМ - показатель спектра, найденный по формуле (2.17).

Используя основное логарифмическое тождество и формулу для логарифма степени формулу (2.22) преобразовать к виду удобному для машинных (компьютерных) вычислений

2

2

2

/о = /1

G2 - °

Gl —2--G2

V аУизм

уизм

= /1 ■ ехр

Уизм

1п

G2 - G1

0 рЪУизм '1п а о ,

2.3 Проверка выражений для оценки погрешности определения показателя спектра НЧ-шума моделированием в частотной области

Выражение (2.20) получены на основе известной формулы для погрешности косвенных измерений в предположении некоррелированных погрешностей измерения СПМ шумовой смеси на каждой из трёх частот. Для проверки корректности полученного выражения (2.19) было проведено моделирование.

Сравнивалось, полученное моделированием, «реальное» значение погрешности измерения у 8уРЕАЛ с рассчитанным по выражению (2.19). Измеренное

значение УИзМ рассчитывалось по выражению (2.17). При этом в (2.17) подставлялись суммы истинных значений СПМ О1, G2, Од и погрешностей их

нахождения, которые определялись по соответствующим формулам [64]. Значения СПМ, принимавшиеся в качестве истинных, вычислялись по (1.4) для смеси НЧ-шума с УИсТ = 2 и белого шума.

Для нахождения значений УИЗМ мы выбрали два варианта распределения знаков случайных погрешностей: «+-+» и «-+-». Таким образом, погрешности оценок СПМ, соответствующих соседним частотам, имели разные знаки. А в качестве модулей погрешностей подставлялись среднеквадратические значения. Для первого случая получим выражение:

Уизм = ^ а

О ■(!+ ¿О1)-ОД-(1 -8ОД) Од-(1 -8ОД)-О2 ■(! + ¿о2)

Время измерения СПМ полагалось одинаковым для всех трёх частот, поэтому погрешность 8О1 измерения СПМ О1 будет в у/а раз больше 8Од , а

погрешность 8о2 измерения СПМ О2 в у/а раз меньше, чем 8од .

1

«Реальная» погрешность измерения у (точнее её модуль) при среднеквадратических значения погрешностей СПМ определялась по формуле

'у РЕАЛ

Уизм уИСТ

уИСТ

(2.23)

Для сравнения погрешности по (2.23) с погрешностью, рассчитанной по (2.19) на рисунке 2.5 приведены графики зависимостей 8у {8Од) и 8у РЕАЛ {8Од) для двух выбранных случаев.

Относительная погрешность измерения СПМ на частоте /¿,

Рисунок 2.5 - Зависимости относительных погрешностей определения показателя формы спектра от погрешности измерения СПМ

По графикам рисунка 2.5 видно, что «реальная» погрешность определения у в рассмотренных случаях достаточно близка к оценке, полученной по (2.19). Например, при 8Од = 0,1, в первом случае: 8у = 0,067 и 8у реал = 0,084; во

втором: 8у = 0,082 и 8у РЕАЛ = 0,105 [64].

Далее была проведена проверка корректности (2.19) путём статистического моделирования. Значения уИзМ вычислялись по формуле (2.17) при подстановке

истинных значений СПМ Оъ 02 и Од в сумме с нормально распределёнными

случайными погрешностями. Случайная погрешность 8од была задана массивом

из 100 нормально распределённых случайных значений. Математическое ожидание было задано равным 0, а СКО равным 0,1. СКО в двух других массивах,

для задания погрешностей 5С1 и дс2, будет, соответственно, в у/а раз больше, и в у/а раз меньше д0д. Подставляя истинные СПМ и случайные числа из этих массивов в (2.17) найдём 100 значений уИзМ , содержащих случайную погрешность, и вычислим СКО уИзМ от уИсТ =2 по известной формуле [64]:

У СТАТ

1

Ё(уИЗМ / уИСТ )

/■=1

п -1

(2.24)

где у ист =2;

п=100.

На рисунке 2.6 представлена зависимость модуля погрешности измерения у по (2.23) и зависимость оценки среднеквадратической погрешности измерения у по (2.19) от порядкового номера реализации случайных величин дС1, дс2 и дСд.

При расчётах были выбраны значения /д = 10 и а = 10. Значения параметра А и параметра G0 в (2.17) подобраны так, чтобы обеспечить частоту перегиба около 180 Гц. При установлении частоты перегиба равной 10 Гц, характер зависимостей на рисунке 2.5 не меняется [64].

о к

в

и

а.

о с

0.25

0.2

0.15

0.1

о 0.05 к

(О

Л 1 1

1 Лл 1, 1

г 1 У Л / к У к' У

и ! Ч\ Ю1 V 1 1 Р у Р т щ г

20

¿10 60 30 100

Порядковый номер реализации погрешностей п

-Модуль погрешности отдельного измерения

Оценка среднеквадратической погрешности

Рисунок 2.6 - Зависимость погрешности показателя формы спектра от порядкового номера реализации погрешностей измерения СПМ

Значение СКО 8у стат, полученное путём статистического моделирования и

рассчитанное по формуле (2.23), оказалось равным 0,091, а среднее значение оценок среднеквадратической погрешности у, рассчитанной по (2.19) при тех же

случайных погрешностях СПМ, составляет 8у = 0,074. Полученное расхождение

значений связано с тем, что формула, позволяющая упрощённо оценивать погрешности косвенных измерений получена с использованием приближений, в предположении, что погрешности 80 << 1.

Далее такое же статистическое моделирование было проведено для формулы (2.20). Графики зависимостей относительной погрешности показателя спектра:

теоретической - 8у {8сд) и смоделированной - 8у мод {8сд) [160] приведены на рисунке 2.7. Графики построены для случая: fд = 10 Гц и а = 10; значения А и 00 в

(1.4) заданы такими, чтобы частота перегиба была 200 Гц; £ = 0,1.

ю

о*-

я

(н

о

°0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Относительная погрешность СПМ на /д

Рисунок 2.7 - Зависимость относительной погрешности показателя спектра от значения погрешности 8Сд измерения СПМ на дополнительной частоте

Проведенное моделирование показало, что формулы (2.19) и (2.20) дают удовлетворительную оценку 8у, если погрешность измерения СПМ на нижней

частоте не превышает значения 0,3 [64].

2.4 Выводы

1. Впервые получены и проанализированы выражения для методической

погрешности определения показателя степени у по результатам однократных измерений СПМ шума методом непосредственной оценки на двух частотах с учетом тепловых и дробовых шумов ППП. Даны рекомендации по минимизации суммарной погрешности определения у.

2. Приведены оценки дополнительных систематической и случайной погрешностей определения показателя формы спектра НЧ-шума (при измерении по значениям СПМ на двух частотах), обусловленных присутствием в шумовой смеси теплового и дробового шумов.

3. Предложен способ определения показателя формы спектра по значениям СПМ, измеренным на 3-х частотах, включая дополнительную частоту, при этом отношение значения первой частоты к значению дополнительной равно отношению значения дополнительной частоты к значению второй частоты.

4. Получены аналитические выражения, позволяющие оценить погрешность определения показателя формы спектра НЧ-шума по значениям СПМ, которые измерены на 3-х частотах. Адекватность полученных выражений подтверждена численным расчётом и численным статистическим моделированием.

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

НЧ-ШУМА

3.1 Оптимальные процедуры измерения показателя спектра по СПМ на двух

частотах

3.1.1 Оптимальные процедуры с последовательной фильтрацией

Если измерительное устройство имеет один канал измерения, оценка СПМ НЧ-шума для разных частот будет проводиться последовательно (на одной, затем на другой). Когда ППП подвергаются производственному контролю, временные затраты на измерение параметров шума, как правило, приходится ограничивать. Поэтому общее время, отведённое на измерения, целесообразно полагать заданным. Временные затраты на изменение частоты настройки АФ и ширины ПП учитывать не будем. Они пренебрежимо малы по сравнению с общей длительностью измерения. Предполагаем, что верхняя частота измерений лежит значительно ниже, по крайней мере, на декаду, чем частота перегиба спектра собственного шума ППП. Это позволяет нам пренебречь влиянием теплового и дробового шумов на результат измерения СПМ. Рассмотрим две измерительные процедуры, предусматривающие минимизацию полной погрешности измерения у. Одна процедура для АФ с оптимальной ПП, другая для АФ с неоптимальной ПП.

Процедура первая. Полное время измерения Т задано, ПП АФ устанавливается оптимальной для каждой из частот измерения. Требуется найти, какие затраты времени на измерение СПМ будут оптимальны: на первой частоте -Т1 и на второй частоте - Т2=Т-Т1. Для этого в (2.6) вместо д01 и д02 нужно подставить выражения (1.16) для минимальных суммарных погрешностей измерения СПМ:

■Иопт

(3.1)

Введём обозначения k = Т1/Т и а = /2/f1, после небольших преобразований

получаем:

=

5^

(у + 1)2т • /]

4 • Т • /Л у8 144 • ^

k 5 + а 5(1 -к) 5 1п2 а

(3.2)

Значение к, которому соответствует минимум функции, записанной в квадратных скобках выражения (3.2), находится приравниванием к нулю первой

производной: к

а

4/9

ОПТ

1 + а4/9'

Обычно а >> 1, а в таком случае к0ПТ ~1. Иными словами, подавляющая часть времени должна затрачиваться на измерение СПМ, соответствующей нижней частоте. Отметим, что значение коэффициента распределения времени будет определяться лишь отношением заданных частот. Отношение оптимальных относительных ПП АФ при любом значении у и k = к0ПТ также определяется только отношением частот:

А/1

= 5

1 - к

к

ОП^а = 9а.

(3.3)

А/2 V кОПТ

Значение показателя у для НЧ-шума, параметры которого измеряются, априори является неизвестным. Поэтому ПП фильтров устанавливаются в соответствии с предположением, что у=1. Так как реальное значение у будет отличаться от 1, суммарная погрешность измерения показателя формы спектра будет отличаться от минимально достижимой (при таком значении у). Коэффициентом пу обозначим отношение погрешности, которая имеет место при

настройке ПП АФ к у=1, к погрешности, которую можно получить, зная истинное значение у:

_ уапр =1 Пу1 = ~д

уапр=уист

у2 (у +1)2 + 16

у2 (у +1)2

(3.4)

4

4

4

5

Процедура вторая. На практике для измерения параметров шума нередко используются селективные вольтметры. В этом случае значения относительных ПП АФ, как правило, нельзя задать произвольно. Полное время измерения Т нам задано. Таким образом, задача оптимизации будет состоять в определении оптимальных затрат времени на измерение СПМ НЧ-шума на каждой из двух частот. Выражение для погрешности нахождения показателя спектра:

1

'у ОПТ

У- 1п (f1| /)

х

+

у2(1 + у)2

1 1

]¡¥•k•л/г+ Т-{\-ку1/2 576

(а/отн 1 + а/отн 2)

(3.5)

где А/ОТН1, А/ОТН2 - относительные ПП фильтров.

Погрешность минимальна при условии:

А dk

1

■ + ■

1

0

Т • k-А/1 Т-(1 - к)-А/2 у

для произвольных значений относительных ПП АФ из (3.6) получим:

1

(3.6)

к

ОПТ

1 + Ь

(3.7)

где Ь

V

а -а/отн 1 _ А/1

/2 • А/ОТН 2 V А/2

Минимальное значение суммарная погрешность измерения у имеет при коПТ : 1 ' ' " "

у опт

У1п (/2/ /1 ))1

л/ГГЬ + 1 + Ь У2(1 + У)2 ( 4 + + ■ ~ + 576 ' А/отн 1 +

(А/ОТН1 + А/ОТН2) .

Т -А/ Т • Ь •А/2

В случае равенства относительных ПП АФ при измерении на обеих частотах получаем из (3.7):

1 4а

к

ОПТ

1 + //2 1 + >/а'

(3.8)

а в случае равенства абсолютных ПП АФ: Ь=1 и к

11

ОПТ

1 + Ь 2

3.1.2 Оптимальные процедуры с параллельной фильтрацией

При наличии в измерителе двух измерительных каналов оценку СПМ на обеих частотах проводят одновременно. Длительность измерения на нижней частоте определяется заданной точностью нахождения показателя спектра. Время измерения для верхней частоты имеет смысл выбрать равным таковому для нижней частоты. Значение верхней частоты мы полагаем заданным нам таким, чтобы уровнем белого шума в спектре можно было пренебречь.

Процедура первая. Для измерения СПМ НЧ-шума используются два параллельных измерительных канала. Центральные частоты АФ устанавливаются равными А и А2, а 1111 оптимизируются к значению у=1. Общее время измерения Т задано. Необходимо найти отношение частот а = У2/А, которое будет обеспечивать минимальную суммарную погрешность. Полная погрешность определения показателя спектра описывается выражением:

о 2 =

У ..2 1„2

1

у2 • 1п2 (f1|а)

(£С?1 + £¿2 )

1

у2 • 1п2 (м а)

5d

■ + ■

5d

4Т •АИФТ 4Т •АА2ИэТ

. (3.9)

Подставив в выражение (3.9) выражения для оптимальных ПП АФ (1.15), получаем для полной погрешности определения показателя спектра:

4

%1 + % 2 у • 1п а

В

1п а

(3.10)

0 Í5d | (у + 1)2Т где В = А—10 и 7

4^ у8 144 • d • А24

Зависимость ёу(а) очевидно определяется функцией g(a) в квадратных скобках выражения (3.10). График функции g(a) построен на рисунке 3.1. Минимальное значение этой функции, определённое численным решением, g(aОПТ)=1,151, при этом аОПТ^16. При обычных условиях измерения (Т=1 с, d=1, А2=10 Гц, у=1), согласно нашим оценкам, коэффициент В=0,053. А минимальное

значение полной погрешности измерения 8у =0,061, то есть, примерно равно 6%.

Если частота f2 возрастает, либо возрастает время измерения Т, то данная погрешность будет снижаться по законам f "(25) и Т "(2^5), соответственно.

Рисунок 3.1 - График функции g(a)

Коэффициент, которым оценивается отклонение погрешности от минимально достижимого значения, в данном случае определяется выражением:

1 1(у2(у +1)2 +16)5 тт ~ — • 10(-—-—2-. Нужно заметить, что данное выражение полностью

Уз

у2(у +1)2

совпадает с (3.4).

Процедура вторая. Измерение СПМ проводится двумя параллельными каналами, настроенными на разные частоты. АФ настроены на равные относительные ПП. Полное время измерения является заданным. Выражение для суммарной погрешности измерения значения у будет иметь вид:

1

_X

У • 1п (Ы /)

X

v

у2(1+ у)2

( А/отн 1 + А/Отн 2 )

+ ■

d

■ + •

d

(3.11)

576 ^ Т • / •А/ 1 Т • /2 •А/ 2

Л '-у отн 1 J 2 ^ отн 2

Учитывая, что относительные ПП фильтров равны:

1

¿у =

1п а ^

d

у

• Т • /2 • А/отн '

у2(1 + у)2 Т • /2

288

d

А/отн +(а + 1) .

(3.12)

При равных относительных ПП численное решение (3.12) дает значение аОПт^9,19, которое не зависит от Т,А/ОТН и у.

При отклонении отношения а от оптимального, погрешность измерения у будет возрастать. Это повышение погрешности может служить оценкой эффективности и выигрыша от предложенной нами оптимальной процедуры. Для случая равных относительных ПП АФ на рисунке 3.2 показан график зависимости дополнительной погрешности измерения у от отношения а.

°0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Отношение частот а

Рисунок 3.2 - Зависимость от отношения частот доли дополнительной погрешности измерения у. Параллельная фильтрация на двух частотах

График показывает, насколько можно было бы снизить погрешность данного измерения при выборе оптимального значения а. График данной зависимости в полулогарифмическом масштабе показан на рисунке 3.3.

о Отношение частот а

fee

Рисунок 3.3 - Зависимость относительного увеличения погрешности измерения у путём параллельной фильтрации НЧ-шума на двух частотах от log a

Структурная схема средства, предназначенного для такого измерения, приведена на рисунке 3.4. Измеритель содержит два управляемых полосовых фильтра, аналого-цифровой преобразователь (АЦП) и микроконтроллер (МК).